制度转换随机波动率模型中的期权定价

2022-6-1 02:25:51

制度转换随机波动率模型中的期权定价*Arunangshu Biswas+，Anindya Goswami&Ludger Overbeck§Abstracts我们考虑一个制度转换随机波动率模型，其中股票波动率动力学是一个半马尔可夫调制平方根均值回复过程。在此模型假设下，我们发现欧洲典型香草期权的局部风险最小化价格。价格函数满足非局部退化抛物型偏微分方程，这可以看作是赫斯顿偏微分方程的推广。涉及偏微分方程的相关柯西问题等价于一个积分方程（IE）。通过研究IE并利用半群理论，证明了偏微分方程解的存在唯一性。关键词和短语：Cauchy问题，F¨ollmer-Schweizer分解，Heston模型，期权定价，制度转换模型SAMS主题分类：91G，60H1简介[8]的制度转换模型是对经典Black-Scholes模型的有益扩展。在那里，市场可以随机持续一段时间，从众多假设状态/注册时间中选择一种。关键市场参数，即利率、平均增长率、波动率在每个制度下保持不变，但因制度而异。因此，资产价格动态取决于一个额外的潜在过程，该过程被允许是一个马尔可夫纯跳跃过程。然而，马尔可夫政权更迭的考虑不仅限于推广Black-Scholes模型。制度转换扩展也成功地应用于许多其他资产价格替代模型。这方面的综合文献调查超出了本文的范围。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:25:54

尽管如此，我们建议读者查看[2、4、9、14-17、23-28]和其中的参考文献，了解政权转换模型的最新发展。在[10，11]中，将[8]中模型的范围进一步扩展到半马尔可夫区域。在这里，每个区域的逗留时间允许具有比指数分布类别更一般的分布类型。这种概括也带来了一些技术问题。由于状态过程不再是马尔可夫过程，为了获得马尔可夫设置，需要使用Sojour n时间过程来扩充状态过程。在两个状态转换之间，一个状态的年龄或逗留时间会像时间一样确定性地增长，并在下一个状态转换的瞬间跳到零。因此，增广过程的单位生成器仅涉及非局部TERM和一阶微分算子。出于明显的原因，我们也将在本报告中讨论发电机w.r.t.的这种特征。年龄变量导致期权价格方程为退化抛物型非局部偏微分方程（PDE）。因此，相关的考西问题的可行性并不是直截了当的。然而，在区域切换模型中使用半马尔可夫过程有一个优点。由于相应的期权价格方程涉及年龄变量，因此可以在方程中输入年龄变量的经验值，以获得期权价格。另一方面，在马尔可夫机制模型中，期权价格是不敏感的*该研究部分得到了塞族MATRICS（grant MTR/2017/000543）+印度海得拉巴诺华公司的支持。电子邮件：arunb12002@gmail.comIISER，浦那411008，印度。电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in§德国吉森大学数学研究所35392。电子邮件：Ludger。Overbeck@math.uni-吉森。确定年龄值。

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2022-6-1 02:25:57

因此，鉴于计算能力的提高和统计推断技术的进步，将半马尔可夫过程用于市场机制已成为更合理的选择。早期文献中也提出了半马尔可夫模型及其变化。例如，在[5]中，作者使用隐半马尔可夫模型来模拟每日时间序列值的平方日收益中自相关函数的缓慢衰减。在[13]中，金融市场是一个半马尔可夫切换模型，其中持有时间分布为伽马随机变量。对于其他示例和应用，可以看到例如[3]和其中的参考文献。众所周知，半马尔可夫过程可能会表现出与时间相关的传递，而时间齐次马尔可夫链或齐次马尔可夫链中的时间则不会。商业cyc LE的持续时间依赖性过渡的经验评估也很常见，例如参见【6】。由于上述每种模型的市场都是不完整的，因此无套利价格不是唯一的。局部风险最小化是作者在此类不完全市场中为欧式期权定价所采用的许多其他方法之一。在本文中，我们通过制度转换市场模型中的局部风险最小化方法来解决理论期权定价问题，该模型可视为赫斯顿模型的推广[12]。经典的Hes-ton模型是一种股票价格模型，其中瞬时波动率本身就是一个平方根均值回复过程（也称为Cox、Ingersoll和Ross（CIR）过程）。长期平均值作为参数出现在CIR过程的随机微分方程（SDE）中。SDE还包含另外两个参数，即均值回归的速度和波动率的波动率。

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2022-6-1 02:26:00

在制度转换扩展中，允许资产价格的所有或部分参数和漂移系数演变为有限状态纯跳跃过程。这种建模背后的理由是通过附加参数节省额外的随机性，以更好地拟合。[23]研究了Heston模型的区域切换推广。在【23】中，切换是通过给定速率矩阵的有限状态连续时间马尔可夫链建模的。对于经典Heston模型的类似或进一步扩展，我们参考[24，28]。上述文献调查只是指示性的，但无论如何都不是详尽的。然而，据我们所知，在Hesto n模型中考虑参数的半马尔可夫分布是文献中的空白。不用说，如果考虑半马尔可夫切换，马尔可夫子类也不会被排除在考虑之外。半马尔可夫调制连续时间模型的主要目标是对制度转换的持续时间依赖性动力学进行综合评价，例如在[1 0，11]中，该模型无法解释波动率参数的连续可变性。在这两个文献[10，11]中，波动率被建模为一个逐段恒定的脉冲跳跃过程。期权定价问题尚未在市场模型中进行研究，该市场模型可以预测股票波动的持续时间相关的连续运动。目前的模型填补了这一空白，并提供了进一步扩展的可能性。我们已经确定了一组关于模型参数的有效条件，以便拟定的市场模型不存在任何偏差。此外，还证明了最小等价鞅测度的存在性。为了更广泛的范围，我们考虑了一个抽象的欧式路径独立期权，其中未定权益是终端股票价值的Lipschitz连续函数。

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2022-6-1 02:26:03

这类索赔包括call、put和butter fly等。我们已经用F¨ollmer-Schweizer分解证明了这种索赔的局部风险最小化原则可以表示为一个适当chosenCauchy问题的解。这里，相应的PDE也可以看作是赫斯顿PDE的推广。这个柯西问题不具有闭式解。此外，经典解的存在也不能立即从文献中现有的结果中得出。本文证明了该问题经典解的存在唯一性。在这一部分中，我们使用半群理论的处理方法来解决抽象的柯西问题。首先，价格方程有一个满足积分方程的连续温和解。通过对积分方程的研究，证明了弱解是充分光滑的，并经典地求解了偏微分方程。本文安排如下。第2节介绍了基础资产价格动态。接下来，我们在第3节中提出了期权价格方程。在这一节中，我们展示了方程经典解的存在性和唯一性。在第4节中，我们证明了解决方案确实是相关欧式期权的局部风险最小化价格。我们在第5.2节模型描述中对本文件进行了总结。本节分为四小节。风险资产价格的动态如FirstSubsection所示。第二种方法提供了半马尔可夫过程的详细公式。

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2022-6-1 02:26:06

第三部分证明了模型的无套利性，而第四小节证明了最小鞅测度的存在性。2.1资产价格动态如果S={St}t≥0表示风险y资产的价格动态，然后根据经典的赫斯顿模型求解以下SDEdSt=uStdt+√VtStdWt，S>0dVt=κ（θ- Vt）dt+σ√VtdWt，V>0。（2.1）和dhW，对于某些ρ，Wit=ρdt∈ [-1，1]其中θ（>0）被称为挥发度的长期平均值yv={Vt}t≥此外，参数κ和σ是正常数，Feller条件σ<2κθ成立。当Feller条件确保V为正时，另一个条件，即σ≤κ(2ρ+√2） +确保S的平方可积性（见[1]）。在本文中，我们允许漂移系数u、s速度参数κ、波动率的波动率σ和参数θ根据潜在的半马尔可夫过程essX={Xt}t进行演化≥0有限状态空间X={1，2…，k} R和瞬时转移率函数λ={λij:[0，∞) → （0，∞) | i 6=j∈ 十} 。除了风险资产（即股票）外，我们假设市场还包括另一个在时间t时每单位货币价格为Bt的本地无风险资产。在时间t时，无风险资产的瞬时利率Rto为r（Xt）。更确切地说，股票和货币市场工具价格的模型如下所示：st=utStdt+√VtStdWt，S>0dVt=κt（θt- Vt）dt+σt√VtdWt，V>0。（2.2）dBt=RTBTDT，其中ut=u（Xt），θt=θ（Xt），κt=κ（Xt），σt=σ（Xt）。我们假设κ（i）、σ（i）、θ（i）、u（i）和r（i）是u（i）的正常数≥ r（i）使得（A1）σ（i）<最小值p2κ（i）θ（i）+ρ（u（i）- r（i））- ρ（u（i）- r（i）），κ（i）（2ρ+√2)+ 我∈ 十、工艺应与之前相同，并适应过滤{Ft}t≥0满足通常的假设，并定义在概率空间上(Ohm, F、 P）。

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2022-6-1 02:26:09

半马尔可夫过程也被认为是{Ft}t≥0适应并独立于Wand和W。我们注意到，方程（2.2）与经典Heston模型（2.1）的区别仅在于参数u、κ、σ和θ，这些参数是非爆炸、有限状态的纯跳跃过程。因此，V的正性和S的平方可积性在（A1）下类似。注意，（A1）是字符串ent，而不是REQUIRED。我给出了较弱的假设σ（I）<最小值p2κ（i）θ（i），κ（i）（2ρ+√2)+总的来说，i对于V的正性和S的平方可积性是足够的。然而，假设（A1）是为了确保第3节中考虑的另一个CIR过程的正性，这将在适当的时候得到澄清。从今以后，我们自始至终假定（A1）。2.2半马尔可夫过程的公式设tn为纯跳跃过程X的n次跃迁的时刻，T=0。时间t的年龄值由t给出- Tn（t），其中n（t）表示到时间t的跃迁次数。也让τn+1：=Tn+1- tn表示n次和（n+1）次转换之间的持续时间。瞬时过渡速率函数λij:[0，∞) → [0, ∞), i 6=j∈ 半马尔可夫过程X的X，如果存在，由λij（y）给出：=limδ→0δPXTn+1=j，τn+1∈ （y，y+δ）|XTn=i，τn+1>y其中右侧的条件概率与n的选择无关。我们考虑半马尔可夫过程的类别，该类过程允许每个非负y的上述限制。除此之外，我们进一步假设（A2）（i）对于每个i 6=j∈ 十、 λij：[0，∞) → （0，∞) 是一个连续可微分的函数。（ii）如果λi（y）：=Pj∈X \\{i}λij（y）和∧i（y）：=Ryλi（y）dy，然后是limy→∞∧i（y）=∞.备注1 i.请注意，对于有限状态连续时间马尔可夫链的特殊情况，瞬时转移率为正常数。因此，（A2）中的假设包括所有有限状态连续时间马尔可夫链。二。我们要求[0]上存在转移率，∞).

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可人4

2022-6-1 02:26:12

这比我们所需要的更简单。因为我们唯一关心的是对到期日为T的欧式期权进行定价，所以我们只要求λ在[0，T]上存在。iii.通过定义τ=T，我们默认X在时间T=0时没有内存。这也可以通过设置ting Ta负值来缓解。在此，我们回顾了[11]中的以下结果。命题1给出一个集合λ={λij:[0，∞) → （0，∞) | i 6=j∈ 十} 在满足（A2（ii））的有界可测映射中，下列条件成立。i、给定一个可测X和一个非正常数T，在X×[0]上有一个有限区间i和分段线性映射hλ和gλ，∞) ×I使得耦合随机积分方程组xxt=X+ZtZIhλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），Yt=（t- T）-ZtZIgλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），（2.3）其中, 具有均匀强度的泊松随机测度与X无关，且适用于{Ft}t≥0具有强rcll解（X，Y），因此X是X上的s emi马尔可夫过程，λ是瞬时转移率函数，Y是年龄过程。二。（X，Y）的最小生成元A由A（i，Y）给出=^1y（i，y）+Pj6=iλij（y）^1（j，0）-^1（i，y）对于每个连续可微分函数：X×[0，∞) → R、 iii.考虑F：[0，∞) ×X个→ [0，1]，定义为F（y | i）：=1- e-∧i（y），其中∧iis如（A2）（ii）所示。下式（A2）（i）F（·| i）是一个连续两次不同的函数，并且是保持时间X的条件c.d.F，假设当前状态为i.iv。对于每个j 6=i，pij（y）：=λij（y）λi（y），对于所有i和y，pii（y）=0。然后，pij（y）表示转换到j的条件概率，假设过程在y.v时从i过渡。让F（y | i）：=ddyF（y | i），那么λij（y）=pij（y）f（y | i）1-F（y | i）保持所有i 6=j。我们还假设以下不可约性条件n.（A2）（iii）Se t^pij：=R∞pij（y）dF（y | i）。

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mingdashike22

2022-6-1 02:26:15

矩阵（^pij）k×kis是不可约的。注意，（^pij）k×kdenotes嵌入离散时间马尔可夫链的转移概率矩阵。2.3无市场模型套利此后，我们考虑SDE（2.2）和（2.3）。很明显，满足（2.2）-（2.3）的S、V、X、Y被改编为{Ft}t≥定义1可接受策略定义为可预测过程π={πt=（ξt，εt）}0≤t型≤t如果满足以下条件（i）ξ：={ξt}0≤t型≤Tis平方可积w.r.t.S，即EZTξtdhSit< ∞;（ii）E（εt）<∞ t型∈ [0，T]；和（iii）如果Jt（π）：=ξtSt+εtBt，则P（Jt（π）≥ -一 t型∈ [0，T]）=1对于一些实a.很明显J（π）：={Jt（π）}0≤t型≤定义1（iii）中的TA表示与投资组合策略π相对应的投资组合价值过程。备注2等价鞅测度（EMM）的存在性是容许策略下无套利（NA）的一个充分条件（见[21]的定理VII.2c.2）。然而，一般来说，随机波动性模型不需要接受EMM。有关缺乏EMM的s-tochastic波动率模型的详细讨论，请参见[22]。我们在本文中使用的假设下建立了EMM的存在性。（A3）设c：=最大值∈X（u（i）- r（i））。然后E（eRTVsds）c<∞.（A1）和（A3）下的定理1上述市场模型在可接受策略下没有套利（定义1）。证明：考虑Zt：=exp-Rtuu-俄罗斯√VudWu-Rt（uu-ru）Vudu. 使用（A3）和Novikov条件（参见，例如[18]），我们得到Z={Zt}t≥0是一个P鞅。这意味着EP（ZT）=EP（Z）=1。现在定义一个度量值P，使得dP=ZTdP。（2.4）因此，P是一个与P等价的概率度量。根据Girsanov-Meyer定理（例如，见定理III.39【19】），W={▄Wt}t≥0是▄P-鞅，其中▄Wt：=Wt+ut-rt公司√及物动词。

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2022-6-1 02:26:18

因此，T=Stutdt+pVtdWt= St公司utdt+pVt（dWt-ut- rt公司√Vtdt）= St公司rtdt+pVtdWt.再次因为RTI是{Bt}t的漂移≥0过程中，根据上述等式，我们得出结论，贴现股票价格过程*= {S*t} t型≥0，由S给出*t： =StBt，是▄P下的局部鞅。Fur thermore，来自（A1），S*是平方可积的，因此是▄P-鞅。或者换句话说，P是n等价鞅测度。因此，定理的断言遵循定理VII。2c。第2页，共【21】页。2.4最小鞅测度由于股票价格依赖于非交易的附加半马尔可夫过程，市场模型是不完备的。这意味着不存在唯一的风险中性措施，因此终端支付也没有任意价格。这里，我们证明了（2.4）中构造的▄P是最小鞅测度（MMM）。或者换句话说，我们希望证明P下的每个鞅^M是正交的toR·√VsSsdWs，S的鞅部分（如2.2所示）也是▄P下的鞅。现在s ince V和s是正的，上述正交多项式表示^M与W正交。然而，密度过程Z，如定理1中的证明，解方程zt=1-ZtZuuu- 俄罗斯√VudWu。因此是一个积分w。r、 t.W，过程Z具有^M，即h^M，Zi=0的ze-ro二次协方差。另一方面，一般的Girsanov-Meyer定理断言，如果Z是密度过程s，那么|M：=^M-Z·Z-1德赫姆，Ziu。（2.5）是一种低于▄P的马丁酒。正如h^M，Zi=0，从（2.5），^M=^M。因此，正如所声称的，^M本身是^P下的鞅。因此，根据局部风险最小化定价的概念（见[20]），我们得出以下结论。定理2设H：Ohm → R是一个可测的平方可积函数。

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2022-6-1 02:26:21

当地风险最小化公平价格Ctat时间t≤ 终端付薪函数的T与终端时间T由ct=~E[E]给出-RTtr（Xu）duH | Ft]，其中▄E是上述MMM▄P的预期值。本文的目标是在St的给定函数时，找到CTA的表达式，即St、Vt、Xt、YT的决定函数。我们在一定条件下，使用F¨ollmer-Schweizer分解方法，在模型参数和支付效果上实现了这一点。3价格方程考虑D={（t，s，v，i，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×(0, ∞) ×X×（0，T）| y<T}。根据（2.2）并使用命题1（ii），我们推导出马尔可夫过程（S，V，X，Y）={（St，Vt，Xt，Yt）}t的有限生成元≥0asL^1（s、v、i、y）=u（i）ss+κ（i）（θ（i）- 五）v+vss+σ（i）vv+ρσ（i）vssv^1（s、v、i、y）+yИ（s，v，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（s、v、j、0）- ^1（s、v、i、y）其中，Д是D上具有紧凑支持的任何平滑函数。我们考虑Lipschitz连续支付函数K：[0，∞) → [0, ∞) 使| K（s）- cs |≤ c对于一些非负常数c、c。与看涨期权、看跌期权和奶油期权相关的支付函数a包含在上述类别中。我们陈述了一个Cauchyproblem：t+L+（r（i）- u（i））ss- ρσ（i）（u（i）- r（i））vД（t，s，v，i，y）=r（i）Д（t，s，v，i，y）（3.1）in D，终端条件Д（t，s，v，i，y）=K（s）。（3.2）需要注意的是，二阶偏导数w。r、缺少t.y变量。特别是（3.1）是一个线性、非n-局部、退化抛物型偏微分方程组。非局部性是由于存在术语Д（t，s，v，j，0）。此外，终端数据仅仅是Lipschitz连续的，因此不需要对空间变量进行区分。

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可人4

2022-6-1 02:26:24

因此，经典解的存在性不是先验的。在这一节中，我们建立了（3.1）-（3.2）在一类具有最多线性增长的函数中的类ic-al解的存在性和唯一性。为此，我们考虑另一组SDE的强解sd^St=r（Xt）Stdt+p^Vt^StdWt，d^Vt=κ（Xt）（θt-^Vt）dt+σ（Xt）p^VtdWt，）（3.3），其中^θt：=θ（Xt）-ρσ（Xt）（u（Xt）-r（Xt））κ（Xt）和（X，Y），W，与以前一样。很容易看出，在（A1）下，σ（i）<s2κ（i）θ（i）-ρσ（i）（u（i）- r（i））κ（i）对于所有i，因此^V几乎肯定是正的，因为σ（i）<κ（i）（2ρ+√2） +，^S是平方可积的。与（2.2）相比，马尔可夫过程的最小生成元{（St，Vt，Xt，Yt）}t≥0由^L=L+（r（i）给出- u（i））ss- ρσ（i）（u（i）- r（i））其中，L是马尔可夫过程{（St，Vt，Xt，Yt）}t的最小发生器≥因此，鉴于命题1（ii），（3.1）可以改写为t+^LД=r（i）Д。（3.4）此表格特别有助于编写柯西问题的温和解决方案。我们做出以下假设。（A4）设α：（0，∞)×X个→ [0, ∞) 使（s′，v′）7→ α（s′，v′；u，s，v，i）是给定的随机变量（^Su，^Vu）的条件概率密度函数（^s，^v）=（s，v）和Xt′=i，对于所有t′∈ [0，u]。（i）然后是α∈ C2,2,1,2,2（（0，∞)×X）。用α和αssr分别表示αw.r.t.s的一阶和二阶偏导数。类似地，αu、αv、αvv、αsv表示其他t阶和二阶偏导数。定义Mα（u，s，v，i）：=RRR+s′α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′。

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2022-6-1 02:26:27

类似地定义Mαu、Mαs、Mαss、Mαv、Mαvv和Mαsv。（ii）假设上述所有七张地图均为定值地图。（iii）当其他变量保持不变时，Mαu（·，s，v，i）是连续的。（iv）下列映射Mα（·，·，·，i）、Mαs（u，·，v，i）、Mαss（u，·，v，i）、Mαv（u，s，·，i）、Mαvv（u，s，·，i）和Mαsv（u，·，·，i）在u中均匀连续∈ [0，T）当其他变量保持为x e d时。备注3我们注意到，对于一些特殊的模型参数组合，上述假设可以很容易验证。例如，在极端情况下，如果r（i）=r，一个正常数，并且对于所有i，θ（i）=^V>0和σ（i）=0，则^V是一个常数过程，而^S是一个几何布朗运动。因此，（S′，V′）7→ α（s′，v′；u，s，v，i）成为对数正态密度族，其均值和方差为（u，s，v）上的连续函数。此外，α的所有偏导数都可以表示为α与s′上的次线性函数的乘积。因此（A4）（i-iv）保持不变。尽管（A4）似乎对一些非平凡模型也是可取的，但对任意组合的参数进行验证可能并不那么容易。文献中似乎缺少对αsimilarto（A4）性质的全面研究。然而，C∞αw.r.t.s’变量的规律性出现在[7]中。定理3考虑柯西问题（3.1）-（3.2），并假设（A1）、（A2）（i）-（iii）和（A4）。然后（i）Cauchy问题有一个唯一的经典解，其最大线性增长，（ii）非负，（iii）函数^1s、解w.r.t.s变量的偏导数有界，（iv）supi′，y′supD（Д（t，s，v，i，y）- ν（t，s，v，i′，y′）是有限的。证明：（i）自^S：={St}t≥0具有有限的期望值（由于（A1）），K具有最多的线性增长，K（^ST）具有有限的经验。

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2022-6-1 02:26:31

因此，温和溶液Д至（3.4）和（3.2）可写为Д（t，s，v，i，y）：=E[E-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y]。（3.5）从（3.3）我们立刻知道{e-Rtr（Xu）du^St}t≥0是一个{Ft}t≥0马丁格尔。因此，E[E-RTtr（Xu）du^ST | ST，^Vt，Xt，Yt]=^ST。现在使用上述关系式（3.5），以及K上的条件，我们得到|Д（t，s，v，i，y）- cs |=Ehe公司-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi-cEhe公司-RTtr（Xu）du^ST | ST=s，^Vt=v，Xt=x，Yt=yi≤ Ehe公司-RTtr（Xu）du | K（^ST）- c^ST | |ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi≤ c、（3.6）因此，如（3.5）中所述，Д是一个可测量的函数，具有t最线性的增长。接下来，将显示上述函数满足积分方程（IE）。为了推导IES，我们需要引入一些符号。首先，我们回顾第2.2小节，n（t）=max{n≥ 0 | Tn≤ t} 。因此{ω| Tn（t）+1（ω）>t}表示在[t，t]期间没有跃迁的事件，这等于{τn（t）+1>Yt+（t-t） }因为yt表示当前状态下X的年龄。通过用τn（t）+1进行调节，我们将mild解（3.5）写成Д（t，s，v，i，y）=EhEhe-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST，^Vt，Xt，Yt，τn（t）+1i | ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=yi。（3.7）仅考虑▄S，▄V满足（3.3），但每个地方的XT都被i取代，t的无风险资产价格为er（i）t。定义，Hest（t，S，V，i）：=E-r（i）（T）-t） K（▄ST）▄ST=s，▄Vt=v]。因此，过程ss，V满足经典Heston模型，而Hes t（t，s，V，i）是Heston模型下K（ST）的价格。

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mingdashike22

2022-6-1 02:26:34

使用函数Hest，我们可以将（3.7）重写如下：Д（t，s，v，i，y）=P[τn（t）+1>Yt+（t- t） | St=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y]Hest（t，s，v，i）+ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）Ehe-RTtr（Xu）duK（^ST）| ST=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y，τn（t）+1=y+uidu。通过在时间t+u处使用随机变量进行进一步调节，可以再次将上述内容改写为Д（t，s，v，i，y）=1- F（y+T- t | i）1- F（y | i）Hest（t，s，v，i）+ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+u）×ZR+Д（t+u，s′，v′，j，0）α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′du（3.8），其中α如（A4）所示。因此，我们证明了温和解（3.5）满足Volterra积分方程（3.8）。接下来，我们将调查（3.8）以确定（3.5）的有效性。设U：={Д：D→ R连续| k|kU：=supD | |（t，s，v，i，y）| 1+s<∞} 是s变量最线性增长时D上函数的线性空间，k·kUas为范数。众所周知，（U，k·kU）是一个Banach空间。注意，（3.8）可以被视为U上收缩的定点问题。为了证明这一点，我们遵循了[11]中引理3.1的方法，我们对其完整性进行了部分推导。如果我们将（3.8）改写为Д=AД，那么对于Д，则∈ UkA^1- A^1k≤ supD | ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）k|- νka（u，s，v，i）1+sdu |（3.9），其中（u，s，v，i）：=ZR+（1+s′）α（s′，v′；u，s，v，i）ds′dv′=1+Eh^Su |（s，v）=（s，v），Xt=i，0≤ t型≤ 用户界面。从（3.3）我们得到了^Su=^Sexp祖r（Xt）-^Vtdt+Zuq^VtdWt=^SexpZur（Xt）dtEZuq^VtdWt其中，最后一个乘法项是r·p^VtdWt的Dol\'eans-Dade指数。因此，^的条件期望表明X在区间[0，u]a和（^S，^V）=（S，V）中是常数，等于r（i）uEEZuq^VtdWt|（^S，^V）=（S，V），Xt=i，0≤ t型≤ u= ser（i）u。因此，我们可以重写（3.9）askA^1- A^1k≤ Qk^1- ^1k，其中Q：=supD | ZT-te公司-r（i）uf（y+u | i）1- F（y | i）1+ser（i）u1+sdu |<supD | ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）du |。

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2022-6-1 02:26:37

（3.10）根据命题1（iii），我们得到F（y | i）=1- e-Ry∧i（u）du。从A2（i），∧i（·）在[0]上连续，∞). 因此，它在每个有限区间上都有界。因此e-y∧i（u）du>0表示所有y>0。或者，换句话说，F（y | i）<1表示所有y>0。因此，0≤ F（y+T- t | i）- F（y | i）<1- F（y | i）。因此| ZT-tf（y+u | i）1- F（y | i）du |=| F（y+T- t | i）- F（y | i）1- F（y | i）|<1。因此，（3.10）的右侧小于或等于1。这证明了Q严格小于1，即A是一个牵引算子o n U。因此，直接应用Banach不动点定理可以确保（3.8）存在唯一的连续解，且线性增长最多。由于（3.5）是一个可测函数，具有最线性的增长和满意度（3.8），如果（3.5）在收缩下的图像是连续的，则可以获得（3.5）的连续性。在这种情况下（3.5）是U中（3.8）的唯一解决方案。（3.8）右侧有两个附加项。我们通过只考虑（3.8）右侧的第二项来讨论正则性的改善，因为第一项具有所需的正则性。事实上，从（A2）（i）和命题1（iii）来看，F（·| i）是一个C函数，并且Hest可以写成Hest（t，s，v，i）=RR+K（s′）α（s′，v′；t-t、 s，v，i）ds′dv′。由于K最多呈线性增长，因此Hest的C1、2、2调节性直接遵循假设（A4）（i-iv）。注意，第二项的被积函数具有有界且连续的偏导数w.r.t.y变量，其积分在有限区间上[0，t- t] 。因此，第二项在y变量中是连续可微的。我们援引假设（A4）来确定所有其他变量的连续性和差异性。从（A2）（i）、命题1（iii-v）和假设（A4）（i）中，我们可以看出，第二项中的被积函数是ν、未知和u变量C函数乘积的有限和。

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2022-6-1 02:26:39

没有te，即Д，取决于t变量作为t+u的函数。因此，这个未知w的部分差异。r、 t.t和W一样。r、 t.u.最后，通过使用分部积分，至多是线性增长，以及对Mα和Mαu的假设（A4），可以将该偏导数转移到光滑系数和积分上。r、 t.（s′，v′）获得连续函数。虽然第二项积分的上限也涉及t变量，但被积函数是连续的。因此，积分极限中的t-依赖性在证明正则性w.r.t.t变量方面没有额外的困难。因此，第二项在t中是连续可微的。第二项的连续一阶和二阶偏导数w.r.t.s变量的存在遵循s′中的最大线性g增长和（A4）（iv）Mα和Mαss的假设。类似地，（A4）（iv）中关于Mαv、Mαvv和Mαsv的假设暗示了连续偏导数的存在vvand公司s第二学期的vof。从而建立了温和溶液的连续性。或者在其他ter ms中，（3.5）确实是美国（3.8）的唯一解决方案。此外，（3.5）还具有C1、2、2、1调节性。因此，温和溶液是经典溶液。因此（i）成立。（ii）非负性源自（3.5）中表示的K的非负性。（iii）注意，在线性偏微分方程（3.1）中，所有系数都是光滑的，与s无关的部分导数的系数独立于s。特别是^1vand公司^1变量独立于s。因此函数^1salso满足线性抛物线偏微分方程。此外，终端条件（3.2）是s变量中的Lipschitz连续函数。这意味着^1sis有界。因此，由此产生的Cauchy问题^1将有一个有界解。或者换句话说，^1sis有界。

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2022-6-1 02:26:42

因此（iii）成立。（iv）从（3.6）我们得到supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- ^1（t，s，v，i′，y′）|=supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- cs+cs- ^1（t，s，v，i′，y′）|≤ supi′，y′supD |Д（t，s，v，i，y）- cs |+supi′，y′supD |Д（t，s，v，i′，y′）- cs公司|≤ 2这是有限的。备注4方程（3.1）-（3.2）的解没有封闭式表达式。因此，我们应该找到这方面的数值解。直接方法包括现场差异法。为s ame开发Crank-Nicolson型稳定隐式格式并不困难。然而，还有其他一些间接方法，我们将在下面讨论。在上述证明中，我们已经证明了温和解（3.5）是（3.8）的唯一连续解，并且它具有所需的光滑度，可以成为（3.1）-（3.2）的经典解。因此，（3.1）-（3.2）和（3.8）是等效的。因此，通过采用求积方法进行数值求解，可以获得（3.8）的数值解。还有另一种间接数值方法，涉及（3.5）的直接计算。设‘α：（0，∞)×X个→ [0, ∞) 使（s′，v′）7→ α（s′，v′，u，s，v，i，y，t）是随机变量（^Su，^Vu）的条件概率密度函数，如（3.3）所定义（^St=s，^Vt=v，Xt=i，Yt=y），约0≤ t<u。然后按照定理3证明中的方法，可以证明‘α’满足积分方程：’α（s′，v′，u，s，v，i，y，t）=1- F（y+u- t | i）1- F（y | i）α（s′，v′，u- t、 s、v、i）+Zu-tZR+Xj6=i'α（s′，v′，u，'s，'v，j，0，t+'u）α（'s，'v，'u，s，v，i）pij（y+'u）f（y+'u'i）1- F（y | i）d'sd'vd'uα如（A4）所示。当α已知时，上述方程可用于计算条件密度函数α。如果r是常数，则可直接使用‘α来确定条件期望（3.5）。

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2022-6-1 02:26:45

这就产生了另一种计算柯西问题（3.1）-（3.2）解的数值方法。4 F¨ollmer-Schweizer分解的推导在本节中，我们发现贴现终端支付（ST）的F¨ollmer-Schweizer分解，其中S和B如第2.1小节所示。或者换句话说，我们会证明存在一个{Ft}自适应过程ξ={ξt}t≥0使BTK（ST）=H+ZTξtdS*t+LT，其中他的F-可测和L：={LT:=E（LT | Ft）}是M的均方可积鞅和正交鞅：={Mt}t≥0，S的鞅部分，由mt给出：=ZtSupVudWu。（4.1）众所周知（见【20】），被积函数ξ构成未定权益K（ST）的最佳对冲，且H给出了索赔时间零点的局部风险最小化价格。因此，定价和对冲问题归结为找到ξ和H的适当选择。通常，欧式路径无关期权的这些量的精确表达式涉及相关Black-Scholes-Merton型方程的解及其偏导数。当然，方程式的确切形式取决于资产价格动态。在这一节中，我们证明了上一节得到的经典解确实是局部风险最小化期权价格。我们作出以下假设。（A5）如果Д表示（3.1）-（3.2）的唯一经典解，则^1v（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-)dt<∞.备注5注意，上述条件断言了权利要求K（ST）的期权的希腊织女星的平方可积性。在经典的B-S模型下，看涨期权和看跌期权的Vega是平方可积的。定理4假设ν是柯西问题（3.1）-（3.2）的唯一经典解，最多为线性增长。设（ξ，ε）由ξt给出：=^1s+ρσ（Xt）St^1v（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-) εt：=e-Rtr（Xu）du（Д（t，St，Vt，Xt-, 年初至今-)-ξtSt）。

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2022-6-1 02:26:48

然后在（A1）、（A2）、（A3）、（A4）和（A5）（i）下，ERTξtdhSit<∞,（ii）E（εt）<∞ 对于所有t≥ 0，（iii）LT：=BTK（ST）- ^1（0、S、V、X、Y）-RTξtdS*t到L（P），（iv）L：={Lt=E（Lt | Ft）}与M正交，如（4.1）所示。（v）（ξ，ε）是最优的套期保值策略，（vi）Д（0，s，v，i，y）是具有终值payo ffk（ST）的欧式期权在时间零点的局部ris k最小化价格，当s=s，v=v，X=i，y=y。证明：（i）为了便于记法，我们将ptto表示（t，ST，Vt，Xt-, 年初至今-) p=（0，S，V，X，Y）。注意ZTξtdhSit=ZT^1s+ρσ（Xt）St^1v（pt）dhSit≤ 2ZT^1s（pt）StVtdt+2ρZTσ（Xt）Vt^1v（pt）dt。使用S的平方可积性（这源自（A1））和^1s（见orem 3（iii）），我们得出结论，第一个积分具有有限的预测。第二个积分预期的不确定性也是由于假设（A5）。（ii）我们注意到εt≤ |^1（t、St、Vt、Xt-, 年初至今-) - ξtSt |。至多使用ν的线性增长（见定理3（i）），以及S的平方可积性，期望得到ν的平方（t，St，Vt，Xt-, 年初至今-) 是有限的。再次（A3）确保在zer o附近存在RTVSD的矩母函数。因此，ERTVSD是有限的。因此，这和（i）一起意味着E[（ξtSt）]也是有限的。因此（ii）成立。（iii）这直接源于（i），即BTis以零为界，K最多具有线性生长。（iv）我们用马尔可夫过程{（St，Vt，Xt，Yt）}t的最小生成元L重写方程（3.1）≥0按以下方式t+L- r（一）^1=（u（i）- r（i））s^1s+ρσ（i）（u（i）- r（i））^1v

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2022-6-1 02:26:51

（4.2）如果Д经典地解（3.1）-（3.2），使用它的o公式，我们从方程（2.2）-（2.3）dBt^1（t、St、Vt、Xt、Yt）= -r（Xt-)BtД（pt）dt+Btt+L^1（pt）dt+BthStpVt^1s（pt）dWt+σ（Xt）pVt^1v（pt）dWt+ZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））- ^1（pt）~（dt，dz）i，（4.3）式中▄（dt，dz）是由▄给出的补偿泊松-随机m测度（dt，dz）：=（dt，dz）- dtdz。（4.3）两侧从0到T w.r.T.T的积分和终端条件的使用yieldK（ST）BT=Д（p）+ZTBtt+L- r（Xt）^1（pt）dt+ZTS*tpVt^1s（pt）dWt+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））- ^1（pt）~（dt，dz）（4.4），其中S*t： =StBt。由于Д求解（4.2），因此（4.4）右侧的第一个积分可以重写为获得k（ST）BT=Д（p）+ZTu（Xt）- r（Xt）S*t型^1s（pt）dt+ρZTσ（Xt）Btu（Xt）- r（Xt）^1v（pt）dt+ZTS*tpVt^1s（pt）dWt+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））- ^1（pt）~（dt，dz）。通过使用dS*t=S*t型（u（Xt）-r（Xt））dt+√VtdWt公司结合上述等式右侧的第二个和第四个加法项，我们得到k（ST）BT=Д（p）+ZT^1s（pt）dS*t+ρZTσ（Xt）St^1v（pt）（dS*t型- S*tpVtdWt）+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）dWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））- ^1（pt）~（dt，dz）。（4.5）现在，我们将（4.5）右侧的术语范围缩小到getK（ST）BT=Д（p）+ZTξtdS*t+ZTσ（Xt）√VtBt^1v（pt）载重吨- ρdWt+ZTBtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））- ^1（pt）~（dt，dz）。（4.6）因此，（iii）-（iv）中的L等于z·σ（Xt）√VtBt^1v（pt）载重吨-ρdWt+Z·BtZIД（pt+（0，0，0，hλ（Xt-, 年初至今-, z），则，-gλ（Xt-, 年初至今-, z）））-^1（pt）~（dt，dz）。因为对于任何t>0，Wt- ρWt与Wt正交，使用（A5）的第一项是与M等正交的Lmartingale。As▄ 独立于Wt，使用定理3（iv），第二项I是有界可预测过程w.r.t的积分。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:26:54

补偿随机测度▄ 也是与M正交的可重新整合的鳞片。因此（iv）如下。（v）为了证明（v），我们证明（ξ，ε）ful满足定义1中给出的所有三个条件。前面已经显示了前两个平方可积条件。使用ε的定义，定义条件转换为检查是否存在常数a，使得P（ν（pt）≥ -一 t） =1。使用定理3（ii）断言φ是非负的。因此，上述条件在a=0时成立。（vi）这是根据上述F¨olmer-Schweizer分解（4.6）得出的。5结论本文研究了当标的股票价格服从半马尔可夫调制的赫斯顿模型时，欧式看涨期权的期权定价问题。该模型改进了文献中现有的半马尔可夫调制模型，例如[11]，因为股票波动率是一个有限状态纯跳跃过程。应该注意的是，本文中的推导不同于标准方法，例如，[24]。这里，我们从一个柯西问题开始，我们证明它具有一个经典解。然后，我们利用解的一阶偏导数构造对冲策略，以获得与欧元期权相关的未定权益的F¨ollmer-Schweizer分解。从de组合中，我们得出结论，解决该问题的方法确实是将相应欧洲期权的本地风险最小化。这种方法避免了对期权价格函数期望可微性的先验默认，该函数是使用关于等价最小鞅测度的条件经验来表示的。

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