如果ρ（X）=∞, 那么ρ（X）=ρ(-十、-) = ∞.因此，假设ρ（X）<∞ 取一个r位r元m>ρ（X）。因为ρ（X+mS）=ρ（X）- m<0，根据剩余不变性得出-（X+毫秒）-∈ {ρ ≤ 0}. 然后{ρ的单调性≤ 0}和-十、-+ 太太≥ -（X+毫秒）-暗示-十、-+ 太太∈ {ρ ≤ 0}，这反过来产生ρ(-十、-) ≤ m的S-可加性。由于m是任意的，我们推断ρ（X）≥ ρ(-十、-).如上所述，逆不等式通过单调性成立，因此我们得出ρ（X）=ρ(-十、-), 证明（a）成立。由于S-加性风险度量的每个子级集只是零子级集的一个平移，请参见引理18，我们可以应用定理8立即导出剩余不变性主题拓扑下Fatou性质的以下特征。请注意，拟凸S-可加泛函是自凸的。这就是为什么，与上面的定理21不同，我们陈述了凸函数的下一个定理。定理29。对于凸S-加性单调泛函ρ：X→ R∪ {∞} Isurplus不变量服从正性，以下语句等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。如果X~nis分离，则上述也等价于：（c）ρ是σ（X，I）对于每个分离理想I的下半连续 十、~n、 （d）ρ是σ（X，I）下半连续的，对于某些分离思想l I 十、~n、 26盈余不变风险度量标记30。备注2的变体2适用于上述定理。在这种情况下，条件ρ*(φ) < ∞ 很容易看出是指Д（S）=-1，因此表示（7）中的对偶域可以限制为I中的那些泛函，它们是负的且满足ν（S）=-1、在S-加性泛函中，在服从正态性的曲面不变性较弱的情况下，仍然可以得到上述推广结果。引理31。

设U是X的弱阶单位，考虑两个单调S-加函数ρ，ρ：X→ R∪ {∞ } 是服从正性的剩余不变量，具有Fatou性质。那么，Iu上的ρ=ρ意味着X上的ρ=ρ。证据修复X∈ 选择足够大的m>0，使ρ（X- mS）=ρ（X）+m>0和ρ（X- mS）=ρ（X）+m>0。然后，一个类似引理23的论点表明ρ（X- mS）=ρ（X- mS），通过S-加性得到ρ（X）=ρ（X）。每套A X我们用clo（A）表示A的阶闭包，即由A的元素组成的阶收敛网络的所有极限集。定理32。设U是X的弱序单位，假设S∈ （IU）+\\{0}。然后，每个单调S-ad双调泛函ρ：IU→ R∪ {∞} 它是服从正性的剩余不变量，具有Fatou性质，可以唯一地推广到单调微分泛函ρ：X→ R∪ {∞} 这是服从正的剩余不变量，具有Fatou性质。特别是，对于每个X∈ 我们有ρ（X）=inf{m∈ R-（X+毫秒）-∈ clo（A-)},其中A={ρ≤ 0}. 此外，如果ρ是凸的，那么ρ也是凸的。证据设置A={ρ≤ 0}. 作为monot-1和剩余不变量以及orderclosed，从命题2和命题5可以看出，A可以分解为asA=（IU）+- D、 其中D=-A.-订单关闭且在（IU）+中为实心。现在，定义′={X∈ 十、存在一个网（Xα） D使得Xαo-→ X中的X}。自D起 X+，很明显，D′ X+。我们认为D′在X~+中是固体。要看到这个，请选择X∈ D′和Y∈ X+使Y≤ 十、 注意，在（IU）+中为实数时，集合D在X+中为实数，因为IU是X的理想值。因此，通过引理6，存在一个网（Xα） D使得Xα↑ X在X中，所以Y∧ Xα↑ Y∧ X=X中的Y。从那时起∧ Xα∈ 对于a llα，通过D在X+中的稠度，我们得出结论Y∈ D′。接下来，我们证明了D′是序闭的。Let（Xα） D′和X∈ X是这样的Xαo-→ 十、

鉴于引理6和X+中D′的坚固性，我们可以假设tha-tSURPLUS不变风险测度27Xα↑ 十、 引理6的另一个应用表明，对于每个α，都存在一个集合Zα D向上，满足sup Zα=Xαin X。然后，这些集合αZα D是一个向上的lso（因此可以被视为一个递增的网络索引），supSαZα=supαsup Zα=supαXα=X in X。然后是X∈ D′定义为D′。这建立了订单紧密性。我们声称IU∩ D′=D。很明显，D 国际单位∩ D′。相反，取anyX∈ 国际单位∩ D′。然后，存在一个网（Xα） D使得Xα↑ X中的X。自塞克斯以来∈ IUand自（Xα） D Iu和Iu是X的理想值，很容易验证tXα↑ X英寸IU。因此，X∈ D，因为D在IU中处于闭合状态。现在，设置A′=X+- D′，并观察到A′是单调的，剩余不变的，并且由命题2和命题5关闭。然后，对于每个X∈ X定义ρ（X）=inf{m∈ RX+毫秒∈ A′}。（9） 首先，我们证明ρ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、相反，补充ρ（X）=-∞ 对于某些X∈ 所以X- nS系列∈ A′代表所有n∈ N由A′的单调性决定。注意t帽子X+- nS系列∈ A′，因此（nS- X++=（X+- nS）-∈ D’forall n公司∈ N、 现在，fix N∈ N、 那么，对于N的每一个选择≥ 我们很容易看到-X+n）+≤ n（S）-X+n）+=（nS- X+）+∈ D′和n（S-X+n）+≤ nS系列∈ 国际单位。自D′起∩ IU=D，如上所述，我们从稠度推断n（S-X+n）+∈ D、 自n（S）起-X+n）+o-→ 宫内节育器中的nS和宫内节育器中的订单已关闭，接下来是nS∈ Dand因此，-nS系列∈ A、 但这将适用于每n∈ N、 这将导致控制偏差ρ（0）=-∞. 因此，我们必须有ρ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、我们声称ρ具有所有期望的性质。为了证明ρ延伸ρ，取任意X∈ i并注意每m∈ R我们有X+mS∈ IUand THOUS（X+mS）-∈ 国际单位。

这意味着（X+mS）-∈ D′相当于（X+mS）-∈ D、 自（X+mS）-∈ D′相当于X+mS∈ A′和（X+mS）-∈ D等于X+mS∈ A、 从（6）可以得出ρ（X）=ρ（X）。很明显，ρ是monotone和S-加法。由于A′是剩余不变且序闭的，因此引理18和命题28表明，为了证明ρ是服从正性的剩余不变且具有Fatou性质，必须证明A′={ρ≤ 0}. “包含内容”” 是清楚的。显示反向包含“”, 取任意X∈ {ρ ≤ 0}，注意X+mnS∈ A′表示递减序列（mn） Rc接近ρ（X）。自X+mnS起↓ X+ρ（X）S，我们推断X+ρ（X）S∈ A’byorder接近。自ρ（X）起≤ 0，A′的单调性意味着X∈ A′和这产生所需的夹杂物。扩展的唯一性来自L emma 31。此外，ρf的上述表示来自（9）和命题2。最后，请注意，如果ρ是28剩余不变风险度量凸，那么A是凸的，推论3的D也是凸的。因此，我们很容易看到d′，因此a′，也是凸的，这意味着ρ也是凸的。推论33。设U是X的弱序单位，假设S∈ （IU）+\\{0}。此外，假设I是X的分离理想~n、 Letρ：IU→ R∪{∞} 是一个服从正性的剩余不变的凸单调微分泛函，具有F偶性，且设ρ：X→ R∪ {∞} 是其在定理32中确定的唯一扩展。然后，对于每个X∈ X我们有ρ（X）=supД∈我-, ^1（S）=-1.^1（X）- ρ*(φ),式中ρ*（Д）=supX∈国际单位^1（X）- ρ（X）.证据根据定理29和备注30，ρ具有ρ所需的表示形式*（Д）=supX∈十、^1（X）-ρ（X）对于每∈ 我-使得Д（S）=-1.

需要说明的是∈ 我-此类Д（S）=-1我们有SUPX∈十、^1（X）-ρ（X）= supX公司∈国际单位^1（X）- ρ（X）.显然，我们只需要证明不平等”≤”. 为此，取任意X∈ X和m<ρ（X）和集Y=-（X+毫秒）-和Yn=-（X+毫秒）-∧ nU代表n∈ N、 观察Yn∈ IU每n∈ N、 自Yn起↓ Y，我们有ν（Yn）→ ^1（Y）。此外，Fatou性质和monot onicity意味着ρ（Y）≤ lim信息→∞ρ（Yn）≤ lim支持→∞ρ（Yn）≤ ρ（Y），因此ρ（Yn）=ρ（Yn）→ ρ（Y）。现在，由于ρ（X+mS）=ρ（X）- m>0，我们有ρ（X+mS）=ρ（Y），因此是Д（X）-ρ（X）=Д（X+mS）- ρ（X+mS）≤ ^1（Y）- ρ（Y）=limn→∞^1（Yn）- ρ（Yn），其中我们使用了X+mS≥ Y，且该ν为负且满足Д（S）=-所需的不等式立即出现。盈余不变风险度量294。应用在本节中，我们将我们的一般结果应用于数学金融中使用的各种具体模型空间。通过本节，我们确定了一个可测量的空间(Ohm, F） andequip R及其标准Borel结构。可测量函数集X：Ohm → Ris由L表示。在未来预先规定的时间点，以给定货币表示的当前财务状况的要素（例如盈亏、股权价值、金融资产或投资组合的收益、货币风险敞口）。有界可测函数的Lconsisting子集用L表示∞.具有固定潜在概率的模型。设P为概率测度(Ohm, F） 。L中关于几乎确定等式（与P有关）的所有等价函数类的向量空间用L表示。通常，我们不会区分等价类和它们的表示元素。集是partialorderX下具有可数sup性质的序完备向量格≥ Y<==> P（X≥ Y）=1。此外，当具有概率收敛拓扑时，它成为一个完整的度量空间。

设X是L的理想。每个函数∈ 十、~ncan由一些Y代表∈ LviaД（X）=EP[XY]，其中Y满足EP[| XY |]<∞ 对于所有X∈ X，并且在X的支持下唯一确定。反之亦然。下面是X~NCA可以识别为一笔土地，因此，拥有可数sup财产。请注意，对于每个序列（Xn） X和每X∈ 我们有没有-→ 十、<==> |Xn |≤ Y代表一些Y∈ X和Xna。s--→ 十、 在其他情况下，阶收敛对应于支配的渐近收敛。同样，我们有XNUO-→ 十、<==> Xna。s--→ 十、 证明了无界序收敛对应于几乎确定的收敛。A函数Φ：[0，∞) → [0, ∞] 如果它是凸的、递增的、左连续的且满足Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。Orlicz空间LΦ是所有随机变量X的理想值∈ Lsuch thatkXkΦ=inf{λ>0；EP[Φ（|X |/λ）]≤ 1} < ∞.函数k·kΦ是一个范数，称为卢森堡范数。如果Φ（x）=xp表示somep∈ [1, ∞), 那么我们有LΦ=Lp。如果Φ（x）=0表示0≤ x个≤ 1和Φ（x）=∞ 对于x>1,30剩余不变风险度量，当我们有LΦ=L∞. LΦ的Orlicz心脏是由hΦ={X定义的理想心脏∈ LΦ；EP[Φ（| X |/λ）]<∞ 对于每个λ>0}。如果Φ满足所谓的-条件，即存在x>0和k∈ R使得每xΦ（2x）<kΦ（x）≥ x、 那么LΦ=HΦ。Φ的共轭f函数是理论函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 由Φ给出*（y） =sup{xy- Φ（x）；x个≥ 0}.我们有标准标识（LΦ）~n=LΦ*. 特别是，我们有（Lp）~n=LQ，其中1≤ p、 q≤ ∞ andp+q=1。我们参考Edgar和Sucheston（1992）了解有关Orlicz空间的更多详细信息。具有多个潜在概率的模型。

考虑概率族P(Ohm, F） a和相关容量c:F→ [0，1]定义为C（E）=支持∈PP（E）。我们用lc表示lw中所有等价函数类的向量空间，其中关于x定义的准确定等式（关于P）~ Y<==> P（X=Y）=每P 1∈ P、 同样，我们不区分等价类和它们的代表性元素。集合LCI是由x定义的偏序下的向量格≥ Y<==> P（X≥ Y）=每P 1∈ P、 对于1≤ p≤ ∞ 我们用lpct表示由所有X组成的lc的理想∈ LCXKP=支持∈PkXkLp（P）<∞.空间Lpcis是范数为k·kp的Banach格。众所周知，经典lpspace的许多基本性质，尤其是可数sup性质和序完备性，一旦P族非支配，就可能在鲁棒环境中失效。特别是，由于缺少可数sup属性，很难确保从上方有界的LPC的任意子集存在上确界，除非子集是可数的（在这种情况下，LPCI中的上确界仅由点上确界给出）。下面的引理提供了Lcin的序完备性的特征，即LPCSPACE的序完备性。引理34。以下语句等效：（a）Lcis订单完成。（b） Lcis订单的每个理想都已完成。（c） Lpcis订单完成约1≤ p<∞.盈余不变风险测度31（d）L∞cis订单完成。证据很明显，（a）意味着（b），（b）意味着（c）。自L起∞cis是理想的ofLpc，我们也有（c）意味着（d）。为了总结证据，假设∞cis ordercomplete并设A为（Lc）+的子集，其上由一些Y限定∈ （Lc）+。前向n∈ N集合An={X∧ n1型Ohm; 十、∈ A} 包含在（L）中∞c） +并以Y为边界∧ n1型Ohm∈ L∞c、 对于每个n∈ N我们用AninL的XnN上确界表示∞c

由于在引理之前的备注，集合（Xn）在Y上有界，因此在Lc中有一个上确界，用x表示。现在可以直接验证xis是Lc中A的上确界。阶连续对偶（Lpc）的一个简单可处理特征~nis通常在强健的环境中不可用。这是因为≤ p、 q≤ ∞ 这样的tha tp+q=1，识别Lqc=（Lpc）~一般来说，nno不再适用。例如，如果P包含与元素相关的所有Dirac测度Ohm, 然后我们看到Lc=陆地Lpc=L∞适用于所有1≤ p≤ ∞. 特别是，缺少可数sup属性迫使我们在进行确定（Lpc）时处理顺序收敛网络，而不是序列~n、 接下来，我们通过关注（Lpc）的一个特殊可提取理想来避免这个问题~n、 设cacbe是所有可数加符号测度uover的空间(Ohm, F） 使得u（E）=0∈ F和c（E）=0。空间cac是一个关于全变分范数和集态偏序的Banach格。给定P∈ P和Z∈ L∞, 我们定义了有符号度量uP，Z∈ cacby设置uP，Z（E）=EP[1EZ]。我们用ca表示∞C由此类测度生成的CAC的线性子空间，即ca∞c=跨度（{uP，Z；P∈ P、 Z∈ L∞}).引理35。se t ca公司∞cis是cac的理想选择。证据有必要证明ca∞cis实体。为此，让u∈ 加利福尼亚州∞cand假设u=Pni=1aiuPi，zi表示P，Pn编号∈ P和Z，锌∈ L∞. 此外，取ν∈ cacand假设|ν|≤ |u|. 这意味着|ν|≤nXi=1 | ai |uPi，| Zi |。因此，通过Radon Nikodym，我们发现∈ L∞使| Z |≤ 1和ν=nXi=1 | ai |uPi，Z | Zi |。32剩余不变风险度量这证明了ν∈ 加利福尼亚州∞cand建立稳固性。

现在，考虑cacint的自然对偶嵌入到L的范数对偶∞c、 分别为ca∞cint到Lpcfor 1的范数对偶≤ p≤ ∞, 由Hx给出，ui=Eu[X]。当X=Y时，Eu[X]=Eu[Y]的二元性得到了很好的定义。这些嵌入也尊重顺序结构，即cac中两个有符号测度的上确界分别在ca中∞c、 与上述规范对偶中的supremumas functionals一致。在我们的应用中，我们遵循Maggis et al.（2018），并在假设下工作∞c=（cac）*,其中（cac）*表示cac的范数对偶。由于对偶空间是序完备的，这个假设意味着L∞cis订单完成。定理4.60 inAliprantis和Burkinshaw（2006）的应用表明，该假设还意味着（L∞c）~n=cac。根据Meyer Nieburg（1991）中的定理2.4.22，我们可以看到相反的情况也是正确的，即，如果L∞cis o r der complete和（L∞c）~n=cac，然后是L∞c类=（L）∞c）~n~n=（cac）~n=（cac）*. 然而，Maggis et al.（2018）中的命题3.10令人惊讶地证明了L∞calone足以产生L∞c=（cac）*.4.1. 剩余不变性下Fatou性质的对偶刻画。在本节中，我们根据定理21和29提供了Fatou性质的各种对偶刻画。为了突出我们的结果在文献中的嵌入，我们首先关注概率占主导地位的模型空间。Delbaen（2002）在空间X=L的上下文中获得了该设置中的原型双重特征∞. 在这种情况下，证明了对于每个凸单调函数，Fatou性质等价于σ（L∞, 五十） 下半连续性。因此，Fatou属性允许一个“好”的对偶表示，其中对偶元素可以通过上的可数相加度量来识别(Ohm, F） 。

我们的第一个结果表明，在剩余不变性（服从正性）下，我们总是可以将对偶空间限制到较小的域L∞. 这就需要在具有关于P的有界Radon-Nikodym导数的可数加性测度方面有一个更清晰的对偶表示。定理36。如果ρ：L∞→ R∪ {∞} 是拟凸、剩余不变量、D单调还是凸，剩余不变量服从正性、单调性和S-ad ditivewith S∈ L∞+\\{0}，则以下陈述是等价的：盈余不变风险测度33（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（L∞, 五十） 下部半连续。（d） ρ是σ（L∞, L∞) 下部半连续。备注37。Cont et al.（2013）利用（a）和（c）之间的一般等价性，以L中的对偶元素获得基于凸损失的风险度量与Fatou属性的对偶表示。由于基于损失的风险度量是盈余不变的，上述结果允许我们通过将对偶元素的空间限制为L来重新定义该表示∞. 此外，它还表明Fatou性质等价于强超Fatou性质，即关于几乎确定收敛的下半连续性。注意σ（L∞, 五十） =σ（X，X~n） 如果X=L∞如上所述。正如outin Gao和Xa nthos（2018）以及lat er in Gao et al.（2016）所指出的，Fatou性质与σ（X，X）之间的等价性~n） 在一般的Orliczspace X=LΦ中，拟凸函数（即使是标准的凸现金加性风险度量）的下半连续性分解，在这种情况下，X~n=LΦ*. 更具体地说，Gao等人（2016）表明，当Φ和Φ*未能满足-条件另见Delbaen和Owar i（2016）。最近成立于Gao etal。

（2018），在法律不变性的附加属性下，仍然可以确保每个Orlicz空间中的等价性。在这种情况下，Fatou性质也相当于关于（通常更）粗糙拓扑σ（LΦ，HΦ）的下半连续性*) 和σ（LΦ，L∞). 我们的下一个结果表明，如果我们用剩余不变性（服从正性）代替定律不变性，同样的结论成立。定理38。如果ρ：LΦ→ R∪ {∞} 是拟凸、剩余不变和单调还是凸x、剩余不变服从正、单调和S-ad与S的微分∈ LΦ+\\{0}，则以下状态ts等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（LΦ，LΦ*) 下部半连续。（d） ρ是σ（LΦ，HΦ*) 电源半连续。（e） ρ是σ（LΦ，L∞) 下部半连续。我们转向稳健模型空间。在Maggis et al.（2018）中，作者研究了L∞cvia双空间cac。这里，我们证明了盈余不变性（服从正性）允许我们在Lpcvia ca上建立风险函数的双重表示∞c、 这很有吸引力，因为ca∞CAC中与具有有界RadonNikodym导数的P和t直接相关的“nice”34个盈余不变风险度量元素的分量。为此，我们首先需要证明∞cis a分离理想值（Lpc）~n、 引理39。se t ca公司∞cis a分离理想值（Lpc）~对于每1个≤ p≤ ∞.证据我们从引理35知道∞cis是cac的理想值=（L∞c）~n、 因此，假设1≤ p<∞. 我们首先表明∞c （Lpc）~在上述二元性下。为此，取任意u∈ 加利福尼亚州∞c在不损失一般性的情况下，假设u≥ 0.Let（Xα） （Lpc）+和X∈ （Lpc）+Xα↑ Lpc中的X。必须显示hXα，ui↑ hX，ui。假设存在一些ε>0，使得hXα，ui≤ hX，ui-ε表示所有α。

在这种情况下，hXα∧n、 ui≤ hX，ui-ε表示所有n∈ N和α。自Xα起∧n↑ 十、∧n在Lpc中，因此在L中∞c、 自从加利福尼亚州∞c （L）∞c）~在我们的假设下，我们看到hXα∧ n、 ui↑ hX公司∧ n、 ui.这意味着hX∧ n、 ui≤ hX，ui- ε表示所有n∈ N、 出租N→ ∞, 我们遇到了矛盾。这证明了ca∞c （Lpc）~n、 我们声称ca∞cis理想值（Lpc）~n、 要显示这一点，请使用∈ （Lpc）~nandu∈ 加利福尼亚州∞C如|Д|≤ |u|. 通过考虑Д+和Д-通过将u替换为u，我们可以假设≥ 0以及u≥ 0，因此0≤ φ ≤ u. 对于每个E∈ F定义ν（E）=Д（1E）。取成对不相交序列（En） F、 自1起∪nk=1Ek↑ 1.∪∞k=1Ek，我们有nXk=1ν（Ek）=nXk=1Д（1Ek）=nXk=1Ek！=φ(1∪nk=1Ek）→ φ(1∪∞k=1Ek）=ν(∪∞k=1Ek）。换句话说，ν是一个可数相加的有限度量。很明显，当v（E）=0时，v（E）=0，所以v∈ cac。现在，每X∈ （Lpc）+我们可以找到一系列简单函数（Xn） （Lpc）+使Xn↑ 十、 因此，ν（X）=limn→∞^1（Xn）=limn→∞Eν【Xn】=Eν【X】。这就产生了所有X的ν（X）=Eν[X]∈ Lpcand表明，在我们的二重性中，ν与ν是一致的。显然，0≤ ν ≤ u，意味着ν∈ 加利福尼亚州∞csince ca公司∞cis是cac的理想选择。显示ca∞C每1个分离LPC的点≤ p≤ ∞, 需要注意的是，f或每个非零X∈ 对于某些P，Lpcwe的P（X 6=0）>0∈ P和thushX，uP，Zi 6=0，其中，如果P（X>0）>0，则Z=1{X>0}，否则Z=1{X<0}。根据前面的引理，Fatouproperty的anno-unded对偶刻画是定理21和29的直接结果。盈余不变风险测度35定理40。让1≤ p≤ ∞. 如果ρ：Lpc→ R∪ {∞} 是拟凸的、剩余不变的、d单调的或凸的、剩余不变的，服从于正性、单调e和S加S∈ （Lpc）+\\{0}，则以下语句等价：（a）ρ具有Fatou性质。（b） ρ具有超Fa-tou性质。（c） ρ是σ（Lpc，ca∞c） 下部半连续。备注41。

（i） 地形yσ（Lpc，ca∞c） 可视为拓扑σ（Lp，L）的“稳健”对应物∞) 在占主导地位的情况下。（ii）前面的结果强调了定理21和29的威力。在这种情况下，我们不知道如何表示阶连续对偶（Lpc）~以一种易于驾驭的方式。然而，这不是问题，因为我们可以选择任意的分离理想，如ca∞cto自动确保较低的半连续性。（iii）注意，与支配情况不同，（超级）Fatou属性不能用序列表示，因为基本向量格一般不能满足可数sup属性。为了确保这一点，必须施加附加条件，如ρ的子级集的P敏感性，见Maggis et al.（20 18）。4.2. 剩余不变泛函的推广。风险度量的标准理论最初是在空间L的背景下发展起来的∞. 由于金融和保险中使用的标准分布（如正态分布）不受有界随机变量的支持，因此从理论和实践角度来看，将风险度量的定义范围扩展到有界头寸的设定之外是至关重要的。更具体地说，人们对某类风险度量的“规范”或“自然”模型空间感兴趣，即对于给定类别的定义属性仍然满足的最大模型空间。这一问题已在许多研究中进行了研究，包括Delbaen（2002）、Delbaen（2009）、Filipovi\'c和Svindland（2012）、Pichler（2013），Liebrich和Svindland（2017）。定理24和32中的一般推广结果可用于证明L上定义的每个剩余不变泛函∞可以在不失去单调性（拟）凸性和Fat-ou性质的情况下推广到整个空间。

如果我们将剩余不变性减弱为服从正性的剩余不变性，但需要S-加性，则同样的结论成立。这揭示了盈余不变泛函与其他类别风险度量相比的一个显著方面，对于其他类别的风险度量，36个盈余不变风险度量通常不可能确保扩展到空间L之外。本着菲利波维奇和斯文德兰（20 12）的精神，因此，可以说剩余不变量泛函的cano-nical模型空间是L。由于我们的晶格方法的通用性，我们实际上可以在ro-bust设置中直接建立扩展结果，而不需要额外的影响。从L开始的扩展∞Tol对应于P={P}的特殊情况。定理42。考虑一个具有Fatou性质ρ：L的拟凸单调泛函∞c→ R∪ {∞}.（i） 如果ρ是剩余不变的，那么它可以唯一地推广到一个具有Fatou性质的拟凸剩余不变单调泛函ρ：Lc→ R∪{∞}. 特别是，对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=limn→∞ρ(-十、-∧ n） ）。如果ρ是额外凸的，那么ρ也是凸的，并且对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=supu∈（加利福尼亚州∞c）+Eu[X-] - ρ*(u),式中ρ*（u）=supX∈L∞cEu[-X]- ρ（X）.（ii）如果ρ是S-加性w i th S∈ （L）∞c） +\\{0}和盈余不变量服从正性，则它可以唯一地推广到具有Fatou性质ρ：Lc的凸单调泛函→ R∪ {∞} 这是S-ad抖动，剩余不变量服从正性。特别是，对于每个X∈ Lcwe有ρ（X）=inf{m∈ R-（X+毫秒）-∈ clo（A-)},其中A={ρ≤ 0}. 如果ρ是额外凸的，那么so是ρ，并且对于每个X∈ Lcρ（X）=supu∈（加利福尼亚州∞c） +，Eu[秒]=1Eu[-X]- ρ*(u),式中ρ*（u）=supX∈L∞cEu[-X]- ρ（X）.证据注意，对于每个X∈ Lc，序列的上确界（| X|∧ n1型Ohm) 由对应的逐点上确界表示的等价类给出。

因此，1Ohm是L中的弱序单位，由1生成的主理想Ohm很容易与L重合∞c、 该主张随后应用定理24和32。盈余不变风险度量374.3。剩余不变集的分解。在本节中，我们将定理12中建立的分解结果指定为随机变量的框架。我们关注鲁棒模型空间中的一般公式。作为初步观察，回顾一下∞根据我们的假设完成cis订单∞c=（cac）*因此，Lcis的每一个理想也是由引理34完成的。特别是，lc的每一个理想都具有投影性质。在接下来的内容中 L和每个E∈ F我们使用符号a：={1EX；X∈ A} 。引理43。Le t X是Lc的理想选择。当某些E的X的每条带都是1EX形式时∈ F、 证明。对于每个E∈ F、 因为X=1EX⊕ 1EcX，因此B是（投影）带。现在，让B是X的一个带。自L起∞cis订单完成，我们有∞c=（B∩ L∞c） dd公司⊕ （B）∩ L∞c） d，其中不相交的补码都取在L中∞c、 让1Ohm= U+V，其中U∈（B）∩ L∞c） dd+和V∈ （B）∩ L∞c） d+。设置E={U>0}并使用该U∧ V=0，可以看到U=1和V=1。如果X∈ B+，然后是X∧ 1.Ohm∈ B∩ L∞c （B）∩ L∞c） dd，所以0=（X∧ 1.Ohm) ∧ 1Ec=X∧ 1Ec因此X=X1E∈ 1EX。这证明了B 1EX。相反，取X∈ 1EX和假设，但不丧失一般性X≥ 因为X是完全的，所以X=B⊕ Bd，其中Bd是X中B的不相交补。写入X=Y+Z，其中Y∈ B+和Z∈ Bd+。请注意，Z∧ 1.Ohm∈ L∞坎德（Z∧1.Ohm)∧|W |=每W为0∈ B∩ L∞c、 然后，Z∧1.Ohm∈ （B）∩L∞c） d，所以0=（Z∧ 1.Ohm) ∧ 1E=Z∧ 1E。这将产生Z1E=0。此外，0≤ Z≤ 十、∈ 1最大值Z1Ec=0。因此，我们得到Z=0和X=Y∈ B、 这证明了1EX B、 总结证据。

下一个分解结果扩展了Koch-Medina et al.（2017）中的定理3，该定理是为Lby的一类特殊子空间建立的，通过一个方便的穷举论证。在这里，我们将分解扩展到robustmodel空间Lc的任意理想。特别是，由于缺乏可数支持，在我们的案例中不能应用穷竭论证。通过设置P={P}，可以简单地得到LCA的任意理想的情况。定理44。设X是Lc的一个概念l。对于任意凸阶闭剩余不变单调s t A X我们找到的可测分区{E，E，E}Ohm a=1EX时+⊕ 1E（X+- D）⊕ 1EX，38剩余不变风险度量，其中D是1EX+的凸阶闭径向有界子集，该子集在X+中是实心的，并且对于每个E∈ F带E EAN和c（E）>0存在X∈ D，其中1EX 6=0。如果额外假设A为con e，则c（e）=0。事件Eis是唯一确定的（直到对c-null集进行修改）。如果X包含sOhm, 然后，EAN和Eare也是唯一确定的（直到对c-null集进行修改）。证据自Lc=（X）dd起⊕ （X）d，存在E∈ F使得（X）dd=1elc和（X）d=1EcL。它跟在t的后面 1对于每个F∈ F带F E和C（F）>0，我们有1F∧对于某些X，X>0∈ 十、现在，应用定理12，我们得到E的唯一可测划分{E′，E，E′}，这样a=1E′X+⊕ 1E（X+- D）⊕ 1E′X对于某些D 1倍以上，满足所需性能。最后，设置E=E′∪ E和E=E′或E=E′和E=E′∪ 欧共体。4.4. 正锥实子集的双极定理。在本节结束时，我们展示了我们关于实体集的一般结果，可以用来推导Brannath和Schachermayer（1999）提出的双极性定理的简单“基于晶格”的证明。

首先，我们强调以下正随机变量实数集的封闭性概念之间的等价性，这些实数集在序列意义上都低于od。这是引理7和定理8的直接结果。提案45。设X是L的理想。对于凸集C X+在X+中是实心的，以下g是等价的：（a）C在X中关于支配几乎确定收敛是闭合的。（b） 关于几乎确定的收敛，C在X中是闭合的。（c） c在X中关于概率收敛是闭合的。如果X~nis分离时，abov e也相当于：（d）C是σ（X，I），对于每个分离评级I交易I 十、~n、 （e）C是σ（X，I），对于某个分离的想法l I是闭合的 十、~n、 在下一个声明中，我们采用以下符号。对于集合C L+我们定义o=\\十、∈C{Z∈ L∞+; E【ZX】≤ 1} 和Co+= Co∩ {Z∈ L∞; P（Z>0）=1}。定理46（Brannath和Schachermayer（1999））。假设C L+是凸的，关于几乎确定的收敛是闭的，在L+中是实的。那么，我们有c=\\Z∈Co{X∈ L+；E【ZX】≤ 1 } .剩余不变风险度量39此外，如果C是径向有界的，则Co+6=  andC=\\Z∈Co+{X∈ L+；E【ZX】≤ 1 } .证据“包含内容”” 首先，身份是明确的。要建立逆向包含，请取X∈ L+，并假设E[ZX]≤ 所有Z为1∈ Co. 特别地，E[Z（X∧ n） ]≤ E【ZX】≤ 1（10）适用于所有Z∈ Co和n∈ N、 请注意，C∩ L∞在L中是凸的且阶闭的∞.此外，它在L中也是固态的∞+. 自L起∞是L=（L）的分离理想∞)~n、 根据命题45，C∩L∞isσ（L∞, L∞) 关闭在L中应用标准双极定理∞关于局部凸拓扑σ（L∞, L∞), 我们从（10）中推断出X∧ n∈ C∩ L∞适用于所有n∈ N和X∈ C按订单关闭。这确立了“包容性”” 并完成了第一个等式的证明。现在，假设C是径向有界的。

自C起o是凸的，很容易看出，第二个恒等式将紧跟在我们证明C之后o包含严格正的随机变量。为了证明这一点，请注意C∩ Lis-凸，在L中阶闭，在L+中径向有界和实心。因此，我们可以应用引理15来确保严格正Z的存在∈ L∞（回顾（L）~n=L∞) 满足{E[ZX]；X∈ C∩ 五十} <∞ .显然，对于一个简单的规范化，我们总是可以假定sup{E[ZX]；X∈ C∩ L}≤ 1、现在取一个ar二进制X∈ C、 自E[Z（X∧ n） ]≤ 1代表所有n∈ N、 我们从theFatou引理推断出E[ZX]≤ 1也适用。这表明Z∈ Co并得出证据。备注47。Brannath和Schachermayer（1999）中的原始双极定理是关于L+的凸子集的，这些子集在L+中是实的，并且在概率上是封闭的和有界的。根据Koch-Medina et al.（2018）的定理3.4，欠凸性和稳健性，概率有界性等价于径向有界性。我们的结论是，我们的一般结果可以推导出双极定理的以下“稳健”版本。这里，对于集合C （Lc）+我们定义o=\\十、∈C{u∈ （加利福尼亚州∞c） +；Eu[X]≤ 1}.40盈余不变风险度量理论48。假设C （Lc）+在（Lc）+中是凸的、阶闭的和实心的。那么，c=\\u∈Co{X∈ （Lc）+；Eu[X]≤ 1}.证据“包含内容”” 是清楚的。要建立逆向包含，请取X∈ （Lc）+并假设Eu[X]≤ 所有u为1∈ Co. 特别是Eu[X∧ n]≤ Eu[X]≤ 1（11）对于所有u∈ Co和n∈ N、 请注意，C∩ L∞L中的顺凸与序闭∞c、 此外，它在（L）中也是固态的∞c） +。自ca起∞cis a分离理想（L∞c）~n、 根据定理8，C∩ L∞cisσ（L∞c、 加利福尼亚州∞c） 已关闭。

在L中应用标准双极定理∞关于局部凸拓扑σ（L∞c、 加利福尼亚州∞c） ，weinfer（11）中的X∧ n∈ C∩ L∞C对于所有n∈ N和X∈ C按订单关闭。这确立了“包含”” 并完成了证明。附录A.向量格在本附录中，我们回顾了本文中自由使用的向量格理论中的各种概念。我们参考了Aliprant is和Burkinshaw（2003）的专著，从经济学（和金融学）应用的角度对向量格进行了综合处理。一个实向量空间X被称为一个向量格，也被称为Riesz空间，如果它被设置了一个格序≥ 正元素的集合X+={X∈ 十、十、≥ 0}是满足X的凸锥+∩ (-X+={0}。对于任意元素X∈ X我们使用标准符号X+=X∨ 0，X-= -（十）∧ 0），| X |=X∨ (-十） 。注意，我们有X=X+-十、-和| X |=X++X-. 正如Aliprantis a和Burkinshaw（2003）或任何其他晶格理论的标准参考文献一样，我们做了一个小假设，即所考虑的所有向量lattice都是阿基米德的，因此nX≤ Y代表所有n∈ 每X，Y的n倍X=0∈ X+。我们说，如果向量格X的每一个子集都有一个上界，则向量格X是序完备的。每个向量格X都有一个序完备Xδ，它本身就是一个序完备向量格，并且包含X作为一个序密子格，即对于每个Z∈ Xδ+\\{0}，存在X∈ X使得0<X<Z。事实上，对于每个Z∈ Xδ+\\{0}，集合{X的上确界∈ 十、0<X<Z}剩余不变风险度量41in Xδ是Z。

如果X的每个具有上确界的子集都有一个具有相同上确界的可数子集，则X具有可数sup性质。对于任何子集A 我们使用标准符号A+=A∩ X+和A-= A.∩ (-X+。A子集A 当X在任何时候都是固态的∈ A、 | Y |≤ |X |==> Y∈ A、 如果A X+，我们说A在X+中是固体∈ A、 0个≤ Y≤ X个==> Y∈ A、 X的线性子空间是实心的，称为理想。注意，每个理想都与格运算有关。对于任何X∈ X，包含X的最小理想称为X的主理想，用ix={Y表示∈ 十、λ>0：| Y |≤ λ| X |}。注意，序完备向量格的每个理想本身都是序完备的。负责任的支持，如果满足，也会传递给理想。对于网络（Xα） X和元素X∈ X我们写Xα↑ 每当（Xα）增加且supαXα=X in X时，X。类似地，我们写Xα↓ 每当（Xα）减小且infαXα=X in X时，X。我们说一个网（Xα） X收敛于元素X∈ X，写入Xαo-→ 十、 如果存在网络（Yβ） X，可能超过不同的指数集，例如Yβ↓ 0，对于每个β，存在α和yβ≥ |Xα- X |对于每个α≥ α. 我们对有序收敛的定义与inAliprantis和Burkinshaw（20 03）的定义略有不同，但在当前的lattice理论中更为常见。注意，如果X是顺序完成的，并且存在Z>0，那么-Z≤ Xα≤ 先是Z，然后是Xαo-→ X相当于toX=supαinfβ≥αXβ=infαsupβ≥αXβ。此外，我们说（Xα）以无界顺序收敛于X，写为Xαuo-→ 十、 每当| Xα- X |∧ 哟-→ 每Y 0∈ X+。显然，阶收敛意味着无界阶收敛，但这两个收敛概念并不等价。Gao、Troitsky和Xanthos（2017）对无界有序收敛的性质进行了深入研究。

如果X是42剩余不变风险度量L的理想(Ohm, F、 P），则序列的阶收敛对应于支配的最确定收敛，无界或阶收敛对应于几乎确定收敛。A子集A 当（Xα）时，称X为订单关闭 A、 Xαo-→ X个==> 十、∈ A、 如果上述性质通过具有无界阶收敛的replacingorder收敛而成立，则我们说A是无界阶（uo）闭的。阶闭的理想X称为带。对于任何X∈ X，包含X的最小频带是X的所谓主频带，用bx={Y表示∈ X|Y |∧ n | X | o-→ |Y |}。包含A的最小频带将由频带（A）表示。A的不相交补数是setAd={X∈ X|X |∧ |Y |=0，Y∈ A}，很容易被视为一个乐队。如果X=B，则B带称为投影带⊕Bd.在这种情况下，每X∈ 对于某些XB，X可以唯一地写为X=XB+XBDF∈ B和XBd∈ B和地图P:X→ B定义为p（X）=XB，X∈ X，称为B的带投影≤ P（X）≤ X代表每X∈ X+。如果everyband是一个投影带，我们说X具有投影特性。每阶完备向量格都具有投影性质。A功能Д：X→ 如果ν（X），则称R为正≥ 每X为0∈ X+和严格正，如果它是正的，并且每X一个的ν（X）>0∈ X+\\{0}。我们说如果满足αo，则φisorder continuous-→ X个==> ^1（Xα）→ ^1（X）。所有线性或阶连续泛函的集合称为X的阶连续对偶，并用X表示~n、 集合X~nis自然配备了向量晶格结构，并且是有序的。

如果X是L的理想(Ohm, F、 P），顺序continuousdual X~nalways具有Countable sup属性。如果阶收敛意味着拓扑收敛，则称X上的线性拓扑为阶连续拓扑；如果X上的线性拓扑在由实数集组成的零处具有邻域基，则称其为局部实数拓扑。对于任何理想，我 十、~nwe用σ（X，I）表示半形族{|Д（·）|Д）生成的局部对流拓扑∈ 一} 。此外，wedenote由|σ|（X，I）由lat tice半形族{|ν|（|·|）；|生成的X上的局部凸和局部立体拓扑∈ 一} 。上述拓扑下的拓扑对偶o f X是I.盈余不变风险度量43参考文献[1]Aliprantis，Ch.D.，Burkinshaw，o.：《局部实Riesz空间与经济学应用》，第二版，美国数学学会（2003）[2]Aliprantis，Ch.D.，Burkinshaw，o.：正算子，Springer（2006）[3]Artzner，Ph.，Delbaen，f.，Eber，J.-M.，Heath，D.《风险度量的特征》，第1186号技术报告，康奈尔大学（1996年）【4】Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.，Heath，D.：C oherent风险度量，MathematicalFinance，9（3），203-228（1999年）【5】Bernardo，A.，Ledoit，O.《损益与资产定价》，政治经济学杂志，108144-172（2000年）【6】Brannath，W.，SchacherMayer，W.：L+(Ohm, F、 P），见：S'eminaire de Probabilit'es XXXIII，pp。

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