···...γN-γNU··γN-γN-1NU+γU 0。。。0γN-1U.为了证明'B（因此B）只有实特征值和正特征值，我们计算了V（x）=xId（N）的行列式-1)-\'B代表x∈ C \\（0，∞) d表示det（V（x））6=0。所以letx∈ C \\（0，∞). 用Rd表示Cd×dandlet中所有对角矩阵的交换子环, . . . , N-1，（x）。N-1（x）∈ Rdbe给出人n=-γN- γnNU和n（x）=xId- γnU。使用此符号，Rd（N-1） ×d（N-1） -值矩阵V（x）也可以理解为R（N）的元素-1） ×（N-1） d（N-1） ×（N-1） 由Rd×d）中对角矩阵的元素构成的矩阵，我们有v（x）=+ （x）··· n-2.N-1.+ （x）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。N-2+N-2（x）N-1.··· N-2.N-1+N-1（x）.现在使用th at by【41，定理1】，det（V（x））=det（det（V（x）），其中det:R（N-1） ×（N-1） d→ Rdish交换环Rd上的行列式映射。通过从其他行中减去V（x）的最后一行（在Rd中），问题归结为计算'V（x）的行列式：=（x）0···0-N-1（x）0（x）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0···0N-2（x）-N-1（x）··· N-2.N-1+N-1（x）.作为x∈ C \\（0，∞) 对于n∈ {1，…，N-1} ，γnU的本征值为γnU，γnud∈ (0, ∞), 因此，det（n（x））6=0，h encen（x）对于每个n是可逆的n（n（x））-1乘以n=1时最后一行的第n行，N-2，该问题简化了^V（x）的确定值的计算：=（x）0 0-N-1（x）。。。。。。。。。N-2（x）-N-1（x）0···0N-1（x）Id+PN-1n=1n（n（x））-1..结果：det（^V（x））=N-1Yn=1n（x）！Id+N-1Xn=1n（n（x））-1.和in turndet（V（x））=检测det（^V（x））=N-1Yn=1det（n（x））！detId+N-1Xn=1n（n（x））-1.因此，仍需证明detId+PN-1n=1n（n（x））-1.6= 0. As Id+PN-1n=1n（n（x））-1是对角矩阵，我们有detid+N-1Xn=1n（n（x））-1!=dYi=11+N-1Xn=1αnumix- γnui！，其中αn=-γN-γnN，n∈ {1, .

. . , N- 1}. 当γN=max（γ，…，γN）时，我们有αN≤ 每个0∈ {1，…，N- 1}. 这需要证明我∈ {1，…，d}，1+N-1Xn=1αnumix- γnui6=0。（A.30）写入x=R（x） +我I（x） 将（A.30）中的每个分数展开为R（十）-I（x） 我-γnui，我们得到1+N-1Xn=1αnumix- γnui=1+N-1Xn=1αnuiR（十）- γnui- I（x） 我(R（十）- γnui）+I（x） =1+R（x） N个-1Xn=1αnui(R（十）- γnui）+I（x） （A.31）+N-1Xn=1αnui-γnui(R（十）- γnui）+I（十）- I（x） 在中-1Xn=1αnui(R（十）- γnui）+I（x） =1+R（x） ci（x）+di（x）-I（x） ici（x）=1+di（x）+ci（x）x，（A.32），其中x是x和ci（x）=N的复共轭-1Xn=1αnui(R（十）- γnui）+I（x） ，di（x）=N-1Xn=1αnui-γnui(R（十）- γnui）+I（x） 。由于每个αnis都是非正的，di（x）是非负的，ci（x）是非正的。将此与X相结合∈ C \\（0，∞), 因此，1+di（x）+ci（x）x 6=0，因此矩阵B的所有特征值都是实的和正的。B主要矩阵函数在本附录九中，我们从附录A中的教科书【25】中收集了一些关于矩阵函数的事实。首先，我们回顾了（主要）矩阵函数的定义：定义B.1。让A∈ Cl×l是具有不同特征值λ，…，的矩阵，λm，m≤ l. 用λi，i的代数重数表示∈ {1，…，m}。设O为λ的开放邻域，λmin C和f:O→ C函数。（a） 如果是ni，则f函数在a的光谱上定义-λi，i的1倍可微分∈ {1，…，m}。（b） 如果f在A的谱上定义，则主矩阵函数f（A）由f（A）：=p（A）定义，其中p:C→ C是唯一的Hermite插值多项式，满足k的p（k）（λi）=f（k）（λi）∈ {0，…，ni-1} 而我∈ {1，…，s}。作为一个主要示例，请注意，指数函数定义在所有矩阵的谱上a∈ Cl×lexp（A）就是矩阵指数。我们回顾了（初等）矩阵函数的一些基本性质：引理B.2。

Le t A公司∈ Cl×l是具有不同ei GenValueλ，…，的矩阵，λm，m≤ l 和f:C→ Ca函数定义在A的频谱上。然后：（A）如果P∈ Cl×l与A通勤，然后f（A）和P也通勤。（b） 如果P∈ Cl×l是可逆的，那么P f（A）P-1=f（P AP-1).（c） f（A）的特征值为f（λ），f（λm）。（d） f（A）是可逆的i f，对于所有i，只有i f f（λi）6=0∈ {1，…，m}。证据断言（a）、（b）和（c）是[25，定理1.13]的一部分。最后，（d）来自（c），并且f（A）是可逆的当且仅当零不是特征值时。如果A∈ Rl×lA的所有特征值都是实的，O可以看作λ的开邻域，λmin R，前提是f也是实值。如果A，λ，λm、O和f都是实值的，并且f定义在A的谱上，Hermite插值多项式也是实值的。最后，我们回顾了关于主平方根的一个结果【25，定理1.29】：引理B.3。让A∈ Rl×l是一个特征值均为实且正的矩阵。然后存在唯一矩阵P∈ Rl×l具有正特征值，使得P=A。它由一次矩阵函数P给出=√A定义B.1。参考文献【1】R.F.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3:5–40，2001年。[2] R.F.Almgren和T.M.Li。具有平滑市场影响的期权对冲。《市场微观结构液体》，2（1）：16500022016。[3] 阿米哈德和门德尔森。资产定价和出价为k价差。J、 财务部。经济。，17(2):223–249,1986.[4] M.Anthropelos。市场力量对风险分担的影响。数学鳍经济。，11(3):323–368, 2017.[5] P.Bank、M.Soner和M.Voss。具有临时价格影响的对冲。数学鳍经济。，11(2):215–239, 2017.[6] P.Bank和M.Voss。具有奇异随机终端约束的线性随机控制问题。暹罗J.控制优化。，56(2):672–699 , 2018.[7] M.J。

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