根据截面定理（例如，参见[]中的定理4.7），对于每个∈[0，T]，第一时间bHitslafter time是一个停止时间。那么很明显，bV、eV和LCocincidep-a.s.在这个τ的最小值？topical processbVisP-a.s.沿停止时间右连续，它再次遵循一个截面定理，即它在消失之前是右连续的。在通常情况下，可以选择vt在任何地方都是右连续的。独特性显而易见。步骤8：让我们证明等式（6.4）的可选投影满足（iii）。Letσ∈ TandL、LLLσ、TV、VeV、eVabove。Letτ∈ T、 s∈ Q、 m级∈ N、 通过{τ≥ σ, τ ∈[s]-/m、 s]}∈ Fs，πs（·）的局部性质意味着i∈ {1, 2},{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 s]}esssupν∈Tsπs（Liν）=esssupν∈Tsπs（1{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 s]}Liν）P-a.s，其中，通过假设，RHS不依赖于i。因此，我们得到（6.20）1{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 s]}Vs=1{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 VsP-a.s。。另一方面，EV的定义为∈ {1, 2},(6.21) 1{τ≥σ} eViτ=supm∈Ninfs公司∈Q{τ≥σ}{τ∈[s]-m、 s]}可视+∞1{τ≥σ}{τ6∈[s]-m、 s]}.18 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHN{τ≥σ} eVτ{τ≥σ} eVτPcan可通过其可选投影替换Evandev。然后，断言（iii）再次应用截面定理。步骤9：断言（iv）使用与步骤8中相同的参数，使用L=Lσon[σ，T]意味着{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 s]}Lν=1{τ≥σ, τ ∈[s]-m、 s]}Lσ，τ∈ T、 s∈ Q、 m级∈ N、 ν∈ Tsand，通过Fs可测性，RHS与其πs差值一致。引理5.3的证明。我们使用定理3.5的非线性Snell包络证明了这一点。考虑施工等式。（5.2）至（5.5）。根据定理3.5（iv），一个hasV2n+1τ2n=L2n+1τ2n=XT{τ2n=T}+Yτ2n{τ2n<T}。自塞克斯以来≤ YandV2n+1占主导地位，我们得出结论xτ{τ≤τ2n}+Yτ2n{τ>τ2n}≤ V2n+1τ∧τ2n对于任何τ∈ T

πB（·）的单调性和V2n+1的πB-上鞅性质（见定理3.5（i））意味着jb（τ，τ2n）=πBXτ{τ≤τ2n}+Yτ2n{τ>τ2n}≤ πBV2n+1τ∧τ2n≤ V2n+1。（6.22）另一方面，如式（5.3）所示，πB（L2n+1τ2n+1）=supτ∈TπB（L2n+1τ）=V2n+1。使用第3部分|τ2n+1的定义。引理5.2的{τ2n+1=τ2n} {τ2n-1.≥ τ2n}。这就给出了L2n+1τ2n+1=L2n+1τ2n+1，即τ2n+1也是上τ的最大值∈TπB（L2n+1τ）。此外，第2部分。引理5.2的{τ2n+1=τ2n}={τ2n+1=τ2n=T}，这意味着L2n+1τ2n+1=Xτ2n+1{τ2n+1<τ2n}+XT{τ2n+1=τ2n=T}+Yτ2n{τ2n+1>τ2n}=Xτ2n+1{τ2n+1≤τ2n}+Yτ2n{τ2n+1>τ2n}。加在一起，得到一个sjb（τ2n+1，τ2n）=πBXτ2n+1{τ2n+1≤τ2n}+Yτ2n{τ2n+1>τ2n}= πBL2n+1τ2n+1= V2n+1。（6.23）组合式。（6.22）和（6.23）得出式（5.7）中的第一个不等式。q的第二个不等式。（5.7）类似但更简单，因为CET 7→ R（τ2n+1，t）已经是c\'adl\'ag和l2n+2t=-R（τ2n+1，t）适用于所有t∈ [0，T]。引理5.4的证明。Letτ∈ T、 第1部分：按τ2n≥ τ*对于alln∈ N、 oft 7的右连续性→ R（τ，t）和πB（·）的连续性，则JB（τ，τ2n）为：=πBR（τ，τ2n）thatlimn公司→∞JB（τ，τ2n）=JB（τ，τ*).t 7→ Rt，τ将第1部分的参数应用于右极限t 7→ -R（t+，τ）和获得的limn→∞JA（τ2n+1，τ）=πA- Xτ*{τ>τ*}- Yτ{τ≤τ*}.Pττ*< TJAτ*, τ完成。引理5.5的证明。我们首先展示第2部分。根据定义，一个hasJA（τ2n-1，τ2n）=πA（Gn），其中Gn：=-Xτ2n-1{τ2n≥τ2n-1}- Yτ2n{τ2n<τ2n-1}.可以写入Gn=Hn+ηn，其中ηn：=（Xτ*- Yτ*)1{τ2n<τ2n-1, τ*=τ*}andHn=-Xτ2n-1{τ2n≥τ2n-1, τ*<τ*}- Yτ2n{τ2n<τ2n-1, τ*<τ*}- Xτ2n-1{τ2n≥τ2n-1, τ*>τ*}- Yτ2n{τ2n<τ2n-1, τ*>τ*}- Xτ2n-1{τ*=τ*}+ （Xτ2n-1.- Xτ*+ Yτ*- Yτ2n）1{τ2n<τ2n-1, τ*=τ*}.（6.24）博弈未定权益的纳什均衡19通过条件等式（2.10），ηnis非正。

这是假设的限制罚款的负数，即支付罚款），而限制停车时间是一致的（即，实际上不需要在限制内支付罚款）。修正这一可能产生不连续性的项后，很容易从公式（6.24）中看出，根据xandy的右连续性，Hn=Gn- ηnconvergespointwise toH：=-Xτ*{τ*≤τ*}- Yτ*{τ*>τ*}.为此，还应注意{τ2n<τ2n-1, τ*>τ*}→ 1{τ*>τ*},{τ2n≥τ2n-1, τ*<τ*}→ 1{τ*<τ*},{τ2n<τ2n-1, τ*<τ*}→0和{τ2n≥τ2n-1, τ*>τ*}→0，asn→ ∞. 然后，πA（·）的连续性和X，Y的一致有界性给出了πAHn公司-→ πAH= JA（τ*, τ*) 作为n→ ∞.这已经意味着（6.25）lim supn→∞JA（τ2n-1，τ2n）≤ JA（τ*, τ*).另一方面，引理5.3给出（6.26）JA（τ2n-1, τ) ≤ JA（τ2n-1，τ2n）对于任何τ∈ T、 设^τ定义为^τ：=τ*{τ*<τ*}+T 1{τ*≥τ*}. 那么，^τ是满足p的停止时间[^τ=τ*< T]=0，第2部分。引理的第5.4节意味着（6.27）limn→∞JA（τ2n-1，^τ）=JA（τ）*, ^τ）=JA（τ*, τ*).将公式（6.25）、公式（6.26）中的τ=τ和公式（6.27）放在一起→∞JA（τ2n-1，τ2n）=JA（τ*, τ*).现在我们来看看部分的证明。引理的1。首先请注意，已经显示Limn→∞πA（Hn+ηn）=πA（H）=limn→∞πA（Hn）。因此，命题3.2意味着（6.28）ηn-→ 0的概率为n→ ∞.这意味着，如果假设的限制罚款没有消失，那么卖方在买方之前不久停止的概率趋于零。这背后的直觉是，在限制停车时间重合的情况下，卖方的此类行动不可能是最好的反应，因为买方在没有收到罚款的情况下很快停车。第1部分。引理5.2的{τ2n<τ2n+1} {τ2n<τ2n-1} ，因此通过公式。

（6.28）这会导致|ηn：=（Yτ*- Xτ*)1{τ2n<τ2n+1，τ*=τ*}-→ 0的概率为n→ ∞.现在，证明如第2部分所示，用payoffxτ2n+1{τ2n的类似分解≥τ2n+1}+Yτ2n{τ2n<τ2n+1}和πA的不同估值πb。致谢我们要感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这使手稿受益匪浅。参考文献【1】数学。《金融》，20（3）：411–4462010。[2] E.Bayraktar、I.Karatzas和S.Yao。动态凸风险测度的最优停止。伊利诺伊州J.数学。，54(3):1025–1067, 2010.[3] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止——第一部分：随机过程。应用程序。，121(2):185–211, 2011.[4] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止-第二部分。随机过程。应用程序。，121(2):212–264, 2011.[5] D.贝克勒。效用差异估值。R.Cont，《定量金融百科全书》编辑。威利，奇切斯特，2010年。[6] 比昂·纳达尔。时间一致的动态风险流程。随机过程。应用程序。，119（2）：633–6542009.20 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHN【7】F.Delbaen、P.Grandits、T.Rheinl¨ander、D.Samperi、M.Schweizer和C.Stricker。指数对冲和熵惩罚。数学《金融》，12（2）：99–123，2002年。[8] F.Delbaen、S.Peng和E.Rosazza Gianin。动态凹效用惩罚项的表示。财务Stoch。，14(3):449–472, 2010.[9] I.Ekren、N.Touzi和J.Zhang。非线性期望下的最优停车。随机过程。应用程序。，124(10):3277–3311, 2014.[10] N.El-Karoui。控制随机性的概率。《Ec》编辑Hennequin P.L。有可能。St.-Flour IX-1979，第73-238页。施普林格柏林海德堡，1981年。[11] M.Frittelli。最小熵鞅测度与不完全市场中的估值问题。数学《金融》，10（1）：39–522000年。[12] J.Gonz'alez-D'iaz，I。

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