基于效用套期保值的未定权益博弈的纳什均衡

2022-6-1 04:47:15

基于效用的HEDGINGKLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNAbstract博弈未定权益的纳什均衡。在不完全市场中，一种很有吸引力的方法是通过解决期权持有人和写作者在标的证券中的最优投资问题来分析GCC，就像欧洲和美国的GCC一样。因此，考虑了部分对冲机会。Weextend在文献中通过求解同时具有连续时间停止和交易的GCC对应的随机博弈得到结果。也就是说，我们通过将博弈改写为一个非零和停止博弈来构建纳什均衡，在这个博弈中，参与者根据各自的效用差异值来比较支付。作为副产品，我们还通过将其与相应的非线性斯奈尔包络线联系起来，获得了效用差异估值下美国索赔最佳行使时间的存在性结果。1、简介Kifer[]中介绍的游戏未定权益（GCC）是买方/持有人和卖方/作者之间的合同，买方可以行使该合同，卖方可以在合同终止后的到期日前的任何时间收回该合同。合同可以用两个随机过程（Xt）t来建模∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]，其中T∈ R+是到期日：如果买方选择[0，T]值的停止时间τ，卖方选择[0，T]值的停止时间σ，则在时间min{τ，σ}向买方支付的款项由xτ{τ}给出≤σ} +Yσ{σ<τ}。长期假设为X≤ Y、这意味着停车会受到处罚。在过去二十年中，此类合同在文献中得到了深入研究。我们参考Kifer[]进行最近的审查。起点是Kifer[]的一篇文章，他表明在一个完整的市场中，期权有一个独特的无套利价格，作者可以对其进行完美的对冲。在这里，套期保值包括在基础中的动态交易策略和回忆时间。

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2022-6-1 04:47:18

然而，在不完全市场中，完美对冲可能不存在，基本上有三种不同的方法可以概括[]。首先是超级套期保值（参见[]第13.2.1节），其缺点是通常过于昂贵，在许多情况下只会导致无套利价格的微不足道的界限。另一种方法是将GCC视为流动证券，可以与标的证券同时进行动态交易，唯一的区别是它们的价格是不加区分的。GCC的行使和召回特征分别由卖空和多头买入约束隐式建模。结果表明，代表投资者的无套利准则和效用最大化准则都会导致azero和停止博弈作为GCC价格过程的动态价值。在第一种情况下，期望值是在任意鞅测度下进行的，在第二种情况下，期望值是在最优终端财富的边际效用所诱导的鞅测度下进行的，此时只可能进行底层交易（分别参见[20]和[19]）。在本文中，我们遵循第三种方法，即Hodges和Neuberger[]提出的基于效用的欧洲索赔分类精神，参见调查文章Becherer[]和其中的参考文献。为了分析AmericanContatingent索赔的一般差异估值问题，我们参考了Leung和Sircar[]在本论文中使用的基于后向效用的方法，以及Leung等人。[]将远期绩效标准方法应用于基于效用的对冲问题。在这里，我们将其视为[]买家与2010年数学学科分类之间的博弈。91A10、91A15、60G40、91B16、91G10、91G20。关键词和短语。

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2022-6-1 04:47:21

博弈未定权益、不完全市场、指数效用差异估值、非零和Dynkin博弈、纳什均衡、非线性期望下的最优停止。2 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨uhn GCC的卖方都试图通过买方的最终财富最大化其预期效用，而卖方则试图在唯一的等价鞅测度下最小化预期期权的收益。特别是，这意味着均衡停止时间函数是指数函数，即绝对风险规避不依赖于财富。然而，允许通过时间上的向后递归构造平衡停止区域。随后，在上述持有人和作者的任意效用函数博弈中，但仅在他们无法进入金融市场的特殊情况下，即，（部分）对冲机会未被考虑在内（见[]第4节）。由于效用函数是典型的非线性函数，这是一个非零和博弈，均衡通常不是唯一的。[]中的一个观察结果是，纳什均衡点可能不存在于指数以外的参与者效用函数中。也就是说，由于绝对风险厌恶的非恒常性，自基础事项的过去交易收益以来，均衡不能在时间上向后构建（反例和详细解释分别参见其中的备注2.4和2.5）。这也表明，如果存在（部分）对冲机会，则不限于指数效用的[]结果不能应用于问题。

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2022-6-1 04:47:23

在本文中，我们缩小了上述差距，并将指数效用函数的[]扩展到连续时间停止（参见[]，他们考虑线性期望下的博弈，当效用差异在支付中通常是非线性的时，关于最优停止的新结果。我们注意到，玩家根据（非线性）g-期望来评估其支付的博弈Lipschitzgenerator功能。然而，尽管是在连续时间环境中，后一篇文章将博弈的均衡分析限制为离散时间停止策略。此外，由于我们的非零和游戏。给定期权作者的回忆时间，对于指数效用函数，期权持有人的效用最大化和及时行使问题可以归结为最优停止问题，其中美国索赔的随机支付不是由其（线性）预期来评估的，而是由其（买方）非同质的差异价格来评估的。这意味着onesupτπLτLπτ贯穿持有者可以选择的所有[0，T]值停止时间。设πt为时间t的条件差异估值。根据差异估值算子π=（πt）t的时间一致性∈[0，T]，这似乎是不言而喻的，对于这个猜想应该有一个最小的“π-超鞅”LLLRigous证明。我们在不同估值下的最优停止结果是定理3.5，该定理将美国索赔的最佳行使时间描述为第一个边际效用差异值。据我们所知，这是一个新的结果，也是一个独立的结果。为了证明这一点，我们将Mania和Schweizer[]得出的动态欧洲差异估值的性质推广到了美国，并建立了差异估值的反向连续性结果（命题3.2）。

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2022-6-1 04:47:27

第3.1小节描述了结果与非线性期望下最优停车文献的关系。在不完全市场中，随机捐赠是交易衍生品的关键动机。在欧洲以外的索赔中，Anthropelos和ˇZitkovi'c[]给出了这些索赔的完整特征，对于这些索赔，存在一个价格，在给定的风险厌恶和禀赋下，两个代理人愿意交易索赔。结果表明，对于博弈未定权益3比例最优分配，存在唯一的、最多可复制的支付纳什均衡（见[]中的备注3.17）。指数效用最大化者的特点是，通过恒定的绝对风险厌恶，风险分担不依赖于交易前代理人之间总禀赋的分布。因此，上述帕累托最优分配可以通过代理人之间总捐赠的任何初始分配的“相互同意”交易来实现。类似地，代理人的禀赋也会影响给定GCC的最佳停止时间，因此期权分别标记为4.2。例4.3提供了非唯一均衡背后的一些经济直觉，这种非唯一均衡是由两个代理同时激励停止合同引起的。相比之下，在完全市场中，两个参与者在唯一鞅测度下通过他们的条件期望来评估未来收益，这意味着byX≤ Y、在任何时候，他们都想终止合同。本文的组织结构如下。在第2节中，我们指定了数学框架和效用差异估值，第3节准备了定理2.3的证明，然后在第5节中完成。

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2022-6-1 04:47:30

此外，第3节阐述了关于效用差异估值下最优停车的关键定理3.5，并附有关于非线性最优停车的文献综述，这些文献在正文中被省略。问题公式和主要结果，F，F（Ft）t∈[0，T]，PT∈ 满足权利连续性和完整性的一般条件。对于a，TτTτστ≤ σ ≤ TP几乎可以肯定。我们用zqt表示等价测度q关于top的密度过程，用eqτ[·]表示给定信息fτ直到停止时间τ的条件期望∈ T、特别是对于q=P，我们只写τ[·]。如果未另行说明，则不平等PσAonOhm 和概率度量(Ohm, A），我们表示为byL∞（A，Q）可测随机变量的空间，其Q本质上有界且为∞（Q）具有满足KY kS的c\'adl\'ag路径的空间自适应过程∞（Q）：=ksupt∈[0，T]| Yt | kL∞（英尺，Q）<∞.特别是，我们简单地编写了L∞（A）对于L∞（A，P），L∞, S∞对于L∞（英尺，P），秒∞（P）和k·k∞对于k·kL∞.我们考虑一个一般的、可能不完整的金融市场，其基本风险SII=1，。。。，单位折扣价格。自始至终，我们假设风险资产价格过程（2.1）是局部有界的（对于本文的主要结果，它必须是连续的）。表示Me：=Me（S，P）对于等价的局部鞅测度集，我们假设至少存在一个元素qofmeth，该元素对于P具有有限熵EhZQTlog zqtiw，即（2.2）Mef：=Mef（P）：=nQ∈ Me（P）EPhZQTlog ZQTi<∞o6=.特别是，存在一种独特的测量方法∈ Mef，即所谓的熵最小化鞅测度（EMMM），满足（2.3）EQEhlog ZQETi=infQ∈MefEQhlog ZQTi，参见Frittelli[]中的定理2.1，其超越了的有界性也扩展到了局部有界。我们用byL（S）表示可预测可积值过程的空间。

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2022-6-1 04:47:33

对于θ∈ L（S），θSR·θtrsdss允许交易策略（2.4）Θ=nθ∈ L（S）R·θtrsdSsis a所有Q的Q-鞅∈ Mefo。请注意，此类可接受的交易策略明确排除了套利机会。KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨uhncon考虑了两名代理人AandB，他们分别是GCC的卖方和买方。我们假设A和B除了签订合同外，还可以进入金融市场。代理人的偏好由指数效用函数SUA，UB建模，常数绝对风险规避参数αA，αB>0，即UA（x）=-经验值(-αAx）andUB（x）=-经验值(-αBx），x∈ R、 LetX，Y∈ S∞定义（2.5）R（τ，σ）：=Xτ{τ≤σ} +Yσ{σ<τ}代理在时间τ支付的GCC支付∧σ、 WhenA和B分别为τ、σ选择停止策略σ和τ∈ T、 Agentsandbhave contingent claimsCA，CB提供的外源禀赋∈ L∞, 一般而言，通过金融机构及其各自的捐赠进行交易是无法复制的。我们对纳什均衡点（见定义2.1）Awants感兴趣，以最大化终端财富的预期效用CA- R（τ，σ）+RTθtrsdss在时间t=0时签订合同，并根据自我融资策略在金融市场交易后θ=（i）di=1in，其中θ表示在时间t，t时持有的资产份额∈[0，T]。卖方对应的最大化问题为（2.6）uA（τ，σ）：=supθ∈ΘE“-经验值-αACA- R（τ，σ）+ZTθtrsdSs！！#。CB+R（τ，σ）+RTθtrsdss，她的最大化问题是（2.7）uB（τ，σ）：=supθ∈ΘE“-经验值-αBCB+R（τ，σ）+ZTθtrsdSs！！#。定义2.1。τ*, σ*∈ 与等式相关的T×Tnon零和博弈。

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2022-6-1 04:47:36

（2.6）和（2.7）如果（2.8）uA（τ*, σ*) ≥ uA（τ*, σ）和uB（τ*, σ*) ≥ uB（τ，σ*) (τ, σ) ∈ T×T.备注2.2。或者，可以将问题建模为一个所谓的广泛博弈，在这个博弈中，玩家的决策是连续的，每个玩家根据“性质”（过滤）和对方过去的行为做出决策。顺序决策包括每一步，是否终止合同，以及选择合同中持有的标的金额。至少在有限离散时间和有限时间内Ohm, 我们可以很容易地证明，在上面描述的广泛博弈中，等式（2.8）的意义上的NEP会导致随机反馈纳什均衡。即，给定NEP等式（2.8），取τ*, σ*以及达到最高EQ的投资策略。（2.6）和（2.7）对于τ=τ*σ=σ*, 并将其视为反馈策略，其中响应函数退化，即每个参与者只是忽略其对手的过去行为。只使用自然界过去的行为，因为数量通常是随机的。注意，给定（τ*, σ*), suprema eqs。（2.6）和（2.7）可以单独确定，例如，对标的价格没有影响）。此外，由于在第一个参与者终止合同后，期权的支付不再受到影响，因此，τ*, σ*如果停止策略隐含条件是另一个参与者尚未停止，则上述带有退化响应函数的“反馈”策略在该扩展博弈变量的所有反馈集中也是最优的，其中每个参与者只观察停止时间，而不观察另一个参与者的投资策略。最后，由于NEP在时间上是向后构造的（关于停止是离散的特例，请参见[]中的构造（2.3）-（2.7）），因此存在子博弈完美均衡。

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2022-6-1 04:47:39

我们留给读者一个简单的练习，写下最终的扩展游戏并证明上述断言（因为玩家可能同时停止，扩展游戏归结为游戏等式（2.6）/等式（2.7），对于连续时间建模，我们更愿意直接从等式（2.6）/等式（2.7）开始。博弈未定权益的纳什均衡5本文的主要结果是以下定理，证明推迟到第5节。定理2.3。假设（2.9）过滤F是连续的，即任何局部F-鞅都是P-a.s.连续的，且支付过程满足（2.10）X，Y∈ S∞带Xt≤ Yt，t∈ [0，T]、P-a.s和（2.11）X只有非负跳跃，Y只有非正跳跃。然后，在等式中给出了与touA、ub相关的非零和博弈。（2.6）和（2.7）带有αA，αB∈(0, ∞),CA、CB∈ L∞允许NEP（τ*, σ*) ∈ T.备注2.4。差异- 十、≥如果在行使期权之前撤回期权，0可被解释为GCChas的编写者支付的罚款。因此，双方都有一种消极的态度，即停止比赛。她的对手代替她结束比赛似乎更有利。条件式（2.11）保证达到最佳停车时间，我们无需处理几乎最佳的停车时间。3、无差异价值在本节中，我们首先陈述指数效用无差异价值的新旧事实。描述以不同价格评估支付时的最佳停止时间。这为我们的主要结果定理2.3（关于gameeq的NEP的存在性）的证明做好了准备。（2.6）/等式（2.7），我们在第5节中提供。博弈问题等式（2.8）可以根据合理索赔的效用差异评估重新表述，即获得一个非零和Dynkin博弈，其中玩家通过效用差异直接评估支付。

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2022-6-1 04:47:42

在确定这种关系之前，我们回顾了有界索赔指数差异估值的定义和一些动态特性。[]在类似于第2节的设置中对此进行了较为全面的研究，其中Θ与Delbaen等人的交易策略空间Θ完全对应。[]，并对其他可能的交易策略空间进行了比较。由于我们采用了类似的设置，因此当需要时，我们可以使用[31]的一些结果。将未定权益列为∞（FT）并考虑一位愿意在某个时候购买索赔的代理人∈[0，T]，其偏好由指数效用函数uα描述∈, ∞用户体验-e-αx，x∈ R随机捐赠C∈ L∞（英尺）。买方在时间t的差值πα，Ct（H）∈[0，T]是代理人在收到索赔时需要支付的金额，即终端时间T，以便T资本与他在零初始资本的情况下单独交易的最大预期效用一致。换句话说，πα，Ct（H）是使代理人在金融市场上以最佳交易方式购买或不购买索赔的金额。更准确地说∈ L∞andt公司∈ [0，T]，时间T时H的差值πα，Ct（H）由（3.1）esssupθ隐式给出∈ΘEth- e-α（C+RTtθtrsdSs）i=ESSUPθ∈ΘEth- e-α（C+H-πα，Ct（H）+RTtθtrsdSs）i.Stricker[]不需要）和动态规划原理意味着等式（3.1）的左侧几乎肯定不会消失，因此，等式（3.1）的直接重新公式化会产生（3.2）πα，Ct（H）=-α对数esssupθ∈ΘEth- e-αC+H+RTtθTRSDSiesssupθ∈ΘEt- e-αC+RTtθTRSDS.一般而言，差异值取决于外源随机禀赋C，但通过将通过DPC/dP定义的测量值替换为Pc：=exp(-αC）/E[exp(-αC）]，可以将其减少到6 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNcase，而无需随机捐赠。

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2022-6-1 04:47:46

尤其是Θ和Mefremain在从p变为PC时相同。注意πα，Ct（H）=πα，0t（C+H）- πα，0t（C），表示πα，0t（H）=essinfQ∈MefEQt[H]+αEqthlogzqtzqtzqti- αessinfQ∈MefEQthαlogZQTZQti！！。在下面的命题中，我们陈述了指数差值的一些动态性质。提案3.1。对于α∈(0, ∞) andC公司∈ L∞, （πα，Ct）t∈[0，T]定义映射πα，Ct:L∞（英尺）高7→ πα，Ct（H）∈ L∞（Ft）满足（1）“C\'adl\'ag版本”：ForH∈ L∞,kπα，Ct（H）k∞≤ kHk公司∞, t型∈[0，T]，并且存在一个c\'adl\'agprocessΓhw，对于每个T∈ [0，T]和ΓHτ=-αlog essinfθ∈ΘEQE，Cτhe-α（H+RTτθtrsdSs）i=：πα，Cτ（H），对于τ∈ T、式中，用PC.（2）“严格的）单调性”替换P后，QE，Cis EMMM来自等式（2.3）：IfH≤ Hthenπα，Cτ（H）≤ πα，Cτ（H）表示所有τ∈ T、如果附加πα，C（H）=πα，C（H），则H=H。（3）“复制不变性”：πα，CτH+xτ+RTτθtrsds=πα，Cτ（H）+xτ，对于anyH∈L∞, τ ∈ T、 xτ∈ L∞（Fτ），θ∈ Θ.（4） “复制成本保持”：πα，Cτxτ+RTτθtrsds=xτ，对于任意τ∈ T、 xτ∈L∞（Fτ），θ∈ Θ.（5） “局部性质”：πα，Cτ（H∧+H∧C）=∧πα，Cτ（H）+∧Cπα，Cτ（H），对于anyH，H∈L∞, τ ∈ T、 ∧∈ Fτ。（6） “（停止）时间一致性”：πα，Cτ（H）=πα，Cτ（πα，Cσ（H）），对于anyH∈ L∞,τ ∈ Twithσ∈ Tτ。（7） “连续性”：如果是连续的，则对于任何序列（Hn）n∈无边界内部∞概率收敛到某个H∈ L∞作为n→ ∞, 一个哈苏普∈[0，T]|πα，Ct（Hn）- πα，Ct（H）|-→ 0的概率为n→ ∞.和Schweizer[]或是简单的概括。请注意，只有caseC=0必须beC∈ L∞Ppct 2中的严格单调性。，我们使用公式（3.2）的分子中的上确界，见[7]中的定理2.2。以下结果与第7部分相反。在上面提案3.2。LetFbe连续，α∈(0, ∞) andC公司∈ L∞. 让（Hn）n∈Nand（ηn）n∈NBE有界序列inL∞使ηn≤P-a.s.适用于所有N∈ Nandπα，C（Hn+ηn）-πα，C（Hn）-→0，作为n→ ∞.

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2022-6-1 04:47:49

然后ηn→ 概率为0，如n→ ∞.就我们所知，命题3.2中的结果是新的，并且在定理3.5和引理5.5的证明中构成了至关重要的因素，这是实现定理2.3的主要结果所必需的。我们将证据包括在第6节中。注3.3。让α>0。存在一个具有一系列非负索赔（Hn）n的市场模型∈NL∞这样，P[lim infn→∞Hn公司=∞]>0，但差异值的序列πα，0（Hn）是一致有界的。注释3.3的证明。考虑一个S=1的市场模型，即不存在对冲工具，并采取一些措施∈ FwithP【A】∈(0,1). 对于欧式索赔的非减损序列n：=n1A，n∈ N、差值πα，0（Hn）满足xp(-απα，0（Hn））=经验(-αn）P[A]+1-P[A]和tusπα，0（Hn）增加到有限常数-ln（1- P【A】/α，因为n趋于完整。博弈未定权益的纳什均衡7在续集中，我们分别用（3.3）πA：=παA，caa和πB：=παB，cb表示agentsandb的指数效用差异估值算子。在差异值方面，游戏等式（2.6）/等式（2.7）的NEP可以描述如下。提案3.4。LetX，Y∈ S∞. A对（τ*, σ*)∈ T×T是非零和对策的NEP。（2.6）/等式（2.7）当且仅当对于所有τ，σ∈ T、 πA- R（τ*, σ*)≥ πA- R（τ*, σ）和πBR（τ*, σ*)≥ πBR（τ，σ*).证据首先注意，根据公式（3.2），claimH的差异值∈ L∞和风险规避参数α∈ (0, ∞) 满意度（3.4）supθ∈ΘEh- e-αC+H+RTθTRSDSi=e-απα，C（H）supθ∈ΘE- e-αC+RTθTRSDS< 因此，将等式（3.4）代入等式后，即可获得所需的等效性。（2.6）和（2.7）αA，αBCA，CBRτ*, σ*R（τ*, σ），R（τ，σ*). 该博弈通常是非零和型的，因为在市场不完全的情况下，蕴涵（3.5）πA(-H）≤ πA(-H）==> πB（H）≥ πB（H）一般不成立，对于H，H∈ L∞.

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2022-6-1 04:47:52

另一方面，在一个完整的市场中，两个参与者的差异估值是复制成本，得出等式（3.5）。命题3.4建立了效用差异估值下最优停止问题的关系，效用差异估值在支付上并不同质。在陈述我们的贡献（定理3.5）之前，让我们讨论一下关于非线性期望下最优停止的现有文献。3.1.非线性最优停止的文献综述及新贡献。除了ElKaroui[]这篇开创性文章中所调查的线性期望下的最优停止的经典理论之外，非线性期望下的最优停止理论通常也得到了Quiewell的发展。后一个方向的研究主要集中于正同质的次线性预期，因此也可以与动态一致风险度量相关联；参见[，，]等。但这些不包括欧洲效用差异。Bayraktar等人[1]研究了美国差异值，解决了布朗过滤环境下凸风险测度下的最优停止问题。通过利用Delbaen等人的凸风险度量的表示，他们认为风险度量可以写成最坏情况下的支付期望加上适当的凸惩罚函数，而凸惩罚函数又依赖于布朗鞅作为随机积分的可预测表示性，该问题可以通过与鲁棒（最坏情况）组合随机控制和最优停止问题类似的方法来解决，参见Karatzas和Zam-firescu[]。在一个方面，我们的假设略弱于[]的假设，因为我们只假设与他们的不同。

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2022-6-1 04:47:55

在[]中，已经有人指出，Americanclaim的最佳运动时间是由非线性Snell包络线第一次到达支付过程时给出的。我们认为其中的命题2.13是正确的，但我们不认为在其证明中，定理2.10在支付中是正齐次的。另一方面，Bayraktar和Yao[，]通过使用上交定理来解决凸期望的最优停止问题，但不能应用他们的结果。最近，Grigorova et al。[]获得了关于Lipschitz生成器和Payoff过程的最优停止预期的结果，对于通常由布朗运动生成的过滤，Payoff过程只需要是可选的（而不是c\'adl\'ag），估值对应于g为二次增长的g预期。美国指数效用差异估值。证明的关键是来自[]的KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNresult的连续性8（参见命题3.1中的属性7）及其反面，这是我们在本文中新推导出来的，参见命题3.2。定理3.5证明中的参数没有使用anup交叉定理，因此也可以应用于更一般的非线性期望。再次证明经典的上交定理表明，每个超鞅（在线性期望下）都承认有理数的有限左极限和右极限（参见Karatzasunder linear Expections with c\'adl\'ag Payoff Process and filtrations，that the惯常条件）（参见Karatzas and Shreve[]附录D）。但是，由于我们不依赖于保证存在右极限过程的上交叉定理，因此我们主张在合理的时间点上对斯内尔包络值进行右极限过程。

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2022-6-1 04:47:59

目前尚不清楚这一过程是否是连续的，因此我们分析的一个关键部分致力于验证这一点。首先，我们表明，我们的论点依赖于两个地方过滤的连续性：首先，通过差异算子的反向连续性，命题3.2，确定当支付过程第一次满足斯奈尔包络时的最佳停止时间，其次，根据每个停止时间都是可预测的这一事实，证明definedright liminf过程在停止时间上是连续的。对于非线性期望下的超鞅，如果非负随机变量序列的（非线性）期望在序列趋向于正概率集上的点一致性时爆炸，则上交定理成立（参见[]中的假设（H0）及其在证明非线性上交定理2.3中的使用）。对于欧洲索赔，买方的差异值是熵最小化鞅测度（EMMM）下的一个子鞅，因此通常的上交定理保证了c ` adl\'ag版本（参见[]中的命题12和Bion Nadal[]中的定理3）。对于美国人来说，这更为微妙，因为如果错过最佳执行时间，价格可能会下降。实际上，总的来说，美国的πtt∈[]的[0，T]π·（H0）（反例见注3.3），因此妨碍了（非线性）上交定理的直接应用。然而，尽管为了证明定理2.3中GCC的纳什均衡点的存在性，美式差异值的右连续性对于我们来说是足够的，但我们通过在备注3.7中显示美式差异值可以应用来补充定理3.5。以下定理是定理2.3中NEP构造的关键。

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2022-6-1 04:48:01

它提供了一个正确的连续适应过程的存在性和唯一性，该过程支配着给定的支付过程，并在最佳的停止时间到达该过程。此外，这一独特的过程仅取决于未来的支付过程，该过程仅限于已知其发生的所有事件。这些是关于欧洲差异估值给出的非线性预期的非线性斯内尔包络。定理的证明被归入第6节。定理3.5。Fα∈, ∞C∈ L∞并让支付流程∞. 然后，存在一个（3.6）Vt=esssupτ的右连续自适应过程vw∈Ttπα，Ct（Lτ），所有t的P-a.s∈ [0，T]。VPtime），并具有以下性质：（i）πα，Ct（Vτ）≤ Vt，P-所有t的a.s∈ [0，T]，τ∈ Tt。（ii）如果没有负跳跃，则^τt：=inf{u≥ t | Vu=Lu}是一个[t，t]值的停车时间，V^τt=L^τtP-a.s.和πα，C（L^τt）=supτ∈所有t的Ttπα，C（Lτ）∈ [0，T]。（iii）对于两个支付过程，LwithL=Lon[σ，T]，其中σ∈ T、一个hasV=Von[σ，T]直到消失，对于相关过程V，V.（iv），如果L=Lσ在[σ，T]上，其中σ∈ T、那么Vσ=Lσ，P-a.s。。博弈未定权益的纳什均衡9备注3.6。与线性情况一样，美式期权价格一般不是鞅，而只是一个超鞅。这是一个简单的练习，可以证明（i）对所有人都是平等的∈[0，T]和τ∈ Ttif和仅ifLt≤ πα，Ct（LT），P-所有t的a.s∈[0，T]，即这是一个最佳停止时间。备注3.7。在定理3.5的证明中，不需要上交定理。因此，上交定理之后的问题仍然可以用来证明动态值允许有理数的有限左极限和右极限。

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2022-6-1 04:48:04

差异值可写入SSSUPτ∈Ttπα，Ct（Lτ）=esssupτ∈Tt-α对数esssupθ∈ΘEt-e-αC+Lτ+RTtθTRSDSesssupθ∈ΘEt-e-αC+RTtθTRSDS= -α对数esssup（θ，τ）∈Θ×TtEt-e-αC+Lτ+RTtθtrsdSsesssupθ∈ΘEt-e-αC+RTtθTRSDS.（3.7）让我们证明at：=esssup（θ，τ）∈Θ×TtEth- e-αC+Lτ+RTtθTRSDSisatis fies the supermartingaleAt≥ EtAt+hPt，th∈, t设置Et+hh- e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS我(θ, τ) ∈ Θ×Tt+h是最大稳定值，thusEt[At+h]=Et“esssup（θ，τ）∈Θ×Tt+hEt+h-e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS#= esssup（θ，τ）∈Θ×Tt+hEtEt+h-e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS≤ 在，每年。。由于式（3.7）最后一行中的分母与ATFORL=0一致，因此它也满足超鞅性质。我们得出结论，存在一个完全概率的事件，对于所有∈ R+限值（3.8）lims→ts<t，s∈QESSSSUPτ∈Tsπα，Cs（Lτ）和lims→ts>t，s∈QESSSSUPτ∈Tsπα，Cs（Lτ）存在并且是有限的。这是因为通过应用上交定理（参见第1章中的命题3.14（i）），商大于exp(-α| | L||∞) 以远离零为界。通过式（3.8），可以看出定理3.5证明中的过程式（6.4）具有有限的左极限。与式（6.8）一起，式（3.8）也意味着式（6.4）是向右连续的，直到变光。因此，我们甚至可以得到定理3.5的斯内尔包络过程V是c\'adl\'ag。本节提供了不完全市场均衡背后的一些经济直觉。以下两个例子中描述的现象不可能发生在完全市场中，在完全市场中，无论风险厌恶程度和随机禀赋如何，都会出现不确定性度量。为简单起见，我们考虑S=1的情况，即无需考虑标的资产的交易收益。

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2022-6-1 04:48:07

支付过程没有界限，但这些例子满足Hamad\'ene和Zhang[]中的假设，其中可以通过直接修改支付过程来考虑捐赠。第一个例子中，均衡是唯一的，说明了作者的最佳停顿时间如何取决于她的随机禀赋。10 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNExample 4.1（捐赠对最佳停车时间的影响）。让我们使用标准布朗运动w.r.t.过滤。考虑带有Payoff ProcessExt=Wt+utandYt=Wt+ut+δ，t的GCC∈[0，T]，u，δ∈ R+。流程X可以解释为一项合同资产的价值，δ可以解释为卖方在提前召回GCC时必须支付的罚款。假设αB/<u<αA/2，0<δ<（αA/2+u）T，cb=0。对于任何σ∈ T、流程7→ -经验值(-αBR（t，σ））=-经验值-αBWt∧σ-αB（t∧ σ）经验值αBαB- u（t∧ σ) - αBδ1（t>σ）是一个（可选）子鞅，买方的主要策略是在到期时停止。这意味着漂移足以补偿买方对GCC的库存风险。我们现在可以区分两种情况：情况1：CA=0。在这种情况下，卖方必须解决最优停止问题supσ∈TE公司[-exp（αAR（T，σ））]。（4.1）应用测量deP/dP=exp（αAWT）的变化- αAT/2）屈服[-exp（αAR（T，σ））]=E-经验值αAWσ-αAσ经验值αAαA+uσ+αAδ1（σ<T）= -EePhexpαAαA+uσ+αAδ1（σ<T）i、 EePσ依次为σ≡ 0也解决了（4.1），即卖方立即撤回合同。案例2：CA=WT+uT，即卖方持有非交易资产的多头头寸。

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2022-6-1 04:48:10

因此，她必须解决问题supσ∈TE公司[-经验值(-αA（重量+uT- R（T，σ））]）]。测量值更改后deP/dP=exp(-αAWT- αAT/2），问题读取sc supσ∈TEeP[-exp（αAR（T，σ））]=c supσ∈蒂夫-exp（αA（fWσ- αAσ+uσ+δ1（σ<T）））i，其中fwt：=Wt+αAt，T∈[0，T]是根据Girsanov定理得出的aeP标准布朗运动，c：=exp（αA（αA/2- u）T）。通过αA（u- αA/2）<0，过程t 7→ -经验值αAfWt- αAt+αAut+αAδ1（t<t）是一个子鞅。这就产生了在σ处达到的上确界≡ T、即，合同在到期时结算。综上所述，在没有捐赠的情况下，卖方立即撤回索赔以降低风险。完善的套期保值工具。因此，她容忍潜在的积极漂移，并在GCC中保持短期地位直至成熟。备注4.2。Anthropelos和ˇZitkovi'c[]（见备注3.17和其中的引理A.7）表明，B提出了一个高达可复制的独特的“相互同意的”欧洲主张：=（αACA- αBCB）/（αA+αB），买方从卖方处购买，从而实现帕累托最优配置。一个直接的后果是，当且仅当αACA- αBCBis在下伏地层中不可复制。交易B？后？，买方和卖方的禀赋分别由αA（CA+CB）/（αA+αB）和αB（CA+CB）/（αA+αB）给出，直至可复制的回报。指数效用的特殊特征是通过恒定的绝对风险规避，风险分享不取决于在代理之间进行任何初始分配之前，代理之间的总捐赠CA+CBA的分配。博弈未定权益11的纳什均衡适用于示例4.1，这表明在案例2中，代理人将交易欧洲债权，而在案例1中，代理人将不交易欧洲债权。

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2022-6-1 04:48:13

这反映在停止博弈的均衡中，在这种均衡中，合同在案例1中立即取消，而在案例2中则在到期之前取消。在例4.1的情况2中，买方购买的帕累托最优索赔由αAWT/（αA+αB）给出，直至常数。当然，GCC的均衡支付通常不会复制[1]模型中的最优索赔，也就不足为奇了，在该模型中，代理人可以交易任意的欧洲索赔。[]的另一个结果是，如果αACA- αBCBis可复制，则双方不可能签订GCC合同。然而，byX≤ Y、也就是说，由于提前终止会受到惩罚，这并不一定意味着现有合同将被取消，在唯一鞅测度下使其预期收益最大化。下一个例子表明，博弈的均衡值通常不是唯一的。示例4.3（平衡值不是唯一的）。让我们再来一个标准的布朗运动。考虑payoff过程xt=Wt和yt=Wt+δ，其中0<δ<（αA/2）T，αB>0，ca=CB=0。现在，两个厌恶风险的参与者都有尽早停止的动机，但两个参与者的最佳反应是停止在零。这意味着这两对（0，T）和（T，0）都是NEP，（4.2），但具有不同的值（uA，uB）。（5.5）/（5.6）中的迭代最佳响应导致平衡（0，T）。通过对称性，也可以从卖方的最佳响应开始，这将导致（T，0）。但是，该游戏还具有p（τ）的其他NEP∧ σ>0）=1，这不是从（T，T）开始的上述迭代的结果。均衡基于部分支付罚款δ。这个想法是，玩家“扔硬币”，谁必须先停下来。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:48:16

但是，因为在下面，我们近似地描述了这样一种行为，它会导致非平凡的NEP。设ε>0足够小，s.t.δ<αA（t- ε），（4.3）扩展αAε≤2 exp（αAδ）1+exp（αAδ），和expαBε≤1+经验(-αBδ）。（4.4）首先考虑对τ：=ε1{Wε≥0}+T 1{Wε<0}和σ：=ε1{Wε<0}+T 1{Wε≥0}.（4.5）这意味着随机变量ε用于抛硬币，决定谁必须停在ε处。这对（τ，σ）还不是NEP。也就是说，根据正态分布的尾部概率，与等待时间的线性预期损失相比，其他玩家停止的ε概率非常小。现在，我们将（5.5）/（5.6）中的迭代最佳响应应用于限制在区间[0，ε]且终端支付为Wε+δ{Wε<0}的Topping博弈。直接从定理2.3的证明可以看出，由此产生的极限对，表示为（eτ？，eσ？），是一款改良游戏的NEP。基于这一对，我们定义了[0，T]值的停止时间τ？：=eτ？（eτ？<ε）+ε1（eτ？=ε，Wε≥0）+T 1（eτ？=ε，Wε<0）和σ？：=eσ？（eσ？<ε）+ε1（eσ？=ε，Wε<0）+T 1（eσ？=ε，Wε≥0).eτ？，eσ？τ?, σ?此外，通过（4.3），（τ，σ）是在时间ε开始的相应游戏的NEP，它遵循（τ？，σ？）是原游戏中的NEP。12 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨uhn此外，很容易看出P（τ？=0）=P（σ？=0）=0。事实上，对于买方，可以获得估算UB（τ，σ？）=-E经验值(-αBWσ？∧ε- αBδ1{σ？<τ}）≥ -E经验值(-αBWε- αBδ1{σ？<τ}）≥ -E经验值(-αBWε- αBδ1{Wε<0}）= -E经验值(-αBWε）1+（经验(-αBδ）- 1） 1{Wε<0}≥ -E[经验值(-αBWε）]（1+（exp(-αBδ）- 1） P（Wε<0））=-E经验值αBε（1+（实验(-αBδ））>-1=uB（0，σ？）。（4.6）这里，第一个不等式来自经验的次鞅性质(-αBW）和{Wε<}的第二个不等式 {σ?< τ}. 第三个不等式可以从Girsanov的理论中推导出来，该理论适用于被测量的dP/dP=exp(-αBWε-αBε/2）。在（4.4）中选择ε，严格不等式成立。

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2022-6-1 04:48:19

（4.6）表示τ≡0不能是对σ的最佳响应？thusP（τ？>0）>0。IfFPPτ？然后，相同的计算yieldP（σ？=0）=0。这里，我们使用thatuA（τ？，0）=-exp（αAδ）byP（τ？=0）=0。这意味着，如果没有关于wε的任何信息，那么停在零并支付全部罚款（或辞职以获得付款）就不是最佳选择。另一方面，从Anthropelos和71zitkovi'c[]的引理A.7可以看出，（4.2）是唯一的帕累托最优NEP。实际上，对于停止时间τ，σ，payoff R（τ，σ）=Wτ∧σ+δ{σ<τ}是确定的，当且仅当ifP（τ=0）=1或p（σ=0，τ>0）=1。但对于非确定性R（τ，σ），引理告诉我们πB（R（τ，σ））+πa(-R（τ，σ））<0。这意味着玩家可能同意卖方向买方支付金额πB（R（τ，σ））- πA(-R（τ，σ）/2作为行使其权利的补偿。与使用（τ，σ）进行游戏相比，这将提高两个玩家的预期效用。定理2.3πA和πB的证明，从公式（3.3）中，定义泛函JA，JB:T×T-→ R byJB（τ，σ）：=πBR（τ，σ）和JA（τ，σ）：=πA- R（τ，σ）.根据命题3.4，游戏等式（2.6）/等式（2.7）的NEP是一对（τ*, σ*) ∈ t满足（5.1）JB（τ*, σ*) ≥ JB（τ，σ*) 和JA（τ*, σ*) ≥ JA（τ*, σ），对于所有τ，σ∈ T、证明一对（τ）的存在性*, σ*) 满足等式（5.1），我们遵循Hamad\'ene和Zhang[]的思想。但是，为了处理差异估值的非线性，我们必须在不同的地方调整线性预期的上限，主要是通过应用命题3.2和定理3.5。为了获得可读性，我们重复[]的主要证明，同时只省略一对一翻译的部分。首先，通过两个停止时间序列（τ2n+1）n构建最佳响应策略∈N、（τ2n+2）N∈，并表明这两个序列都是非递增的。

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2022-6-1 04:48:22

最后，我们证明了极限τ*τ2n+1和τ*τ2n+2asn的*, τ*) = （τ）*, σ*) 满足式（5.1）。当然，停止时间序列的单调性是关键，因为否则，最佳响应策略可能会振荡。设τ：=τ：=T。给定τ2n-1，τ2n表示某些∈ N、我们想要构造τ2n+1如下：考虑支付过程L2n+1∈ S∞定义为t∈ [0，T]by（5.2）L2n+1t：=Xt{T<τ2n}+XT{τ2n=T}+Yτ2n{τ2n<T}{t≥τ2n}。在eqs下。（2.9）至（2.11），定理3.5可应用于2n+1，且最佳停止时间为upτ∈TπB（L2n+1τ）由（5.3）~τ2n+1给出：=inf{T≥ 0：V2n+1t=L2n+1t}=inf{t≥ 0:V2n+1t=Xt}∧ τ2n，对策未定权益的纳什均衡13其中πB-Snell包络V2n+1是唯一的右连续适应过程，满足（5.4）V2n+1t=esssupτ∈TtπBt（L2n+1τ），P-a.s.t∈ [0，T]（等式（5.3）中的第二个等式源自定理3.5（iv））。此外，我们定义了（5.5）τ2n+1：=△τ2n+1{△τ2n+1<τ2n}+τ2n-1{τ2n+1=τ2n}。备注5.1。支付流程2+1被选为“adl”ag。这是在集合{τ=τ2n<T}上L2n+1τ与r（τ，τ2n）不同的价格。因此，目前尚不清楚▄τ2n+1是否是对τ2n的最佳反应策略。此外，取τ2n+1代替τ2n+1。然而，甚至不清楚τ2n+1是一个停止时间，更重要的是，它也是对τ2n的最佳响应策略。给定τ2n，τ2n+1，卖方A的响应τ2n+2以相同的方式定义为（5.6）τ2n+2：=△τ2n+2{△τ2n+2<τ2n+1}+τ2n{△τ2n+2=τ2n+1}，其中△τ2n+2：=inf{t≥0：V2n+2t=L2n+2t}=inf{t≥0:V2n+2t=-Yt}∧τ2n+1，带Payoff流程L2n+2t：=-Xτ2n+1{t≥τ2n+1}- Yt{t<τ2n+1}和πA-Snell包络V2n+2满足V2n+2t=esssupτ∈TtπAt（L2n+2τ），P-a.s.t∈ [0，T]。引理5.2。假设等式。（2.9）至（2.11）。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:48:25

则（1）对于任何n∈ N、 τnis a停止时间和τN+2≤ τn.（2）在{τn+1=τn}事件上，n∈ N、对于所有m，其中一个具有τm=T≤ n、（3）对于任何n∈ N、 {τN<τN+1} {τn+2≤ τn}。证据这些断言与[]中的引理3.1和3.2相同，证明是一对一的。根据定理3.5。这里，我们需要定理3.5的性质（iii）和（ii）。下面的引理表明，τ2n+1、τ2n+2确实是最好的响应。虽然它的证明与[]中引理3.3的证明相似，但为了方便读者，我们在第6节中提供了它，因为许多地方都需要进行调整。引理5.3。假设等式。（2.9）至（2.11）。那么对于任何τ∈ 坦德n∈ N、认为（5.7）JB（τ，τ2n）≤ JB（τ2n+1，τ2n）和JA（τ2n+1，τ）≤ JA（τ2n+1，τ2n+2）。根据引理5.2（i）的单调性，最佳响应策略具有逐点极限τ*:= 画→∞τ2n+1和τ*:= 画→∞τ2n这当然也是停止时间。证明（τ*, τ*) 是NEP，只需说明取限和应用差值运算符的操作可以互换。后者在以下两个引理中完成，这两个引理在第6节中得到证明，并在定理2.3的证明中使用，我们随后直接提供。引理5.4。假设等式。（2.9）至（2.11）。那么对于任何τ∈ T、认为（1）JB（τ，τ2n）-→ JB（τ，τ*), 作为n→ ∞.（2） P[τ=τ*< T]=0表示JA（τ2n+1，τ）-→ JA（τ*, τ），作为n→ ∞.引理5.5。假设等式。（2.9）至（2.11）。然后，（1）JB（τ2n+1，τ2n）-→ JB（τ*, τ*), 作为n→ ∞.（2） JA（τ2n+1，τ2n+2）-→ JA（τ*, τ*), 作为n→ ∞.我们现在准备对定理2.3.14 KLEBERT KENTIA和定理2.3的CHRISTOPH K¨UHNProof进行证明。通过引理5.3到5.5，我们得到了JB（τ，τ*) ≤ JB（τ*, τ*), 对于所有τ∈ Tand（5.8）JA（τ*, τ) ≤ JA（τ*, τ*), 对于所有τ∈ t满足P[τ=τ*< T]=0。获得（τ*, τ*) 事实上，这是一个NEP，但仍需证明。

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2022-6-1 04:48:28

（5.8）适用于任意τ∈ T、为此，让τ∈ 并确定序列（^τn）n∈N Tby^τn：=（τ+n-（1）∧ T{τ=τ*<T}+τ1Ohm\\{τ=τ*<T}，n∈ N、然后{τN=τ*< T}= 对于任意n∈ N使得式（5.8）给出了j（τ*, ^τn）≤ JA（τ*, τ*) 适用于所有n∈ N、此外，^τN↓ τ几乎肯定为asn↑ ∞. 有界过程的右连续性t 7→ R（τ*, t） πA（·）的连续性，这意味着ja（τ*, τ)≤ JA（τ*, τ*). 总的来说，我们已经表明（τ*, τ*) ∈ 这是NEP，证明已完成。附录本节包含命题3.2、定理3.5和引理5.3至5.5的证明。命题3.2的证明。在不丧失一般性的情况下，letC=0。根据Mania和Schweizer[31]中的定理13以及其中命题14的证明，我们知道对于任何n∈ N（6.1）πα，0（Hn+ηN）- πα，0（Hn）=EQn[ηn]，forQn~ Pgiven bydQn=Eα（Ln（α）+eLn（α）TdQE=：ZnTdQE，ln（α）和ln（α）为bm O量化宽松-满足（6.2）supn的鞅∈NαLn（α）+eLn（α）BMO（QE）≤αsupn∈NekHn+ηnk∞+ ekHnk公司∞< ∞,定理2.4在[]中的证明，蕴涵（a）==>（b），参数p>1只需满足| | M | | BMO<√(√p-1). 因此，应用toM：=αLn（α）+eLn（α）, 使用公式（6.2），可以在n和一个getssupn中均匀地选择p∈NEQEh（ZnT）-p-1i≤ cp，其中cp>0是一个通用常数。然后，H¨older不等式给出了所有n∈ N、（6.3）EQEh |ηn | pip≤ EQE[|ηn | ZnT]EQEh（ZnT）-p-1ip-1.≤ EQn[-ηn]cp-1便士。由于式（6.1）的LHS趋向于0，式（6.3）意味着ηnCoqe概率收敛于0。因为量化宽松~ P保持不变，断言如下。定理3.5的证明。为了符号的简单性，我们表示π：=πα，C。对于ALL∈ Q∩[0，T]，通过证明a版本vs：=esssupτ∈Tsπs（Lτ）满足VS≥ Lsand用于技术便利设置Vt：=LTfor t>t。定义（6.4）eVt：=lim infs≥t、 s∈Q、 s→电视：=supm∈Ninfs公司∈[吨，吨+1/米]∩QVs，t∈ [0，T]。根据L的正确连续性，我们有≥ 五十、此外，lett∈[0，T]。

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2022-6-1 04:48:31

实值mappingeV|Ohm×[0，t]可以写成vt（ω）=1{t}（t）eVt（ω）+1（t<t）supm∈Ninfs公司∈[t，（t+m）∧t]∩QVs（ω）=1{t}（t）eVt（ω）+1（t<t）supm∈Ninfs公司∈Q、 s≤t型[s]-m、 s]（t）Vs（ω）+∞1[秒-m、 s]c（t）.通常情况下，eVtisFt是可测量的。因此，eV|Ohm×[0，t]isFt B（[0，t]）-可测量，即eV明显是渐进可测量的。步骤1：一个有（6.5）π（Vs）=supτ∈所有s的Tsπ（Lτ）∈ Q∩ 博弈未定权益15和（6.6）πT（Vs）的[0，T]纳什均衡≤ Vt，P-所有t，s的a.s∈ Q、 0个≤ t型≤ s≤ T、实际上，π是时间一致的，严格单调的，连续的，并且由πs（·）的局部性质决定，这些集{πs（Lτ）|τ∈ Ts}是最大稳定的。因此，这些断言遵循线性期望的标准参数中的一对一，参见[]中的引理D.1和命题D.2，其中（D.3）仅在确定性和理性值的停止时间下进行评估。步骤2：让我们证明存在一个集合Ohm∈ F带P[Ohm] = 1使得（6.7）eVt（ω）=lim infs>t，s→TEV（ω），t型∈ [0，T]，ω∈ Ohm.要塞∈ R\\Q，公式（6.7）适用于所有ω∈Ohm. 实际上，对于所有ω∈Ohm andq公司∈ Q、有一个副定义是EVQ（ω）≤ Vq（ω）和thuslim infs>t，s→TEV（ω）≤ lim infs>t，s∈Q、 s→tVs（ω）=eVt（ω）。另一方面，对于每ε>0和m∈ N、存在SSM∈ Rwithsm公司∈（t，t+1/m）和VSM（ω）≤ lim infs>t，s→TEV（ω）+ε。埃弗雷姆斯属于aqm∈ Qwithqm∈（t，t+2/m）和Vqm（ω）≤eVsm（ω）+ε。本屈服强度（ω）≤ lim infs>t，s→TEV（ω）+2ε。我们齐心协力，一早到达。（6.7）对于所有ω∈ Ohm 和t∈ R\\Q.现在让t∈ Q、一个有P-几乎可以肯定，（6.8）supm∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩QVs=πt卸荷点法∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩QVs≤ 卸荷点法∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩Qπt（Vs）≤ Vt，其中，对于第一个不等式，使用单调收敛，第二个不等式由等式保持。(6.6). 在等式（6.8）成立的路径上，EVT=lim infs>t，s→teVsby提出了与非理性点相同的理由。这意味着等式（6.7）。第3步：让我们展示一下evsaties（i）。

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2022-6-1 04:48:34

我们从确定的停止时间开始，即t，s∈ R≤ t型≤ s≤ Tτ≡ stst<S收敛和等式（6.6），任何u∈ [t，s]∩ Qπu（eVs）=πu卸荷点法∈Ninfv公司∈[秒，秒+1/m]∩QVv≤ 卸荷点法∈Ninfv公司∈[秒，秒+1/m]∩Qπu（Vv）≤ Vu，P-a.s。。通过π·（eVt）的右连续性，这导致（6.9）πt（eVs）≤执行副总裁，P-a.s。。πteVτ≤eVttimeτ∈ Tt。我们首先表明，这适用于[t，t]中有很多值的停止时间。设τ是这样一个停止时间，值为{t，…，tN}，t=t<t<…<然后通过translationvariance，这是命题3.1中属性3的一个特例，一个有πtN-1（eVτ）=πtN-1.NXk=1{τ=tk}eVtk= πtN-1.{τ=tN}eVtN+N-1Xk=1{τ=tk}eVtk。因为{τ=tN}={τ>tN-1} ∈ FtN公司-1，局部性质和等式（6.9）给出πtN-1（eVτ）≤ 1{τ=tN}eVtN-1+N-1Xk=1{τ=tk}eVtk=1{τ≥田纳西州-1} eVtN公司-1+N-2Xk=1{τ=tk}eVtk。使用反向感应墨水=N-, N-, . . ., 我们通过时间一致性得出πt（eVτ）≤{τ≥t} eVtπteVτ≤eVtτTtτnn值停车时间τn递减至τ。根据公式（6.7），这意味着EVτ≤ lim信息→∞eVτn。然后，根据πt（·）的单调性和连续性（注意，这在过滤的连续性假设下成立，见命题3.1），我们得到（6.10）πt（eVτ）≤ πtlim信息→∞eVτn≤ lim信息→∞πt（eVτn）≤执行副总裁，P-a.s。。这意味着EV满足（i）。16 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNStep 4：让我们证明（6.11）π（eVt）=supτ∈所有t的Ttπ（Lτ）∈ [0，T]。事实上，根据公式（6.10），它认为EVT≥ πt（eVτ）≥ 所有τ的πt（Lτ）P-a.s∈ tt这意味着“≥”πTu Ttu≥ t、因此π（eVt）≤ lim infu公司∈Q、 u型≥t、 u型→tπ（Vu）≤ supτ∈Ttπ（Lτ）。步骤5：确定τεt：=inf{u∈[t，t]∩ Q | Lu≥eVu- ε}. 然后τεt∈ Tt。根据公式（6.11）和T，T∩ QσnπLσn≥ πeVt-/我们有L≤eV和L≤电动汽车- εon[t，τε）∩ Q、因此，π（Lσn）≤ πeVσn- ε1{σn<τεt}.通过步骤3，保持π（eVσn）≤ π（eVt）。组合：π（eVσn）- πeVσn- ε1{σn<τεt}→0，asn→ ∞.

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2022-6-1 04:48:37

根据命题3.2，如下（6.12）P[σn<τεt]-→ 0，n→ ∞.此外，还有π（eVσn∧τεt）≥ π（Lσn{σn≤τεt}+eVτεt{τεt<σn}）≥ π（πσn∧τεt（Lσn））=π（Lσn）≥ π（eVt）-n、（6.13）其中第二个不等式成立，因为Eevτεt=supm∈Ninfs公司∈[τεt，（τεt+m）∧σn]∩QVson{τεt<σn}，P[Vs≥ {σn上的πs（Lσn）≥ s} ，则，s∈ [0，T]∩ Q] π·Lσnwe havevσn∧τt-→eVτεtin概率asn→ ∞. 加上等式（6.13）和π（·）的连续性，这将得到π（eVτεt）≥ π（eVt）。另一方面，Lτεt≥eVτεt- ε，我们得到π（Lτεt）≥ π（eVt）- ε.让τ？t： =supε>0τεt。Sincel没有负跳跃，Lτ？t型≥ limε→0Lτε和τ？这是Tt的最佳停止策略，即π（Lτ？t）=π（eVt）。一个haseVτ？t型≥ Lτ？第3步，π（eVτ？t）≤ π（eVt）。因此，PeVτ？t=Lτ？t型= 1通过π（·）的严格单调性。SinceLu=eVufor someu∈我们认为，[t，τ？）会导致矛盾τ?t=inf{u∈ R | u≥ t、 Lu=eVu}= 1inf{u∈ R | u≥ t、 τ的LueVu}最优性？tyield thateV与式（3.6）P-a.s.的RHS一致。。步骤6：综合起来，我们已经证明EVI是逐步可测量的，并且满足（3.6）和属性（i）、（ii）。现在，我们继续向右连续性。首先，我们证明了EV（本身）沿停车时间是右连续的P-a.s。Letτ∈ Twithτ<Tand（τn）n∈N Twithτn↓ n的τ↑ ∞. 让我们证明P[eVτn-→eVτ]=1。到（6.7）时，仍需证明Plim支持→∞eVτn≤eVτ= 1.（6.14）对于everym∈ N、我们考虑debutDm：=inf{u>τ| | Lu- Lτ|>/米}∧ T、根据l的右连续性，一个hasDm>τ。通过过滤的连续性，存在鞅7的连续版本→ E（Dm | Ft），然后将宣布序列（Tm，k）k∈N t由Tm驱动，k：=inf{t>τ| E（Dm | Ft）≤ t+1/k}。我们想用它来表示，对于某些σm，p（τ<σm<Dm）=1∈ TQ。（6.15）根据标准的穷举论证，在setB上构造这样一个σ是有效的：={E（Dm | Fτ）>τ+1/k}∈ Fτ，k∈ N、 OnB，一个有τ<Tm，k<Tm，k+1<Tm，k+2<<Dm。

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