从推论3.5可知，wxxi在C中是连续的。此外，对于任何（t，x）∈ C∩ {t<t}我们可以把（3.25）中的极限取为（t，x）→ （t，x）带（t，x）∈ C并使用w（t，x）=wx（t，x）=wt（t，x）=0来获得limc3（t，x）→（t，x）σxwxx（t，x）=σxwxx（t，x）=-e-Rtr（u）duH（t，x）（4.29），证明了我们的索赔。如第5节所述，对于最佳边界的数值评估，重要的是在t→ T这将在下一个命题中进行分析。为了将来使用，我们引入了函数（回忆gasin引理4.6）u（t）：=1+γ（t）g（t），t∈ [0，T]。（4.30）提案4.10。回想一下γ（T）：=limt→Tγ（T）存在，但可能是有限的（假设4.3）。如果u∈ L（0，T）那么b（·）有极限↑Tb（t）=γ（t）。（4.31）证明。让我们首先考虑假设4.3中的情况（i）。这里我们回顾符号xδ=bδ（t），τδ=τ*（t，xδ）用于定理4.8的证明。从（4.8）和（3.12）中的上界，我们得到（回忆一下wx>0）bδ（t）≥ -CxδeEτδ+Eτδwx（t，xδ）≥ -C（1+xδ）eEτδwx（t，xδ），其中在上一个不等式中，我们使用了deeτδ≥ Eτδ，由（4.13）得出。采用（4.15）和让δ→ 0我们发现B（t）≥ -Cc g（t）（1+b（t））≥ -Cg（t）（1+γ（t）），对于a.e.t∈ [0，T），（4.32）其中，我们还使用了b由γ（见（4.2））和C=C/C从上方界定。回顾u（·）并设置^b（T）=b（T）+CRtu（s）ds，映射T→^b（t）正在增加。因此，limt↑T^b（T）存在，并且由于uis可积且在[0，T]上为正，那么limitlimt↑Tb（t）也存在。20 T.DE ANGELIS和G.Stabile注意到b（T）≤ γ（t）适用于所有t∈ [0，T），因此b（T-) ≤ γ（T）。回想一下，由于假设4.3，γ（T）>0。对于（4.31）的证明，我们遵循[3]的方法。通过矛盾论证，我们假设b（T-) < γ（T）。然后我们可以选择a，b，这样b（T-) < a<b<γ（T）和T<T，使得（a，b）×[T，T） C

此处使用v而不是w（见（3.5））并参考（3.28）是很方便的。Let^1∈ C∞（a，b）带Д≥ 0和定义FД（s）：=Rbavt（s，y）Д（y）dy.现在，由L表示*算子L的伴随，我们有lims↑TFД（s）=lims↑TZba[-H（s，y）- Lv（s，y）+r（s）v（s，y）]Д（y）dy=lims↑TZba[-H（s，y）Д（y）+v（s，y）(-L*+ r（s））Д（y）]dy=Zba[-由于v（T，y）=0且y的H（T，y）<0，H（T，y）Д（y）]dy>0∈ （a、b）。从上面我们还推断，FД（·）在T之前是连续的，因此存在δ>0，使得FД（s）>0，对于∈ [T- δ、 T]，且0<ZTT-δFД（s）ds=ZbaД（y）[v（T，y）- v（T- δ、 y）]dy=-ZbaИ（y）v（T- δ、 y）dy<0自v（T）起- δ、 y）>0，y∈ （a、b）。因此产生了矛盾。现在考虑假设4.3的情况（ii）。自b（t）起≥ γ（t）适用于所有t∈ [0，T]，如果γ（T）=+∞. 对于γ（T）<+∞ 相反，我们回顾（4.8）并注意到（3.12）意味着bδ（t）≤ Cbδ（t）eEτδ+Eτδ| wx（t，bδ（t））|！，t型∈ [0，T）。（4.33）如果我们现在回想（4.18）和（4.26），我们会发现δ（T）≤ t的cbδ（t）g（t）∈ [0，T）（4.34）对于合适的c>0。因为u∈ L（0，T）和γ∈ C（（0，T）），则1/g（T）可在[0，T]上积分。适用于（4.34）的Gronwall\'slemma保证bδ（t）≤ bδ（t）eRttcg（s）dsfor t∈ [0，T]带T∈ （0，T）任意选择。定理4.8表明，b在（0，T）的任何紧致子集上有界，因此取极限为δ→ 回顾（4.7），我们发现b确实在[0，T]上有界。这个事实和（4.34）反过来意味着b（t）≤ c/g（t）a.e.对于合适的c>0，仅取决于t。因此，我们可以定义^b（t）：=b（t）- cRt1/g（s）ds和映射t 7→^b（t）不增加，因此^b（t-) := 限制→T^b（T）存在。因为1/g（t）是可积的且在[0，t]上是正的，那么b（t）：=limt→Tb（t）也存在，它是有限的，b（t-) ≥ γ（T）。为了证明（4.31），我们假设b（T-) > γ（T）。

然后，根据与上述案例（i）证明中使用的类似论点，我们得出了所需的矛盾。备注4.11。通常地图s 7→ e-Rt+sr（u）duH（t+s，x）不是单调的。因此，确定年金购买21b（·）的自由边界是否单调变得极为困难（如果可能的话）。关于非单调边界的数值证据，请参见第5.4.1节。自由边界和值函数的特征。在下一个定理中，我们将找到唯一表征自由边界和值函数的非线性积分方程。在这里，我们注意到，由于（3.1）和（3.5），W的所有正则性性质明显转移到（2.7）的V。我们特别注意到V∈ C（[0，T）×R+）和Vxx∈ L∞loc（[0，T）×R+），VxX的唯一不连续性发生在C、 值得注意的是，推论3.5和上文研究的w的剩余性质意味着V实际上几乎在全方位意义上求解（2.8）（更精确地说，在所有点（t，x）/∈ C） 。定理4.12。对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+，值函数（2.7）具有以下表示v（T，x）=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，XxT-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs- H（t+s，Xxs）1{（t+s，Xxs）∈S}ds公司.（4.35）撤回（4.30）并假设u∈ L（0，T）。在假设4.3的情况（i）（分别在情况（ii））中，最优边界b是以下非线性积分方程的唯一连续解，小于（分别大于）γ：∈ [0，T]G（T，b（T））=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，Xb（t）t-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xb（t）s-H（t+s，Xb（t）s）1{（t+s，Xb（t）s）∈S}ds公司,（4.36）带b（T-) = γ（T）（参见（4.31））。证据这里我们只展示如何获得（4.35）。然后在（4.35）中插入x=b（t），并使用V（t，b（t））=G（t，b（t）），我们得到（4.36）。

唯一性证明在现代最优停止文献中是标准的，可以追溯到[14]（更多示例请参见[15]）。然而，我们在附录中为感兴趣的读者提供了完整的论据。允许V（n）n≥0是一个带V（n）的序列∈ C∞（[0，T）×R+），以便（见[8，第7.2节]）V（n），V（n）x，V（n）t→ （V、Vx、Vt）（4.37）为n↑ ∞, 在任意紧集上一致，且Limn→∞（V（n）xx- Vxx）（t，x）=0表示所有（t，x）/∈ C、 （4.38）Let（Km）m≥0be是收敛到[0，T]×R+且定义τm=inf{s>0的紧集的递增序列：（T+s，Xxs）/∈ Km}∧ （T- t） 。然后，It^o演算的一个应用给出了sv（n）（t，x）=Ee-Rτmr（t+u）duV（n）（t+τm，Xxτm）-Zτme-Rsr（t+u）duV（n）t+LV（n）- r（t+s）V（n）（t+s，Xxs）ds.（4.39）我们想让n↑ ∞ 当注意到（t+s，Xs）在s的压缩中时，使用（4.37）和（4.38）≤ τm，其定律对于[0，T]×R+上的lebesgue测度是绝对连续的。后者尤其意味着P（t+s，Xxs）∈ C= 022 T.DE ANGELIS和G.STABILEfor all s∈ [0，T- t） 并允许使用（4.38）。回想一下，V、Vx、vt和vxx是局部有界的。然后，从支配收敛和（4.39）得到v（t，x）=limn→∞V（n）（t，x）=Ee-Rτmr（t+u）duV（t+τm，Xxτm）-Zτ我-Rsr（t+u）du（Vt+LV- r（t+s）V（t+s，Xxs）ds.因此，使用（2.8）（或等效推论3.5）我们还可以发现V（t，x）=Ee-Rτmr（t+u）duV（t+τm，Xxτm）+Zτme-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs{（t+s，Xxs）∈C} ds+Zτme-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs- H（t+s，Xxs）{（t+s，Xxs）∈S} ds公司.最后我们拿m↑ ∞, 使用τm↑ （T- t） V（t，x）=G（t，x），应用优势收敛得到（4.35）。5、数值搜索我们将前几节中获得的结果应用于一些实际感兴趣的情况。为简单起见，在整个部分中，我们取ρ=bρ。

建立死亡率模型的标准选择是所谓的Gompertz-Makeham定律，它对应于u（t）=A+BCt，（5.1），其中A、B和C是实值，并由人口统计数据估计。为了简单起见，这里我们假设A=0.00055845，B=0.000025670，C=1.1011，如[9]所示。时间以年为单位，我们考虑两种不同的情况：（a）：f（t）≡ f>0（见（2.6）），uS（·）=u（·）；（b） ：uO（·）=u（·）和uS（·）=（1+？u）uO（·）和？u∈ (-1, +∞)在第一种情况下，货币价值函数（2.6）是恒定的。如果个人认为自己比人群中的平均健康，那么uS（·）<uO（·），因此f>1。相反，对于对健康持悲观态度的个人，uS（·）>uO（·），因此f<1。需要注意的是，（3.3）中的函数g是单调递增（递减）的，如果f是一个小于（大于）1的常数。第二种情况，使用所谓的比例风险率转换，由Wang在《精算学》中介绍（[20]，另见[13]）。如果u<0（分别为u>0），个人认为自己比平均水平更健康（分别为不健康）。极限情况→ -1，在实践中并不相关，因为它对应的是预期寿命有限的个人。类似地，情况为u→ +∞ 在实践中也是无关紧要的，因为它对应的是一个相信自己即将死亡的人。上述情景（a）和（b）之间的一个重要区别是，在后者中，金钱的价值随时间而变化。特别是，如果u<0（分别u>0），则f（t）>1（分别f（t）<1），对于所有∈ [0，T]。我们注意到，在所有的数值实验中，（3.3）的函数`（·）在[0，T]上是正的，因此（4.2）中γ的符号只取决于K和g的符号。

为了方便读者，我们还回顾了要计算的标准数值算法（4.36）（在定理4.12的假设下）。我们采用等距分区0=t<t<这些图是比利时监管机构Arr^et\'e Vie 2003在年金购买的自由边界上使用的图230-0.010.020 1020 30时间图1。方案（a）。函数g的行为…<田纳西州-1<tn=T，h=ti+1- ti。从b（T）=γ（T）开始，对于i=1，2。nwe solveG（ti，b（ti））=e-R（n-i） hr（ti+u）duEhG（T，Xb（ti）（n-i） h）i+hn-iXk=1Y（ti，b（ti），ti+kh，b（ti+kh）），其中（t，b（t），t+s，b（t+s））：=e-Rsr（t+u）duβ（t+s）EXb（t）s- EhH（t+s，Xb（t）s）1{Xb（t）s≤b（t+s）}i.请注意，上述公式适用于St=[0，b（t）]。处理St=[b（t）+∞)我们必须以明显的方式更改最后一个表达式中的指示符变量。除非另有规定，否则在下文中，我们取T=30、η=50、θ=4.5%、α=3.5%、σ=10%和bρ=ρ=4%（我们取bρ=ρ只是为了简单起见）。方案（a）。在图1中，（3.3）中的函数g是针对常数Tf的不同值计算的。如【9】中所述，可以合理预期f的值接近1。注意，如果f足够高（f=1.2），则g始终保持为负值，即使θ>ρ。我们观察到，g变化缓慢，在大多数情况下，它不会改变符号，如假设4.3所要求。然而，如果f改变了它的符号（最多一次，因为g是单调的），我们仍然可以应用我们的方法，如第6节中更详细的描述。图2显示了检查图1中考虑的两个案例的最佳年金区域和边界，其中g在[0，T]上为负值（f=1.2）或正值（f=0.8）。我们注意到，在前一种情况下，如果K≤ 0那么立即年金对所有人都是最优的（t，x）∈ [0，T]×R+（见备注4.1）。

相反，如果执行认购费K>0，则当基金价值超过边界b（·）（图2左图）时，个人将立即年金。另一方面，在f=0.8的情况下，如果K≥ 0如果从未购买年金（备注4.1）。相反，在固定税收系数K<0的情况下，一旦基金价值低于边界b（·）（图2中的右图），就会购买年金。场景（b）。24 T.DE ANGELIS和G.Stabiletime153060120180时间1530648000图2。方案（a）。f=1.2，K=2（左图）和f=0.8，K=-2（右图）。在图3中，我们查看场景（b），在θ<ρ（左图）和θ>ρ（右图）的情况下，绘制函数g，以获得常数|u的不同值。我们注意到，在零的右邻域中，g具有相同的θ符号- ρ. 对于大多数参数选择，g要么不更改符号，要么只更改一次。但是请注意，更改insign发生在t≈ 22年，因此假设4.3非常合理。1x10-30-1-2-30 10 2030时间1020 30时间x10-3420图3。场景（b）。θ<ρ（左图）和θ>ρ（右图）函数g的行为。最佳年金化区域及其边界如图4所示。值得注意的是，我们在左图中观察到一个非单调的最优边界。在g<0的情况下，b的积分方程的精确数值解需要对区间[0，T]进行细分，这会导致计算时间过长。我们认为这是由于T附近b的陡峭梯度及其缺乏单调性。为了简化我们的分析（仅用于说明目的），我们认为投资者的时间期限比情景（a）中的更短，即T=9年。在年金购买的自由边界上250 3 6time768288940 3 6Time06080100图4。场景（b）。

“u=-0.05，K=2，θ<ρ（左图），对于u=0.05，K=-2，θ>ρ（右图）。039time650607080wealthFigure 5。场景（b）。θ>ρ和K=-2、在图5中，我们还研究了年金化边界对|u>0的敏感性。回想一下，随着“u”的增加，个人认为自己比普通人群越来越不健康。结果，我们观察到边界b（·）向下推进，连续区域扩展。这一点从直觉上很清楚，因为年金对（主观）预期寿命较短的个人来说在财务上吸引力较小。如备注4.4所述，我们的主要技术假设（假设4.3）得到了Gompertz-Makeham死亡率定律数值实验的支持。后者广泛应用于精算行业，因此从建模的角度来看，它是一种自然选择。我们还注意到，假设4.3允许g（T）=0。这个条件主要是数学上的兴趣。事实上，它使我们的结果的扩展能够覆盖g在[0，T]上是单调的并且它只改变一次符号的例子。图1和图3中观察到了后一个示例（尽管符号的变化仅发生在26个T.DE ANGELIS和G.Stabile相当长的时间范围内，例如T>20年）。另一方面，在我们所有的数值实验中，函数`（·）（见（3.3））似乎都是正的。在这里，我们解释了我们的结果如何涵盖g（·）改变其符号一次的情况的扩展。我们将分别考虑K<0和K>0的情况。从现在起，我们假设g是单调的，并且存在t∈ （0，T）使得g（T）=0。我们还认为，`（t）>0表示t∈ [0，T]并从（4.1）和（4.2）中调用R和γ。情况K<0.1。（g（·）减少）。

在此设置中，t的γ（t）>0∈ [0，t）和γ（t）↑ +∞作为t↑ t、 此外，R位于曲线γ的上方，对于t∈ 我们有R=因此S∩ {t≥ t} =[t，t]×R+（见备注4.1）。这意味着这是我们的优化问题（2.7）的有效时间范围，因为在以后任何时间立即停止都是最佳的。从数学角度来看，这意味着我们可以用T代替T来等效研究（2.7）。在有效时间范围内，假设4.3的第（i）部分成立，我们可以重复第3和4.2节中进行的分析。（g（·）增加）。在此设置中，我们有R= 对于t∈ [0，t]，而在区间（t，t）中，我们有γ（·）>0和γ（t）↑ +∞ 作为t↓ tand R位于曲线γ上方。因此，我们可以在我们假设4.3成立的有限时间范围（t，t）上研究问题（2.7）。这将给我们t的St=[0，b（t）]∈ （t，t）和前面部分的所有结果都成立。此外，我们可以证明St=[0，b（t）]也适用于t∈ [0，t]（含b（t）可能的定义）。为此，我们回忆起w（t，·）对于每个t是凸的∈ [0，T]（命题3.4）和w（T，0+）=0（见引理4.7）。后两个属性意味着St=[0，b（t）]fort∈ [0，t]如权利要求和wx（t，·）≥ 0表示所有t∈ [0，t]。总之，对于所有t，St=[0，b（t）]∈ [0，T]第4节中的大多数分析都会转到该设置。然而，应该注意的是，定理4.8中使用的方法只允许在[t，t]中建立b的Lipschitz连续性。对[0，t]中边界的完整研究需要新的方法，我们将其留给未来的工作。情况K>0.1。（g（·）减少）。此处R∩{t≤ t} =[0，t]×R+，因此C∩{t≤ t} =[0，t]×R+，无论基金价值的动态如何，最好将年金购买至少推迟到t。在（t，t）上，我们发现γ（·）>0与γ（t）↑ +∞作为t↓ tand R位于曲线γ下方。

从数学角度来看，这意味着我们只需要在有限的时间范围（t，t）上研究问题（2.7），假设4.3成立。（g（·）增加）。此处R∩{t≥ t} =[t，t]×R+，因此C∩{t≥ t} =[t，t]×R+，对于t≥ 无论基金价值的动态如何，tit都是将年金购买推迟到到期日T的最佳选择。相反，在[0，t]上，我们发现γ（·）>0与γ（t）↑ +∞作为t↑ tand R位于曲线γ下方。这个案例更具挑战性，我们无法用迄今为止开发的方法来涵盖它。我们将其留作将来的研究，但我们希望通过观察来突出一个关键问题。关于年金购买的自由边界∈ （3.24）中的鞅性质允许我们将问题（3.4）重写为如下v（t，x）=sup0≤τ≤t型-tE公司Zτe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）ds（6.1）+e-Rt公司-tr（t+u）duv（t，Xxt-t） 1{τ=t-t},式中，可明确计算v（t，x）。事实上，从（3.3）我们得到v（t，x）=EZT公司-te公司-Rsr（t+u）duK`（t+s）+g（t+s）Xxsds公司=ZT公司-te公司-Rsr（t+u）duK`（t+s）+x g（t+s）e（θ）-α） sds。因此，很明显，v（t，x）=c+cx，c和c正常数取决于t。由于R的几何结构，我们预计停止区域位于t的曲线γ的上方∈ 然而，如果我们现在在命题3.4中计算vxas，则得出Vx（t，x）=eEZτ*e-Rsr（t+u）挖（t+s）e（θ-α） sds+e-Rτ*r（t+u）du+（θ-α） （t-t） c{τ*=t型-t}.由于[0，t]上的g（·）<0，而c>0，因此vx在[0，t）×R+上的负值不再明显。这将是一个有效的条件，可以保证所有t∈ 注意到H（t，x）和v（t，x）在x中是线性的，v（t，x）/xas x的渐近行为→ ∞ v（t，·）的凸性（见命题3.4）表明，对于固定的t∈ [0，t），我们应该让St=[b（t），b（t）]，其中b（t）可能是有限的。

然而，这就留下了一些关于S的实际形状及其边界规则性的问题。对这些问题的完整回答需要使用不同的方法，我们将其留给未来的工作。6.1. 关于最优边界正则性的一点注记。这项工作的主要数学挑战之一是最优性边界缺乏单调性，我们通过证明边界是indeedlocally-Lipschitz来克服这一问题。虽然我们的方法仅依赖于随机微积分，但在（4.8）中着眼于隐函数定理并提供bδ的界限的想法，有些来自偏微分方程（我们参考文献[5]，以获得对该主题更广泛的评论）。特别是，我们受到了[17]的启发，其中研究了与最优停止问题相关的变分不等式（见其中的等式（1.3））。有趣的是，我们的假设比[17，pp.376-377]中的假设要弱得多，因此在这个意义上，我们的概率方法扩展了[17]中使用纯分析工具获得的结果。如果我们使用问题公式（3.5），可以更好地理解与符号平行的情况，尽管使用（2.7）显然是等效的。首先，文[17]中研究的问题是带漂移的布朗运动，最优停止问题中的增益函数和运行成本都要求是多项式增长的。在我们的例子中（Xt）t立即违反了这一点≥0是带漂移的布朗运动的指数，而（3.5）中的函数H在X中是线性的。更重要的是，对于证明自由力的Lipschitz正则性来说，与我们的工作有非常小的差异的关键在于【17】研究了最小化问题。28 T.DE ANGELIS和G.StabileBundary在【17】中指出，运行成本梯度上的某些特定下限应保持不变。

根据【17】，在我们的假设4.3中，我们还需要-Rtr（u）du | g（t）|≥ ch1+e-Rtr（u）du | Ht（t，x）- r（t）H（t，x）| ifor all（t，x）∈ [0，T]×R+，对于某些c>0。由于上述表达式的左侧与x无关，很明显，边界不能成立。附录容许停车时间。在这里，我们使用[1]中的一个论点来证实weincur在优化Tt时没有失去一般性，而不是使用（Gt）t的停止时间≥0其中Gt=英尺∨ σ（{D>s}，0≤ s≤ t） 。关键是对于任何（Gt）t≥0-停止时间τ存在（Ft）t≥0-停止时间τ，使得τ∧ ΓD=τ∧ ΓD，P×QS-a.s.（见[16，Ch.VI.3，P.370]）。然后，让T0，Tbe为（Gt）t的集合≥[0，T]中的0-停止时间，我们有supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D=τ∧ΓD}e-ρΓDXΓD+Pη+τ∧ΓDZΓDτ∧ΓDe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D=τ∧ΓD}e-ρΓDXΓD+Pη+τ∧ΓDZΓDτ∧ΓDe-ρsds= supτ∈T0，TESZΓD∧τe-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds,在第一个等式中，我们使用了{D≤ τ} ={ΓD=τ∧ ΓD}和thatPη+τZΓDτ∧ΓDe-ρsds=1{τ≤ΓD}Pη+τZΓDτ∧ΓDe-ρsds。对于Tt中的停止时间，可以重复相同的参数，Tupon取expectationconditioned to Ft∩ {ΓD>t}。引理3.6的证明。w（t，·）的单调性紧随（3.11）之后。我们现在证明（iii）。为此，我们需要一个初步结果，并引入γ（t）：=inf{x∈ R+：H（t，x）<-δ} 对于固定δ>0。因为t的g（t）<0∈ （0，T）很容易验证γ（T）=-（δ+K`（t））/g（t）（6.2）和H（t，x）<-x的δ∈ （γ（t）+∞).我们定义了停止时间τ=τ（t，x）：=inf{s≥ 0:Xxs≤ γ（t+s）}∧ （T- t） （6.3）在年金购买的自由边界29上，注意τ（t，x）→ T- 概率为x的t→ ∞.

事实上，对于任何ε>0的情况，都存在γε∈ (0, +∞) 使得γ（t+s）≤ γε适用于所有s≤ T- t型- ε、 因此（T- t型- τ≥ ε） =P（τ≤ T- t型- ε) ≤ Pinf0≤s≤T-t型-εXxs≤ γε(6.4)≤ Pinf0≤s≤T-t型-εXs≤γεx很明显，最后一项为0，为x→ ∞.现在请注意，如果存在*< T使得*, T）×R+ C、 那么对于所有s≥ t型*一个hasw（s，γ（s））=EZT公司-东南方-Rs+ur（v）dvH（s+u，γ（s）Xu）du（6.5）=γ（s）ZT-东南方-Rs+ur（v）dvg（s+u）e（θ-α） udu+KZT-东南方-Rs+ur（v）dv`（s+u）du。注意γ（s）ZT-sg（t+u）du=-（δ+K`（s））g（s）g（s+ξs）（T- s） （6.6）对于某些ξs∈ [0，T- s] ，我们立即得出结论：*, T）×R+ C类==> lims公司→Tw（s，γ（s））=0，（6.7），自`∈ C（[0，T]）。我们现在分两步进行。第1步。这里我们证明了S∩ （[t，t）×R+）6= 对于所有t<t。假设相反，即存在t*< T使得*, T）×R+ C、 因此对于任何t∈ [t*, T）给定并固定了τ*（t，x）=t- 所有x的t P-a.s∈ R+。特别地，我们取x>γ（t）。为了获得值函数的上界，我们使用（3.24）和（6.3）的鞅性质得到0≤ w（t，x）=EZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds+w（t+τ，Xxτ）≤ E{τ≤T-t型-ε} w（t+τ，Xxτ）+ E{T-t型-ε<τ<T-t} w（t+τ，Xxτ）(6.8)- δ（T- t型- ε） c P（τ>T- t型- ε） 其中，c>0是贴现系数的统一下界。因为{τ<t上的Xxτ=γ（t+τ）- t} γ（·）在[t，t]上有界且连续- ε] ，然后，使用该w∈ C（[0，T]×R+），我们可以找到Cε∈ [0, +∞), 独立于x等≤s≤T-t型-εw（t+s，γ（t+s））≤ cε。（6.9）另一方面（6.7）意味着dε：=sup0≤s≤εw（T- s、 γ（T- s） ）<+∞（6.10）以便（6.8）给出0≤ w（t，x）≤ cεP（τ≤ T- t型- ε） +P（τ>T- t型- ε） （dε- δ（T- t型- ε） c）。30 T.DE ANGELIS和G。

稳定取极限为x→ ∞ 回顾τ（t，x）→ T- 概率t（见（6.4））weget0≤ w（t，x）≤ dε- δ（T- t型- ε） c.最后，让ε→ 0，使用（6.7）我们得到dε→ 0和0≤ w（t，x）≤ -δ（T- t型- ε） c，因此存在矛盾。这意味着S∩ （[t，t）×R+）6= 对于所有t<t。第2步。这里我们证明了S∩ （（t，t）×R+）6= 对于所有t<tin[0，t]。让我们用矛盾来论证，并假设∩ （（t，t）×R+）= 对于给定的对联<tin[0，T]。在不损失一般性的情况下，我们可以设置t：=sup{t>t:S∩ （（t，t）×R+）=}我们从上面的步骤1知道t<t。这个想法是为了证明t=t，因此是矛盾的。修复t∈ [t，t）存在x∈ R+带（t，x）∈ S、 自wx起≤ 0然后{t}×[x+∞) ∈ S和we定义τ：=inf{S≥ 0:Xxs≤ x} 。（6.11）如（6.8）所示，我们使用（3.24）到停止时间ζ的鞅性质：=τ*∧ τ∧ （t- t） ，其中τ*= τ*（t，x）和τ=τ（t，x）。特别是，注意P（τ*≥ t型- t） =1，因此P（ζ≥ τ∧ （t- t） ）=1，我们得到0≤ w（t，x）≤ - δ（t- t） c P（τ>t- t） +Ew（t+τ，γ（t+τ））1{τ<τ*∧（t-t） }（6.12）+Ew（t，Xxt-t） 1{t-t<τ*∧τ}.关于事件{τ<τ*∧ （t- t） }我们有γ（t+τ）≤ 支持≤s≤tγ（s）≤ γ表示约0≤ γ< ∞ 这只取决于tand t。因此w（t+τ，Xxτ）≤ 对于一些C>0，也只依赖于tand t，而且{t- t<τ*∧ τ} ={t- t<τ*∧ τ} ∩ {τ≤ t型- t} 否则，该过程将穿过垂直半线{t}×[x+∞) ∈ S、 因为事件{t上的相同原因- t<τ*∧ τ} 一个有XXT-t型≤ x表示w（t，Xxt-t）≤ 对于某些C>0，仅取决于ont，tand x.收集（6.12）0中的这些事实≤ w（t，x）≤ C P（τ≤ t型- t） +CP（τ≤ t型- t）- δ（t- t） c P（τ>t- t） 。（6.13）我们将极限值取为x→ ∞.

从与（6.4）相同的参数中，我们得到P（τ≤ t型-t）→ 0，P（τ>t- t）→ 1和类似的p（τ≤ t型- t） =Pinf0≤s≤t型-tXxs型≤ x个= Pinf0≤s≤t型-tXs公司≤xx号→ 因此（6.13）导致矛盾，必须是t=t。上述步骤1和2给出（iii）。最后我们可以证明（3.29）。由于w（t，x）=0，x，t=t的极限很明显∈ R+。对于所有的t∈ [0，T]这样S∩（{t}×R+）6=. 因此，仍然需要证明t∈ [0，T]这样S∩ （{t}×R+）=.在年金购买的自由边界上31拿一个这样的t∈ [0，T]和fix T>T，因此存在x∈ R+带（t，x）∈ S（由于（iii）必须存在）。回想一下（6.11）中的τ，然后重复鞅参数和上面的估计，我们得到0≤ w（t，x）≤ Ew（t+τ，γ（t+τ））1{τ<τ*∧（t-t） }+ Ew（t，Xxt-t） 1{t-t<τ*∧τ}≤ C P（τ≤ t型- t） +CP（τ≤ t型- t） 。将极限值设为x→ ∞ （3.29）很容易验证。定理4.12中唯一性的证明。我们只在S={（t，x）：x的情况下给出证明≤ b（t）}与另一种情况一样，具有相同的参数。同样，这里我们假设γ（T）<+∞ 为简单起见，请注意，下面的参数可以很容易地适用于γ（T）=+∞.假设存在一个连续函数c：[0，T]→ R+与c（T）=γ（T），与c（T）≤ γ（t）适用于所有t∈ [0，T]并使c solvesG（T，c（T））=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，Xc（t）t-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xc（t）s-H（t+s，Xc（t）s）1{Xc（t）s≤c（t+s）}ds公司.（6.14）然后我们定义一个函数uc（t，x）=Ee-RT公司-tr（t+u）挖掘（t，XxT-t） +ZT-te公司-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司（6.15）并注意，这是（4.35）中值函数V的c模拟。

注意：Uc（T，x）=G（T，x）表示x≥ 由于强马尔可夫性，不难证明过程（总线）是∈[0，T-t] 是鞅，其中Bus：=e-Rsr（t+u）duUc（t+s，Xxs）+Zse-Rur（t+v）dvβ（t+u）Xxu-H（t+u，Xxu）1{Xxu≤c（t+u）}杜。（6.16）那么同样的论点也意味着（bVs）s∈[0，T-t] 也是鞅，其中bvs：=e-Rsr（t+u）duV（t+s，Xxs）+Zse-Rur（t+v）dvβ（t+u）Xxu-H（t+u，Xxu）1{Xxu≤b（t+u）}杜。（6.17）现在我们按照文献中的惯例分四步进行（见【14】和【15】）。第1步。首先，我们证明对于所有x，Uc（t，x）=G（t，x）≤ c（t），t∈ [0，T]。（t，x）的语句很简单∈ {T} x R+或x=c（T），因为它后面是c（·）和uc的定义。现在让我们取t<t和x<c（t），定义σc：=inf{s≥ 0:Xxs≥ c（t+s）}∧（T-t） 利用bu的鞅性质得到uc（t，x）=Ee-Rσcr（t+u）duUc（t+σc，Xxσc）+Zσce-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds.（6.18）32 T.DE ANGELIS和G.Stabile使用Uc（T+σc，Xxσc）=G（T+σc，Xxσc），P-a.s.，因为c解（6.14），Uc（T，x）=G（T，x），我们得到Uc（T，x）=Ee-Rσcr（t+u）挖（t+σc，Xxσc）+Zσce-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds= G（t，x），（6.19），其中最终等式也使用β（t）x- H（t，x）=-（Gt+LG- r（·）G）（t，x）和Dynkin公式。第2步。现在我们显示V（t，x）≥ Uc（t，x）。对于x来说，这种说法微不足道≤ c（t），t∈ [0，T）由于步骤1。类似地，对于x，Uc（T，x）=V（T，x）=G（T，x∈ R+。然后，text<T，取x>c（T），并表示τc：=inf{s≥ 0:Xxs≤ c（t+s）}∧ （T- t） 。利用Bu和（6.14）的鞅性质，我们得到了Uc（t，x）=Ee-Rτcr（t+u）duUc（t+τc，Xxτc）+Zτce-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds=Ee-Rτcr（t+u）挖掘（t+τc，Xxτc）+Zτce-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds≤ V（t，x）。（6.20）步骤3。这里我们证明了c（t）≥ b（t），t∈ [0，T]。

假设有t∈ [0，T）这样c（T）<b（T），取x≤ c（t）表示σb：=inf{s≥ 0:Xxs≥ b（t+s）}∧ （T- t） 。现在利用bv和bv的鞅性质，我们得到v（t，x）=Ee-Rσbr（t+u）duV（t+σb，Xxσb）+Zσbe-Rsr（t+u）du（β（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs））ds（6.21）Uc（t，x）=Ee-Rσbr（t+u）duUc（t+σb，Xxσb）+Zσbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司.（6.22）注意Uc（t，x）=V（t，x），因为x≤ c（t）<b（t），回想一下V（t+σb，Xxσb）≥Uc（t+σb，Xxσb）。然后，从（6.21）中减去（6.22），我们得到0≤EZσbe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）1{Xxs>c（t+s）}ds.（6.23）由于H（t+s，Xxs）<0表示s≤ σb（回想一下，H<0低于γ（·）），并且由于P（Xxs>c（t+s），σb>s>0对于任何非常小的s（由于b和c的连续性），则（6.23）中的质量是矛盾的，因此它不可能是c（t）<b（t）。第4步。在这最后一步中，我们展示了c（t）≤ b（t）代表t∈ [0，T]，因此，从步骤3中，我们得出T的c（T）=b（T）的结论∈ [0，T]。假设有t∈ [0，T），使得c（T）>b（T），取x∈ （b（t），c（t））。然后让τb=inf{s≥ 0:Xx≤ b（t+s）}∧ （T- t） 在年金购买33的自由边界上，再次使用bothbU和bv的鞅性质，我们得到v（t，x）=Ee-Rτbr（t+u）duV（t+τb，Xxτb）+Zτbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds（6.24）Uc（t，x）=Ee-Rτbr（t+u）duUc（t+τb，Xxτb）+Zτbe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxs-H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds公司.（6.25）由于步骤3和步骤1，我们注意到V（t+τb，Xxτb）=Uc（t+τb，Xxτb）=G（t+τb，Xxτb）。我们还记得V（t，x）≥ 步骤2导致的Uc（t，x）。然后从（6.24）中减去（6.25）给定0≤ EZτbe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}ds.（6.26）自c（·）≤ γ（·）和c（t）<γ（t），然后H（t+s，Xxs）1{Xxs≤c（t+s）}≤ 0，对所有s都是严格负的∈ [0，τb）非常小。此外，c（·）和b（·）的连续性意味着P（Xxs≤ c（t+s），τb>s）>0，所有s>0的值都非常小。

因此（6.26）给出了一个冲突，它必须是c（t）≤ b（t）。致谢：这项工作得到了萨皮恩扎罗马大学的资助，研究项目“Polizze‘递延收入年金’per la previdenza complementare:un modello stocastico di valutazione”，批准号：RP11615500B7B502。T、 DeAngelis还得到了EPSRC赠款EP/R021201/1“研究随机最优控制中自由边界规律的概率工具包”的部分支持。最后，我们要感谢三位匿名评论员，他们的宝贵评论提高了我们论文的质量。参考文献【1】Chakrabarty，A.，Guo，X.（2012）。具有不同信息水平和时间不确定性的最佳停车时间。《随机分析和金融应用：纪念严家安的论文》，第19-38页。[2] E.Chevalier（2006年）。养老金计划到期前的最佳提前退休。FinanceStoch公司。10（2），第204-221页。[3] T.De Angelis（2015年）。关于一维差分有限水平最优停止问题中自由边界连续性的注记，SIAM J.Control Optim。，53（1），第167-184页。[4] T.De Angelis和E.Ekstrom（2017年）。无限期股息问题，Ann。应用程序。概率。27（6），第3525-3546页。[5] T.De Angelis和G.Stabile（2017年）。关于Lipschitz连续最优停止边界，arXiv:1701.07491。[6] A.Friedman和W.Shen（2002）。基于工资的退休福利财务估值的变分不等式方法。金融斯托克。6（3），第273-302页。[7] R.Gerrard、B.Hojgaard和E.Vigna（2012年）。选择退休后的最佳年金时间Quant。《金融》，12（7），第1143-1159页。[8] D.Gilbarg和N.S.Trudinger，《二阶椭圆型偏微分方程》，柏林斯普林格出版社（2001）。[9] D.Hainaut和G.Deelstra（2014年）。

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Stabile:Dipartmento di Metodi e Modelli per l\'Economia，il Territorio e la Finanza，Sapienza Universit\'a di Roma，Roma，Italy电子邮件地址：gabriele。stabile@uniroma1.it