关于年金购买的自由边界

2022-6-1 04:49:35

关于年金购买的自由边界，ANGELIS和GabrieleStabileAbstract。众所周知，购买年金的决定可能与最优停止问题有关。然而，如果死亡率是时间的一般函数，并且投资者的主观预期寿命与保险公司采用的客观预期寿命不同，则对最优策略知之甚少。在本文中，我们将考虑投资基金的个人，并有权随时将基金价值转换为年金来解决这个问题。我们将问题描述为实物期权，并对最优停止边界进行了详细的概率研究。由于重力的一般时间依赖性，我们的最优停止问题需要新的解决方法来处理非单调最优边界。1、简介在一个老龄化的世界里，对退休财富的准确管理对财务状况至关重要。对于有工作的个人来说，除了国家养老金之外，仔细考虑为退休而设计的金融和保险产品的现有效用是很重要的。例如，这包括职业养老基金和税收优惠退休账户（如个人退休账户（美国））。这些产品中的大多数依靠年金将退休财富转化为有保障的终身退休收入。终身年金提供终身保障收入流，以换取（单一或定期）保费。购买年金有助于个人管理长期风险，即超过其金融财富寿命的风险，但这通常是一种不可逆转的交易。

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2022-6-1 04:49:38

事实上，大多数年金合同都会对投保人的部分或全部取消施加严厉的惩罚，尤其是在合同的早期。购买年金的时机（所谓的年金化）是一项复杂的财务决策，取决于多种风险因素，如市场风险、寿命风险、未来对流动资金的潜在需求和遗赠动机。自Yaari（19）的开创性贡献以来，这一主题的研究激发了一个完整的研究领域。Yaari表明，没有遗赠动机的个人应该将其所有退休财富转换为年金。在Yaari之后，几位作者分析了所谓“全有或全无”制度安排下的年金化决策，即终身年金是在单一交易中购买的（与渐进年金相反）。最初，个人的养老金投资于金融市场，在购买年金时，则转换为终身年金。本文的中心思想是在金融市场投资时，将即时年金的价值与延期年金的价值进行比较。因此，一个严格的类比适用于行使美式期权的问题，年金化决策可以被视为行使实物期权。米列夫斯基（Milevsky）[12]提出了一个模型，其中，只要金融投资的回报保证消费流至少在2018年7月13日（2010年7月13日）进行数学科目分类，个人就可以推迟年金化。91G80、62P05、60G40、35R35。关键词和短语。年金，死亡率，最优停止，自由边界问题。2 T.DE ANGELIS和G.Stabile等于年金支付提供的金额。

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2022-6-1 04:49:41

特别是[12]采用了基于控制消费短缺概率的标准。其他论文研究了效用最大化背景下的最优年金化时间，并将其表述为最优停止和控制问题。投资者致力于最大化消费（退休前）和年金支付（退休后）的预期效用。假设死亡率和CRRA效用不变，Stabile[18]分析解决了时间齐次最优停止问题。他证明，如果个人在年金化前后具有相同程度的风险厌恶，那么年金要么立即购买，要么从不购买（即所谓的“现在或永远”政策）。相反，如果个人在年金支付阶段更厌恶风险，那么一旦财富低于固定阈值（最佳停止边界），就会购买年金。Gerrard等人[7]和Liang等人[11]也假设了恒定的死亡率。[7]中的模型类似于[18]中研究的模型，但具有二次效用函数，作者发现了一个封闭形式的解决方案：if（Xt）t≥0表示个体的死亡过程，那么当X离开特定的时间间隔时，最好停止（因此，最佳停止边界由该时间间隔的端点形成）。在文献[11]中，与之前的论文不同，作者假设个人在年金化后可以继续投资和消费。利用鞅方法，给出了CRRA效用函数的显式解。

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2022-6-1 04:49:44

与文献[7]相反，在文献[11]中，当财富过程进入一个特定的区间时，就会发生最优年金化，该区间的端点构成了最优停止边界。Milevsky和Young[13]假设死亡的时间依赖性，分析了全有或全无市场和更普遍的任何时候都有的市场，在这些市场中，允许采用渐进化策略。对于全有或全无的市场，他们发现最佳年金化时间作为CRRA效用的一部分是确定的。因此，退休决定独立于个人财富。我们的工作与Hainaut和Deelstra的工作关系更为密切[9]。他们考虑的是将退休财富投资于金融基金的个人，该基金最终必须转换为年金。该基金以跳跃式扩散过程为模型，以固定利率支付股息。死亡率是一个依赖时间的决定函数，个人的目标是使年金化前后未来现金流的市场价值最大化。根据保险惯例，假设个人只能在给定的最大年龄之前购买年金。[9]中的作者将问题转化为一个最优停止问题，并为值函数写出一个变分不等式。然后，他们使用维纳-霍普夫分解和时间步进法数值求解变分问题。Hainaut和Deelstra认为，购买年金的决定应该由时间-财富平面上的上限或下限、时间依赖性阈值触发。这里和后面的t是与时间相关的状态变量，x是与财富相关的变量，因此时间财富平面被简单地称为（t，x）-平面。[9]中讨论的阈值是其设置中的最佳停止边界，我们用映射7表示它→ b（t）。

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2022-6-1 04:49:47

【9】中提供了当金融基金的价值足够高或足够低时发生年金化的数字示例。在本文中，我们对与年金化决策相关的最优停止问题进行了详细的数学研究，类似于[9]中所考虑的问题。为了对最优停止边界进行严格分析，我们通过考虑无跳跃的几何布朗运动简化了金融基金的动力学。如[9]所述，我们研究了加入年金购买基金的自由边界并有机会在时间范围内购买年金的个人未来预期现金流的最大化[0，T]。时间0是个人加入基金的时间，时间T是个人达到购买年金最大年龄的时间。在最佳情况下评估的未来预期现金流现值为我们提供了所谓的价值函数V。请注意，仔细检查下面（2.4）中的问题公式，可以发现在T时，基金被转换为年金（与[9]中的情况相同）。这意味着个人最终将在时间T购买年金，但她也有提前购买的选择。可以将此功能视为基金合同规范的一部分，或者视为投资者在时间0时的承诺。然而，重要的是要注意，本文中开发的方法也适用于T=+∞, 不超过一些小改动（更多详情，另请参见备注3.3）。这里介绍的模型的一个关键特征是使用了一种相当普遍的时间依赖性、确定性死亡率。这是精算师行业常见的现实假设。

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2022-6-1 04:49:50

正如【13】中所述，我们考虑了两种不同的死亡率因素：一种是主观因素，由个人用来衡量未来现金流（表示为uS），另一种是客观因素，由保险公司用来为年金定价（表示为uO）。这两种不同死亡率之间的相互作用有助于最佳年金化决策的一些关键定性方面（更多详情请参见第5节）。有趣的是，死亡率的一般时间依赖性结构也是该问题数学研究中的主要技术挑战。一方面，标准最优停止结果确保时间财富计划分为连续区域C和停止区域S，其中等待选项具有严格的正值，停止区域S应立即购买年金。按（Xt）t表示≥0代表基金价值（或同等个人疲劳财富）的过程，通过在第一时间停止二维过程（t，Xt）t给出最佳停止规则≥0进入集合S。此外，在一些mildtechnical假设下，这两个集合被一个最佳边界（PDE语言中的自由边界）分割，该边界仅取决于时间，即t 7→ b（t）。另一方面，当试图推断边界b的性质时，会出现技术困难。事实上，由于死亡力的一般时间依赖性，不可能建立映射t 7的任何单调性→ b（t）。在最优停止和自由边界理论中，众所周知，b的单调性是严格研究边界正则性（如连续性）和值函数正则性（如连续可微性）的关键。

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2022-6-1 04:49:53

感兴趣的读者可以参考[15]中的示例集和[5]中的介绍，以进行更深入的讨论。通过证明最优边界实际上是时间的局部Lipschitz连续函数，我们克服了这一主要技术障碍。为了实现这一目标，我们只依赖概率方法，这些方法是专门为解决问题而设计的新方法。这种方法借鉴了文献[5]中的类似观点，但我们强调，我们的问题不属于该论文中讨论的问题类别（参见下面定理4.8之前的讨论）。一旦证明了Lipschitz正则性，我们还可以得到值函数V在t和x上，在（t，x）-平面的所有点上，尤其是在C的边界上是连续可微的。这是一个比更常见的光滑条件更强的结果，该条件表示z 7→ Vx（t，z）在最佳边界上是连续的。最后，我们找到了唯一表征自由边界和值函数的非线性积分方程。本文的分析是通过数值求解一些具体例子的积分方程并研究它们对模型参数变化的敏感性来完成的。值得注意的是，在我们的一些例子中，在对参数进行自然假设的情况下，最优边界结果是非4 T.DE ANGELIS和G.StabileMonomonic。这一事实表明，本文提出的新方法对于研究年金化问题确实是必要的。总之，我们的贡献至少有两方面。一方面，我们在全有或全无的框架下，通过处理具有时间依赖性死亡率的模型，增加了有关年金化问题的文献。

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2022-6-1 04:49:56

如上所述，据我们所知，此类模型仅在[13]（产生确定性最优策略）和[9]（主要以数值方式）中考虑。我们根据最优边界b对最优年金化策略进行了严格的理论分析。我们的研究还揭示了[9]没有捕捉到的行为，例如b的lackof单调性。后者可能反映了由于死亡率的（确定性）变化，投资者优先权随时间的变化。另一方面，值得注意的是，我们从考虑一个应用问题开始，用一个什么样的、非常规的、看似无害的公式，但我们很快意识到，它的严格分析远非微不足道。因此，我们开发了概率论文献中关于最优停止和独立兴趣的新方法。最后，为了将我们的工作与该领域的偏微分方程文献联系起来，可能值得注意的是，[6]（以及后来的[2]）研究了一个由最优退休激励的自由边界问题。在该文件中，投资者可以决定在给定的期限T之前退休。提前退休福利由时间和当前工资的函数ψ（t，s）确定。该问题仅用变分不等式解决，自由边界自t 7起取决于时间→ ψ（t，s）线性增加。然而，与我们的模型相反，在[6]和[2]中，死亡率假设为常数。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了财务和精算假设，然后介绍了最优年金问题。在第3节中，我们给出了值函数的一些连续性性质及其梯度上有用的概率界。

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2022-6-1 04:49:59

在第4节中，我们说明了建立连续区域和停止区域形状的充分条件，并研究了最优边界的正则性。此外，我们还发现了具有唯一自由边界和值函数特征的非线性积分方程。在第5节中，我们给出了一些数值例子来说明我们假设的适用范围。第6节，我们提供了一些最终备注和扩展。2、问题公式在我们的模型中，我们考虑个人（或投资者）和保险公司面临两个随机性来源：金融市场和个人的生存概率。我们假设这两个来源是独立的，我们也假设个人和保险公司对人口风险有不同的信念，而他们对金融市场的看法相同。因此，可以方便地初步构建两个概率空间：一个用于模拟金融市场，另一个用于模拟人口组成部分。问题的时间范围是固定的，用T<+∞.2.1. 金融和人口模型。

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2022-6-1 04:50:04

对于金融市场，我们考虑一个完全概率空间(Ohm, F、 P）携带一维布朗运动（Bt）t≥0.B产生的过滤用（Ft）t表示≥0，并用P-null集扩充。在年金化之前，个人财富中用于购买年金并投资于金融基金的部分由随机过程（Xt）t建模≥0、在下文中，我们不区分基金动态和财富动态。关于年金购买的自由边界5，其动态读数xxt=（θ- α） Xxtdt+σXxtdBt，Xx=x>0，（2.1），其中θ是金融投资的平均连续收益，α是恒定的分割率，σ>0是波动系数。对于人口统计学风险，我们考虑另一个概率空间：给定一个可测量空间(Ohm, F）我们让qs和qo表示(Ohm, F）假设(Ohm, F、 Qi），i=S，O都是完整的。量度qs与个体的主观生存概率相关。相反，Qo指的是保险公司为年金定价和公开信息时使用的客观生存概率。在我们的问题中，个人在时间零点时的年龄η>0，该值在本文中给出并固定。我们定义了一个随机变量ΓD：(Ohm, F）→ （R+，B（R+）表示个人死亡时间，对于i=S，我们定义危险函数spiη+t：=Qi（ηD>η+t+S | D>η+t）和S，t≥ 0、这些代表了在η+t年龄存活的个体存活到η+t+s年龄的主观/客观概率（我们遵循πη+t的标准精算符号）。设uS：[0+∞) → [0, +∞) 和uO：[0+∞) → [0, +∞)是确定性函数，分别代表主观和客观死亡率。

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2022-6-1 04:50:07

那么，对于i=S，O我们有spiη+t=exp-Zsui（η+t+u）du, 对于t，s≥ 0.（2.2）保险人和个人采用的不同生存概率函数解释了保险人可获得的关于个人风险档案的不完善信息。最后，我们说MS：=(Ohm × Ohm, F F、 P×QS）是个体的概率空间，为了完整性，MO：=(Ohm×Ohm, FF、 P×QO）是保险公司的概率空间。备注2.1。函数u和uOAR在一开始就给出了，在优化过程中没有更新。以非平凡的方式进行更新需要对死亡率使用随机动力学，这通常会导致更复杂的问题。2.2. 优化问题。保险公司使用其基于客观生存概率的概率模型为年金定价。特别是，根据标准精算理论，以每年一个货币单位的利率（由年龄为η+t的个人购买）连续支付的终身年金在t>0时的价值由aoη+t=Z给出∞e-bρuupOη+tdu。这里bρ>0是保险人保证的恒定利率。在我们的模型中，基金在时间T自动转换为年金，但个人可以选择在时间T之前进行年金化。如果她决定一次性年金∈ [0，T]，当基金价值等于X时，年金支付率为常数，读数为（2.3）Pη+T=X- KaOη+t，其中常数K是固定收购费（K>0）或税收激励（K<0）。如下文备注3.2所述，K=0的情况会导致琐碎的解决方案。来自6 T.DE ANGELIS和G。

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2022-6-1 04:50:10

稳定建模视角T<+∞ 反映了一个事实，即保险公司通常有购买年金的最高年龄限制（这在[9]中也有所提及）。个人追求的优化标准是，通过MS模型下年金购买的最佳时机，使未来预期现金流的现值最大化。如果个人在时间t时还活着，则让ES[·]为测量值P×QS下的预期，优化问题为Svt=ess supτ∈Tt，TESZΓD∧τte-ρsαXsds+1{D≤τ} e类-ρΓDXΓD（2.4）+Pη+τZΓDΓD∧τe-ρsds英尺∩ {ΓD>t}其中Tt，是（Fs）的集合≥0-停止时间取其值在[t，t]，ρ>0是贴现率。在年金化之前，即对于s<τ，个人从基金中以α的比率获得分红。年金化后，即s>τ，她以固定年利率Pη+τ获得连续年金支付。如果个人在购买年金之前死亡，即在事件{D≤ 她留下的遗产相当于她的财富。备注2.2。由于[1]中的一个结果，我们在附录中表明，使用Tt，T的停止时间不会损失一般性。也就是说，我们在（2.4）中获得的值与使用扩大过滤（Gt）T的停止时间相同≥0其中Gt=英尺∨ σ（{D>s}，0≤ s≤ t）。由于人口不确定性和基金回报之间假定的独立性（即。

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2022-6-1 04:50:13

ΓDindependent of（Bt）t≥0），并且由于优化超过（Ft）t≥0停止时间，可以使用Fubini定理和（2.2）asVt=ess supτ重写值函数∈Tt，TEZτte-Rstr（u）duβ（s）Xsds+e-Rτtr（u）挖掘（τ，Xτ）英尺（2.5）式中，E[·]是P下的期望值，r（t）：=ρ+uS（η+t），β（t）：=α+uS（η+t），G（t，x）=f（t）（x- K） andf（t）=aSη+taOη+t。（2.6）此处aSη+是个人对年金的主观评估，即aSη+t=Z∞e-ρuupSη+tdu。（2.6）中的函数f（·）是所谓的“金钱价值”。由于我们处于马尔可夫环境中，因此E[·| Ft]=E[·| Xt]。特别是，如果Xt=x>0，P-a.s.我们发现使用符号Et，x[·]：=E[·| Xt=x]=E[·| Ft]很方便。此外，过程X是时间齐次的，因此（s，Xs）s≥t型Xt=x= 法律（t+s，Xs）s≥0X=X.使用上述符号，对于任何给定（t，x）∈ [0，T]×（0+∞) 我们可以重写（2.5）asV（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rsr（t+u）duβ（t+s）Xxsds+e-RτR（t+u）挖掘（t+τ，Xxτ）,（2.7）其中我们还说≤ τ ≤ s<==> τ ∈ Ts，s（这应该不会引起混淆，因为本文中的所有停止时间都属于某些s的Ts，sfo≤ s）。关于年金购买的自由边界72.3。变分问题。在结束本节之前，我们将介绍与（2.7）自然相关的变分问题。设L为与微分（2.1）相关的二阶微分器，即（LF）（x）=（θ- α） xFx（x）+σxFxx（x），对于F∈ C（R+）。假设V足够正则，通过应用动态规划原理和It^o公式，我们期望值函数应满足以下变分不等式（2.8）maxn（Vt+LV-r（·）V）（t，x）+β（t）x，G（t，x）-V（t，x）o=0，（t，x）∈ （0，T）×R+终端条件V（T，x）=G（T，x），x∈ R+。在本文的其余部分中，我们将表明（2.8）与V在a.e.意义上成立∈ C（[0，T）×R+）∩ C（[0，T]×R+）和Vxx∈ L∞loc（[0，T）×R+）。

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2022-6-1 04:50:16

此外，我们将研究V=G的集合的几何，即所谓的停止区域。3、值函数的性质在本节中，我们提供了值函数的一些连续性性质及其梯度上有用的概率界。在下面的内容中，给定一组 [0，T]×R+有时表示A∩ {t<t}：=A∩ （[0，T）×R+）。此外，我们在本文的其余部分做出了下一个站立假设。假设3.1。uS（·）和uO（·）在[0+∞).为了研究优化问题（2.7），我们发现引入函数（3.1）v（t，x）=v（t，x）很方便- G（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R+，这在财务上可以理解为延迟年金购买的期权价值。我们可以很容易地计算出（t，x）：=（Gt+LG- r（·）G）（t，x）+β（t）x=G（t）x+K`（t），（3.2），其中G（t）：=f（t）+β（t）（1- f（t））+（θ- ρ） f（t）和`（t）：=r（t）f（t）- f（t）。（3.3）It^o公式的应用e-RτR（t+u）挖掘（t+τ，Xxτ）=G（t，x）+EZτe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）- β（t+s）Xxsds公司因此，很容易验证（见（2.7））（3.4）v（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rsr（t+u）duH（t+s，Xxs）ds.请注意，（3.4）包括一个非时间同质的确定贴现率。这类最优停止问题在文献中相对少见。它们的特点是技术难题，通过考虑问题的折扣版本，可以更方便地处理这些难题。因此我们引入（3.5）w（t，x）：=e-Rtr（s）dsv（t，x）=sup0≤τ≤T-tE公司Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds.8 T.DE ANGELIS和G.Stabile由于w的问题等同于v和v的问题，从现在起，我们将重点分析（3.5）。从（2.7）可以清楚地看出，V（t，x）≥ G（t，x），对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+，因此前为非负。

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2022-6-1 04:50:19

此外，很容易检查w（t，x）是否对所有（t，x）都是有限的∈ [0，T]×R+，这得益于X的众所周知的性质和假设3.1。和最优停止理论一样，我们让（3.6）C=（t，x）∈ [0，T]×R+：w（T，x）>0和（3.7）S=（t，x）∈ [0，T]×R+：w（T，x）=0分别是所谓的连续区域和停止区域。我们还表示为C集合C的边界，我们将（t，X）的首次进入时间引入S，即（3.8）τ*（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t] ：（t+s，Xxs）∈ S} ，对于（t，x）∈ [0，T]×R+。自（t，x）7→ H（t，x）是连续的，不难看出对于任何固定的停止时间eτ≥ 0，设置τ：=eτ∧ （T- t），映射（t，x）7→ EZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds也是连续的。因此，w是下半连续的，因此C是开放的，S是封闭的。此外，w和标准最佳停车结果的一致性（见[15，Cor.2.9，Sec.2]）保证（3.8）是w（t，x）的最佳结果。为了将来的频繁使用，我们在此介绍一种新的概率度量，由其Radon-Nikodym导数（3.9）Zt=dePd P定义Ft=expσBt-σt, t型≥ 0，注意xxt=x Zte（θ-α） t，t≥ 0。（3.10）众所周知，对于所有t，P和P在Ft上是等价的∈ [0，T]。备注3.2。如果（2.3）中的K=0，问题（3.5）将简化为确定性问题。注意{s<τ}Zs=1{s<τ}E[Zτ| Fs]=E{s<τ}Zτ| Fs,因为{τ>s}是Fs可测的，并且由于Fubini定理，一个hasw（t，x）=x sup0≤τ≤T-tE公司ZT公司-te公司-Rt+sr（u）dug（t+s）Zs{s<τ}e（θ-α）十二烷基硫酸钠= x sup0≤τ≤T-tE公司ZT公司-te公司-Rt+sr（u）挖掘（t+s）E{s<τ}ZτFs公司e（θ-α）十二烷基硫酸钠= x sup0≤τ≤T-tE公司ZτZτe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠.然后，使用Zτ改变测量值（cf。

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2022-6-1 04:50:22

（3.9））我们得到w（t，x）=x sup0≤τ≤T-球座Zτe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠.在年金购买9的自由边界上，后者等价于函数f（t+·）：=Z·e最大化的确定性问题-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α） sds。因此，最佳年金化时间仅取决于t（正如[13]中所述）。备注3.3。如果我们允许T=+∞ 假设EZ∞e-Rtr（u）du | H（t，Xt）| dt< +∞,然后，我们的问题（3.5）仍然处于良好状态。我们注意到，作为容许停车时间定义的一部分，有限视界仅在（3.5）中出现。很明显，与（3.5）的时间依赖性相关的主要数学挑战来自映射t 7的特性→ e-Rtr（u）duH（t，x）。因为在T=+∞, 因此，下面的分析可能会扩展到情况T=+∞ 小调整后。下一个命题开始分析w的规律性，它为其梯度提供了一个概率表征，这对于我们随后分析C的边界至关重要。命题3.4。对于每个t，值函数w在x中是凸的∈ [0，T]，它在[0，T]×R+上是局部Lipschitz连续的。此外，对于a.e.（t，x）∈ [0，T]×R+wehavewx（T，x）=eEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠（3.11）存在一个均匀常数C>0，使得-C1+T- t型xeEτ*+ Eτ*≤ 重量（t，x）≤ CxeEτ*+ Eτ*（3.12）证明。1.（凸性）自x 7起→ e-Rtr（u）duH（t，x）是线性的，那么对于x，y，它不难显示∈ R+，λ∈ （0，1）和xλ：=λx+（1- λ）是的，我们有Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxλs）ds= λEZτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds+ (1 - λ） E类Zτe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xys）ds≤ λw（t，x）+（1- λ） w（t，y），对于任何停止时间τ。取τ的上确界∈ [0，T- t] 该声明如下。2.（Lipschitz连续性）固定（t，x）∈ [0，T]×R+，选择ε>0。

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2022-6-1 04:50:25

首先，我们证明了| w（t，x±ε）- w（t，x）|≤ cε，（3.13），c>0，与（t，x）无关。10 T.DE ANGELIS和G.STABILELetτ*= τ*（t，x）在w（t，x）中是最优的，因此在w（t，x+ε）中是可容许的和次优的，因此我们有w（t，x+ε）- w（t，x）≥ EZτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xx+εs）- H（t+s，Xxs）ds公司= εEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）Xx+εs- Xxsεds= εEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）XSD（3.14）=εeEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠,其中，我们使用了最后一个等式（3.10）。对于上界，我们用τ+ε：=τ重复上述参数*（t，x+ε）对于w（t，x+ε）和find（t，x+ε）而言是最优的- w（t，x）≤ εeEZτ+εe-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠.自τ起*τ+ε小于T- t我们有| w（t，x+ε）- w（t，x）|≤ cε适用于c>0，与（t，x）无关。通过应用对称参数，我们还可以证明| w（t，x- ε) - w（t，x）|≤ 使（3.13）保持不变。

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2022-6-1 04:50:28

为了将来参考，我们还注意到W（t，x）- w（t，x- ε) ≤EZτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）- H（t+s，Xx-εs）ds公司=εeEZτ*e-Rt+sr（u）挖掘（t+s）e（θ-α）十二烷基硫酸钠（3.15）接下来，我们显示，对于所有δ>0，x∈ R+和任意t∈ [0，T- δ] 我们有| w（t±ε，x）- w（t，x）|≤ cδε（3.16），对于某些cδ>0，仅取决于δ和所有ε≤ T- t、 Letτ*= τ*（t，x）在w（t，x）中为最佳，选取ε>0并定义νε：=τ*∧ （T- t型- ε).由于νε对于w（t+ε，x）是容许的和次优的，我们得到w（t+ε，x）- w（t，x）≥ EZνεe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）ds-Zτ*e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds= EZνεe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds公司- EZτ*νεe-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds.（3.17）现在我们使用e-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）≤Zεdd ze公司-Rt+s+zr（u）duH（t+s+z，Xxs）d z≤Zε-r（t+s+z）H（t+s+z，Xxs）+zH（t+s+z，Xxs）d z≤ 年金购买11的自由边界上的c（1+Xxs）ε（3.18），其中最后一次估计后接（3.2），（3.3）和假设3.1，统一常数c>0（回想一下r（·）≥ 0). 将上述表达式插入（3.17）的第一项，并使用第二项的中值定理，我们得到（t+ε，x）- w（t，x）≥E- cεZνε（1+Xxs）d s- H（t+ζ，Xxζ）（τ*- νε)式中ζ（ω）∈ (νε(ω), τ*(ω)). 请注意，0≤ （τ）*- νε) ≤ ε1{τ*≥T-t型-ε} 从（3.2）中，我们得到了界H（t+ζ，Xxζ）（τ*- νε)≤ c（1+Xxζ）ε1{τ*≥T-t型-ε}.总之，注意νε≤ τ*通过改变测量值（t+ε，x），回顾（3.9）和（3.10）- w（t，x）≥ -cεEZτ*（1+Xxs）d s+（1+Xxζ）1{τ*≥T-t型-ε}≥ - CεEZτ*（1+xZs）d s+（1+xZζ）1{τ*≥T-t型-ε}≥ - CεEτ*+ xeEτ*+ P（τ*≥ T- t型- ε） +xeP（τ*≥ T- t型- ε)（3.19）对于不同的常数C>0。

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2022-6-1 04:50:31

利用马尔可夫不等式，我们得到了P（τ*≥ T-t型-ε) ≤Eτ*/（T- t型- ε） andeP（τ*≥ T- t型- ε) ≤eEτ*/（T- t型- ε），插入（3.19）给定（t+ε，x）- w（t，x）≥ -CεEτ*+ xeEτ*1+T- t型- ε（3.20）通过使用类似的估计，并通过观察σ+ε：=τ*（t+ε，x）对于w（t，x）是容许的和次优的，我们得到w（t+ε，x）- w（t，x）≤ EZσ+εe-Rt+ε+sr（u）duH（t+ε+s，Xxs）- e-Rt+sr（u）duH（t+s，Xxs）ds公司≤ cεEZσ+ε（1+Xxs）d s≤ CεEσ+ε+xeEσ+ε（3.21）我们再次使用的地方（3.18）和测量的变化。然后给出对称参数（t，x）- w（t- ε、 x）≤ CεEτ*+ xeEτ*（3.22）和W（t，x）- w（t- ε、 x）≥ -CεEσ-ε+xeEσ-ε1+T- t型（3.23）带σ-ε:= τ*（t，x- ε).方程式（3.20）–（3.23）暗示（3.16），结合（3.13）和（3.16），我们得出以下结论：∈ C（[0，T]×R+），局部Lipschitz和可微a.e.[0，T）×R+。3.（梯度边界）Let（T，x）∈ [0，T）×R+是w的一个可微分点。将（3.14）和（3.15）除以ε，让ε→ 如所述，0给出（3.11）。此外，12 T.DE ANGELIS和G.Stabile将（3.20）除以ε，让ε→ 0我们得到（3.12）中的下限。最后，将（3.22）除以ε，让ε→ 0我们得到了（3.12）中的上界。w的连续性和标准最优停止理论保证，对于所有t∈[0，T]，进程ws：=w（T+s，Xxs）+Zse-Rt+ur（v）dvH（t+u，Xxu）du，（3.24）是所有s的连续超鞅∈ [0，T- t] 和（Ws）∧τ*)s≥0是鞅。下一个推论是最优性停止文献中通常使用的标准PDE参数，参见，例如[10，Thm.2.7.7]。推论3.5。

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2022-6-1 04:50:34

函数w在C中是C1,2，它解决了以下边值问题：（wt+Lw）（t，x）=-e-Rtr（u）duH（t，x），（t，x）∈ C、（3.25）w（t，x）=0，（t，x）∈ C∩ {t<t}，（3.26）w（t，x）=0，x∈ R+。（3.27）似乎（3.25）以一种稍微不寻常的形式给出，但人们应该记住w（t，x）=e-Rtr（u）duv（t，x）（见（3.5）），因此对于v，我们得到更规范的表达式（vt+Lv- r（·））（t，x）=-H（t，x），（t，x）∈ C、（3.28）下一个技术引理说明了w的一些性质，这些性质将有助于研究边界的正则性C、其证明见附录。引理3.6。假设t的g（t）<0∈ （0，T）。然后（i）x7→ 对于所有t，w（t，x）均不增加∈ [0，T]，（ii）对于任何T∈ [0，T]它保持SLIMX→∞w（t，x）=0，（3.29）（iii）对于所有t<tin[0，t]，我们有S∩ （（t，t）×R+）6=.值得注意的是，（iii）并不排除可能存在∈ （0，T）等∩ （{t}×R+）=.4、最优边界的性质在本节中，我们提供了边界的充分条件C用时间b的函数表示。我们建立了集合C和S相对于x变量的连通性，并最终研究了t 7的Lipschitz连续性→ b（t）。值得强调的是，这项研究在数学上具有挑战性，因为地图t 7缺乏单调性→ b（t）和落在现有概率文献关于最优停止和自由边界问题的范围之外。在第5节中，我们展示了GompertzMakeham死亡率定律（精算学中的主流模型）自然导致了我们下面所做的一组假设。通过注意setR：{（t，x），可以初步了解C的形状∈ [0，T]×R+：H（T，x）>0}（4.1）包含在C中。

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2022-6-1 04:50:36

事实上如果（t，x）∈ R thennw（t，x）≥ EZτRe-Rt+sr（t+u）duH（t+s，Xxs）ds> 0在年金购买13的自由边界上，τR从R开始的首次退出时间为（t+s，Xxs）。对于所有t∈ [0，T]使得g（T）6=0边界R由曲线γ（t）给出：=-K`（t）/g（t）。（4.2）此外，对于每个t∈ [0，T]，我们表示R byRt的T截面：={x∈ R+：（t，x）∈ R} 。（4.3）备注4.1。（1）注意，如果（3.2）中的g（·）和K`（·）在[0，T]上有相同的符号，即γ（·）≤ 0），则R= 或R=[0，T]×R+。在前一种情况下，S=[0，T]×R+，而在后一种情况下，我们有C=[0，T]×R+。（2）召回（3.3）。考虑t∈ [0，T），使得g（T）<0，即`（T）-β（t）-(θ-α） f（t）>0。那么如果θ≥ α和K>0，即K是收购费，我们得到Rt=[0，γ（t）），γ（t）=K`（t）`（t）- β（t）- (θ - α） f（t）>K。后者意味着，如果个人财富小于或等于K，且基金价值呈正趋势（扣除股息支付），则不应购买年金。出于（1）的动机，在上述备注中，我们稍后将假设γ（·）>0在[0，T]上。现在，我们说明了概率表示（3.11）容易提供连续和停止区域形状的充分条件。提案4.2。如果g（·）在[0，T]上没有改变其符号，则停止区域由自由边界b：[0，T]表示→ R+∪ {+∞}.（4.4）特别是（i）如果g（t）≥ 0表示所有t∈ [0，T]然后S={（T，x）∈ [0，T]×R+：x≤ b（t）}。（ii）如果g（t）≤ 0表示所有t∈ [0，T]然后S={（T，x）∈ [0，T]×R+：x≥ b（t）}。证据如果（i）wx（t，x）≥ 0，这意味着（t，x）∈ C类==> （t，x）∈ C代表所有x≥ x、下面是声明。类似的论点适用于案例（ii）。对于每个t∈ [0，T]我们表示St：={x∈ R+：（t，x）∈ S} 和Ct=R+\\St。这些分别是停止集和连续集的所谓t形截面。

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2022-6-1 04:50:39

（i）下的ClearlySt=[0，b（t）]，St=[b（t）+∞) 根据上述提议的（ii）。在本文的其余部分，我们提出了下一个长期假设。这将包含在以下所有结果中，无需明确提及。在第5节和第6节中，我们讨论了它的适用范围和一些扩展。假设4.3。假设γ（t）>0，对于所有t∈ [0，T]及其极限γ（T）：=limt→Tγ（T）存在（可能是有限的）。此外，对于所有t，我们有（i）：g（t）>0∈ （0，T）或（ii）：所有T的g（T）<0∈ （0，T）。备注4.4。值得讨论我们假设的财务/人口解释。我们首先注意到金钱的价值f（·）应该随着时间的推移而缓慢变化。事实上，在像我们这样具有确定性死亡率的模型中，想象个人或保险人对生存概率的看法可能会发生剧烈变化是不合理的（在随机死亡模型中可能会出现这种情况）。此外，一个从一开始就比人群中的平均14 T.DE ANGELIS和G.Stabile更健康的个体，随着时间的推移将保持健康，这是合理的，因此地图T 7→ f（t）-1不应改变符号（这在随机死亡率模型中也不太合理）。最后，我们观察到→ ∞ 一个有f（t）→ 因为最终个人和保险人应该就生存概率达成一致。如前所述，f（·）很小，因此g（·）中的前导项是涉及β和θ的项- ρ（见（3.3））。他们特别强调了个人财务风险和人口风险之间的相互作用。

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kedemingshi

2022-6-1 04:50:42

一方面，（2.5）中的β（t）=α+uS（η+t）可以解释为由数据风险调整的金融投资产生的股息——请注意，主观死亡率高的个人不太可能年金化，更愿意享受金融投资的回报；另一方面，θ- ρ与金融投资的风险溢价密切相关。Ing（·）这两项的权重为1- 分别为f（·）和f（·）。此外，（3.4）中的g（·）表示单位股票投资的边际收益，这是由于将年金化延迟一个时间单位而产生的。考虑到目前为止的所有考虑因素（回想一下f（·）- 1不会改变符号，而fis几乎可以忽略不计），从（3.3）中的公式可以清楚地看出，如果f（t）>1（f（t）<1）对于所有t∈ （0，T），即个人发现年金定价过低（定价过高），θ<ρ（θ>ρ），则g（·）在[0，T]上保持负（正）。这一结论在财务上是明确的，因为定价过低的年金和负风险溢价的前景会给投资者带来负边际收益（每单位股票），因为推迟年金购买（反之亦然）。最后，对于所有t，如果f（t）>1（f（t）<1∈ （0，T）和θ>ρ（θ<ρ），则g（·）可能改变其符号。然而，如果例如t 7→ β（t）是单调的（即致命力是单调的），那么符号的变化不太可能发生多次，因为货币价值f的时间变化缓慢。基于这一观察结果，我们在第5节中使用Gompertz-Makeham死亡率进行了数值实验，表明当g（·）的符号发生变化时，这可能超过20年。因此，我们允许g（·）在时间T处消失，主要是出于数学目的。

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2022-6-1 04:50:45

事实上，我们还将在第6节中说明，这种额外的灵活性使我们能够将结果扩展到当g（·）改变其符号onceon（0，T）时的某些情况。备注4.5。假设4.3中γ（t）的正性排除了S=[0，t]×R+或C=[0，t]×R+的情况（见备注4.1第（1）点）。假设4.3中的条件（i）和（ii）确实得到了第5节图1和图3所示数值实验的支持，其中g（·）最多一次不改变符号或itchenges符号。请注意，假设3.1和4.3暗示γ∈ C（0，T）。不难验证以下属性是否成立。引理4.6。（a）如果g（·）>0开（0，T），则对于每个T∈ （0，T）存在g（T）>0使得zsg（T+u）du≥ g（t）s代表所有s∈ [0，T- t] 。（4.5）（b）如果（0，T）上的g（·）<0，则对于每个T∈ （0，T）存在g（T）>0使得zsg（T+u）du≤ -g（t）s代表所有s∈ [0，T- t] 。（4.6）下一个简单引理将在以下内容中有用。关于年金购买的自由边界15引理4.7。如果K`（t）≤ 0表示所有t∈ [0，T]然后limx→0w（t，x）=0表示所有t∈ [0，T]。因此[0，T]×{0} S、证明。回顾（3.2）并使用支配收敛，我们得到0≤ 林克斯→0w（t，x）≤ 林克斯→0ZT-t | g（t+s）| E[Xxs]ds=0。接下来，我们证明了最优边界在[0，T]上是局部Lipschitz连续的，因此在任何紧上也是有界的。下面证明中的一些思想是从[5]中的定理4.3中借用的。然而，我们不能直接应用[5]的结果，因为其中的条件（D）对应于存在c>0的要求，因此t型e-Rtr（s）dsH（t，x）≤ c（1+| g（t）|）表示所有（t，x）∈ [0，T]×R+。在我们的设置中，后一个界限显然是不可能的，因为上面等式中的左侧在x中是线性的。定理4.8。最优边界b（·）在[0，T]上是局部Lipschitz连续的。证明。

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2022-6-1 04:50:48

在这个证明中，当我们考虑假设4.3的情况（i）和情况（ii）时，大多数参数是对称的。我们首先注意到，在假设4.3的情况（i）中，引理4.7成立（因为γ（·）>0），并且由于（3.11），C中的wx>0。自由边界b是w的零级集，那么w的连续性和引理4.7意味着，对于每个t∈ [0，T），我们可以发现δ>0非常小，因此方程w（T，x）=δ有一个解x=bδ（T）。w的δ水平集由连续函数bδ局部给出。moreoffδ（T）>b（T）≥ 族（bδ）δ>0随δ减小→ 所以它的极限存在，它的上半连续是连续函数的递减极限，b（t）≥ b（t）。由于w（t，bδ（t））=δ，很明显，将极限取为δ→ 0我们得到w（t，b（t））=0，然后b（t）≤ b（t），从而得出δ→0bδ（t）=所有t的b（t）（4.7）∈ [0，T）。类似地，在假设4.3的情况（ii）中，我们有wx<0。然后bδ（T）<b（T）和（4.7）保持不变（如果b（T）=+∞, 限制是+∞). bδ的有限性总是由引理3.6保证的。因为（t，bδ（t））∈ C代表所有t∈ [0，T），并且wx（T，bδ（T））6=0在假设4.3的（i）或（ii）下，隐函数定理的应用给出（回想一下W∈ Cin C）（4.8）bδ（t）=-wt（t，bδ（t））wx（t，bδ（t）），t∈ [0，T）。接下来我们将获得bδ上的一个界，对于任何有界区间[T，T]，它独立于δ（0，T）。这允许使用Ascoli Arzela定理提取序列（bδj）j≥1如j所示→ ∞, bδjc在[t，t]上一致收敛于Lipschitz连续函数。极限的唯一性和（4.7）意味着b（·）是局部Lipschitz。为了找到bδ上的一致界，我们将证明分步骤进行。第1步。让我们首先观察假设4.3的情况（i）中的wx（t，bδ（t））>0，因此| bδ（t）|=| wt（t，bδ（t））| wx（t，bδ（t））。（4.9）16 T.DE ANGELIS和G.Stabile为了简化符号，我们在下面设置xδ：=bδ（T），T是固定的。

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2022-6-1 04:50:51

为了估计（4.9）中的数值，我们使用（3.12）中的界限，从而得到| wt（t，xδ）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδ,（4.10）式中，τδ=τ*（t，xδ），为简单起见。堵住（4.10）内部（4.9），我们得到| bδ（t）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδwx（t，xδ）。（4.11）类似估计，但分母替换为-wx（t，xδ）可以在假设4.3中（ii）的设置中获得，直到发生明显变化，即| bδ（t）|≤ C1+T- t型xδeEτδ+Eτδ-wx（t，xδ）。（4.12）在这一点上，为了使（4.11）和（4.12）δ一致，我们必须将它们的极限视为δ→ 为此，我们需要分别考虑假设4.3的情况（i）和情况（ii）。步骤2-案例（i）。这里St=[0，b（t）]和，因为b≤ γ和γ∈ C（0，T），然后b是局部有界的。请注意，在（3.9）中定义的EP中，流程B=B- σs，s≥ 0是布朗运动，从xδ开始的个人财富（2.1）可以写为dxxδs=（θ- α+σ）Xxδsds+σXxδsdeBs。那么，对于任何s∈ [0，T- t] 我们有eP（τδ>s）=ePinf0≤u≤s（Xxδu- b（t+u））>0≥Pinf0≤u≤s（Xxδu- b（t+u））>0= P（τδ>s）（4.13）和thuseEτδ≥ Eτδ。用（4.11）的分子代替该估计值，我们可以写出| bδ（t）|≤ C1+T- t型（1+xδ）eEτδwx（t，xδ）。（4.14）回顾假设3.1、（3.11）和（4.5），现在很清楚，存在一个常数>0，与（t，xδ）无关，因此wx（t，xδ）≥ 中欧和东欧Zτδg（t+s）ds≥ c g（t）eEτδ。（4.15）因此，将后者插入（4.14），我们得出结论| bδ（t）|≤Cc g（t）1+T- t型（1+xδ）≤cg（t）1+T- t型（2+γ（t））（4.16），其中c>0是一个合适的常数，其中我们使用了bδ（t）≤ 1+γ（t）asδ→ 那么（4.16）中的一致界意味着b是如所声称的局部Lipschitz。步骤2-案例（ii）。此处St=[b（t）+∞). 这一部分的分析比前一个案例涉及更多。

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2022-6-1 04:50:54

类似于（4.13）中的参数给出了Eτδ≥eEτδ关于年金购买17的自由边界，遗憾的是，这无助于（4.12）中的估计。因此，我们需要以不同的方式进行。从（4.12）中我们可以看到，为了限制| bδ（t）|，我们必须限制τδ/| wx（t，xδ）|和Eτδ/| wx（t，xδ）|（回想一下wx≤ 0). 前者可以很容易地用（3.11）和（4.6）来界定，因为wx（t，xδ）≤ 中欧和东欧Zτδg（t+s）ds≤ -c g（t）eEτδ（4.17），合适的c>0。然后（4.17）表示τδ| wx（t，xδ）|≤c g（t）。（4.18）另一个术语需要更多的工作，因为分子中的期望值是关于P的，而分母中的期望值是SEP。虽然我们仍然可以使用（4.17）来估计比率Eτδ/| wx（t，xδ）|，但现在我们得到的是Eτδ| wx（t，xδ）|≤Eτδc g（t）eEτδ。（4.19）我们的下一个任务是找到Eτδ/eEτδ比值的界限。根据假设4.3，存在a>0，使得γ（t）≥ 2a用于t∈ [0，T]和wedenoteτa=inf{T≥ 0:Xt≤ a} 。对于证明的这一部分，很容易想到Ohm 作为连续路径的正则空间ω={ω（t），t≥ 0}并表示移位运算符θsω={ω（s+t），t≥ 0}. 回想一下Eet，x[·]=eE[·| Xt=x]和Et，x[·]=E[·| Xt=x]。使用此符号，我们必须注意对于固定（t，xδ）和任何s≥ 0我们有P（τδ>s）=Pt，xδ（τ*- t>s）andeP（τδ>s）=ePt，xδ（τ*- t>s），因为τ*= inf{u≥ t：（u，Xt，xδu）∈ S} 在Pt下，xδ和Pt，xδ。我们的第一个估计值见τδ=eEt，xδ（τ*- t） =xδEt，xδhe（α-θ)(τ*-t） Xτ*（τ）*- t）我≥cxδEt，xδ[xτ*（τ）*- t） ]（4.20）适用于合适的均匀常数c>0。

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2022-6-1 04:50:57

接下来我们得到，xδ[xτ*（τ）*- t） ]=Et，xδXτ*（τ）*- t）{τ*≤τa}+1{τ*>τa}≥ aEt，xδ（τ）*- t） 1{τ*≤τa}+ Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}.（4.21）最后一项可以进一步简化：Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}= Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+1{τ*=T}≥ a Et，xδ（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+ Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}（4.22）我们使用{τ*< T} {Xτ*≥ γ(τ*)} 在Pt、xδ和γ（τ）下*) ≥ 2a。上述表达式中的最后一项可通过使用迭代条件作用和18 T.DE ANGELIS和G.Stabile估计。强马尔可夫性质：Et，xδXτ*（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}= Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Et，xδXτ*{τ*=T}Fτa= Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Et，xδXτa+τ*oθτa{τ*oθτa=T-τa}Fτa（4.23）=Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}Eτa，XτaXτ*{τ*=T}≥ Et，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}Eτa，aXτ*{τ*=T}≥ cEt，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T},其中C：=inf0≤s≤TEs，aXT{τ*=T}> 0。（4.24）注意，（4.24）中的严格正性可以通过使用已知的布朗运动联合定律及其运行上确界来验证。实际上，回顾γ（t）≥ 2A适用于所有t∈ [0，T]我们有，aXT{τ*=T}≥ Es，aXT{sups≤u≤TXu公司≤2a}.从（4.21）、（4.22）和（4.23）我们得到，xδ[xτ*（τ）*- t） ]≥ aEt，xδ（τ）*- t） 1{τ*≤τa}+ a Et，xδ（τ）*- t） 1{τ*>τa}{τ*<T}+ cEt，xδ（T- t） 1{τ*>τa}{τ*=T}≥ cEt，xδ（τ*- t） =cEτδ（4.25），c=a∧ c、现在我们将后者插入（4.20），然后再插入（4.19）并获得τδ| wx（t，xδ）|≤xδcg（t）（4.26），其中c=c·c·c>0为均匀常数。上述表达式和（4.18）现在可替换为（4.12），并给出| bδ（t）|≤cg（t）1+T- t型bδ（t）（4.27），其中c>0是一个合适的常数。我们记得，在假设4.3的情况（ii）中，引理3.6-（iii）意味着对于任何0≤ 我们可以找到∈ （t，t）使得bδ（t）≤ b（t）<+∞.

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