定理5.1和备注5.2意味着N层平衡控制λ（N）注册护士对于R（N），一致收敛于平均场平衡控制λ*（r） 对于r*, 速率为O（1/N）。它遵循fn（r）：=（1- 注册护士)λ（N）注册护士→ (1 - r） λ*（r） =：f（r）以O（1/N）的速率均匀分布。自λ起*一致有界远离零子[0，α]，对于f和fn，同样适用于大N。因此，使用（A.10）和（A.3），ET（N）αN- T*α=αN-1Xn=0（N- n） λ（n）n-Zαdr（1- r） λ*（r）≤ZαNN | f（r）- fN（r）| fN（r）f（r）dr=O（1/N）。正如定理5.3所示，T*α-ETN公司αN| = O（1/N），权利要求如下。B精确大数定律在本节中，我们详细介绍了一个设置，使得精确大数定律适用于本质上成对独立的随机变量的连续统。设（I，I，u）为无原子（因此不可数）概率空间，且(Ohm, F、 P）是另一个概率s步。定义B.1。一个家庭（fi）我∈Iof随机变量开启(Ohm, F、 P）基本上是成对的，如果对于u-几乎所有i∈ 一、 对于u-几乎所有j，FII独立于Fj∈ 一、 此外，如果所有fi的分布都相同，则该家族本质上是成对的。在下面的内容中，我们需要研究一个大于通常乘积（I×）的概率空间Ohm, 我F、 uP），因为后者不支持i.i.d.随机变量的相关族（参见，例如，[32，命题2.1]）。在太阳[32]之后，一个概率空间（I×）Ohm, ∑，ν）是乘积（I×）的一个扩展Ohm, 我 F、 u P）如果∑包含I F和ν对I的限制 F与u重合 P

此外，如果任何ν-可积函数f:I×Ohm → 满足Fubini\'stheorem的主张；也就是说，（i）对于u-几乎所有i∈ 一、 函数f（I，·）是P-可积的，（ii）对于P-几乎所有ω∈ Ohm, 函数f（·，ω）u-可积，（iii）i 7→Rf（i，·）dP是u-可积的，ω7→R（·，ω）du是P可积的，zf dν=ZZf（i，ω）P（dω）u（di）=ZZf（i，ω）u（di）P（dω）。让（I×）Ohm, ∑，ν）是（I×）的Fubini扩张Ohm, 我 F、 u P）。然后，基本上成对独立的族满足大数定律的精确版本。以下是[32，推论2.9]的特例。命题B.2（精确大数定律）。设f:I×Ohm → R是ν-可积的。如果f（i，·），i∈ I本质上是成对的I.I.d.，其分布具有平均值m，则rf（·，ω）du=m，对于P-几乎所有ω∈ Ohm.接下来，我们来看看这种环境的存在。空间（I×）Ohm, 如果存在∑-可测函数f:I×，则∑，ν）称为richOhm → R使得f（i，·），i∈ I本质上是在[0，1]上均匀分布的成对I.I.d。通过用一个合适的函数组合f，可以得出（I×）Ohm, ∑，ν）基本上支持具有任何给定分布的成对i.i.d.f族。引理B.3。存在无原子概率空间（I，I，u）和(Ohm, F、 P）以便（I×）Ohm, 我 F、 u P）允许丰富的Fubini扩展。这是[32，命题5.6]断言的一部分，它还表明，可以取I=[0，1]和Ohm = R[0,1]。Sun和Zhang[33]的主要结果表明，此外，可以将u作为Lebesguemeasure的扩展（但不是Lebesgue度量本身）。波德切克提出了一种不同的结构【29】。这里，我们使用产品σ-字段I F已完成。也就是说，f对于∑andR | f | dν<∞.参考文献【1】E.Bayraktar和A.Cohen。

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