近似因子模型中结构稳定性的序贯检验

2022-6-1 05:44:38

近似因子模型中结构稳定性的序贯测试Atteo Barigozzi，Lorenzo Trapaniabstract我们开发了一种监测程序，以检测大型近似因子模型中的变化。假设r是公因子的数目，我们的统计数据基于这样一个事实，即样本协方差矩阵的（r+1）第个特征值在无变化的零下有界，而在变化下它会变得尖峰。考虑到样本特征值在空值下无法一致估计，我们将测试统计量随机化，获得用于监测方案的i.i.d统计量序列。数值证据表明，错误检测的概率很小，变化点的检测时间很短。关键词：大因素模型，变化点，序贯检验，随机检验。伦敦经济和政治学院统计系。电子邮件：m。barigozzi@lse.ac.uk（通讯作者）。诺丁汉大学经济学院电子邮件：Lorenzo。Trapani1@nottingham.ac.ukWe感谢卡洛·吉安尼尼国际纪念大会（Bergamo，2016年11月25日至26日）的与会者；2016年CMStatistics会议（2016年12月9日至11日，塞维利亚）；参加ECARES系列研讨会（Bruxelles，2017年2月23日）；致中国社会科学院商学院金融学院研讨会（2017年3月6日，伦敦）；伦敦政治经济学院计量经济学和统计研讨会（伦敦，2017年3月10日）；康涅狄格大学经济系系列研讨会（2017年3月31日）；纽约夏令营计量经济学第十二届会议（锡拉丘兹大学，2017年4月7日至9日）；并出席欧洲统计学家会议（赫尔辛基大学，2017年7月24日至28日）。预印本于20201年3月6日提交给爱思唯尔。

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何人来此

2022-6-1 05:44:42

本文研究了一个大因子模型的稳定性检验f的意义：Xi，t=a′ift+ui，t，（1），其中{Xi，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}是在T个周期内观察到的N个时间序列的面板；AIA和FTA分别是载荷和因子的潜在向量，都是维数r<N，并表示数据的“信号”成分，而不是特殊的“噪声”ui，t。特别是，我们重点关注（1）稳定性的顺序监测——也就是说，我们提出了一个测试，以检查（1）是否在新数据出现时出现任何中断。因子模型在几乎所有的应用科学中都受到了极大的关注，因为它可以降低维度，同时保留大型数据集的信息内容。特别是在社会科学和经济学的背景下，张伯伦和罗斯柴尔德的开创性论文推广了因子模型的应用[19]；此后，因子模型在各种应用中得到了广泛的应用，如商业周期分析、资产定价和经济监测与预测——参见Stock和Watson的综述[61]，以获取全面的参考文献列表。模型（1）通常具有如下识别假设，即→ ∞,{Xi，t}Ni=1的协方差矩阵有r个尖峰特征值发散到不完整，而其余的特征值对于任何N保持有界。许多贡献在一般假设下，如误差项ui，t的弱序列和互相关，发展了一个完整的推理理论f或（1）。特别是，在平稳数据的情况下，Bai【6】和Fan等人【29】针对高维（即大N）数据，利用（1）中“信号”部分的主成分分析进行了估计。

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mingdashike22

2022-6-1 05:44:45

该文献还产生了许多关于确定公共因子r数量的结果，特别是参见Bai和Ng【8】、Alessi等人【2】、O natski【52】、Ahn和Horenstein【1】和Trapani【62】。方程（1）中的因素也被证明对预测大型数据集非常有效，克服了维度问题的诅咒——参见Stock和Watson【58】。此外，还研究了公因子FTA明确允许具有线性过程表示的情况的扩展——参见Forni等人【31】。与大量文献相比，（1）的结构稳定性测试问题仍然不完善，但有一些明显的例外。事实上，Stock和Watson【58】和d Bates等人【13】认为，至少在存在“小”中断和恒定数量的因素的情况下，对因素空间的推断是不充分的，这使得变化点问题没有其他情况下那么引人注目。然而，事实证明，在许多应用中，可忽略的脆弱规模和数量稳定的因素的假设通常是不正确的。最重要的是，有人认为，在出现危机的情况下，协同运动会变得更强，这可能表明，与平静时期相比，经济受不同因素的驱动——参见Stock和Watson【60】、Cheng等人【22】和L i等人【47】。在这种情况下，改变点的影响将导致标准引用和后续应用（如预测）失效。最近，文献提出了一系列在样本范围内检测因子结构断裂的测试：例如Breitungand Eikmeier【16】、Chen等人【20】、Han和Inoue【33】、Corradi和Swanson【25】、Yamamoto和Tanaka【65】、Cheng等人【22】、Baltagi等人的作品。

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2022-6-1 05:44:48

[10] ，Massacci【48】和Barigozziet al【12】。顺序检测（1）中的断裂非常重要，至少有四个原因。首先，Chu等人[23]提出的一般动机在因子模型的背景下是正确的。同样，重要的是要验证一个迄今为止有效的模型是否仍然能够充分近似新数据的行为。其次，上述（实质性的）经验证据表明，要素结构确实会随着时间的推移而变化，特别是在出现危机的情况下，这说明了及时发现此类变化的重要性。第三，因子模型的引用可能会因中断的存在而受到严重破坏（参见Baltagi等人[10]中的评论），这再次表明了实时检测中断的重要性，而不是在进行推理并进行后验后实现这一点，例如为了预测的目的。最后，在经济和金融领域，数据是自动收集和提供的，因此监控成本几乎可以忽略不计，尤其是与使用不再有效的模型的潜在成本相比。已经研究了单变量或小维（即有限N）环境中的连续断裂检测，例如Lai【45】、Chu等人【23】、Aue和Horv\'ath【4】、Horv\'ath等人【37】、Andreou和Ghysels【3】、Horv\'ath等人【38】、Brodsky【17】、Aue等人【5】、Kirch和Tadjuidje Kamgaing【41】以及Groen等人【32】。1.1. 感兴趣的假设和论文的主要结果模型（1）在时间点τ发生变化的可能方式有几种；然而，尽管有如此广泛的变化，在所有情况下，可以认为数据的f因子结构的变化将导致{Xi，t}Ni=1的协方差矩阵的变化。

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2022-6-1 05:44:51

更具体地说，由于公因子决定了{Xi，t}Ni=1的协方差的存在和尖峰特征值的数量（定义为无边界的特征值，但随数据集的维数而增长），因此很自然地可以通过验证协方差矩阵的频谱是否发生了变化来调查（1）的因子结构是否发生了变化。形式上，在本文中，我们检验了因子结构d不变的完整假设，即：H： Xi，t=rXj=1aijfj，t+ui，t，1≤ t型≤ T、就备选方案而言，我们关注时间τ点处的两种不同的可能断裂：（1）与一个或多个公因子相关的荷载变化：HA，1：Xi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tXi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、（2）式中，对于所有i和至少一个j值，eaij6=Aij，以及（2）q的外观≥ 1新因素：HA，2：Xi，t=Prj=1aijfj，t+ui，tXi，t=Prj=1aijfj，t+Pqj=1bijgj，t+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、（3）假设HA，1是上述所有关于因子模型变化点的文献中考虑的典型案例。（2）的结果是，在替代方案下，具有r公因数和变化载荷的模型可以重新编写为总因子数在r+1和2r公因数之间的模型，定义为原始公因数乘以中断前和中断后虚拟变量。这一关键属性在文献中被大量挖掘。另一方面，假设HA，2从文献中得到的关注较少——例如，见Cheng等人【22】和Barigozzi等人【12】。

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2022-6-1 05:44:54

虽然在本报告中，我们主要关注HA，1和HA，2，但其他替代方案，如正在消失的因素或负荷的不太普遍的变化，也可以在我们的框架中进行调整-参见第4节中的讨论。我们表明，在HA，1和HA，2两种情况下，{Xi，t}Ni=1的子午线矩阵的（r+1）第四大特征值在时间τ处有界，传递到单位的速度与样本大小N一样快。相反，它在无中断的零位处保持有界。因此，我们的测试基于使用滚动窗口计算的{Xi，t}Ni=1的样本协方差矩阵的估计（r+1）特征值。虽然使用样本协方差矩阵的样本特征值进行测试在因子模型中并不少见（Onatski[52]，Trapani[62]），但在我们的环境中，这种方法充满了困难。主要问题是，在零无中断的情况下，（r+1）个样本特征值没有未知分布，实际上它甚至无法一致地估计：正如Wang和Fan[63]所解释的，由于N很大，噪声太大，无法识别来自有界特征值的小信号。考虑到我们唯一知道的是第（r+1）个样本特征值可能是有界的或无界的，我们建议使用随机测试来正则化问题。随机化是一种广泛使用的方法，至少可以追溯到皮尔逊（Pearson）[56]；不同的作者采用了不同的方法将随机性引入到统计中，如Corradi和Swanson【24】、Bandi和Corradi【11】和Trapani【62】。我们的方法论基于相同的方法，但范围不同。本质上，我们提出的方法在每个时间点t将（r+1）个样本特征值作为输入，d返回i.i.d作为输出。

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2022-6-1 05:44:57

序列，具有未知（渐近）分布，一阶和秒阶矩可以用可忽略的误差近似，以及任何阶的单元。然后，在构建监测过程时，使用该序列替换第（r+1）个样本特征值，从而允许我们使用已经为i.i.d.序列的部分和过程开发的标准渐近理论——见Horv'ath等人【37】和Kirch和Tadjuidje Kamgaing【41】。虽然你的结果是有条件地从样本中得出的（参见第3节中关于样本条件下随机化的含义的评论），但我们构建了一个监控程序，该程序可以在零概率下以小于规定水平的概率识别一个中断，并且当出现这种情况时，它可以以概率1识别一个中断。这是序列测试的一个可取特征，因为随着越来越多的数据出现，I型错误的概率可能会增加——例如，见Sen在第9章中的评论【57】。事实上，数字证据表明，我们的程序运行得非常好，在短时间内找到休息时间。在原则上，我们的测试也可以应用于更一般的情况，包括弱因素或不太普遍的负荷变化的存在，异质性特质成分的情况，以及一个或多个因素的消失。第4节和第7节讨论了所有这些扩展。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们阐述了主要假设，并研究了协方差矩阵的（r+1）次特征值的推断。第3节讨论了检验统计量的构造，包括双重随机过程和所有相关的中间结果。

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2022-6-1 05:45:00

第4节讨论了我们的框架对更一般情况的一些直接扩展。第5节和第6节分别给出了蒙特卡罗实验的数值证据和美国工业生产月数据的实际数据应用。第7节讨论了进一步可能的扩展并得出结论。所有证据都在附录中。符号。我们让C，C。。。注意不依赖于样本大小的一般正常数，其值可能会随着行的变化而变化；“→” 表示理论极限；a.s.收敛序列（如sT）的数量级表示为asOa。s、（T）和oa。s、（T）当，对于某些>0和▄T<∞, Ph | T-sT |<所有T≥Ti=1和T-sT→ 分别为0 a.s；IA（x）是集合a的指标函数。最后，在不丧失一般性的情况下，我们假设所有随机变量和过程都是按照公共概率速度定义的(Ohm, F、 P）结果ω∈ Ohm.假设和初步理论考虑（1）中的因素模型，其中我们现在明确了“信号”成分xi随时间变化的可能性，t=a′i（t）ft+ui，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T、（4）我们使用r（T）表示给定时间T的因子数，即载荷Sai（T）和因子Ft的向量具有维数r（T）。还要考虑（4）的矩阵形式：Xt=A（t）ft+ut，1≤ t型≤ T、（5）式中，A（T）=[A（T）|……| aN（T）]是N×r（T）载荷矩阵，ut=[u1，T，…，uN，T]’是特质分量。根据HA，1和HA，2（另见（2）和（3）），我们定义Ai=（eai，1，…，eai，r）′andeA=[ea |……….eaN]\'，bi=（bi，1，…，bi，q）\'，B=[B |…….bN]\'。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:45:03

使用这个符号，我们有兴趣测试零假设：A（t）=A，1≤ t型≤ T、与备选方案相比，1：A（t）=AA（t）=ea，用于1≤ t<τ≤ t型≤ T、 andHA，2：A（t）=AA（t）=[A | B]用于1≤ t<τ≤ t型≤ t将时间t的数据协方差矩阵定义为∑X（t）=E（XtX′t），假设X的均值为零，且不损失一般性。考虑（总体）滚动协方差矩阵∑m（t）=mtXk=t-m+1∑X（k），m≤ t型≤ T、（6）及其对应方样本B∑m（T）=mtXk=T-m+1XkX′k，m≤ t型≤ T、（7）基于（6）和（7），在以下情况下，m将表示我们在估计模型时的样本量；因此，我们的渐近性是针对m→ ∞. 我们假设在前m个周期内，不存在变化点，并且所有t的r（t）=r因子≤ m、此外，对于s im plicity，我们还假设我们的监测程序将持续到T>m。在此之前，观测总数T包括估计值和监测期。注意，在实际应用中，监控可能会独立进行，因此→ ∞.我们从以下假设开始。假设1。它认为（i）E（Xi，t）=0表示所有1≤ 我≤ N和1≤ t型≤ T（ii）对于所有i，j，t，E（fj，tui，t）=0；（iii）r（t）=1的r≤ t型≤ m；（iv）r（t）<N和1的定义≤ t型≤ T和所有N∈ N、假设的（i）和（ii）部分仅为方便起见，可以放宽。显然，从第（iii）部分可以看出，在出现断裂的情况下，变化点位置τ大于m。最后，第（iv）部分是一个合理的要求，要求任何时间点的系数数量都是有限的。注意，在HA下，1对于所有m，r（t）=r≤ t型≤ T，HA下的while，2r（T）=1的r≤ t<τ，τ的r（t）=（r+q）≤ t型≤ T根据假设1，协方差分解为∑X（t）=A（t）∑F（t）A（t）′＋∑u（t），定义了∑F（t）=E（ftf′t）和∑u（t）=E（utu′t）。

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2022-6-1 05:45:06

此后，我们将∑m（t）的k次最大本征值表示为λ（k）（t），将A（t）∑F（t）A（t）′的k次本征值表示为γ（k）（t）；最后，∑u（t）的第k个特征值为ω（k）（t）；同样，我们表示b∑m（t）asbλ（k）（t）的第k大特征值。为了得到关于总体特征值和样本特征值的结果，我们做了以下假设。假设2。它认为（i）Ck（t）N≤ γ（k）（t）≤Ck（t）N适用于所有1≤ k≤ r（t）和0<Ck（t）≤Ck（t）<∞ 对于m≤ t型≤ T（ii）ω（k）（t）≤ C全部1≤ k≤ N和M≤ t型≤ T假设3。它认为（i）E | Xi，t | 4+≤ C全部1≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T和一些>0；（ii）E最大值≤t≤t+m-1.P▄tt=tXh、tXj、t- E（Xh、tXj、t）≤ 所有1的Cm≤ h、 j≤N和1≤ t型≤ T-m+1。假设2是典型的高维因子分析，类似于张伯伦和罗斯柴尔德[19]以及福恩i等人[31]的假设。特别是，就非零γ（k）（t）而言，假设的第（i）部分要求它们向正的单位转移，如N→ ∞, 速率为N。等效地，我们可以遵循Bai和Ng【8】以及Fan等人【29】，并要求更原始的假设，即∑F（t）是正定义（这意味着确定了公因数），而N-1A（t）′A（t）趋向于正定义矩阵。这等于假设γ（k）（t）以N的速率传递到单位。实际上，为了便于记法，考虑恒定载荷的情况，即。A（t）=A，d公共因子的常数协方差矩阵，即。∑F（t）=∑F；然后，使用Merikoski和Kumar[49]Nν（min）（∑F）ν（k）中的定理7阿安≤ ν（k）A∑FA′≤ Nν（max）（∑F）ν（k）阿安,式中，ν（k）（·）表示矩阵的第k大特征值。在出现变化点的相同原因之后，上述结果提供了γ（k）（t）和N的第k大特征值之间的联系-1A′（t）A（t）。

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2022-6-1 05:45:09

注意，也可以假设γ（k）（t）→ ∞ 作为N→ ∞ 以低于N的速率，N被称为具有“弱因子”；我们将在第4.1节中讨论这种情况。就ω（k）（t）而言，在假设的第（ii）部分中，相同的条件可以从Fan等人[29]的假设中推导出来，也可以参见Bai和Ng[8]。另请注意，我们不要求ω（k）（t）在t上保持不变：原则上允许无条件异方差-另请参见第4节中的注释。假设2决定了∑m（t）总体特征值的行为。特别地，在t=m时，通过Weyl\'sinequality，我们得到λ（k）（m）≥ Ck（m）N f或1≤ k≤ r、而λ（k）（m）≤ Cforr+1≤ k≤ N、这个条件imp存在一个本征间隙，它允许我们在预破裂样品中识别r。就假设3而言，第（ii）部分是一个高级条件，从本质上来说，它对一个人在{Xh，tXj，t}Tt=1过程中可能具有的序列相关性的量构成了限制，并且在{Xi，t}Tt=1过程中，尽管间接地，在{Xi，t}Tt=1过程中可以具有序列相关性。一般来说，该假设由任何具有可和第四累积量的线性过程满足（参见Hannan[34]，定理6，第210页）。特拉帕尼[62]报告了wh ich假设3下的一些例子，包括平稳因果过程的情况——见Wu[64]。这一系列过程又包含了几个流行的例子，如Volterra级数和Arch/GARCH过程，因此允许f处理条件异方差的情况。最后，请注意，假设2和3允许在特定组件的总体中存在一定程度的横截面和序列依赖性，{ui，t，1≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}；因此，（1）d定义了一个“近似”因子模型，而不是“精确”因子模型，它需要横截面和连续i.i.d。

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2022-6-1 05:45:12

错误。下面的结果描述了∑m（t）的（r+1）特征值的行为。引理1。在假设1和2下，它认为λ（r+1）（t）≤ C、 m级≤ t型≤ T、在H.（8）下，进一步认为λ（r+1）（T）≤ 厘米≤ t<τ，≥ Cmin{t-τ+1m，τ+m-t型-1m}Nτ≤ t<τ+m-1.≤ Cτ+m- 1.≤ t型≤ T、在HA，1，（9）λ（r+1）（T）下≤ 厘米≤ t<τ，≥ 计算机断层扫描-τ+1mNτ≤ t<τ+m- 1.≥ CNτ+m- 1.≤ t型≤ T、根据HA，2。（10）引理1的样本对应物是特拉帕尼[62]中得出的以下结果。引理2。在假设1和3下，它认为bλ（r+1）（t）=λ（r+1）（t）+Oa。sNm1/2l（米，牛）, m级≤ t型≤ T、（11）其中l（m，N）=（ln N）1+（ln m）1+，对于任何>0。引理2为估计误差（bλ（r+1）（t）提供了一个强大的速率- λ（r+1）（t）），它对N和m的任何组合有效，实际上对所有估计的特征值有效，bλ（k）（t）表示1≤ k≤ N、引理不需要对λ（k）（t）进行任何假设：其中一些可能是非相异的、非良好分离的，甚至等于零。等式（11）表明估计误差可能相当大。然而，对于SpikeDeigenValue来说，它相对较小，根据假设2，其为N阶。相反，对于有界特征值，（11）中的误差项可能相当大；在这种情况下，该比率可能不是最高的，尽管它有助于监测程序的构建。引理2的结果也可以与随机矩阵文献中关于尖峰协方差模型的结果进行比较，然而λ（k）对于所有1≤ k≤ N和N∈ N–参见例如El Karoui【28】、Paul【55】、Johnstone和Lu【39】、Jung和Marron【40】、Benaych Georgesand Nadakuditi【14、15】、Bai和Yao【9】以及Onatski等人【54】。3、测试程序和渐近在本节中，我们提出了一种算法来“规范”特征值SSO的行为，以便能够构建一个监控程序。

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2022-6-1 05:45:14

由于引理1和引理2的结果，我们无法使用bλ（r+1）（t），因为在零下缺乏已知的极限分布，并且在整个t上缺乏依赖结构。因此，我们提出了一种随机性算法，其输出是一系列具有任意高阶矩的i.i.d.随机变量，在零下，（渐近）卡方分布。我们随后使用（标准化版本的）此类随机变量来构建部分和过程，我们以类似的方式将其作为相关检验统计量asHorv'ath等人【37】和Horv'ath等人【38】。3.1. 随机算法定义δ∈ （0，1）使得δ> 0> 1 -ln mln记录asN≤ m1/2N>m1/2；（12）注意，δ的选择由N和m共同决定，无需估计。我们考虑统计量φN，m（t）=gN-δbλ（r+1）（t）NPNk=1bλ（k）（t）！，m级≤ t型≤ T、（13）式中，g（·）是单调递增函数，g（0）=0且limx→∞g（x）=∞;在本文中，我们使用g（a）=a，但也可以使用其他选择。（13）中的分母使g（·）的参数具有不变性。（12）中定义的数量δ在本文的其余部分中起着非常重要的作用。根据引理2，可以预期，即使λ（r+1）（t）有界，bλ（r+1）（t）也可能发散到正整数；在这种情况下，发散率为O纳米-1/2,对数项的模化。另一方面，在备选方案下，bλ（r+1）（t）以更快的速率o（N）发散。δ的目的是消除估计误差：基于（12），可以看出Nδ大于N m-1/2l（m，N）：因此，在nobreak为null的情况下，可以预期N-δbλ（r+1）（t）将裂开至零。在另一种情况下，尽管其传递速度比λ（r+1）（t）本身慢，但它仍然传递到完整性（因为δ<1）。

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2022-6-1 05:45:17

注意，这也适用于非常大的N值：事实上，在N和m的相对发散率传递到单位时，它们之间不需要限制，也可以允许N=exp（m）；在这种情况下，经过一些代数之后，可以显示δ∈1.-英寸毫米，1,这仍然会产生N-δbλ（r+1）（t）漂移至零或发散至完整，取决于完整或备选方案为真。根据上面的评论，以及引理1和引理2，它认为limn，m→∞φN，m（t）=g（0）=0，w.p.1，当N-Δλ（r+1）（t）→ 0，limN，m→∞φN，m（t）=g(∞) = ∞, w、第1页，当N-Δλ（r+1）（t）→ ∞.因此，我们有thatlimN，m→∞φN，m（t）=0，m≤ t型≤ T、在H.下，我们定义*N、 mas时间点，以便*N、 m级≥ τ和Limn，m→∞N1型-δmt型*N、 m级- τ + 1= ∞. （14）同样，我们定义了时间点t**N、 m级≤ τ+m- 1这样Limn，m→∞φN，m（t）=0米≤ t<τ，∞ t型*N、 m级≤ t<t**N、 m，0τ+m- 1.≤ t型≤ T、，根据HA，1。克利里林，m→∞φN，m（t）=0米≤ t<τ，∞ t型*N、 m级≤ t<τ+m- 1，，在HA下，2；HA下，1对于τ≤ t<t*N、 m，φN，m（t）从0增长到∞, 和t的viceversa**N、 m级≤ t<τ+m-1，在HA下，2为τ≤ t<t*N、 m，φN，m（t）从0增长到∞. 因此，t*N、 MRE代表了我们希望检测到变化的第一个时间点，因此检测延迟的范围较低，而在HA下，1（t**N、 m级- 1）表示我们希望检测到更改的最后一个时间点。根据（14）和下面的结果，我们在下面的第3.3节中显示t*N、 mis至少为m1/2级，等于m和N的值。鉴于上述结果表明，我们只有f或φN，m（t），我们建议ato使用它的随机版本，根据以下步骤构建。步骤A1。在每个给定的t≥ m、生成i.i.d.样本ξj（t）Rj=1，公共分布Gφ，使得Gφ（0）6=0或1。步骤A2。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:45:21

对于从分布Fφ（u）中得出的任何u，定义ζj（u；t）=Ihξj（t）≤ uφ-1N，m（t）i.步骤A3。计算θ（u；t）=√RRXj=1ζj（u；t）- Gφ（0）pGφ（0）[1- Gφ（0）]。步骤A4。计算Θt=Z+∞-∞|θ（u；t）| dFφ（u）。尽管稍后将公布Θtunter在null和备选参数下的行为细节，但对主要参数的启发式预览可能会有所帮助。本质上，在替代方案下，伯努利随机变量ζj（u；t）应等于1或0，概率Gφ（0）和1- Gφ（0），因此具有平均Gφ（0）。在这种情况下，当构造θ（u；t）时，中心极限定理成立，因此我们期望Θ具有卡方分布。另一方面，在零ζ下，j（u；t）应（试探性地）为0或1，概率为0或1（取决于u的符号）-因此，其平均值应不同于Gφ（0）（并等于0或1，取决于u的符号），并且大数定律应成立。注意，通过构造，有条件地在样本上，序列{t}Tt=在t上不独立。为了研究yΘt，我们需要以下假设。假设4。认为：（i）Gφ（·）有界密度；（ii）R+∞-∞udFφ（u）<∞;（iii）Fφ（0）<1。假设5。它认为，作为min（N，m，R）→ ∞:（i） R1/2g级N1型-δt- τ+1m-1.→ 0，在HA下，1，表示t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T（二）R1/2g级N1型-δ-1.→ HA下为0，τ+m为1- 1.≤ t型≤ T考虑到假设4，Gφ可以选择为标准正态分布，Fφ可以选择为离散均匀分布。假设5为R提供了一个选择规则*表示关于{Xi，t，1的条件概率≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}；“D*→” 和“P*→” 根据P分别表示分布和概率上的条件收敛*.定理1。

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2022-6-1 05:45:24

在假设1-5下，最小值（N、m、R）→ ∞, 它认为ΘtD*→ χ、在HA下，1表示t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T、（15）对于{Xi，T，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}。在假设1-4下，最小值（N、m、R）→ ∞, 它认为RΘtP*→R+∞-∞I[0，∞)（u）-Gφ（0）dFφ（u）Gφ（0）[1-Gφ（0）]，H下，m≤ t型≤ T、根据HA，1，表示m≤ t<τ，τ+m- 1.≤ t型≤ T、 HA下，2，m≤ t<τ，（16）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}。定理1是一个中间结果：为了能够对因子结构没有变化的“经典”零进行检验，必须有一个在零下发散且在备选方案下有界的统计量。特别是，对于确保监控程序的尺寸控制，nu ll下的行为显然非常重要。可以注意到，Θtis在null下有界的原因是因为我们构建了一个基于估计特征值bλ（r+1）（t）随机化的统计量。因此，可以设想，将其倒数随机化将产生所需的行为。

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2022-6-1 05:45:29

虽然这在理论上是可能的，但我们建议反对：如引理2所示，在这种情况下，在nu ll下，Θtwo的行为将由一个与（N的倒数）成比例的项驱动-δNm1/2：但由于该估计值只是一个上界，因此不明显（与随机bλ（r+1）（t）的情况相反），因此不清楚这种情况下的发散率是多少。因此，我们建议使用基于ψN，m，R（t）=hΘtel（N，m，R）！，的第二次随机化来运行domiseΘt！，m级≤ t型≤ T、（17）其中，el（N，m，R）=（ln N）2+（ln m）2+（ln R）2+，对于某些>0-在实践中，任何较小的值都可以很好地工作。在（17）中，函数h（·），类似于（13）中的g（·），是一个单调递增的函数，使得h（0）=0且limx→∞h（x）=∞ ; 同样，我们使用h（a）=a。与φN，m（t）的情况类似，定理1包含thatlimN，m，R→∞ψN，m，R（t）=∞, m级≤ t型≤ T、 H、andlimN、m、R下方→∞ψN，m，R（t）=∞ m级≤ t<τ，0 t*N、 m级≤ t<t**N、 m，∞ τ+m- 1.≤ t型≤ T、，在HA、1、whilelimN、m、R下→∞ψN，m，R（t）=∞ m级≤ t<τ，0 t*N、 m级≤ t<τ+m- 1，根据HA，2。现在考虑第二个随机分组。步骤B1。在每个给定的t≥ m、生成i.i.d.示例eξj（t）Wj=1，公共分布Gψ，使得Gψ（0）6=0或1。步骤B2。对于从分布Fψ（u）中得出的任何u，定义ζj（u；t）=Iheξj（t）≤ uψ-1N，m，R（t）i.步骤B3。计算γ（u；t）=√WWXj=1eζj（u；t）-Gψ（0）pGψ（0）[1-Gψ（0）]。步骤B4。计算Γt=Z+∞-∞|γ（u；t）| dFψ（u）。为了研究Γt的不对称行为，需要以下假设；注意它们与假设4和5的相似性。假设6。认为：（i）Gψ（·）有界密度；（ii）R+∞-∞udFψ（u）<∞;（iii）Fψ（0）<1。假设7。它认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞W1/2“hRel（N、m、R）#-1.→ 如上所述，在假设6中，我们可以选择Gψ为标准正态分布，Fψ为离散均匀分布。

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2022-6-1 05:45:31

假设7中的限制为W提供了一个选择规则。设P+表示关于{Xi，t，1的条件概率≤ 我≤ N、 1个≤t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤ T}；我们使用符号“D+→” 和“P+→” 根据P+，分别确定分布和概率的条件收敛。定理2。在假设1-7下，最小值（N、m、R、W）→ ∞, 它认为ΓtD+→ χ、 H以下，m≤ t型≤ T、根据HA，1，表示m≤ t<τ和τ+m- 1.≤ t型≤ T、 HA下，2，m≤ t<τ，（18）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N、 1个≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。在假设1-5下，最小值（N、m、R、W）→ ∞, 它认为WΓtP+→R+∞-∞I[0，∞)（u）- Gψ（0）dFψ（u）Gψ（0）[1-Gψ（0）]，在HA下，1，对于t*N、 m级≤ t<t**N、 m，在HA下，2，表示t*N、 m级≤ t型≤ T、（19）对于{Xi，T，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。定理2也是一个中间结果。它表明，在零n-o断裂下，Γthas（渐近）阿奇平方分布；此外，通过构建序列ΓtTt=以样本为条件的t之间的不独立性。我们现在讨论如何利用这两个基本事实，以便提出一种在线检测因子结构中断裂的监测方案。3.2. 因子模型的序贯监测我们的序贯监测程序基于Horv'ath等人【37】提出的理论。回想一下，在收集了m个观察结果后，我们在m+1期间监控我们的模型≤ t型≤ T，其尺寸表示为Tm=T- m、然后，我们考虑基于检测器D（k；m）的监控程序=m+kXt=m+1Γt-1.√, 1.≤ k≤ Tm，（20），涵盖整个监测期。换句话说，我们的检测器是由双随机获得的序列{t}Tt=m的中心和标准化版本的累加和组成的。

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2022-6-1 05:45:36

也可以建议使用其他探测器，仅在监测期开始时使用不同的表格（20）。特别是，Kirch和Weber[42]建议使用滚动窗口，从而在t=m+k时开始监测程序-h+1对于一些h<h<k，h足够大。这种交替检测器的渐近性质可以用类似于本节证明的结果的方式推导出来，因此本文不讨论。根据定理2，中断意味着检测器（20）的平均值和之前的平均值发生偏移。因此，我们的监控方案寻找d（k；m）与其零分布的较大偏差。考虑到停车规则=inf{1≤ k≤ Tm，使得d（k；m）≥ ν（k；m）}，Tmif上述条件在1中不成立≤ k≤ Tm，（21）我们将估计的变化点位置定义为bτm=bkm+m。（21）中的阈值函数定义为（见Horv\'ath等人[37]和Horv\'ath等人[38]）ν（k；m）=cα，mν*（k；m），（22）ν*（k；m）=m1/21公里以上kk+mη, η ∈0,, （23）式中，cα，mis是与预先规定的α级相对应的临界值。根据η的选择，临界值为asPsup0≤t型≤1 | B（t）| tη≤ cα，m= 1.- α、对于η∈0,, （24）其中{B（t），0≤ t型≤ 1} 表示标准维纳过程，orcα，m=Dm- ln公司[-ln（1-α） ]Am，f或η=，（25），其中Am=（2 ln ln m）1/2，Dm=2 ln ln m+ln ln ln m-lnπ。注意，在（24）cα中，mdoes n不依赖于m，而在（25）中则依赖于m。另请注意，Chu等人【23】，尽管在不同的背景下，选择η=0。众所周知，基于η=0的测试具有最小的功率，相反，随着η的增加，功率会增加（见Horv\'ath等人[37]中的讨论）。为了推导我们的主要定理，我们还需要以下假设。假设8。它认为（i）Tm=O（mκ）f或某些κ≥ 1.（ii）lim infm→∞Tmm>0；（iii）Tm>τ+Cm1/2+，对于>0，使得n1-δm1/2-→ C、假设9。

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2022-6-1 05:45:40

它认为（i）R+∞-∞|u | 4+2δdFψ（u）<∞;（ii）m1/2+W-1+W“hRel（N，m，R）#-2+“hRel（N，m，R）#-1.→ 0，对于某些>0。假设8与Horv'ath等人[38]中的等式（1.12）相同，它本质上要求监控持续足够长的时间，比初始培训周期m更长。特别是，我们需要监控多个至少为m1/2的周期。假设9加强了假设6（ii），需要为序列{t}Tt=m提供一个动量条件，这将使中心极限理论成立。我们的主要结果如下。定理3。假设1-9成立。Under-Hit认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞P+最大值1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）≤ x个→ Psup0≤t型≤1 | B（t）| tη≤ x个, 对于η∈0,, （26）P+最大值1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）≤x+DmAm→ e-e-x、对于η=，（27）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}和x∈ R+。在HA，1和HA，2下，作为最小值（N，m，R，W）→ ∞, 对于给定的显著水平α，我认为C-1α，mmax1≤k≤*****（k；m）ν*（k；m）P+→ ∞, 对于所有η∈0,, （28）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}，其中，当η<时，cα在（24）中定义错误，当η=，在（25）中定义错误。以下结果总结了Th eorem 3的主要含义（回想一下T=Tm- m）：推论1。在定理3的假设下，它认为，作为min（N，m，R，W）→ ∞P+（bτm<T）≤ α、 H以下，（29）P+t型*N、 m级≤ bτm<t**N、 m级= 1，根据HA，1（30）P+t型*N、 m级≤ bτm≤ T= 1，在HA下，2，（31）对于{Xi，t，1的几乎所有实现≤ 我≤ N，1≤ t型≤ T}和{ξj（T），1≤ j≤ R、 m级≤ t型≤T}。在这种情况下，（29）所暗示的尺寸概念与文献中通常考虑的尺寸概念非常不同。

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2022-6-1 05:45:43

该程序的目的是使错误拒绝概率尽可能小，因此（至少）低于阈值α，而不是使其接近α。这使得监测程序不同于标准的内曼-皮尔逊p-arad igm（一般来说，也不同于多重检测）：鉴于监测范围不断扩大，cα、mis的目的是确保错误突破检测的可能性尽可能小——另请参见Hov\'ath等人的类似评论【38】。3.3. 变化点检测的延迟我们的方法的结果是，结构变化的监测（尽管处于高维设置中）可以被视为经典的时间序列框架。特别是，除了程序的一致性之外，一个自然的问题是，在检测br eak时，延迟会如何。为了正式解决这个问题，可以直接使用Aue and Horv\'ath的结果[4]；此后，我们将对设置中的延迟大小进行启发式讨论。考虑符号an=Ohm （bn）表明层序的大小不小于bn的大小，即。an>Cbn>0。然后，通过构造，{t}Tt=mhas，在替代方案下，t之后的平均值出现“大”偏移*N、 m，其中t*N、使（回忆（14））t*N、 m级- τ = OhmmN1-δ. （32）定义β，使N=mβ，并使用（12），可以分析（32）m和N传递到单位时的不同相对发散率。当β>时，我们得到δ=1-2β+表示的任意小值。因此，通过（32）t*N、 m=τ+Ohmmmβ（1-δ)= τ + Ohmm1/2+′,其中′>0是任意小的。因此，当N不远小于m或甚至更大时，以延迟t检测变化点*N、 m级-τ、 wh ich的顺序至少为m1/2。同样，只要β≤, i、 e。

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2022-6-1 05:45:46

N比m小得多，对于任意小的值，我们有δ=，所以t*N、 m=τ+Ohmm1级-β(1-δ),通过基本参数，可以得出m1-β(1-δ)= Ohm（m1/2+′）：在这种情况下，延迟可能更大。这符合这样一种直觉，即断裂将导致Γt（以及检测器）以与N一样快的速度发散：N越低，发散度越低，对断裂检测的影响越小。最后，考虑超高维情况很有趣，N=exp（m）。通过（12），它认为δ=1-(1 -）ln m2mf的值非常小。因此，（32）y IELDS*N、 m=τ+Ohmmexp（（1-δ） m）= τ + Ohmm1/2+′,再一次本质上，在所有考虑的情况下，都存在大于Cm1/2但小于Cm的中断检测延迟，也就是说，通过样本大小重新调整延迟，这种延迟消失。4、在一般情况下应用测试本节的目的是讨论如何在与上述假设稍有不同的假设下应用测试，以及在何种程度上可以放宽这些假设。第7.4.1节的结束语简要讨论了涉及测试修改的更实质性扩展。弱因素和局部替代本文发展的理论——从假设2开始——隐含地要求，当一个新因素因中断而出现时，这应该是一个渗透因子。事实上，假设的第（i）部分要求峰值特征值必须大于速率N，即“强”因子模型。然而，文献也考虑了一个或多个公共因子可能不太普遍的情况，从而导致协方差矩阵，其中一些特征值以Nκ的速率传递到完整性，对于κ∈ (0, 1).

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2022-6-1 05:45:49

联合考虑不同国家的宏观经济数据时，可能会出现一个弱因素的例子：全球因素很强，因为它们可能影响所有国家；然而，国家因素虽然在一个国家内很强，但只会影响所考虑的所有变量的一小部分，并且可以被视为很弱——例如，见Moenchet al.【50】中的实证研究。在存在此类“弱”或“局部”因子的情况下，因子模型的估计受到了文献的极大关注——参见De Mol等人【27】，Onatski【53】，在与我们相同的背景下，以及在略有不同的背景下，Lam和Yao【46】。弱因素的概念与局部替代假设的概念交织在一起，在局部替代假设中，断裂确实发生，但“很小”，例如，当断裂仅由部分而非全部荷载的变化引起时。我们关注HA的（代数s impler）情况，2。与关于弱因子的文献一致，我们允许第（r+1）个特征值表现为λ（r+1）（t）=CNκ，对于τ≤ t型≤ T、（33）对于κ∈ （0，1），而它对于t的所有其他值都是有界的。我们现在试探性地讨论在哪些条件下可以检测到如此小的中断；为了简单起见，我们考虑η<的情况。我们知道，根据定理2，第（r+1）大特征值中的一个中断进入序列ce{t}Tt=mas其平均值的移动：这本质上是监控程序检测中断存在的方式。特别是，通过分析定理1的证明并使用中值参数，可以得出≈ RZ公司+∞-∞Gφuφ-1N，m（t）-Gφ（0）dFφ（u）≈ CRφ-2N，m（t），（34）对于任何t≥ t型*N、 M适用于HA，2。然后，从（19）开始，对于相同的t值≥ t型*N、我们拥有≈ WZ公司+∞-∞Gψuψ-1N、m、R（t）- Gψ（0）dFψ（u）≈ CWψ-2N，m，R（t）。

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2022-6-1 05:45:51

（35）现在考虑（13）中的g（·）和（17）中的h（·）都是恒等式函数的情况。回顾符号N=mβ，注意到（33）我们有φN，m（t）≈ Nκ-δ、到（17）、（34）和（35），我们已经≈ CW R-2（ln N）8+（ln R）4+N4（κ-δ)= N、 R，W。在检查定理3的证明时，为了f或检测断裂的程序，要求m1/2N、 R、W→ ∞, 最小值（m、N、R、W）→ ∞. 因此，如果N、 R、W→ ∞br eak总是可以检测到的。如果相反N、 R、W→ 0，我们遇到收缩断裂。根据假设7，收缩断裂的有效条件是κ≤ δ、（36）可检测到断裂的必要条件是κ>δ-8β. （37）首先考虑N>m1/2的情况。那么，通过δ的定义，每当κ≤ 1.-2β，并且如果至少κ>1，则检测到一个新的弱因子-8β.这意味着，只有当β<，我们才有希望检测出任何κ>0的新的弱因子；相反，对于较大的β值，我们可以检测到新因子的κ值范围减小，例如，对于N=m，我们必须至少有κ>。关于这个案子≤ m1/2，因为我们可以选择δ非常小，（36）永远不会满足，但（37）总是满足，一般来说，我们无法更多地说明我们的程序检测出一个湿泡的能力。然而，我们注意到，在N=R=W的情况下，如下文第5节和第6节所述，收缩和检测破裂的必要和有效条件是δ+-8β<κ<δ+，当N≤ 无论κ如何，总是检测到m1/2a新因子。4.2. 异质成分中的异质性本文中的主要假设是关于Xi，t的，避免对ui，t的性质作任何评论。我们现在讨论了异方差存在时的测试行为，假设2没有明确考虑（虽然不是规则）。

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2022-6-1 05:45:54

为了简单起见，我们考虑协方差矩阵{ui，t}Ni=1突然变化的情况，尽管也可以考虑更一般形式的异方差。为了说明这一点，我们考虑一个协方差矩阵E（utu′t）发生大小突变的简单示例u在一个时间点之后，比如τ*:Eutu′t=∑u∑u+uform公司≤ t<τ*,τ*≤ t型≤ T、在哪里影响部分甚至所有协方差。为了使我们的测试适用，我们需要的唯一条件是ω（1）m级-1Ptk=t-m+1E（utu′t）≤ C每个t≥ m、式中，旋转ω（1）（A）表示矩阵A的最大特征值。当t<τ*, 只要ω（1）（∑u）≤ C、当t≥ τ*, 利用Weyl不等式得出ω（1）mtXk=t-m+1Eutu′t!≤ ω（1）（∑u）+ω（1）(u），（38）有界于ω（1）（∑u）≤ 坎德ω（1）(u）≤ C、本质上，只要pertu rbation矩阵uis不太大，因此只要特质的卵巢结构变化不太大，我们的测试仍然可以应用。条件（38）具有有趣的含义。考虑休息，以便u=诊断{di}，0≤ di公司≤ C全部1≤ 我≤ N、在这种情况下，如果误差项的方差都发生了变化（可能），但协方差结构没有变化，那么ω（1）(u）≤ C：通过引入虚假的尖峰特征值，即使是特质成分方差的较大（但大小有限）突破也不会改变e（XtX′t）特征值的结构。因此，关于我们程序的鲁棒性，一个有趣的问题是：什么时候特质成分的断裂足够强，足以与因子结构的断裂混淆？通过与上述相同的（heur-istic）标记，如果为了论证，ω（1），E（XtX′t）的特征值结构将发生变化m级-1Ptk=t-m+1E（utu′t）= CNε与ε∈ (0, 1].

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2022-6-1 05:45:57

通过Weyl不等式，假设因子分量ω（1）中没有中断，则mtXk=t-m+1Eutu′t!≥ ω（N）（∑u）+ω（1）(u）≥ ω(1)(u）。（39）因此，有效条件为ω（1）(u） =CNε。此外，假设ω（1）(u）≥N-1PNi=1PNj=1{u} i，j，then（39）认为，ich的突变“非常普遍”，因此它不仅影响特质成分的方差，而且影响它们的方差（不一定很大），可能引入尖峰特征值inE（XtX′t）。在这种情况下，我们的程序可能会检测到τ*作为一个变化点，即使信号组件没有变化，也可以参见Barigozzi等人在Offf-linecase中记录的相同现象。4.3. 考虑进一步替代假设的扩展到目前为止，我们将注意力集中在两种经验相关但非常特殊的替代假设形式上：负荷的可能变化-HA，1-和因子数量的可能增加-HA，2。然而，我们的方法非常通用，可以适应（稍加修改）其他情况。一个主要的例子是q≥ 1因素消失，即。HA，3：（Xi，t=Prj=1aijfjt+ui，tXi，t=Pr）-qj=1eaijfjt+ui，tfor1≤ t<τ≤ t型≤ T、（40）注意，在（40）中，我们可以考虑非消失因子的载荷也可能会发生变化，尽管这不是必需的。对于简单考虑的情况，q=1，则在（40）下，可以注意到Xi的协方差矩阵的第r个特征值在τ之前尖峰，然后有界。这表明（40）的测试可以基于bλ（r）（T）。

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