关于协方差矩阵最大特征值的高估

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《On the overestimation of the largest eigenvalue of a covariance matrix》
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作者：
Soufiane Hayou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
In this paper, we use a new approach to prove that the largest eigenvalue of the sample covariance matrix of a normally distributed vector is bigger than the true largest eigenvalue with probability 1 when the dimension is infinite. We prove a similar result for the smallest eigenvalue.
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中文摘要：
本文用一种新的方法证明了当维数为无穷大时，正态分布向量样本协方差矩阵的最大特征值大于概率为1的真最大特征值。对于最小特征值，我们证明了类似的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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kedemingshi

2022-6-1 05:54:31

关于高估协方差矩阵的最大特征值的问题，巴黎理工学院应用数学系，soufiane Hayou。hayou@polytechnique.eduAbstract.在本文中，我们使用一种新的方法证明了当维数为有限时，正态分布向量样本协方差矩阵的最大特征值大于概率为1的真实最大特征值。关键词：协方差矩阵、线性代数、随机矩阵理论1简介众所周知，当样本数与变量维数相比较大时，可以使用样本协方差矩阵精确估计相关矩阵：设p为维数，n为样本数，（Xi）1≤我≤t观察结果。样本协方差矩阵定义为：S=nnXi=1（Xi-\'\'X）（Xi）-其中X是X的转置，\'X是经验平均值。然而，当p与n相同时，样本协方差矩阵不是一个好的估计量。实际上，我们经验观察到，样本协方差矩阵倾向于对一大类协方差矩阵的最大（最小）特征值进行过度估计（低估）。关于这个主题有大量的研究论文。我们发现（一般而言）拟议方法有三大类：收缩到目标（如Ledoit和Wolf[4]）、随机矩阵理论（N.El Karoui[5]、Bouchaud和Bun[3]）和优化欠约束（如在[6]等条件数的约束下）。特别是，在[2]中已经证明，在极限谱（极限密度）的某些条件下，当p趋于完整（pn一致有界）时，最大样本特征值具有Tracy-Widom分布。利用这一点，我们可以很容易地证明，在这种情况下，概率1，我们高估了最大特征值。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:54:34

然而，这些条件有时很难验证，并且[2]中的有效条件对经验密度施加了限制密度。我们的目标是克服这个问题，并在频谱上提供一些容易验证的条件，而不受任何限制。在本文中，我们使用文献[1]中关于最大特征值概率分布上界的结果表明，在某些假设下，当维数变为整数时，事件{样本的最大特征值>真协方差矩阵的最大特征值}的概率收敛到1。下面，S是样本协方差矩阵，∑是真协方差矩阵，l≥ l≥ ... ≥ lps的特征值λ≥ λ≥ ... ≥ λp∑和q=pn<1的特征值是维数与样本量的比值。在第一节中，我们介绍了随机矩阵理论中关于Wishart矩阵（Chi平方分布的多维推广）的一些经典结果，我们展示了第2节和第3.2节中Wishart矩阵的主要结果以及特征值的分布。在这一节中，我们展示了Wishart分布以及随机矩阵理论中的一些相关结果。

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mingdashike22

2022-6-1 05:54:37

我们首先回顾Wishart矩阵的定义。定义：如果存在X，则p×p矩阵M称为具有协方差矩阵∑和自由度n的Wishart分布~ Nn×p（u，∑），使得M=XtX。我们用M表示~ Wp（n，∑）。当n≥ p、 Wishart分布的密度函数为：f（M）=-np/2Γp（n/2）（det（∑））n/2etr(-Σ-1M）（detM）（n-p-1） /2（1）其中etr是轨迹的指数，Γpis是广义伽马函数。当X~ Nn×p（u，∑），样本协方差矩阵S=nxxt具有Wishart分布Wp（n- 1，n∑）（证明见【11】。2.1特征线M的联合分布~ Wp（n，∑），其中n>p，则特征值l的联合分布≥ l≥... ≥ lpis由（见【11】）给出：g（l，l，…，lp）=πp/2×2-np/2（det∑）-n/2Γp（n/2）Γp（p/2）pYi=1l（n-p-1） /2ipYj>i（li-lj）佐佩特(-Σ-1HLHt）（dH）（2）式中，L=diag（L，L，…，lp），且积分在关于Haar测度的正交群Op上（见[8]）。一般来说，积分很难估计。然而，当∑=λI时，我们有：ZOpetr(-Σ-1HLHt（dH）=佐佩特(-2λHLHt）（dH）=etr(-2λL）ZOp（dH）=exp(-2λpXi=1li）Haar测度是旋转不变的，这意味着对于任何正交矩阵Q，one有：d（QH）=dh利用这一点以及存在正交矩阵Q的事实，∑-1=QD-1qt当D=diag（λ，λ，…，λp）时，我们可以证明先前的分布仅取决于∑的特征值。我们知道S~ Wp（n-1，n∑），所以特征值l的联合分布≥ l≥...

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可人4

2022-6-1 05:54:40

≥ 样本协方差矩阵的lpof由以下公式给出：g（l，l，…，lp）=πp/2（det∑）-（n）-1） /2Γp（（n- 1） /2）Γp（p/2）（n- 1） p（n-1） pYi=1l（n-p-2） /2ipYj>i（li-lj）佐佩特(-n∑-1HLHt）（dH）2.2样本协方差矩阵最大特征值的分布S最大特征值的累积分布函数由以下公式给出：P（l<x）=ΓP（P+1）ΓP（P+n）det（n- 1Σ-1）（n）-1） /2F1,1（n- 1.氮+磷；-nx∑-1）（3）其中F1,1是具有矩阵参数的超几何函数（见[9]）。这个函数很难计算，这使得前面的公式很难直接使用。下一个结果由R.J.Murhead在[1]中首次证明。定理I（Muirhead）：设x为非负实数。下列不等式适用于任何p和n，使得p<n:p（l≤ x）≤pYi=1P（χn≤nxλi）（4）P（lp≤ x）≥ 1.-pYi=1P（χn≥nxλi）（5），其中χnis是具有n个自由度的卡方随机变量。由于发现超几何函数的边界仍然是一个有趣的主题，我们无法完全检查该边界的质量（唯一的检查方法是通过模拟）。2.3特例：Marchenko Pastur分布当∑=I时，Marchenko Pastur定理表明，样本特征值的经验分布在p→ ∞ （q=pn固定）到Marchenko Pasturd分布，由：mp（x）=2πp（λ）给出+- x）（十）- λ-)qxλ-≤x个≤λ+式中λ+=（1+√q）和λ-= (1 -√q）。图1显示了q=0.1时的Marchenko Pastur分布。图1：。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:54:42

Marchenko Pastur分布q=0.13高估了最大特征值。在本节中，我们证明了在某些约束条件下，当维数变为整数（q=pn固定）时，事件l>λ的概率收敛到1。为了证明结果，将证明以下引理。引理1：Let(Ohm, P、 F）是概率空间，和（An），（Bn）两个事件序列（不必独立），limn→∞P（Bn）=1，那么我们有：lim supn→∞P（An∩ Bn）=lim supn→∞证明：我们有，P（An）∩ Bn）=P（An）+P（Bn）- P（An∪ Bn）并使用P（An∪ Bn）≥ P（Bn）和P（Bn）→ 1，我们得出结论。引理2：设χnbe是一个具有n个自由度的卡方随机变量，（an）是一系列正实数。然后对于任何递增和连续函数f和 > 0，我们有：lim supn→∞f（P（N（0，1））≤√n（an）-1)-)) ≤ lim支持→∞f（P（χn≤ nan））≤ lim支持→∞f（P（N（0，1））≤√n（an）-1)+))（7）和lim supn→∞f（P（N（0，1））≥√n（an）-1)+)) ≤ lim支持→∞f（P（χn≥ nan））≤ lim支持→∞f（P（N（0，1））≥√n（an）-1)-))（8）证明：我们知道χn=dZ+Z+…+ZNHERE（Zi）1≤我≤nare标准正态变量（分布相等）。由于高斯变量具有任意阶矩，我们可以使用中心极限定理，我们有：√n（χnn- （1）→dN（0，1）我们可以这样写：χnn=d1+√新西兰+√nn（9），其中Z~ N（0，1）和n=外径（1）（odmeansnConverge为0（分布）。我们知道，分布收敛到常数意味着概率收敛到同一常数。也就是说，我们可以写n=oP（1）。现在让我们 > 0

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kedemingshi

2022-6-1 05:54:45

我们有：P（χn≤ nan）=P（Z+n≤√n（an）- 1））=P（Z+n≤√n（an）- 1) , |n |<)+ P（Z+n≤√n（an）- 1) | |n |>)P(|n |>)我们也有，P（Z+ ≤√n（an）- 1), |n |<) ≤ P（Z+n≤√n（an）- 1) , |n |<)P（Z+n≤√n（an）- 1) , |n |<) ≤ P（Z- ≤√n（an）- 1), |n |<)现在我们使用引理1和序列An={Z≤√n（an）- （1）- } 和Bn={|n |<} 对于左不等式和序列An={Z≤√n（an）- 1) + } andBn={|n |<} 对于右边的不等式。我们得出结论，因为limn→∞P(|n |>) = 0和f是不断增加和连续的。第二个不等式可以使用函数x从第一个不等式推导出来→ g（x）=-f（1- x）这是不断增加和持续的。引理3：设F为标准正态变量的累积分布函数。那么以下不等式适用于任何实数x:x+√x+4≤rπex（1- F（x））≤x+qx+π（10）证明：对于任意实数y，我们使用以下不等式（公式[10]中的7.1.13）]：y+py+2≤ eyZ公司∞ye公司-tdt公司≤y+qy+π（11）我们使用x定义的新变量x=√2年，然后∞ye公司-tdt公司=√R∞xe公司-tdt。由此产生了不平等。现在，我们证明了本文的主要结果。定理II（主要结果）：设p，n为两个正整数，使得q=pn<1是固定的，（λ1，p≥ λ2，p≥ ... ≥ λp，p）p>0a频谱序列（频谱∑）和（l1，p≥l2，p≥ ...

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kedemingshi

2022-6-1 05:54:48

≥ lp，p）p>0相应样品光谱（S光谱）的序列。对于任何p，我们定义集合Jpby:Jp={i:For all m≥ p、 |λ1，mλi，m- 1| <√m} （12）和Jp的基数（Jp中的元素数）：φ（p）=| Jp |那么，φ（p）是递增的，当p→ ∞, 存在一个常数c>0，对于任何p>0的情况，lim supp→∞P（l1，P≤ λ1，p）≤ lim供应→∞e-c×φ（p）=e-c×跛行→∞φ（p）（13）因此，我们得到：limp→∞φ（p）=∞ => 无力的→∞P（l1，P≤ λ1，p）=0（14）之前的结果可以解释如下：当NP变为不确定时，如果集合JP的元素数不确定，则当维度不确定时（q固定），样本协方差矩阵以概率1高估了最大特征值。证明：设x为非负实数，且 > 我们回顾Muirhead的上界：P（l1，P≤ x）≤pYi=1P（χn≤nxλi，p）我们想证明当p→ ∞. 由于它是非负的，我们将证明相同数量的极限优势收敛到0。我们使用以下符号：xi，n=√n（λ1，pλi，p- 1），我≤ p=qnai，n=（p（χn≤nλ1，pλi，p）i≤ p=qn1 i>p=qnandbi，n=（p（n（0，1））≤√n（λ1，pλi，p- 1) + ) 我≤ p=qn1 i>p=qn我们有：lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≤p/qλ1，pλi，p））≤ lim支持→∞∞Xi=1log（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞日志（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞log（bi，n）（引理2）≤∞Xi=1lim supn→∞日志（1- zi，n）（引理3）其中，对于i≤ qn，zi，n=rπe-（xi，n+)xi，n+ +p（xi，n+)+ 4（15）和zi，否则n=0。

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kedemingshi

2022-6-1 05:54:51

我们知道，对于任何实数x<1，我们有log（1-x）≤ -x、很明显，对于任何i和n，zi，n<1（自xi，n， ≥ 0），因此，对于任何p（andn=pq），我们有：∞Xi=1supm≥nlog（1- zi，m）≤∞Xi=1supm≥n-zi，m≤∞Xi=1- infm公司≥nzi，m=-∞Xi=1英寸≥nzi，mNow，使用不等式（xi，m+)≤ 2（xi，m+), 事实上∈ Jp=Jqn，| xi，m |≤ 1 (m级≥ n），我们有我∈ 日本，m级≥ n:zi，m≥rπe-2（xi，m+)xi，m+ +p（xi，m+)+ 4因此，zi，m≥rπe-2(1+)1 + +p（1+)+ 4因此，infm≥nzi，米≥rπe-2(1+)1 + +p（1+)+ 4这给了我们以下不等式：∞Xi=1英寸≥nzi，米≥ φ（qn）rπe-2(1+)1 + +p（1+)+ 4注意φ（p）在增加，所以它有一个极限。使用单调收敛定理（自i、 m日志（1- zi，m）≤ 0),∞Xi=1lim supn→∞日志（1- zi，n）=limn→∞∞Xi=1supm≥nlog（1- zi，m）≤ - 画→∞∞Xi=1英寸≥nzi，米≤ - 画→∞φ（qn）c因此，lim supp→∞pYi=1P（χp/q≤p/qλ1，pλi，p）≤ e-c×跛行→∞φ（p），其中c=qπe-2(1+)1++√(1+)+因为这对任何 > 0，然后（两种情况下都是跛行→∞φ（p）最终或最终）我们有：lim SUPPT→∞pYi=1P（χp/q≤p/qλ1，pλi，p）≤ e-c×跛行→∞φ（p）（16），其中c=qπe-11+√.利用Muirhead不等式，我们得出结论：lim supp→∞P（l1，P≤ λ1，p）≤ e-c×跛行→∞φ（p）（17）注意，该定理适用于任何序列（xp）（而不仅仅是序列（λ1，p））。这证明了以下推论：推论1：设（xp）p>0是一个正实数序列。我们通过：Jp（x）={i：对于所有m≥ p、 | xmλi，m- 1| <√m} （18）和，φ（x，p）=| Jp（x）|（19）然后对于任何序列x，使得跛行→∞φ（x，p）=∞ 我们有那个跛脚→∞P（l1，P≤xp）=0。这意味着，对于维度变为完整时未与频谱隔离的任何序列x，概率为1，最大样本特征值的序列大于x（元素）。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:54:54

注意，如果x有一个极限γ，则最大样本特征值大于γ，概率为1.4低估了最小特征值。在本节中，我们表明，当维数为有限时，样本协方差矩阵低估了概率为1的最小特征值。这个结果为真的约束条件与前面的定理略有不同，但证明是相似的。定理三：设p，n为两个正整数，使得q=pn<1是固定的，（λ1，p≥λ2，p≥ ... ≥ λp，p）p>0a频谱序列（频谱∑）和（l1，p≥ l2，p≥ ... ≥ lp，p）p>0相应样品光谱（S光谱）的序列。对于任何正整数和正实数κ，我们定义了集Hp，κby:Hp，κ={i：对于所有m≥ p、 |λm，mλi，m- 1| <κ√m} （20）和集Hp的基数，κ：ξ（κ，p）=Hp，κ|那么，对于任何κ<qπ，存在cκ>0，使得：lim infp→∞P（lp，P≤ λp，p）≥ 1.- lim供应→∞e-cκξ（κ，p）（21）因此，我们有：对于任何κ<qπ，limp→∞ξ（κ，p）=∞ => 无力的→∞P（lp，P≤ λp，p）=1（22）证明：Let > 0和κ>0，使得κ<qπ。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:54:57

我们回顾了Muirhead关于最小特征值分布的下界：P（lp，P≤ x）≥ 1.-pYi=1P（χn≥nxλi，p）与前面的证明类似，我们使用以下符号：xi，n=√n（λp，pλi，p- 1），我≤ p=qnai，n=（p（χn≥nλp，pλi，p）i≤ p=qn1 i>p=qnandbi，n=（p（n（0，1））≥√n（λp，pλi，p- （1）- ) 我≤ p=qn1 i>p=qn我们有了，lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ lim支持→∞∞Xi=1log（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞日志（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞log（bi，n）（引理2）自i、 m，0<bi，m≤ 1、我们有：∞Xi=1supm≥nlog（bi，m）≤xi∈Hqn，κsupm≥nlog（bi，m）≤xi∈Hqn，κsupm≥nlog（zi，m）其中i≤ qm，zi，m=rπe-（xi，m-)xi，m- +q（xi，m）- )+π和zi，否则m=1。现在让n？0，我们知道了我∈ Hqn，κ，m≥ n：xi，m- +q（xi，m）- )+π≤-κ - +q+π所以，supm≥nlog（zi，m）≤ c其中c= 对数（qπ-κ-+√+π).因此：∞Xi=1supm≥nlog（bi，m）≤ ξ（κ，qn）c由于φ相对于p增加，我们有：lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ c画→∞ξ（κ，qn）注意limn→∞φ（κ，qn）可以是有限的，也可以是有限的。

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何人来此

2022-6-1 05:55:00

在这两种情况下 > 0，我们有：lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ c极限→∞ξ（κ，qn），其中c=log（qπ-κ+√π） =日志(-κ√π+2).因为κ<qπ，那么c<0，通过取cκ=-c、我们可以得出结论。5结果的解释在本节中，我们以定性的方式展示了定理II的条件如何在没有异常值（极限密度没有狄拉克质量）的情况下收敛到极限谱（根据经验密度收敛）时反映在谱上。注意，当维数为有限时，考虑光谱或密度是等效的（我们可以使用分位数从密度推断光谱，使用直方图从光谱推断密度）。现在假设谱（经验密度函数）收敛到某个函数s:x给出的确定性谱→ s（x）代表x∈ [0，1]其中s是递减的（s（0）是最大的特征值，s（1）是最小的）。让我们调查一下→∞φ（p）=∞ 定理II的平均值。为此，我们确定了光谱序列（（λi，m）1≤我≤m） m级≥1by：λi，m=g（im），其中g:x→ g（x）是定义在[0，1]上的连续严格递减函数，在[0，1]上可微分。设p为正整数。回想一下集合Jpin定理II的定义：Jp={i：对于所有m≥ p、 |λ1，mλi，m- 1| <√m} （23）我们有：我∈ 日本<==> m级≥ p、 g（im）≥g（m）1+√m级<==> m级≥ p、即时消息≤ g级-1（克（米）1+√m）由于g是一个异同态且g是有界的，我们得到了：g-1（克（米）1+√m） =g-1（克（米）（1-√m） +O（m））=克-1（克（米））-克（米）√m（克-1）（g（m））+O（m）=m-克（米）√mg（m）+O（m）利用这个，我们得到了：i∈ 日本<==> 对于所有m≥ p、我≤ 1.- 克（米）√mg（m）+O（1）由于g是连续的，我们有limm→∞g（m）=g（0）>0。因此，为了获得JPP的最终数量，当p变为最终数量时，我们需要有limm→∞√mg（m）=-∞, 它在g上具有以下属性：limx→0+√xg（x）=0。

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kedemingshi

2022-6-1 05:55:03

由此，我们证明了以下命题。命题1：设g是定义在[0，1]上的连续严格递减函数，可在[0，1]上微分。我们定义了光谱序列（（λi，p）1≤我≤p） p≥1对于任何p≥ 1和1≤ 我≤ p乘以λi，p=g（ip）（24）Let（（li，p）1≤我≤p） p≥1be样本特征值的对应序列（使用给定数量的样本n=p/q计算，其中q∈]0，1[固定）。假设limx→0+√xg（x）=0。然后我们有了：跛行→∞P（l1，P>λ1，P）=1注意，如果limx→0+g（x）是有限的，则满足对g的约束。当该限制是有限的（即limx→0+克（x）=-∞ 由于g在减小），发散率应小于平方根。以下命题是先前结果的一般版本。命题2：Let（（λi，p）1≤我≤p） p≥一系列光谱和（（li，p）1≤我≤p） p≥1be样本特征值的对应序列（使用一些给定数量的样本n=p/q计算，其中q∈]0，1[固定]。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:55:06

假设存在一个函数g，该函数在[0，1]上定义为连续且严格递减，在[0，1]上定义为可微分的，并且满足极限→0+√xg（x）=0，因此：k>0，p≥ k我∈ {1，…，p}，λi，pλ1，p≥g（ip）g（p）那么我们有：跛行→∞P（l1，P>λ1，P）=1顶：我们通过：Jp={i：对所有m≥ p、 |λ1，mλi，m- 1| <√m} andJp（g）={i:f或所有m≥ p、 | g（m）g（im）- 1| <√m} 很容易看出，在命题的假设下，我们有：Jp（g）使用命题1的证明，我们知道跛行→∞|Jp（g）|=∞, 这让我们一瘸一拐→∞|Jp |=∞, 我们用定理II得出结论。6特例：具有狄拉克质量的密度在这里，我们讨论具有狄拉克质量的密度的特例，看看定理II在这种情况下是如何应用的。我们考虑一系列光谱（（λi，p）1≤我≤p） p≥1因此，对于任何p，第一个k（p）特征值等于λ1，p，其中k（p）是p的函数。当经验密度收敛到某个极限密度时，limp→∞k（p）p=δ∈]0，1[谱的其余部分与最大特征值分离，则极限密度在最大特征值上具有Dirac质量，权重为δ。注意，在这种情况下，满足定理II的条件（因为φ（p）>k（p）→ ∞)我们得出结论，概率为1时，当维数为有限时，我们高估了最大特征值。注意，对于极限密度下的任何Dirac质量，前面的论点都是正确的，这证明（使用推论1）当维数为有限时，最大样本特征值大于极限分布中的任何Dirac质量。使用定理III，相同的参数表示最小特征值。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:55:09

我们的结论是，当狄拉克质量在极限密度内时，我们低估了最小特征值。7结论在本文中，我们证明了对于一大类协方差矩阵，当维数不确定时，我们以概率1高估（低估）最大（最小）特征值。利用Muirhead不等式，推导出集JP和HP上的条件是高估（低估）的最低要求。因此，条件的质量取决于不等式的质量，找到更宽松的条件与找到更好的协方差矩阵极值分布不等式直接相关。8致谢这项工作是我在彭博社（纽约）的研究实习期间完成的。我要感谢布鲁诺·杜皮尔先生给我机会从事这个项目，我还要感谢与我共事的定量研究团队的所有成员。参考文献1。R、 J.Muirhead（1974），《样本协方差矩阵的极端潜在根的分布函数的界》。生物计量学。2.N.El Karoui，Tracy Widom，一大类复样本协方差矩阵最大特征值的极限。(2007)3. Jol Bun，Jean-Philippe Bouchaud，Marc Potters，清理大型相关矩阵：随机矩阵理论工具。(2016)4. O、 Ledoit，M.Wolf，亲爱的，我缩小了样本协方差矩阵。(2003)5. N、 El Karoui，使用随机矩阵理论对高维协方差矩阵进行谱估计。(2006)6. J、 H.Won，J.Lim，S.J.Kim，B.Rajaratnam，《条件数正则化协方差估计》（2013）7。A、 Takemura，多元正态总体协方差矩阵的正交不变极大极小估计。(1983)8. E、 Meckes，测度集中与紧经典矩阵群。(2014)9. E

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nandehutu2022

2022-6-1 05:55:12

卡塔尼，关于超几何函数的三次讲座。(2006)10. M、 Abramowitz，I.A.Stegun，《数学函数手册》。(1964)11. A、 Bejan：最大特征值和样本协方差矩阵，理学硕士学位论文。(2005)

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