（γd-a.e.）F（b）·b=Д(F（b））+ψ（b）。我们还选择A（x）=f-1（x），由引理3.12在supp（u）上定义。定义u~ M=f（B）~ f（α），soRx·A（x）du（x）=Rx·A（x）d f（α）（x）=Rf（x）·x dα（x）=E【f（B）B】=E【M·B】。另一方面，Rνdν+Ru（dx）Rγ（A（x））（db）ψ（b）=E[Д（M）]+RA（u）（dx）Rγ（x）（db）ψ（b）=E[Д（M）]+RA（u）（dx）E[ψ（b）| b=x]=E[ψ（b）| b=x]]，=E[ψ（M）+ψ（b）]，因为A（u）=α=定律（b）。因此，（5.1）的r.h.s.在这种情况下变为[Д（M）+ψ（B）- M·B]=E[(F（B））+ψ（B）- M·B]=E[F（B）·B- M·B）=E【M·B】- M·B]=ERtr（σt）dt.因此，定理2.2暗示了M的最优性。我们现在在假设3.8下工作，仍然在任意维d中。定理3.14的证明。我们从命题3.11中观察到，优化问题（WOT）可以沿着Cu，ν的单元分解/分解。因此，对于第一和第二边缘分别为u（·| K）和ν（·| K）的相应传输问题，最优值必须仅适用于Cu、ν（u）-a.e.K。这将论证简化为定理1.10的前一种情况，我们得出结论。5.2。定理3.13的证明。虽然这最终是一个二维结果，但对于这些论点，除非我们明确表示，否则我们不会将维度d固定为2。设M是（MBB）的唯一优化器，我们在其中删除上标* 为了简单起见。根据定理2.2，这个连续时间鞅与唯一的两步鞅π优化（WOT）相关联。允许Fxbe是将γdto推到πx的最优输运映射。通过备注2.3，我们知道在M=x的条件下，鞅M由mxt：=fxt（Bt）给出，其中fxt（·）：=RFx（b+·）γd1-t（db）。（5.2）18 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADWe fix 0<t<1。根据引理3.12，我们发现Bt=（fxt）-1（Mxt）。我们表示πx，y：=定律（M | M=x，Mt=y）=Fx（δ（fxt）-1（y）* γd1-t） 。

（5.3）重要约定：对于本节的其余部分，我们约定x、y、zdenote分别为随机变量M、Mt、mr的可能值。引理5.1。设g是凸函数的唯一梯度，使得g（γd1-t） =πx，y。然后Fx（·）=g(-（fxt）-1（y）+·）。特别地fx由g的平移家族唯一确定，我们用类型（πx，y）表示：={a 7→ g（a）-r） ：r∈ Rd}。证据对于r∈ Rdwrite gr（·）=g（·）- r） 。那么，我们有πx，y=g（γd1-t） =g（fxt）-1（y）（δ（fxt）-1（y）*γd1-t） 。因此，两者FX和g（fxt）-1（y）向前推δ（fxt）-1（y）* γd1-tintoπx，y和两者都是凸函数的梯度。根据Brenier定理中的唯一性结果，它们是相等的。因此知道FXG确定模转换。相反，已知类型（πx，y）（即g的平移）决定fx在找到向量rsuch thatg（r+a）γd1时-t（da）=y。设πt：=定律（M，Mt）（5.4），考虑C：={C（x）}x：=Cπt，引理3.7的最小πt-不变可测凸铺砌。我们需要证明，在C的每个单元上，M是一个标准的拉伸布朗运动，即在每个单元C（x）上，我们需要找到一个凸函数F=FC（x），这样mx=F（（F）-1（x）+B），（5.5），其中fand F如（5.2）所示相关。为此，我们引入cea（x）：=类型（πx）={a 7→ 外汇（a- r） ：r∈ Rd}我们需要证明，在每个单元格上，A（x）是常数。我们首先建立一个初步结果。引理5.2。如果A（x）在C的每个细胞中都是常数，那么M是每个细胞上的标准拉伸布朗运动。证据如引理5.1所示。修复任意x∈ C（x）。那么，我们有Fx（·）=Fx（r（x）+·）为A（x）=A（x）。背景F：=Fx证明了这一说法。为了利用前面的引理，我们将研究[0，t]和[t，1]中鞅M的行为。

设▄π（dy，dz）：=argsup V（t，1，law（Mt），ν），其中▄π被理解为V（t，1，law（Mt），ν）的唯一优化器的初始和终端边缘的耦合。对于（5.4）中的πtf，我们用（πty）y表示其解体w.r.t.第二个边缘。回顾（5.3）中的πx，yf。引理5.3。对于定律（Mt）-a.e.y和πty-a.e.x，我们有πx，y（dz）=πy（dz）。证据通过引理2.4（1），我们必须有∧π=定律（Mt，M）。因此，πy=定律（M | Mt=y）。另一方面，πx，y=定律（M | Mt=y，M=x），因此通过引理2.4，我们得到πx，y（dz）=πy（dz），对于定律（Mt）-a.e.y和πty-a.e.x。前面的引理表明πx，yin事实的类型只取决于y。事实上，同样的情况也适用于x：鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点19引理5.4。对于u-a.e.x和πtx-a.e.y，我们有类型（πx，y）=a（x）。证据引理5.1，如果g∈ 类型（πx，y），然后fx是g的平移（平移可能取决于x，y）。但这反过来意味着g是外汇，即∈ A（x）。颠倒步骤可以得到相等的结果。我们完成了定理3.13的证明。简而言之，关键是要处理引理5.3-5.4中的空集合。只是从现在开始，我们假设d=2。定理3.13的证明。引理5.4证明了对于πt-a.e.（x，y），类型（πx，y）=a（x）。另一方面，引理5.3意味着对于πt-a.e.（x，y），类型（πx，y）=D（y），其中D（y）是所有πx的常见几乎确定类型，y可以从y获得。通过Fubini，我们得到πt（{（x，y）：a（x）=D（y）}）=1。我们想用这个来证明A（·）在Cπt的细胞上是常数。我们首先证明这个公式：={ri supp（πtx）}x∈通过（5.2）和引理3.12（v），我们得到supp（πtx）=supp（law（Mt | M=x））=coFx（Rd）是凸的。

在引理3.7的证明的最后部分，鞅性质隐含X∈ ri-co-suppπtx=ri-suppπtx，根据[52，定理6.3]，我们知道ri-suppπtx=suppπtx。因此，要证明CTI是一个候选的πt-不变凸铺砌，需要证明CTA的细胞成对不相交或相等。根据下面的命题5.5，有一整套初始位置，其性质是，如果x，x满足ri suppπtxTri suppπtx，, 然后A（x）=A（x），即πx和πxcoincide的类型。这意味着FxandFxare互相翻译，意味着Fx（Rd）=co外汇（Rd）。从上一段可以看出，这显示了supp（πtx）=supp（πtx），尤其是ri suppπtx=ri suppπtx。这一笔画证明了CTI是一个（πt不变）凸铺砌，并且a（·）在其单元格上是常数。由于Cπ比Ct更精确，这很好地证明了A（·）在Cπtas细胞中是常数，我们用引理5.2得出结论下面的关键命题5.5依赖于命题4.1的“单调性原则”，以及更具体的推论4.2。对于本节的其余部分，设Γ为u-全套推论4.2。提案5.5。有一个u-全套S Γ具有以下性质：如果x，x∈ S satisfyri suppπtxTri suppπtx，, 那么A（x）=A（x）。证据步骤1：根据下面的引理5.6，对于x，x∈ 我们有dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtx∩ ri suppπtx=>πtx（ri suppπtx∩ ri suppπtx∩ {πx，y，πx，y}）=πtx（ri suppπtx∩ ri suppπtx∩ {πx，y，πx，y}）=0。（5.6）现在的目标是证明对于成对的x，x∈ Γ（5.6）的l.h.s.有效。正如我们将在证明的最后一步中看到的，r.h.s。

of（5.6）是对动态编程原理的加强，它允许更有效地处理引理5.3和5.4中的空集。步骤2：通过引理5.7，我们知道如果x，x∈ Γ，则dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=1和ri suppπtxTri suppπtx，=> 暗淡的ri suppπtx∩ ri suppπtx= 步骤3：通过引理5.8，我们得到x，x∈ Γdim ri suppπtx=1和ri suppπtx={x}=> x<ri suppπtx。步骤4：通过引理5.9，我们得到了x，x∈ Γdim ri suppπtx=2和dim ri suppπtx=1=> ri suppπtxTri suppπtx= .20 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADStep 5：通过引理5.10，族Ct：={ri suppπtx:x∈ Γ，dim ri suppπtx=2}由成对的不相交集或相等集组成。由于这些是开放集，因此只能计算许多不同的此类集（即| Ct |=| N |）。如果是C∈ Ctis使得u（{x:ri suppπtx=C}）=0，然后我们从凸面铺设中丢弃这个集C。所以我们可以假设，对于C∈ cTu（{x:ri suppπtx=C}）>0。引理5.10集合{x∈ C:ri suppπtx={x}}在假设ν下为u-null λ. 因此，对于可数个C中的每一个∈ CTwe可以丢弃u-null集，这样在Γ的一个可能更小但仍然是u-完整的子集上，为了简单起见，我们一直调用Γ，我们有x，x∈ Γ，dim ri suppπtx=2和{x}=ri suppπtx=> x<ri suppπtx。最后一步：通过步骤3、4和5，我们可以假设，对于x，xin au全集，我们有ri suppπtxTri suppπtx， => dim ri suppπtx=dim ri suppπtx。在这种情况下，如果r.h.s.中的公共尺寸等于1，则通过步骤2，l.h.s.中的交点尺寸也等于1。另一方面，如果r.h.s.中的commondimension为2，则相交的维数自动为2（作为r中的一个开放凸集）。在任何情况下，都可以将d（x，x）称为这个公共维度。

我们将自己设置为（5.6），因此在步骤1中，我们必须具有I：=ri suppπtx∩ri suppπtxπtx（I∩ {πx，y，πx，y}）=πtx（I∩ {πx，y，πx，y}）=0。（5.7）可能会丢弃另一个u-空集，我们通过引理5.4知道，在u-全集上 对于集Y，Y的πtx（Y）=πtx（Y）=1，它保持该类型（πx，Y）=A（x），y∈ Y、 类型（πx，Y）=A（x），y∈ Y、 根据引理3.12，πtxis等价于d（x，x）维开集ri suppπtx上的d（x，x）维Lebesgue测度。由于ri suppπtxTri suppπtxis是d（x，x）维开子集，因此它也是正的d（x，x）-Lebesgue测度。那么它也是正πtx测度。因此，ri suppπtxTri suppπtxTY具有正的πtx测度和正的d（x，x）-Lebesguemeasure。但同样地，引理3.12，这个集合必须有正的πtx测度。我们得出结论，它同样具有正的πtx测度。对称参数表明，同一集合具有正πtx测度。但在（5.7）中，集合{y：πx，y=πx，y}在I中是πtx full。因此，它具有正的πtx测度，并且同样具有正的πtx测度。特别地，y{y：πx，y=πx，y}TY，,在这个交点上取y，我们得到（x）=type（πx，y）=type（πx，y）=A（x）。引理5.6。我们有（x，x）：dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtxTri suppπtx,和πtxri suppπtxTri suppπtxT{πx，y，πx，y}> 0或πtxri suppπtxTri suppπtxT{πx，y，πx，y}> 0T（Γ×Γ）=.证据取x，x∈ Γ. 根据推论4.2，两步鞅δxπx+δxπxis对于（4.4）是最优的。考虑它的连续时间模拟，即从x equalsmx开始到x equals Mx开始的鞅（参见（5.2）），两个起点的概率相等。我们用M（x，x）表示这个连续时间鞅。通过构造，定律（M（x，x）t | M（x，x）=x）=πtx，同样适用于x。

类似地，定律（M（x，x）| M（x，x）=x，M（x，x）t=y）=πx，xin而不是x也是如此。通过δxπx+δxπx的最优性，M（x，x）对于实际情况是最优的，情况d（x，x）=2由引理5.10解决，但我们倾向于给出一个一般参数。BENAMOU–BRENIER鞅：概率观点21（4.4）的连续时间模拟，然后通过动态规划（引理2.4），我们得到了Y，Y，Y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=Y）∈ Y，其中πtx（Y）=1，πx，Y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=Y）∈ Yπtx（Y）=1。重要的一点是，这在M（x，x）中是“逐点的”∈ {x，x}。现在进一步假设dim ri suppπtx=dim ri suppπtx=dimri suppπtxTri suppπtx,把d（x，x）称为这个公共维。通过引理3.12，我们得到了πtx和πtxrestrictedto ri suppπtxTri suppπtxare等价于d（x，x）-维勒贝格测度限制到同一集合。我们写：=ri suppπtxTri suppπtx。YTI在I中必然是πtx full，因此在I中也是πtx full。但是ytyty在I中也是πtx full。将x，x的角色颠倒过来，这个集合在I中也必须是πtx full。我们得出结论πtx（I \\（YTY））=πtx（I \\（YTY））=0。但在y上，我们有πx，y=定律（M（x，x）| M（x，x）t=y）=πx，y，所以πtx（IT{πx，y，πx，y}）=πtx（IT{πx，y，πx，y}）=0。证据到此结束。引理5.7。PutV：={（x，x）：ri suppπtx和ri suppπtx的维数为1，并在一个单态中相交}。那么，V∩ (Γ × Γ) = .证据我们使用与引理5.6证明中相同的符号，并假设（x，x）∈ 五、 通过构造，定律（M（x，x）t | M（x，x）=x）=πtx，对于x也是如此。因此，M（x，x）t条件是从x开始，或从x开始，分别位于与一个点p完全相交的线段中∈ R、 根据引理3.12，这些鞅的路径（限于[0，t]中的时间）演化为不同的“时空”条带，只沿直线L相交：={（p，s）：s≥ 0}.设τ：=inf{s：（M（x，x）s，s）∈ 五十} 。因此，在不可忽略的集合上，0<τ<t。

以M（x，x）为起点的τ定律等价于勒贝格测度（0，1）。原因是，这对于一维布朗运动是正确的，感谢引理3.12，条件是从x开始的鞅M（x，x），是在连续严格递增的时间变化之后的一维布朗运动。因此对于任何集合 （0，1）对于正Lebesgue测度，我们有P（τ∈ ET（0，t）| M（x，x）=x）>0和p（τ∈ ET（0，t）| M（x，x）=x）>0。因此，我们观察到，M（x，x）t定律推导出{M（x，x）s:s≤ τ ∧t} 与M（x，x）t定律不同于M（x，x）τ∧t、 实际上，当τ<t（等于M（x，x）τ时∧t=p）和τ∈ E、 我们不能肯定地说，鞅将在上述哪个条带中继续演化。相反，通过观察{M（x，x）s:s≤ τ ∧ t} 关于{τ<t}t{τ∈ E} ，这样的条带是完全确定的。因此M（x，x）不具有强马尔可夫性。但是，根据推论2.6，它不能在其边缘之间是最优的，因此（4.4）的δxπx+δxπx也不能是最优的。我们通过推论4.2得出结论，（x，x）<Γ×Γ。引理5.8。我们有{（x，x）：dim ri suppπtx=1，ri suppπtx=x，x∈ ri suppπtx}T（Γ×Γ）=. （5.8）证明。证明与引理5.7非常相似。设（x，x）属于（5.8）中最左边的集。使用相同的表示法，M（x，x）是一个鞅，如果从x开始，它在一个时空行程中演化，否则它是一个等于x的常数。我们表示τ{（x，s）：s的第一个命中时间≥ 0}. 由于鞅存在于条带中，因此τ<t的概率严格大于1/2。M（x，x）的强马尔可夫性在τ处被破坏∧t、 从过去的知识到τ∧t揭示了鞅是否恒常22 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M.HUESMANN，以及S.K¨ALLBLADor，此后不会。如前所述，根据推论2.6和推论4.2，M（x，x）不可能是最优的且（x，x）<Γ×Γ。

引理5.9。我们有{（x，x）：dim ri suppπtx=2，dim ri suppπtx=1，ri suppπtxTri suppπtx，}T（Γ×Γ）=.证据与前面的证明一样，我们将τ=inf{s:M（x，x）s与M（x，x）s联系起来∈ ri suppπtx}。把（x，x）放在最左边的一组中，这很乏味，但不难看出那条定律（M（x，x）τ，τ）|τ≤ t、 M（x，x）=x, 和法律（M（x，x）U，U）| M（x，x）=x,等价于ri suppπtx×[0，t]上的Lebesgue测度，其中U均匀分布在[0，t]上，且与一切无关。问题是，有一个共同的“时空”集合E由上述两条定律负责。但是M（x，x）t的行为条件是在过去的τ之前∧ t很大程度上取决于它的起始位置（例如，它是在一维还是二维集合中演化），而如果我们知道（M（x，x）τ，τ）∈ 这并没有揭示出鞅将继续旋转的集合的维数。这与强马尔可夫性质相矛盾，我们的结论与之前一样。引理5.10。家族ct：={ri suppπtx:x∈ Γ，dim ri suppπtx=2}，由成对不相交或相等的开放集组成。假设ν λ、 我们有∈ Ctandu（{x：ri suppπtx=C}）>0=> u（{x∈ C:ri suppπtx={x}}）=0。证据设∧由所有（x，x）组成，使得{dim ri suppπtx=2=dim ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，ri suppπtx，}.如前所述，我们可以证明∧不能与Γ×Γ相交。为了避免重复竞争，我们并没有给出论证，但我们提到，与其与强马尔可夫性质相矛盾，不如与正则马尔可夫性质相矛盾。我们总结第一个断言。现在让C∈ cT使u（{x:ri suppπtx=C}）>0，K：={x∈ C:ri suppπtx={x}}，假设u（K）>0。我们认为K是一个不可忽略的点云，鞅M在其中保持不变。自M起∈ K=> M∈ K、 假设v（K）>0，λ（K）>0。

因此{Mt∈ K} 是不可忽略的，无论M是从K开始还是从时间零点的{x:ri suppπtx=C}开始（在后一种情况下，由引理3.12）。由于这两组初始条件都是不可忽略的，因此我们与M的正则Markovproperty相矛盾∈ K} 在时间零点为K或{x:ri suppπtx=C}时，M在t之后的行为与开始条件截然不同。这与M的最优性相矛盾，我们得出u（K）=0的结论。进一步的最优性性质let T：={0=T≤ t型≤ ··· ≤ 田纳西州-1.≤ tn=1} [0，1]是一个有限的子网格。假设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，那么对于从某个分布α开始的布朗运动，Mt=ft（Bt）；见（1.9）。然后Mt=f（Bt），Mt=f（Bt），Mtn=fn（Btn）。表示νT：=定律（Mt，Mt，…，Mtn），ν在T中的时间指数上的投影，γT：=定律（Bt，Bt，…，Btn）。最后，考虑自适应映射n+13（b，…，bn）7→ fT（b，…，bn）：=（f（b），f（b），fn（bn））∈ [研究]n+1。因此，ft（γT）=νT。fti的每个分量都在增加，因为它是凸函数的梯度。这样的贴图是“递增三角变换”的一个示例，如【17】所示。它也可以从递增性w.r.t.词典编纂顺序的角度来理解，例如νThas aMARTINGALE BENAMOU–BRENIER：概率视角23密度。从某种意义上来说，在[4]中有适当的解释，fTsendsγTintoνTin是一个规范的方面。最佳方式：参见尊重。命题5.6及其推论2.10。由于无论子网格T如何，这都是正确的，因此我们有权将M视为布朗运动的自适应增量重排，变成具有给定初始最终定律的鞅。

此外，上述这种重排的规范/最优特征应转化为上一节中获得的M的最优性，反之亦然。现在，我们将此启发式变得严格。问题（MBB）相当于infmt=M+RtσsdBs，M~u，M~νE[tr hM- Bi]，（6.1）自E【tr hM】- Bi】=E【tr hMi】+E【tr hBi】- 2E类Rtr（σt）dt, r.h.s.中的前两个量不取决于混凝土耦合（M，B）。这也证明了对于（6.1）而言，B的起始位置无关。我们现在想建立一个符合（6.1）的随机过程定律之间的输运问题。为了便于标记，我们表示Ohm := C（[0，1]；Rd）。定义6.1。P和Q之间的因果耦合是概率测度πOhm × Ohm第一和第二边缘分别为P和Q，并满足附加属性t，A.∈ 英尺：(Ohm 3 x 7→ πx（A）∈ [0，1]）是（P，Ft）-可测量的，（6.2），其中F是P-完成的正则过滤，πxis是πw.r.t的正则条件概率。第一个边际。我们将∏c（P，Q）表示为所有此类π的集合。我们还表示∏bc（P，Q）={π∈ πc（P，Q）：e（π）∈ πc（Q，P）}对于e（x，y）=（y，x），双音频耦合的集合。有关这一定义的更多信息，请参阅[42、4、1、3]。在下面的内容中，我们为中的泛型元素编写（ω，’ω）Ohm × Ohm.引理6.2。设P和Q为鞅定律，π∈ πbc（P，Q）。然后启动canonicalprocessOhm × Ohm 是其自身过滤中的π-鞅。证据我们可以很容易地看到，在π下，我们有{ωs:0≤ s≤ t} 是π-条件独立于{ωs:0≤ s≤ 1} 给定{ωs:0≤ s≤ t} ，{ωs:0≤ s≤ t} π-条件独立于{ωs:0≤ s≤ 1} 给定{ωs:0≤ s≤ t} ，通过双因果关系。对于T>T，上述第一个性质意味着π[ωT |{ωs，\'-ωs，s≤ t} ]=Eπ[ωt |{ωs，s≤ t} ]=EP[ωt |{ωs，s≤ t} ]=ωt。第二个性质类似地表示Eπ[(R)ωt |{ωs，(R)ωs，s≤ t} ]=ωt，因此我们得出结论。

让我们用W维纳测度（从零开始）表示Ohm. 下一个引理建立了标准拉伸布朗运动和当前因果转移设置之间的关键联系。引理6.3。设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，Mt=M+RtσsdBs。Thenlaw（B- B、 M）∈ ∏bc（W，定律（M））。更一般地说，如果M是拉伸布朗运动，B如备注2.3所示，则相同的结论成立。证据设M是从u到ν的标准拉伸布朗运动。根据引理3.12，存在一个正交投影P，使得Mt=▄ft（▄Bt），其中▄Bt=PBt。通过相同的结果，M和B的过滤是一致的。这表明耦合定律（B- B、 M）是从W到法则（M）的因果关系。对于反向因果关系，必须观察{Bt+h-Bt:h≥ 0}独立于{Bs:s≤ t} ，特别是给定{Ms:s≤ t} 我们有{Bs-B： s≤t} 和{Ms:s≤ 1} 都是独立的。MA拉伸布朗运动的情况类似，在对后一个随机变量进行条件处理后，B独立于Mand。24 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADWe现在可以将这些片段放在一起，以获得轨迹定律意义下（标准）拉伸布朗运动的最优性。让我们定义一个划分Pnof[0，1]的定义序列，以确定usualmanner中C（[0，1]；Rd）上路径的二次变化h·i，即ω7→ hωii，j：=limn→∞Xtm公司∈Pn（ωitm+1- ωitm）（ωjtm+1- ωjtm），当存在极限时，否则+∞. 然后我们考虑∈Mc（u，ν）π∈πbc（W，Q）Eπ[tr hω- ωi），（6.3），其中Mc（u，ν）表示由[0，1]开始于u，结束于ν的连续鞅定律集。提案6.4。问题（6.1）和（6.3）是等效的。特别是，让M*是前者的最佳化者，即拉伸布朗运动。然后Q*:= 法律（M*) 是后者的最佳选择。证据设Q，π对（6.3）是可行的。

SinceEπ[trhω- ωi=EW[tr hωi]+EQ[tr hωi]- 2Eπ[tr hω，\'ωi]=EW[|ω|- |ω|]+等式[|(R)ω|- |ω|] - 2Eπ[trhω，ωi]，我们可以在（6.3）中等价地最大化Eπ[trhω，ωi]，而不是最小化Eπ[trhω-ωi）。然而，根据引理6.2，根据乘积公式，正则过程是π-鞅soEπ[tr hω，\'ωi]=Eπ[ω·ω]=Eπ[Eπ[ω·ω|ω]]，在π下为ω=0。表示πx=lawQ（‘ω|’’ω=x）和qx=lawπ（‘ω，ω）|’’ω=x），我们得到了qxisπx的第一个边缘和第二个边缘是γd。实际上，通过双因果π- 定律（ω|ω，’ω）=π- 定律（ω|ω）=γd，特别是π- 定律（ω|ω）=γd。因此π[tr hω，\'ωi]=Zu（dx）Zqx（dm，db）m·b≤Zu（dx）supq∈π（πx，γd）Zq（dm，db）m·b.（6.4）根据定理2.2，我们得出结论，（6.1）的值大于或等于（6.3）。让M*成为（6.1）的优化器（相当于（MBB））。备注2.3 M*当在核πx上最大化时，正是通过达到（6.4）的r.h.s.来构建的。通过表6.3的最后部分，我们可以构建一个双音频耦合π，以便在（6.4）中我们具有相等性。这证明了问题（6.1）和（6.3）具有相同的值，并且定律（M*) 是后者的最佳选择。备注6.5。根据文献[4]，问题（6.3）的离散时间版本会表明，将高斯随机游动发送到鞅中的最佳方式是通过Knothe-Rosenblatt重排（其边缘之间唯一的递增双尾三角变换）。这与本部分的第一段是一致的（一旦我们切换到增量bi-bi公司-1). 通过命题6.4，我们知道stretchedBrownian运动得到了问题（6.3）。

因此，可以将拉伸布朗运动描述为布朗运动的典型/最优Knothe-Rosenblatt重排，具有规定的初始和最终边缘。致谢我们感谢达里奥·特雷维桑在项目开始时激发了讨论。BENAMOU–BRENIER鞅：概率观点25参考文献[1]B.Acciaio，J.Backho ff-Veraguas和A.Zalashko。因果最优运输及其与扩大过滤和连续时间随机优化的联系。arXiv:1611.02610，2016年。[2] 安布罗西奥和吉利。最佳运输用户指南。在《网络流量建模与优化》中，数学课堂讲稿第2062卷。，第1-155页。施普林格，海德堡，2013年。[3] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、M.Eder和A.Pichler。加工距离的优良特性。arXiv:1701.039552017。[4] J.Backho ff-Veraguas、M.Beiglb¨ock、Y.Lin和A.Zalashko。离散时间因果迁移及其应用。《暹罗优化杂志》，27（4）：2528–25622017。[5] J.Backho Off-Veraguas、M.Beiglb¨ock和G.Pammer。弱运输成本的存在性和周期单调性。arXiv:1809.0589320018年。[6] E.巴尔德。青年测量理论及其在经济学中的应用讲座。撕裂Istit公司。小地毯的里雅斯特大学，31（增刊1）：1-692000年。测量理论和真实分析研讨会（意大利语）（Grado，1997年）。[7] R.低音。通过随机积分嵌入Skorokhod。Jacques Az’ema和Marc Yor，编辑，S’eminairede Probabilit’S XVII 1981/82，数学课堂讲稿第986号，第221-224页。1983年【8】M.Beiglb¨ock、A.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokhod嵌入。发明数学208(2):327–400, 2017.[9] M.Beiglb¨ock、A.Cox、M.Huesmann和S.Kallblad。测度值鞅与skorokhod嵌入问题basstype解的最优性。arXiv:1708.070712017。[10] M。

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