Benamou—Brenier鞅：概率观点

2022-6-1 06:10:04

今天，该领域因其在数学物理和PDE理论、几何和泛函不等式等领域的突出应用而闻名。我们参考[56，57，2，53]对该理论进行了全面的阐述。最近，人们还对运输计划必须满足附加鞅约束的最优运输问题感兴趣。这类问题自然出现在反金融中，但也具有独立的数学意义，例如，它们对鞅不等式的研究（参见[18，31，51]）和斯科罗霍德嵌入问题[8，36]有重要影响。研究此类问题的早期论文包括[34，13，55，24，23，21]，这个主题通常被称为鞅最优输运。鉴于Benamou、Brenier和McCann关于平方欧几里德距离的最优传输、相关的连续时间传输问题和McCann位移插值的开创性结果所起的核心作用，在鞅背景下寻找类似概念也很有趣。虽然[15，32]提出了Brenier单调输运映射的鞅版本，但我们的出发点是Benamou Brenier连续时间输运问题，我们在此重申该问题，以便与我们随后将考虑的鞅类似物进行比较。1.1. Benamou-Brenier运输问题和概率项中的McCann插值。鉴于我们随后给出的结果的概率性质，isMB非常感谢FWF拨款Y00782的支持。MH通过CRC 1060获得了德国中日韩研究所的部分支持。应急效应数学和豪斯道夫数学中心以及MH通过VRG17-005.2 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.项目获得了维也纳科学技术基金（WWTF）的部分资助。

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2022-6-1 06:10:07

用概率语言（probabilisticlanguage）可以方便地回忆一些经典概念和最优传输的结果。给定d维分布空间P（Rd）中的概率u，ν，具有有限的二阶矩系数t（u，ν）：=infXt=X+Rtvsds，X~u，X~νE“Z | vt | dt#。（BB）然后通过【19】我们得到定理1.1。设u，ν∈ P（Rd），并假设u与Lebesgue测度绝对连续。然后（BB）有一个唯一的优化器X*.备注1.2。在定理1.1（和下面类似）中，（BB）的解是唯一的，因为路径空间C（[0，1]）上存在唯一的概率测度，因此规范/恒等过程优化（BB）。在概率方面，McCann的位移插值可由[u，ν]t定义：=定律（X*t）其中t∈ [0，1]和u，ν，X*如定理1.1所示。定理1.3。Letu，ν∈ P（Rd），并假设u与Lebesgue测度绝对连续。设s，t，λ∈ [0，1]，s<t。然后[u，ν]s，[u，ν]tλ= [u, ν](1-λ） s+λt.（1.1）此外（t- s） T1/2（u，ν）=T1/2（[u，ν]s，[u，ν]t）。（1.2）最后，通过凸函数的梯度给出（BB）的优化器。更准确地说，通过【16】，我们得到了定理1.4。假设u相对于Lebesgue度量值和u，ν是绝对连续的∈ P（Rd）。候选进程X，X~ u，X~ ν是一个优化器，当且仅当ifX=f（X），其中f是凸函数的梯度ν：Rn→ R和所有粒子以恒定速度移动，即Xt=tX+（1- t） X=X+t（X- 十）。1.2. 鞅对应。Letu，ν∈ P（Rd）为凸序（表示为u对于Rd上的布朗运动，我们考虑优化问题mt（u，ν）：=supMt=M+RtσsdBsM~u，M~νE“Ztr（σt）dt#，（MBB）另见下文（2.1）。我们有定理1.5。假设u，ν∈ P（Rd）满足ucν。然后（MBB）有一个optimizerM*这在法律上是独一无二的。从表面上看，优化问题（BB）和（MBB）看起来相当不同。

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2022-6-1 06:10:10

然而，不难看出，这两个问题都相当于优化问题，它们之间的关系更为明显。在下面的第6节中，我们确定*= argminX~u，X~νW（X，恒速粒子），（1.3）M*= 阿格明姆~u，M~νWc（M，常数波动率鞅），（1.4），其中Wdenotes Wasserstein距离相对于平方Cameron-Martin范数，而Wc表示一个适应的或因果的类似物（用Lasalle[42]的术语），详见第6节。（1.4）中的重新表述允许以下解释：M*其演化过程是否尽可能地遵循布朗粒子的运动，并受边缘条件M的约束~ u，M~ ν. 这在以下定义中激励了名称。因果运输计划以与经典Kantorovich运输计划趋势图相同的方式概括适应过程。BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点3定义1.6。Letu，ν，M*如定理1.5所示。然后我们叫M*拉伸布朗运动（sBm）从u到ν。我们将鞅位移插值定义为[u，ν]Mt：=定律M*t、（1.5）对于t∈ [0, 1].与定理1.3类似，我们有定理1.7。假设u，ν∈ P（Rd）满足ucν。设s，t，λ∈ [0，1]，s<t。然后h[u，ν]Ms，[u，ν]MtiMλ=[u，ν]M（1-λ） s+λt.（1.6）此外（t- s） MT（u，ν）=MT（[u，ν]Ms，[u，ν]MT）。(1.7)1.3. 拉伸布朗运动的结构。在经典的Benamou–Brenier输运问题的解中，粒子以恒定速度沿直线运动。相反，我们将看到，在sBm的情况下，单个粒子的运动模仿布朗运动。

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mingdashike22

2022-6-1 06:10:14

广义地说，这些粒子的“方向”将由一个映射来决定，该映射是一个凸函数的梯度，这与经典情况类似。为简单起见，我们首先考虑u，ν，ucν是实线上的概率，u集中在一个点上，即u=δmW，其中m是ν的中心。事实证明，在这种情况下，sBm M M*正是具有终端分布ν的“Bass鞅”[7]（或“Brownian鞅”）。我们简要回顾其结构：选择f:R→ R递增，使f（γ）=ν，其中γ是R上的标准高斯分布。然后设置为t∈ [0，1]Mt：=E[f（B）| Ft]=E[f（B）| Bt]=Ft（Bt），（1.8），其中B=（Bt）t∈[0,1]表示从B开始的布朗运动~ δ、（Ft）t∈[0,1]布朗过滤和ft（b）：=Rf（b+y）dγ1-t（y），γs~ N（0，s）。很明显，M是一个连续的马尔可夫鞅，使得M~ δm，m~ ν. 作为下面结果的一个特殊结果，我们将看到M是一个拉伸布朗运动。为了说明一般多维情况下的结果，我们需要考虑Bass构造的扩展。让F：Rd→ R为凸函数，且setft（b）=RF（b+y）γd1-t（dy），（1.9），其中γds表示具有协方差矩阵s Id的中心d维高斯。如果bde注意到d维布朗运动始于B~ α、我们有[F（B）| Ft]=Ft（Bt），t∈ [0, 1]. （1.10）定义1.8。如果Rd上存在概率测度α和凸函数F:Rd，则连续Rd值鞅M是从u到ν的标准拉伸布朗运动（sBm）→ R带F（α* γd）=ν，使得mt=E[F（B）| Ft]和M~ u，其中B是带B的布朗运动~ α.注意，对于α，ν∈ P（Rd）存在一个凸函数FF（α*γd）=ν和Fisα* γd-唯一到一个加性常数。（这是Brenier定理的结果，参见例如定理1.1或[56，定理2.12]。）备注1.9。

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2022-6-1 06:10:17

布朗运动和几何布朗运动都是标准拉伸布朗运动的例子。我们有以下结果4 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADTheorem 1.10。Letu，ν∈ 带u的P（Rd）cν。如果M是从u到ν的标准拉伸布朗运动，则M是（MBB）的优化器，即M是从u到ν的拉伸布朗运动。定理1.11。Letu，ν∈ 带u的P（Rd）cν。让M*是从u到ν的拉伸布朗运动，即（MBB）的优化器。写入M*,xf对于以M=x为开始条件的鞅M，然后对于u-a.a.x∈ Rd鞅M*,xis是标准的拉伸布朗运动。作为这些结果的一个特殊结果，如果u集中在一个点上，则sBm和sBm的概念是一致的。然而，一般来说，sBm和sBm之间的关系更为复杂：鞅输运问题的一个显著复杂性是由这样一个事实引起的，即松散地说，空间的某些区域彼此不通信。考虑一下u，ν是实线分布的特殊情况。在这种情况下，鞅输运问题可以分解为可数个“最小”分量，在每个分量上，问题的行为与经典输运问题非常相似。我们请读者参考第3.1节的详细定义，在此阶段仅提供一个示例。示例1.12。设u：=1/2（λ|[-3.-2]+ λ|[2,3]), ν := 1/6(λ|[-4.-1]+ λ|[1,4]). 然后任意鞅M，M~ u，M~ ν将满足以下条件：如果M>0，则M>0和ifM≤ 0然后M≤ 0.即。

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kedemingshi

2022-6-1 06:10:20

正面和负面的hal fline不“沟通”，鞅传输问题应该分别在空间的这两个部分上考虑。如果该对（u，ν）分解为多个最小成分，如前一示例中所示，则u到ν之间不存在sBm。然而，对于一维情况，我们将建立以下内容：鞅是一个sBm当且仅当它在每个最小分量上的行为类似于sBm时，见定理3.1。值得注意的是，对于维度d而言，非通信区域带来的挑战似乎更加复杂≥ 2、参见Ghoussoub–Kim–Lim【44】、DeMarch–Touzi【22】和Obl'oj–Siorpaes【50】的深刻贡献。特别是，如何将鞅输运问题分解为不同的部分，以模拟一维情形中最小分量的行为，还没有完全理解。下面我们将特别强调d=2的情况，在额外的正则性假设下，ν是绝对连续的。这个例子似乎特别有趣，因为它可以识别问题的几何结构，同时避免更高维度中存在的非最小性的更复杂影响。根据[22，50]的结果和一个特殊的“单调性原则”，我们将能够在二维情况下更大程度地恢复主要的一维结果（定理3.1），请参见下面的第3.2-3.3节，特别是其中的定理3.13。我们推测，sBm的类似结构特征可以在一般维度上建立，有待未来朝着[22，50]的方向发展。1.4. 进一步说明。1.4.1. 离散时间版本和单调性原则。经典的Benamou–Breniertransport公式立即简化为常见的离散时间运输问题，即平方距离成本。

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2022-6-1 06:10:23

类似地，鞅版本（MBB）可以重新表述为离散时间问题，更准确地说，是[29]意义上的弱输运问题。（MBB）的离散时间重新格式在推导我们的主要结果中起着重要作用。为了分析离散问题，我们引入了弱输运问题的“单调性原理”。这种方法的起源是用c-循环单调性描述最优运输计划。在优化运输方面，Gangbo–McCann已经认识到这一概念的潜力【25】。最近，这种想法的变体被证明在许多相关情况下是有用的，参见[41、12、58、30、15、8，鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点549、10]。有鉴于此，弱运输问题的单调性原则本身似乎也有可能引起人们的兴趣（参见我们第一次发布这篇文章后出现的[27，5]）。1.4.2. 薛定谔问题。我们的变分问题（MBB）让人想起著名的Schr¨odinger问题，在该问题中，我们的想法是在具有固定初始值和最终边缘的路径测度上最小化关于维纳测度（或其他马尔可夫定律）的相对熵。我们参考了调查【43】及其参考文献。在这些相似性中，让我们提到Schr¨odinger问题的解决方案是唯一的，并且是aMarkov定律，此外，该问题还有一个类似于传输的离散时间重新公式，这是动态路径空间版本的基础。另一方面，（MBB）和Schr¨odinger问题在概率变分问题的对立端有着特殊的意义，我们优化了“波动保持不变”，而后者优化了“波动保持不变”1.4.3. Bass鞅和Skorokhod嵌入。

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mingdashike22

2022-6-1 06:10:26

Bass[7]使用Bass鞅（1.8）来解决Skorokhod嵌入问题。霍布森询问是否存在与这种构造相关的自然最优性，以及是否可以给出一个具有非平凡起始定律的版本。（MBB）产生了Bass构造的最优性，拉伸布朗运动产生了一种具有非平凡起始律的Bass嵌入。值得注意的是，在[9]中首次获得了Bass鞅在最优性方面的特征，该文中考虑的变分问题指的是测度值鞅，与（MBB）中考虑的变分问题有很大不同。1.4.4. 几何布朗运动。从以上结果可以清楚地看出，布朗运动是（在适当的时间尺度下）任何边缘之间的sBm。事实上，对于常数和时间无关的σ，布朗鞅dMt=σdbt也是如此。我们发现，值得注意的是，这同样适用于几何布朗运动。1.4.5. Kellerer定理和Lipschitz核。Kellerer定理[40]指出，如果分布族（ut）t∈[0,1]在实线满意度上≤ t型=> uscut，存在aMarkovian鞅（Xt）t∈R+与定律（Xt）=ut每t。按当代术语（见[33]），（ut）t∈R+被称为孔雀和（Xt）t∈R+是与此孔雀相关的马尔可夫鞅。建立凯勒定理技术上最复杂的部分是证明对于ucν存在一个鞅转移核P，它具有以下lipschitz性质：一个核P:x 7→ πx，ν（dy）=Ru（dx）πx（dy）称为Lipschitz（或更准确地说是1-Lipschitz），如果W（πx，πx）≤ |x个- x |对于所有x，x.Kellerer对Lipschitz核存在性的证明不是建设性的，并且使用了Choquet定理。

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2022-6-1 06:10:29

其他证明基于非平凡起始定律的Skorokhod问题的解决方案，参见【45，14】。拉伸布朗运动产生了一种新的Lipschitz核结构：给定概率u，ν，u实线上的cν和写M*对于从u到ν的sBm，则为定律（M*|M*)是一个Lipschitz内核。我们在下面的推论3.2中提供了论点。凯勒定理能否推广到Rd，d上的边际测度≥ 2保持打开状态。虽然所有先前已知的用于证明凯勒定理的核构造本质上都局限于维数d=1，但上述方法似乎更容易推广。我们打算在今后的工作中进一步探讨这个问题。1.4.6. 几乎连续的差异/局部波动模型。假设（ut）t∈[0,1]（其中ut，t∈ [0，1]是实线上的概率）是孔雀，因此t 7→ u在弱拓扑中是连续的。Lowther[45]证明了适当的连续性条件使得Keller定理中出现的Markov鞅唯一。用他的话来说，有一个独特的“几乎连续”鞅微分Mact~ ut，t∈ [0, 1].在进一步的规则性条件下，Macis正是Dupire的局部波动模型。6 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨allbladstrected Brownian运动给出了Mac的一个简单近似方案。写出满足每个k的马尔可夫鞅的mn∈ {1，…，n}，（Mnt）t∈[（k-1） /n，k/n]是u（k）之间的拉伸布朗运动-1） /nanduk/n。MN是一个连续的差异，根据Lowther的[45，46]，MAC=limn是很简单的→∞Mn，（1.11），其中极限是有限维分布的收敛性（参见[14]）。1.4.7. 列维过程。

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2022-6-1 06:10:32

本文中的许多论点仅依赖于布朗运动增量的独立性和平稳性。因此，一个类似于（MBB）但基于参考L'evy过程的问题应该可以想象地表现出与我们在布朗情况下发现的类似的性质。在这个方向上，确定（1.11）中描述的近似程序的结果可能是一个有趣的问题。1.4.8. 双重问题，相关工作。Tan和Touzi[55]从一般角度研究了类似于（MBB）的优化问题，特别是建立了此类问题的对偶理论。【35】中也强调了双重观点，这与目前的工作是平行的。在其他结果中，[35]得出了一个PDE，该PDE为优化措施流（MBB）或相关成本标准创造了充足的条件。1.5. 文章概要：在第2节中，我们介绍优化问题的离散时间变量。我们还证明了导言中所述的一些多维结果，并提供了sBm的进一步性质（MBB的动态规划原理，sBm的马尔可夫性质）。在第3节中，我们陈述了关于sBm在维度1和维度2的结构的主要结果。在第4节中，我们提出了弱输运问题的单调性原则，这对于我们在维2中的分析至关重要，但也可能是独立的。在第5节中，我们总结了主要结果的证明。最后，在第6节中，我们进一步介绍了鞅律之间（因果）最优运输问题的sBm和sBm的最优性性质。1.6. 注：集合X上的概率度量集将用P（X）表示。对于ρ，ρ∈ P（X）我们为ρ和ρ的所有耦合集写∏（ρ，ρ），即在乘积空间上的所有测量值均为ρ和ρ。

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2022-6-1 06:10:35

两个概率度量u，ν∈ P（Rd）称为凸序，短u对于所有凸实值函数，cνi ff保持≤Rνdν。在本文中，我们fixu，ν∈ P（Rd），假设ucν和这两个度量值都有单位秒矩。我们用M（u，ν）表示所有鞅耦合的集合，这些鞅耦合的边值为u和ν（根据Strassen定理[54]），即M（u，ν）：={π∈ P（Rd×Rd）：Eπ[（y- x） h（x）]=0表示所有h:Rd→ R Borel有界}。对于Rd×Rdwe上的一般度量π，用（πx）x表示∈rD条件转移核给定第一个坐标或等效于其分解w.r.t.第一个边缘。对于ρ∈ P（X）和可测映射f:X→ Y我们写f（ρ）=ρo f-1对于f下ρ的推进。对于集合a Rdwe表示为a fff（a）包含它的最小a ffne向量空间，dim（a）a fff（a）的维数，ri（a）a的相对内部（即a的内部相对于a fff（a）的相对拓扑，继承自Rd中的常见拓扑），以及A：=A\\r i（A）相对边界。用co（A）和co（A）分别表示A的凸包和闭凸包。A处A的相对面由rfa（A）={y定义∈ A：（A）- ε（y- a），y+ε（y- a）（） A、一些ε>0}。对于集合Γ Rd×Rdwe表示Γx：={y：（x，y）∈ Γ}和proj（Γ）Γ在第一个坐标上的投影。给定π∈ M（u，ν）我们说如果π（Γ）=1和x，则Rd×Rdis是π的鞅支持∈ ri（Γx）表示u-a.e.x。最后，我们用λd，γd，γdtresp表示。勒贝格、标准高斯和高斯度量在Rd中使用协方差矩阵t Id，并保留符号* 用于卷积。BENAMOU-BRENIER鞅：概率观点72。任意维度的优化和辅助结果我们首先以（稍微）更精确的形式重新表述我们的主要优化问题。MT：=MT（u，ν）：=supMt=M+RtσsdBs，M~u，M~νE“Ztr（σt）dt#。

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2022-6-1 06:10:38

（2.1）这里，上确界接管了所有过滤概率空间的类(Ohm, F、 P），具有σan Rd×d值F-渐进过程和B d维F-布朗运动，因此M是鞅。事实上，作为定理2.2的一个特殊结果，基本概率空间的选择是不相关的，前提是(Ohm, F、 P）足够丰富，可以支持具有连续分布的F-可测随机变量。根据Doob的鞅表示定理（参见[38，定理4.2]），如果我们使用绝对连续的交叉变差矩阵对从u到ν的所有连续d维局部鞅进行优化，则上述上确界是相同的（然后用所述矩阵的Radon-Nikodym密度根的轨迹代替成本）。我们还将对上述问题的“静态”版本感兴趣，正如BenamouBrenier公式与具有二次成本的静态最优运输问题相关联WT：=WT（u，ν）：=sup{πx}x，mean（πx）=xRu（dx）πx（dy）=ν（dy）Zu（dx）supq∈π（πx，γd）Zq（dm，db）m·b。（WOT）标签（WOT）反映了这是一个弱最优运输问题的事实（成本函数在优化变量中是非线性的）。备注2.1。完成平方英寸（WOT）yields1+Z | y | dν- 2 WT=inf{πx}x，平均值（πx）=xRu（dx）πx（dy）=ν（dy）Zu（dx）W（πx，γd），（2.2），其中是P（Rd）上通常的LWasserstein距离。（2.2）的r.h.s.显然是Gozlan等人【29，28】设定的Awak运输问题。我们首先建立迄今为止所介绍的静态和动态问题之间的联系，此外，还建立了两种情况下优化器的唯一性。作为推论，这产生了导言中所述的定理1.5。定理2.2。

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2022-6-1 06:10:41

静态和动态问题（WOT）和（MBB）是等效的。更准确地说，（1）WT=MT<∞,（2）（WOT）具有唯一的优化器π*;（3）（MBB）具有唯一的in-law optimizer M*;(4) π*= 法律（M*, M*) 和M*= G（π*) 对于某些函数G，即M*可以由π明确构造*.证据设M对（MBB）是可行的。利用It^o公式和Mwe-haveE的鞅性质Rtr（σt）dt= E[米·B- M·B）=E【M·（B）】- B） ]=E[E[M·（B- B） | M]]。设qx=定律（M，B- B | M=x）我们发现qx∈ π（πx，γd）表示πx=定律（M | M=x）和Rtr（σt）dt=Ru（dx）Rqx（dm，db）m·b。由此我们很容易得出WT≥ MT。现在让π对（WOT）是可行的。对于每个x，我们可以找到Fx（·）凸面，以便Fx（γd）=πx。我们现在定义Mxt：=E[Fx（B）| FBt]，对于给定的标准布朗运动，使用布朗过滤FB。潜在地扩大我们的概率空间，我们可以假设存在一个与布朗运动无关的随机变量X，B8 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADwith X~ u. 我们用F表示过滤（在潜在的更大概率空间上）。由于Mx=Ryπx（dy）=x和ru（dx）πx（dy）=ν（dy），我们得出结论{MXt}t∈[0,1]是从u到ν的连续鞅。按构造ru（dx）supq∈π（πx，γd）Rq（dm，db）m·b=Ru（dx）Rγd（db）b·Fx（b）=EhEhB·MX | Xii，最后一项与前面一样等于E【Rtr（σt）dt】（σ可以很容易地从Fx）。这证明了WT≤ MT，因此WT=MT。完整性∞ > WT从M·b开始≤ |m |+| b |和具有有限二阶矩的ν和γ；请参阅（WOT）。为了证明（WOT）已达到，让我们用（πn）n表示∈N（其中πN（dx，dy）=πnx（dy）u（dy））优化序列。集∏（u，ν）在P（Rd×Rd）中是弱紧的。此外，凸子集M（u，ν）是弱闭的（因此是弱紧的），例如[56，定理7,12（iv）]。

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2022-6-1 06:10:44

通过[6，定理3.7]，我们得到了可测核x 7的存在性→ πx∈ P（Rd）和一个子序列，仍然用（πn）n表示，这样在u-满setNPn上≤Nπnx（dy）→ πx（dy），关于P（Rd）中的弱收敛。特别是RNPN≤NπN→ P（Rd×Rd）中的弱拓扑中的π，其中π（dx，dy）：=u（dx）πx（dy）。因为M（u，ν）是闭合的，所以我们有π∈ M（u，ν）。最后，WT=limnRu（dx）supq∈π（πnx，γd）Rq（dm，db）m·b=limNRu（dx）NPn≤Nsupq公司∈π（πnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤ limNRu（dx）supq∈∏（NPn≤Nπnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤Ru（dx）lim supNsupq∈∏（NPn≤Nπnx，γd）Rq（dm，db）m·b≤Ru（dx）supq∈π（πx，γd）Rq（dm，db）m·b≤ 重量。第一个不等式由η7的凹度决定→ H（η）：=supq∈π（η，γd）Rq（dm，db）m·b w.r.t.测度的凸组合。第二个不等式是Fatou引理，注意到被积函数在L（u）内有界（该界等于u和γ的二阶矩之和）。第三个不等式是平均核在u-全集上的弱收敛性和H（·）的上半连续性。为了唯一性，必须注意H（·）实际上是严格凹的，这是Brenier定理的一个简单结果。因此，得到了（WOT），我们用π表示唯一优化器*.取π*我们可以构建一个优化器M*对于（MBB），如证明的第一部分所示（两个问题的值一致）。我们最终确定了（MBB）优化器的唯一性。设M为任何此类优化器。根据前面的考虑，我们推断（~M，~M）定律是唯一优化器π*of（WOT）。在{M=x}上的条件，因此我们有▄M连接δxtoπ*x、因此，在这些边缘之间，以{M=x}为条件的u（dx）-a.s.~M是最佳的。实际上，supNt=x+RtσsdBs，N~π*xE公司Rtr（σt）dt= 谱仪半定量分析∈Π(π*x、 γd）Rq（dm，db）m·b，（2.3）根据迄今为止获得的结果，因为如果▄m以▄m=x▄为条件，对l.h.s.而言不是最佳的。它不能提供MT=WT的等式。

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2022-6-1 06:10:47

因此，有必要证明（2.3）的l.h.s.是唯一实现的。但任何具有波动率σsatifies[Rtr（σt）dt]=E[NB]的候选鞅N（因为这里我们可以假设B=0）。因此，Brenier的理论表明▄M=对于凸函数Fx，Fx（B）在{M=x}上。自优化交通地图fx是唯一的，鞅性质唯一地决定了▄M的定律，我们最终得到▄M=M*在法律上。备注2.3。定理2.2的证明展示了如何通过以下过程为（MBB）构建优化器，使语句M*= G（π*) 在定理2.2（2）中，精确：（1）找到唯一优化器π*of（WOT）。鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点9（2）发现凸函数fxFx（γd）=π*x、（3）定义Mxt：=E[Fx（B）| Bt]=RFx（y+Bt）γd1-t（dy）。（4）取X~ u与B无关，设Mt：=MXt。特别是，这证明了导言中的定理1.11。现在，我们建立优化器M的进一步属性*of（MBB），其在任何数量的尺寸中都同样适用。其中前两项对于证明尚未得出的结果很重要，即（MBB）遵循动态规划原则，并且*是一个强马尔可夫鞅。最终财产，即*是其边缘之间的“最优恒速”插值，对于将我们的鞅解释为经典输运中位移插值的类似物至关重要，特别是在导言中证明了定理1.7。对于停止时间0≤ τ ≤ T我们定义（τ，T，u，ν）：=supMr=X+RrτσudBu，τ≤r≤德克萨斯州~u，MT~νE“ZTτtr（σu）du#），（2.4），使MT=V（0，1，u，ν）。引理2.4（动态规划原理）。对于每个停止时间0≤ τ ≤ 1V（0，1，u，ν）=supMs=M+RsσrdBr0≤s≤τ、 M级~unEhRτtr（σr）dri+V（τ，1，law（Mτ），ν）o，（2.5），符合以下约定： = -∞.

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2022-6-1 06:10:50

特别是如果M*对于V（0，1，u，ν），则：（1）M*|[τ，1]对于V（τ，1，定律（M））是最优的*τ），ν），（2）米*|[0，τ]是V（0，τ，u，law（M）的最佳值*t））（3）A.s.我们有法律（M*|M*s、 s≤ τ） =定律（M*|M*τ).证据显然，（2.5）的l.h.s.小于（2.5）的r.h.s。现在就拿r.h.s.的MFeasibleforthe r.h.s.（使其误适应过滤{Fs∧τ} s≥0，B是与之相适应的[0，τ]上的布朗运动，dM=σ（1）dB）。设Mbe对V（τ，1，律（Mτ），ν）为最优。通过Remark2.3，我们可以从起始分布Mτ和该随机变量的过滤以及与F无关的布朗运动W（以及Mτ的so）来构建mf，因此dM=σ（2）dW。然后，我们在[0，1]上建立一个连续鞅M，将其设置为Mon[0，τ]和Mon（τ，1），很容易得到ehrτtr（σ（1）r）dri+V（τ，law（Mτ），ν）=ERτtr（σ（1）R）dr+Rτtr（σ（2）R）dr.观察Bs=1[0，τ]（s）Bs+1（τ，1]（s）[Bτ+Ws- Wτ]是过滤Fand F的布朗运动，dM=（1[0，τ]（s）σ（1）s+1（τ，1]（s）σ（2）s）dB，然后是。h、上面的s是M作为一个鞅的代价，从u开始，到ν结束，和V（0，1，u，ν）一样小。让M*对于V（0，1，u，ν）是最佳的。使用（2.5）显示点（1）-（2）很简单。但由此得出M*|[0，τ]是（2.5）的r.h.s.的最佳值。这一点（1）和上一段中的参数显示了如何将M缝合在一起*|[0，τ]和M*|[τ，1]为V（0，1，u，ν）生成优化器M。但这必须与M一致*, 唯一性。另一方面，通过M*τ与独立于{M]的布朗运动*s： s≤ τ} ，so定律（M | M*s、 s≤ τ） =定律（M | M*τ）我们得出结论。提案2.5。让M*作为（MBB）的优化器并设置[u，ν]Mt：=定律（M*t）。然后是法律（M*, M*t）对于边缘u和[u，ν]Mt之间的（WOT）是最优的。同样，相同边缘之间的（MBB）的优化器是时变鞅s∈10 J.BACKHOFF-VERAGUAS，M.BEIGLB¨OCK，M。

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2022-6-1 06:10:53

HUESMANN和S.K¨ALLBLAD[0，1]7→ M*最后，对于0≤ r≤ t型≤ 1，我们有WT（[u，ν]Mr，[u，ν]Mt）=Mt（[u，ν]Mr，[u，ν]Mt）=√t型- r MT（u，ν）=√t型- r重量（u，ν）。（2.6）证明。我们使用备注2.3中的符号，并写出M*t=MXt=fXt（Bt），其中fXt（·）：=RFx（b+·）γd1-t（db）。因为[u，ν]Mt=fXt(√tB），不难看出*s： =E[fXt(√tB）| FBs]=fXst(√tBs），是（MBB）的优化器，从uat s=0到[u，ν]Mtat s=1。当然N*与时变鞅s 7重合（inlaw）→ M*通过定理2.2，我们得到了定律（M）的最优性*, M*t）。接下来我们注意到J（fXs）（Bs）是一个矩阵值鞅，其中js代表雅可比矩阵，这可以从卷积结构或PDE参数中很容易看出。因此E[J（fXs）（Bs）]=E[J（fXst）(√tBs）]。识别N的“σ”*和M*我们观察到DN*s=√tJ（fXst）(√tBs）dBs、dM*s=J（fXs）（Bs）dBs，根据It^o公式。我们将所有发现放在一起R√tJ（fXst）(√tBs）ds=√tREhJ（fXst）(√tBs）ID=√tREhJ（fXs）（Bs）ID=√tE公司RJ（fXs）（Bs）ds,同样，通过定理2.2，我们得到Mt（[u，ν]M，[u，ν]Mt）=√t MT（u，ν）。（2.6）的一般情况如下所示。因为命题2.5表明*, M*t）对于（WOT）在其边缘之间是最优的，引理2.4的点（3）立即意味着推论2.6。唯一的优化器M*of（MBB）具有很强的马尔可夫性。备注2.7。恒等式（2.6），至少对于连续时间问题，已在更一般的设置下，通过缩放参数在[35，备注4.1]中获得。（2.6）的解释很清楚：我们的最优鞅是一个等速测地线，而测地线的距离是通过成本函数的平方来测量的。3、维度1和维度2的主要结果在本节中，我们研究了前一节中建立的唯一优化器（MBB）的内部结构特性。

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2022-6-1 06:10:56

在附加假设3.8下，我们得到了维度1的完整描述，维度2的完整描述和一般维度的部分描述。3.1. 一维情形。Letucν是具有单位秒矩的线上的概率度量。对于R和x上的度量α∈ R我们写uα（x）：=R | x- y | dα（y）。凸序关系ucν等于uu≤ uν。我们从[15，附录A.1]中回忆起，“不可约成分（u，ν）”由（唯一的）开放不相交区间{Ik}k族确定∈n联合等于开放集{uu<uν}：=nx∈ R:R | x- y | d（u- ν）（y），0°。然后可以分解u=η+Pkukandν=η+Pkνk，其中uk=u| Ik，Ik={uuk<uνk}和νk（Ik）=uk（Ik），而η集中在r\\SkIk上。一个有用的直接结果是，从u到ν的每个鞅耦合（即鞅BENAMOU–BRENIER：概率观点11π∈ M（u，ν））完全由其在集合Ik×Ik上的外观来表征。限制条件πk：=π| Ik×Ik=π| Ik×罕见的仍然鞅耦合（在这个意义上，对于uk-a.a.x，它们各自的崩解满足y（πk）x（y）=x），但总质量为uk（Ik），边缘为uk，νk。我们现在可以陈述d=1的主要结果，表征拉伸布朗运动的结构。定理3.1。Letucνbe具有有限二阶矩的线上的概率测度。候选鞅M是（MBB）的优化器当且仅当它是（u，ν）的每个不可约分量（uk，νk）上的标准拉伸布朗运动。特别地，拉伸布朗运动（sBm）是每个可约分量中的标准拉伸布朗运动（sBm）。让我们解释一下这里使用的术语。说M是（u，ν）的不可约分量上的sBm，具体地说，意味着在M上有条件∈ Ik，M是从uk（Ik）ukt到uk（Ik）νk的sBm。

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2022-6-1 06:10:59

我们强调，在目前1- d案例定理3.1明显强于定理1.11。现在，我们证明了引言中首次提到的事实，即- d拉伸布朗运动的传递核是Lipschitz：推论3.2。Letucνbe具有有限二阶矩的线上的概率测度，以及M*从u到ν的唯一拉伸布朗运动。然后是kernelx 7→ π*x： =定律（M*|M*= x），具有Lipschitz性质：W（π*x、 π*x）≤ |x个- x |。证据根据定理3.1，M*是每个不可约分量中的（sBm）。假设x<x，并且它们属于同一个组件。从这个组件开始，我们可以写M*t=E[f（B）| Bt]，f增大，B为布朗运动，具有一定的起始规律。选择y，ysuch thatEy[f（B）]=x<x=Ey[f（B）]，观察这意味着y<ysince f正在增加。这反过来意味着，对于以零开始的aBrownian运动B，随机向量（f（B+y），f（B+y））是有序的，并且具有边缘π*X和π*x、 HenceW（π*x、 π*x）≤ E[| f（B+y）- f（B+y）|]=Ey[f（B）]- Ey[f（B）]=x- x、另一方面，如果x、x不在同一分量中，我们让f和g表示与（sBm）s表示相关的递增函数。如果x<x，则f的范围低于g的范围，我们得出的结论与上面的显示一样。现在，我们开始对d=2的定理3.1进行更微妙的扩展。我们省略了定理3.1的部分，因为它很容易从二维考虑中推导出来（没有太大的影响，也没有额外的假设）。3.2. 预备工作。我们简要地讨论了与任意维上的马尔可夫耦合分解相关的一些方面。稍后，这将主要用于Dimension2。在此之后，我们还提供了一个对下一节非常重要的分析结果。定义3.3。

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2022-6-1 06:11:02

凸面铺装C是来自Rd的不相交相对开放凸面集的集合。表示SC：=SC∈CC，我们将始终假定u（SC）=1。对于x∈联合国安全理事会 Rd我们用C（x）表示cw中包含x的唯一元素。如果函数x 7→ C（x）是12 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨allblad，可以作为从Rd到具有Wijsman拓扑的Rd的所有闭（凸）子集的波兰空间的映射。定义3.4。LetΓ Rd×Rd和π∈ M（u，ν）。我们说，对于u-a.e.x，如果πx（C（x））=1，则凸铺路C是oπ-不变的，如果ri（Γx），则是oΓ-不变的 C（x）表示所有x∈ 项目（Γ）。请注意，凸面铺装层C、C之间的自然顺序由C给出≤uC<==> C（x） C（x）表示u- a、在这种情况下，我们说C比C细（后者比前者粗）。以下两个定理如[26，22，50]所示。定理3.5（Ghousoub Kim Lim【26】）。给定π∈ M（u，ν）和Γ Rd×Rda鞅支持π，存在一个Γ不变的凸铺砌。我们用Cπ，Γ来表示它。定理3.6（De March Touzi【22】，Obl'oj Siorpaes【50】）。有一个最小的凸面铺砌，表示为Cu，ν，它对所有π都是π不变的∈ M（u，ν）同时。写入Cu，ν={Cu，ν（x）}x∈Rd，函数x 7→ Cu，ν（x）是普遍可测量的。如果我们知道这些凸面铺面重合，这将简化我们的一些证明。对于d=1的情况，确实如此，但对于d=2的情况，这可能会失败。实际上，我们将使用另一种凸面铺装，它融合了上述两种铺装的理念/特性。引理3.7。给定π∈ M（u，ν）有一个最可测量的π不变凸铺砌，我们表示Cπ。这可以通过仔细阅读[22]来建立，并调整其中的论点（当然[22]可以取得更多的成就！）。

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2022-6-1 06:11:05

我们在下面的附加假设下给出了一个独立的、较短的论点，这也将出现在第3.3节中。假设3.8。对于所有π∈ M（u，ν）和C凸面铺设我们有πx（C（x））=1u- a、 s。=> πx（C（x））=1u- a、特别是对于这样的C和π，C是π不变的i fπx（C（x））=1u-a、假设3.8下Lemmma 3.7的证明。受[22]的启发，我们引入了优化问题inf{Ru（dx）G（C（x））：C是一个π-不变的可测凸铺砌}，其中G（C）：=dim（C）+gC（C），gC是aff（C）上的标准高斯测度，即从aff（C）上的dim（C）-维Lebesgue测度获得的。设Cnbe是π不变凸覆盖的优化序列，并设Ohm 是一组u-全度量值，其中πx（Cn（x））=1表示所有n（这里Cn（x）表示Cn的一个元素）。x简介∈ Ohm 相对开集Cπ（x）：=rfx（TCn（x））。我们有∈ Cπ（x）sincex∈TCn（x）。此外，我们还有Cπ：={Cπ（x）：x∈ Ohm} 形成分区，因为已经{TCn（x）：x∈ Ohm} 是一个分区。让我们确定πx（Cπ（x））=1。我们开始假设K凸：ri co suppπx K=> πxrfxK公司= 1.（3.1）我们取K:=TCn（x）。由于Cn（x）是闭合的，凸的且满足πx（Cn（x））=1，因此我们有co suppπx Cn（x）。另一方面，co suppπx不能包含在Cn（x）因为根据假设3.8，我们有πx(Cn（x））=0。根据[52，推论6.5.2]，我们必须得到ri-co-suppπx ri Cn（x）=所有n的Cn（x），因此ri co suppπxTCn（x）=K。由（3.1）我们得到πxrfxK公司= πxCπ（x）= 1根据需要。总之，Cπ是π不变的凸铺路，度量空间（X，d）的所有闭子集集合上的Wijsman拓扑是{dist（X，·）：X生成的弱拓扑∈ 十} ，参见。

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2022-6-1 06:11:08

[22].回想一下 A.=> rfaA rfaA，这是一个∈ A.<==> 一∈ rfa（A）和rfa（A）=ri A<==> 一∈ ri A.MARTINGALE BENAMOU–BRENIER：一个概率透视图13和自Cπ（x）以来 Cn（x）we findru（dx）G（Cπ（x））≤Ru（dx）G（Cn（x）），由此得到Cπ的最优性。为了完成证明，让我们建立（3.1）。根据鞅性质，我们很容易看到x∈ ri co suppπx。由此，ri co suppπx=rfxri co suppπx rfxK。Henceri co suppπx rfxK的l.h.s.等于co suppπxby【52，定理6.3】，所以（3.1）如下。备注3.9。同样的证明，模明显变化，证明了所有π都存在一个可测凸铺路不变量∈ M（u，ν）同时。然而，这并不能证明存在如[22]中所述的最大扩展鞅耦合。以下是假设3.8的有效标准。引理3.10。假设3.8满足，如果d∈ {1，2}和ν λd.证明。接下来是类似于[26，引理C.1]中的论点。我们省略了细节。定理3.6和假设3.8的一个直接结果是将阿马丁格尔分解为不可约分量。注意与第3.1节中解释的一维情况相似。提案3.11。设Cu，ν={Cu，ν（x）}x∈Rdbe是定理3.6的凸铺路，并假设假设3.8。然后（i）我们可以用u（·K）分解u=Ru（·K）dCu，ν（u）（K），和ν=Rν（·K）dCu，ν（u）（K）cν（·| K）表示cu，ν（u）-a.e.K；（ii）对于任何鞅耦合π∈ M（u，ν）对于Cu，ν（u），我们有π（·| K×K）=π（·| K×Rd）- a、 e。

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2022-6-1 06:11:10

K、该常用度量值的第一和第二边缘分别等于u（·| K）和ν（·| K）；（iii）任意鞅耦合π∈ M（u，ν）可以唯一地分解为π=Rπ（·K×K）dCu，ν（u）（K）。证明与[15，附录A.1]一样，但更简单，因为在假设3.8下，我们得到了从两个相邻单元开始的鞅不会继续到达单元边界的交点。因此，我们省略了证据。最后，我们提出了一个技术引理，该引理在证明维度2中的主要结果时非常有用。引理3.12。设η为Rd中的概率测度，具有有限的二阶矩，且F:Rd→ R凸面，使得F（γd）=η。表示V：=a fff（supp（η）），并设P为V上的正交投影。然后，存在凸函数F:V→ R使得γd- a、 s。F=Fo P、对于所有s>0，函数RD3 b 7→ fs（b）：=RF（b+y）γds（dy）=R~F（Pb+z）P（γds）（dz）∈ Rd具有以下性质：（1）它是完全连续可区分的。（2）仅限于V，它是一对一。（3） fs（Rd）=coF（Rd）。（4） fs（γd）等价于V受限toco上的m维Lebesgue测度F（Rd），其中m=尺寸（V）。（5） supp（fs（γdt））=一氧化碳F（Rd）是凸的，不依赖于s>0或t>0。设m=dim（co suppπx），假设x∈ （co suppπx）。然后我们可以找到一个（m-1） -支持x的维度超平面，在一个相关的半空间中包含co suppπx。通过鞅性质，我们得到，必然suppπx，然后co suppπxtoo，必须实际包含在超平面本身中。因此dim（co suppπx）≤ m级- 1产生矛盾。14 J.BACKHOFF-VERAGUAS、M.BEIGLB¨OCK、M.HUESMANN和S.K¨ALLBLADProof。γd-a、美国平等F=FoP、遵循Brenier定理将P（γd）映射到η中，并观察到（￠F）o P） =P((F）o P） =(F）o P

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2022-6-1 06:11:13

第（1）点后面是变量的变化和积分符号下的微分。或者，我们可以与经典的反向热方程争论。点（2）、（3）和（5）后面是V中γdin Rdand P（γd）的全支撑性质。如果η是Dirac delta（那么m=0），则点4非常正确。否则必须考虑光滑函数v3v7→fs（v）：=R~F（v+z）~γ（dz），其中▄γ=P（γds），并证明▄fs（▄γ）~ λV | coF（Rd），其中后者表示V上的m维Lebesgue受限于oF（Rd）。自▄γ~ λV，我们通过【56，定理4.8（i）】得到λV-a.e.~fsa的雅可比矩阵是可逆的。通过变量的变换公式，很容易得到▄fs（▄γ） λV，之前对Monge-Amp\'ere方程的观察【56，定理4.8（iii）】得出λV- a、 e.r：d▄fs（▄γ）dλV（r）=det公司（Jfs）-1（右）dγdλV（￠fs）-1（右）fs（V）（r）。（3.2）按第3点计算，~fs（V）=coF（Rd），所以我们得出▄fs（▄γ）~ λV | coF（Rd）因为在后一种情况下，测量密度dfs（γ）dλV | coF（Rd）是a.e.非消失。3.3. 二维情况。我们对d=2的第一个主要结果是对sBm结构的表征，在导言中提供了定理1.11的一个显著强化版本。定理3.13。Letucνbe具有有限二阶矩的rw中的概率度量。假设ν λ、让M*成为（MBB）的唯一优化器。设置πt=定律（M*, M*t）对于0<t<1。然后是拉伸布朗运动M*是Cπt的每个细胞上的标准拉伸布朗运动。这一部分的第二个主要结果是，只要我们能够建立关于较粗Cu，ν凸铺砌的sBm，sBm的最优性。我们对该结果的证明依赖于简化假设3.8，如引理3.10所示，在进一步要求ν绝对连续的情况下，该假设在维度2中得到验证。

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2022-6-1 06:11:16

因此，我们将这个结果放在这里，尽管原则上它在任意维度都是有效的结果。定理3.14。在假设3.8下，如果M是凸面铺砌Cu，ν的标准拉伸布朗运动，则它对于（MBB）是最优的（即，它是sBm）。备注3.15。定理1.10和定理3.14之间的区别如下：第一个结果表明，标准拉伸布朗运动本身是最优的，而第二个陈述允许更多的自由，因为我们可以选择依赖于Cu，ν细胞的拉伸布朗运动定义中的凸函数。因此，这个结果是定理1.10的强化版本。备注3.16。对于维1（d=1），定理3.1建立了标准拉伸布朗运动的存在性，并将其描述为唯一优化器。对于相同的（可数）凸铺路，可以理解存在性和最优性。对于两个维度（d=2），定理3.13和3.14以及引理3.10在假设ν λ、标准stretchedBrownian运动的存在性和最优性特征。然而，在这种情况下，对于可能不同的凸面铺装，可以理解其存在性和最优性。这些结果的证明推迟到第5节。定理3.13在很大程度上依赖于我们现在建立的、似乎具有独立利益的非对称性原则。这意味着对于Cu，ν（u）-a.e.K，M*至M*∈ K是在命题3.11Benamou-BRENIER鞅：概率观点154中引入的边缘u（·| K）和ν（·| K）之间的拉伸布朗运动。弱最优运输问题的单调性原理仅对于这一部分，我们采用了更一般的设置。设X，Y为波兰空间，c:X×P（Y）→ R∪ {+∞} Borel可测量。

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2022-6-1 06:11:19

考虑u∈ P（X），ν∈ P（Y）优化问题infπ∈π（u，ν）ZXu（dx）C（x，πx）。（4.1）这是一个弱（即非线性）运输问题，在[29，28]及其参考文献的意义上。我们现在得到了这个问题的“单调性原则”，即一个确定的“零通”必要最优性条件。提案4.1。假设o问题（4.1）由优化器π确定；oC是共同可测量的；ou（dx）-a.e.函数C（x，·）是凸的且下半连续的。然后存在一个Borel集Γ X，其中u（Γ）=1，且以下性质为X，X∈ Γ和mx，mx∈ P（Y）满足mx+mx=πx+πx，然后C（x，πx）+C（x，πx）≤ C（x，mx）+C（x，mx）。证据出租人：=(（x，x），（m，m）∈ X×P（Y）：m+m=πX+πX，和C（X，πX）+C（X，πX）>C（X，m）+C（X，m）），这是一个解析集。根据扬科夫·冯·诺依曼均匀化定理，有一个解析可测函数D：=projX（D）3（x，x）7→ （m（x，x），m（x，x））∈ P（Y），所以（x，x，m（x，x），m（x，x））∈ D、自（x，x，m，m）∈ D<==> （x，x，m，m）∈ D、可以证明，我们实际上可以假设（m（x，x），m（x，x））=（m（x，x），m（x，x））。（4.2）当然，集合D也是解析的。因此，通过将（m（·，·），m（·，·））扩展到（x，x）<D，将其设置为（πx，πx），可以保持解析可测性和对称性（4.2）。假设存在Q∈ π（u，u），使得Q（D）>0。我们现在表明，这与π的最优性不符。通过考虑Q+e（Q），其中e（x，x）：=（x，x），我们可以假设Q是对称的。由于我们采取了可测量性预防措施，我们首先定义|π（dx，dy）：=u（dx）RxQx（dx）m（x，x）（dy），（4.3），这是合法的。我们将证明（1）~π∈ π（u，ν），（2）Ru（dx）C（x，πx）>Ru（dx）C（x，πx）。对于（1）：很明显，π的第一个边缘是u。

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kedemingshi

2022-6-1 06:11:22

另一方面，Rxu（dx）~πx（dy）=Rxu（dx）RxQx（dx）m（x，x）（dy）=Rx，xQ（dx，dx）m（x，x）（dy）。最后一个量等于toRx，xQ（dx，dx）m（x，x）（dy），通过Q和（4.2）的对称性。SoRxu（dx）~πx（dy）=Rx，xQ（dx，dx）m（x，x）+m（x，x）（dy）=Rx，xQ（dx，dx）πx+πx（dy）=ν（dy），通过定义m（x，x）和Q。因此π具有第二个边缘ν。对于（2）：通过C（x，·）的凸性，Q和（4.2）的对称性，并通过假设在Q-不可忽略集D上我们有C（x，πx）+C（x，πx）>C（x，m（x，x））+C（x，m（x，x）），16 J.BACKHOFF-VERAGUAS，m.BEIGLB¨OCK，m.HUESMANN，和S.K¨ALLBLADwe获得Rxu（dx）C（x，πx）=Rxu（dx）Cx、 RxQx（dx）m（x，x）≤Rxu（dx）RxQx（dx）Cx、 m（x，x）=Rx，xQ（dx，dx）Cx、 m（x，x）=Rx，xQ（dx，dx）Cx、 m（x，x）+Cx、 m（x，x）<Rx，xQ（dx，dx）C（x，πx）+C（x，πx）=Rxu（dx）C（x，πx）。正如预期的那样，我们反驳了π的最优性。我们得出结论，不存在具有所述性质的测度Q。通过“Kellerer引理”[11，命题2.1]，也适用于分析集，我们得到D包含在形式为N×N的集合中，其中u（N）=0。LettingΓ：=Nc，soΓ×Γ 华盛顿，我们很容易得出结论。现在我们回到本文的主要框架。为了证明第3.3节中的结果，将在以下伪装下关键地使用单调性原则。对于核πx（dy）和||u（d|x）=（δx（d|x）+δx（d|x）），我们写πx（dy）|u（d|x）=（δxπx+δxπx）。推论4.2。设π为（WOT）的最佳值。然后存在Γ rD，u（Γ）=1，如果x，x∈ Γ，则测度δxπx+δxπxis最优，用于INFMean（mx）=x，mean（mx）=x（mx+mx）/2=（πx+πx）/2nW（mx，γd）+W（mx，γd）o.（4.4）证明。考虑命题4.1，如果平均值（m）=X和+∞ 否则C（x，·）是凸的和下半连续的。取Γ为命题4.1给出的u-全集，结果如下。

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