另一方面，与波动率指数挂钩的费用似乎对定价过低的合同的净负债有减少的影响。与波动率挂钩的费用在使净负债对波动率变化更为稳健方面的效力取决于股票回报与波动率之间的负相关性。因此，当这种相关性较弱时，评估波动率指数挂钩费用的影响是相关的。图4显示了不同公平费用结构的净负债（m∈ {0，0.1，0.2，0.3}）当ρ=-0.3，表明与波动率指数挂钩的费用仍然可以降低净负债对即期波动率变化的敏感性。例如，定价过低可能是由于使用了不同的定价标准，或者是由于重新校准了定价模型。22 M.KOURITZIN和A.MACKAY0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（A）定价合理的担保0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2 v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（b）定价过低的担保图3。t=0时的净负债，作为V.0.00 0.05 0.10 0.15 0.20的函数-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2V0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3图4。t=0时的净负债作为V的函数，ρ=-0.3.4.3.1. 不同的提取率。蒙特卡罗模拟使建模具有极大的灵活性。特别是，在我们的框架内，退出率不需要保持不变。在本节中，我们评估了与波动率指数挂钩的费用对GMWBpolicy净负债的影响，因为它是在假设时变提款的情况下计算的。

我们考虑与前一节中相同的合同（即，我们使用F=100）和以下提取假设（也总结在表3中）：通过显式解决方案模拟方法23（1）递延提取GMWBS的VIX相关费用：负债是在假设在合同的前5年不会发生提取的情况下计算的，之后，将按原保险费的10%的年利率提款。也就是说，对于0 6 t<5，我们将wt=0，对于5 6 t<15，我们将wt=10。（2） 增加提取：在此假设下，前两年的年提取率为初始保费的5%，之后在第三年增加至6%，随后每三年增加1%。因此，在第12年年初，利率达到9%，14年后，担保将全部撤销。（3） 减少取款：这种取款模式假设在前三年内，取款率为初始保费的9%，然后每三年减少1%，直到14年后担保到期。因此，在合同的最后两年，假设以初始保费的5%的年利率进行提款。表3：。提取率假设1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 wt（递延）0 0 0 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 wt（增加）5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 0 wt（减少）9 9 9 8 8 8 7 6 6 6 5这些提取假设是为了评估提取模式对公允波动率相关费用结构和由此产生的负债的影响。第一种假设，即提款延迟数年，可以表示投保人购买保单的目的是在以后开始提款的情况。

事实上，在这种情况下，可提取的担保金额（通常是初始保费的金额）通常会在第一年增加，而在第一年中，不会发生提取。增加和减少提款不是定价目的的典型假设。此处使用它们来说明我们框架的灵活性，并测试我们在VIX关联费用与不同提款模式之间的结果的稳健性。我们的案例研究是现实的简化版本。例如，我们忽略了通常适用于高于允许的最大年利率的提款的处罚。图5显示了使用上述三种提取假设计算的GMWB合同的净负债。在所有情况下，费用参数c和m都是公平的，因此费用结构是公平的，即当V=0.04时，净负债为零。图5显示，与波动率挂钩的费用降低了净负债对波动率的敏感性。也就是说，净负债的斜率随着VDE的减少而显著减小，特别是对于延期提款的情况。当提款被推迟时，最初的高价值将导致更高的费用收入，而第一年没有提款则会使账户价值累积。因此，与t=0时开始提款的情况相比，在撤销担保之前完成账户的概率降低。当Vis远大于0.04（用于计算公平费用的值）时，延期提款的影响当然更为明显。对于V≈ 0.04，公平费用结构已经考虑到在提款开始之前收到一定水平的费用收入（与市场价值挂钩）。24 M.KOURITZIN和A。

MACKAY0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0 0.2 0.4 0.6 0.8v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（a）延期提款0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0V0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（b）增加提款0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0v0净负债oom=0m=0.1m=0.2m=0.3（c）减少提款图5。t=0时的净负债是V的函数。提款减少似乎阻碍了与波动率指数挂钩的费用降低高价值V的影响的能力。事实上，当市场波动且回报率较低时，高初始提款将增加VA账户在等于初始保费的金额被提取之前清空的可能性。在这种情况下，收入的收取时间也较短，因此与波动率指数挂钩的费率对净负债的影响较小。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用254.4。净损失。我们的最后一个数字示例集中于波动率指数挂钩费用对期初∧W（0，F，V）贴现未来损失（或初始净损失）分布的影响，定义见（19）。初始净损失的分布，尤其是其尾部行为，是风险管理和风险资本确定的重要组成部分（参见Feng和Vecer（2017））。在本节中，我们使用表1中给出的市场参数，并考虑与第4.2节中相同的合同，除非另有说明。对于easeof表示法，我们写∧W（0，F，V）=∧W。在本节中，我们对初始损耗的真实分布（P-测度）感兴趣。因此，我们使用（14）中描述的P度量动态模拟账户价值和即期波动率的路径。为此，我们设置ηS=0.6667，ηV=-2和ηJ=1.1414×10-3.

注意，我们没有区分跳跃强度风险和跳跃大小风险，让δ*= δ. 虽然表1的风险中性参数取自Kokholm和Stisen（2015），但额外的P测量参数值是任意选择的，仅用于说明目的。它们产生了一个依赖于Vt的P测量漂移，当Vt=0.04时，该漂移等于0.0672。实际测量下VT的长期平均值为ν*= 0.037.表4给出了不同级别V的固定费用和波动率指数挂钩费用结构（m=0.3）的P衡量预期、P衡量方差和CTE ata 90%置信水平。由于公平费用是使用V=0.04计算的，表中的结果说明了市场波动性暂时下降（V=0.02）和暂时增加（V=0.08）对净初始损失∧W的影响。对于固定的，与固定费率相比，波动率挂钩的费用降低了预期收益，但导致∧W方差显著下降。同样，即使∧分布的平均值与M成反比，其CT E90%保持相对稳定。因此，与波动率挂钩的费用结构将初始损失的右尾移向预期初始损失。表4还包含蒙特卡罗估计值的标准偏差（每个估计值下面的括号中），使用50个估计值计算得出，每个估计值的N=5×10模拟。考虑到账户价值是在15年的时间内计算出来的，因此获得的准确度非常令人满意。

在这种情况下，离散化误差（源自积分的离散化）累积并影响估计的方差。Kouritzin（2018）进一步讨论了通过显式加权模拟方法获得的蒙特卡罗估计的准确性，这也表明该算法优于其他模拟方法。Feng和Vecer（2017）还计算了GMWB损失分布的尾部风险度量。他们认为，在一个由几何布朗运动驱动的市场中，固定费率是不符合市场数据的。因此，比较他们的结果和我们的结果更难。尽管如此，我们观察到，他们在与我们类似的合同中获得的CT E90%（尽管附加费较低，管理费较高）在类似范围内。事实上，他们计算出初始保费的90%，而我们的接近40%。这可以用我们模型中随机波动和跳跃的存在来解释。众所周知，这些特征显著加厚了回报分布的左尾，从而导致高损失的可能性增加。26 M.KOURITZIN和A.MACKAYTable 4。净初始损失∧的预期、方差和CTE（对于波动率指数挂钩费用，m=0.3）。固定费用VIX链接feeV0.02 0.04 0.08 0.02 0.04 0.08EP[λW]-5.87-5.95-6.10-4.57-4.65-4.84（0.0329）（0.0313）（0.0334）（0.0288）（0.0304）（0.0297）V arP[λW]751.10 768.01 801.90 683.79 698.32 727.65（1.2803）（1.1935）（1.3072）（1.0334）（1.0259）（1.3072）CTE90%（λW）39.53 39.91 40.70 39.57 39.90 40.55（0.0517）（0.0493）（0.0526）（0.0406）（0.0406）（0 0.0516）表4的结果取决于我们选择的P测量参数。

为了检查我们的结果对波动性风险溢价的敏感性，我们现在设置ηV=-0.5，并重新计算P-衡量预期和方差，以及在90%置信水平下，针对不同V水平的已执行EE和与VIX挂钩的费用结构（m=0.3）的CTE。结果及其标准偏差如表5所示，当波动性风险溢价的绝对值较低时，说明与波动性指数挂钩的费用结构对初始净损失的影响。在这种情况下，与波动率挂钩的费用会导致略高的预期损失，而方差较小。然而，与ηV=-2、表5。净初始损失∧，ηV=-0.5（对于波动率指数挂钩费用，m=0.3）。固定费用VIX链接feeV0.02 0.04 0.08 0.02 0.04 0.08EP[λW]-7.61-7.72-7.97-7.07-7.22-7.54（0.03778）（0.0325）（0.0426）（0.0397）（0.0337）（0.042）V arP[λW]935.40 959.67 1008.11 898.51 920.39 965.25（1.4652）（1.7710）（1.7123）（1.2111）（1.4837）（1.7877）CTE90%（λW）42.59 43.08 44.00 42.20 42.57 43.36（0.0535）（0.0501）（0.0626）（0.0488）（0.0449（0.0569）5。结论在本文中，我们将Insui et al.（2017）提出的VA与GMAB乘客的VIX相关费用结构分析扩展到与GMWB的合同。我们的市场模型包括随机波动性和指数值的跳跃。我们使用蒙特卡罗模拟计算了与合同相关的净负债和净初始损失。Oursimulation方法基于VA账户价值的显式弱解。通过显式解决方案模拟方法27我们表明，将VA费率与费用结构联系起来有助于降低净负债对市场波动性临时变化的敏感性。

我们预计，这种费用结构可以通过减少对冲数量（即净负债）的变化来提高对冲策略的效率。我们还表明，与波动率挂钩的费用结构可以减少市场波动性的暂时变化对初始净亏损分布尾部的影响。这可以转化为对现货市场波动不太敏感的资本要求。在本文中，我们只考虑（可能是时变的）确定性保单持有人撤回行为。未来的研究还可以考虑VIX linkedfee结构对失效和退出激励的影响。未来工作的另一个来源将是扩展存在明确解决方案的模型类别，首先使用现有技术，然后将技术扩展到更一般（且效率略低）的表示。这些扩展模型可能包括双重随机积分。参考sAndersen，T.G.，Benzoni，L.，和Lund，J.（2002）。连续时间股票收益模型的实证研究。《金融杂志》，57（3）：1239-1284。贝茨，D.S.（2000）。标普500指数期货期权市场1987年后崩盘的担忧。《计量经济学杂志》，94（1）：181–238。Bauer，D.、Kling，A.和Russ，J.（2008）。一个通用的定价框架，用于保证可变年金的最小收益。ASTIN公告，38（2）：621–651。Bernard，C.、Cui，Z.和Vandu Offel，S.（2017年）。可变定期保费对可变年金担保的影响。《北美精算杂志》，21（1）：63–86。Bernard，C.、Hardy，M.和MacKay，A.（2014年）。可变年金担保的州相关费用。ASTIN公告，44（3）：559–585。Bernard，C.、Kolkiewicz，A.和Tang，J.（2016）。可变年金，费用与波动率挂钩。工作文件，可访问http://egrie2016。ucy。ac.cy/wp内容/上传/2016/09/16\\uBernard\\2016-06-13-初步。

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（41）现在，回想一下W，Ware独立标准布朗运动，集合σ（y，z，τ）=κκρτyρτz（42）并定义新的sde格式：dYtZtHct公司=-年初至今-Zt（μκ- α（Yt+Zt））Hctdt+σ（Yt，Zt，Hct）“dWtdWt#。（43）30 M.KOURITZIN和A.MACKAY（Y，Z在定理3.1的陈述中扮演Y，Yin的角色。）此解决方案可以写成：dYtZtHct公司=- 年初至今- Zt（μκ- αVt）Hctdt公司+κZt√Yt+ZtκYt√Yt+Zt-κYt√Yt+ZtκZt√Yt+Zt0ρHctVt“dWtdbβt#，，（44），其中“dWtdbβt#=Zt公司√Yt+Zt-年初至今√Yt+ZtYt√Yt+ZtZt√Yt+Zt“dWtdWt#。（45）现在，（43）也可以用Fisk-Stratonovich积分来写：dYtZtHct公司= h（Yt，Zt，Hct）dt+σ（Yt，Zt，Hct）o“dWtdWt#，，（46），其中h是Fisk Stratonovich漂移：h（y，z，τ）=-y-zuτ-κρτ- τ（ρ+α）（y+z）. （47）现在，很容易验证σ为（42）的列满足σiσj=Kouritzin和Remillard（2016）的σjσiso定理2可用于构造C-差同胚∧onR×R×（0，∞) 将（46）的局部解与局部解联系起来Yt、Zt、bHct′简化方程D的YtZtbHct公司=bh（Yt、Zt、bHct）dt+1 00 10 0d“WTWTWT#带BH=∧ho Λ-1（48）通孔（Yt，Zt，Hct）′=∧-1.Yt、Zt、bHct′. 此外，差同态可以选择为∧=∧o∧带ΛσoΛ-1=e，和(ΛoΛ)σo(Λ-1.oΛ-1） =e，意味着它只取决于σ。因此，∧与Kouritzin（2018）中的相同：∧（x）=κxκxxexp-ρκ（x+x）, Λ-1（x）=κxκxxexpρκ（x+x）, （49）和∧（y）=κ0 0κ-2ρκyyep（ρκ（y+y））-2ρκyyexp（ρκ（y+y））exp（ρκ（y+y））（50）通过显式解模拟方法31sobh（x）计算GMWBS的VIX相关费用。=(∧）ho Λ-1（x）满意度BH（x）=-x个-xxhu-κρ+hκρ-κ（ρ+2α）i{x+x}i. （51）解决方案Yt、Zt、bHct′in（48）为：Yt=Rte-（t-u） dWu+e-tY，Zt=Rte-（t-u） dWu+e-tZ（Y+Z=κV），BHCT=bHcexphu-κρit+κρ-κ(ρ+ 2α)ZtnYs+Zsods.

（52）此外，它后面是（49）和（Yt，Zt，Hct）′=∧-1.Yt、Zt、bHct′THTHHCT=bHctexpρκ（Yt+Zt）=bHctexp公司ρκ（Yt+Zt）=bHctexp公司ρκVt（53）然后是（52），（53），（49）和替换，即hcthc=exphu-κρit+κρ-κ(ρ+ 2α)ZtnYs+Zsods+ρκ（Vt- 五）（54）=经验hu-κρit+ρκ-ρ- αZtVsds+ρκ（Vt- 五）.然后将Ht=HctHitwith与Hifrom（41）相乘，得到所需的形式。附录B.仿真算法在本节中，我们介绍了第3.3节中讨论的详细仿真算法。首先，定义两个常数σ=σh=κs1非常方便- e-h4级ψ=ψh=e-h、 这将在算法中使用。请注意，所有算法都将与市场和VA合同相关的参数作为输入。为了简化表示，我们省略了将它们作为算法的输入。子程序A1从（Htk）生成（bHtk、bVtk、bLtk-1，Vtk-1，Ltk-1） 使用第3节中推导的加权模拟方法。请注意，{ηjε}Nj=1在第一次使用之前都会被设置为T，如算法A（以下）。请注意，子程序A1的随机变量Zi和Zjin第5行和第10行不依赖于H、L和Y等输入，因此可以对其进行先验计算，只需实时查找即可。完成此操作后，速度会显著提高。当条件（C）不满足时，子程序A2通常与子程序A1一起使用，以提高结果的精度。在该算法中，Ijtk-1是跟踪JTH模拟粒子祖先的向量。通过向向量添加元素，在第12行和第24行中对其进行更新。请注意，该算法非常简单32 M.KOURITZIN和A。

MACKAYSubroutine A1加权模拟-一步1：程序加权模拟（{Hjtk-1，Ljtk-1，ηjε}Ntk-1j=1，{Yj，itk-1} Ntk公司-1，nj，i=1，h，Ntk-1） 2：对于j=1至Ntk-1do3：bVjtk=04：对于i=1到n do5：生成（0，1）-正规Zi6：bYj，itk=ψYj，itk-1+σZi7:bVjtk=bVjtk+（bYj，itk-1） 8：结束9：IntVj=hVjtk公司-1+bVjtk10： 生成（0，1）-正常Zj11:bHjtk=Hjtk-1扩展（IntVj）Zj+bh+cIntVj+dbVjtk公司- Vjtk公司-1.o12:if tk6ηjεthen13:if（Vjtk-1.∧bVjtk）>εthen14:bLjtk=Ljtk-1expe日志bVjtkVjtk-1.+ h类+fh公司Vjtk公司-1.-bVjtk公司15： else16：bηjε=tk-117：结束if18：结束if19：结束for20：结束过程以便于演示；变量ηε和{Yitk}ni=1也需要与（Htk、Vtk、Ltk）一起携带。在子程序A2中，q、q>0是控制重采样量的参数，应根据使用的其他参数进行调整。有关算法的更多详细信息，读者可以参考Kouritzin（2017a）以及Kouritzin（2017b，c），了解这些特定分支方法的更多背景。算法A通过调用子程序A1和A2模拟（Ht、Vt、Lt）Tt=0的路径。模拟{（Hjtk，Vjtk，Ljtk）}Ntk，Kj，k=1，k=Th公司, {IjtK}NtKj=1，将是一个（NtK×K）矩阵，跟踪模拟值{（HjtK，VjtK）}NtKj=1的祖先。接下来，我们写{IjtK}NtKj=1=ItK，并用ItK | k表示其kth列。此矩阵将在原始B1和算法B中使用，以跟踪历史路径。算法B用于计算与第2.4节所述GMWB相关的净负债。该算法将算法A生成的路径以及包含每个时段提取率的向量w作为输入。可以在第12行和第14行中使用更精确的积分近似值来改进算法的性能。

只需稍加修改，算法B也可用于计算2.3中给出的风险度量。通过显式解决方案模拟方法33 GMWBS的VIX链接费用子程序A2分支-一步一：过程分支（{（bHjtk，bVjtk，bLjtk，ηjε}Ntk-1j=1，{Ijtk-1} Ntk公司-1j=1，Ntk-1，q，q）2:Atk=Ntk-1个NTK-1j=1bLjtk3：rtk=exp（qNtk公司-1个NTK-1m=1logbLmtk公司-Ntk公司-1PNtkm=1logbLmtkq） 4：设置l=05：对于m=1至Ntk-1do6：ifbLmtk/∈Atkrtk，Atkrtk然后7：（bHm-ltk，bVm-土地管理局ltk-ltk）=（bHmtk、bVmtk、bLmtk）8：bIm-ltk=Imtk-19： else10：l=l+111：（Hltk、Vltk、Lltk）=（bHmtk、bVmtk、bLmtk）12：Iltk=（Imtk-1，l）13：结束if14：结束for15：Ntk=l16：对于m=1至（Ntk-1.- l） do17：Generatehm-1 NTK-1.-l、 mNtk公司-1.-li统一Wm+ltk18：结束19：{Umtk=Wp（m）tk}Ntk-1.-lm=1，对于p，{l+1，…，Ntk的随机置换-1} 20：对于m=l+1至Ntk-1do21:Nmtk=土地管理局-1塔克 + 1（UktkbLm-1塔克-土地管理局-1塔克!)22：对于j=1至Nmtkdo23：HNtk+jtk、VNtk+jtk、LNtk+jtk=bHm公司-ltk，bVm-ltk，Atk24:INtk+jtk=bIm公司-ltk，Ntk+125：结束时间26：Ntk=Ntk+Nmtk27：结束时间28：结束程序加拿大埃德蒙顿艾伯塔大学数学和统计科学系T6G 2G1E邮件地址：michaelk@ualberta.caURL: http://www.math.ualberta.ca/Kouritzin_M.htmlDepartment加拿大魁北克蒙特利尔大学数学系H3C 3P8电子邮箱：mackay。anne@uqam.ca34M.KOURITZIN和A。

MACKAYAlgorithm（Ht，Vt，Lt）Tt=01的路径模拟：程序模拟连续路径（S，V，N，h，T）2：{（Hj，Vj，Lj，ηjε，Ij）=（S，V，1，T，1）}Nj=1，{Yi，j=q（Vn）}N，Nj，i=13：K=Th公司4： {Ij}Nj=1=5： 对于k=1到k do6：模拟{（bHjtk，bVjtk，bLjtk）}Ntk-1j=1使用子程序A1.7：分支粒子以获得{（Hjtk，Vjtk，Ljtk，ηjε，Ijtk）}Ntkj=1使用子程序A2.8：结束9：结束程序继续B1添加跳跃-一步1：程序跳跃（Hjtk-1、Gjtk-1，Hjtk）2:Gjtk=Gjtk-1Hjtk/Hjtk-13： 生成a（λh）-泊松M4：对于i=1到M do5：生成a对数（1+δ）-χ, χ-正常Yi6：Gjtk=GjtkeYi7：end for8：end procedureVIX通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的链接费用35算法B净负债计算1：程序GMWB（{（Gjtk，Vjtk）}Ntk，Kj，k=1,0，{（LjtK，IjtK）}NtKj=1）2：{（Gj，Fj，Rj，Cj，Wj）=（1，F，0，0）}Nj=13：k=Th公司4： 净负债=05:k=1至k do6:D=7： 对于l=1到NtKdo8：如果IltK | k/∈ D然后9:j=IltK | k-1，m=IltK | k10：如果Fjtk-1> 0然后11：生成Gmtkusing子例程B112：Rmtk=Rjtk-1+小时wtk公司-1Gjtk-1+wtkGmtk13： Fmtk=最大值Gmtk[1- Rmtk]，014： Cmtk=Cjtk-1+he-rhtk[（α-q+αVjtk-1） Fjtk公司-1erh+（α-q+αVmtk）Fmtk]15：Wmtk=016：else17：Cmtk=Cjtk-118：Wmtk=Wjtk-1+he-rhtk公司wtk公司-1右侧+wtk19： 结束if20:D=D∪ IltK | k21：如果k=k，则22：净负债=l-1网络责任+1（WmtK- CmtK）LmtK23：结束if24：结束if25：结束for26：结束for27：结束程序