通过显式解模拟方法计算GMWBs的VIX相关费用

2022-6-1 06:32:33

通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX-Linked费用Chael A.KOURITZIN和ANNE MACKAYAbstract。在一个随机波动和跳跃的市场中，我们考虑VIX链接的基金结构（见Cui et al.（2017）），用于具有保证最低提取福利（GMWB）的可变年金合同。我们的目标是评估VIXlinked费用结构在降低保险人责任对波动风险的敏感性方面的有效性。由于GMWB支付具有高度的路径依赖性，因此它对vola tilityrisk特别敏感，并且对价格也具有挑战性，尤其是在VIX linkedfee存在的情况下。在本文中，继Kouritzin（2018）之后，我们提出了VA账户价值的显式弱解，并在蒙特卡罗模拟中使用它来评估GMWBGuarrance。通过数值例子分析了与波动率挂钩的FEE对负债对市场波动变化敏感性的影响。关键词。可变年金，随机微分方程，显式解，蒙特卡罗模拟，赫斯顿模型。1、简介保险公司和其他提供股票挂钩保险产品的金融机构面临不同的金融、人口和行为风险。特别是，可变年金（VA）中的担保与金融市场的表现相关，并且取决于投保人的生存。投保人的退保、失效和退保行为也会对保险人的收入、责任和风险产生重大影响。

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2022-6-1 06:32:36

为了减少人寿保险人面临的市场波动风险，芝加哥期权交易所（CBOE）建议将VA保险费率与VIX指数挂钩（CBOE，2013a，b），VIX指数被视为短期市场波动的代表。波动性风险对使用市场交易衍生品对冲VA负债的保险公司有重大影响。VA担保通常有一个很长的期限，可以延长超过二十年，而市场交易的期权通常不会超过一年的期限。因此，VA担保的复制投资组合由需要频繁刷新的短期工具组成。高市场波动性会增加期权价格，从而影响保险公司对冲策略的成本和效率。可变年金的风险管理也可能因以下事实而变得复杂：嵌入的担保是通过保险费进行融资的，保险费通常是基础VA账户的百分之六十。这些费用的提取减少了账户的实际回报，就像共同基金中的管理费一样。固定费用结构造成费用收入与嵌入日期相关负债之间的差异：2018年4月13日。支持这项工作的部分资金由NSERC发现拨款提供。2 M.KOURITZIN和A.MackayGuaranture。事实上，当VA账户价值下降时，费用收入减少，但这种adrop增加了担保的价值。由于股票回报和市场波动倾向于负相关（所谓的杠杆效应），将费率与VIXindex挂钩有助于重新调整费用收入和负债。Cui等人（2017）分析了与波动率挂钩的费用结构，他们共同描述了可变年金账户价值和波动率指数的动态。

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2022-6-1 06:32:39

利用基于特征函数反演的技术，作者计算了当市场遵循Hestonmodel（Heston（1993））时，与担保最低累积收益（GMAB）相关的净负债。他们表明，与波动率指数挂钩的费用实际上有效地降低了净负债对市场波动性暂时变化的敏感性。换言之，当使用与波动率挂钩的费率时，市场波动性增加对净负债的影响不如通过固定费率为GMAB融资时那么显著。Bernard等人（2016年）也研究了类似的波动率指数相关费用，他们使用高斯copula将波动率指数与标准普尔500指数联系起来。最近，人们对采用依赖市场的费用结构（包括波动率指数挂钩的费用）为VA担保提供资金产生了兴趣。例如，Bernard等人（2014年）建议仅在账户价值低于某个阈值时支付费用。MacKay et al.（2017）从退保激励行为的角度分析了这种费用结构，Zhou和Wu（2015）从费用扣减期的角度分析了这种费用结构，并在Delong（2014）中扩展到更一般的市场模型。迄今为止，在学术文献中，依赖市场的费用仅适用于累积收益。在本文中，我们重点关注保证最低提取收益（GMWB）。作为初始保费的交换，无论市场表现如何，GMWB都会保证投保人在给定的年限内获得最低收入。此类担保产生的支付具有路径依赖性特征，相关负债的分析形式并不总是可能的，尤其是在包含随机波动和跳跃的市场模型中。研究GMWB时，通常假设确定性提款或“最优”（即保险公司的最坏情况）提款。

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2022-6-1 06:32:42

关于第一个假设的示例，请参见Milevsky和Salisbury（2006）、Bauer等人（2008）和Feng和Vecer（2017）。Chen等人（2008）、Dai等人（2008）以及Luo和Shevchenko（2015）都是考虑最佳退出的文章的例子。在所有情况下，保险费率均假定为固定费率。本文件更接近第一类，但我们提出的框架可以同时考虑确定性和适应性提款。这使我们能够关注波动性风险。关于波动率指数挂钩费用对最优保单持有人行为的影响的分析将留待将来进行。在本文中，我们考虑了一个具有随机波动和跳跃的市场，对于该市场，我们使用蒙特卡罗模拟来评估与波动率挂钩的费用结构对GMWB的净负债和经济资本的影响。更准确地说，我们表明，与波动率挂钩的费用结构降低了净负债对市场波动变化的敏感性。我们使用基于描述VA账户价值的随机微分方程（SDE）显式（弱）解的模拟方法。该方法首次在Kouritzin（2018）中介绍，并基于Kouritzin和Remillard（2016）的结果。由于其来源于精确解，而非即期波动率的转移密度，因此通过显式解模拟方法3，GMWBS的VIX相关费用我们的方法非常灵活，可以扩展到此处所述方法之外的应用。它还避免了Euler或Milstein离散化带来的问题，如收敛速度低和模拟产生负波动的可能性。非线性随机微分方程的显式解很少。然而，当它们出现并具有简单的形式时，它们可能是最有用的。有两种类型的显式解决方案：强解决方案和弱解决方案。

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2022-6-1 06:32:45

强解决方案适用于驱动过程，它们的显式表示（如果有）将仅限于这些驱动过程。显式弱解涉及额外的随机性，这在随机微分方程中没有表现出来，但如果这种额外的随机性不消耗大量计算时间来产生，或者如果它可以产生，那么它与强解同样有用。Kouritzin（2018）表明，Heston模型具有明确的弱解，这些弱解是通过将强解投影到Kouritzin和Remillard（2016）研究的高维随机微分方程得到的。这种赫斯顿弱解可以用于在不同时间恢复已知的边际（和未知的联合）分布，但更重要的是，它给出了一个无近似的公式来进行模拟。在此，我们将表明，用于描述VAaccount值的广义Heston模型也会产生弱解。此外，将在附录中解释，弱解的额外随机性可以模拟为任意。本文的主要贡献有两个方面。首先，我们扩展了Cui等人（2017）的工作，将VIX相关费用应用于GMWB，并将跳跃添加到indexvalue过程中。在这种情况下，我们表明，当费率是波动率指数的函数时，与GMWBrider相关的净负债对市场波动的变化不太敏感。因此，Cui et al.（2017）关于随机波动性市场中GMAB的结论可以扩展到更一般市场模型中的GMWBs。在本文中，我们还得到了一个带跳跃的扩展Heston市场模型中variableannuity帐户值的显式弱解，并利用它提出了一种新的模拟方法。

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2022-6-1 06:32:49

我们提供了模拟算法的详细信息，并建议基于分支粒子进行修改，以提高算法的性能。虽然扩展的赫斯顿式SDE的解决方案是新的，但模拟算法基于Kouritzin（2018）和Kouritzin（2017a）中提出的思想。本文的其余部分如下。在第2节中，我们确定了我们工作的财务环境，并介绍了GMWB合同和估值框架。第3节包含了主要的理论结果和模拟方法。该方法用于在第4节中给出数值示例，第5节列出了结论。附录中提供了更多涉及的证明以及详细的模拟算法。2、财务模型和可变年金合同2.1。可变年金账户。我们考虑将variableannuity（VA）账户投资于跟踪股票指数的单一基金的简化情况。在本文中，正如CBOE（2013a，b）和Cui等人（2017）所述，我们假设该指数为标准普尔500指数。让T∈ (0, ∞) 是模型的最终时间。例如，它可以表示最后一次支付VA合同产生的现金流的时间；除此之外，无需进行财务建模4 M.KOURITZIN和A.MACKAYmodeling。在本文中，我们使用以下符号：o{St}06t6是股票指数的值；o{Ft}06T6是可变年金账户的值。2.1.1. 股票指数。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 F，P），其中P表示真实世界（客观）度量。我们使用包含随机波动率和跳跃的模型对指数价格过程进行建模（参见Bates（2000）、Andersen et al.（2002）和Pan（2002）），我们将其称为随机波动率和跳跃（SVJ）模型。

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2022-6-1 06:32:52

因此，我们假设{St}06t6Thas是以下P测度动力学：dStVt公司=（r+ηSVt- λ*δ*)Stν- *及物动词dt+p1- ρStVtρStVtSt-0κVt！数据库*tdβ*tdX公司*t型（1）对于0 6 t 6 t，S=S>0，V=V>0，ν>0，*> 0，κ>0和-1 6 ρ 6 1. 我们让r>0和ηS>0分别表示无风险利率和股权风险溢价。B*tandβ*皮重P-布朗运动和X*t=PN*ti=1J*iis是一个复合泊松过程，具有{N*t、 t＞0}强度λ的泊松过程*. 对于i=1，∞, 我们让J*i=eY*我- 1，其中每个Y*ifollows a Normal distribution with mean（log（1+δ*) -χ）方差χ。我们假设B*t、 β*t、 N个*串联Y*i、 i=1，∞ 相互独立。从J的定义*i、因此E[J*i] =δ*, 跳跃的幅度*iis大于-1、这样可以确保价格过程在跳跃发生时不会达到0。备注2.1。上述模型通常用相关的P-布朗运动seb来表示*坦德β*t、带heB*,eβ*it=ρt:dStVt公司=（r+ηSVt- λ*δ*)Stν- *及物动词dt+StVt0 St-0κVt！黛布*tdeβ*tdX公司*t型. （2）表示法（1）和（2）是等效的，使用（1）有助于解释指数价格的随机性和效用过程的随机性之间的依赖关系。随机波动率和跳跃的引入使得上述市场不完整，因此存在许多等价的局部鞅测度。在这项工作中，我们遵循Duan和Yeh（2010）对风险市场价格的规定。特别是，我们用ηV表示波动性的市场价格，并使用复合参数φ和φ*确定跳跃风险的市场价格。我们定义φ=λδ - 对数（1+δ）+χ, (3)φ*= λ*δ*- 对数（1+δ*) +χ设ηJ=φ-φ*成为跳跃风险溢价。

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2022-6-1 06:32:55

因此，在每种测量下，跳跃过程可能具有不同的强度和跳跃的平均大小（有关更多详细信息，请参阅Duan和YehVIX通过显式解模拟方法5（2010）为GMWBS支付的链接费用的第3节）。在这些假设下，股票指数的动态和波动过程在风险中性度量下保持类似的形式，但有不同的参数。因此，在定价风险中性度量Q下，我们已经StVt公司=（r）- Δλ）Stν- 及物动词dt+p1- ρStVtρStVtSt-0κVt！dBtdβtdXt, （4）式中，r是无风险利率 = *+ ηV.bt和βt，由bt=B给出*t+κηS+ρηVκp（1- ρ） ZtVsds，βt=β*t+ηVκZtVsds是Q-布朗运动。Xt=PNti=1Jiwith{Nt，t>0}是强度λ的泊松过程，对于i=1。，Ji=eYi- 1，各i均为正态分布，平均值（log（1+δ））-χ）方差χ。我们还有Bt，βt，Nt和{Yi}∞i=1相互依赖。备注2.2。上述SVJ模型包括Heston（1993）模型，Cui等人（2017）将该模型作为特例，在相似的背景下使用。为了在Heston模型中获得结果，必须将过程中与复合泊松相关的参数设置为0.2.1.2。可变年金费用表。从VA账户支付的费率由两部分组成。第一部分是投资管理费。支付给管理基础投资基金的第三方。这部分费用不会退还给提供财务担保的保险人。费用的第二部分称为租金，或附加费。它将支付给保险人并支付财务担保或附加条款的费用。我们假设投资管理费是固定的，我们用q表示。只有由ct表示的附加费才会与波动率指数挂钩。我们用γt表示时间t的应付总费率，并将其定义为两种费用的总和：γt=q+ct。

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2022-6-1 06:32:58

（5）在本文中，我们考虑了附加费与波动率指数挂钩的情况。波动率指数的目的是衡量市场对标准普尔500指数（SPX）期权价格30天波动率的预期。CBOE将VIX计算为SPX看涨期权的加权平均值，并在大范围的罢工中卖出价格。正如Kokholm和Stisen（2015）所述，在价格过程的某些假设下，波动率指数的平方可以表示为对数合同风险中性预期的函数。这些假设包括价格过程的连续性，这在我们的设置中并不令人满意，因此，我们得到了VIX时间t的平方，VIX由VIXT=(R)τEQt给出日志St+？τ？S？τt+ ，6 M.KOURITZIN和A.MACKAYwith？τ=30/365，其中EQt[·]是等式[·| Ft]的缩写符号，？S？τt=Ster？τ表示股票指数远期合约的价格，而？是由于价格过程中出现跳跃而产生的错误术语。错误术语还解释了期权只能在一定数量的罢工中交易的事实。如Carr和Wu（2008）所示（另见Kokholm和Stisen（2015）），在我们考虑的SVJ模型中，该误差项可以忽略不计。接下来，我们将忽略它并使用：VIXt=(R)τEQt日志St+？τ？S？τt. （6）这种假设在VIX衍生品文献中很常见（例如，见Lin（2007）、Lian和Zhu（2013）以及Kokholm和Stisen（2015））。在SVJ模型中，对数合约的风险中性预期可以写成当前瞬时波动率Vt的一个函数：(R)τEQt日志St+？τ？S？τt= A+BVt，（7）式中=ν(τ - 1+e-τ)？τ+2φ，B=1- e-τ带φ的τ（8），如（3）所述。因此，从（6）中，时间t时的VIX指数的平方可以写为VtVIXt=a+BVt的函数。

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2022-6-1 06:33:00

（9）将费率与波动率指数挂钩的主要目的是重新调整VA担保的价值与费用收入，以降低净负债对波动率变化的敏感性。由于VA担保通常在波动率较高时更有价值，我们寻求在费用收入和VIX之间实现正相关。因此，我们将费用设为VIX的平方的线性函数：ct：=？c+Mvixt10，（10），其中m>0是“乘数”，而？c>0是“基本费率”。根据VIX平方的定义，所有t和Vt的ct>0。可以根据瞬时波动率重新写入总费率γtin。通过将（8）、（9）和（10）代入（5），我们得到了γt=α+αVt，（11），其中α=q+(R)c+mντ - 1+e-ττ+ 2φ，α=m（1- e-τ)/(其中φ如（3）所定义。通过显式解模拟方法72.1.3计算GMWBS的VIX相关费用。可变年金账户。我们在这里介绍的可变年金账户是Cui等人（2017）使用的账户的通用化。除了总费用外，我们还考虑了另一种现金流，即保单持有人的提款。这使我们能够为VA保单定价，并附带保证最低提取福利（GMWB）附加条款，该附加条款允许投保人进行提取（最高可达预先确定的年度金额），直到提取的金额等于初始投资。时间t的提取率表示为wt>0。因此，对于0 6 t 6 t和Ft>0，可变年金账户根据ODFTFT=dStSt演变- γtdt-wtFtdt，（12），F=P，初始保费金额。使用（12）中的（4）和（11），我们得到，forFt>0，dFtVt=u英尺- αVtFt- wtν- 及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！dBtdβtdXt, （13）对于0 6 t 6 t，其中u=r- δλ - α. 注意，由于取款wt，FTA可能达到0（但不是在跳转时间）。

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2022-6-1 06:33:03

在这种情况下，我们假设process在0处被吸收，并且没有变为负值。因此，对于Ft6 0，dFt=0。为了进行风险管理，了解（目标）P度量下的会计价值动态是很重要的。利用（1）和（12），我们得到FtVt=u*英尺- α*VtFt公司- wtν- *及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！数据库*tdβ*tdX公司*t型, （14）带u*= r- δ*λ*- α, α*= α - η砂B*t、 β*坦德X*（1）中的助教。备注2.3。此设置还可用于为其他类型的VA帐户建模。如上所述，对于所有t，le tting wt=0∈ [0，T]，通过将跳跃参数设置为0，我们恢复了Cui等人（2017）提出的框架。通过让WTA为负值，我们可以用它来代表投资者在VA账户中的存款。这种类型的存款被称为浮动保费，Chi和Lin（2012）以及Bernard等人（2017）对此进行了讨论。虽然我们在此不重点讨论这些问题，但本文中给出的结果可以很容易地用于具有流动性保费的VAs的价格担保。2.2. 为可变年金担保人定价。在本节中，我们考虑一个期限为T的一般可变年金合同。财务担保的任何付款将在此之前支付。我方表示在时间t，0 6 t 6 t的担保付款，并假设e“ZTДt（F）dt#< ∞.一些GMWB车手可以包括其他功能，以增加可用于取款的总装载量。我们在论文中没有考虑这些问题。8 M.KOURITZIN和A.MACKAYNote指出，Дt（F）可以取决于时间t之前F的完整路径，而不仅仅取决于其在t，Ft处的值。

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2022-6-1 06:33:06

在下一节中，我们将说明我们感兴趣的具体担保，但首先，我们定义了感兴趣的概念和数量。我们用τx表示t=0时代表保单持有人未来寿命的随机变量x，并且我们假设τxis独立于金融市场。定义2.1（折现未来损失）。时间t，0 6 t 6 t的贴现未来损失由∧（t，F，V）确定，并由∧（t，F，V）=ZTte得出-r（u-t） νu（F）1{τx>u}du-中兴通讯-r（u-t） cuFu{τx>u}du。贴现未来损失是一个随机变量，代表给定担保下保险人未来流出和流入之间的差异。如果投保人在T之前死亡，这两种现金流都会停止。重要的是要注意，向被保险人收取的费用收入会考虑附加费CTI，因为费用QI的投资管理部分会支付给第三方。为了简化表示法，将∧（t，F，V）缩短为∧tw，但此表示法不会引起混淆。定义2.2（净负债）。与{νt}06t6t描述的财务担保相关的时间t，0 6 t 6 t的净li能力由∏（t，Ft，Vt）表示，并由∏（t，Ft，Vt）=等式[λt | Ft]给出。因此，净负债是折现未来损失的风险中性预期。定义2.3（公平费用）。向量（(R)c*, m级*) 如果其满意度∏（0，F，V；(R)c，m）=0，则称为公平费用结构（或公平费用）。（15）在上述等式中，我们将参数“c和m”添加到0处的净负债符号中，以突出其对费用结构的依赖性（10）。根据定义2.3，如果保险人对投保人的预期贴现支出等于预期贴现费用收入，则aVA合同的定价是公平的。对于给定的合同，公平费用通常不是唯一的。一个以上的向量（(R)c，m）可以满足（15）；有关示例，请参见第4节。

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2022-6-1 06:33:09

为了找到一个公平的费用结构，一方通常会计算“c”或“m”，并使用（15）为另一方求解。备注2.4。在GMWB文献中表达公平费用条件的一种常见方法是设置费用，使VA账户的初始值F等于合同总付款的风险中性预期值。米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2006）表明，这一总支出可以表示为定期年金和VA子账户价值的总和，由此产生的公平费用条件为F=中兴通讯-rtwtdt+等式-rTFT]。自那以后，这种特殊形式的公平费用条件被广泛用于GMWB合同的定价，因为它简化了计算中涉及的数量。在我们的背景下，增加非零第三方管理费q打破了米列夫斯基和索尔兹伯里（2006）提出的公平费用条件的等效性。事实上，通过显式解模拟方法9FTA的定义和可选停止定理，使用GMWBS的VIX关联费用，可以证明公平费用条件（15）等效于toF=中兴通讯-rtwtdt+等式-rTFT]+均衡Zτqe-rtFtdt. （16）（16）右侧的附加条款是严格路径依赖的，因此减少了公平费用条件替代形式的利益。此外，由于（15）和（16）是等效的，它们不能一起用于确定唯一的公平费用结构（(R)c*, m级*).使用（5）和（11），未来附加费收入的风险中性现值可以写为Qt中兴通讯-r（u-t） Fucu{τx>u}du=(α- q） EQt中兴通讯-r（u-t） Fu{τx>u}du+ αEQt中兴通讯-r（u-t） VuFu{τx>u}du.在下一节中，我们将介绍我们寻求定价的具体担保。2.3. 可变年金担保的风险管理。保险人和监管机构有兴趣评估贴现未来损失∧t的分布。

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2022-6-1 06:33:12

特别是，如Feng（2014）所述，初始损失∧分布的尾部风险度量可用于确定准备金和风险资本。在本文中，我们将风险度量应用于∧的分布，以研究与波动率指数挂钩的费用在降低风险资本对市场波动变化的敏感性方面的效果。保险业中最流行的两种尾部风险度量是风险价值（VaR）和条件尾部期望（CTE），我们在本节中回顾了这两种方法。定义2.4（风险价值）。Le t∧是一个R值随机变量，让ζ表示（0，1）中的置信水平。由V aRζ（λ）表示的ζ级风险值定义为∈ R:P（λ6 y）>ζ}。当∧的分布函数连续时，ζ级的风险值仅为分布的ζ-分位数。定义2.5（条件尾部预期）。设∧为R值随机变量，设ζ为（0，1）中的置信度。如果∧的分布函数是连续的，则用CT Eζ（λ）表示的条件尾部期望被定义为teζ（λ）=EP[λ∧>V aRζ（λ）]。在我们的市场模型中，∧t的分布对于所有0 6 t 6 t是连续的。因此，不限制将CTE的定义限制在连续分销情况下。备注2.5。在可变年金的背景下，此处提出的风险度量应根据现实世界的概率度量进行计算，因为其目的是风险管理，而不是定价。Hardy（2003）第9章提供了关于可变年金中风险度量使用的更多详细信息。10 M.KOURITZIN和A.MACKAY2.4。保证最低提款收益。

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2022-6-1 06:33:15

担保最低支取限额（GMWB）赋予投保人以最大给定利率（此处用“w”表示）从VA账户支取的权利，直到初始保费全额支取为止，无论当前账户价值如何。也就是说，如果账户价值在提款总额达到F之前达到0，投保人仍然可以提款，保险人需要为其提供资金。这里，我们认为T是担保的到期日，我们将其定义为等于初始保费的金额被提取的时间，因此T=inft>0:Ztwsds=F.如果我们假设提款是以最大年利率\'w进行的，那么我们有t=F/\'w。在本文中，我们将考虑不一定恒定的确定性提款率。账户耗尽后的担保提款代表GMWB附加条款的支付。如果VA账户跟踪的指数表现良好，则可能账户值在T处仍为正值。在这种情况下，GMWB附加条款的支付等于0。设τ为停止时间，表示VA账户值达到0：τ=：inf{t>0：Ft=0}的时刻。（17）然后τ=：τ∧ T是触发GMWB骑手的时间。如果合同到期时账户价值仍为正值，则τ=T。此后，为了关注财务风险，我们还假设（τx>T）=1。换言之，假设投保人至少在合同到期之前存续，并且对于任何t 6 t，1{τx>t}=1。然后，GMWB的支付函数φW（F）可以写为φWt（F）=（0，t<τ，Wt，t>τ。（18）我们表示与GMWB附加条款相关的贴现未来损失，时间t为∧W（t，F，V），尽可能缩短为∧Wt。

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2022-6-1 06:33:17

使用（18）和定义2.1，我们得到∧W（t，F，V）=（RTτe-r（u-t）武都-RTte公司-r（u-t） cuFudu，英尺>0，RTte-r（u-t）武都-RTte公司-r（u-t） cuFudu，Ft=0。（19）从（19）中可以观察到，右侧第一项中的随机性仅来自τ，即VA账户耗尽的时间，因为我们通过显式解决方案模拟方法11命题2.1为GMWBS提供了确定的提款率wt.VIX相关费用。时间t，与GMWB附加条款相关的净负债∏W（t，F，V）由∏W（t，Ft，Vt）=EQt得出∧Wt=EQthRTτe-r（u-t）五堆- EQtRτte-r（u-t）库夫杜, 英尺>0，Eqthrte-r（u-t）五队，英尺=0。（20）证明。根据定义2.2得出的结果，采用风险中性预期（19）。然后，由于过程F在0处被吸收，我们得到了eqt中兴通讯-r（u-t）库夫杜= EQt中兴通讯-r（u-t） cuFu{τ>u}du= EQtZτte-r（u-t）库夫杜. （21）当Ft>0，且eqthrte-r（u-t）当Ft=0时，cuFudui=0。本文的主要目的是研究当附加费CTI与波动率指数（m>0）相关时，净负债∏W（t，Ft，Vt）和∧W的分布。从（19）和（20）中可以清楚地看出，由于停车时间τ和骑手费用ct，这些数量具有强烈的路径依赖性。因此，Cui等人（2017）中给出的分析表达式不一定可用，尤其是当提取率WT不恒定时。因此，我们使用Kouritzin（2018）开发的模拟方法，通过模拟VA账户过程，估计∧Wand计算∏W（t，Ft，Vt）分布的风险度量。在下一节中，我们将展示如何根据我们的设置调整此方法。3、模拟可变年金账户在本节中，我们鼓励使用显式弱解来提高蒙特卡罗方法的效率，并给出了（13）和（14）的弱解。

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2022-6-1 06:33:20

我们将展示该解决方案如何用于构建有效的模拟算法，该算法将用于计算（20）中定义的净负债。在下一节中，将使用该算法评估波动率指数挂钩费用在降低净损失风险方面的效率。3.1. 蒙特卡罗模拟中使用的实验弱解。蒙特卡罗方法由于其通用性和简单性，在保险定价和风险评估中很受欢迎。它们适用于几乎任何型号，可以在几乎任何计算机系统上快速实现。它们的并行性也很好。它们最大的缺点是执行速度，尤其是在多维或其他复杂模型上。这种沉重的计算负担有两个基本原因，即需要平均掉多余的样本和需要精确的样本。尽管如此，减轻这一负担的研究仍令人鼓舞。过多的采样噪声是由于用经验度量代替真实概率度量而产生的。传统上，这是通过使用大量独立样本并依赖大数定律来处理的。然而，在一个随机模型上，要获得相当高的精度所需的样本数量可能非常大，从而造成巨大的计算负担。弥补这个问题的一个好方法是使用负12 M.KOURITZIN和A.MACKAYcorrelated样本，这减少了估计中的方差，并允许使用更少的样本获得相同的精度。在我们的模型中，很容易将负相关性引入驱动过程。然而，尚不清楚这将如何影响样本之间的相关性。因此，首选更直接和独立于模型的方法。因此，我们有兴趣采用Kouritzin等人（2013、2014、2017）的快速模拟现场方法。

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2022-6-1 06:33:24

这些算法采用样本之间的边际（条件）分布和所需相关性，并为所有样本生成联合分布，这仍然很容易在一次过程中模拟。联合分布是具有给定边际分布和相关性的众多分布之一。它们可以用封闭形式表示。然而，这些方法还需要推广到连续随机变量，并进一步探索。此外，可以以不同的方式引入一定程度的负相关，同时提高样本精度，如下所述，以及inKouritzin（2017a，c）所述。因此，首先调查准确的样本是有意义的。通常，对于一般市场模型，必须使用流行的Euler或Milstein方法生成近似的分离模型样本。这里，一个绘制新的随机变量并在每个离散化的时间点执行计算。离散度必须非常精确，以满足精度要求，否则所谓的离散度偏差将很大。因此，除非找到替代的模拟方法，否则每个样本的计算负担很大。本文使用的有前途的替代模拟方法基于我们模型的显式弱解。激励思想如下。线性SDE的解（如Ornstein-Uhlenbeck过程）可以进行简单的模拟，一个SDE解的时间依赖性差同态通常会产生另一个可能更复杂的SDE解。此外，复杂SDE的弱解有时可以通过将高维强解投影到低维上得到。综上所述，我们进一步推进了Kouritzin（2018）的工作，其中表明显式弱解模拟方法在速度和精度方面都优于Euler或Milstein方法。

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2022-6-1 06:33:26

在第3.2节中，我们证明了（4）形式的非线性随机波动率跳跃SDE也可以用显式弱解表示，其形式非常便于模拟。详情如下，但我们在wt的情况下鼓励这样做≡ 0现在。首先，对于某些n，当ν=nκ∈ N我们在第3.3节中表明（S，V）的解为：形式st=φtZtVsdBs、ZtVsds、VtYs6t（1+Xs）Vt=nXi=1Yit公司,其中φ是一些已知函数，{Yi}ni=1与β和（B，β，X）相关的Ornstein-Uhlenbeck过程是SDE的驱动过程。现在，可以用高斯方法（精确地在任何时间）模拟VT。RTVSDBS有条件地（在V上）为零均值高斯分布，并且可以使用其VarianCertVSD进行模拟（精确且简单）。X只是泊松跳跃。因此，除了使用辛普森规则或其他数值积分方法来计算积分tVSD外，通过显式解模拟方法13，可以模拟所有GMWBS，而无需任何近似或离散化VIX相关费用。在这种情况下，对于任何n，ν6=nκ∈ N、我们将度量值改为，对于某些N，ν=Nκ∈ N使用Girsanov定理。我们在第3.3节中表明，测量值变化所用的可能性可以很容易地模拟（有条件地，即在V之后），而无需辛普森规则以外的近似值。在本文中的技术可以称为一种方法之前，还有大量工作要做。首先，当ν6=νκ时，模拟样本与期望样本不相同，并且使用似然LTI进行校正。然而，样本可能性通常会相互偏离，并且大多数样本在足够长的时间内变得无用。纠正这种情况的方法是，当可能性差异太大时，重新采样、交互或分支样本。

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2022-6-1 06:33:29

事实上，利用序贯蒙特卡罗的思想，可以将负相关引入该重采样步骤，有助于减少总体（采样误差）方差，同时改善单个粒子。这些分支技术包含在附录B.3.2中给出的算法中。VA帐户值的显式弱解。为了给GMWB产品定价，我们回顾了第2.1.3节：d中提出的广义SVJ模型（13）FtVt=u英尺- αVtFt- wtν- 及物动词dt+p1- ρFtVtρFtVtFt-0κVt！dBtdβtdXt, （22）对于Ft>0，对于Ft6 0，dFt=0。特别是，在（4）中介绍的SVJ模型上，顶部方程漂移有两个附加项。我们将证明广义模型（22）也存在显式弱解，并且它们可以有效地用于GMWB产品的定价。3.2.1. 初步lemm组件。我们首先处理附加漂移项wt.引理3.1。支持{（Gt，Vt），t>0}求解GtVt公司=uGt- αVtGtν- 及物动词dt+p1- ρGtVtρGtVtGt-0κVt！dBtdβtdXt（23）对于所有t，G=1且Gt>0。然后，{（Ft，Vt），t>0}解（22），其中Ft=FGt公司-ZTGTGSWDSt<τ时，Ft=0，t>τ时，τ=inf{t>0:Ft=0}。注意，G是一个随机指数，P（Gt>0t型∈ [0，T]）=1。证据然后，对Ft>0的部分进行积分，dFt=（dGt）F-ZtwsGsds- WTDT然后（22）接（23）。注意，Ft=0时吸收的FTI。14 M.KOURITZIN和A.MACKAYNext，对于所有t 6 t，我们通过从G:d中移除跳跃部分来定义过程HHtVt公司=uHt- αVtHtν- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, （24）H=G。请注意，H是Cui等人（2017）在保证最小累积收益的上下文中使用的修改后的Heston核。现在我们可以写下t=Gt-h（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβt+dXtidHt=Hth（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβti，这意味着Gt和Ht是具有（唯一）解的随机指数。

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2022-6-1 06:33:32

因此，可以通过下面的简单引理从H得到G。引理3.2。允许Xs=Xs- Xs型-, 将{Gt}t6和{Ht}t6tb定义为（23）和（24）。然后，Gt=HtYs6t（1+Xs）。证据设Mt=Qs6t（1+Xs），这是一个纯跳跃过程，因此所有t 6 t的二次变化[H，M]t=0 a.s，且dMt=Mt-dXt。因此，通过部件集成，d（HtMt）=Ht-dMt+Mt-dHt=Ht-Mt公司-hdXt+（u- αVt）dt+p1- ρVtdBt+ρVtdβti。结果如下，因为G=HM。对于t<τ，对于（17）中定义的τ，我们可以写eft=HtFYs6t（1+Xs）-Rt！∨ 0，Rt=ZtwuHuYu<s6t（1+Xs）du，其中H是显式修改的赫斯顿模型解，如下所示。3.2.2. 理论结果。为了弱解{（Ht，Vt），t>0}，我们=4νκ+∨ 1，νκ=nκ，uκ=u+ρκ（νκ- ν) .现在，修改后的Heston内核（24）有一个明确的弱解，无论是在ifCondition（C）保持所有时间，还是在波动性下降太低之前。定理3.1。Letε∈ （0，1），T>0，{W，…，Wn，B}与过滤概率空间的标准布朗运动无关(Ohm, F、 {F}t∈[0，T]，Q），Vbe通过显式解决方案模拟方法给出GMWBS的九个链接费用，15个随机变量，V>ε，Ht=expp1级-ρZtVsdBs+hu-νρκit+ρκ-- αZtVsds+ρκ（Vt-五）（25）Vt=nXi=1（Yit），ηε=inf{t：Vt6ε}和（26）Lt=expν - νκκln（Vt）-ln（V）+Ztκ- νκ- ν2Vs+ ds公司, （27）其中Yit=κRte-（t-u） dWiu+e-如果i=1，2。。。，n、定义βt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu+Zt∧ηεν - νκVsds和（28）bQ（A）=E[1ALT∧ηε] A.∈ FT.（29）那么，ηε是停止时间a和Lt∧ηε是关于Q的Lr鞅，对于任何r>0。此外，（B，β）是独立的标准布朗运动和HtVt公司=(u - αVt）Htν- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, t 6ηε(uκ- αVt）Htνκ- 及物动词dt+p1- ρHtVtρHtVt0κVt！dBtdβt, t>ηε（30）在[0，t]上相对于tobQ。证据

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2022-6-1 06:33:35

我们只是在这里提供猜测和检查风格证明，并将对Kouritzin（2018）动机证明所需的更改放在附录中。{Yi}ni=1是独立的rnstein-Uhlenbeck过程，满足动态=-Yitdt+κdWitso根据it^o的公式，Vt=Pni=1（Yit）满足度dvt=2nXi=1Yitdtyit+nκdt=（νκ- Vt）dt+κVtdbβt（31），Q-布朗运动bβt=nXi=1ZtYiuqPnj=1（Yju）dWiu。（32）16 M.KOURITZIN和A.Mackay此外，使用事实u-νρκ= uκ-νκρκ和It^o公式，一个求出（25）满足度DHT=Ht的右侧p1级-ρVtdBt+huκ-νκρκidt+ρκ-- αVtdt+ρκdVt（33）+Ht(1-ρ） Vtdt+ρκVtdt= (uκ- αVt）Htdt+p1- ρHtVtdBt+ρHtVtdbβtby（31）和事实B和Bβ是独立的。我们已经恢复了（30）中的下方程。上面的方程和开关由Girsanov测度得到→bQ，在（29）中定义，它使得β，在（28）中定义，是一个独立于B的布朗运动。考虑到这一点，我们用It^o公式和（31）thatln（Vt）来确定- ln（V）=Ztνκ- VsVsds+ZtκVsdbβs-ZtκVsdsso，使用（25），（27）相当于toLt=exp（Ztν- νκVsdbβs-Zt |ν- νκ|κVSD）。（34）那么，继Kouritzin（2018）之后，可以很容易地证明E“LηεTf（Htn+1，Vtn+1）- f（Htn、Vtn）-Ztn+1tnAuf（Hu，Vu）dunYk=1hk（Htk，Vtk）#=0对于所有0 6 t<t<···<tn<tn+1，f∈ S（R）（快速递减函数）和H。。。，hn公司∈ B（R）（有界的，可测量的），其中uf（τ，v）=[（u- αv）ττf（τ，v）+（ν- 五）vf（τ，v）]1[0，ηε]（u）+[（μκ- αv）ττf（τ，v）+（νκ- 五）vf（τ，v）]1[ηε，T]（u）+τvτf（τ，v）+ρκvτf（τ，v）+κvf（τ，v）。（我们分别使用τ，v作为H，v的状态变量。）现在，Ethier和Kurtz（1986）第174页的论证（H，V）满足了关于tobQ的Au鞅问题。解（25）-（28）对于y{Yi}ni=1，pni=1（Yi）=V是有效的。当条件（C）为真时，Lt=1，并且Lt和ηε都是多余的。

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2022-6-1 06:33:38

该解是根据原始风险中性概率Q构造的，并满足（30）中的上方程，直到T。否则，在ηε之前，解决方案满足所需的赫斯顿模型，即直到波动率下降太低（或我们达到最终的“模拟时间”T），然后回落到（30）下半部分给出的最接近的显式备选方案。在这种情况下，解决方案与制造概率Bq有关。通过显式解决方案模拟方法计算GMWBS的VIX相关费用173.3。VA账户的加权显式模拟。现在，我们使用Theorem3.1生成一个有效的算法来模拟VA账户的价值和波动过程。然后将使用该算法对GMWB进行定价。该算法还可用于对（13）所述VA账户上的其他类型的担保定价，如Cui等人（2017）分析的GMAB，或使用flexiblePremium对VA账户建模。定义常量A=p1- ρ、 b=u-νρκ，c=ρκ-- α、 d=ρκ，e=ν- νκ，f=eκ- ν - νκ，我们发现（25）和（27）可以重写为asHtk=Htk-1expaZtktk公司-1VsdBs+b（tk- tk公司-1） +cZtktk-1Vsds+d（Vtk-Vtk公司-1)（35）Ltk=Ltk-1exp（e自然对数VtkVtk-1.+ （塔卡- tk公司-1)+ fZtktk公司-1VSD）。（36）（35）中的随机积分是条件（给定V）高斯积分，因为V和B是独立的，所以模拟只是一个方差为aRtktk的中心正态随机变量-1VSD。即使权重（36）也避免了随机积分。计算两个确定性积分有多种选择。例如，使用梯形规则wehaveZtktk-1VSD≈2M（Vtk-1+Vtk+2M-1Xl=1Vtk-lMh），h=tk- tk公司-1和一个类似的公式forRtktk-1VSD。附录B中详细给出了加权模拟算法。请注意，当ν=nκ时，显式解不需要权重Lt。在这种情况下，不应模拟Lt和ηε。

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2022-6-1 06:33:40

这种简化算法被称为显式模拟算法，而源自定理3.1的一般算法（见附录B）是加权模拟算法。当ν- νκ6=0时，加权模拟算法也可以通过对模拟粒子进行随机重采样或分支来改进。如有必要，在每个时间步，粒子都会单独分支。从给定路径重新采样的概率基于相关的似然Lt。不同的分支算法在Couritzin（2017a）中介绍。这些算法最初是在Kouritzin（2017c）的顺序蒙特卡罗方法的背景下开发的，并在Kouritzin（2017b）中进行了分析。这里，为了获得最佳性能，我们使用有效粒子分支算法，我们在附录B的子程序A2中详细介绍了该算法。备注3.1。为了理解在波动率在算法A1中变得太小之前停止（ηε）的必要性，我们考虑波动率Vt=0的情况。然后，（封闭的、明确的和一般的）波动率方程变为确定性的dVt=νκdt，dVt=νdt，18 M.KOURITZIN和a.Mackaya，这显然是一个解决方案。当νκ6=ν时，这使得模型分布彼此奇异。加权或分支模拟算法可用于计算GMWB的初始净负债∏W（0，F，V），由（20）给出。利用引理3.1和3.2获得可变年金账户价值。我们定义了附加变量Ct和WtbyCt=Zt∧τe-rucuFudu（37）和wt=Ztτe-ruwudu（38）分别跟踪支付至t的折扣总费用和支付至t的折扣总GMWB付款。然后使用加权蒙特卡罗估计值获得净负债。

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2022-6-1 06:33:43

在模拟了所有值{（CjT，WjT，LjT）}Nj=1后，净负债的蒙特卡罗估计值由b∏W（0，F，V）=NNXj=1（WjT）给出- CjT）LjT。该程序的详细信息见附录B.4。数值结果在本节中，我们使用第3.3节中介绍的模拟算法来分析波动率指数挂钩费用在降低净负债敏感性和GMWB净初始损失方面的有效性。我们首先在VIX linkedfee结构的背景下探讨公平费用。然后，我们评估了费用结构对净负债和净损失分布的影响。4.1. 市场参数。虽然公平费用和净负债的计算只需要在风险中性措施Q下进行校准，但应在实际措施P下获得净损失的分布。文献中很少对SVJ模型进行P和Q测量的校准，当我们要求它们使用相对较新的数据时更是如此。当它们存在时，它们并不总是适合我们的目的。例如，Duan和Yeh（2010）的参数导致了一个随机波动过程，在Q-测度下不再是均值回复。由于SVJ模型对这两种指标的同时校准超出了本文的范围，我们选择使用Kokholm和Stisen（2015）获得的风险中性参数。为了计算净损失的分布，通过为不同的风险溢价选择合理的值来获得P度量参数。除非另有说明，否则我们在整个数值示例中使用的参数如表1所示。Kokholm和Stisen（2015）于2012年5月16日利用SPXoption数据获得了这些数据。注意，我们将ν的值（即原始纸张符号中的κθ）从0.1773修改为0.18，以确保条件（C）成立。

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2022-6-1 06:33:47

这种修改加快了我们的计算速度，而不会对我们的结果产生重大影响。此外，我们将无风险利率设定为r=0.02。通过显式解决方案模拟方法19表1计算GMWBS的VIX相关费用。SVJ模型参数，根据Kokholm和Stisen（2015）修改（2012年5月26日根据SPX期权数据校准）ν κVρλδχ0.18 2.86 0.6 0.04-0.96 0.21-0.1252 0.184.2。公平费率。为了说明与波动率挂钩的费用结构的影响，在本节中，我们考虑与GMWB附加条款签订VA合同，初始保费F=100。我们假设投保人每年最多可以提取初始账户价值的7%，并且合同的定价假设最大金额是每年连续提取（即wt=7）。我们首先研究了（37）和（38）中定义的不同费用结构（“c，m”）对预期折扣总费用c和预期折扣支出WT的影响。我们考虑m∈ {0、0.1、0.2、0.3}和'c∈ [0.005, 0.035]. 对于每个费用结构（(R)c，m），使用第3.3节中介绍的显式模拟方法计算CtandWt，n=2×10模拟路径，时间步长h=1/250。图1显示了（37）和（38）中定义的不同m水平的预期贴现总费用和支出，作为“c”的函数。对于固定m，研究的所有四个m值的总费用和支出均以“c”为单位增加。很明显，总费用应以“c”为单位增加，因为总费用率是“c”和另一个正值的总和，即VIX乘以m的平方。总支出也随着“c”的增加而增加，因为增加的费用率直接减少了VA账户的净回报，所以更高的费用率会导致基金更快的耗尽。

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mingdashike22

2022-6-1 06:33:49

因此，平均而言，当“c”增加时，FT0的首次命中时间将变小，担保将在更长的时间内支付，从而导致更高的平均总支付。如第2.2节所述，公平的费用结构*, m级*) 在风险中性措施下，保险公司的预期支出等于预期费用收入。使用公平费率分析波动率指数相关费用的影响，使我们能够比较不同类型的费用结构。例如，通过让“c”在合同开始时的净负债为零，我们可以评估设置不同水平的乘数的效果。通过确保所有考虑的费用结构都是公平的，我们消除了初始责任对结果的影响。我们还将放宽公平费用结构的假设，在后面的章节中分析波动率指数挂钩费用对定价过低产品的影响。获得公平的费用结构（(R)c*, m级*), 我们将乘数m乘以0、0.1、0.2和0.3。对于m的每一个值，我们求出满足（15）的相应“c”。请注意，当NM=0时，费率是恒定的，而不是取决于VIX指数的值。使用m=0，我们可以将波动率挂钩的费用结构与固定费用结构进行比较，固定费用结构通常在行业中使用。对于给定的乘数m，净负债使用第3.3节中介绍的显式模拟方法计算，N=200000条模拟路径，时间步长h=1/250。在间隔“c”上∈ [0.005，0.035]，图2显示净负债在c中严格减少，对于考虑的所有四个m值，有可能找到c，从而使费用结构公平。与Cui等人（2017）对GMAB的发现类似，乘数m越高，公平c越低*. 事实上，当VIX将20 M.KOURITZIN和A。

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