我们还允许在t=0时至少有一个活跃的信息源，以便市场参与者始终可以获得有关X的一些信息。在此设置中，如果ξ（i）tlaw=tX+σiβ（i）t，则命题1.1降低toXt=E[X]+CtXj=1Zπjπj-1θsdW（j）s+ZtπCtθsdW（Ct+1）s+Xs≤t（Xs- Xs型-)δs.例如，我们将对执行价格为K且可在固定时间t行使的欧式看涨期权进行定价∈ (0, 1). 时间零点的价格由C=P0tE给出（Xt）- K）+其中0<t<1，为了便于推导，我们将进程显式表示为状态k的函数∈ S、 例如，我们为▄Jt=k写^ξt（k）。命题3.1。欧式看涨期权t=0时的价格由c=P0tXk给出∈SP（▄Jt=k）ZXxN-^zt（k）+x√t^σt（k）p（1- t） 哦！ν（dx）- P0tXk∈SP（▄Jt=k）KZXN-^zt（k）+x√t^σt（k）p（1- t） 哦！ν（dx），对于t∈ （0，1），其中N（·）是标准正态分布，且^zt（k）=^（k）/pt（1- t） ，其中^（k）是toZX（Pt1x）的唯一解决方案- K） 经验值σt（k）（1）- t）x^（k）- 德克萨斯州/2ν（dx）=0。证据设Xt（k）=Pt1E[X |ξt（k）]，这是给定状态为jt的资产价格∈ S、 也就是说，由于^ξthas在任何时候都处于2n状态之一，因此k应理解为ξt的激活坐标和非激活坐标的标识符。然后，期权的价格如下所示：C=Xk∈SC（k）P（▄Jt=k），对于t∈ （0，1），其中C（k）=P0tE（Xt（k）- K）+. 这遵循了总期望定律（Xt）- K）+= EhEh（Xt- K）+Jtii=Xk∈SEh（Xt- K）+Jt=kiP（▄Jt=k）=Xk∈东南方（Xt（k）- K）+P（~Jt=k），因为（ξt）是马尔可夫的，独立于状态过程（~Jt），而ηt=1表示所有t∈ T、 我们可以把条件分布写成k的显式函数∈ S、 νt（dx；k）=表达式（1-t） ^σ-2t（k）x^ξt（k）- 德克萨斯州/2iν（dx）RXexph（1-t） ^σ-2t（k）x^ξt（k）- 德克萨斯州/2iν（dx），对于t∈ (0, 1).

按照[6]中的类似步骤进行分解∈ S、 我们有c（k）=P0tE“Φt（k）ZX（Pt1x- K） χt（x；K）ν（dx）+#,其中Φt（k）=RXχt（x；k）ν（dx）和χt（x；k）=expx^ξt（k）- tx/2^σt（k）（1- t） ！。那么，对于t∈ （0，1），我们可以定义(Ohm, G、 {Gt}）通过一系列RadonNikodym衍生物（dBdPσ（（ξs（k））0≤s≤t） ）k∈S=Φt（k）k∈S、 这是因为过程（1/Φt（k））是一个P-鞅；也就是说，当s<t时，Eh1/Φt（k）|ξs（k）i=1/Φs（k）（2），并且Φ（k）=1和Φt（k）>0。特别是，（Φt（k））-1=经验值-ZtEhX|^ξs（k）i^σs（k）（1- s） dWs（k）-ZtEhX|^ξs（k）i^σs（k）（1- s） ds公司,和Novikov条件经验值ZtEhX|^ξs（k）i^σs（k）（1- s） ds公司< ∞,满足。在测度B下，随机变量^ξt（k）是高斯的，我们有c=P0tXk∈SP（￠Jt=k）EB“ZX（Pt1x- K） χt（x；K）ν（dx）+#.该语句之后计算临界值^（k）。期权价格可以表示为各种主动信息过程组合产生的Black-Scholes-Merton价格的加权和。价格的函数形式与[22]中提出的非常相似，其中假设跳跃是由aPoisson过程驱动的。在我们的框架中，价格过程的跳跃差异动态源自市场信息的性质（即内生），跳跃分布不是先验的，它对应于更大类别的随机计数措施。示例3.2。

作为一种特殊情况，我们可以选择基础随机点场来生成强度为λ的独立泊松过程，这样我们就得到了c=P0t∞Xk=1e-λt（λt）k-1（k- 1)!ZXxN公司-^zt（k）+x√t^σt（k）p（1- t） 哦！ν（dx）- P0t∞Xk=1e-λt（λt）k-1（k- 1)!KZXN公司-^zt（k）+x√t^σt（k）p（1- t） 哦！ν（dx），我们参考了[11]和[12]中的偏积分微分方程和粘度解，这些偏积分微分方程和粘度解提供了跳跃扩散动力学期权定价的替代技术。3.2信息不对称和市场竞争我们考虑这样一种环境，即有两个市场代理人不知道彼此的行为，并且可以不同地访问固定的信息源。我们这里指的是代理之间随机演变的竞争，其中一些代理可能在一段时间内拥有信息优势，突然发现他们的车轮已经转动，他们不得不接受他们的几个信息源被禁用。Let（~J（1）t）∈ S和（▄J（2）t）∈ S、 分别是代理1和代理2的Gt适应的c\'adl\'ag跳跃过程。跳跃过程由两个随机点域ζ（1）和ζ（2）生成，两者均独立于（ξt）。我们定义了子代数F（j）t GtbyF（j）t=σ（▄J（J）u ξu）0≤u≤t、 （▄J（J）u）0≤u≤t、 X1{t=t},对于j={1，2}。然后我们引入ν（j）t（A）=P[X∈ A | F（j）t]，其中，如果我们使用命题2.11，我们有ν（j）t（A）=P[X∈ A |ξ（j）t，η（j）t]。我们注意到P[ξ（1）t=ξ（2）t]<1和P[η（1）t=η（2）t]<1，因为定义代理的有效和互补信息过程的集值过程（J（J）t）是不同的。为了模拟代理人之间动态竞争中的信息不对称，我们将使用f-分歧；参见[2、4、13]。

我们可以将等效概率测度P（1）和P（2）之间的不对称f-散度定义为fP（1）| | P（2）=ZOhmfdP（1）（ω）dP（2）（ω）dP（2）（ω）+ZOhmfdP（2）（ω）dP（1）（ω）dP（1）（ω）,对于ω∈ Ohm, 其中，f是满足f（1）=0的凸函数，其中dP（1）/dP（2）是拉东-尼科德姆导数。或者，假设存在对称f散度，则可以根据概率密度定义对称f散度。为方便起见，我们假设X有一个密度，并写入ν（j）t（dx）=p（j）t（X）dx，使得t的p（j）t（X）>0∈ T*和x∈ 十、 例如，我们将使用Kullback-Leibler散度（相对熵），它不是概率分布空间上的距离度量，而是测量从先验分布移动到后验分布时获得的信息。对于t∈ T*,KLhp（1）t | p（2）ti=ZX“p（1）t（x）logp（1）t（x）p（2）t（x）！+p（2）t（x）logp（2）t（x）p（1）t（x）！\\dx。我们将概率密度函数显式表示为状态的函数；p（j）t（x；kj）表示▄j（j）t=kj，其中kj∈ S表示j={1，2}。因此，如果ξ（i）tlaw=tX+σiβ（i）t，我们有p（j）t（x；kj）dx=p[x∈ dx|^ξt（kj），η（j）t（kj）]。然后，通过定义过程（At（k，k））和（Bt（k，k））byAt（k，k）=ZXlogp（1）t（x；k）p（2）t（x；k）！ν（j）t（dx；k），Bt（k，k）=ZXlogp（2）t（x；k）p（1）t（x；k）！ν（2）t（dx；k），我们可以分别写2KLhp（1）t | | p（2）ti=Xk∈SXk公司∈S（At（k，k）+Bt（k，k））1{J（1）t=k}1{J（2）t=k}。作为信息不对称的几何度量，由于j={1，2}的qp（j）t（x）确定S上的apoint+∈ 五十、 我们可以定义角度过程{1,2t}0≤t<t通过L-内积，cosΘ1,2t（k，k）=qp（1）t（x；k），qp（2）t（x；k）qp（1）t（x；k），qp（1）t（x；k）qp（2）t（x；k），qp（2）t（x；k）=ZXqp（1）t（x；k）qp（2）t（x；k）dx=1-ZX公司qp（1）t（x；k）-qp（2）t（x；k）dx，因为qp（j）t（x）的L-范数等于单位，而S∈ Lis是一个黎曼流形，当它具有内积h。i。

这里，Θ1,2t（k，k）=Θ2,1t（k，k）是p（1）和p（2）t之间的Bhattacharyyaangle；从S的中心到S+上的端点的角度。cosΘ1,2t=Xk∈SXk公司∈ScosΘ1,2t（k，k）1{J（1）t=k}1{J（2）t=k}。这些是导出Kullback-Leibler SDE的有用表示通过命题2.14的KLand球面Θ不对称过程。每当其中一个代理访问到新的信息源时，这些进程就会跳转。如果两个代理在同一时间具有相同的信息，即对于某些代理，如果ν（1）t（dx；k）=ν（2）t（dx；k）∈ T*, 那么此时进程为零。信息不对称的研究（例如，参见[1、3、20]）从过滤放大理论中获得了实质性的益处；参见【19】和【25】。备注3.3。在随机时间激活和停用新信息源可以理解为扩大过滤和停止过滤之间的动态相互作用。我们将对这一评论进行正式处理，并将信息不对称相应地严格应用于多代理市场竞争，以供将来研究。3.3结论为了对信息切换进行建模，我们在前面使用动态调制的多元L'evy随机桥生成的过滤进行了研究。在布朗随机桥的情况下，我们构建了我们所称的有效和互补信息过程，这为我们提供了分析可处理性，以证明标准布朗运动条件期望鞅的动力学表示。有效过程是所有活动信息源的一维聚合，补充过程反映了当前非活动信息源提供的信息。

作为一个应用，我们计算出了调制信息系统下普通期权的价格，并强调了其功能形式与[22]获得的功能形式的相似性。我们的第二个应用程序解决了访问信息源的代理之间的信息不对称问题。我们通过制作一个调制信息和相关内生跳跃差异动力学的示例得出结论。在下图中，我们展示了命题2.15中给出的条件期望过程（Xt）的模拟路径。每当信息坐标被激活时，跳转扩散过程就会跳转。在每个时间点，马尔可夫链指示哪些信息坐标处于活动状态。由于给予（Xt）的每一个“冲击”都是永久性的，每当信息源被激活时，我们都会谈论对（Xt）价值的永久性影响。对（Xt）的临时影响是对未来研究的一种建议，即一旦某个特定信息坐标（源）被停用，其信息贡献将随着时间的推移“逐渐消失”。图1：内生跳跃扩散系统的模拟（一条路径）。这里有一个例子，其中随机点场用马尔可夫链表示。逆时针方向，（a）马尔可夫链，（b）时间变化或调制的信息过程，（c）有效信息过程，以及（d）内生化跳跃差异Xt=e[Xt | Ft]，对于0≤ t<1。致谢作者感谢J.Akahori，G.W.Peters，J。

Sekine、同行评论员和大阪UCL随机、数字和风险研讨会（2017年3月）的参与者，该研讨会由大和英日基金会共同主办，RSA第六届国际金融数学会议（2017年8月）和Heriot Watt大学精算数学与统计系研讨会（2019年5月）的参与者，征求意见和建议。参考文献【1】Amendinger，J.、Imkeller，P.、Schweizer，M.，《内部人的附加对数效用，随机过程及其应用》，75263-286（1998）。[2] Amari，S.，Nagaoka，H.，信息几何方法，美国数学学会，普罗维登斯（2008）。[3] Ankirchner，S.、Dereich，S.、Imkeller，P.，《过滤的香农信息和内部人员的附加对数效用》，概率年鉴34（2），743-778（2006）。[4] Ali，M.S.、Silvey，S.D.，《一种分布与另一种分布差异系数的一般类别》，《皇家统计学会杂志》B 28，131-142（1966）。[5] 布罗迪，哥伦比亚特区，《模拟选举动态和虚假信息的影响》，InformationGeometry 2209-230（2019）。[6] Brody，D.C.、Hughston，L.P.、Macrina，A.，《基于信息的资产定价》，国际理论与应用金融杂志11，107-142（2008）。[7] Brody，D.C.、Hughston，L.P.、Macrina，A.，《大坝降雨和累积收益》，皇家学会学报A 4641801-1822（2008）。[8] Brody，D.C.、Davis，M.H.A.、Friedman，R.L.、Hughston，L.P.，《知情交易者》，皇家学会学报A 4651103-1122（2009）。[9] Brody，D.C.、Hughston，L.P.、Macrina，A.，《金融市场中的信息流建模》，金融高级数学方法，G.Di Nunno，B。

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