（68）以上，用于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数su（T，x，z）：=Dxg（t、x、z）σ（x），VcdsN+1（t，x，z）σ（x）;U（t，x，z）：=LN+1（zN+1）(R)NXi=1bi（1- Ki（zN+1））Fi（t，x+wN+1，zN+1）+GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1；U（t，x，z）：=NXj=1g（t，x+wj，zj）- g（t，x，z）GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）+g（t，x+wN+1，zN+1）- g（t，x，z）GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1。（69）函数Φ（t，x，z）：=VcdsN+1（t、x、z）σ（x）+N+1Xj=1GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）。（70）对于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数VcdsN+1（T，x，z）和GcdsN+1，j（T，x，z），j=1，N+1，在（48）中给出。回想一下，g（t，x，z）是柯西问题递归系统（61）的唯一非负有界经典解。函数Fi（t，x，z）是向后柯西问题递归系统（39）的唯一有界经典解，其中我们设置了α=（1，1，1）。证据回想一下，增益过程的动力学YN+1=（YN+1（t））t∈与交易对手相关的CDS合同的[0，T]由公式（53）给出，即dYN+1（T）=VcdsN+1（T，X（T），H（T））σ（X（t））dW（t）+N+1Xj=1GcdsN+1，j（t，X（t-), H（t-)) - HN+1（t-)[LjN+1（t-) - LN+1（t-)]dMj（t）。然后它认为d hYN+1，YN+1i（t）=Φ（t，X（t-), H（t-))dt。此处，用于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数Φ（T，x，z）由公式（70）给出。另一方面，从定理4.3可以看出，d hV，YN+1i（t）=U（t，X（t-), H（t-))dt+U（t，X（t-), H（t-))dt+U（t，X（t-), H（t-))dt，其中，对于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数Ui（T，x，z），i=1，2，3，由式（69）给出。然后从等式。（60）在命题4.1中，t∈ [0，T∧ τN+1]，θGKW（t）=d hV，YN+1i（t）d hYN+1，YN+1i（t）=Xi=1Ui（t，X（t-), H（t-))Φ（t，X（t-), H（t-)).这就得到了等式（68）。我们接下来验证θGKW∈ ψ，即θGKWis平方可积w.r.t.d hYN+1，YN+1i（t）。

下面，我们使用C来表示一个ge-ne-ric正常数，这可能因行而异。我们首先注意到存在一个常数C>0，使得E“ZT∧τN+1θGKW（t）d hYN+1，YN+1i（t）#≤ CXi=1E“ZT∧τN+1 | Ui（t，X（t-), H（t-))|Φ（t，X（t-), H（t-))dt#。（71）首先，利用H¨older不等式，它认为在[0，T∧ τN+1]，| U（t，X（t-), H（t-))|Φ（t，X（t-), H（t-))≤VcdsN+1（t，X（t-), H（t-))σ（X（t-))Dxg（t，X（t-), H（t-))σ（X（t-))VcdsN+1（t，X（t-), H（t-))σ（X（t-))=Dxg（t，X（t-), H（t-))σ（X（t-)).另一方面，在表达式（70）和zN+1（1-zN+1）=0表示所有zN+1∈ {0，1}，它遵循Φ（t，x，z）≥N+1Xj=1GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）≥GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1（1- 锌+1）。然后应用命题（3.2），它认为在[0，T∧ τN+1]，存在一个常数C>0，使得| U（t，X（t-), H（t-))|Φ（t，X（t-), H（t-))≤ CGcdsN+1，N+1（t，X（t-), H（t-))XN+1（t-)GcdsN+1，N+1（t，X（t-), H（t-))XN+1（t-)≤ CXN+1（t-).根据等式（69），再次注意到zN+1（1- zN+1）=0表示zN+1∈ {0，1}，其结果是u（t，x，z）=N+1Xj=1g（t，x+wj，zj）- g（t，x，z）×GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）。利用Theorem4.2和Cauchy不等式，可以得出[0，T∧ τN+1]存在一个常数C>0，使得| U（t，x，z）|Φ（t，x，z）≤ CPN+1j=1{GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]}xj（1- zj）PN+1j=1GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）≤ CN+1Xj=1Xj.这就产生了| U（t，X（t-), H（t-))|Φ（t，X（t-), H（t-))≤ CN+1Xj=1Xj（t-).利用估计值（71），我们推导出常数C>0的存在性，使得e“ZT∧τN+1θGKW（t）d hYN+1，YN+1i（t）#≤ C+CE“ZTDxg（t，X（t），H（t））σ（X（t））dt#+CN+1Xj=1E“ZTXj（t）dt#. （72）我们接下来估计上述不等式（72）的r.h.s.上的第二项。它遵循等式。

（67）thatZTDxg（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）=g（t，X（t），H（t））- g（0，X（0），H（0））+ZTLN+1（HN+1（t））(R)NXi=1bi（1- Ki（HN+1（t）））Fi（t，X（t）+wN+1，HN+1（t））+×XN+1（t）（1- HN+1（t））dt-N+1Xj=1ZTg（t，X（t-) + wj、Hj（t-)) - g（t，X（t-), H（t-))dMj（t）。（73）则存在一个常数C>0，使得EZTDxg（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）≤ CEh | g（T，X（T），H（T））- g（0，X（0），H（0））| i+CE“ZT\'NXi=1 | bi|Fi（t，X（t）+wN+1，HN+1（t））dtZTXN+1（t）dt！#+CN+1Xj=1E“ZTg（t，X（t）+wj，Hj（t））- g（t，X（t），H（t））Xj（t）dt#。注意，t（b，…，b'N）是一个实数的有限序列。利用3.2号定理和定理4.2，它认为存在一个常数C>0，使得e“ZTDxg（t，X（t），H（t））σ（X（t））dt公司#≤ C1+N+1Xj=1E“ZTXj（t）dt#.因此，从估计值（72）可以看出，存在一个常数C>0，使得e“ZT∧τN+1θGKW（t）d hYN+1，YN+1i（t）#≤ C1+N+1Xj=1E“ZTXj（t）dt#. （74）因此，有必要估计Pn+1j=1EhRTXj（t）dti<+∞. 回忆一下EQ给出的默认强度过程。(2). 使用It^o公式，可以得出对于j=1，N+1和t∈ [0，T]，Xj（T）=Xj（0）+2ZtXj（s）uj（X（s））ds+2KXk=1Ztσjk（X（s））Xj（s）dWk（s）+KXk=1Ztσjk（X（s））ds+N+1Xl=1ZthXl（s）-) + wjl公司- Xl（s）-)idHl（s）。使用假设（A1）中u（x）和σ（x）满足的线性增长条件，可以得出存在常数C>0，使得j=1，N+1和t∈ [0，T]，EXj（t）≤ EXj（0）+ C+CZtEXj（s）ds+CN+1Xj=中兴通讯Xj（s）ds+N+1Xl=中兴通讯wjl+2wjlXl（s）Xl（s）ds。对于j=1，N+1和t∈ [0，T]，这会导致以下不等式n+1Xj=1EXj（t）≤N+1Xj=1EXj（0）+ C（N+1）+C（N+2）N+1Xj=中兴通讯Xj（s）ds+CN+1Xl=中兴通讯Xl（s）ds+Ct。Gronwall引理暗示，对于所有的t∈ [0，T]，N+1Xj=1EXj（t）≤C（T+N+1）+N+1Xj=1EXj（0）eC（N+2）T。由于初始数据Xj（0）>0对于j=1是平方可积的。

，N+1，这意味着N+1Xj=1ZTEXj（t）dt公司≤C（T+N+1）+N+1Xj=1EXj（0）T eC（N+2）T<+∞. （75）因此，EhRT∧τN+1θGKW（t）d hYN+1，YN+1i（t）i<+∞ 使用es tima te（74）。这就完成了定理的证明。5个应用我们专门研究风险最小化策略θGKW∈ ψ在CDS合同中，参考理论4.4中获得的交易对手“N+1”，以说明基础交易组合包括信用违约掉期、风险债券或首次违约索赔的情况。回想一下满足后向Cauchy问题递归系统的函数Fi（t，x，z）（39），其中α=（1，1，1）表示i=1，N和g（t，x，z）满足递归系统（61）。5.1信用掉期组合调用可违约索赔（35），即“N=N”，对于i=1，N+1，ξi=0，ai（t）=-εi，Zi（t）=Li（t），Ki（t）=Hi（t）。对于i=1，N，递归系统（39）简化为柯西系统（45），即on（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AFcdsi（t、x、z）- (1 - zi）εi-Xj6=izi[Li（zj）- Li（z）]（1- zj）xj=0，终端条件Fcdsi（T，x，z）=Li（z）zi。On（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，递归Cauchysystem（61）0=t+AGCD（t，x，z）（76）+LN+1（zN+1）（NXi=1bi（1- zi）Fcdsi（t，x+wN+1，zN+1））+（1- zN+1）xN+1，终端条件gcds（T，x，z）=0。唯一的风险最小化策略由θGKWcds（t）=Xi=1Ucdsi（t，X（t））给出-), H（t-))Φ（t，X（t-), H（t-)), t型∈ [0，T∧ τN+1]。（77）以上，用于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数如（T，x，z）：=Dxgcds（t、x、z）σ（x），VcdsN+1（t，x，z）σ（x）;UCS（t，x，z）：=LN+1（zN+1）（NXi=1bi（1- zi）Fcdsi（t，x+wN+1，zN+1））+GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1；UCS（t，x，z）：=N+1Xj=1gcds（t、x+wj、zj）- GCD（t、x、z）(78)×GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）。考虑一个由单一名称C DS组成的投资组合，即N=1，与投资者的风险对手“2”进行交易。

在这种情况下，我们得到了两类正则Cauchysystem的闭式解。使用这些闭式解，可以使用（77）导出风险最小化策略θGKWcds（t）。我们讨论了以下情况：oz=（1，1）。对于i=1，2和gcds（t，x，（1，1））=0，我们有Fcdsi（t，x，（1，1））=Li（（1，1））z=（1，0）。我们有gcds（t，x，（1，0））=0和fcds（t，x，（1，0））=L（（1，0））Ehe-RTt▄X（t，X）（s）dsi+L（（1，0））E“ZTt▄X（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）duds#；Fcds（t，x，（1，0））=E“ZTtL（（1，1））~X（t，X）（s）- εe-RstX（t，X）（u）哑弹z=（0，1）。我们有gcds（t，x，（0，1））=0和fcds（t，x，（0，1））=E“ZTtL（（1，1））~X（t，X）（s）- εe-RstX（t，X）（u）duds#；Fcds（t，x，（0，1））=L（（0，1））Ehe-RTt▄X（t，X）（s）dsi+L（（0，1））E“ZTt▄X（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）哑弹z=（0，0）。我们有gcds（t，x，（0，0））=L（（0，1））E“ZTtx（t，x）（s）nbFcds（s，x（t，x）（s）+w，（0，1））o+×E-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））duds#，和fcdsi（t，X，（0，0））=EZTt公司Xj=1Fcdsi（s，~X（t，X）（s），（0，0）j）~X（t，X）j（s）- εie-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））哑弹.5.2风险债券组合调用与风险债券组合相关的违约索赔（36），即“N=N，对于i=1，N，ξi=1，ai（t）=εi，Zi（t）=1- Li（t），Ki（t）=Hi（t），而对位ξN+1=0，aN+1（t）=-εN+1，ZN+1（t）=LN+1（t），KN+1（t）=HN+1（t）。那么对于i=1，N，递归系统（39）简化为以下柯西系统，由，on（t，x，z）给出∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AFbondi（t，x，z）+（1- zi）εi+Xj6=izi[Li（zj）- Li（z）]（1- zj）xj=0（79），最终条件Fbondi（T，x，z）=（1-zi）+（1-李（z））子。将循环柯西系统（61）简化为，on（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，0=t+Agbond（t，x，z）（80）+LN+1（zN+1）（NXi=1bi（1- zi）Fbondi（t，x+wN+1，zN+1））+（1- zN+1）xN+1，终端条件gbond（T，x，z）=0。

风险债券组合的唯一风险最小化策略由θGKWbond（t）=Xi=1Ubondi（t，X（t）给出-), H（t-))Φ（t，X（t-), H（t-)), t型∈ [0，T∧ τN+1]。（81）以上，用于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数子命令（T，x，z）：=Dxgbond（t，x，z）σ（x），VcdsN+1（t，x，z）σ（x）;Ubond（t，x，z）：=LN+1（zN+1）（NXi=1bi（1- zi）Fbondi（t，x+wN+1，zN+1））+GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1；Ubond（t，x，z）：=N+1Xj=1gbond（t，x+wj，zj）- gbond（t，x，z）(82)×GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）。考虑一个由单名风险债券组成的投资组合，即N=1，与投资者的riskycounterparty“2”进行交易。同样，这两种类型的rec-ursive Cauchy系统都允许闭式解，因此我们可以使用（81）推导风险最小化策略θGKWcds（t）。我们考虑以下情况：oz=（1，1）。我们有Fbondi（t，x，（1，1））=1- Li（（1，1）），对于i=1，2和gbond（t，x，（1，1））=0z=（1，0）。我们有gbond（t，x，（1，0））=0和fbond（t，x，（1，0））=（1- L（（1，0）））Ehe-RTtX（t，X）（s）dsi+（1- L（（1，0）））E“ZTtX（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）哑弹z=（0，1）。我们有gbond（t，x，（0，1））=0和fbond（t，x，（0，1））=Ehe-RTtX（t，X）（u）dui+E“ZTt(1 - L（（1，1））~X（t，X）（s）+εe-RstX（t，X）（u）哑弹z=（0，0）。

我们有gbond（t，x，（0，0））=L（（0，1））E“zttx（t，x）（s）nbFbond（s，x（t，x）（s）+w，（0，1））o+×E-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））duds#，and fbond（t，X，（0，0））=Ehe-RTt（X（t，X）（u）+X（t，X）（u））dudsi+EZTt公司Xj=1Fbond（s，~X（t，X）（s），（0，0）j）~X（t，X）j（s）+εe-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））哑弹.5.3第一违约索赔回顾（37）中给出的第一违约索赔，即“N=1，对于i=1，2，ξ=0，a（t）=ε，Z（t）=NXi=1Li（t）Hi（t），K（t）=1-NYi=1（1- Hi（t））；ξ=0，a（t）=-εN+1，Z（t）=LN+1（t），K（t）=HN+1（t）。递归系统（39）简化为以下柯西系统，由，on（t，x，z）给出∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AFftd（t，x，z）+εNYi=1（1- zi）-N+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj=0（83），其中n+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj=1-NYi=1（1- zi）！N+1Xj=1（1- zj）xjNXi=1Li（zj）zij6=i+Li（zi）（1- zi）- 李（z）子. （84）终端条件由FFTD（T，x，z）=NXi=1Li（z）zi！1.-NYi=1（1- zi）！。（85）递归柯西系统（61）简化为，on（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，0=t+Agftd（t，x，z）+LN+1（zN+1）b（1- K（zN+1））Fftd（t，x+wN+1，zN+1）+(1 - zN+1）xN+1（86），终端条件gftd（T，x，z）=0。CVA对首次违约索赔的独特风险最小化策略由θGKWftd（t）=Xi=1ftdi（t，X（t）给出-), H（t-))Φ（t，X（t-), H（t-)), t型∈ [0，T∧ τN+1]。（87）以上，用于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，函数SUFTD（T，x，z）：=Dxgftd（t、x、z）σ（x），VcdsN+1（t，x，z）σ（x）;Uftd（t，x，z）：=LN+1（zN+1）b（1- K（z））Fftd（t，x+wN+1，zN+1）+GcdsN+1，N+1（t，x，z）xN+1；Uftd（t，x，z）：=N+1Xj=1gftd（t，x+wj，zj）- gftd（t、x、z）(88)×GcdsN+1，j（t，x，z）- zN+1[LN+1（zj）- LN+1（z）]xj（1- zj）。考虑一个由两个名字组成的篮子中的违约索赔，即N=2，交易d与投资者的riskycounterparty“3”。这两种类型的递归柯西系统都可以用封闭形式求解，然后可以用公式计算风险最小化策略θGKWcds（t）。

(87). 我们有？τ=τ∧ τ和？τ=τ。我们分别治疗以下病例：oz=（1，1，1）。我们有Fftd（t，x，（1，1，1））=L（（1，1，1））+L（（1，1，1）），gftd（t，x，（1，1，1））=0z=（1，1，0）。我们有gftd（t，x，（1，1，0））=L（（1，1，1））Xi=1Li（（1，1，1））！{b} +E“ZTtX（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）du#，and fftd（t，X，（1，1，0））=Xi=1Li（（1，1，0））！（Ehe-RTt▄X（t，X）（s）dsi+E“ZTt▄X（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）du#）.oz=（1，0，1）。我们有gftd（t，x，（1，0，1））=0和fftd（t，x，（1，0，1））=L（（1，0，1））（Ehe-RTt▄X（t，X）（s）dsi+E“ZTt▄X（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）du#）.oz=（0，1，1）。我们有gftd（t，x，（0，1，1））=0和fftd（t，x，（0，1，1））=L（（0，1，1））（Ehe-RTt▄X（t，X）（s）dsi+E“ZTt▄X（t，X）（s）E-RstX（t，X）（u）du#）.oz=（1，0，0）。我们有gftd（t，x，（1，0，0））=E“ZTtx（t，x）（s）gftd（s，x（t，x）（s），（1，1，0））E-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））du#，和fftd（t，X，（1，0，0））=L（（1，0，0））Ehe-RTt（+X（t，X）（s）+X（t，X）（s））dsi+E“ZTtn▄X（t，X）（s）Fftd（s，~X（t，X）（s），（1，1，0））- L（（1，1，0））- L（（1，1，0））+L（（1，0，0））+X（t，X）（s）Fftd（s，~X（t，X）（s），（1，0，1））- L（（1，0，1））- L（（1，1，0））+L（（1，0，0））o×e-Rst（X（t，X）（u）+X（t，X）（u））du#.oz=（0，1，0）。我们有gftd（t，x，（0，1，0））=E“ZTtx（t，x）（s）gftd（s，x（t，x）（s），（1，1，0））E-Rst（~X（t，X）（u）+~X（t，X）（u））du#，和fftd（t，X，（0，1，0））=L（（0，1，0））Ehe-RTt（+X（t，X）（s）+X（t，X）（s））dsi+E“ZTtn▄X（t，X）（s）Fftd（s，~X（t，X）（s），（1，1，0））- L（（1，1，0））- L（（1，1，0））+L（（0，1，0））+X（t，X）（s）Fftd（s，~X（t，X）（s），（0，1，1））- L（（1，1，0））- L（（0，1，1））+L（（0，1，0））o×e-Rst（X（t，X）（u）+X（t，X）（u））du#.oz=（0，0，1）。我们有gftd（t，x，（0，0，1））=0和Fftd（t，x，（0，0，1））=E“ZTtnx（t，x）（s）Fftd（s，x（t，x）（s），（1，0，1））+x（t，x）（s）Fftd（s，x（t，x）（s），（0，1，1））-Rst（X（t，X）（u）+X（t，X）（u））du#.oz=（0，0，0）。

我们有gftd（t，x，（0，0，0））=E“ZTtnx（t，x）（s）gftd（s，x（t，x）（s），（1，0，0））+x（t，x）（s）gftd（s，x（t，x）（s），（0，1，0））+L（0，0，1））x（t，x）（s）bFftd（t，x+w，（0，0，1））+oe公司-Rst（X（t，X）（u）+X（t，X）（u）+X（t，X）（u））du#，and Fftd（t，X，（0，0，0））=E“ZTtnX（t，X）（s）Fftd（s，X（t，X）（s），（1，0，0））+X（t，X）（s）Fftd（s，X（t，X）（s），（0，1，0））+X（t，X）（s）Fftd（s，X（t，X）（s）s），（0，0，1））+εoe-Rst（▄X（t，X）（u）+▄X（t，X）（u）+▄X（t，X）（u））du#。上述数量的概率表示使得开发有效的蒙特卡罗模拟方法来近似风险最小化对冲策略成为可能。6结论本文研究了可违约债权交易对手风险的动态对冲。我们考虑了一个市场模型，该模型考虑到证券的付款取决于公司的违约事件。我们在直接违约区域模型下进行了分析，在该模型中，违约强度遵循跳跃扩散过程，并通过其对投资组合违约状态的共同依赖相互作用。根据市场惯例，我们使用风险投资者交易对手的流动交易CDS合约来对冲信贷估值调整索赔。我们制定了风险最小化意义上的对冲策略，即使用对冲方法，保持索赔的可复制性，同时保证平均满足自我融资条件。我们已经证明，对冲策略是由CVA支付流的GKW分解的被积函数给出的（见定理4.4），并且允许在后向Cauchy问题的非线性系统的解方面进行显式表示。

通过提供由相应Feymann-Kac表示生成的族g的一致可积性，我们建立了该系统唯一光滑解的存在性，该解定义在无界域上，具有非Lipschitz系数。由于其分析可跟踪性，我们的框架可用于支持金融企业风险管理平台的决策，处理交易对手风险对冲的关键问题。引理2.2的证明。根据定义2.2，我们得到了byD（t）=-εZt∧T（1- K（u））du+NXi=1Zt∧TLi（H（u））Hi（u）dK（u）。（89）上述股息过程的第三个期限实际上由NXI=1Zt给出∧TLi（H（u））Hi（u）dK（u）=NXi=1Li（H（\'τ））Hi（\'τ）1\'τ≤t型∧T=NXi=1Li（H（(R)τ））1τi≤ττ≤t型∧T、 请注意，对于所有i=1，N、 我们有τi≥ τ= τ∧ · · · ∧ τN，a.s。。因此1τi≤\'τ=1τi=\'τ，a.s。。因此，上述等式变成了thatNxi=1Zt∧TLi（H（u））Hi（u）dK（u）=NXi=1Li（H（(R)τ））1τi≤ττ≤t型∧T=NXi=1Li（H（(R)τ））1τi=(R)τPτ≤t型∧T、 这导致了式（13）中给出的股息表示。命题证明3.2。On（t，x）∈ [0，T）×RN+1+，我们将问题（30）改写为以下抽象线性形式：t+~Au（t，x）+h（x）u（t，x）+w（t，x）=0（90），终端条件u（t，x）=αξ（l）（1- K（l））+αZ（l）K（l）对于所有x∈ RN+1+。O n（t，x）∈ RN+1+，系数（x）：=-Xj公司/∈{j，…，jl}xj，w（t，x）：=xj/∈{j，…，jl}xjF（l+1），jα（t，x+wj）- αK（l）（Z（l+1），j- Z（l））+ α(1 - K（l））a（l）。我们将应用Health定理1和Schweizer（20 00）证明方程（90）的经典解的存在性和唯一性，方法是验证它们的强加条件【A1】、【A2】、【A3’]和【A3a’]-【A3e’】在我们的情况下成立。考虑一系列有界域Dn：=（n，n）n+1，n∈ N、 具有平滑的拐角和令人满意的∪∞n=1Dn=RN+1+。

因此，我们验证了方程域上的条件【A3’】成立。通过假设（A1）和（A2），可以满足系数u（x）和σ（x）的条件[A1]和[A2]。这也意味着[A3a\']成立。此外，由于σσ（x） 在假设（A1）和（A2）下是连续可逆的，σσ（x） 是（t，x）×Dn上的一致椭圆，即[A3b\']成立。注意，f（l+1），jα（t，x+wj）是有界的，而C1,2in（t，x）是由归纳假设得到的。此外，注意h（x）在x中是线性的。然后，系数h（x）上的条件[A3c\']和[A3d\']在（t，x）上的条件w（t，x）∈ [0，T]×d满足。最后，我们需要验证[A3e]。为此，需要证明（ZTtw（s，~X（t，X）（s））e族的一致可积性-Rsth（￠X（t，X）（u））哑铃；（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。（91）事实上，根据归纳次命题that F（l+1），jα（t，x）是非负的，并且对于所有j，其有界于[0，t]×RN+1+/∈ {j，…，jl}，存在一个与（t，x）无关的常数C>0，这样对于所有（t，x）∈ [0，T]×RN+1+我们有ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师中兴通讯-Rst（主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））du1+Xj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）ds公司≤ 2CT+2CE中兴通讯-Rst（主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ 2CT+2C1 +Ehe公司-RTt（Pk/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））dui≤ 2CT+4C。（92）这就产生了一个常数C>0的存在性，与（t，x）无关，因此SUP（t，x）∈[0，T]×RN+1+EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ C<+∞.这就产生了族（91）的一致可积性。这意味着健康和Schweizer（2000）的条件[A3e\']是满足的。利用健康和Schweizer（2000）的定理1，等式（90）在[0，t]×RN+1+上承认了唯一的经典解u（t，x）。此外，该解允许（31）给出的概率表示。

此外，估计值（9 2）意味着（31）给出的概率表示对所有（t，x）都有界∈ [0，T]×RN+1+。这就完成了命题的证明。引理3.3的证明。由式（16）得出，d（T）=ξ（H（T））（1- K（T））+ZT（1- K（u））a（u）du+ZTZ（u）dK（u）。利用部分积分（19），我们得到了d（T）=ξ（H（T））（1- K（H（T））+ZT（1）- K（H（u）））a（u）du+Z（H（T））K（H（T））- Z（H（0））K（H（0））-ZTK（H（u-))dZ（H（u））。由于K（0）=0，它遵循命题3。2 thatY（t）=F（1,1,1）（t，X（t），H（t））+Zt（1- K（u））a（u）du-ZtK（H（u-))dZ（H（u））。（93）F（1,1,1）（t，x，z）是由，on（t，x，z）给出的后向Cauchy问题递归系统的唯一有界经典解∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AF（1,1,1）（t，x，z）+（1- K（z））a（z）-N+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj=0（94），终端条件f（1,1,1）（T，x，z）=ξ（z）（1- K（z））+z（z）K（z），（x，z）∈ RN+1+×S.（95）应用It^o公式，我们得到F（1,1,1）（t，X（t），H（t））=F（1,1,1）（0，X（0），H（0））+ZtN+1Xj=1K（H（u））[Z（Hj（u））- Z（H（u））]（1）- Hj（u））Xj（u）- (1 - K（H（u）））a（H（u））du+ZtDxF（1,1,1）（u，X（u），H（u））σ（X（u））dW（u）+N+1Xj=1Zt[F（1,1,1）（u，X（u-) + wj、Hj（u-)) - F（1,1,1）（u，X（u-), H（u-))]dMj（u）。使用公式（93），我们推导出dy（t）=DxF（1,1,1）（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）+N+1Xj=1[F（1,1,1）（t，X（t-) + wj、Hj（t-)) - F（1,1,1）（t，X（t-), H（t-))]dMj（t）-N+1Xj=1K（H（t-))[Z（Hj（t-)) - Z（H（t-))]dMj（t）。这将产生增益过程的动力学（33）。命题4.1的证明。该证明是Schweizer（2001）定理2.4的一个简单扩展，适用于支付链具有随机交付状态的情况。Let^1*= (θ*, η*) 成为inEq定义的战略。(58). 然后是V^1*（t） ：=θ*（t） YN+1（t）+η*（t） =V（t）- Θ（t），因此从等式s（54）和（57）中，它保持sthatcД*（t） =V（t）-ZtθGKW（u）dYN+1（u）=E[Θ（T∧ τN+1）]+A（t），这意味着CД*结果是一个与YN+1强正交的G-鞅。

根据Schweizer（2001）的引理2.3，我们可以限制自己考虑自我融资策略。设Д=（θ，η）∈ ψ是平均自我融资策略0-实现，即VД（τN+1∧ T）=0，然后从公式（54）中，得出CД（T∧ τN+1）- CΘ（t）=Θ（t∧ τN+1）- Θ（t）- VД（t）-ZT公司∧τN+1t∧τN+1θ（u）dYN+1（u）。（96）由于Д是平均自我融资，CД是G-鞅，这意味着通过应用公式（54），VД（t）+Θ（t）是G-鞅。请注意，VД（τN+1∧ T）+Θ（τN+1∧ T）=Θ（τN+1∧ T）。那就这样吧，福特∈ [0，T∧ τN+1]，VΘ（t）+Θ（t）=E[Θ（t∧ τN+1）| Gt]。使用公式（57），我们得到t∈ [0，T∧ τN+1]thatVД（t）+Θ（t）=E[Θ（t∧ τN+1）]+ZtθGKW（u）dYN+1（u）+A（t）。将上述显示器插入等式（96），我们到达atCД（T∧ τN+1）- CД（t）=ZT∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）+A（T∧ τN+1）- A（t）。类似地，它对t保持that∈ [0，T∧ τN+1]，CД*（T∧ τN+1）- C^1*（t） =A（t∧ τN+1）- A（t）。作为顺序，对于t∈ [0，T∧ τN+1]，并利用YN+1和A之间的强正交性，我们得到了Rν（t）=Rν*（t） +EZT公司∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）！燃气轮机+ E“（A（T∧ τN+1）- A（t））ZT∧τN+1t∧τN+1[θGKW（u）- θ（u）]dYN+1（u）！Gt#=R#*（t） +EZT公司∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）！燃气轮机. （97）因此，它认为RΓ（t）≥ R^1*（t） ，则， t型∈ [0，T∧ τN+1]，对于任何平均自我融资和0-实现策略Д=（θ，η）∈ Ψ.我们现在证明了唯一性。如果存在不同的平均自我融资和0-实现策略Д=（θ，η）∈ ψ，这是一个lso风险最小化，然后通过等式（97）我们得到ZT公司∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）= E“ZT∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））d hYN+1，YN+1i#=0这意味着θGKW（t）=θ（t），对于a.e.t∈ [0，T∧ τN+1]。最后，公式（60）后面是公式（57）以及YN+1和A之间的理论正交性b。理论证明4.2。在不丧失一般性的情况下，我们为所有z设置LN+1（z）=1∈ S

然后在默认状态z=0j，。。。，jl，我们可以用以下抽象形式重写等式（63）：on（t，x）∈ [0，T）×RN+1+，t+~Au（t，x）+h（x）u（t，x）+w（t，x）=0（98），所有x的终端条件u（t，x）=0∈ RN+1+。系数由h（x）给出：=-Xj公司/∈{j，…，jl}xj，w（t，x）：=(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+×xN+1j，。。。，jl6=N+1+Xj/∈{j，…，jl}g（l+1），j（t，x+wj）xj。我们还想应用定理1 o fHealth和Schweizer（2000）证明PDE（98）的经典解的存在性和唯一性，通过验证条件系列【A1】、【A2】、【A3’]和【A3a’]-【A3e’】在我们的情况下成立。为此，我们首先考虑有界域Dn=（n，n）n+1，n∈ N、 具有光滑的拐角，以满足∪∞n=1Dn=RN+1+。然后，我们可以验证条件[A3\']在方程的域中是否成立。使用假设（A1）和（A2），条件【A1】和【A2】成立。同样的假设也意味着[A3a\']不存在。此外σσ（x） 是（t，x）×Dn上的一致椭圆，即[A3b\']成立。注意，解g（l+1），j（t，x+wj）是有界的，C1,2in（t，x）是由j的归纳假设确定的/∈ {j，…，jl}。函数F（1,1,1）i（t，x）也是有界的，对于i=1，…，C1,2in（t，x），根据第3.2条的规定。注意，h（x）在x中是线性的。然后，系数h（x）和w（t，x），（t，x）上的条件[A3c\']和[A3d\'）∈ 满足[0，T]×Dn。剩下来验证[A3e\']。为此，需要证明族（ZTtw（s，~X（t，X）（s））e的一致可积性-Rsth（￠X（t，X）（u））哑铃；（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。（99）以上，基本的N+1维RN+1+值过程X（t，X）（t）=（X（t，X）j（t））j=1，。。。，N+1统计数据（3）。首先考虑N+1的情况∈ {j，…，jl}。

由于归纳假设函数g（l+1），j（t，x）在[0，t]×RN+1+上有界，因此存在一个常数C>0，使得ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师ZTt公司Xj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）e-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duds= 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ C1 +Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dui≤ C、 其中C>0且独立于（t，x）。接下来，考虑N+1的情况/∈ {j，…，jl}。还要注意，函数F（1,1,1）i（t，x）也是有界的，对于i=1，…，C1,2in（t，x），提案3.2中的“N”。因此，存在一个常数C>0，这样EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duX（t，X）N+1（s）+Xj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）ds公司.使用假设（A2）和sinc e N+1∈ {j，…，jl}c，它认为▄X（t，X）N+1（s）≤主键/∈ {j，…，jl}X（t，X）k（s），a.s。。这意味着ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 4CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ 4C级1 +Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dui≤ 4C，其中C>0且独立于f（t，x）。因此，我们验证了一个常数C>0的存在性，该常数与（t，x）无关，如thatsup（t，x）∈[0，T]×RN+1+EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ C<+∞.这就产生了族（99）的一致可积性。这意味着Health和Schweizer（2000）的条件[A3e\']成立。利用Health定理1和Schweiz-er（2000），我们得出如下结论：式（98）a在[0，t]×RN+1+上给出了唯一的经典解u（t，x）。接下来，我们证明了解是非负的且在[0，T]×RN+1+上有界。我们首先写出经典解u（t，x）的费曼卡表示。

对于ll（t，x）∈ [0，T]×RN+1+，u（T，x）=E“ZTte-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）+(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+××X（t，X）N+1（s）1j，。。。，jl6=N+1！ds#。（100）此外，如果N+1∈ {j，…，jl}，则等式（100）减少了tou（t，x）=E中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）ds公司.由于非负函数g（l+1），j（t，x）是基于[0，t]×RN+1+的归纳假设，因此存在一个常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ CXj公司/∈{j，…，jl}E“ZTtX（t，X）j（s）E-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duds#=CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du= Cn1- Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）对。显然，上述不等式得到了常数C>0的存在性，使得0≤ u（t，x）≤ 全部为C（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。接下来，考虑N+1的情况/∈ {j，…，jl}。由（100）可知，u（t，x）=E“ZTte-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）+(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+××X（t，X）N+1（s）！ds#。使用假设（A2），存在一个常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）+X（t，X）N+1（s）ds公司.自N+1起∈ {j，…，jl}c，根据（A2）的假设，X（t，X）N+1（s）≤主键/∈ {j，…，jl}X（t，X）k（s），a.s。。这意味着0≤ u（t，x）≤ 2CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du= 2Cn1- Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）对。显然，上述不等式给出了常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ 全部为C（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。这就完成了定理的证明。参考Sait Sahalia，Y.，T.R。

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