最后，当在Sparser频率下采样时，这种测量会停滞，我们认为这是因为（几乎）没有剩余噪声。在并行模型中，滚动模型的拟合优度非常好，方差的四分之一比例以最高频率解释，并且随着样本的减少而增加。数据通过路透社获得，由巴黎中央高等师范学院定量金融主席提供。该代码可在我们的网站上找到。与[Lee and Ready，1991]中介绍的简单且流行的Lee Ready程序的比较可参考引用文件的第5节。频率然而，这一特性暗示，在使用逐点数据时，该模型不能被视为合理地没有残余噪声。与Glosten-Harris模型相关的度量值略大，表明体积信息在一定程度上有助于改善fit。这些估计值与【Li等人，2016年】的实证研究中讨论的结果一致。在其他车型上，这一点没有那么好。如表6所示，我们尝试了许多其他替代模型（如上述模型的线性组合），但未发现签名价差模型的任何显著改进。特别是，在其上添加辊组件并没有发现对其有多大改善。我们通过实施两个逐点稳健的Hausman检验，进一步研究了有符号利差模型是否可以公平地被视为没有剩余噪声。对于每个单独的库存和试验，表7中报告了0.05级的拒收分数。虽然没有报告，但使用其他三个统计数据时，结果非常相似。

在31只股票中，28种成分的平均测试分数在0.00和0.11之间（以下称为主要组分，其特征是解释的方差比例大于99%），而选择0.11，剩下的三个组成部分分别为0.16和0.42（此后称为次要组，其方差比例略低于95%）。观察到的主要组分拒绝分数可被视为合理接近理论阈值0.05，因此我们不能拒绝它们的无效假设，这表明主要组分的股票可以被视为完全没有残余噪音。相反，小集团的三支股票显然遭到了拒绝。图1显示了估算价格的示例。为了探索估计价格的性质，我们将其视为待测试的给定观察价格【A"it-Sahalia和Xiu，2016年】。虽然他们的测试本质上与我们的测试相关，但他们使用的估计员与我们工作中考虑的估计员不同，因此他们的测试可以被视为对估计价格效率的合理独立检查。在0.05水平上，其无效假设的拒绝分数可参考表8。当仅限于主要组分时，六项测试的范围为0.05至0.09，平均值等于0.06。当考虑小集团股票时，相同的测试范围为0.33至0.42。这在很大程度上证实了这样一个事实，即主要类群种群几乎没有残余噪声，而次要类群组分则不能被视为残余噪声。法国电信（France Telecom）、路易威登（Louis Vuitton）和施耐德电气（SchneiderElectric）这三家小集团的一个共同特点是，它们的股价波动较大，价差较小，几乎总是等于1。

这一特征可以在表5中看到，因为三只股票在最小价差方面共享前三名，而在最小的价格与刻度大小的比率方面，则是前五名的一部分。即使对于这些股票，我们的发现也强烈表明，估计价格与效率的差距要比观察价格大得多，因为观察价格的测试在所有情况下都被拒绝。质疑估计价格有效性的另一种方法是检查自相关函数的第一个滞后和视觉“签名图”程序【Andersen等人，2000年】（另见【Patton，2011年】）。如图2-3所示。自相关函数的第一个滞后得到了令人满意的改善，因为当查看估计价格时，它的平均值为0.02，而当查看观察价格时，它的平均值为-0.28。签名图也是可以接受的，因为它相对平坦。最后，两种设置下的最大似然估计结果非常相似（差值等于10-3即使考虑到次要群体中的三只股票）和参数的稳定估计值，该参数系统地介于0.60和0.90之间，平均值约为0.79，以最高频率采样时，标准偏差略高于0.03。考虑到15秒和30秒的频率，平均值分别为0.77和0.76，因此估计值在各采样频率之间也是稳定的。此外，图4记录了各股票的每日估值也随着时间的推移相对稳定。请注意，我们还可以考虑在【Chaker，2017年】（第15页）中通过工具变量进行的有限样本校正。这稍微将参数的估计移向原点，在估计值中其值的四分之一数量级减小。

由于它可以改善有限样本属性，我们实施并选择使用这种有限样本校正，包括在我们的实施测试中。最后，出于稳定性原因，我们考虑了基于原始收益而非估计价格收益的方差估计。7结论本文介绍了一些测试，以评估市场微观结构噪音是否可以通过限额指令簿中一些变量的信息内容得到充分解释。两种新的拟极大似然估计在发展中得到了广泛的研究。随后，基于一个通用的过程，本文提出了一种有效的价格估计方法。我们强调，该方法可以轻松实现，以帮助处理高频数据的任何人。应将实证研究作为重复练习的参考，即首先在一类候选人中进行测试，然后根据测试优度选择一个特定模型。

我们希望这为避免和使用复杂的噪声鲁棒估计器之间的常见困境提供了一个替代和可靠的解决方案。我们还提请注意这样一个事实，即当市场微观结构噪音由限价指令簿充分解释时，除了二次变化以外的其他数量，如纯综合波动率（通过截断）、综合波动率幂，高频协方差甚至波动率的波动率可以按照我们最近研究的相同程序进行估计【Clinet和Potiron，2017年】。最后，虽然我们已经检查了我们的有限样本测试没有重大失真，并且它们有助于提高波动率估计的精度，但未来研究的挑战性和有趣的途径包括可能改进方法检查是否，测试程序支持[Leeb和P"otscher，2005年]中提出的经典模型后选择问题。附录8补充方差估计量的定义当观测是正则的时，我们在正则观测的情况下提供补充方差估计量。我们考虑上述三种情况，即：（i）恒定波动率（ii）时变波动率和无价格跳跃（iii）时变波动率和价格跳跃在（i）情况下，我们从定理3.1中得出，AVbσexp- bσ误差= 4σ. 这可以通过bv=4（bσexp）来简单估计。（8.1）根据（ii），我们有AV ARbσexp- bσ误差= 4吨-1RTσsds可通过以下公式估算：bV=4n3TnXi=1bXi，带bXi=bXti-bXti公司-1，（8.2），其中Bxti之前在（1.4）中定义。假设（iii）时，我们有AV ARbσexp- bσ误差=4吨-1.RTσsds+P0<s≤TJs（σs+σs-).

如果我们引入k→ ∞ 这样k → 0且u=eαω当0<ω<1/2且|α>0时，可通过bv=T（3）估计渐近方差nXi=1bXi公司{|bXi公司|≤u} +n-kXi=k+1bXi公司{|bXi |>u}σti+σti-), 式中（8.3）σti=ki+kXj=i+1bXj公司{|bXj公司|≤u} ，σti-= σti-k-1、估值器BV基于【Mancini，2009】中考虑的截断方法。i=3、4、5的三个方差估计器SBVi与【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中介绍的方差相同，直至比例因子t。这是因为作者通过以下方式来衡量他们的豪斯曼检验统计数据-1N此处我们使用了N。这三个估计量满足命题3.3和推论3.4的条件。在相应的证明中，我们还展示了在i=3、4、5.9的情况下，理论3.1中定义的渐近方差项的表达式。我们记得σ=T-1.ZTσsds+X0<s≤TJs公司, ~η=T-1RTα-1sdsη、 埃克=T-1ZTα-1sdsK、 Q=T-1ZTα-1sdsZTσsαsds+X0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-).此外，我们还有φ=1-2~ηqσ（4η+σ）- σ, (9.1)γ=2▄η+σ+qσ（4▄η+σ）, （9.2）使得σ=γ（1- φ） 和|η=γφ。V的分量表示为V（σ，|η，eK）=4eK+12|η+8|ησ，V（γ，φ）=4γφ（1- φ） ，V（γ，φ，eK）=2eKT+4γTφV（Q，γ，φ）=-2φ(3φ- 10φ- 2φ+ φ- 6） Q（1- φ） T+8γφ（1- φ） （φ+φ+1）（1+φ），V（Q，γ，φ）=2φ（φ+φ- 2φ- 4） Q（1- φ)(1 + φ)-2γTφ（1- φ） （φ+φ+2）（1+φ）V（Q，γ，φ，eK）=φ（2- φ） QT（1- φ） +eKT+γTφ（1+φ）（φ+3φ+4）（1+φ）。备注3。

当波动率为常数时，观察时间是有规律的，价格过程中没有跳跃，我们得到σ=σ，Q=σT，因此使用（9.1）和（9.2）替换φ和γ，我们得到（bσerr，baerr）的方差矩阵的形式为6σ+V-2σ+V-2σ+Vσ+V,等于2σ+4pσ（4η+σ）-（σ+2ση+pσ（4η+σ））T-（σ+2ση+pσ（4η+σ））T（2η+σ）2η+σ+pσ（4η+σ）T+KT！，对应于上述框架中【A"it-Sahalia等人，2005年】定理2 p.371的极限方差。对于信息部分，我们定义了任何k∈ N数量ρk=EW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθ,连同矩阵suθ=2（|ρ- Дρ），Pθ=2（1+φ）-1(~ρ- (1 - φ)+∞Xk=1φk-1ρk）。然后，渐近方差和协方差项可以表示为v（θ，|η）=3|ηT U-1θ，V（θ，γ，φ，X0<s≤TJs）=2γT（1-φ)-1U-1θ(1 - φ)(φ- 4φ+ 5φ- φ+ 1)~ρ+ (φ- φ+ 3φ- 1)~ρ+ 2φ(1 - φ)~ρ+ (2 - φ)(1 - φ)+∞Xk=2φkρkP-1θ-“2U-1θ1 - φ((1 - φ)~ρ- (1 - φ)~ρ+ (1 - φ)+∞Xk=2φkρk）P-1θ- U-1θ#×X0<s≤TJs，V（θ，γ，φ，X0<s≤TJs）=γTP-1θ- (1 - φ） U型-1θ-\"2(1 - φ)(1 - φ） P-1θ~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.~ρk！P-1θ- U-1θ#×X0<s≤TJs。最后，引入Bθ=P0<s≤TPNnk=1φ| k-英寸（s）|uk（θ）θJs，in（s）是唯一的索引-1<t≤ t偏差项表示为bθ，exp=U-1θBθ和Bθ，err=P-1θBθ。特别是，在H，φ=0，Pθ=Uθ下，因此Bθ，exp=Bθ，err=X0<s≤Tuin（s）（θ）θJsU公司-1θ.10证明10.1问题的简化我们给出了一个无害的额外假设（参见【Clinet and Potiron，2018a】第A.1节中的讨论）。注意，我们可以应用Girsanov定理，因为所有关于信息的假设也都是关于风险中性概率的。（H） 我们有b=~b=0。

此外σ，σ-1, ~σ(1), (~σ(1))-1, ~σ(2), (~σ(2))-1, α, α-1有界。给定一个先验数γ>0，我们也有sup0≤我≤NnUni公司≤ nγ。从现在起，为了尽可能避免混淆，我们在表达式Qni、Uni等中明确地写下指数n。还要注意的是，根据[Jacod和Protter，2011]中的引理14.1.5，回顾定义πnt：=supi≥1tni- tni公司-1，且Nn（t）=sup{i∈ N-{0}| tni≤ t} 我们有C>0==> n1型-cπnt→P0，（10.1）我们有时将Xt的连续部分定义为▄Xt：=Xt- Jt。（10.2）我们定义U：=σ{Uni | i，n∈ N}∨σ{αs | 0≤ s≤ T}生成观测时间的σ-场，与X和Q无关。我们通常必须使用条件期望E[.| U]，为方便起见，我们在下文中用EU表示。我们还定义了离散过滤Gni：=FXtni∨ U、 连续版本Gt：=FXt∨U、 注意，由于与α无关，X在扩展G=（Gt）0中允许相同的It^o半鞅动力学≤t型≤T、 最后，在所有的证明中，我们记得我们在Nn（T）的位置写nni，我们定义Kn=N1/2+δn，对于一些δ>0的要调整，我们让K是一个正常数，可以从一行到下一行变化。10.2估算Ohm-1我们从给出矩阵的一些有用估计开始本附录Ohm-1： =[ωi，j]i，j，定义见（3.6）。让我们定义u=qσTa。请注意uσ=u2σ，和ua=-u2a。在本节中，表达式O（1）表示（可能是随机的）函数f：（i，j，n，ξ）→ f（i，j，n，ξ），其中ξ=（σ，a，θ）∈ Ξ，其所有参数和ω一致有界∈ Ohm 在约束下ti，j≤ Nn，哪个是C∞关于紧Ξ，使得其偏导数αO（1）αξ也是有界的。特别地，对于任何多指标α，我们都有有用的性质αO（1）αξ=O（1）。最后，我们定义∈ N函数gn:k∈ {1，…，2Nn}→ k∧（2Nn-k） 。注意，gn（k）总是由Nn控制。引理10.1。

（扩展用于Ohm-1） 存在s>0，这样在（i，j）中一致∈ {1，…，Nn}，ωi，j=√Nn2ua1.-u24N3/2n | i- j |+ON-1ne-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2GN（i+j）+ON-1ne-ugn（i+j）√Nn型+ Oe-s√Nn型.证据根据关系式ωi，j=ωNn-i、 Nn型-j、 用2表示结果很有用≤ i+j≤ Nn。变量φ=1变化时-2anpσNn（4a+σNn）- σnno和γ=n2a+σNn+pσNn（4a+σNn）o，我们回忆ωi，jωi，j=φ| i的表达式-j|- φi+j- φ2Nn-我-j+2+φ2Nn-|我-j |+2γ（1- φ)(1 - φ2Nn+2），（10.3）取自【秀，2010】，等式（28）p 245。通过简短的计算，我们也得到了展开式φ=1-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+ON-5/2n, （10.4）和γ=a+au√Nn+ON-1n. （10.5）现在，对于分子中的第一项，我们可以写出φ| i-j |=经验（| i- j | log1-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+ON-5/2n!)= 经验值|我- j|-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n--u√Nn+u2Nn-u8N3/2n+-u√Nn+u2Nn-u8N3/2n！+ON-2n个= 经验值-u√Nn | i- j |-u24N3/2n | i- j |+O|我- j | N-2n个| {z}O（N-1n）= 经验值-u√Nn | i- j|1.-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!.此外，作为i+j≤ Nn，类似的计算得出φi+j=exp的估计值-u√Nn（i+j）1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!,φ2Nn-我-j=Oexpn公司-upNno公司,最终φ2Nn-|我-j |+2=O经验值-3upNn.我们还有展开式γ（1- φ)(1 - φ2Nn+2）=2au√Nn+ON-2月3日通过直接计算。总的来说，我们得到ωi，j=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn），直至与φ2Nn相关的术语-我-jandφ2Nn-|我-j |+2，我们聚集在Oe-s√Nn型.对于矩阵a=[ai，j]1≤我≤j≤n∈ RNn×Nn，我们将矩阵˙A=[˙ai，j]0关联起来≤我≤Nn，1≤j≤Nn型∈R（Nn+1）×Nnand–A=[¨ai，j]0≤我≤Nn，0≤j≤Nn型∈ R（Nn+1）×（Nn+1），其分量分别满足˙ai，j=ai+1，j- ai，j，（10.6）和–ai，j=˙ai，j+1- ˙ai，j=ai+1，j+1- ai，j+1+ai，j- 当i=0或j=0时，根据约定ai，j=0，ai+1，j，（10.7）。我们回顾了取自【Clinet和Potiron，2018c】的以下引理。引理10.2。

让y，z∈ RNn+1，y=（y，…，yNn）T，z=（z，…，zNn）T，定义y=(yyNn）：=（y- yyNn公司- yNn公司-1） T型∈ RNn，和z以同样的方式。然后我们得到了按部分求和的恒等式yTA公司z=-yT˙Az=yT–Az。我们据此定义˙Ohm-1和¨Ohm-在下一个引理中，我们导出了这些矩阵的一些估计。引理10.3。（扩展为˙Ohm-1） 我们有近似值，在i中是一致的∈ {0，…，Nn}，j∈{1，…，Nn}˙ωi，j=-2a（sgn（i- j）-u√Nn型-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-1.-u√Nn型-u24N3/2GN（i+j）+ON-1n!e-ugn（i+j）√Nn）+Oe-s√Nn型,其中sgn（x）=1{x≥0}- 1{x<0}。证据我们再次假定，在不丧失一般性的情况下，i+j≤ Nn。根据引理10.1和ωi，j的定义，一些计算给出了，直到Oe-s√Nn型,˙ωi，j=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i+1- j |+ON-1n!e-u | i+1-j|√Nn型- e-u | i-j|√Nn型-1.-u24N3/2n（i+j+1）+ON-1n!e-ui+j+1√Nn型- e-ui+j√Nn型)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型e-usgn（i-j）√Nn型- 1.-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型e-u√n- 1.)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型e-usgn（i-j）√Nn型- 1.-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型e-u√n- 1.)=√Nn2ua（1-u24N3/2n | i- j |+ON-1n!e-u | i-j|√Nn型-usgn（i- j）√Nn+u2Nn+ON-2月3日-1.-u24N3/2n（i+j）+ON-1n!e-ui+j√Nn型-u√Nn+u2Nn+ON-2月3日),展开括号中的项，我们得到结果。根据前面的引理，我们通过类似的计算推导出¨的展开式Ohm-引理10.4。（扩展为¨Ohm-1） 如果i 6=j，我们有近似，在（i，j）中是一致的∈ {0，…，Nn}–ωi，j=-u2a√Nn型1+ON-1/2ne-u | i-j|√Nn+e-ugn（i+j）√Nn型+ Oe-s√Nn型. （10.8）此外，在i∈ {0，…，Nn}，¨ωi，i=a1.-u√Nn+ON-1n+u2a√Nn型1+ON-1/2ne-ugn（2i）√Nn+Oe-s√Nn型.（10.9）10.3有效价格估算之后，我们采用与【Clinet and Potiron，2018a】第A.3节中相同的符号约定。过程V和t∈ [0，T]我们写Vt=Vt- 及物动词-.

我们也写Vni：=Vtni- Vtni公司-最后，为了插值，我们有时会编写连续版本Vni，t：=Vtni∧t型-Vtni公司-1.∧t、 让我们定义ζni，t：=(Xni，t）- σtni-1（tni∧ t型- tni公司-1.∧ t） ，和ζni，t：=Eζni，t | Gni-1.. （10.10）我们回顾以下标准估计。引理10.5。对于一些常数K>0，独立于i，E“supt∈]tni公司-1，tni]|Xni，t | p国民总收入-1#≤ 千牛-p/2（Uni）p/2，（10.11）Иζni，t≤ 千牛-3/2（Uni）3/2，（10.12）Eζnt，ip国民总收入-1.≤ 千牛-p（Uni）p，（10.13）E“Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds- σtni-1（tni∧ t型- tni公司-1.∧ t）p国民总收入-1#≤ 千牛-3p/2（Uni）3p/2。（10.14）10.4信息部分的估计在本节中，我们得出了信息部分的一些渐近结果。我们定义ξ=（σ，a，θ）∈ ΞGn（ξ）=（u（θ）- u（θ））TOhm-1(u(θ) - u（θ）），（10.15）以及渐近场∞,1(ξ) = -u2a（ρ（θ）+2+∞Xk=1ρk（θ）），（10.16）和g∞,2（ξ）=ρ（θ）a.（10.17）通过引理10.4，我们对¨进行了以下矩阵分解Ohm-1、删除-=e-u | i-j|√Nn型0≤i、 j≤Nn和E+=e-ugn（i+j）√Nn型0≤i、 j≤Nn。（10.18）那么我们有——Ohm-1=aINn-u2a√Nn型1+ON-1/2nE-- E类++ Oe-s√Nn型JNn，（10.19）JNn何处酒店∈ RNn×nna分别是单位矩阵和其分量均等于1的矩阵。引理10.6。设α=（α，α，α）为多指数，使得|α|≤ m、 如果α>0，那么我们有supξ∈ΞEU“√Nn型αGn（ξ）ξα-αG∞,1(ξ)ξα#→P0。（10.20）此外，如果α=0，则我们有SUPξ∈ΞEU“Nn型αGn（ξ）ξα-αG∞,2(ξ)ξα#→P0.（10.21）证明。首先注意，引理10.2中，Gn（ξ）表示为Gn（ξ）=W（θ）T¨Ohm-1W（θ），（10.22），因此通过（10.19）Gn（ξ），允许分解Gn（ξ）=aTrW（θ）W（θ）T-u2a√Nn型1+O√Nn型W（θ）TE-- E类+W（θ）+Oe-s√Nn型W（θ）TJNnW（θ）。现在考虑一些多指数α，使得|α|≤ m、 首先假设α>0。让我们表示j+α=αξαnu2aE+o，（10.23）和J的类似定义-α. 我们显示（10.20）。

首先请注意，在这种情况下αξα自动条码读取器W（θ）W（θ）T=0，因为α>0和W（θ）W（θ）T不依赖于σ。此外，立即可以看到O中的术语e-s√Nn型αξαW（θ）TJNnW（θ）考虑到系数e，可忽略不计-s√Nn。现在让我们证明我们有SUPξ∈ΞEU“αξαu2aNn1+O√Nn型W（θ）TE+W（θ）#→P0，（10.24），经过一些简单的计算后，相当于表示SUPξ∈ΞNnEU“αθαW（θ）TJ+αW（θ）#→P0。（10.25）通过经典方差偏差分解，如果我们能在ξ中一致地显示，则可以证明（10.25）∈ 我们没有αθαEUW（θ）TJ+αW（θ）→一方面P0（10.26），另一方面NNαθα瓦鲁W（θ）TJ+αW（θ）→P0（10.27）。我们从（10.26）开始。回想一下，对于某些0<δ<1/2，Kn=N1/2+δ。从（10.18）中E+的定义可以很容易地看出，J+α，i，J=Oe-uNδn只要我+j≥ Kn，否则J+α，i，J=O（1）。因此，我们没有αθαEUW（θ）TJ+αW（θ）=NnNnXi，j=0J+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα. （10.28）从对称J+α，Nn-i、 Nn型-j=j+α，i，j我们将总和拆分为nnnnxi，j=0J+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα=NnX0≤i+j<NnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα+NnXi+j=NnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα|{z}Oe-uNδn,=NnX0≤i+j<KnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα+NnXKn≤i+j<NnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα+Oe-uNδn,首先，我们有XKn≤i+j<NnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα= Oe-uNδn×NnXKn≤i+j<Nnαρ| i-j |（θ）θα≤ Oe-uNδn×X0≤k<Nn1.-kNn公司αρk（θ）θα| {z}O（1），=Oe-uNδn,其中，估计SP0≤k<Nn1.-kNn公司αρk（θ）θα= O（1）在θ中均匀分布∈ Θ是假设的结果（2.11）。现在我们也有了X0≤i+j<KnJ+α，i，jαρ| i-j |（θ）θα≤ O（1）×KNnnnx0≤k<Kn1.-kKn公司αρk（θ）θα= ONδ-1/2n,用同样的论点。因此，我们证明了（10.26）。现在，使用与【McCullagh，1987】第3.3 p节类似的公式。

61，（10.27）可表示为sumNnVarUαθαW（θ）TJ+αW（θ）= V++V+，（10.29），其中根据莱布尼兹规则，V+=NnαXr，r=0αrαrNnXi，j，k，l=0J+α，i，jJ+α，k，lκβ（r）j-i、 k级-i、 l-i（θ），（10.30），其中β（r）=（r，α-r、 r，α-r） ，r=（r，r），其中rand罕见的d维多指标，如r，r≤ α、 andV+=NnNnXi，j，k，l=0J+α，i，jJ+α，k，lnρ（r，r）| k-i |（θ）ρ（α-r、 α-r） | l-j |（θ）+ρ（r，α-r） | l-i |（θ）ρ（α-r、 r）| k-j |（θ）o.（10.31）首先，我们有X0≤i、 j、k、l≤NnJ+α，i，jJ+α，k，lκβ（r）j-i、 k级-i、 l-i（θ）≤ O（1）×NnX0≤i、 j、k、l≤Nn型κβ（r）j-i、 k级-i、 l-i（θ）.现在，由于我们可以交换β（r）的元素而不丧失一般性，我们可以假设κβ（r）j-i、 k级-i、 l-i（θ）在i，j，k，l中是对称的，所以我们有一个乘法常数五+≤ O（1）×NnαXr，r=0X0≤我≤j、 k，l<Knκβ（r）j-i、 k级-i、 l-i（θ）≤ O（1）×NnX0≤p、 q，r<Nn1.-p∧ q∧ rNn公司κβ（r）p，q，r（θ）= ON-1n,根据假设（2.12）。另一方面，遵循与偏置情况类似的路径，我们可以将五+吨X0≤i+j<Kn，0≤k+l<KnJ+α，i，jJ+α，k，lnρ（r，r）| k-i |（θ）ρ（α-r、 α-r） | l-j |（θ）o≤ O（1）×X0≤i+j<Kn，0≤k+l<Knnρ（r，r）| k-i |（θ）ρ（α-r、 α-r） | l-j |（θ）o≤ O（1）×KNKNKN-1Xp，q=01.-pKn公司1.-qKnnρ（r，r）p（θ）ρ（α-r、 α-r） q（θ）o= ON2δ-1n,其中，通过应用假设（2.11）获得最后估计值。类似的推理也表明ρ（r，α）中的项是可忽略的-r） | l-i |（θ）ρ（α-r、 r）| k-j |（θ）。因此，我们已经证明了（10.27），所以（10.24）是正确的。要完成（10.20）的证明，仍需显示ξ∈ΞEU“αξαu2aNn公司1+O√Nn型W（θ）TE-W（θ）- G∞,1(ξ)#→P0，（10.32），可用ξ表示∈ΞNnαθαEU“W（θ）TJ-αW（θ）-αG∞,1(ξ)ξα#→P0。

（10.33）我们采用与之前相同的偏差-方差方法，并首先使用对称J-α、 i，j=j-α、 j，i，NnαθαEUW（θ）TJ-αW（θ）=NnX0≤i<j≤NnJ公司-α、 i，jαρ| i-j |（θ）θα+NnNnXi=0J-α、 我，我αρ(θ)θα.（10.34）现在，我们立即得到J-α、 我，我=αξαu2a, 因此nnnnxi=0J-α、 我，我αρ(θ)θα-αξαu2aρ（θ）→P0（10.35）在ξ中均匀分布∈ Ξ. 因此，通过（10.34）和（10.35），我们得到了EUNn型αθαW（θ）TJ-αW（θ）-αG∞,1(ξ)ξα=NnX0≤i<j≤Nn型J-α、 i，j-αξαu2aαρ| i-j |（θ）θα+oP（1），注意supξ∈ΞnJ-α、 i，j-αξαu2ao=oP（1），我们很容易像以前一样通过支配收敛定理和假设（2.11）得出结论，即supξ∈ΞNnαθαEUW（θ）TJ-αW（θ）-αG∞,1(ξ)ξα→P0。（10.36）此外，方差项的处理与之前相同。最后，对于（10.21），类似的计算得到了结果。注意，当α=0时α¨Ohm-1.ξα占优势，因此不存在高阶关联ρk（θ），k≥ 1，在限制范围内。为了处理交叉项，我们以与之前相同的方式定义kN（ξ）=（u（θ）- u（θ））TOhm-1eY（θ），（10.37）引理10.7。设α=（α，α，α）为多指数，使得|α|≤ m、 那么，如果α=0，我们有supξ∈ΞEU“√Nn型αKn（ξ）ξα#→P0。（10.38）如果α>0，我们有SUPξ∈ΞEU“Nn型αKn（ξ）ξα#→P0.（10.39）证明。让我们先来看看（10.38）。通过引理10.2，我们得到了表达式kn（ξ）=W（θ）T˙Ohm-1.X+W（θ）T¨Ohm-1.. （10.40）因此，我们首先显示SUPξ∈ΞEU“√Nn型αξαnW（θ）T˙Ohm-1.Xo公司#→P0。

（10.41）在X连续的情况下，即J=0，我们有eu“√Nn型αξαnW（θ）T˙Ohm-1.Xo公司#=NnEU“E”αξαnW（θ）T˙Ohm-1.Xo公司U∨ σ（X）##=NnEUX0≤i、 k级≤Nn，1≤j、 l≤Nn型αρ| i-k |（θ）θαα˙ωi，jξαα˙ωk，lξαXnj公司Xnl公司=NnX0≤i、 k级≤Nn，1≤j≤Nn型αρ| i-k |（θ）θαα˙ωi，jξαα˙ωk，jξαEUZtnjtnj-1σsds。现在，使用α˙ωk，jξα=O（1），且EURtnjtnj-1σsds=OPn-1+γ通过假设（H），其中γ>0可以取任意小，我们得到eu“√Nn型αξαnW（θ）T˙Ohm-1.Xo公司#= 操作N-1nn-1+γ×X0≤i、 k级≤Nn，1≤j≤Nn型α˙ωi，jξααρ| i-k |（θ）θα首先对k进行求和，并使用假设（2.11），我们得到eu“√Nn型αξαnW（θ）T˙Ohm-1.Xo公司#= 操作N-1nn-1+γ×X0≤我≤Nn，1≤j≤Nn型e-u | i-j|√Nn+e-ui+j√Nn型= 操作N1/2nn-1+γ→P0，统一在ξ中∈ Ξ通过上一次估算的直接计算。现在，当J 6=0表示n足够大时，利用跳跃过程的有限活性特性，很容易在二次表达式中看到一个附加项NnX0≤i、 k级≤Nn型αρ| i-k |（θ）θαNJXj=1α˙ωi，ijξαα˙ωk，ijξαEUJτJ，（10.42），其中nj是J在[0，T]上的有限跳跃次数，（τJ）1≤j≤nj是相关的跳转时间，ij是唯一的指数，以便tnij-1<τj≤ 特尼吉。考虑到上一节中对˙ωi、jof的估计和ij的定义，我们立即看到系数α˙ωi，ijξα=Oe-v√Nn型对于一些v>0的情况，和度（10.42）可以忽略不计，所以我们有（10.41）。现在我们证明我们有SUPξ∈ΞEU“√Nn型αξαnW（θ）T¨Ohm-1.o#→P0.（10.43）通过独立，我们立即拥有了欧盟”√Nn型αξαnW（θ）T¨Ohm-1.o#=aNnX0≤i、 j，k≤Nn型αρ| i-k |（θ）θαα¨ωi，jξαα¨ωk，jξα，（10.44），从这里开始使用α¨ωk，jξα=O√Nn型一方面，当α>0时，对k求和，应用假设（2.11），并最终计算指数项的显式和，得出u“√Nn型αξαnW（θ）T¨Ohm-1.o#= 操作N-1/2n（10.45）在ξ中均匀分布∈ Ξ. 因此，我们证明了（10.38）。

最后，对（10.39）进行了类似的证明。10.5定理4.1的证明当a>0时，我们推导出bξn，err（以下用bξn表示）的极限理论。在我们的术语中，我们称之为任何ξ∈ Ξ且直到加性常数termln（ξ）=-日志数据(Ohm) -eY（θ）TOhm-1eY（θ）{z}l（σ，a）n（ξ）-Gn（ξ）- Kn（ξ）{z}l（θ）n（ξ），（10.46）带Ohm-1=[ωi，j]1≤我≤Nn，1≤我≤Nn，我们还记得ωi，jc的定义可以在（10.3）中找到。此外，请注意，l（σ，a）ndoes不依赖于θ，精确地对应于[Xiu，2010]中研究的没有信息的拟线性似然，并扩展到[Clinet和Potiron，2018a]中更一般的设置。另一方面，l（θ）是包含θ的附加部分，取决于整个向量ξ=（σ，a，θ）。按照【Xiu，2010】和【Clinet和Potiron，2018a】中的类似程序，我们引入了近似对数似然随机场asln（ξ）=-日志数据(Ohm) -Tr公司Ohm-1n∑c+∑do| {z}l（σ，a）n（ξ）-Gn（ξ）{z}l（θ）n（ξ），（10.47），带∑c=Rtnσsds+2a-a0···0-aRtntnσsds+2a-一0-aRtntnσsds+2a。。。。。。。。。。。。。。。-a0···0-ARTNNTNNN-1σsds+2a,和∑d=诊断X0<s≤田纳西州Js，Xtn<s≤田纳西州Js，···，XtnNn-1<s≤tnNn公司Js公司.考虑对角线缩放矩阵Φn=diag（N1/2n，Nn，Nn）。（10.48）同时定义ξ∈ Ξ标度得分ψ（σ，a）n（ξ）=-Φ-1nl（σ，a）n（ξ）ξ、 ψ（θ）n（ξ）=-Φ-1nl（θ）n（ξ）ξ、 ψn=ψ（σ，a）n+ψ（θ）n。相应地，近似分数ψn、ψ（σ，a）n和ψ（θ）n并不表示用ln代替ln的相同定义。我们从一个技术引理开始，以确保一些随机领域的一致收敛。引理10.8。设Xn（ξ）为Cminξ类随机变量序列∈ Ξn Rd，每个Ξnconvex紧，2m>d，U是一般σ场的子σ场。对于任何多指数α，0≤ |α| ≤ m、 我们假设SUPξ∈ΞnEUαξXn（ξ）= oP（Leb（n））。然后我们得到一致收敛eu“supξ∈Ξn | Xn（ξ）|#→P0.（10.49）证明。

根据[Adams and Fournier，2003]中定理4.12第一部分案例A（取j=0，p=2），weapply Sobolev不等式，并定义一些常数M，从而得到eu“supξ∈Ξn | Xn（ξ）|#≤ MXα| |α|≤m级兹涅αξXn（ξ）dξ1/2≤ MLeb（Ξn）1/2Xα| |α|≤msupξ∈ΞnEαξXn（ξ）!1/2→引理10.9。任何ξ的（渐近分数）∈ Ξ，让ψ∞(ξ) =-√T8aσσ- σ-√T8aσ一- 一- ρ(θ) - 2P级+∞k=1ρk（θ）2a级一- 一- ρ(θ)2a级ρ(θ)θ.我们有SUPξ∈Ξ|ψn（ξ）- Ψ∞(ξ)| →P0.（10.50）证明。由于ψn=ψ（σ，a）n+ψ（θ）n，如果我们能证明ψ（σ，a）n（ξ），那么这个引理将得到证明→P-√T8aσσ- σ-√T8aσ一- 一2a级一- 一（10.51）和ψ（θ）n（ξ）→P√T8aσρ（θ）+2P+∞k=1ρk（θ）-ρ（θ）2a2aρ(θ)θ（10.52）在ξ中均匀分布∈ Ξ. 注意，（10.51）是[Clinet and Potiron，2018a]中引理a.3的结果。对于（10.52），通过引理10.7和引理10.8的组合，我们在ξ∈ ψ（θ）n（ξ）-ψ（θ）n（ξ）=oP（1）。因此，有必要证明我们对ψ（θ）n有收敛性（10.52）。结合引理10.6和引理10.8，我们得到supξ∈Ξ(√Nn型Gn（ξ）σ+u8aσ（ρ（θ）+2+∞Xk=1ρk（θ）））→P0，（10.53）supξ∈Ξ2NnGn（ξ）a+ρ（θ）2a→P0，（10.54）和SUPξ∈Ξ2NnGn（ξ）θ-2a级ρ(θ)θ→P0，（10.55），并回顾ψ（θ）n=Φ-1nGn（ξ）ξ、 我们得到（10.52）。定理10.10。（一致性）。如果bξn=（bσn，ban，bθn）是QMLE，我们有bξn→Pξ：=σ、 a，θ. （10.56）证明。我们在[Clinet and Potiron，2018a]中扩展了引理A.4的证明，也就是说，因为我们已经准备好了havesupξ∈Ξ|ψn（ξ）- Ψ∞(ξ)| →P0（10.57）通过引理10.9，我们证明 > 0infξ∈Ξ：kξ-ξk≥kψ∞（ξ） k>0=kψ∞（ξ） kP-a.s.（10.58）给出ψ的形式∞, 等式ψ∞（ξ） =0为立即数。还请注意，如果我们证明kψ∞（ξ） 当ξ6=ξ时，k>0，因为Ξ是紧的。然后我们取ξ∈ Ξ - {ξ} 使得ψ∞（ξ） =0，并假设θ6=θ。在这种情况下，我们有kψ∞（ξ） k级≥4a级ρ(θ)θ> 0，乘以（2.14），这会导致矛盾。

因此我们得到θ=θ，以类似的方式，我们也得到了0=kψ∞（σ，a，θ）k≥4a级一- 一,这意味着a=a。最后，ψ的第一个分量∞导致支配0=kψ∞（σ，a，θ）k≥T64aσσ- σ,所以我们可以得出σ=σ的结论。设Hn为似然场的标度Hessian矩阵，定义asHn（ξ）=-Φ-1/2nln（ξ）ξΦ-1/2n，（10.59）和类似的H（σ，a）n，H（θ）n，Hn，H（σ，a）n，H（θ）n引理10.11。（Fisher信息）对于ξ=（σ，a，θ），设Γ（ξ）为矩阵Γ（ξ）=√T8aσ0 02a0 0 aVθ. （10.60）对于任何球Vn，我们有，以ξ为中心，收缩到{ξ}，supξn∈VnkHn（ξn）- Γ（ξ）k→P0.（10.61）证明。关于引理10.9的证明，我们有h（σ，a）n（ξ）→P√T8aσ0 02a0 0（10.62）在ξ中均匀分布∈ Ξ由引理A.5在【Clinet and Potiron，2018a】中证明，因此通过恒等式Hn=H（σ，A）n+H（θ），如果我们可以显示（θ）n（ξ），则引理将得到证明→P0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 aVθ, （10.63）在ξ中均匀分布∈ Ξ. 自H（θ）n-H（θ）n=-Φ-1/2n千牛ξΦ-1/2n，引理10.7和引理10.8的直接应用产生supξ∈ΞnH（θ）n（ξ）- H（θ）n（ξ）o→此外，通过引理10.6和引理10.8，我们得到了supξ∈ΞnH（θ）n（ξ）- H（θ）∞（ξ） o→P0，（10.64）带H（θ）∞(ξ) =G∞,1(ξ)(σ)0 0G∞,2(ξ)（a）G∞,2(ξ)一θG∞,2(ξ)θ一G∞,2(ξ)θ. （10.65）因此，通过H（θ）的连续性∞, 我们推导出supξn∈VNH（θ）n（ξn）- H（θ）∞（ξ） o→P0，（10.66），并且立即检查h（θ）∞(ξ) =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 aVθ, （10.67）根据定义（2.7）、（2.9）、（10.16）和（10.17）。现在，我们扩展了[Clinet and Potiron，2018a]（A.27）-（A.30）第128页的符号，并定义了中心极限定理推导中涉及的几个过程。

对于（β）∈ {（σ），（a），（θ）}，和t∈ [0，T]，M（β）（T）：=Nn（T）Xi=1ωi，iβXni，t-Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds-Xtni公司-1.∧t<s≤tni公司∧t型Js公司, （10.68）M（β）（t）：=Nn（t）Xi=1X1≤j<iωi，jβXnj，tXni，t，（10.69）M（β）（t）：=- 2Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=1 ˙ωi，jβXnj，ttni，（10.70）M（β）（t）：=Nn（t）Xi=0 ¨ωi，iβntni公司- ao+2Nn（t）Xi=0X0≤j<i ¨ωi，jβtnj公司tni，（10.71）M（β）（t）：=Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=0–ωi，jWj（θ）βtni+Nn（t）Xi=1Nn（t）Xj=0˙ωi，jWj（θ）βXni，t.（10.72）我们还定义了三维向量Mi（t）：=M（σ）i（t），M（a）i（t），M（θ）i（t）t对于i∈ {1, ..., 5}.在所有定义（10.68）-（10.72）中，涉及以下参数的术语：Ohm-1,˙Ohm-1,¨Ohm-1.对于某些σ，在ξ：=（σ，a，θ）点进行评估∈ [σ, σ]. 对于i∈ {1，…，4}，当适当缩放时，过程Mi（T）允许极限分布，其表达式可在[Clinet and Potiron，2018a]的引理A.6、A.7、A.9和A.10中找到。我们完成了这些结果，并表明M（T）趋向于GT条件下的正态分布。在陈述结果之前，我们回顾一下，对于σ-场H、随机向量Z和随机向量序列Znin Rb，如果我们有任何u∈ RbEheiuTZn公司臀部→ EheiuTZ公司你好（10.73）引理10.12。我们有条件地在GT上，分布n的收敛性-1/2毫米（吨）→ N0,0 0 0 0 0 0 0 0 a-2Vθ. （10.74）证明。由于M（σ）（T）=M（a）（T）=0，因此有必要证明M（θ）（T）的边际CLT。预防分两步进行。第1步。我们引入M（θ）（T）：=a-2NnXi=0Wi（θ）θtni。（10.75）我们证明了N-1/2nm（θ）（T）-~M（θ）（T）o→P0。我们分解-1/2nm（θ）（T）-~M（θ）（T）o=R（1）n+R（2）n+R（3）n，（10.76），其中R（1）n=n-1/2nnxi=1NnXj=0Ωi，jWj（θ）θXni，t，（10.77）R（2）n=n-1/2nnxi=0Xj6=i–ωi，jWj（θ）θtni，（10.78）和R（3）n=n-1/2nnxi=0¨ωi，i- 一-2.Wi（θ）θtni。（10.79）现在，通过类似于引理10.7的证明，我们很容易得到R（1）n→P0。

此外，通过应用Lemma 10.4、假设2.11和 W（θ），我们很容易得到R（2）n→最后，通过引理10.4我们得到了–ωi，i- 一-2=ON-1/2n因此，我们可以通过以下独立性直接获得EUR（3）n=0W（θ）θ和 对于每个分量R（3）n，kof R（3）n，1≤ k≤ d、 瓦鲁尔（3）n，k≤ ON-2n个×NnXi，j=0EUWi（θ）θktni公司Wj（θ）θktnj公司= ON-1n,因此R（3）n→P0。步骤2。现在我们证明N-1/2nM（θ）（T）→ N0，a-2Vθ有条件地打开▄GT=GT∨{Qni | i，n，∈N} （在GT上有条件地如此）。为此，我们将应用【Kallenberg，2006年】（第92页）定理5.12的条件版本，关于▄GT。因此，我们首先表示：-1/2nM（θ）（T）=PNni=0χni，其中χni=N-1/2纳-2.Wi（θ）θt在行方向上有条件地独立并居中给定▄GT。为了在分布中获得所需的收敛性，因此有必要显示n-1nNnXi=0Ehχni（χni）TGTi→帕-2Vθ，（10.80）和Lindeberg条件，对于某些p>0，NnXi=0EhkχnikpGTi→对于（10.80），我们立即注意到n-1nNnXi=0Eh（χni）GTi=a-4N-1nNnXi=0Wi（θ）θWi（θ）Tθ→帕-4Vθ（10.81），其中我们使用了 和Q，其中最后一步是条件（2.11）和（2.12）的直接结果。此外，利用矩条件和信息过程的平稳性也可以很容易地验证p=4的Lindeberg条件（10.81）。引理10.13。对于任何σ∈ [σ，σ]，取ξ=（σ，a，θ），在GT中稳定，收敛分布Φ1/2nψn（ξ）- ψn（ξ）→ 明尼苏达州0,4a级5Q16σT1/2+σ√T8σ+√T16σ0 02a+立方米[]4a0 0 a-2Vθ,其中Q=T-1RTα-1sdsnRTσsαsds+P0<s≤TJs（σsαs+σs-αs-)o、 证明。

注意，我们有分解2Φ1/2nψn（ξ）- ψn（ξ）= Φ-1/2n{M（T）+2M（T）+M（T）+M（T）+2M（T）}。首先我们证明Φ-1/2n{M（T）+M（T）+2M（T）}在GT条件下收敛于分布。根据引理A.9和A.10【Clinet和Potiron，2018a】，Φ-1/2nM（T）和Φ-1/2nM（T）都倾向于在GTto混合正态分布的条件下不分布各自的渐近方差SV=σ√T8σa0 00 0 00 0 0 0, （10.82）和V=√T16aσ0 0a+cum[]a0 0 0. （10.83）此外 在其他流程中Wj（θ）θ和X是不相关的，我们推导出任意对之间的条件协方差项Mi（T），Mj（T）i 6=j，i，j∈ {3，4，5}为空，因此与引理10.12中获得的边际收敛一起，这自动产生了以GTΦ1/2n{M（T）+M（T）+2M（T）}为条件的定律收敛→ 明尼苏达州0,一σ√T8σ+√T16σ0 0a+立方米[]a0 0 4a-2Vθ.根据【Clinet和Potiron，2018a】中的Slutsky引理和引理A.6和A.7，我们还可以在M（T）+2M（T）的分布中稳定地收敛到随机方差v的混合正态分布=5Q16T1/2σa0 00 00 00 0 0. （10.84）最后，通过应用[Clinet and Potiron，2018a]中的命题A.8，我们推导出（M（T）+2M（T），M（T）+M（T）+2M（T）的联合GTstable收敛，从而得出全局项Φ1/2n的收敛ψn（ξ）- ψn（ξ）, 我们完成了。我们现在准备证明中心极限定理。定理4.1的证明。

在B=1的情况下，证明完全遵循[Clinet和Potiron，2018a]中定理A.12的证明，并用ξ=（σ，A，θ）替换ξ=（σ，A，θ），用三维对应项替换分数函数以及鱼的信息。10.6定理3.1的证明在a=ηT/n的情况下，即在小剩余噪声框架下，我们有兴趣推导两个估计量的联合定律，即bξn，err=（bσn，err，bθn，err，ban，err）和bДn，exp=（bσn，exp，bθn，exp），这是在拟似然函数中无剩余噪声约束a=0的情况下获得的。对于前面的估计器，极限理论与固定非零噪声的情况截然不同。实际上，我们要证明收敛速度（N1/4n，N1/2n，N1/2n）变为（N1/2n，N3/2n，Nn）。此外，噪声增量和价格增量的阶数相同，复杂的相互作用项现在出现在估计量的极限方差中。为导出CLTbДn，exp，bξn，err, 让我们重新表述一下这个问题，引入bηn，err：=-1Nnban，err，bun，err：=N1/2n（bθn，err- θ） ，和bun，exp：=N1/2n（bθn，exp- θ） ，我们现在有兴趣展示bνn=bwn，exp，bζn，err:= （bσn，exp，bun，exp，bσn，err，bun，err，bηn，err）（10.85）允许速率为N1/2n的CLT。我们注意到，bζn，err是与新对数似然ln相关的QMLE，err（σ，u，η）：=-对数det（λ）-（Y）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1（Y- u（θ+N-1/2nu），（10.86）其中Ohm 用∧=Nn型σ+ 2η -η 0 ··· 0-η σ+ 2η -η......0-η σ+ 2η...............-η0 ··· 0 -η σ+ 2η, （10.87）和bwn，exp是Ln的变量（σ，u）中的一个最大值，exp（σ，u）：=Ln，err（σ，u，0），（10.88），即（10.86），其中∧=NnσINn，where INn∈ RNn×NNI是单位矩阵。

现在，我们采用了与定理1的证明【A"it-Sahalia和Xiu，2016】类似的符号，并简化了引入变量φ=1变化的问题-2ηnpσ（4η+σ）- σo和γ=n2η+σ+pσ（4η+σ）o，当η=0时，φ=0。我们有λi，j=-1Nnγ-2φ| i-j|- φi+j- φ2Nn+2-（i+j）- φ2Nn+2-|我-j |（1）- φ)(1 - φ2n+2），（10.89），约定0=1。因此，我们将导出通过将对数似然函数分别视为ζ：=（γ，u，φ）和w：=（σ，u）的函数最大化得到的|νn=（|wn，exp，|ζn，err）=（bσn，exp，bun，exp，bγn，err，bun，err，bφn，err）的渐近性质。给定φ和η的形式，我们看到存在φ∈ （0，1）和γ>γ>0，分别对集合n，err进行优化：=γ, γ×{u∈ Rd+|θ+N-1/2个∈Θ}×-φ, φ, 和Ξn，exp：=γ, γ×{u∈ Rd+|θ+N-1/2个∈ Θ}. 然后，我们将通过delta方法返回到bζn，err。我们保持与前一部分类似的符号，并写出ψn，err（ζ）=-N-1nLn，呃ζ第一个实验的得分函数，类似地，ψn，exp（w）=-N-1nLn，expw、 有时我们会考虑联合过程ψn=（ψn，exp，ψn，err）。我们还自然地将符号（10.15）和（10.37）调整为小噪声上下文（ζ）=（u（θ）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1(u(θ) - u（θ+N-1/2nu），（10.90）和kN（ζ）=（u（θ）- u（θ+N-1/2nu））T∧-1{X+}. （10.91）我们首先给出了当a=ηT/n时两个估计量的极限。定理10.14。（一致性）假设a=ηT/n。定义η：=ηT-1RTα-1sds。设φ：=1-2？ηnpσ（4？η+σ）- σo和γ：=n2η+σ+pσ（4η+σ）o。设ν：=（w0，exp，ζ0，err）=（σ+2η，0，γ，0，φ）。我们有→Pν。特别是，在零假设η=0的情况下，两个估计量是一致的，因为我们有ν=（σ，0，σ，0，0）。证据我们分别显示了|ζn，errad|wn，exp的一致性。让我们从|ζn，err开始。证明方法与引理10.9和定理10.10相同。

首先，让我们定义ρk：=EW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθ. （10.92）引理10.6和10.7现在很容易适应上ζ∈Ξn，errEU“Nn型αGn（ζ）ζα-αG∞,误差（ζ）ζα#= oP（N-1/2n），（10.93）对于任何多指数α，使得|α|≤ m、 和with G∞,err（ζ）：=Tγ（1+φ）uT（|ρ）- (1 - φ)+∞Xk=1φk-1|ρk）u=γTuTPθ，φu带Pθ，φ：=2（1+φ）-1{~ρ- (1 - φ） P+∞k=1φk-1▄ρk}，和SUPζ∈Ξn，errEU“Nn型αKn（ζ）ζα#= oP（N-1/2n）。（10.94）因此，将【A"it-Sahalia and Xiu，2016】（第45页）的推理改编为我们的设置（通过（10.1），我们得到了观测网格的步长πnT→P0），并将它们与（10.93）、（10.94）和引理10.8相结合，得到收敛性supζ∈Ξn，err |ψn，err（ζ）- Ψ∞,err（ζ）|→P0，（10.95），其中ψ∞,err（ζ）=2γ-σ+2(1-φ)~η2γ(1-φ)+G∞,误差（ζ）γG∞,误差（ζ）uφσ+2（1-φ)~ηγ(1-φ)-~ηγ(1-φ)+G∞,误差（ζ）φ.现在，通过一个经典的统计参数（参见【范德法特，2000年】、定理5.9）和（10.95），可以证明bζn的一致性，如果有 > 0，infζ∈Ξ∞,错误：|ζ-ζ|>kψ∞,err（ζ）k>0，其中kxk=qPixi，其中Ξ∞,错误=γ, γ×Rd×-φ, φ, 如果ψ∞,误差（ζ）=0。第二个断言是立即的。为了证明前者，让我们取b>0为任意数，并考虑Ξb，err：=γ, γ×[-b、 b]d×-φ, φ. 我们将展示infζ∈Ξ∞,犯错误-Ξb，误差：ζ-ζ|>kψ∞,一方面，err（ζ）k>0，infζ∈Ξb，误差：ζ-ζ|>kψ∞,另一方面，误差（ζ）k>0。在第一种情况下，假设uTu≥ b、 并写入▄M（φ）=▄ρ- (1 - φ） P+∞k=1φk-1▄ρk，我们自动得到▄M（φ）是任意φ的对称正矩阵∈ [-φ、 φ]作为CauchySchwarz不等式和信息过程平稳性的简单结果。

因此，将▄c（φ）>0写入M（φ）的最小特征值，并且▄c=minφ∈[-φ、 φ]~c（φ），我们在第一种情况下得到它kψ∞,err（ζ）k>~cTγ（1+φ）b>0。在第二种情况下，由于Ξb，erris是一个紧空间，连续性参数表明它能够证明ψ∞,err（ζ）=0当且仅当ζ=ζ0时，err。因此设ζ∈ Ξb，err使得ζ点的分数为空。给定G的形状∞,求任意φ，ψ的M（φ）的正性∞,err（ζ）=0表示u=0。Then0=ψ∞,误差（ζ）=φσ+2（1- φ)~ηγ(1 - φ)-~ηγ(1 - φ） 得出二阶方程|ηφ-（σ+2￠η）φ+￠η=0，这反过来意味着φ=φ（另一根是不允许的）。最终0=ψ∞,err（ζ）=2γ-σ+ 2(1 - φ)~η2γ(1 - φ） 给出γ=γ，用其表达式替换φ，因此ζ=ζ0，err。特别是，当η=～η=0时，则φ=0，γ=σ。现在我们推导出bwn的极限，exp。通过关系式（10.88），我们还立即推导出thatsupζ∈Ξn，exp |ψn，exp（w）- Ψ∞,exp（宽）|→P0，其中ψ∞,exp（w）=2σ-σ+2~η2σ+G∞,exp（w）σG∞,exp（w）uandG公司∞,exp（w）=TσuT▄ρu- uT▄ρu=TσuTUθu。从那里，一个与应用于bζn的情况类似的推理，err得出bwn，expatroach的概率收敛σ+ 2~η, 0. 特别是，波动率分量在零假设η=0下是一致的，在其他情况下是不一致的，而信息估计量在两种情况下都是一致的。如前一节所述，我们现在引入Hn，err（ζ）=-N-1nLn，err（ζ）ζ、 （10.96）和hn，exp（w）=-N-1nLn，exp（w）w、 （10.97）引理10.15。（Fisher信息）设Γerr（ζ0，err）和Γexp（w0，exp）为矩阵Γerr（ζ0，err）=γ-40 00 γ-2吨-1Pθ0 0（1-φ)-1.（10.98）和Γexp（w0，exp）=(σ+ 2~η)-20 (σ+ 2~η)-1吨-1Uθ, （10.99），其中Pθ：=Pθ，φ。对于任意球Vn，errand Vn，exp分别以ζ0，errand w0为中心，展开收缩到{ζ0，err}和{w0，err}，supζn∈Vn、errkHn、err（ζn）- Γerr（ζ0，err）k→P0（10.100）和SUPWN∈Vn、expkHn、exp（wn）- Γexp（w0，exp）k→P0.（10.101）证明。

在【A"it-Sahalia和Xiu，2016】中调整推理以获得第三和第四个方程式（第45页）（替换γ-1nbyη），取分数函数的一阶导数，并使用（10.93）和（10.94）作为信息部分，我们直接获得了任何b>0supζ的收敛性∈Ξb，errkHn，err（ζ）- H∞,err（ζ）k→P0，（10.102），其中∞,误差（ζ）：=-2γ+σ+2(1-φ)~ηγ(1-φ)0 -σφ-~η(φ-1)γ(1-φ)0 0 0-σφ-~η(φ-1)γ(1-φ)γσ+2(1-3φ)~η(1-φ)+4φ(σ+2(1-φ)~η)(1-φ)+G∞,误差（ζ）ζ.通过H的连续性∞,呃，我们立即推断出SUPζn∈Vn、errkHn、err（ζn）- H∞,err（ζ0，err）k→P0，（10.103），而且从H的定义∞,呃（ζ）我们有∞,err（ζ0，err）=Γerr（ζ0，err），（10.104）自G∞,err（ζ0，err）ζ=0 0 00 γ-2吨-1Pθ0 0 0 0,使用关系σ=γ（1- φ） 和|η=γφ。在同一条路上证明了收敛性（10.101）。设αi，j=φ| i-j|-φi+j-φ2Nn+2-（i+j）-φ2Nn+2-|我-j |和βi，j=αi，j/φ. 我们定义，与t的（10.68）-（10.72）类似∈ [0，T]，鞅（T）：=Nn（T）Xi=1αi，iXni，t-Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds-Xtni公司-1.∧t<s≤tni公司∧t型Js公司,S（a）（t）：=Nn（t）Xi=1X1≤j<iai，jXnj，tXni，t，a∈ {α，β}，S（a）（t）：=- 2Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=1˙ai，jXnj，ttni，a∈ {α，β}，S（a）（t）：=Nn（t）Xi=0–ai，intni公司- n-1ηo+2Nn（t）Xi=0X0≤j<i–ai，jtnj公司tni，a∈ {α，β}，S（t）：=- N-1/2nNn（t）Xj=1Nn（t）Xi=0˙αi，jWi（θ）θXnj，t+N-1/2nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=0¨αi，jWj（θ）θtni，注意，直到指数可忽略不计的项，我们有表示ψn（ν）=2γ（1+φ）T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=0γ（1+φ）TS（T）|φ=02γ（1-φ） T（S（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T））|φ=φγ（1-φ） TS（T）|φ=φ-2γ(1-φ） T型2φ1-φnS（T）+2S（α）（T）+S（α）（T）+S（α）（T）o+2S（β）（T）+S（β）（T）+S（β）（T）|φ=φ.引理10.16。Letφ∈] - 1，1[.我们有，GT稳定的定律，即n1/2nS（T）→ MN（0，2T Q）。证据注意αi，i=1- φ2i- φ2Nn+2-2i- φ2Nn+2。

由于|φ|<1，标准计算包括伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式、假设（H）和跳跃式产量的有限活度特性N1/2nS（T）=N1/2neS（T）+oP（1），其中（T）=Nn（T）Xi=1Xni，t-Ztni公司∧ttni公司-1.∧tσsds-Xtni公司-1.∧t<s≤tni公司∧t型Js公司.现在，通过对[a"it-Sahalia and Xiu，2016]附录a.3 p.40中定理2的证明中引理1（在q=0的情况下）的简单改编，在形式（2.4）的不规则网格的情况下，并遵循与[Clinet and Potiron，2018a]中引理a.7的证明相同的推理路线，我们得出结论，GT在定律中稳定，N1/2neS（t）→ MN（0，2T Q），我们完成了。引理10.17。Letφ∈] - 1，1[定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。我们有，GT稳定定律，即n1/2nS（T）→ 明尼苏达州0，T Qφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ).证据同样，给定α和β的形状，通过鞅增量的标准计算，引入eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-我们很容易得到N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=Nn（T）Xi=1X1≤j<ieαi，jXnj，tXni，tand S（β）（T）的类似陈述。证明中心极限定理foreS（T）现在归结为在大噪声情况下与M（σ）（T）完全相同的计算（参见[Clinet and Potiron，2018a]中Lemma.7的证明），但替换为ωi，jσ乘以eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-特别是，仔细检查证明表明，所有计算仍然有效，取代了标度64t3/2σa=limnN-2月3日nPNnj=1ωNn，jσ在渐近方差的表达式中，通过2×2矩阵imntPNn公司-1j=1eαNn，jPNn公司-1j=1eαNn，jeβNn，jPNn-1j=1eαNn，jeβNn，jPNn-1j=1eβNn，j= TP+∞k=1φ2kP+∞k=1kφ2k-1便士+∞k=1kφ2k-1便士+∞k=1kφ2k-2.= Tφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ),在分布n1/2neS（T）中产生GT稳定收敛→ 明尼苏达州0，T Qφ1-φφ(1-φ)φ(1-φ)1+φ(1-φ).引理10.18。Letφ∈] - 1，1[定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。

我们有，条件是gtn1/2nS（T）分布的收敛性→ 明尼苏达州0，4σИηT2(1-φ)1-φ-2(1-φ)(1-φ)-2(1-φ)(1-φ)4(1-φ)(1-φ).证据与前面的引理一样，我们引入了系数eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-1、注意˙eαi，j=φi-j |（φ- 1） 对于i≥ j和˙eαi，j=φi-j |（φ-1.- 1） 对于j≥ i+1。此外，如果我≥ j、 ˙eβi，j=φ| i-j |+| i-j |φ| i-j|-1(φ -1） 如果j≥ i+1，˙eβi，j=-φ| j-我|-2+| j-i |φ| j-我|-2(1 -φ). 考虑到系数的指数形状，我们很容易证明，对于前面的引理，N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=-2Nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=1˙eαi，jXnj，tt对β有类似的定义。现在，对于S（T），我们采用了来自大型noisecase的M（σ）（T）证明（引理A.9的证明，见【Clinet and Potiron，2018a】）。除此之外，所有计算仍然有效 ˙ωi，jσ应替换为˙eαi，jand˙eβi，j，相应地，在极限方差中√Tσa=林南-1/2NPNJ=1 ˙ωNn/2，jσ替换为2×2矩阵limn4ηT NnnPNn公司-1j=1˙eαNn/2，jPNn公司-1j=1˙eαNn/2，j˙eβNn/2，jPNn-1j=1˙eαNn/2，j˙eβNn/2，jPNn-1j=1˙eβNn/2，j= 4？ηT2(1-φ)1-φ-2(1-φ)(1-φ)-2(1-φ)(1-φ)4(1-φ)(1-φ),其中，最后一步是通过直接计算系数获得的，因为ηT Nn/n→Pηt定义为η。引理10.19。Letφ∈] - 1，1[，定义S（T）=（S（α）（T），S（β）（T））。我们有，以gtn1/2nS（T）分布的收敛为条件→ N0，4eK+2ηT(1 - φ)-(1 - φ)-(1 - φ) 1+ 4？ηT（1- φ)1-φ-(φ+2)(1-φ)-(φ+2)(1-φ)φ+4φ+5(1-φ)!!.证据对于前面的引理，引入eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i- j |φ| i-j|-1，我们有旁观者计算，近似值N1/2nS（α）（T）=N1/2neS（α）（T）+oP（1），其中（α）（T）=Nn（T）Xi=0–eαi，intni公司- n-1η至|{z}U（α）（t）+2Nn（t）Xi=0X0≤j<i–eαi，jtnj公司tni{z}V（α）（t），以及S（β）（t）的类似陈述。

此外，我们有–eαi，j=-(1 - φ） φ| i-j|-对于i 6=j和–eαi，j=2（1- φ） 对于i=j。类似地，我们有–eβi，j=（1- φ） φ| i-j|-2.- |我- j |（1）- φ） φ| i-j|-2对于i 6=jand–eβi，j=-2对于i=j。现在，定义U=（U（α），U（β））和V=（V（α），V（β）），我们有U和Vare鞅增量的不相关和，因此有必要证明条件上的onGTN1/2nU（T）→ 明尼苏达州0, 4eK+2ηT(1 - φ)-(1 - φ)-(1 - φ) 1andN1/2nV（T）→ MN0，4？ηT（1- φ)1-φ-(φ+2)(1-φ)-(φ+2)(1-φ)φ+4φ+5(1-φ)!!.第一个极限是U（T）是中心独立且相同分布变量之和，以及αi，i=2（1）这一事实的直接结果-φ） 和–eβi，i=-2，以及 容许四阶矩。对于V（T），与Lemma10.17证明中的ofeS（α）类似的论点产生了N1/2nV（T）的分布收敛到方差矩阵为imn4ηT的正态极限PNn公司-1j=0¨eαNn，jPNn公司-1j=0–eαNn，j–eβNn，jPNn-1j=0–eαNn，j–eβNn，jPNn-1j=0¨eβNn，j= 4？ηT(1-φ)1-φ-(1-φ)(φ+2)(1-φ)-(1-φ)(φ+2)(1-φ)(1-φ)(φ+4φ+5)(1-φ)通过直接计算系数。最后，收敛都是以GT为条件的，因为这个过程 独立于GT。引理10.20。Letφ∈] - 1，1[.我们在分布n1/2n中有稳定的收敛性S（T）-N-1/2nBθ，φ→ MN（0，Aθ，φ），其中Bθ，φ=P0<s≤TPNnk=1φ| k-英寸（s）|uk（θ）θJs，in（s）是唯一的索引，这样tni-1<t≤ tni，andAθ，φ=2ZTσsds（1- φ)~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.§ρk！+2？ηT（1-φ)φ + 31 - φ~ρ++∞Xk=12(1 - φ） φk1- φ- 4φk-1+（k- 1)(1 -φ） φk-2.§ρk！。证据我们采用与S、···、S相同的推理路线。

设eαi，j=φ| i-j | andeβi，j=| i-j |φ| i-j|-通过标准力矩计算，我们得到N1/2nS（T）=N1/2neS（T）+oP（1），其中（T）=-N-1/2nNn（t）Xj=1Nn（t）Xi=0˙eαi，jWi（θ）θXnj，t{z}U（t）+N-1/2nn（t）Xi=0Nn（t）Xj=0–eαi，jWj（θ）θtni{z}V（t）。现在让我们假设价格没有跳跃，即J=0。U和V是鞅增量的不相关量，我们所要证明的是，我们在分布n1/2nU（T）中有GT稳定的边际收敛→ MN0，2ZTσsds（1- φ)~ρ1 - φ++∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.ρk！！andN1/2nV（T）→ N0，2？ηT（1-φ)φ + 31 - φ~ρ++∞Xk=12(1 - φ） φk1- φ- 4φk-1+（k- 1)(1 -φ） φk-2.ρk！！。我们从U开始。在这种情况下，我们将把[Jacod，1997]中的定理2-1应用于连续的▄Gt鞅N1/2nU，其中▄Gt：=Gt∨{Qni，i，n∈ N} （注意，鉴于这些假设，X和W仍然分别是It^o过程和▄G下的布朗运动）。条件（2.8）满足B=0。对于条件（2.9），请注意，对于任何t∈ [0，T]NnhU，Uit=NnXj=1NnXi，i=0˙eαi，j˙eαi，jWi（θ）θWi（θ）TθZtnj公司∧ttnj公司-1.∧tσsds，通过与引理10.6证明类似的计算，其概率收敛到极限ct=limnNnXi，i=0˙eαi，Nn/2˙eαi，Nn/2EWi（θ）θWi（θ）TθZtσsds，=2（1- φ)1 - φ~ρ+ 2(1 - φ)+∞Xk=12φk1- φ- kφk-1.~ρk！Ztσsdsb，通过直接计算系数eαi，j，假设（H），（2.11）和（2.12），并回顾ρk=EhW（θ）θWk（θ）Tθ+Wk（θ）θW（θ）Tθifor任意k∈ N、 同样，我们也有条件（2.10），即N1/2nhU，W it→P0。最后，条件（2.11）来自U的连续性，条件（2.12）自动满足，因为对于与W正交的任何有界鞅N，我们有hU，N it=0，这会产生▄GT（和so GT）稳定收敛。现在我们转向V。