过程（W，W，W）是一个独立于（J，J，J）的三维布朗运动，它是一个具有独立分量的三维零均值纯jumpL'evy过程。相关的L'evy测度用ν、ν和ν表示，并满足定理3.5中的可积性假设。自S（t）/a- S（t）/a=S（t）/a- s（t）/a+Y（t）/a- Y（t）/a，我们说Sand是围绕sesonality函数s（t）/a协整的- s（t）/a（参考文献[2]）。与第3节中的符号一致，我们得到了κ=RRyν（dy）和κi=RRyνi（dy），i=1，2和v（t）≡ 五：=σ 0 00 σ0 0 σ, z（t）≡ z:=ψ 0 00 ψ0 0 ψ, K级=κ 0 00 κ0 0 κ.然后，在时间t交割的商品k的远期合约的价值由条件预期fk（t，t）=EQ[Sk（t）| Ft]=Sk（t）+e给出-uk（T-t） Yk（t）+akL（t）。我们表示S（t）=（S（t），S（t））|，f（t，t）=（f（t，t），f（t，t））|，X（t）=（L（t），Y（t），Y（t））|，sothatf（t，t）=等式[S（t）| Ft]=α（t，t）X（t）+β（t，t），HEATH-JARROW-MORTON框架21中的加能正向曲线，α（t，t）=ae-u（T-t） a0 e-u（T-t）, β（t，t）=s（T）s（T）. （5.2）此外，通过比较（5.2）到（3.34）和（3.35），我们得到了γ（t）≡, γ（t）≡ γ:=0 0 00 -u0 0 -u.根据命题3.4和定理3.5，鞅测度Q由核φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t）和ξ（t）=ξ（t）确定，其中φ、φ和ξ满足γ=vφ（t）+Θ（t），0=vφ（t）+zKξ（t）+θ（t）。确定性函数φ（t）、Θ（t）是3×3矩阵，φ（t）、ξ（t）、θ（t）是三维柱向量。

f（t，t）的P-动力学系数由λ（t）α（t，t）=α（t，t）（γ）确定- Θ（t））=α（t，t）vφ（t），c（t，t）=λ（t）β（t，t）+α（t，t）θ（t）=λ（t）β（t，t）- α（t，t）（vφ（t）+zKξ（t）），σ（t，t）=α（t，t）vψ（t，t）=α（t，t）z。特别是，鉴于命题3.1，我们必须验证在何种条件下可以定义2×2矩阵λ（t）：=λ（t）λ（t）λ（t）λ（t）λ（t）,满足（CP）（定义2.2），因此，独立于T，λ（T）α（T，T）=α（T，T）M（T），（5.3），其中表示M（T）=vφ（T）。从（5.3）中，我们得到以下方程组：aλ（t）+aλ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），e-u（T-t） λ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），e-u（T-t） λ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），aλ（t）+aλ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），e-u（T-t） λ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），e-u（T-t） λ（t）=aM（t）+e-u（T-t） M（t），当且仅当u=u（5.4）且λ（t）+aaλ（t）=aaλ（t）+λ（t）时，才允许唯一解。（5.5）此外，对于风险参数的市场价格，我们有φ（t）=aλ（t）+aλ（t）av0λ（t）vλ（t）vλ（t）vλ（t）vλ（t）v,22 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T。

VARGIOLUwhileφ（t）和ξ（t）必须满足vφ（t）+zKξ（t）=-θ（t）。因此，如果我们从（5.1）中的现货动态开始，用u：=u=u，矩阵λ满足（5.5）和（CP）中的条件，那么我们可以为两个远期建立以下均值回复、无套利、协整的P动态：df（t，t）=（c（t，t）- λ（t）f（t，t）- λ（t）f（t，t））dt+aσdW（t）+aψdJ（t）+e-u（T-t） σdW（t）+e-u（T-t） ψdJ（t），df（t，t）=（c（t，t）- λ（t）f（t，t）- λ（t）f（t，t））dt+aσdW（t）+aψdJ（t）+e-u（T-t） σdW（t）+e-u（T-t） ψdJ（t）。这些特性自然地由掉期合约F（t，t，t）继承：dF（t，t，t）=（C（t，t，t）- λ（t）F（t，t，t）- λ（t）F（t，t，t））dt+aσdW（t）+σ（e-uT- e-uT）u（T- T） dW（T）+ψ（e-uT- e-uT）u（T- T） dJ（T），dF（T，T，T）=（C（T，T，T）- λ（t）F（t，t，t）- λ（t）F（t，t，t））dt+aσdW（t）+σ（e-uT- e-uT）u（T- T） dW（T）+ψ（e-uT- e-uT）u（T- T） dJ（T），我们选择了^w≡T-TI。备注5.1。平均回归系数λij的结构方程（5.5）允许建模具有很大的灵活性。例如，在这种情况下，可以用马尔可夫动力学（即λ（t））对第一种商品的价格进行建模≡ 0）并在商品2的漂移中保持对商品1的依赖。举例来说，这可以重现石油（商品1）和天然气（商品2）价格的行为。该模型展示了如何将协整整合到两种商品的无套利均值回复远期市场中。有趣的是，无套利约束意味着波动率期限结构（5.4）形状的结构性条件，以及均值回归系数（5.5）之间的线性关系。我们进一步指出，类似的方法允许设计更灵活的市场模型，并考虑两种以上的商品，同时仍保留均值回复和无套利的特征。6.

结论通过将Heath-Jarrow-Morton思想应用于加性模型中的能源远期曲线，我们引入了一个无套利框架，能够产生灵活且易于处理的市场模型，该模型在真实世界概率测度下的远期价格动态中表现出均值回归。我们对远期价格过程功能形式的主要假设允许解决几个问题。无套利的基本要求是不等价鞅测度的存在性。一般来说，发现它不是一项简单的任务，因为有效的度量变化必须独立于交付参数。均值回归自然需要Girsanov核，尤其是随机无界核。我们已经能够在最小假设下验证相当一般的密度过程，布朗分量采用随机线性，纯跳跃部分采用Esscher型因子。此外，掉期和远期必须满足积分关系，这通常会导致HEATH-JARROW-MORTON框架23中的附加能量远期曲线失去分析可跟踪性，尤其是马尔可夫特性。通过引入动力学系数之间的简单关系，我们成功地保持了它们。转到应用程序，首先我们已经证明，著名的Lucia Schwarz模型已经包含在我们这里描述的模型类别中。除了原始模型中已经存在的价格季节性成分外，我们还提出了它的一个扩展，能够对远期波动性中的季节性进行建模。然后，我们提出了一个多维市场模型，该模型使我们能够重现协整效应。

由于与能源相关的市场由于物理原因相互关联性很强，因此，建模依赖关系比相关性更复杂的可能性对于我们的应用目的尤为重要。展望未来的研究，由于加性动力学产生了易于处理的价格过程，我们认为这为复杂衍生品、多商品组合和风险度量的分析公式开辟了道路。附录A.定理3.5的证明由于匿名仲裁人的有益建议，该证明的一部分将以比本工作早期草稿更简单的版本呈现。引入停止时间τn的顺序：=inf{t≥ 0:kX（t）k≥ n} 。设置f（y）：=（1+y）日志（1+y）- Yan定义过程：B（t）：=Ztkφ（s）kds+Ztf（ξ（s）| y）ν（dy），这是HC、Hci+Xt的可预测补偿器≤·f级(H（t））。特别注意，对于每n∈ N、 停止的过程BτN（t）：=B（t∧τn）有界。从[38，定理III.1]可以看出，Zτ是一致可积鞅。通过设置dqndp：=Zτn（T），确定概率度量qnb。那么，我们有e[Z（T）]≥ E[Z（T）τn>T]=E[Zτn（T）τn>T]=Qn（τn>T）=1- Qnsupt公司∈[0，T]kX（T）k≥ n≥ 1.-EQnhsupt公司∈[0，T]kX（T）kin。如果我们显示“支持”∈[0，T]kX（T）k#≤ C、 （A.1）对于独立于n的常数C，则E[Z（T）]≥ 1.- 所有n的C/n∈ N、 这意味着e[Z（T）]=1。因此，为了得出证据结论，有必要验证（a.1）。根据Girsanov定理，它认为dx（s）=θ（s）+v（s）φ（s）[0，τn]（s）+z（s）Kξ（s）[0，τn]（s）+Θ（s）X（s）+v（s）φ（s）X（s）[0，τn]（s）ds+v（s）dWn（s）+z（s）ZRkyNn（ds，dy），24 F.E.BENTH，M.PICCIRILLI和T.VARGIOLUwhere，在量度Qn，Wn（s）=W（s）下-Rs[0，τn]（u）φ（u）du是布朗运动，Nn（ds，dy）=n（ds，dy）-[0，τn]（s）ξ（s）| yν（dy）ds是n的Qn补偿泊松随机测度（见[42，定理1.35]）。

因此，对于每个t∈ [0，T]，（设置w.l.o.g.X（0）=0）EQn“sups∈[0，t]kX（s）k#≤ 4EQn“sups∈[0，t]Zs公司θ（u）+v（u）φ（u）[0，τn]（u）+z（u）Kξ（u）[0，τn]（u）杜邦#+ EQn“sups∈[0，t]Zs公司Θ（u）+[0，τn]（u）v（u）φ（u）X（u）du#+ EQn“sups∈[0，t]Zsv（u）dWn（u）#+ EQn“sups∈[0，t]ZsZRkz（u）yNn（du，dy）#!.首先，通过对系数的可积性假设，我们得到了∈[0，t]Zs公司θ（u）+v（u）φ（u）[0，τn]（u）+z（u）Kξ（u）[0，τn]（u）杜邦#+ EQn“sups∈[0，t]Zs公司Θ（u）+[0，τn]（u）v（u）φ（u）X（u）du#≤ T方程ZT公司θ（u）+v（u）φ（u）[0，τn]（u）+z（u）Kξ（u）[0，τn]（u）杜邦+ T方程Zt公司Θ（u）+[0，τn]（u）v（u）φ（u）kX（u）kdu≤ C+CZtEQn“supv∈[0，u]kX（v）k#du，对于某些常数C，Cindependent of n。对于鞅部分，我们应用Doob的线性性质（例如，[18，定理5.1.3]）。由于v是平方可积的，第一项yieldsEQn“sups∈[0，t]Zsv（u）dWn（u）#≤ T方程ZTkv（s）kds= 对于第二项，由于L'evy测度ν允许四阶矩，ξ是有界的，z是平方可积的，我们得到了等式∈[0，t]ZsZRkz（u）y Nn（du，dy）#≤ T方程ZTZRk公司z（s）y+[0，τn]（s）z（s）yξ（s）| yν（dy）ds≤ T C公司ZRkkykν（dy）+ZRkkykν（dy）,最后，所有的边界一起给出eqn“sups∈[0，t]kX（s）k#≤ C+CZtEQn“supv∈[0，u]kX（v）k#du，HEATH-JARROW-MORTON框架25中的加性能量正向曲线，常数与n无关。我们通过Gronwall引理得出结论，即∈[0，T]kX（T）k#≤ CeCT，这意味着（A.1）。证据到此结束。附录B.定理3.6的证明该证明基于[7]中命题5.1的相同思想，其中弱Novikov型条件应用于指数的级数表示。

鉴于[32，推论5.14]，有必要证明存在正实数（tk）k的递增序列∈n接近+∞ 这样，对于所有k∈ N、 E类经验值Ztk+1tkkφ（t）kdt< ∞, （B.1）式中φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t）和dx（t）=（θ（t）+Θ（t）X（t））dt+v（t）dW（t）。（B.2）由于Θsatis（CP）（见定义2.2），我们可以编写（B.2）asX（t）=eRtΘ（s）dsX（0）+ZteRtsΘ（u）duθ（s）ds+ZteRtsΘ（u）duv（s）dW（s）的唯一解。现在，我们开始估算（B.1）中的数量，单位为kφ（t）k≤ kφ（t）X（t）k+kφ（t）k。第二项是确定性的，为了证明（B.1）我们可以忽略它。因此，我们开始考虑第一个问题。让我们表示U（t）：=eRtΘ（s）ds。那么，kφ（t）X（t）k≤ 3kφ（t）U（t）X（0）k+3Ztkφ（t）U（t）U（s）-1θ（s）kds+3Ztφ（t）U（t）U（s）-1v（s）dW（s）≤ 3kφ（t）U（t）kkX（0）k+ZtkU（s）-1θ（s）kds+ZtU（s）-1v（s）dW（s）!.由于φ和Θ是有界的，我们基本上只剩下e经验值Ztk+1tkkφ（t）kdt≤ CE“expCZtk+1tkZtU（s）-1v（s）dW（s）dt！#，式中，C为Care常数。让我们介绍矩阵值函数g（s）：=U（s）-1v（s）。现在，根据Lebesgue的理论“expCZtk+1tkZtg（s）dW（s）dt#=∞Xn=0Cnn！E“Ztk+1tkZtg（s）dW（s）dt！n#。（B.3）26 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.VARGIOLUNext，摘自Jensen不等式，E“Ztk+1tkZtg（s）dW（s）dt！n个#≤ （油箱+1- tk）n-1 ZTK+1 KE“Ztg（s）dW（s）2n#dt。请注意，sinceRtkg（s）kds<∞, 随机变量rtg（s）dW（s）在法律上等于qRtkg（s）kdsZ、 其中Z是标准法向量。

因此，由于g是平方可积的，E“Ztg（s）dW（s）2n个#=Ztkg（s）kdsnE（kZk2n）≤ CnE（kZk2n），对于常数C。最后，利用最后两个估计，我们发现（B.3）以“expCZtk+1tk”为界Ztg（s）dW（s）dt#≤∞Xn=0（CC）n（tk+1- tk）nn！E（kZk2n）。高斯矩的一个众所周知的特性如下（kZk2n）≤ CnE（kZk2（n-1)).通过对系列应用比率测试，我们得到，如果我们选择（tk）k，那么CCC（tk+1-tk）<1，则∞Xn=0（CCC）n（tk+1- tk）nn！E（kZk2n）<∞,这意味着（B.1），因此，该声明。参考文献1。C、 Alexander，《能源市场的相关性与协整》，《管理能源价格风险》，风险出版物伦敦，第2版，1999年，第291-304.2页。F、 E.Benth，《非高斯框架下的商品市场协整与衍生品定价》，数学金融高级建模，Springer Proc。数学《统计》，第189卷，查姆斯普林格，2016年，第477-496.3页。F、 E.Benth、\'A.Cartea和R.Kiesel，《用确定性等价原则对电力市场中的远期合同定价：解释市场风险溢价的符号》，银行与金融杂志32（2008），第102006–2021.4号。F、 E.Benth、J.Kallsen和T.Meyer Brandis，《用于电力现货价格建模和衍生品定价的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程》，应用。数学《金融》第14期（2007），第2期，第153–169.5条。F、 E.Benth和S.Koekebakker，《金融电力合同的随机建模》，能源经济学30（2008），第3期，1116–1157.6。F、 E.Benth和S.Ortiz Latorre，解释电力市场风险溢价的定价指标，SIAMJ。金融数学。5（2014），第1685–728.7号。F、 E.Benth和J.ˇSaltyt˙E Benth，《天气衍生品金融市场的建模和定价》，世界科学出版有限公司，2012年8月。F、 E.Benth和C.Sgarra，《电力市场中的风险溢价和Esscher变换》，Stoch。肛门。应用程序。30（2012）号。

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