|Δψi变化有许多选项需要考虑：oD（ψ[i]If）E：零价格影响（31）（对微小时间变化的零敏感性）。o|ψi：零灵敏度ψ[i]IfE→ |ψi跃迁ψ[IH]IE:Z ero对ψ[i]IfE→ψ[IH]i转换。在许多其他方面。P[i]f mdI估计，对应于上（54）算子的（80）平衡ψ[i]If |Δψi变化为：P[i]f mdI=Dψ[i]If采购经理人指数ψ[i]IfE-Dψ[i]如果采购经理人指数ΔψEDψ[i]如果ΔψEDψ[i]如果ψEhψ|ΔψiDψ[i]如果ΔψE-Dψ[i]如果ψE（81）对于最有趣的情况|Δψi=|ψi获得：P[i]f mdI=Dψ[i]If采购经理人指数ψ[i]IfE-Dψ[i]如果采购经理人指数ψEDψ[i]如果ψE1-Dψ[i]如果ψE（82）则对于具有最大λ[i]If（i=IH）的状态：πm=Dψ[IH]If采购经理人指数ψ[IH]IfE-Dψ[IH]If采购经理人指数ψEDψ[IH]IfψE1-Dψ[IH]IfψE（83）获得的πmhave a termDψ[IH]If采购经理人指数ψ的变量为零（80）。图6给出了相应的图表。首先，可以清楚地看到，高斯求积并不总是存在的。这是因为（82）可能不会始终给出一个正的标准偏差。然而，第一时刻的公式实际上类似于第VII D节中的naive动态冲击近似，并展示了一种将Δψi搜索为变量（80）的方法。尽管我们尽了一切努力，但我们在|Δψi的研究中并没有取得太大成功，现在认为t（80）变化只能在第一时刻是一个好的选择，因为它只能给出一个均衡价格（第一时刻）。D、 衡量标准：πm选择（78）和（79）分别考虑未来和过去I峰值期间的价格分布。考虑I峰值后的时间段非常有趣。

考虑Vmand Tm：Vm（t）=tnowZtpmIdt′=tnowZtpmdV′（84a）Tm（t）=tnowZtpmdt′（84b）PPAV[IHf]pp（w-w）/（w+w）693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9 9 9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3PPAV（w-w）/（w+w）693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3图。7、2012年9月20日AAPL股价。高斯求积计算的演示与状态（具有未来影响的力矩πmfrom（85）），对应于最大kIfk（顶部）的状态，以及（具有未来影响的力矩πmfrom（85）），对应于最大kIk（底部）的状态。价格和偏度如上图4所示。这里，V（t）是交易量，V（t）是交易资本，V（t）/V（t）是交易量-加权平均价格，t（t）/t（t）是时间-加权平均价格。这些值是针对t和tnow之间的积分进行计算的。然后，对于给定的ψ（x）πm=hψ| Vm |ψi（85），请注意，对于允许按部分积分的度量（即具有有限时间移位运算符（如（6）或（13））的度量），可以将（85）解释为从使用ψ（x）du权重进行平均到使用wψ（t）dt权重进行平均的转换：wψ（t）=tZ-∞ψ（x′）du′dt′dt′（86）πm=tnowZ-∞pmIwψ（t′）dt′（87）wψ（tnow）=1来自ψ（x）归一化。对于（4）和（11）度量，可以使用分部积分从hQkpmIi矩阵元素s计算（85）。对于这些测量等式。（85）和（87）相同。考虑aψ（x），定义I中的尖峰ψ[IH]IfEorψ【IH】来自上一节。然后（85）个时刻给出了一个“自动时间尺度选择的移动平均值”度量。这些平均值是在一段时间内计算的：从I峰值到TNOW峰值之间。结果如图7所示。

它们比前几节的内容更有用，这可能表明了执行流动力学相对于卷动力学的重要性。这与我们早期的工作【2】相对应，其中通过实验强调了动态冲击的重要性。另请参见下文第XI节的讨论，其中从不同的角度讨论了V–和I–动力学。E、 测量：纯的密度矩阵混合状态ψ[i]If地产。正如我们在上文第VII C节中所讨论的，在未来存在的影响的情况下，适当的本征态选择不是一个微不足道的问题。在第IX B和IX C节中，考虑了与最大I相对应的状态。有几种选择。Considermatrix–平均值（见参考文献[1]附录E），quantumPPAV spurpp（w-w）/（w+w）见参考文献[19]693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9 9 9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3PPAV w0pp（w+w）/（w+w）693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3图。8、2012年9月20日AAPL股价。混合状态下高斯求积计算的演示：矩πmfrom（88）（顶部）和矩πmfrom（89）（底部）。价格和偏度如上图4所示。力学密度矩阵混合态关系）：πm=n-1Xi=0Dψ[i]如果pmIf公司ψ[i]IfE（88）（在本节中，在估计kpmik矩阵元素时，为了简单起见，我们假设（55）Pfmestimation）。

（88）答案在很大程度上是一种移动平均类型的答案（76），它是基不变的（一种ψ[i]IfEbasis不会改变结果），可以被视为密度-矩阵混合态，每个纯态的贡献相等。或者，密度-矩阵混合态与dψ[i]如果ψ纯态的电子分布ψ[i]如果可以考虑：πm=n-1Xi=0Dψ[i]如果pmIf公司ψ[i]IfEDψ[i]IfψE（89），（89）结果不是基不变的，并且隐式假设kpk和kIfk算子的动态冲击近似（49）是同时对角的ψ[Ⅰ]IfEbasis。（89）与（78）相似，因为具有最大|ψi投影的kIfk状态几乎总是ψ[IH]If地产。结果如图8所示。它们与上述第IX A和IX B节没有太大区别。本节表明，密度矩阵法是市场动力学的可行选择，但在目前的发展阶段，与波函数纯状态相比，密度矩阵法给出的信息不多。F、 措施：结合最大未来I和最小价格波动性第九节B的方法，其中ψ对应于ψ如果ψ/ hψ|ψi→在第一阶段发现最大值，然后，对于ψ，发现p{1,2}对应于ψ（p- p） （p- p） 如果ψ→ 获得最小值（67）。考虑一个“组合”问题（尽管它与我们发展的意识形态相矛盾）：maxψminp，phψ|（p- p） （p- p） I |ψihψ|ψI（90）的思想是找到（90）的鞍点，该解在ψ上具有最大值，在p{1,2}上具有最小值。结果如图9所示（顶部：f或kIfk运算符，带（55）价格估计，bo t tom：用于kIk运算符）。他们不是很有前途。

这是我们构建函数的众多尝试之一，就像其他动力学理论中的动作一样，toPPIHf4pp（w-w）/（w+w）693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3PPIH4pp（w-w）/（w+w）693.5694.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.85 9.9.95 10.05 10.05.1 10.15 10.2 10.25 10.3图。9、2012年9月20日AAPL股价。状态对应于maxψminp，p的高斯求积计算的证明ψ（p- p） （p- p） 如果ψ（顶部）和maxψminp，pψ（p- p） （p- p） 我ψ（底部）。价格和偏度如上图4所示。搜索最大I和最小价格波动的状态。与我们尝试过的其他此类方法一样，这种特殊方法也不是很成功。这使我们认为，价格波动最小化方法可能不是一个很有前瞻性的方向。十、 市场方向信息和P VS.I概率相关性在第九节中，我们提供了价格偏态估计技术的一些演示，包括构建一个度量，在此度量上构建πm=hpmIi价格矩（第九节E的“纯状态”（62）或“混合状态”，取决于使用的度量），然后用它们建立两节点高斯求积，并将价格分布偏度估计为权重不对称（66）。这种方法具有P和I的内在不对称性，因为hImi矩最多很难计算，或者最糟糕的情况下是不存在的。引入偏度概念的一些基不变公式，获得P和I偏度，然后实际尝试根据得到的偏度进行交易，这是非常有吸引力的。在附录C中，引入了概率相关性eρ（p，I）的概念，但总的来说，我们只需要广义偏度。

假设我们有一个可观测的s，对于m=0，1，2，基于Qm（x）（一个m阶多项式），内积hQj（x）| s | Qk（x）i（j，k=0，1）的定义方式可以直接从样本中计算出来。重要的是，现在x和nds不是相同的变量，在第八节的偏斜度计算中，它们都与价格相等。平均值s可按常规方式获得：s=hsQihQi（91）eΓ=s- 体积百分数- smaxsmin- smax（92）为了构建eΓ，一个类似于（66）偏态的估计器（如中值和均值之间的差异），我们需要s的Smand smaxestimators。这些可以通过解决优化问题获得：hαQ（x）+αQ（x）为hαQ（x）+αQ（x）i→ {min；max}（93）括号展开后，问题归结为n=2广义特征值问题（C3），其特征值为二次方程根。的最小/最大估计值分别等于最小/最大特征值λ[0]和λ[1]，这使得我们能够获得（C8）偏态，就像（92）中的估计值一样。如果s=x=p，那么我们正好得到Γf r om（66），这需要总共4个力矩：h1i，hpi，hpi，hpi来计算。计算Γ需要总共6个力矩：h1 i，hxi，hxi，hsi，hsxi，hsxi；（对于s=x=p，它们之间只有4个独立）。请参见文件com/polytechnik/utils/Skewness。java：GetgSkowness for rimImplementation示例：广义偏斜的数值计算。eΓ最重要的特性是，它可以很容易地应用于非高斯变量，例如，在我们之前的研究[3]中，我们强调了常规统计特征（例如标准偏差）对市场动态的不适用性，相反，光谱算子应适用于采样的非高斯数据[17，24]。最简单的应用是（C3）广义特征值问题，从算子谱中找出最小/最大s估计λ[0]和λ[1]。A、 I倾斜。

非高斯分布偏态估计的证明。让我们给出一个（92）偏态估计应用的简单例子。考虑s=I=dV/dt执行流、多项式基Qk（x）和可直接从样本（7）、（14）或（19）计算的度量值（如（4）、（11）或（17））。问题是：估计Iskewness。“经典”方法，需要h1i、hIi、hIi和hIi矩来计算传统的我-我e估计器或（66）中的Γ不适用，因为二阶hIi和三阶hIi力矩是有限的（请注意，一阶hIi的含义为换算体积，而零阶h1i是常数）。然而，可以直接计算（92）的Γ偏度。所有六个矩：hQi，hQi，hQi，hIQi，hIQi是有限的，2×2矩阵hQj | I | Qki和hQj | Qki从这些矩中获得，通过求解二次方程0=det k hQj | I | Qki来解决特征值问题（C3- λIhQj | Qki k；最小I=λ[0]I，最大I=λ[1]I，并根据（92）计算得出。（92）是ψ（x）=常数状态|ψCi在对应于tomin/max s的状态上的重量不对称展开：eΓ=DψCψ[0]sE-DψCψ[1]sE。而不是s=hψC | s |ψCi=hsQihQi可以使用不同的值，例如s=hψ| s |ψi，对应于状态“时间现在”|ψi from（39）：fΓ=Dψψ[0]sE-Dψψ[1]sE=（2s- 体积百分数- smax）（smin- smax），对于n=2，这个“偏度”（95）描述了对称性（与描述不对称性的eΓ相比）。PP【IH】pΓ~Γ~ 692.5693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11PP【IH】pΓ~Γ~ 692.5693.5694.5695.5696.5697.59.7 9.8 9 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11图。10、对于τ=128sec和n=2（蓝色），用eΓ（92）计算I的广义偏度；与fΓ（绿色）相同，（在（92）中，I替换为hψ| I |ψI）。

还列出了n=2时的价格P、平均价格P和P[IH]。顶部：用于tkbasis和（4）测量。底部：f或pkbasis和（17）measure。在图10中，我们给出了两个度量的I偏度计算：（4）和（17）。蓝线：eΓ来自（92），I的不对称性；绿线：I的不对称性，fΓ=w[IL]I- w[IH]I=（2I- 伊敏- Imax）（Imin- Imax），使用（42）和（43）计算，n=2。正Iskewness对应于流动性不足事件（低I，市场缓慢），这是开仓的信号（但确定开仓的位置（多头/空头）是一项更为困难的任务）。负I偏度对应流动性过剩事件（高I，快速市场），这是关闭已打开头寸的信号。从这些图表中，我们可以清楚地看到，Γ和fΓ都可以是一个很好的慢/快市场指标，但offΓskewness是一个更好的指标，因为它显示了I（现在的I）与过去的最小/最大I之间的关系。没有t e，计算出的I的偏斜度并不携带市场方向性价格信息。相反，I-偏态告诉我们何时（在I的负偏态下）必须平仓，以避免市场对持仓的意外波动，否则，仅仅一次这样的波动就可以轻易地杀死所有收集的损益。方向信息（在正I偏态下开仓多头还是空头）不能从I偏态中决定，而是从价格或损益动态中决定。B、 价格偏斜。在上一节中，我们考虑了I偏度，而不是生成“位置打开/位置关闭”信号。但是，无法由此确定方向（多头开盘或空头开盘）。根据损益动态确定方向信息。考虑最简单的情况。根据参考文献[1]中提出的论点，价格或价格变化不能用于方向预测，而应考虑损益动态[3]。

损益动态不仅包括价格动态，还包括交易者行为。在参考文献[1]（“损益运营商和交易策略”一节）中，我们使用概率状态试图分析损益动态，但这里让我们从一个非常简单的问题开始：假设发生了交易所交易，一些投机者从甲骨文预测中知道特定时间间隔（投资期限）的未来。应实施何种交易策略，以最大限度地提高交易损益，并尽量减少对市场的影响？答案很简单：对于投资期，计算价格中值，然后，在“自然交易”发生的同一时刻，当价格为isPP【IH】pΓ~ pΓ~ 692.5693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11PP【IH】pΓ~ pΓ~ 692.5693.5694.5695.5697.5698.59.7 9.8 9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11图。11、用eΓ（92）计算价格的广义偏度，τ=128秒，n=2（蓝色）；相同，但fΓ（绿色），（92）中的I替换为hψ| I |ψI），以及（66）中的规则偏度（灰色）。还列出了n=2时的价格P、平均价格P和P[IH]。顶部：用于tkbasis和（4）测量。底部：对于pkbasis和（17）measure（在此基础上，Γ=eΓ，因此不显示常规价格偏斜（灰色线）。低于中位数并在价格高于媒体n时出售，这相当于以低于中位数的价格抢先买家，以高于中位数的价格抢先卖家。为什么要将中间价格作为阈值？只有当价格阈值等于中位数时，投资期结束时持有的总头寸才会为零。

如果将平均价格作为持有价格，那么，根据分布偏度，投机者最终会在投资期结束时累积多头或空头头寸（为了使损益最大化，投机者必须一直交易）（这意味着要承担市场风险，因为未来在投资期之外是未知的）。在最简单的情况下，价格偏斜与中值价格（估计为中点Hλ[0]P+λ[1]Pi）和平均价格P之间的差异成比例，可以作为s方向的价格指标。考虑一个简单的演示：o选择一个度量来定义内积h·i，它可以直接从样本中计算出来。o计算价格偏差ΓPout of矩：hIQi，hIQi，hIQi，hpIQi，hpIQi，hpIQi。在图11中，我们给出了两种基的偏度计算：tk（7）和pk（19）（分别为顶部和底部）。对于n=2，我们计算了Γ（灰线）、eΓ（蓝线）和FΓ（绿线）。对于pkbasiseΓ=Γ（也等于图4顶部的Γ），因此在这种情况下不显示灰线。定义平均p与λ[0]p和λ[1]预测的最小/最大值的接近程度。offΓ在|ψi状态下对p执行相同的操作。有趣的是，请看上图11，其中可以看到Γ和Γ（灰线和蓝线）之间的差异，有时会出现在价格临界点附近。C、 未来I的偏度。在第XeΓ节中引入了概念（92），对于n=2，可以在附录C中严格定义它（以及概率相关性概念）。然而，修改后的概念便于应用。简介fΓ（s可以是价格p或执行fli=dV/dt）：s=hψ| s |ψi（94）fΓ=2s- 体积百分数- smaxsmin- smax（95）Pp【IH】PfΓ~过去Γ~未来693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3图。12、2012年9月20日AAPL股价。

P【IH】（61）（粉色）、Pf（98）（绿色）、skewnessfΓpast（黑色，表示kIk）和skewnessfΓfuture（蓝色，表示kIfk）根据（95）计算；（数据转移到694级以符合图表）。以移位勒让德基计算，n=7，τ=128秒。fΓmeasure s（s“now”）与sminand smax（最小/最大| s |ψi=λ|ψi问题的特征值）的比较，根据过去的观察结果计算。对于n=2，我们有fΓ=ψψ[最小s]-ψψ[最大s], （正如我们已经提到的，关于（42），（4 3）预测差异），但对于n>2，情况并非如此。对于n>2，Γ是S与最小值和smax的简单指示。（95）a回答了我们动态理论的主要问题：“我们目前观察到的是低还是高”。offΓ的范围为[-1.1] 间隔时间。fΓ值接近1意味着我们有流动性损失事件（Iis低），fΓ值接近-1表示我们有流动性过剩事件（Iis高）。请注意，I是一个具有单位秒矩hIi的非高斯变量，因此无法应用利用I的标准偏差的方法。因为我们知道未来的kIfk算子（51），所以可以计算出它的offΓfc。现在考虑具有未知Pf的kpIfk算子（5-4），并假设它在kIfk算子的状态上具有相同的偏度，那么：fΓf=ψpIf公司ψ-Dψ[IL]IfpIf公司ψ[IL]IfE-Dψ[IH]IfpIf公司ψ[IH]IfEDψ[IL]IfpIf公司ψ[IL]IfE-Dψ[IH]IfpIf公司ψ[IH]IfE（96）Υ=2-Dψ[IL]IfψE-Dψ[IH]IfψE-fΓfDψ[IL]IfψE-Dψ[IH]IfψE（97）PfdIΥ=fΓfhDψ[IL]如果圆周率ψ[IL]IfE-Dψ[IH]If圆周率ψ[IH]IfEi-h2 hψ| pI |ψi-Dψ[IL]If圆周率ψ[IL]IfE-Dψ[IH]If圆周率ψ[IH]IfEi（98）（9 8）是pf，对于kpIfk算子（54），给出了与kIfk相同的偏度。这个答案类似于第VII D节的naive动态冲击近似值（比较（97）与（5 9）和（98）与（60））。结果如图12所示。

对于naivedynamic impact近似，Pffrom（98）的行为类似于（61）中的P[IH]，并且对于低Υ具有数值不稳定性。未来的偏斜度fΓFuture（对于kIfk）是负面的（未来dI（45）的影响使其成为负面的）。过去的偏斜度FΓPast（对于kIk）在流动性不足时为正，在流动性过剩时为负。交易者应在正过去期间开仓，在负过去期间平仓，这是避免意外市场波动造成灾难性损益损失的唯一方法。XI。考虑到现金流和流动性赤字的存在，我们最终到达了终点，以确定可以从历史（时间、执行价格、交易股票）市场观察中获得哪些信息，这一点在[1]动态方程中介绍：“未来价格趋向于单位时间内交易股票数量最大化的值”。虽然波动率交易在算法上更容易实现[1]，但在交易所实际实现要困难得多，因为它需要使用期权（或其他衍生品）构建一些合成资产（如跨座交易[25]）。与常规HFT股票交易账户相比，HFT衍生品交易账户的成本更高，衍生品市场通常缺乏足够的可用流动性来实施实际的交易策略。此外，由于数据可用性和流动性不足的原因，包括衍生品在内的交易策略更难进行回溯测试。在本节中，我们将讨论是否有一个更雄心勃勃的目标，即获取定向价格信息（不仅仅是波动性！），可以用动力学方程实际实现。我们的研究表明，获得方向信息需要两条信息：第一条。过去的价格方向信息。

这类琐碎的信息是目前常用的“最新价格减去移动平均值”。我们获得的信息来源很少，这得益于自动时间尺度选择。这些是：P[IH]（与过去样本（61）上的最大I状态相对应的价格），KPMIFK算子在最大I状态下的价格偏斜，以及未来的影响（第IX B节），第X节的价格偏斜（orP&L），以及其他一些。第二执行流量（I=dV/dt）方向信息。自亚当·斯密（AdamSmith）和卡尔·马克思（KarlMarx）以来，贸易量被认为是买卖双方之间商品/货币交换过程的关键要素。货币流通速度（I=dV/dt是股票流通速度，pI是货币流通速度）这一概念被广泛认为是一个重要的宏观经济概念，在学者和交易所交易从业者中都没有使用（充其量，他们使用的是数量，假设股票消费受到购买股票数量的限制：“裁缝不想自己做鞋，而是从鞋匠那里买鞋，第350页”[28]）。Modernexchange交易目前存在市场参与者，他们同时是买家和卖家（现代“鞋匠”不仅销售自己制作的鞋子，而且还购买鞋子以备日后出售），而且由于杠杆交易，对头寸的第五量（Regulative Impact[5]）弱敏感。正如我们在实验中所展示的，它们对交易率I=dV/dt（动态影响[2]）更为敏感。目前可以在电力市场中观察到V型和I型交易的市场分离情况，而在立法层面上，V型和I型交易在能源和电力市场上是分离的。我们的交易所实验表明，现代交易所交易实际上是一个类似于权力的市场。

我们认为，货币流通速度没有被积极用于交易所交易的原因是，缺乏估计I的数学技术（执行流是非高斯的）。由于R adon–Nikodym导数可以有效地应用于非高斯过程，因此它是货币速度分析的合适工具。本文使用了两个I指标。这些是投影（42）和（43）的差异，它们显示了电流I是“低”还是“高”，以及I的强度，从（92）开始（或从（95）开始在实践中更有用）。Ican的偏斜度只能通过Radon–Nikodym方法进行估计，因为常规偏斜度估计器不适用于有限的hIi和hIi。实际交易是这样的：确定价格方向（例如，从P[IH]（61）），或P的强度，第X B节，通过某种措施）。然后计算I–偏斜度fΓ。打开一个位置（根据找到的价格方向），当nΓ接近1时，关闭已经打开的位置（但不要采取相反的位置！）当nΓ接近-1避免灾难性损益流失，以防市场对持有头寸发生意外变动。这样的策略提供了损益表，重要的是，它能够应对意外的市场冲击。在下一篇文章中，我将尝试演示计算机实现的这一策略。

不要期待一个大的奇迹，（即使是纸上交易损益的“小奇迹”），但避免大的损益打击也可以被视为某种奇迹。致谢斯拉迪斯拉夫·马利什金感谢系统阿尔法公司的阿列克谢·切赫洛夫就流动性缺陷和执行流之间的联系进行了卓有成效的讨论，并感谢坎托或菲茨杰拉德公司的米莎·博罗迪茨基对交易系统对金融市场的影响所作的评论。附录A：时间——两个ψ状态之间的距离（34），在I空间中已经被特征值λI的值分隔开了，通常需要在时间空间中进行分离。为此，需要（34）中ψ[j]I（x）和ψ[k]I（x）状态之间的“时间-距离函数”。djkis是一个反对称矩阵，表示哪个状态ψ[j]I（x）或ψ[k]I（x）在时间上较晚，哪个状态较早。djk=-dkj（A1）有几个DJK选项可应用于任务。所有这些都可以从具有一些反对称DI（x，y）DI（x，y）=-DI（y，x）（A2）djk=Z ZDI（x，y）ψ[j]（x）ψ[k]（y）du（x）du（y）（A3）这些是最常见的DI（x，y）选择：o在“k之后的j”和“k之前的j”事件之间的概率差异。可从（A3）中获得，DI（x，y）=符号（x- y） 。可以对测量值（4）和（11）进行分析计算。请参阅java类{KkQVMLegendreShifted，KkQVMLaguerre，kkqvmmonials}。{u getK2，\\u getEDPsi}来自附录G，用于实现概率差函数和最小时移运算器总交易量dV【j】=Dψ【j】I五、ψ[j]IEDψ[j]Iψ[j]IE（A4）djk=V[j]- V[k]（A5）对应于（A3），DI（x，y）=V（x）- V（y）。

体积较大的州可被视为位于体积较小的州之后。o从（39）到ψ（x）的投影差：djk=ψ[j]I（x）-ψ[k]I（x）（A6）对应于（A3），DI（x，y）=Dx- Dy，其中dx和Dy–x和y上的极小时移运算符。向ψ（x）投影较大的状态被视为在投影较低的状态之后出现的状态。距离（A6）退化：对于0=ψ（x）的任意两个ψ（x），它等于0。还要注意，ψ[j]I（x）=Dψ[j]IψEψ（x），即ψ[j]i（x）与ψ[j]i之差ψEon a常数我们可以用ψ[j]I的微小时间偏移来改变（A4），应用（6）或（13）操作符来接收（归一化后）这样的时间-距离：δV[j]=Dψ[j]IVx公司- 五、ψ[j]IEψ[j]I（x）- λ[j]I（A7）d[j]=ψ[j]I（x）Dψ[j]IVx公司- 五、ψ[j]IEλ[j]I- 1（A8）djk=d[j]- （A8）是“二阶距离”。与体积（A4）相比，（A8）描述了自ψ[j]每次“现在”起体积的变化ψ[j]I（x）和速率λ[j]I。附录B：Leρ（p，r）：变量的值相关性。对于两个变量p和r，在t hem上使用一些正测量值hpmrqi=Rpm（t）rq（t）du，可以通过微分（B3）和（B7）获得规则的LCO变化和新的LCO变化：（p-p）→ 最小值（B1）（r）-r）→ 最小（B2）LCO变化=pr（p-p） （r）- r）（B3）Lρ（p，r）=h（p-p） （r）- r） iph（p- p） i h（r- r） i（B4）（p- p） （p- p）→ 最小值（B5）（r）- r） （r）- r）→ 最小（B6）LCO变化=pprr（p- p） （p- p） （r）- r） （r）- r）（B7）Lρ（p，r）=h（p- p） （p- p） （r）- r） （r）- r） iph（p- p） （p- p） i h（r- r） （r）- r） i（B8），其中p{1,2}和r{1,2}是从（B5）和（B6）最小化中获得的正交节点，正如我们在上面的等式（67）中所做的那样。

LCOAvariation（B7）（和（B8）相关性）协变量P和r，但使用高阶矩；对于p=r，它给出了规则的关系：LVOLavility=Lcovariation，Lρ（r，r）=1，Lρ（r，const）=0。一个更有趣的例子是考虑矩阵Lcovariationpj，rk，即p的第j个水平与r的第k个水平的协变量；（这里j，k=1，2，s={p，r}）。考虑lagran插值多项式l（s）k构建在正交节点上，（它们与（63）个特征函数成比例）：l（s）{1,2}（s）=s- s{2,1}s{1,2}- s{2,1}（B9）l（s）{1,2}（s{1,2}）=1（B10）l（s）{1,2}（s{2,1}）=0（B11）w（s）{1,2}=Dl（s）{1,2}E=l（s）{1,2}（B12）h1i=w（s）+w（s）=Zdu（B13）lVariationPj，rk=Dl（p）jl（r）kE=Zl（p）j（p（t））l（r）k（r（t））du（B14）2×2协变量矩阵（B14）可以解释为pand r变量的联合分布矩阵。相应的正交节点拉格朗日插值多项式l（s）是构建这样一个矩阵的有用工具，因为它们的内积可以用于感兴趣的度量。（B14）协变量定义具有随时间变化的积分，可通过分布矩直接计算，可通过观察样本以类似于（7）或（14）的方式获得。对于p=r，矩阵是对角的：Lcovariationsj，sk=w（s）0 w（s）.Lcovariationpj，rk矩阵分量的维数为（B13）中的度量h1i，并且可以很容易地为建立在p和r上的两点高斯求积编写：Lcovariationpj，rk=（p- p） （r）- r）h（p- p） （r）- r） 我- h（p- p） （r）- r） 我- h（p- p） （r）- r） i h（p- p） （r）- r） 我（B15）正交权重w（s）{1,2}可通过LCOVERIATIONPj表示，r元素之和：w（p）{1,2}=LCOVERIATIONP{1,2}，r+LCOVERIATIONP{1,2}，r（B16a）w（r）{1,2}=LCOVERIATIONP，r{1,2}LCOVERIATIONP，r{1,2}（B16b）来自（B15），紧接着LCOVERIATIONPj的所有四个元素之和，rkmatrix为等于h1i。

为了获得无量纲的“相关性”–如矩阵（B15）可以由h1i从（B13）中分割出来，这种“相关性”–如矩阵的对角线元素和对角线元素之间的差异可以称为Leρ（p，r）相关性：Leρ（p，r）=Pj，k=1(-1） j-kLcovariationpj，rkPj，k=1lcoavariationpj，rk（B17）Leρ（p，r）=pr- p代表+p+p-pr+r-r0.25（p- p） （r）- r） （B18）不同于常规定义的术语p+p- pr+r- r描述偏态相关。（B18）表示，如果两个分布具有相同设计的偏度，则它们的“真”相关性实际上高于根据低阶矩aspr计算得出的相关性- p r。Leρ（p，r）的（B18）公式直接从m联合分布矩阵（B15）中获得，并具有值相关性的含义：Lcovariationpj，rkelementof（B14）矩阵是p=pjand和r=rk的概率。条件Leρ（r，r）=1和Leρ（r，const）=0也成立，与（B8）中的Lρ（p，r）相同。我们想强调的是，在应用中，最重要的特征不是新的相关性公式（B18）或（B8），而是从两个分布的采样矩中获得（p，r）联合分布矩阵（B1 5）的能力。正交节点p{1,2}和r{1,2}分别从力矩s（B19a）和（B19b）计算得出，应用上述公式（64）或参考文献[1]附录C中的公式（或本文附录D中dI=0的公式，给出Pf–独立答案）。对于（B15）中的hpri项，除了规则的π和ρm（m=0，1，2，3）之外，还需要（B19c）中的一个力矩（交叉力矩）（πρ）：πm=h pmi（B19a）ρm=h rmi（B19b）（πρ）=h pri（B19c）（要计算（B15）矩阵，总共需要8个力矩，请参阅文件com/polytechnik/utils/ValueCorrelation。java为数值计算valuecorrelation的实现示例）。

（B19）定义可以推广到矩阵平均值（见参考文献[1]附录E），它对应于量子力学中的混合态，是hψ| pmrqI |ψi形式纯态的推广。附录C：eρ（f，g）：变量的概率相关性。从之前附录中的采样矩中获得的Joint分布估计量（B15）是相关估计中的一个重要步骤。然而，它在应用于实际数据方面仍有一些限制。需要建立两个正交（在p和r上），这需要根据数据计算力矩（B19）。假设r是某个证券的执行流r=I=dv/dt，那么，例如，计算hri是有问题的：不可能直接从样本中计算出来，（50）方法并不总是给出好的结果。（B19c）的交叉力矩（πρ）通常难以计算。（B19）中的一些矩可以发散，甚至不存在，它们的数值估计常常成为一种数值正则化练习。如果我们推广了“相关概念”，那么联合分布矩阵估计的方法可以扩展到使用在任意基础上计算的矩，而不仅仅是对于以基函数参数为可观察变量的矩，如附录B中所考虑的情况。假设我们有两个变量f和g（例如，两种证券的执行流量），对于m=0，1，2（x可以是例如时间或价格；Qm（x）是m阶多项式），内积hQj（x）| s | Qk（x）i（其中s={f，g，const}和j，k=0，1）以某种方式定义，以便可以直接从样本计算内积。正如我们在【17】中所讨论的，任何可观测变量样本都可以转换为矩阵，然后广义特征值问题确定可观测的频谱。对于f和g，这将符合方程式（类似于方程式。

（33）n=2）：Xk=0hQj | f | Qkiαf；[i] k=λ[i]fXk=0hQj | Qkiαf；[i] k（C1）Xk=0hQj | g | Qkiαg；[i] k=λ[i]gXk=0hQj | Qkiαg；[i] k（C2）对于n=2的广义特征值问题| A |ψi=λ| B |ψi简化为求解平方λ方程：0=det kA- λBk，与等式（63）相同：总部| s | Qi总部| s | QihQ | s | Qi总部| s | Qiαs；[i] αs；【一】= λ[Ⅰ]s总部| Qi总部| QihQ | Qi总部| Qiαs；[i] αs；【一】（C3）ψ[Ⅰ]s状态：ψ[i]s（x）=αs；[i] Q（x）+αs；[i] Q（x）（C4）成立hsψ（x）ihψ（x）i→ {min；max}解决方案被选择为具有规范化ψ[i]sEeigenvectors：δim=Pj，k=0αs；[i] jhQj | Qkiαs；[m] k；λ[i]s=Dψ[i]ssψ[i]sE与有序本征值λ[0]{f，g}≤ λ[1]{f，g}。特征向量的平方标量积定义了2×2矩阵P相关性λ[i]f，λ[m]g，其元素是低/高f与低/高g的相关性的概率：P相关性λ[i]f，λ[m]g=Xj，k=0αf；[i] jhQj | Qkiαg；[m] k！（C5）eρ（f，g）=π，m=0(-1） 我-mP相关性λ[i]f，λ[m]gPi，m=0P相关性λ[i]f，λ[m]g（C6）eρ（f，g）修正相关性是P相关性λ[i]f，λ[m]gmatrix的对角元素和对角元素之间的差异。这与前一节的（B17）相似，但现在的p相关性λ[i]f，λ[m]gmatrix仅由m hQj | s | Qki矩构建，可以在任意基础上定义。（C5）和（B14）矩阵之间的一个重要区别是，（B14）元素是特征向量的标量积，但（C5）元素是特征向量的平方标量积；两个矩阵的元素都有概率的含义，但概率的定义不同。（C5）作为特征向量的平方标量积，是概率的相关。P相关性λ[i]f，λ[m]表示概率f有一个值λ[i]f，g有一个值λ[m]g，这与l变量pj，rk，Eq.（B14）不同，即P=pjan，r=rk的概率。

代替（B16），我们现在有：1=P相关λ[{0,1}]f，λ[0]g+P相关λ[{0,1}]f，λ[1]g（C7a）1=P相关λ[0]f，λ[{0,1}]g+P相关λ[1]f，λ[{0,1}]g（C7b）P相关λ[i]f，λ[m]gmatrix的任何行或列中的元素之和等于1。如果Q（x）=常数（典型情况），那么，与（66）定义n类似，可以引入随机变量s={f，g}的类偏态（如中值和平均值之间的差异）特征：eΓ=s- λ[0]s- λ[1]sλ[0]s- λ[1]s（C8）s=hsQi。hQi（C9）eρ（f，g）=Dψ[0]gfψ[0]gE-Dψ[1]gfψ[1]gEλ[0]f- λ[1]f（C10）=Dψ[0]gfψ[0]gE-Dψ[1]gfψ[1]gEDψ[0]ffψ[0]fE-Dψ[1]ffψ[1]fE（C11）这个偏态定义（C8）的含义是ψ（x）=常数状态|ψCi展开权重在状态上的对称性：ψ[0]sE，对应于最小s=λ[0]s，和ψ[1]sE，对应于最大s=λ[1]s；eΓ=DψCψ[0]sE-DψCψ[1]sE。（C6）概率相关性ρ（f，g）也可以用类似的“导数”形式（C10）表示：状态中ψ[0]gEof极小g，f在状态ψ[1]gEof max g，除以最小和最大f差。对于概率相关的经典条件eρ（f，f）=1，在量子力学中，两个波函数的标量积可以解释为“两个波函数的关系”。取其平方，得到概率c相关的概率。如果波函数是具有特定值λ[i]f（C1）的状态f和具有特定值λ[m]g（C2）的状态g，则相应特征向量的平方标度积可以类似地解释为f=λ[i]和g=λ[m]g的概率。这种解释也对应于（C7）归一化。保持，对于f=g，（C5）矩阵为diago na l：P相关λ[i]f，λ[m]f=1 00 1.

但另一个经典条件不成立：eρ（f，const）6=0，如果g=const，则特征值问题（C2）退化，并且在没有特征向量附加条件的情况下，概率相关性（C6）的值可以是任意的，具体取决于g-特征向量的选择。区分“价值”和“概率”相关性是现代计算机科学和市场动力学研究的一个重要课题。分布回归问题[30，31]（大量“实例袋到值”类型的观测值用于构建映射：概率分布到值）和分布回归问题（大量“实例袋到其他实例袋”类型的观测值）用于构建映射：概率分布到概率分布）是正则回归问题的最广为人知的推广（许多“值到值”类型的观测值用于构建映射：值到值）已从多个点得到解决。我们对它的贡献是基于Christo-Offel函数[32]和Radon-Nikodym衍生物[33]的应用。人们强调了使用真实数据进行概率估计的困难[34]，但概率估计使用了非常不同的数学技术。据我们所知，（C6）答案是第一个概率相关答案，它是根据采样数据的矩计算得出的。要计算（C5）矩阵，需要m=0，1，2个矩：h{f，g，const}Qm（x）i；共9个力矩，见文件com/polytechnik/utils/ProbabilityCorrelation。java有关从（C6）计算概率相关性eρ（f，g）的实现示例，请参见文件com/polytechnik/utils/Skewness。java:GetgSkowness for calculationeΓf rom（C8）。

这些答案的一个显著特点是，它们只使用f和g上的一阶矩和Qm（x）上的高阶矩。这种可观测变量和基函数的分离允许将该方法应用于具有非高斯分布的tof和g，即使是具有有限hfi或hgi的tof和g，具有Radon-Nikodym方法的可区分特征【17】。附录D：具有未知实际价格Pfas参数的价格分布估计在第八节中，我们解决了给定πmm的价格分布估计问题（62）。然而，未来价格PFI需要计算未来矩πfm；“最后的价格为-1-0.75-0.5-0.250.250.50.75图13。不同π和di的Γ（Pf）依赖性的几个示例。Γ（Pf）在未受干扰（di=0）正交节点处具有最大和最小值；Pf→ ±∞ 渐近为（D9）。虚线是在平均值（单节点属性）处具有单支撑的度量的Γ（Pf）偏度。Pfestimator（55）”是一个非常粗糙的近似值，因此最好将PFA视为一个参数（这种考虑是变测度正交多项式的特例【35】。在这项工作中，不考虑通常的测度序列，而是考虑依赖于PFA作为参数的测度。）对于给定的|ψi，来自（54）的kpmIfk算子与未来项的影响给出了未来矩πfm：πfm=πm+Pf公司mdI hψ|ψi（D1）不同于过去时刻πm=hψ| pmI |ψi f（62），受未来的影响：Pf公司mdI hψ|ψi。Pf的值未知，但可以使用Pf作为参数来表示上述第八节的所有计算。

在（66）中的简单代数（参见下面附录G中的DiffSkewness.java的数值实现）Pf-依赖Γ、正交节点p{1,2}（Pf）、权重w{1,2}（Pf）和一元二阶正交多项式（D15）（Pf-依赖正交系统）之后，对于具有（D1）动量的度量：di=di hψ|ψi（D2）b=diπ+di（D3）am=πmπ+di（D4）A（Pf）=（aa- a） +（ab）Pf- 2（ab）Pf公司+ （ab）Pf公司（D5）B（Pf）=（aa- a） +（ab）Pf+（ab）Pf公司- (1 - b） b类Pf公司（D6）D（Pf）=（a- （a）- 2（ab）Pf+（1- b） b类Pf公司（D7）Γ（Pf）=-B（Pf）- 2（a+bPf）D（Pf）pB（Pf）- 4A（Pf）D（Pf）（D8）Γ（Pf→ ±∞) = ±π- diπ+di（D9）p{1,2}（Pf）=-B（Pf）pB（Pf）- 4A（Pf）D（Pf）2D（Pf）（D10）w{1,2}（Pf）=π+di1+p{1,2}（Pf）- p（Pf）.D（Pf）（D11）p（Pf）=p（Pf）w（Pf）+p（Pf）w（Pf）w（Pf）+w（Pf）=a+bPf（D12）pmid（Pf）=p（Pf）+p（Pf）=-0.5B（Pf）D（Pf）（D13）p（Pf）- p（Pf）=pB（Pf）- 4A（Pf）D（Pf）D（Pf）（D14）P（P，Pf）=（P- p（Pf））（p- p（Pf））=p+B（Pf）D（Pf）p+A（Pf）D（Pf）（D15）E（Pf）=（aa- a） +（aa- a（1- b） ）Pf+（a（1- （b）- （a）Pf公司（p- p（Pf））（p- p（Pf））=a+aB（Pf）+aA（Pf）+（Pf）bE（Pf）D（Pf）（D16）（p- p（Pf））=D（Pf）（D17）（D8）是分子中三阶多项式与分母中六阶或三阶多项式的平方根的比值。Γ（Pf）是一个具有-Pf=pandw时w+diw+w+DIM最大值-w-Pf=p，p时的diw+w+最小值≤ p、 其中，p{1,2}和w{1,2}是基于πmm的两点高斯求积的求积节点和权重（di=0，未扰动求积：w+w=π）。对于Pf，Γ（Pf）具有（D9）渐近性→ ±∞. 图13给出了Γ（Pf）的几个例子，清楚地观察到了最大值、最小值和渐近值。当πm为单支撑点分布时，（D8）采用非常简单的形式：基于πfm矩（D1）的高斯求积具有节点：支撑点和Pf；正交权重为：π和di；Γ（Pf）是一个具有（D9）值的阶跃函数，改变支撑点处的值；Lvolatility fr om（67）为零。在图中。

13这种情况：两个支撑点：未扰动平均值（权重为w+w）和Pf（权重为di）以虚线表示。（D10）和（D11）中的p{1,2}（Pf）和w{1,2}（Pf）（扰动正交节点和权重）通常是令人感兴趣的。在图14中，我们给出了一个示例。权重w{1,2}（Pf）在Pf=p{1,2}时有w{1,2}+di最大值，在Pf=p{2,1}时有w{1,2}最小值。p（Pf）isa函数在Pf=时最小（等于未扰动的p），p（Pf）是在Pf=p时最大（等于未扰动的p）的函数，（p{1,2}（p{2,1}的抛物线行为+p） 小的p还请注意，p{1,2}（p{1,2}）=p{1,2}（p{2,1}）=p{1,2}）。p{1,2}（Pf）对常数di和di的行为→ ∞ 图14中分别以实线和虚线显示了渐近性。在应用中，（D13）中点（一个具有最小值、最大值、具有pmid（p）=pmid（p）=pmid（p）的函数）；（D12）平均值（一个具有b斜率的线性函数）也很有趣。一个非常重要的特征是“波动性”——类似特征（D14），即扰动正交节点之间的差异：p（Pf）-p（Pf）。它总是正的，具有价格维度，可以用来代替标准差。这种差异达到相同的值p- pfor Pf等于未受干扰的正交节点p{1,2}，且具有| Pf-p |渐近forPf→ ±∞.附录E：损益交易策略和前端不对称在第X B节中，我们考虑了一个简单的前端策略，并表明应将中介用作阈值。在一般情况下考虑这样一种战略是非常有意义的。交易分布的重要特征是它是一个离散的分布（价格水平是离散的）。此外，高斯求积可以解释“实”分布，求积的离散权重可以看作插值分布。考虑一个非常简单的例子：让交易在价格P和交易量w的情况下进行，在价格P和交易量w的情况下进行，图。

15（我们假设p<p，w{1,2}是p（Pf）p（Pf）pp-0.4-0.20.20.40.60.8pp-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8w（Pf）w（Pf）0.20.40.60.81.21.4pp-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8图。分布示例（p=0.1，w=1，p=0.3，w=0.2）。顶部：di=0.4（实线）和di时p（Pf）（红色）和p（Pf）（绿色）的相关性（D10）→ ∞渐近（虚线）。底部：对于di=0.4ppwppppfwdimmp（Pf）p（Pf）ppppFIG，w（Pf）（红色）和w（Pf）（绿色）的相关性（D11）。15、左上角：|ψi状态可用的过去信息：wat pand wat p，其中p{1,2}和w{1,2}是未受干扰的正交节点和基于过去矩的权重（62）；媒体是w，因为w>w。右上角：ψi状态的过去和未来信息，除了“过去”的数据外，还可以获得以下信息：未知未来价格Pf下未来di的已知（D2）影响。底部：长/短远期备选方案的“带状结构”。对称性由“有效质量”差异决定（E9）。按价格p{1,2}匹配买家和卖家。该分布的中位数等于por p，这取决于重量的大小。如第X B节所述，如果投机者知道未来的交易情况，在中位数以下买入，在中位数以上卖出，那么P＆La投机者可以获得的最大收益是：P＆Lmax=（P- p） phe的min（w，w）（E1）应以p+δ领先于买方投标，而phe的min（w，w）（E1）应以p+δ领先于卖方投标- δ、 最大最小成交量（w，w）来自这样一个事实，即投机者必须在最高权重水平（等于中位数）进行部分多头和空头交易，以避免在投资期结束时头寸累积。

（如果pand PARE被认为是限额指令簿的不匹配级别，那么这两个级别的示例是做市的经典演示，但本文的重点是从不匹配的数量（供应/需求）过渡到描述匹配的数据执行流I=dV/dt（过去和未来（45））。这使我们能够避免使用（数据中无法确定的）供应和需求，而是使用（直接从数据中测量）执行流量）。类似地，对于n点分布（实际分布或高斯分布的权重，由0…2n构建）-1分布矩），需要找到正交节点，中位数，然后在中位数以下预测买家，在中位数以上预测卖家；在中位数，部分进行多头和空头交易，以避免头寸累积。P&L计算与分位数回归问题非常相似，但我们在此不讨论这种关系。在本文中，我们将仅限于两节点分布，这样所有的计算都可以在没有完整线性规划理论的情况下进行。在现实生活中，我们不知道完整的未来交易文件。我们从（D2）中知道未来di的影响，但在未知的未来价格Pf下，见图15。与任何两能级哈密顿量一样，任意态可以扩展为两能级态的叠加。如果PFP在p（前台买家）交易，那么w→ w+di，w→ w、 如果PFA交易为atp（frontrun sellers），则w→ w、 w→ w+di。（在这两种情况下，p{1,2}不变。）。这两种备选方案（前台买家/前台卖家）的价格变化相同，如果di≤ w{1,2}，也给出了相同的最大P&L。否则会出现一个与（E1）中的项类似的项min（di，w{1,2}）。为了获得方向信息，我们需要一个标准来区分这两个备选方案。考虑到Pf的变化，可以区分它们。

假设执行流量不是特定的单一价格Pf，而是在一定的价格区间Pf±p、 请注意，根据时间-价格对称性论证[1]，一阶导数不能隐藏动力学信息，因此损益应在以下方面保持不变：p→ -p、 考虑与未来执行流量di影响相关的损益，Pf分布在p{1,2}±p间隔。长（Pf）=（p（Pf）（&Lfr）- Pf）最小（di，w）（E2）P&Lfr短路（Pf）=（Pf- p（Pf）min（di，w）（E3）P&Lfr=P&Lfr长（P±）p）- P&Lfr短（P±）p） （E4）p{1,2}（Pf）是一个函数，在Pf=p{2,1}时最小/最大，参见附录D图14。长/短不对称性（E4）可被视为方向不对称性和最小p二阶项为：损益表（&L）≈(p） “”P&Lfr长（Pf）（Pf）Pf=p-P&Lfr短路（Pf）（Pf）Pf=p#（E5）=(p） “最小值（di，w）p（Pf）（Pf）Pf=p+最小值（di，w）p（Pf）（Pf）Pf=p#（E6）p{1,2}（Pf）类似于固态物理的“能带结构”。在edg e区附近引入“有效质量”很方便：m=p（Pf）（Pf）Pf=p（E7）m=p（Pf）（Pf）Pf=p（E8）D=m+m（E9）我们有m>0和m<0，至于半导体中的电子和空穴，参见图15中的“跃迁”类比。D，分布的方向不对称性，与分布偏度（66）相关，在某些情况下，可以用作方向指示器。附录F：无If的未来波形。在第VII C节中，我们确定了（44）未来IFA，并尝试使用参考文献[1]中的动力学方程将该信息转换为价格信息。一个问题是，如果没有关于If的信息，可以得到什么样的答案？很明显，在这种情况下，只能发展出关于dI/If的微扰理论。因为dI≥ 0（46）即使在Ifvalue未知的情况下，仍然可以获得一些信息。考虑一些波函数ψ（x）和相应的执行流Iψ，计算如（24）所示。

考虑简单变量Δψ（x）。二阶瑞利扰动为：Iψ+Δψ=hψ+Δψ| I |ψ+Δψihψ+Δψ|ψ+ΔψI=D0+D1+D2+。（F1）D0=hψ| I |ψihψ|ψI（F2）D1=2hψ| I |Δψihψ|ψI- D0hψ|Δψihψ|ψi（F3）PIP【IH】PP693.5694.5695.5696.5697.5698.59.7 9.75 9.8 9.85 9.9 9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 10.25 10.3图。16、2012年9月20日AAPL股价。以n=7且τ=128秒的移位勒让德基频计算。分别根据（61）、（F12）和（F13）计算P【IH】、Pand Pare。D2=hΔψ| I |Δψihψ|ψI- D0hΔψ|Δψihψ|ψi- 2hψ|ΔψihψiD1（F4）关于|Δψi的一个相当复杂的微扰理论可以在一个非常不同的多重散射领域中以我们早期工作的方式发展出来，但我们在这里只考虑与ψ正交的Δψ态的一阶i变化，即hΔψ| i=0。ThenIψ+Δψ≈hψ| I |ψihψI+δI（F5）δI=2hψ| I |Δψihψ|ψI=2 hb |ΔψI（F6）| bi=| I |ψI（F7），因此δI（F6）被表示为| bi和|ΔψI向量的标量积。提供最大δI的变化Δψ是什么？与| bi不同的是，仅在常数β上，即|φi=| i |ψi- hψ| I |ψI | I（F8）|ΔψI=|φIβ（F9）状态（F9）提供最大变化δI。在（F8）中减去术语hψ| I |ψI | I，使hΔψ| I=0。将式（39）中的|ψi=|ψi放到（F8）中，这立即导致φ（x）=0，并将i视为β|φi=| i |ψi的函数- hψ| I |ψI |ψI（F10）I（β）=hψ+βφ| I |ψ+βφihψ+βφ|ψ+βφI≈ I+2βhφ| I |ψI+。（F11）正如我们在第VII A节中所指出的，当|ψi是（33）的本征函数时（或i=常数且问题（33）退化），则理论失败（现在由于hφ|φi=0，不可能有反向摄动理论）。

否则，因为hφ| I |ψI=hφ|φI>0，我们总是会得到β>0，在一阶微扰中，让我们称之为两个答案，Pand Pin aweak希望得到一个可怜的人P[IH]：P=hφ| pI |ψIHφ| I | I（F12）P=hφ| pI |φIHφ| I |φI（F13）r=phφ|φIHψIHψ| I |ψI=qhψ| I | I |ψI- hψ| I |ψihψ| I |ψI（F14）这些答案虽然在实践中是非常粗略的估计，但由于其简单性，在应用中可能仍然有用（尤其是Pfrom（F13））。（F14）中的r（离子|ψi态的类标准偏差估计）可以作为|ψi与kIk本征函数的接近程度的估计。所有这些第一阶扰动答案的主要缺点是，它们在自动选择适当的时间尺度方面不如特征值问题好。在图16中，theP【IH】表示Pand Pare（分别根据（61）、（F12）和（F13）计算）。我们可以看到，PHA a类似于P[IH]行为，尤其是它很好地跟踪了市场方向的变化。由于P的平均值不总是正权重，因此P的波动性比P大，但也可能是最重要的。P（F12）和P（F13）的一个非常重要的特征是，它们是在不解决特征值问题的情况下获得的，但仍然提供了一些信息，因此可以被视为穷人P[IH]。附录G：计算机代码实施1。