正如iGBM预测的那样，集体定价的两个主要影响是，与非相互影响的价格相比，大幅扩大均衡价格的分布，以及在给定（有利或不利）经济条件下，以慢噪声过程的价值Uo为量化指标的不对称性显著增强。更具体地说，我们还观察到prono-unecd相互作用导致的对非常高或非常低的资产价格的偏好，我们认为这值得进一步研究。请注意，整个市场的长期收益分布和定价分布都是集体起源的，因此可以预期它们在一定程度上独立于模型规范的细节。特别是，系统的集体属性将不取决于资产间耦合的具体实现，尽管它们可能，并且通常将取决于耦合分布的属性。这一方面确实可以为在现有建模框架内分析市场数据提供一条途径，而不需要获得正确的个别耦合。这也是当前建模方法最终可能获得一些预测能力的主要方面，例如，可以用于提供工具，以在系统级评估市场风险。不言而喻，需要使用真实数据进行进一步的调查，才能得到这些数据。构建IGBM的主要动机之一是探索是否可以根据市场交易资产价格之间的有效互动来理解金融时间序列的一些程式化事实，考虑到资产价格之间的有效互动是任何试图以简化形式描述市场动态的模型的一个必要特征，即价格动态。

我们已经通过某种方式证明了这在returndistributions级别上是正确的。另一个重要的现象是波动性集群，事实上，它在相互作用的价格方面找到了一个相当自然的解释。由于相互作用，如果存在足够程度的无序和挫折，系统预计会表现出大量（动态和静态）吸引子。在噪声存在的情况下，这些吸引子中的许多将作为长寿命状态存在，预计波动性聚集将通过动力学与长寿命状态之间的相互作用以及它们之间偶尔的过渡动力学而自然出现。这种转变可以自发发生，也可以由新闻或缓慢变化的宏观经济条件触发。不同的长寿状态将以其不同的敏感度值为特征，因此，动态中存在的噪声预计会导致波动程度不同的波动。使用具有部分已知吸引子结构的系统的模拟，我们在第节中演示了。上述第四部分，我们关于n个亚稳态和波动性集群之间关系的假设至少对于这里所考虑的类型的模式ls是正确的。在【1】中，作者使用外部扰动模拟了模型，他们认为外部扰动可能代表意外新闻的到来（例如，在季度报告中）的影响。论文中使用的过程很难以分析封闭的形式实现，这也是我们采用斯隆斯坦-乌伦贝克过程的原因之一，该过程统一影响市场中的所有价格，作为诱导亚稳态之间转换的机制。

我们认为，在本文所研究的模型版本中，这是无ise跳跃过程组件的存在，这最终是因为该模型在单资产水平上没有表现出厚尾收益分布。在模型公式中，可以通过在噪声中添加泊松n跳跃过程组件等来很容易地纠正这一点，但这可能会使解析求解模型的尝试变得相当复杂。我们相信，探索结合连续和离散数据源的extenta模型是否适合分析是很重要的。我们的最后一句话是指iGBM中存在平均反转力，因为这种力的存在在经济圈中是有争议的。在我们的建模中，平均反转力的存在有助于确保市场的长期稳定性。如果将ui（t）作为联动框架上的原木价格引入，则更容易激发这种力量的存在，因为ui（t）=原木[Si（t）/Si0e（ui-σi）t]。这种修改将首先消除转换方程（2）中的漂移项II，并建议以与最初相同的方式正式引入iGBM，即lbeit，其中漂移项II也从相互作用的方程（3）中缺失。在这种修改后的ui（t）解释中，均值回归和相互作用必须解释为相对于预期趋势的均值回归和相互作用，而不是相对于某些固定原木价格，这可能更容易从经济角度证明。模型的长期稳定性将得以保存，尽管是在一个共同运动的框架上。另一个好处是，随机对称破坏场II也将从方程中消失，这可以简化随后的分析。

尽管如此，这样一个模型可能更难对真实市场数据进行校准，这确实应该是当前项目下一步的自然步骤之一。致谢：J.K.得到了EPSRC非平衡系统跨学科方法博士培训中心的支持（CANES，EP/L015854/1）。附录A：生成功能分析在本附录中，我们使用生成功能分析（GFA）[26]来正式求解模型动力学。Webegin通过引入源领域的通用功能，l,Z[l|u] =*扩展- iZdtXili（t）ni（t）o+，（A1），其中ni（t）=g（ui（t））是定义对数价格之间相互作用的变量，我们以代表宏观经济条件演变的慢过程路径的实现为条件。尖括号表示所有路径的平均值，这些路径是微观状态的一系列结构。明确地，Z[l|u] =ZDu P【u】expn- iZdtNXi=1li（t）ni（t）o，（A2）其中Du是一组路径u={ui（t）}，i=1，…，上的flat度量，N在某些有限风险水平上0≤t型≤ T，P[u]表示这些路径的概率。生成函数可用于计算期望值和相关函数ashni（t）i=iδZ[l|u] δli（t）l≡0，（A3）hnj（s）ni（t）i=iδZ[l|u] δlj（s）δli（t）l≡0。（A4）生成函数followsstandard推理的评估；参见例如【26–29】。对于由高斯白噪声驱动的朗之万方程描述的随机过程，可以使用δ-泛函及其形式来强制运动方程，从而将噪声轨迹的概率转换为路径概率。

假设对朗文方程进行伊藤离散化，则可以表示生成泛函a sZ[l|u] =ZD{u，^u}exp(-ZdtXi“σi^ui（t）+i^ui（t）˙ui（t）+κiui（t）- 二-XjJijnj（t）-σu（t）- 我li（t）ni（t）#）。（A5）我们感兴趣的是评估一种典型的无序实现的生成函数。这是通过对键无序的等式（A5）求平均来实现的，也就是说，对吉杰尔所表达的奇金和西金项求平均。该疾病成对平均因子（i，j），D=Yi<jexpiZdt公司^ui（t）Jijnj（t）+^uj（t）Jjini（t）c、 x.（A6）在这里，我们使用overbar符号来表示无序r c和x的平均值。根据等式，用cijand xia明确地书写jije。（5） （6），并在我们获得的大N和有限平均连接度的极限下进行cijaveragein，并且=Yi<j1+cN“exp（Jc+J√cxij！Zdti^ui（t）nj（t）+Jc+J√cxji！Zdti^uj（t）ni（t））- 1#x（A7）使用c>> 1，我们遵循例如[34]，扩展指数以执行x平均，在扩展中仅保留c的逆幂的主导项，然后重新指数化以写入 经验值NhJZdt k（t）m（t）+JZdsdthQ（s，t）q（s，t）+αG（s，t）G（t，s）ii,（A8）其中，我们引入了一次和二次序参数集SM（t）=NNXi=1ni（t），k（t）=NNXi=1i^ui（t），q（s，t）=NNXi=1ni（s）ni（t），q（s，t）=NNXi=1i^ui（s）i^ui（t），G（t，s）=NNXi 1i^ui（s）ni（t）。然后，我们使用Diracδ函数恒等式及其前导表示来强制这些定义，以将无序平均生成函数转换为函数积分，其在系统大小N中的前导顺序可表示为以下紧形式Z[l|u] =ZD{…}exp{N[Ξ+Ξ+Ξ]}。（A9）这里，D{…}表示宏观序参数函数及其共轭函数集上的函数度量。函数Ξ、Ξ和Ξ，出现在等式的指数中。

（A9），定义为Ξ=JZdt k（t）m（t）+JZdsdtQ（s，t）Q（s，t）+αG（s，t）G（t，s）, （A10）Ξ=iZdtm（t）^m（t）+k（t）^k（t）+iZdsdt公司q（s，t）^q（s，t）+q（s，t）^q（s，t）+G（t，s）^G（t，s）, （A11）Ξ=NXilogZD{u，^u}exp- 硅- iZdt公司li（t）n（t）（A12）此处旁注了过程i的有效局部动力作用，Si=Zdth-σi（i^u（t））+i^u（t）˙u（t）+κiu（t）- 二-σu（t）+ i^m（t）n（t）+i^k（t）i^u（t）i+iZdsdth^q（s，t）n（s）n（t）+^q（s，t）i^u（s）i^u（t）+^G（t，s）n（t）i^u（s）i.（A13）仅通过局部变化参数（Ii，κi，σi）依赖于i≡ θiOne现在使用鞍点技术评估公式（A9），该技术要求宏观或设计参数满足以下固定公式：m（t）=NXihn（t）i（i），q（s，t）=NXihn（s）n（t）i（i），（A14）G（t，s）=NXihn（t）i（i），t>s。由于实用性，所有其他顺序参数均为零。在公式（A14）中，我们使用h。i（i）代表有效单点过程动力学的平均值，其形式为：。i（i）=RD{u，^u}（…）经验值- 硅RD{u，^u}exp- 硅（A15）我们注意到，由于因果关系，有效的单点行动简化为toSi=Zdt“-σi（i^u（t））+i^u（t）˙u（t）+κiu（t）- 二-Jm（t）- αJZtds G（t，s）n（s）- σu（t）#-JZds dt q（s，t）i^u（s）i^u（t）。（A16）根据大数定律s，阶数参数的鞍点方程（A14）可以写成局部变化参数分布的平均值≡ （I，κ，σ），NXih。一（一）→ hh。iiθ，作为LARGE系统限值N→ ∞ 已拍摄。在这里，内部平均值对应于具有特殊参数组合的单过程动力学上的平均值，而外部平均值代表θ分布上的平均值，即h。iθ≡RdI dκdσp（I，κ，σ）（。

.).最后，我们注意到，在有效单点作用（A16）中出现的贡献是非局部时间的，并且在共轭动力学变量^u（t）中是二次的，这表明有效单点过程是由有色噪声控制的，而涉及响应函数G（t，s）的非局部贡献表明，有效的单点动力学是非马尔可夫的。有效单点动力学的运动方程可以从有效单点作用（A16）中推断出来，给出˙uθ（t）=-κuθ（t）+I+Jm（t）+σu（t）+αJZtds G（t，s）nθ（s）+φ（t），（A17），其中，当涉及局部参数为（I，κ，σ），sonθ（t）=G（uθ（t））的单点过程时，我们写u（t）=uθ（t），其中，色噪声φ（t）和方程（A17）中出现的动力学或de参数必须满足自洽方程shφ（t）I=0，（A18）hφ（t）φ（s）I=σδ（t- s） +Jq（t，s），（A19）和M（t）=hnθ（t）iθ，（A20）q（t，s）=hnθ（t）nθ（s）iθ，（A21）G（t，s）=δhnθ（t）iδh（s）θ，t>s。（A22）因此，我们将原始系统简化为一个由多个有效单点过程组成的系统，这些单点过程的特征是带有有色噪声的θ-分布和记忆，它们是在动态序参数中自洽确定的。[1] R.K¨uhn和P.Neu。几何布朗运动模型最小交互推广中的间歇性。J、 物理。A、 41:324015（第12页），2008年。[2] 巴塞尔银行监管委员会。市场风险的最低资本要求。www.bis。org，2016年。[3] W.C.亨特。亚洲金融危机：起源、影响和解决方案。斯普林格，1999年。[4] B.B.Mandelbrot。某些投机价格的变化。J、 《商业》，36:394–4191963。[5] E.Fama。股票市场价格的行为。J、 公共汽车。，38:34–105, 1965.[6] P.Gopikrishnan，V。Plerou、L.A.N.Amaral、M.Meyer和H.E。

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