这是因为有许多长距离步行从第1组开始，在那里保持许多链接，然后穿过第2组，然后穿过第3组。但大多数从第2组开始并在第1组花费大部分时间的长距离步行必须在第1组和第2组之间进行两次，这是不太可能的。当φ较大时，第1组成员的Katz-Bonacich中心度增加幅度大于第2组成员的Katz-Bonacich中心度。该示例扩展到实际的随机网络。我们再次考虑相对组大小固定的m组，但现在允许条目pijof'A为任何常数概率。“Aare”的条目与“A”的条目相等，但一对i组和j组除外。推论3。存在pij>pij，一系列常数φ（n）远离λ（n）和λ（n）以及群i、j和k，使得概率接近1为n→ ∞,ck（A（n），φ（n））- ck（A（n），φ（n））>ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））表示任意φ（n）<φ（n）<λ（n）。6其他网络形成模型上一节的基本技术是应用主要定理计算随机网络的中心度，然后进行确定性计算。该方法更为通用，在本节中，我们将考虑在随机块模型之外的更为通用的随机网络模型中的应用。第一小节讨论了网络形成的空间模型，并给出了一个数字示例，其中当不太可能或很可能存在较长距离的链接时，某些代理位置良好，但不适用于中间概率。第二小节给出了一个随机网络模型，其中链路形成概率取决于几个特征。

在独立性假设下，可以“逐个特征”计算中心度。6.1空间模型基于群体结构的网络形成模型的常见替代方案依赖于空间结构（少数示例见Leung（2015）、Chaney（2014）和Breza、Chandrasekhar、McCormick和Pan（2017））。代理分布在具有距离度量的连续空间中，距离越近的代理越有可能连接。该空间可以表示地理空间中的物理位置，或者更一般地表示一些特征空间中的物理位置。我们的工具可以帮助确定这些模型中的网络中心度如何依赖于位置和底层参数。在一个基于Hoff、Raftery和Handcock（2002）的潜在空间模型中，每对代理i和j之间的联系形成的概率为“Aij比例toexp（β·xi，j+γd（i，j）），其中xi，这对代理的jare协变量，β是常数向量，γ是常数系数，d（i，j）是i和j之间的距离。当所有联系独立形成时，我们的定理适用于此类网络的序列。因此，我们的理论结果补充了Breza、Chandrasekhar、McCormick和Pan（2017），他们根据模拟和实证数据提供的证据表明，仅基于潜在空间模型的参数就可以很好地近似中心度（以及其他网络统计）。我们的定理1和2意味着，当代理在空间上分布时，这些中心确实可以在给定基本参数的情况下渐近确定，从而使定理的条件成立。我们在一个类似的模型中给出了一个数值例子，表明当链接在距离处衰减得很快或很慢时，某些代理处于中心位置，但当衰减率居中时，则不处于中心位置。经验工作中常用的一种函数形式设定了代理i和j到d（i，j）之间联系的概率-ρ.

参数ρ决定了连接在一定距离内衰减的速度。为了确定A，考虑平面中（k+1）×（k+1）网格上的代理，因此{（x，y）：x，y中的每个点都有一个代理∈ Z、 0个≤ x、 y型≤ k} 。位于不同坐标（x，y）和（x，y）的代理之间的每个链接都具有权重d（（x，y），（x，y））-ρ，其中d是欧氏距离，每个自链接的权重为1。图3显示了一个k=20且ρ=的示例。由于三角不等式的存在，从距离推导链接概率受到限制：如果i和jare可能链接，而j和k可能链接，那么i和k链接的概率不是toolow。这在随机块体模型中不一定成立。例如，如果距离d（i，j）是一致有界的，则‘（n）ij上有一个一致的正下界，因此这两个条件都成立。1.1106201.11071.11081.110915201.111Katz-Bonacich中心度1.1111151.1112y位置101.1113x位置101.11145500图3：k=20、ρ=和φ·λ=。我们考虑这个网络中的特征向量中心。以下权利要求在附录中得到验证：权利要求1。对于ρ≤ 1，随机网络序列“A（n）”具有足够大的特征值。因此，定理2表明，对于k大，相应随机网络上的中心度是相近的。随着ρ的变化，各种代理的Katz-Bonacich中心度之间的排名也有所不同。举个例子，我们取k=20，设置φ=·λ-当ρ=时，位置（0，10）中的代理比位置（3，3）中的代理更中心。但对于ρ非常接近1的情况，位置（3，3）中的主体比位置（0，10）中的主体更为中心。第一个代理位于一个方向的边界上，而第二个代理位于两个方向的边界附近，距离中心代理更远（10，10）。

当ρ较大时，网格中附近的潜在邻居是最重要的，（3，3）有许多这样的邻居。随着ρ变小，在中间距离有许多连接变得更有价值。注意，在极限ρ→ 0所有代理都变得同等中心，因此中心性之间的差异（或比率）在ρ中是非单调的。当ρ非常小或很大时，位于网格对角线内部的代理（3，3）相对居中。但当ρ为中间值时，由于中间长度连接的数量较少，所以该代理会起作用，网格边缘中心的代理（0，10）更为中心。6.2多特征网络我们可以通过组合多个特征来构建更大类别的网络形成模型，我们称之为多特征随机网络。例如，我们可以通过将随机块模型与基于地理的模型相结合，对居住在不同社区的不同种族或性别的代理进行建模。当特征独立时，中心度以简单、可分离的方式取决于这两个特征。设A（1）和A（2）分别是大小为nand和n的网络的链路概率的两个矩阵。我们会让 表示Kronecker乘积。我们定义了多特征随机网络，通过乘以链接概率将两个网络结合起来。定义7。多特征随机网络“A=”A（1）具有层A（1）和层A（2）的A（2）具有由（i，i）索引的nAgent，以及由两层中相应链接概率的乘积A（1）ij（2）ij给出的（i，i）和（j，j）之间的链接概率。如果“A（1）”和“A（2）”对应于网络中的两个特征，则“A”是通过假设这两个特征独立分布而形成的网络，并且当它们在两个层中独立形成时，链接也会形成。

这些假设很强，但让我们获得多特征网络中中心度的清晰表达式。引理1。多特征随机网络“A”中主体（i，i）的特征向量中心性由V（i，i）（“A）=vi（\'A（1））vi（\'A（2））给出。引理说，特征向量中心可以在每一层中单独计算并相乘。请注意，我们可以将结果重新表述为v（\'A）=v（\'A（1）） v（(R)A（2））。这个标准事实可以用来表明，在实际的随机网络上，中心性的行为类似。提案6。假设“A（1）（n）”和“A（2）（n）”是随机网络序列，它们都具有不消失的谱间隙和足够大的特征值。设A（nn）为多特征随机网络的对应序列。对于任何 > 0，当n足够大kV（A（nn））时- v（A（1）（n）） v（A（2）（n）k<概率至少为1- .因此，对于每种药剂（i，i），v（i）（A）很可能接近vi（A（1））vi（A（2））。当链接概率是乘法时，中心度也是乘法。证明应用定理1和引理1。结果立即扩展到具有两个以上特征的网络。7结论我们给出了随机网络中agent的特征向量和Katz-Bonacich中心的渐近特征。理论上，这些结果简化了关于网络结构变化如何影响谁是中心的问题。我们提供了几个应用：（1）在随机块模型中，我们表明网络隔离和组大小差异之间的相互作用增加了不平等。（2） 当链接依赖于空间位置时，我们可以计算和比较代理在不同位置的网络中心度。

（3） 当网络依赖于几个独立的特征时，可以通过分别处理每个特征来计算中心度。最后，我们提出了我们的技术在这些应用之外的几个后果：o可以在没有完整网络数据的应用环境中研究中心性：在大型网络中，我们可以仅使用不同组的链接形成概率很好地近似代理的中心性相反，当计量经济学家可以访问网络数据，但无法观察到潜在网络形成过程中的参数时，我们的定理证明了网络形成的结构模型。可以使用中心度或相关量作为矩来估计未观测到的参数产业组织中的大量文献将定价决策建模为一个二次博弈，每个企业都在网络中与其邻居竞争（Vives（2010），Vives（2017））。虽然本文献侧重于简单的网络结构，但我们的方法可用于求解随机网络上的预期价格，并研究网络结构如何影响价格。与本工作中开发的应用程序一样，每个应用程序都依赖于将随机图问题简化为确定性计算的基本方法。证明有时会将欧几里德范数和诱导矩阵范数称为k·k，省略下标2。定理1的证明。证明的概要如下：第一步是证明矩阵范数kA（n）-\'A（n）kis较小，概率较高。为了证明这意味着相应的特征向量中心度很接近，我们观察到v（A（n））是线性算子A（n）下单位球面上图像最大的向量。当光谱间隙不太小时，单位球体中在A（n）下图像几乎一样大的任何其他向量必须接近v（A（n））。

当kA（n）时-\'A（n）kis small我们可以证明\'A（n）的特征向量中心性在A（n）下具有较大的图像，因此必须接近A（n）的特征向量中心性。允许 > 0、回顾我们定义的 = maxiPnj=1'A（n）ij是节点的最大预期度数。我们有时会在证明的其余部分删除参数n，因此，例如A（n）将被称为A。我们在这里直接提出的特征向量微扰理论参数的另一种方法是求助于Davis-Kahan定理（如Avella-Medina、Parise、Schaub和Segarra（2017））根据Chung和Radcliffe（2011）定理1的证明，概率至少为1-|λ- λ| ≤p4页 对数（2n/). （2） 事实上，根据所引用定理的证明，概率至少为1- 灵魂-(R)Ak≤p4页 对数（2n/). （3） 注意，引用的定理使用了我们的假设，即A是对称的。我们将证明，当这些不等式成立时，kv（A（n））- v（(R)A（n））k<.因为序列有足够大的特征值，p4 对数（2n/) ≤ 对于某些序列f（n），f（n）λ（4）→ 所以我们有k’Av（A）k≥ kAv（A）k- 灵魂-由三角形不等式得出的Akkv（A）k≥ λ- f（n）λ通过方程3和4=λ- (λ- λ) - f（n）λ≥ λ(1 - 2f（n））通过方程式2。另一方面，我们可以写出v（A）=αv（\'A）+αw，其中w是与v（\'A）正交的单位向量，α+α=1（其中系数α和α随n变化）。因为v（\'A）的正交补码是\'A的其他特征向量的跨度，所以我们有k\'Awk≤ λ.由于序列具有非消失的谱隙，因此存在δ>0，使得|λ|<（1- δ)λ. Sok？Av（A）k≤q（αλ）+（αλ）≤ λqα+（1- δ)α.结合k'Av（A）k的上下界，我们得出以下结论：qα+（1- δ)α≥ (1 - 2f（n））。因为f（n）→ 0和α+α=1，这意味着α→ 0作为n→ 所以取nsu足够大，我们得出结论kV（A（n））- v（(R)A（n））k<概率至少为1-.定理2的证明。

证明的概要如下：我们在定理1的证明中证明了矩阵范数kA（n）-\'A（n）kis较小，概率较高。然后将c（A（n），φ（n））展开为邻接矩阵的幂和。使用绑定onkA（n）-我们证明了这些幂在矩阵范数中也很接近。我们有c（(R)A（n），φ（n））=∞Xk=0φ（n）k'A（n）kn，以及A（n）的类似公式。因为lim supnφ（n）λ（n）<1，所以存在K和n，使得∞Xk=Kφ（n）K'A（n）K≤∞Xk=K（φ（n）λ（n））K<无论何时n≥ N、 增加N和减少 如有必要，我们可以（通过定理1证明中的等式3和4）假设kφ（n）（(R)A（n）- A（n））k</（K） ，则，∞Xk=Kφ（n）K'A（n）K<  和∞Xk=Kφ（n）kA（n）K< 概率至少为1- 无论何时n≥ N、 我们对这一事件提出了条件。我们取N足够大，使得kφ（N）’A（N）k<1，并且（取 如有必要，则较小）它遵循kφ（n）（\'A（n）上的界限-A（n））k，kφ（n）A（n）k≤ 1、去掉参数n，kφk+1Ak+1- φk+1'Ak+1k=kφ（A-\'A）（φkAk）+φ\'A（φkAk- φk'Ak）k≤ kφ（A-\'A）kkφkAkk+kφ\'AkkφkAk- φk'Akk，其中第二条线由三角形不等式和矩阵范数的次乘法表示。因此，左侧最多增加/k每增加一次k。因此，通过k上的归纳，左侧小于/K表示所有K<K.Thenkc（A（n），φ（n））- c（(R)A（n），φ（n））k≤∞Xk=0φ（n）kkA（n）k-(R)A（n）kkk1nk=K-1Xk=0φ（n）kkA（n）k-\'\'A（n）kkk1nk+∞Xk=Kφ（n）kkA（n）K-(R)A（n）kkk1nk。第一学期少于k1nk，因为每个总和小于/K、 第二项小于2k1nk的边界P∞k=kφ（n）k'A（n）k和P∞k=kφ（n）kA（n）k. 因此，卡茨-博纳西奇中心度的差异小于3k1nk=3√n、 引理2。假设A（n）是由随机块模型（具有m组和固定的正链接概率）生成的随机网络序列，具有非消失的谱隙。允许 > 0

对于n个足够大的，概率至少为1-  我们有vi（A（n））vi（\'A（n））∈ [1 - , 1 + ] andci（A（n））ci（\'A（n））∈ [1 - , 1 + ]对于所有i.Proof。我们首先考虑特征向量中心性。因为链接概率不依赖于矩阵的大小、特征值λ和最大期望度 是O（n），所以序列有足够大的特征值。根据定理1，kv（A（n））- v（(R)A（n））k<概率为1- /每n个足够大的2个。通过范数k·k和k·k之比的标准界，我们得到了kv（a（n））- v（(R)A（n））k<√n、 对于每个i，vi（A（n））=λ-1Xj∈Nivj（A（n））和vi（(R)A（n））=λ-1Xj'A（n）ijvj（'A（n））。在kv（A（n））上应用界限- v（(R)A（n））k，| vi（A（n））- λ-1Xj∈Nivj（(R)A（n））|=|λ-1Xj∈Nivj（A（n））- λ-1Xj∈Nivj（(R)A（n））|<λ-1.√n、 现在，我们将使用切比雪夫定理来统一地将i中每个群的连接数限制在一起∈Ni，群kA（n）给定群k中与i相邻的ijofagents在 k’A（n）ij组中的预期值pj。根据切比雪夫定理，埃克瓦尼数的补码以指数速率的概率。

因此，对于n足够大，我们可以假设Eikholdsf对于所有i和k的概率至少为1- /2、当事件发生时，我们有| Xj∈Nivj（(R)A（n））-Xj'Aijvj（'A（n））|<C√对于某些常量C≥√n maxj'Aijvj（'A（n）），与n无关。因此，对于n大，概率至少为1- , 我们有| vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|<λ-1(√n+C√n） 将其与|λ上的界相结合- λ|根据定理1的证明，我们有| vi（A（n））- 六、（A（n））|≤ |vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|+|λ-1Xj'Aijvj（'A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|=| vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|+|λ- λ| · λ-1· |λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|=λ-1(√n+C√n） +六、（A（n））。因为λ-当vi（(R)a（n））为O（n）时，1以线性速率移动-1/2），所需界限如下。Katz-Bonacich中心性的证明遵循相同的论点，直至标准化的差异。我们现在使用表达式sci（A（n），φ（n））=1+φ（n）Xj∈Nicj（A（n），φ（n））0.2 0.4 0.6 0.8 1人口份额00.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富份额图4:ps=。5，pd=。05，s=。蓝色75，ps=。4，pd=。1，s=。75英寸红色。红色分布Lorenz支配蓝色分布。定义2中的andci（\'A（n），φ（n））=1+φ（n）Xj\'A（n）ijcj（\'A（n），φ（n）），而不是特征向量中心性的递归表达式。命题1的证明。引理2告诉我们，对于人口规模为Ni的命题陈述中生成的随机矩阵序列，每个矩阵a的第一个特征向量的每个条目都接近于概率接近1的第一个特征向量的对应条目。我们第一次展示（i）。通过定义，特征向量中心度满足yvi（(R)A（n））=λ-1（sln（ps- pd）vi（\'A（n））+pdnXj=1vj（\'A（n）），其中Sli是包含i的组的大小。

对于尺寸为sl的组中的任何iin，我们有vi（\'a（n））vi（\'a（n））=1- λ-1sln（ps- pd）1- λ-1sln（ps- pd）。因此聚苯乙烯六（\'A（n））六（\'A（n））= -pd公司六（\'A（n））六（\'A（n））=λ-1（sl- sl）n（1- λ-1sln（ps- pd））。当且仅当sl>sl时，右侧为正。现在，我们可以订购代理1，n，使其组大小不断增大。对于任何i>i，增加pS和减少pD都将增加vi（\'A（n））vi（\'A（n））。因此，此更改将减少pki=1vi（\'A（n）），Pni=1vi（\'A（n））=nXi=1Pki=1vi（\'A（n））vi（\'A（n））-1.每个1≤ 这证明了洛伦兹优势结果。为了证明（ii），我们计算了当2×2矩阵的第一个特征向量有两组时的特征向量中心性单核苷酸多态性（1- s） NpdsNpd（1- s） Nps,它用一个代表性代理替换每个组。的第一个特征向量单核苷酸多态性（1- s） NpdsNpd（1- s） Nps等于(1-2s）ps+√(1-2s）ps+4s（1-s） pd（2-2s）pd,直到重新缩放。因此，A的第一个特征向量的第一个sN条目等于1，最后（1- s） N入口等于（1- 2s）ps+p（1- 2s）ps+4s（1- s） pd（2- 2s）pd，直至重新缩放。LetT（s）=序号+（1- 2s）ps+p（1- 2s）ps+4s（1- s） pd2pd·Nbe第一个特征向量的条目总数。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1人口份额00.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富份额图5:100个代理人和参数值ps=。5，pd=。05，s=。75, φ = .02为蓝色，ps=。4，pd=。1，s=。75,φ = .02红色。红色分布Lorenz支配蓝色分布。区别这表明Tsis非负当且仅当ifs≤+pdp2pd+2PPD。我们得出结论，对应于（s，ps，pd）Lorenz的第一个特征向量支配着对应于（s，ps，pd）ifs的第一个特征向量≤+pdp2pd+2PPD和s≤ s、 命题2的证明。

该证明遵循与命题1相同的论证。定义2现在给定SCi（\'A，φ）ci（\'A，φ）=1- sl（ps- pd）φn1- sl（ps- pd）φn。因此，我们计算弹性聚苯乙烯ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）= -pd公司ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）=（sl- sl）（ps- pd）φn（1- sl（ps- pd）φn）。正如特征向量中心性一样，这与sl具有相同的符号- sl.屋顶的其余部分相同。命题3的证明。我们想证明这一点psci（(R)A，φ）>当i在一个比i大的群中时，psci（(R)A，φ）。通过引理3，我们得到psci（(R)A，φ）=ps∞Xk=0φkXγk在if（γk）k下开始-1Yj=0pijij+1，其中内和是从代理i开始的长度为k的行走，f（γk）是从一个群到自身的γk的边数。我们声称xγk开始于if（γk）k-1Yj=0pijij+1>Xγk在if（γk）k下开始-1Yj=0pijij+1对于每个k。对于长度为1的行走，请注意，从i到另一组中的某个代理的行走次数与i的组无关，并且每个行走的f（γ）=0。从i到同一组中的一个代理的行走次数随着i的组的大小而增加，每个行走f（γ）=1。因此，我们可以从从从at开始的一组长度1行走到从i开始的一组长度1行走中选择一个注入φ，保持f（γ）和边权重，并将每个行走γ发送到行走φ（γ），这样φ（γ）结束的组至少与γ结束的组一样大。给定一个映射φk-1满足这些性质，我们可以构造满足相同性质的φk。我们将γkto发送到使用φk定义的行走-1如前一段所述，确定前k个代理，然后确定最后一个代理。这证明了这一说法。推论1的证明。根据命题3，ci（(R)A（n），φ（n））- ci（\'A（n），φ（n））>cj（\'A（n），φ（n））- cj（(R)A（n），φ（n））表示所有n。

我们必须检查定理2是否适用。序列有足够大的特征值，因为λ（n）是O（n），并且 在n中是线性的。A（n）的非零特征值与矩阵的特征值成比例spsspd。SPDSSPS。spd。。。。。。。。。。。。smpdsmpd。开关电源,其中s，s。。。，smare每个组的人口份额。根据Perron-Frobenius理论，该矩阵的第一和第二特征值是不同的，因此序列具有非消失谱间隙。选择 足够小以至于Ci（(R)A（n），φ（n））- ci（(R)A（n），φ（n））- 2. > cj（(R)A（n），φ（n））- cj（(R)A（n），φ（n））+2.概率接近1为n→ ∞,ci（(R)A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））<对于其他三个中心性项也是如此。所以期望的不等式成立，概率接近1为n→ ∞.命题4的证明。（i） 设di（(R)A）表示试剂i的度数。单位为φ→ 0，KatzBonacich centralityci（\'A，φ）=1+φdi（\'A）+O（φ）等于φ的度中心度的正A ffne变换，加上φ的阶项。随着Pd的增加pddi（(R)A）等于代理总数nmin，即代理i组的大小。特别是，该衍生产品在集团规模上正在减少。（ii）假设i的群大于j的群。通过引理3，试剂i的Katz-Bonacich中心度的导数为pdci（(R)A，φ）=pd∞Xk=0φkXγk在if（γk）k下开始-1Yl=0pilil+1（5），其中总和超过从代理i开始的长度k的行走γ，指数i，i。。。，i是行走经过的组，f（γk）是γk开关组的次数。考虑马尔可夫链，其中状态对应于我们网络中的组，状态到状态的转移概率由pss/Pms=1pss决定。

给定初始状态时，马尔可夫链在时间k处处于状态s的概率等于在s处长度kends的初始状态对应的组中开始的随机游动的概率，其中每个游动的选择概率与qk成比例-1l=0桩+1。马尔可夫链收敛于平稳分布。因此为k→ ∞, 对于一些与初始状态无关的常数c，当k接近ck时，马尔可夫链切换状态的预期次数。因此，随着k的增大，Xγk:i在if（γk）k组中-1Yl=0桩+1→ cXγk:i在ik组-1Yl=0桩+1。因为i的群比j的群大，所以Pγk:i在iQk群中-1l=0菌毛+1Pγk:j在iQk组-1l=0 PILIL+1的下限为一个大于1的常数。当φ接近λ时-1，方程式5右侧的比率发散至∞.此外，我们在上一段中表明，在if（γk）Qk组中pγk:i-if（γk）Qk组中1l=0pilil+1Pγk:j-1l=0pilil+1对于所有k值（但不是很多k值）的下限为一个大于1的常数。这意味着对于所有k值（但不是很多k值），方程5中对应于长度k路径的项至少是该常数乘以起始剂i被j替换时的相同项。因此，对k求和，我们可以得出结论pdci（(R)A，φ）>φ足够大的pdcj（(R)A，φ）。推论2的证明。通过命题4，存在φ，使得ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- 当0<φ<φ且i的群大于j的群时，cj（A（n），φ（n））。A（n）的Katz-Bonacich中心度是矩阵KatzBonacich中心度的正A ffne变换spsspd。SPDSSPS。spd。。。。。。。。。。。。smpdsmpd。开关电源,其中SIA为各群体的人口份额。这是因为除了与长度为零的行走相对应的常数项外，中心度是成比例的。

相同的语句适用于具有相同重缩放的“A（n）”。结果是，比较中心性的不等式不依赖于n的选择。因此，对于φ（n）/λ（n）<φ/λ（n）的任何n，我们有ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- cj（A（n），φ（n））。第（i）部分证明的其余部分与推论1的证明一样进行，而逻辑论证显示了第（ii）部分。命题5的证明。假设我们有三组大小相等的K=n/3，使得p=1，p=p=δ，所有其他链路概率为0。我们将表明，对于φsu ficient large和δsu ficient small，pc（(R)A，φ）>pcn/3+1（(R)A，φ）。请注意，代理1位于组1中，而代理n/3+1位于组2中。要检查此身份，请注意（I- φP）-1.≈1.-φKφKδ1-φKφKδ1-φK1 00 0 1,其中，P是3×3矩阵，其条目Pij=kpij等于从组i中的agiven代理到组j中的任何代理的链接数。近似值为删除顺序δ项。条目（I- φA）-1等于条目（I）的大小- φP）-1对应于k和l的群。使用引理4，我们计算pc（(R)A，φ）≈φKδ1- φKandpcn/3+1（(R)A，φ）≈ φK.固定δ足够小，取φ→ 1/K（保持φ可行），我们发现对于φ足够大的所有表达式，第一个表达式都大于第二个表达式。推论3的证明。根据命题5，我们可以选择“A”和“A”，其中“A”和“A”中的每一个都使“A”中的pijis更大，并且其他链接概率一致，组i、j和k以及常数φ<λ使得ck（\'A，φ）- ck（\'A，φ）>ci（\'A，φ）- 每当φ<φ<λ时，ci（(R)A，φ）。通过让所有相对组大小和链接形成概率分别与“A”和“A”中的相同，定义随机块网络的序列。

设φ（n）=每个n的nnφ。然后在推论2的证明中进行论证，我们发现ck（\'A（n），φ（n））- ck（\'A（n），φ（n））>ci（\'A（n），φ（n））- ci（(R)A（n），φ（n））。证明结论与推论1的证明结论相同。权利要求1的证明。通过等式（1），我们必须检查（mini，j’A（n）ij）XiXj’A（n）ij≥  对数n，其中n=（k+1）。我们首先注意到 = maxiXj？A（n）ij≤ 4 miniXj’A（n）ij。这是因为最大值是在栅格中心的节点处获得的，而最小值是在角节点处获得的。将网格垂直和水平划分为四个象限，从角节点到最近象限的预期链接数等于从中心节点到任何象限的预期链接数。自mini以来，j’A（n）ij≥ (√2k）-ρ、 我们得出结论，Mini，j’A（n）ijXiXj’A（n）ij≥ (√2k）-ρ· (4n） 。右侧的增长速度比 引理1的证明。例如，参见Laub（2005）的定理13.12。命题6的证明。根据定理1，我们有kv（A（i）（ni））- v（(R)A（i）（ni））k</2对于nisu足够大且i=1，2。通过三角形不等式kV（(R)A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））kis小于或等于tokv（(R)A（1）（n）） v（A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k+kv（(R)A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（(R)A（1）（n）） v（A（2）（n））k。因为v被归一化为欧几里德范数1，这两项中的每一项都小于/2、因为λ， 和log（n）在Kronecker积中都是乘法的，\'A（nn）具有不消失的光谱间隙和足够大的特征值。根据定理1，kv（A（nn））- v（(R)A（nn））k<对于非常大的。所以我们有kV（A（nn））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k≤ kv（(R)A（nn））- v（(R)A（1）（n）） v（\'A（2）（n））k+kv（\'A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k+kv（(R)A（nn））- v（A（nn））k。引理1的第一项为零。

第二学期和第三学期最多各一学期 通过后退的段落。B扩展B。1加权边缘在本小节中，我们放宽了以下假设：∈ {0，1}允许非整数边权重Aij≥ 中心度指标v（A）和c（A）与之前一样定义。假设对于每对组i和j，组i和组j中的代理之间的边权重是某个区间上的独立均匀随机变量[lij（n），uij（n）]。然后，定理1和定理2与之前一样成立，即“A（n）=E[A（n）]。证据首先注意，我们可以通过i.i.d.Bernoulli随机变量与正系数的线性组合，在一些非负区间[l，u]上近似均匀随机变量。我们讨论了l=0和u=1的情况，并且参数很容易扩展。考虑系数为2的加权和-k对于k=1。。。，i.i.d.伯努利随机变量的m等于1，概率为。作为m→ ∞, 这个和在概率上收敛于[0，1]上的均匀随机变量。在Chung和Radcliffe（2011）定理1的证明中，作者将A表示为独立随机矩阵Xij的asum，其中Xijis是伯努利随机变量的乘积，其等于1，概率为Pijan，矩阵的条目（i，j）和（j，i）等于1，所有其他条目为零。相反，我们将A表示为独立变量xij的和，k对应于上一段中的和中的项。因为所有相关量都是连续的，并且我们之前的参数不依赖于随机变量的数量，所以当我们取m足够大时，我们的证明仍会继续进行。B、 2聚类当边具有附录B.1中所示的非整数权重时，可以直接在网络中允许聚类。我们提出了我们模型的一个变体，其中当两个代理都连接到其他代理k时，i和j之间的权重可能更高。

这种趋势是由除了成对连接之外，还允许形成三角形而产生的。如前所述，对于组i中的每一对代理k和组j中的每一对代理l，我们绘制一个独立的伯努利随机变量，该随机变量等于一个概率为pij的随机变量。此外，对于试剂k、k和k群i、i和i的每一个三元组，我们都会绘制一个独立的伯努利随机变量，该随机变量等于一个概率为piii的随机变量。输入Aijis等于对i、j和所有三元组（包括i和j）上的这些随机变量之和。因此，如果i和j之间没有形成直接联系，Aijis等于形成的包含i和j的三元组的数量。如果i和j之间确实存在直接联系，那么Aijis等于toone加上包含形成i和j的三联体的数量。那么，定理1和定理2仍然成立，即“A（n）=E[A（n）]。该证明是对B.1节中证明的直接修改。或者，我们可以允许每个链接和每个三元组上的权重是均匀的随机变量。假设对于组i中的每一对代理k和组j中的每一对代理l，我们在[lij（n），uij（n）]上绘制一个uniformrandom变量。此外，对于每三组试剂k、k、k、k、i和i，我们在[liii（n）、uiii（n）]上绘制一个统一的随机变量。如果条目aijis再次等于对i、j和包括i和j在内的所有三元组上的这些随机变量之和，则定理1和2继续成立。最后，上面的讨论只包括直接链接和三角形。结果同样扩展到允许其他子图，例如具有三个以上代理的派系。C Katz-Bonacich中心度的比较静力学我们给出了随机块体模型中Katz-Bonacich中心度导数的两个公式。我们的第一个公式将cl（A，φ）的导数表示为从代理l开始的行走次数的加权计数。

让γkdenote走k长的路，让i，i。。。，我是行走经过的组，让f（γk）是组i和i之间γkpasses的次数。引理3。试剂l的Katz-Bonacich中心度的导数为piicl（A，φ）=pii∞Xk=0φkXγk在lf（γk）k处开始-1Yj=0pijij+1。这等于每次步行的次数，每次步行的次数由步行形成的概率乘以步行在i组和i组之间通过的次数得出，每次步行的次数由步行长度进行折现。引理3的证明。我们有Cl（A，φ）=∞Xk=0φkXγk在lk处开始-1Yj=0pijij+1！。通过计算导数得出结果。我们的第二个公式用链接概率pij显式表示ck（A，φ）的导数。用sin表示每组i中的代理数。设P为m×m矩阵，其条目Pij=sjnpij，P可以被认为是网络的邻接矩阵，其中每个组都被一个代表性代理所取代。引理4。群l中试剂k的Katz-Bonacich中心度的导数pijck（A，φ）=φnmXl=1sj（I- φP）-1li（I- φP）-1jl+si（I- φP）-1lj（I- φP）-1il！。引理4的证明。我们有pijck（A，φ）=∞Xt=0（φtAt1）kpij公司=∞Xt=0∞Xt=0（（φA）t（φA）pij（φA）t1）k.对于任何l和l，（I- φP）llis等于从l组中的某个固定代理开始，到l组中的任何代理结束的折扣步行次数。另一方面，P的入口∞t=0（φA）t对应于从l组某个固定代理开始到l组某个固定代理结束的折扣步行次数。衍生工具（φA）当一个索引对应于组i中的一个代理，另一个对应于组j中的管理，且所有其他条目为零时，组i和j之间的链接概率变化为φ。所以我们计算出上面的二次求和等于φnmXl=1sj（I- φP）-1li（I- φP）-1jl+si（I- φP）-1lj（I- φP）-1il！，根据需要。

这两个术语对应于穿过从i组到j组的边的步行和沿相反方向通过的步行。参考SAVELLA Medina、M.、F.Parise、M.T.Schaub和S.Segarra（2017）：“graphons的Centralitymeasures”，arXiv预印本arXiv:1707.09350。Ballester，C.、A.Calv\'o Armengol和Y.Zenou（2006）：“网络中的名人录。通缉：关键人物”，《计量经济学》，第741403-1417页。Bloch，F.、M.Jackson和P.Tebaldi（2017）：“网络中的中心性度量”，工作文件。Bonacich，P.（1987）：“权力与中心：一系列衡量标准”，《美国社会学杂志》，921170-1182。Bramoull\'e，Y.、R.Kranton和M.D\'amours（2014）：“战略互动与网络”，《美国经济评论》，104898-930。Breza，E.、A.G.Chandrasekhar、T.H.McCormick和M.Pan（2017）：“使用聚合关系数据来可行地识别没有网络数据的网络结构”，工作文件。Calv\'o-Armengol，A.和M.Jackson（2004）：“社交网络对就业和不平等的影响”，《美国经济评论》，94426-454（2007）：“劳动力市场网络：工资和就业动态与不平等”，《经济理论杂志》，132，27–46。Calv\'o-Armengol，A.、E.Patacchini和Y.Zenou（2009）：“教育中的同伴效应和社会网络”，《经济研究评论》，第761239-1267页。Chaney，T.（2014）：“国际贸易的网络结构”，《美国经济评论》，1043600–3634。Chung，F.和M.Radcliffe（2011）：“关于一般随机图的谱”，组合学电子杂志，18，P215。Conlisk，J.（1985）：“马尔可夫链的比较静力学”，《经济动力学与控制杂志》，9139-151。DeMarzo，P.M.、D.Vayanos和J.Zwiebel（2003）：“说服偏见、社会影响和一维观点”，《经济学季刊》，第118909–968页。Dequiedt，V.和Y。

Zenou（2017）：“网络中的局部和一致中心性度量”，数学社会科学。Echenique，F.和R.G.Fryer（2007）：“基于社会互动的隔离措施”，《经济学季刊》，122441-485。Echenique，F.、R.G.Fryer和A.Kaufman（2006）：“学校隔离是好还是坏？”《美国经济评论》，96265-269。Golub，B.和M.Jackson（2010）：“社交网络中的天真学习和群体智慧”，《美国经济杂志：微观经济学》，2112-149（2012）：“嗜同性如何影响学习速度和最佳反应动力学”，《经济学季刊》，1271287-1338。Goyal，S.和F.Vega Redondo（2007）：“社会网络中的结构性漏洞”，《经济理论杂志》，137，460–492。Hahn，Y.、A.Islam、E.Patacchini和Y.Zenou（2015）：“团队、组织和教育成果：来自孟加拉国现场实验的证据”，工作文件。Hartfiel，D.和C.D.Meyer（1998）：“关于特征值接近1的随机矩阵的结构”，《线性代数及其应用》，272193–203。Hoff，P.D.、A.E.Raftery和M.S.Handcock（2002）：“社会网络分析的潜在空间方法”，《美国统计协会杂志》，971090-1098。Hojman，D.和A.Szeidl（2008）：“网络中的核心和外围”，《经济理论杂志》，139295-309。Karrer，B.和M.Newman（2011）：“网络中的随机区块模型和社区结构”，物理评论E，83，016107。Katz，L.（1953）：“一个来自社会计量分析的新地位指数”，心理计量学，18，39–43。Kets，W.、G.Iyengar、R.Sethi和S.Bowles（2011）：“不平等与网络结构”，《游戏与经济行为》，73215–226。K¨onig，M.、X.Liu和Y.Zenou（2018）：“研发网络：理论、实证和政策含义”，《经济学和统计学评论》。Laub，A.J。

（2005）：科学家和工程师矩阵分析，暹罗。Leung，M.P.（2015）：“不完全信息网络形成模型的两步估计”，《计量经济学杂志》，188182–195。Lev，V.F.（2014）：“小Perron-Frobenius特征值是否意味着积分矩阵的小条目？”MathOver Flow，uRL：https://mathover流量。net/q/165628（版本：2017-0413）。Magnus，J.R.（1985）：“关于区分特征值和特征向量”，计量经济学理论，1179–191。McPherson，M.、L.Smith Lovin和J.M.Cook（2001）：“羽毛之鸟：社交网络中的嗜同性”，《社会学年鉴》，27415-444。Parise，F.和A.Ozdaglar（2018）：“Graphon games”，arXiv预印本XIV:1802.00080。Vives，X.（2010）：《市场中的信息与学习：市场微观结构的影响》，普林斯顿大学出版社（2017）：“市场博弈中的内生公共信息与福利”，《经济研究评论》，84935–963。