对于每T>0和任何平滑函数f∈ C∞（O） ，我们有Limm→∞supM公司∈NPsup0≤t型≤T |νMt（f）|≥ m级= 0.证明。从（4.8）中，我们有以下分解νMt（f）=νM（f）+AMt+BMt+CMt+DMt，（1.23），其中我们定义了AMt：=MZtMXi=1aixf（Xis）（νMs（I）- Xis）ds，（1.24）BMt：=2MZtMXi=1（σi）xxf（Xis）ds，CMt：=MZtMXi=1σixf（Xis）dWis,DMt：=Zt“MMXi=1（f（Xis+ci）- f（Xis-))#dNis。那么我们需要绑定Esup0≤t型≤吨（·）公吨|对于上述各条款。表示f∈ C∞（O） 带| | f | |=sup（p，x）的SUPREUM范数∈O | f（p，x）|。我们将使用假设3.4中的主导常数Cp。对于AMt、BMt、CMTT，估计值与Bo和Capponi相似【4】，我们在此省略细节，只给出估计值sup0≤t型≤T |金额|≤ 内容提供商fx个ZTMMXi=1E|Xis公司|ds+Cpfx个,Esup0≤t型≤T | BMt|≤内容提供商fx个T、 E类sup0≤t型≤T | CMt|≤ CTCpfx个（T+1）。然后，我们通过中值定理，利用命题2.3，这意味着恒常λ的存在，使得E[λit]<CλthatEsup0≤t型≤T | DMt|≤MXi=1E“ZTM | f（Xis+ci）- f（Xis-)|dNis公司#≤fx个MMXi=1ciZTE[λis]ds≤fx个CpCλT。使用引理A.1，我们可以找到一个正常数C，这样SUPM∈氖sup0≤t型≤TνMt（f）< C、 定义Et[·]：=E[·|英尺]。引理A.3。设h（x，y）=x-y型|∧任意x、y为1∈ E、 然后存在一个正随机变量HM（γ）和limγ→0supM∈NE【HM（γ）】=0，因此对于所有0≤ t型≤ T，0≤ u≤ γ和0≤ v≤ γ ∧ 1、我们有h（νMt+u（f），νMt（f））h（νMt（f），νMt-v（f）≤ Et【HM（γ）】，其中函数f∈ C∞（O） 。证据我们从（1.23）（νMt+u- νMt）（f）=金额+u- AMt+BMt+u- BMt+CMt+u- CMt+MMt+u- MMt+PMt+u- Pt，其中AMt、BMt、CMTAR定义在（1.24）中，MMT：=Zt“MMXi=1（f（Xis+ci））- f（Xis-))#dNis，PMt：=Zt“MMXi=1（f（Xis+ci）- f（Xis-))#λisds，其中我们使用了补偿计数过程Nit：=Nit的事实-Rtλisds是Ft局部鞅。

我们有νMt+u（f），νMt（f）≤16金额+单位- 金额+BMt+u- BMt公司+CMt+u- CMt公司+MMt+u- MMt公司+PMt+u- PMt公司.让0≤ u≤ γ. 关于前三个差异的界限，我们参考Bo和Capponi[4]中的引理3.5。对于第四个差异，使用鞅性质和二次变化为【~Nt，~Nt】=Nt的鞅（MMt）的It^o等距、中值定理、假设3.4和命题2.3以及Giesecke et al.【17】中的界（6.1），我们得出MMt+u- MMt公司i=EthMMt+u-MMt公司i=MXi=1EtZt+utMf（Xis+ci）- f（Xis-)dNis公司=MXi=1EtZt+utMf（Xis+ci）- f（Xis-)λisds≤ 内容提供商fx个MMXi=1EtZt+utλisdt≤ 内容提供商fx个γMMXi=1E“1+ZT（λis）dt#。根据中值定理和假设3.4，我们发现PMt+u- PMt公司=MXi=1Zt+utM（f（Xis+ci）- f（Xis-))λisds≤ 内容提供商fx个MMXi=1Zt+ut |λ为| ds≤ 内容提供商fx个γMMXi=11+ZT（λis）dt！。然后使用引理A.1和命题2.3，我们可以完成证明。然后，如果极限点νtholds的唯一性（参见文献[4]中引理C.1的证明），我们可以得出序列νmt弱收敛于极限点ν的结论，从而得出弱收敛成立的结论。参考文献[1]Yacine Ait-Sahalia、Julio Cacho Diaz和Roger Laeven。使用相互激励跳跃过程建模金融传染。《金融经济学杂志》，117:585–6062015。[2] Emmanuel Bacry和Jean-Fran,cois Muzy。Hawkes过程的一阶和二阶统计特征及非参数估计。IEEE信息论学报，62（4）：2184–22022016。[3] Emmanuel Bacry、Iacopo Mastromatteo和Jean-Fran,cois Muzy。Hawkes流程融资。《市场微观结构与流动性》，1（01），2015年。[4] 李俊波和阿戈斯蒂诺·卡波尼。银行间网络的系统性风险。暹罗金融数学杂志，6（1）：386-4242015。[5] Pierre Br\'emaud和Laurent Massouli\'e.非线性Hawkes过程的稳定性。

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