银行间同业拆借平均场模型中的系统性风险

2022-6-1 11:18:46

具有自激励冲击的银行同业拆借平均场模型中的系统性风险*Andrea Pascucci+Stefano La Rovere2018年6月11日摘要在本文中，我们考虑货币储备相互作用差异的平均场模型，其中储备受到自激励和交叉激励冲击。这是由市场上观察到的财务加速和零售销售推动的。我们使用弱收敛分析推导了平均场极限，并发现了与大型银行间系统相关的显式测度值过程。我们确定了系统性风险指标，并利用极限过程推导出了几个大数定律的结果，并对这些结果进行了数值验证。我们的结论是，自激冲击会增加网络中的系统性风险，它们在银行间网络中的存在不容忽视。关键词：系统性风险、霍克斯过程、相互作用的跳跃差异、银行间贷款、弱收敛1简介一个重要的金融问题是了解具有相互作用实体的金融系统中的风险。以前的许多研究都关注通过银行间贷款协议的传染，但传染可能通过多种其他渠道发生，例如，可能导致零售的关联资产负债表（参见Capponi andLarsson[7]和Chen等人[9]）以及所谓的金融加速。在Cont等人[10]中，作者认为，不应忽视相关市场事件和违约传染的复合影响，因为这会使网络更容易受到违约级联的影响。

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能者818

2022-6-1 11:18:48

在上述研究的推动下，我们选择通过纳入霍克斯（Hawkes）[21]中介绍的自我激励和交叉激励霍克斯过程，对自我激励的零售销售以及财务加速的影响进行建模，在《银行货币储备动态》（Dynamics for the monetary reserve of the bank）中，并将其与通过银行贷款协议进行的违约传播相结合，以研究网络的稳健性。可以使用所谓的平均场模型对金融网络进行建模。在这里，银行间借贷活动的矩阵是外部指定的，银行货币储备的动态取决于随机特殊事件和互动项，通过经验*意大利博洛尼亚博洛尼亚大学Matematica分校。电子邮件：anastasia。borovykh2@unibo.it+意大利博洛尼亚博洛尼亚大学Matematica分校。电子邮件：andrea。pascucci@unibo.it意大利博洛尼亚NIER Ingegneria。电子邮件：s。larovere@niering.itdistribution获取与系统中其他节点的交互类型。研究这些相互作用系统的一种方法是研究当节点数量接近时系统的行为（即混沌传播）。在Bo和Capponi[4]中，作者考虑了货币储备过程的相互作用模型，其中漂移项表示银行间短期贷款，货币储备还受银行业指标的影响，该指标驱动传统的现金流入/流出。通过详细的弱收敛分析，他们得出结论，基本极限状态过程具有纯粹的差异动力学，银行部门跳跃过程的贡献仅反映在漂移中。

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2022-6-1 11:18:51

在Nadtochiy和Shkolnikov【23】中，作者使用了平均场方法，通过命中次数相互作用来估计系统故障。在投资组合环境中，也研究了系统的大极限行为。通过Giesecke等人的weakconverence分析【17】研究大型投资组合中违约强度的行为，在这种情况下，通过暴露于系统风险因素和传染项，违约强度会受到其他聚集来源的影响。在系统风险在大投资组合极限下消失的假设下，证明了大数定律（LLN）的结果。在Giesecke等人[18]中，作者在没有消失假设的情况下，扩展了系统风险因素一般扩散动力学的先前结果，得出了该密度在极限范围内的随机PDE，而不是PDE。在Spiliopoulos等人【28】中，LLN结果通过在类似环境下证明中心极限定理（CLT）进行了扩展，从而量化了围绕其大型投资组合极限的经验度量（以及违约损失）的影响。Bushet al.[6]表明，在相关差异之后，资产的大型投资组合限额接近密度满足SPDE的度量，而在Hambly和Kolliopoulos[20]中，资产价格的波动率模型也证明了类似的结果。最后，Sirignano和Giesecke【26】以及Sirignano等人【27】使用平均场和大型投资组合近似方法来分析大型贷款池。本文的目的是研究在银行的货币储备过程中，同时考虑自身和交叉激励冲击以及银行间借贷时，网络中的系统性风险。

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2022-6-1 11:18:54

这种兴奋来自于银行本身及其邻国过去资产价值的变动对当前资产价值变动的影响。这些影响是使用aHawkes过程建模的。自激过程以前曾用于自上而下的投资组合信用风险计算，见Ait-Sahalia等人【1】、Errais等人【15】和Cvitani'c等人【12】。在这项工作中，我们通过平均场相互作用差异和额外的霍克斯分布跳跃项来模拟银行的货币储备过程。我们通过推导这个相互作用系统的经验测度的弱极限来研究当节点数接近完整时系统的行为。特别是，我们的收敛结果是基于Delattre等人[14]的分析，其中作者表明，在完全连通网络的极限下，霍克斯过程的强度往往表现为非齐次泊松过程的强度。我们表明，节点货币储备的潜在极限过程具有纯粹的差异动力学，霍克斯过程的影响反映在与时间相关的裂谷系数中。然后，我们定义了几个风险指标，并使用弱收敛分析推导出大数近似定律，以明确显示霍克斯过程对大型银行间网络风险的影响。在数值部分，我们将LLN近似值与通过蒙特卡罗方法模拟的实际值进行比较，并得出结论，在银行间网络模型中，当我们考虑自激励和交叉激励冲击时，违约风险确实更高。本文其余部分的结构如下：在第2节中，我们定义了霍克斯过程，并给出了将其纳入银行间网络的动机。

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2022-6-1 11:18:57

在第3节中，我们介绍了对数货币储备过程的平均场模型，并通过模拟研究了加入自激励跳跃强度的影响，特别是将其与独立泊松强度进行比较。在第4节中，我们推导了货币储备经验平均值的弱收敛性，明确刻画了弱limitmeasure值过程，并为模型的扩展提供了一些结果。最后，在第5节中，我们推导了网络中系统性风险的几种度量，并通过数值验证了衍生限制过程的准确性。2框架2.1金融网络中系统性风险的已知来源是银行间风险（如贷款）导致的违约传播，其中借款节点未能偿还其贷款可能会导致贷款人的流动性损失，从而通过网络传播违约。除了银行间风险敞口之外，违约传播的另一个常见原因是证券销售。如果一家机构决定清算其大部分资产，压低价格，这将导致持有相同资产的机构亏损，从而在机构之间形成一个令人兴奋的螺旋。因此，没有共同对手风险敞口的机构如果在资产负债表上持有共同资产，仍然可以应对财务困境。正如Glasserman和Young[19]所述，这些所谓的零售销售的影响甚至可能大于交易对手风险敞口造成的传染效应。金融网络中存在的一种自激效应称为金融加速，指的是资产负债表资产方面的当前变化取决于资产本身过去的变化。

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2022-6-1 11:19:01

换句话说，影响银行投资组合的冲击可能会导致债权人要求收回资金或收紧信贷条件，从而对银行造成额外冲击。正如Cont等人【10】所述，虽然银行间贷款本身可能不是违约传播的重要原因，但重要的是要考虑到违约蔓延通过清算协议的相关影响以及常见市场事件的风险。在这里，我们选择通过霍克斯计数过程来模拟零售销售、金融加速和银行间借贷结构对违约传播以及网络整体损失的相关影响。影响机构投资组合的冲击取决于机构自身资产以及网络中其他节点资产之前冲击的具体历史，前提是它们共享共同资产。2.2霍克斯过程及时观察到的特定类型的事件并不总是以均匀间隔出现，但可以显示出集群的迹象，例如订单中的交易出现，或金融机构的传染性违约。因此，假设这些事件独立发生并不是一个有效的假设。AHawkes过程（HP）也称为自激过程，其强度函数的当前值与泊松过程不同，受过去事件的影响。特别是，如果到达导致条件强度增加，则该过程称为自激过程，导致到达的时间集群。HawkesProcess可用于建模证券组合中的信用违约事件，正如ine所做的那样。g、 Errais等人【15】或使用相互激励的跳跃成分对资产价格进行建模，以模拟不同市场上金融冲击的持续性（ait-Sahalia等人【1】）。

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2022-6-1 11:19:04

Hawkes过程在金融领域的其他应用概述，尤其是在市场微观结构建模方面，可参见Bacry等人的文章【3】。让(Ohm, F、 F，P）是一个完整的过滤概率空间，其中过滤F=（Ft）t≥0满足通常的条件。霍克斯过程（Hawkes[21]）是一类多变量计数过程（Nt，…，NMt）t≥0以随机强度向量（λt，…，λMt）t为特征≥0表示单位时间内的Ft条件平均跳跃率，其中FTI是由（Ni）1生成的过滤≤我≤Mup到时间t。考虑节点集IM：={1，…，M}。定义核g（t）=（gi，j（t），（i，j）∈ IM×IM）和gi，j（t）：R+→ R和恒定强度u=（ui，i∈ IM）带ui∈ R+。定义2.1（霍克斯过程）。带参数（g，u）的线性霍克斯过程是一系列Ft-adaptedcounting过程（Nit）i∈IM，t≥0以便：1。几乎可以肯定的是，对于所有i 6=j，（Nit）t≥0和（Njt）t≥0切勿同时跳转，2。每一个我∈ IM，补偿器∧itof nit的形式为∧it=Rtλisds，其中强度过程（λit）t≥0由λit=ui+MXj=1Z[0，t[gi，j（t- s） dNjs。（2.1）换言之，gi、jdenotes表示j类事件对i到达的影响：之前的每个事件dnjs都会提高跳跃强度（λit）i∈通过函数gi，j对其邻域进行IMof。补偿跳变过程-Rtλsds是Ft-局部鞅。对于g，是时间t的正函数和递减函数，随着时间的推移，跳跃的影响减小并趋于0。根据Delattre等人[14]中的命题3，可以将霍克斯过程改写为定义2.1意义上的泊松驱动的SDE，即具有Ft泊松测度（πi（ds，dz），i∈ IM）强度测量（ds，dz）：Nit=ZtZ∞{z≤ut+MPj=1R[0，s[gi，j（t-s） dNjs}πi（ds，dz）。（2.2）接下来，根据Delattre et al.【14】：引理2.2（存在性和唯一性）中的定理6，我们陈述了一个适定性结果。

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2022-6-1 11:19:07

设gi，jbe对所有（i，j）局部可积∈ IM×IM；存在路径唯一霍克斯过程（Nit）∈IM，t≥0，这样MPI=1E[单位]<∞ 对于所有t≥ 通过引入对{tk，nk}Ktk=1，其中tkdenotes事件k，nk的时间∈ IMis事件类型，kt=MPi=1Nitis截至时间t的事件到达总数，我们可以将强度改写为λit=ui+KtXk=1gi，nk（t- tk），i∈ 感应电动机。gi，j（t）的常见选择是定义为gi，j（t）=αi，je的指数衰减函数-βit，因此当j中发生冲击时，λit跳跃αi，j，然后向平均水平uiat速度βi衰减。请注意，该函数满足局部可积性，即gi，j∈ Lloc（R+）。如果gi，jis指数，那么这对（Nt，λt）是一个马尔可夫过程[3]。霍克斯过程的模拟可以使用Ogata改进的细化算法来完成，更多详情请参见Ogata【24】和Daley and Vere Jones【13】。如果霍克斯过程（Nit）i∈IM，t≥0在满足某些条件的情况下，我们得到了以下平稳性结果（有关详细信息，请参见Br’emaud和Massouli’e[5]以及Bacry和Muzy[2]），这将在后续章节中有用。提案2.3。假设矩阵Φ具有entriesR∞|gi，j（t）| dt的光谱半径严格小于1。然后存在唯一的多变量霍克斯过程（Nit）t≥0对于i∈ 具有平稳增量的Im和（2.1）中的相关强度是一个平稳过程。此外，我们还有E[|λt |]<∞.此外，我们在此指出，具有平稳增量的多维霍克斯过程由其一阶和二阶统计量唯一定义（Bacry和Muzy[2]）。3平均场模型在本节中，我们定义了模型中每个节点的对数货币储备的平均场模型。

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2022-6-1 11:19:10

节点之间的相互作用通过漂移项确定，此外，我们还考虑到储备过程受到自激励和交叉激励的霍克斯分布冲击。3.1定义Ft=σ（（Wis，Nis），0≤ s≤ t、我∈ N）。假设我∈ i-thbank的对数货币储备满足以下随机微分方程（SDE）dXit=aiMMXk=1（Xkt- Xit）dt+σidWit+cidNit，带Xi∈ R+每家银行的初始准备金，其中ai≥ 0，σi≥ 0和ci：=^ci/M<0是每个i的常数∈ 感应电动机。过程W（t）={Wit}Mi=1是一个M维布朗运动，而Nt={Nit}Mi=1是2.2中定义的具有自激强度λIta的Hawkes过程的向量。按照这种方式定义的浮动期限，如果k银行的对数货币储备比i银行多（少），即Xkt>Xit（Xkt<Xit），则kis银行假设向i银行贷款（借入）一定比例的盈余，并使用比例系数i/M。霍克斯过程的跳跃会影响相应的xit，通过比例因子cian增加j的强度λjt∈ IMif gi，j（t）6=0。这样，跳跃活动随时间变化，导致跳跃到达的聚集，冲击通过传染函数gi，j（t）以传染方式通过网络传播。因此，我们将跳跃术语CIDNIT解释为由于金融加速和再销售而产生的自我和交叉刺激的负面影响，导致银行货币储备减少。在Bo和Capponi[4]中，作者考虑了货币储备的类似平均场模型，但假设跳跃发生在独立的泊松分布随机时间。然而，不考虑跳跃的集群效应可能会导致对网络中存在的系统性风险的严重低估。

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kedemingshi

2022-6-1 11:19:13

我们定义了默认的D级≤ 0，并假设银行i在时间T处于违约状态，如果其对数货币储备在时间T达到D级。我们注意到，在我们的模型中，即使i银行违约，即其货币储备达到负水平，它仍会继续参与向交易对手借款的银行间活动，直到再次达到正储备水平。换言之，货币储备水平采用R值。我们将在以下设置中工作：假设3.4（参数）。我们收集了与第i个货币储备过程i的动力学相关的参数∈ IMaspi：=（ai，σi，ci）∈ （R+×R+×R-).我们用δx表示以x为中心的Dirac delta度量，我们设置qm=MMXi=1δpi，νM=MMXi=1δXi。我们假设limM→∞qM=δp*, i、 e.pi→ p*:= （a，σ，c）为i→ ∞ 和limM→∞νM=δx，即Xi→ x作为i→ ∞.我们取传染病的指数衰减函数，j（t- s） =Mg（t-s）：=Mαe-β（t-s），这是一个具有α，β的局部平方可积函数∈ R+。最后，假设所有参数都有一个常数Cp的界。我们在此指出，本文的结果也适用于更一般的分布，即limM→∞qM=q和limM→∞ИM=Д，但为简化结果，我们假设参数向量收敛为常数向量。将储量平均值定义为“Xt=MMXi=1Xit”，我们可以将SDE重写为平均场相互作用SDEdXit=ai（\'Xt- Xit）dt+σidWit+cidNit。（3.3）从（3.3）中，我们可以看到过程（Xit）以ai的速率均值回复到其集合平均值（(R)Xt）。引理3.5。对于（3.3）给出的SDEs系统，存在一个唯一的解（Xt，…，XMt），用于i∈ 感应电动机。证据该证明类似于池田和渡边的定理9.1【22】。定义为SDE（3.3）的无跳跃解。通过Cox等人【11】中的示例2，我们知道SDE具有唯一的强解（Yt，…，YMt）。

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2022-6-1 11:19:16

根据霍克斯过程的定义，我们有N。。。，NMnever同时跳跃：这意味着存在一个递增的跳跃时间序列（τn）n∈确认limn→∞τn=+∞. 然后我们可以定义（i，1）t：=Yit，0≤ t<τ，Yiτ-+ 1k=ici，t=τ，如果Nk中有跳跃。（3.4）根据引理2.2，我们知道存在一个独特的Hawkes过程（Nit）t≥0对于i∈ 因此，我们可以说X（i，1）是t的（3.3）的唯一解∈ [0, τ]. 然后我们确定X（i，2）吨t∈ [0, τ- τ] 与（3.4）类似，使用初始状态“Xi：=X（i，2）τ”和驱动因子“Wit：=Wit+τ”- Wiτ和'Nit：=Nit+τ- Niτ。然后我们设定退出：=Xi，1t，0≤ t<τ，X（i，2）t-ττ≤ t型≤ τ.所以Xit，t∈ [0，τ]是（3.3）的唯一解。通过迭代上述过程，我们可以在每个n的时间间隔[0，τn]上唯一地确定xitis∈ N、 3.2模拟为便于说明，请考虑以下SDEdXit=a（(R)Xt- Xit）dt+σdWit+cdNit，其中Wit：=ρWt+p1- ρWit，其中Wit，i=0。。。，M是独立的布朗运动和Wtrepresentscommon噪声（类似于Carmona等人[8]中的设置）。

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2022-6-1 11:19:19

我们保持恒定强度和激发函数gi的参数，j=αi，je-βit固定在ui=10/M，βi=2/M和αi，j=2/M，初始保留值设置为X=0。表3.1：实现（Xit，i=1，…，10）的各种场景对应的参数。方案aσcρ无贷款，独立BMs 0 1 0 0.2贷款，独立BMs 10 1 0无贷款，相关BMs 0 1 0 0.2贷款和相关BMs 10 1 0 0.2贷款，相关BMs和Poisson跳跃10 1 0.2 0.2贷款，相关BMs和Hawkes跳跃10 1 0.2 0.2图3.1：实现（Xit，i=1，…，10），t=1。。。100无借贷和独立布朗运动（左）、借贷和相关布朗运动（中）、借贷、相关布朗运动和霍克斯分布跳跃（跳跃时间显示为点）（右）。我们考虑了表3.1中所示的货币储备过程的几种情况。在图3.1中，我们看到，有借贷的相关布朗运动生成的轨迹比没有借贷的独立布朗运动生成的轨迹更分组。正如预期的那样，霍克斯冲击导致更多的轨迹达到默认水平，因为它是默认传播的另一个来源。考虑默认级别D=-0.7. 在图3.2中，我们显示了违约数量的分布，定义为PMPi=1最小0≤t型≤TXit公司≤ D= n, 对于独立布朗运动情形，依赖情形和包含泊松过程和霍克斯过程的情形。我们观察到，与密度函数以5个违约为中心时的无贷款情况相反，平均场银行同业拆借导致大多数概率质量设定为零违约。然而，借出组件还增加了所有节点同时违约的概率，这一概率非常小。

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大多数88

2022-6-1 11:19:22

布朗运动之间的相关性对损失分布的影响很小。正如预期的那样，添加自激和集群Hawkes过程会进一步增加尾部风险，从而使所有节点达到默认状态的概率显著增加。图3.2：如表3.1所示，在几种不同情况下，定义数量的分布。基于离散化Euler-Maruyama格式的蒙特卡罗模拟中的参数为M=10、T=1、10000次模拟和100个时间步。3.3依赖性正如我们在图3.2中已经看到的那样，霍克斯过程比独立的泊松过程更能同时增加多重违约的概率。因此，更详细地研究节点之间的依赖结构很有意义。正如多变量统计中的标准，见Poon等人【25】，评估变量之间（不一定是线性）依赖关系的工具是由p（q）=p给出的测量值p（q）Xi>F-1Xi（q）| Xj>F-1Xj（q）, i、 j∈ IM，其中一个变量xi位于其边缘分布的第qth分位数以上的概率FXiconditional，另一个变量xjb位于其第qth分位数以上的概率。为了消除边际方面的影响，通常将数据转换为共同的边际分布，例如转换为单位Fr'echet边际（有关详细信息，请参阅Poon等人[25]中的方法）。在我们的模型中，如果两个节点之间存在依赖关系，则一个固定条件的违约概率将非常大。在计算互联金融网络中存在的系统性风险时，量化这种依赖性显然至关重要。

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kedemingshi

2022-6-1 11:19:25

请注意，在我们的模型中，我们存在两个关键依赖项：o通过漂移项的依赖性：由于银行间贷款，高XT会导致XS和XS的变化，因为s>t通过霍克斯过程的依赖性：如果Xt<<0表示在时间t发生跳跃，然后Xs<<0和对于s>t，Xs<<0增加。我们注意到，由于平均回复激励函数gi，ji，j，看到冲击的可能性随着s的增大而减小∈ {1, 2}.图3.3显示了独立泊松跳和霍克斯跳的散点图。在这里，我们已经看到霍克斯跳跃似乎反映了对尾巴更强烈的依赖。在图3.4中，我们绘制了测量值p（q）（对于左尾）与1- 表示独立性的q函数，用于几个不同的参数集。我们发现，与泊松过程相比，霍克斯过程显示所有分位数的两个节点之间的依赖性明显更大。特别是，我们注意到，在货币储备过程中只有跳跃项会导致显著的尾部概率，其中霍克斯过程的尾部概率远远高于泊松过程的尾部概率。这是意料之中的，因为跳跃的自激性质会导致一个节点中的极端事件影响另一个节点中的极端事件。

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2022-6-1 11:19:28

此外，加入独立布朗运动似乎可以将尾部风险降低到几乎为零，而由于违约传播的额外来源，加入银行间贷款又会导致尾部风险略有增加。图3.3:Xt和Xt（M=2）的散点图显示了存在泊松跳（左）和霍克斯跳（右）时节点之间的依赖结构。图3.4：在没有布朗运动、没有银行同业拆借但只有跳跃（左，σ=0，a=0和C=-1），布朗运动，无借贷和跳跃（中心，σ=0.1，a=0，c=-1）布朗运动、借贷和跳跃（右，σ=0.1，a=0.5，c=-1). 基于Euler-Maruyama方案的蒙特卡罗模拟中的其他参数为T=1500个模拟，100个时间步，Xi=0，ρ=0，ui=0.1，βi=1.2，αi，j=1.2.4平均场限值我们推导了具有霍克斯跳跃项的货币储备过程的理论平均场限值，以显示在节点数量趋于完整的情况下，考虑这种额外类型的传染对网络总损失的影响。我们的推导基于Carmona等人【8】和Bo和Capponi【4】。换句话说，我们想了解进程分布的行为Xt=（Xit），i∈ 当M时，IMas in（3.3）→ ∞. 让向量（pi，Xit）取空间O中的值：=（R+×R+×R-) ×R.将经验测量序列定义为νMt：=MMXi=1δ（pi，Xit），t≥ 0，（4.5）在Borel空间B（O）上。换句话说，我们跟踪所有节点的类型、强度和货币储备的经验分布。设S=P（O）；O.Then（νMt）t上Borel概率测度的集合≥0是Skorokhod空间DS的元素[0，∞), 即

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大多数88

2022-6-1 11:19:31

它可以看作是一个S值右连续、左有限的随机过程。对于任意光滑函数f（p，x）∈ C∞（O）定义为（p，x）∈ O通过ν（f）定义积分w.r.t.测量值ν：=ZOf（p，x）ν（dp×dx），（4.6），使得νMt（f）=MMXi=1f（pi，Xit），t≥ 0。（4.7）那么我们有'Xt=νMt（I），其中I（x）=x。我们想了解大M的νMt动力学。在推导过程νMtforM的极限时→ ∞ 我们使用了类似于Bo和Capponi【4】和Giesecke等人【17】的论点。特别是，Focusher利用Delattre等人[14]关于大型系统中HawkesProcess行为的结果来识别极限动力学。在第4.1节中，我们通过极限鞅问题的生成器来确定极限，随后在第4.2节中，我们确定了极限过程。4.1弱收敛我们想用鞅问题证明νmt收敛到极限过程。为了方便起见，我们将编写f（Xit）：=f（pi，Xit）。根据霍克斯过程的定义，我们得到了alli 6=j，（Nit）t≥0和（Njt）t≥0从不同时跳转，并且其中一个进程中的跳转dNitresults inoonly xit具有大小为ci的跳转。

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2022-6-1 11:19:34

因此，应用It^o公式得出SDF（Xit）=aixf（Xit）[νMt（I）- Xit]dt+（σi）xxf（Xit）dt+σixf（Xit）dWit+（f（Xit-+ ci）- f（Xit-))dNit，那么我们有，使用νMtin（4.7）的定义，νMt（f）=νM（f）+ZtνMs（Lf）νMs（I）ds-ZtνMs（Lf）ds+MMXi=1Ztσixf（Xis）dWis（4.8）+ZtνMs（Lf）ds+MMXi=1Ztf（Xit-+ ci）- f（Xit-)dNis，我们定义了操作员L*作用于f（pi，Xit）asLf（p，x）：=axf（p，x），Lf（p，x）：=axxf（p，x），Lf（p，x）=σxxf（p，x），因此νMt（Lf）=MMXi=1aixf（pi，Xit），νMt（Lf）=MMXi=1aiXitxf（pi，Xit），νMt（Lf）=MMXi=1（σi）xxf（pi，Xit）。定义任何平滑函数∈ C∞（RN）带N∈ N和Borel度量ν∈ SΦ（ν）=ν（ν（f）），（4.9），f=（f，…，fN）表示fN∈ C∞（O），n=1。。。，N和ν（f）：=（ν（f）。。。，ν（fN））∈ 注册护士。设S是S上有界可测函数Φ的集合。然后S分离S，从而证明了这些函数鞅问题的收敛性。然后，通过将It^o公式应用于ν（νMt（f）），并使用d▄Nit：=dNit这一事实- λitdt和dWitare鞅及Xt-和λt-可预测，我们发现0≤ t<uΦ（νMu）=Φ（νMt）+ZutCMs+DMs+JMsds+Mu- Mt，其中（Mt）t≥0是初始平均零鞅，Cmt：=NXn=1ν（νMt（f））fn公司νMt（Lfn）νMt（I）- νMt（Lfn）+νMt（Lfn）,DMt：=2MNXn，l=1ν（νMt（f））fn公司flMXi=1（σi）fn（Xit）x个fl（Xit）x个JMt：=MXi=1hν（νMt（f）+JM，it（f））- ν（νMt（f））iλit，其中JM，it（f）=（JM，it（f）。。。，JM，it（fN））和JM，it（f）：=M（f（Xis-+ ci）- f（Xis））。我们需要Delattre等人[14]中定理8给出的以下结果：定理4.6（Hawkes过程的混沌传播结果）。考虑（2.2）中的霍克斯过程。每M≥ 1考虑具有节点IM的完整图。设g:[0，∞) → R是局部lysquare可积函数，集gi，j=M-1g代表所有i，j∈ 感应电动机。

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2022-6-1 11:19:38

确定极限方程“Nt=ZtZ”∞{z≤（ut+Rsg（t-s） dE[(R)Ns]}π（ds，dz），（4.10），其中π（ds，dz）是[0]上的泊松测度，∞)×[0, ∞) 使用强度测量dsdz。那么我们有dE[(R)Nt]=(R)λtdt和∧t：=u+Ztg（t-s） dE[(R)Ns]。（4.11）换句话说，N=（\'Nt）t≥0是一个强度为λt的非齐次泊松过程。对于i∈ 感应电动机。定义iM（t）=Rt | d（(R)牛-Niu）|和δM（t）=E[iM（t）]。注意，由于‘Nit’和‘Nit’的互换性，δM（t）不依赖于i。那么，δM（t）=中兴通讯？λt- λitds和t∈ [0，T]我们有Limm→∞δM（t）=0。换言之，当所有节点以相同的方式相互作用时，在节点数量限制下，Hawkes过程将简化为非齐次泊松过程，并且对于任何∈ 以下限制→∞EZut |λ为-\'\'λs | ds= 0。（4.12）现在的任务是找到极限鞅问题的生成器，我们将使用该生成器来确定控制极限内货币储备动态的过程，参见定理8.2第4章Ofether和Kurtz【16】。为此，我们将使用（4.12）并定义一个基于泰勒的JMTA简化JMt：=NXn=1ν（νMt（f））xn“MMXi=1’λtfn（Xit）xci#。利用我们得到的三角形不等式Zut | JMs-JMs | ds≤ E“ZutMXi=1ν（νMs（f）+JM，is（f））- ν（νMt（f））λ为-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λisds#+E“ZutMXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λis-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λisds#+E“ZutMXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λis-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xn￠JM，is（f）#λsds#。对f应用泰勒展开∈ C∞（O）利用其导数的有界性和定义i=^ci/M，我们发现JM，it（f）’JM，it（f），（4.13），其中aM’bm表示limM→∞|是- bM |=0和▄JM，it（f）：=Mf（Xit）xci。类似地，使用И的泰勒展开式∈ C∞（RN）我们有ν（νMt（f）+JM，it（f））- ν（νMt（f））\'NXn=1ν（νMt（f））xnJM，it（f）。

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2022-6-1 11:19:42

（4.14）利用命题2.3、方程（4.14）和（4.13）中λIt的完整性，f的导数的有界性∈ C∞（O）按其上确界，即| | f | |=sup（p，x）∈O | f（p，x）|和（4.12）中给出的强度边界，我们有thatlimM→∞EZut | JMs-JMs | ds= 0.同样，我们有LIMM→∞EZut | DMs | ds= 定义作用于（4.9）中定义的函数Φ（ν）的运算符A，asAΦ（ν）：=NXn=1ν（νMt（f））fn公司νMt（Lfn）νMt（I）- νMt（Lfn）+νMt（Lfn）+νMt（Lfn）, （4.15）式中，L：=c？λtx、然后我们得到以下结果：引理4.7（极限鞅问题）。对于任何Φ∈ S和0≤ t型≤ ... ≤ tm+1≤ ∞, 带m∈ N和ψj∈ L∞（S）我们知道A是极限鞅问题的生成元，即limM→∞EΦ（νMtm+1）- Φ（νMtm）-Ztm+1mAΦ（νMu）dumYj=1ψj（νMtj）= 0.（4.16）4.2极限过程给定极限鞅问题（4.16），并假设极限点的存在唯一性，我们想要找到满足方程（4.16）的极限过程νt。设p=（p*, x）。通过νt（A）定义以下度量值过程：=P（Xt（P）∈ A），（4.17），其中∈ B（R）和基本极限状态过程X（p）=（Xt（p））t≥0是由xt（p）=x+Zt给出的随时间变化系数的差值a（Q（s）- Xs（p））+c'λsds+σZtdWs，t≥ 0，（4.18），其中“λ”定义在（4.11）中，Q（t）=x+cZt“λsds。（4.19）请注意，Q（t）满足积分方程Q（t）=e-在x+Z区域aQ（s）+c'λsds公司.利用（4.17）中ν的定义，我们得到了νt（I）=ZOxνt（dx）=E[Xt（p）]，其中基本状态过程Xt（p）由（4.18）给出。请注意，e[Xt（p）]=e-在x+Zteas（aQ（s）+c'λs）ds，由此得出q（t）=νt（I），（4.20），其中I（x）=x。我们现在证明，Δν确实满足引理4.7中的鞅问题：定理4.8（极限过程）。经验测度值过程νMadmits弱收敛νM→ ν、作为M→ ∞, 其中，ν的定义如（4.17）所示。此外，νM（I）→ Q、证明。

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能者818

2022-6-1 11:19:45

使用Ethier和Kurtz【16】第3章中的弱收敛标准分析，weakconvergenceνM→ ν为M→ ∞ 引理4.7和引理A.2、A.3以及极限点的唯一性。换句话说，如果我们定义QM：=P（νM∈ B（DS[0，∞))), 我们发现qm收敛于（4.15）中由A生成的鞅问题的解q。接下来，我们证明了Q=Δν，即极限测度值过程ν确实可以表示为（4.17）。我们有f∈ C∞（O）使用（4.6）中的定义，即νt（f）=E[f（Xt（p））]。（4.21）另一方面，从（4.18）并使用它的^o引理，我们得到f（Xt（p））=f（x）+Ztfx（Xs（p））（aQ（s）- aXs（p）+c'λs）ds+σZtfx（Xs（p））ds+σZtfx（Xs（p））dWs。然后回顾运营商L的定义*（4.20）中的等式Q（t）=νt（I）tE[f（Xt（p））]=Eσxxf（Xt（p））+ Q（t）E[答xf（Xt（p））]+E[c'λtxf（Xt（p））]- E[轴（p）xf（Xt（p））]=E[Lf（Xt（p））]+νt（I）E[Lf（Xt（p））]+E[Lf（Xt（p））]- E[Lf（Xt（p））]。因此，使用（4.21）我们发现Φ（νt）dt=NXn=1φxn（νt（f））dνt（fn）dt=NXn=1φxn公司νt（Lf）+νt（Lf）νt（I）+νt（Lf）- νt（左前）= AΦ（νt）。所以对于形式（4.9）的所有函数Φ（·），我们有Φ（νt）=Φ（νs）+ZtsAΦ（νu）du，0≤ s<t<∞,因此，Δν满足了由A生成的鞅问题。换句话说，定理4.8的混沌传播结果告诉我们，经验平均值νmconverge到一个度量ν，其基本过程Xt（p）通过依赖于时间的漂移反映了霍克斯过程。4.3模型的扩展在本节中，我们简要介绍了第4节中给出的几种可能的扩展结果。特别是，当在（3.3）中考虑的货币储备模型中包含复合霍克斯过程时，我们推导出了极限经验分布；系统风险因素，其推导基于Giesecke等人的结果。

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2022-6-1 11:19:49

[18]; 并进一步证明了基于Spiliopoulos等人[28]的中心极限定理，该定理量化了大系统极限周围经验分布的波动。4.3.1复合霍克斯过程如果我们在初始对数货币储备SDE中包括复合霍克斯过程，即dXit=aiMMXk=1（Xkt- Xit）dt+σidWit+cidSit，其中sit=NitXj=1Zij，其中Z是具有分布函数F的i.i.d.随机变量，与Nitand Wit无关，因此limm→∞MMPi=1δZi·=y。然后极限过程由xt（p）=x+Zt给出a（Q（s）- Xs（p））+cy'λsds+σZtdWs，t≥ 0.4.3.2系统风险因素暴露与Giesecke等人【18】的分析类似，我们可以表明，考虑到系统中所有节点共有的非消失系统风险因素，我们获得了非确定性限制行为。LetVt=σ（Vs，0≤ s≤ t） Ft=σ（（Vs，Nis，Wis），0≤ s≤ t、我∈ N）。对于对数货币储备XIT=ai（(R)Xt），请考虑以下模型- Xit）dt+σidWit+cidNit+βidYt，dYt=b（Yt）dt+σ（Yt）dVt，Y=Y，其中vt是独立于wit和Nit的标准布朗运动。换言之，wit代表特定名称特有的风险源，而Ytis是由布朗运动驱动的系统风险因素，布朗运动对网络中的所有节点都是通用的，参数βi表示节点i对Y的敏感性。系统性风险因素会导致货币储备过程中的相关变化，从而成为集群的另一个来源。通常假设pi:=（ai，σi，ci，βi）→ p*:= （a，σ，c，β）。根据Giesecke等人的推导。

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2022-6-1 11:19:52

[18] 定义Φ（y，ν）=Д（y）Д（ν（f）），并将其应用于原始模型的推导中，我们获得了0≤ t<uΦ（Yu，νMu）=Φ（Yt，νMt）+Zut（Д（Ys）CMs+Д（Ys）DMs+Д（Ys）JMs+BM，1s）ds+ZutBM，2dVs+Mu- Mt，其中我们定义了bm，1t：=Д（Yt）NXn=1ν（νMt（f））fnνMt（LYtfn）+ν（ν（f））b（Yt）yИ（Yt）+σ（Yt）yy^1（Yt）+ yИ（Yt）NXn=1ν（ν（f））fnσ（y）νMt（LYtfn）BM，2t：=Д（Yt）NXn=1ν（νMt（f））fnνMt（LYtfn）+σ（Yt）yИ（Yt）Д（ν（f）），其中Lyf（p，x）：=βib（y）xf（p，x）+（βi）σ（y）xf（p，x）和Lyf（p，x）：=βiσ（y）xf（p，x）。以M为上限→ ∞, 使用第4.1节中导出的极限和极限中鞅的消失（另请参见[18]中的引理7.2），定义νt（f）=E[f（Xt（p）| Vt]，其中Xt（p）=x+Zta（νt（I）- Xs（p））+c'λsds＋σZtdWs＋βZtdYs，对于极限过程νt，我们得到如下spddνt（f（Xt））=νt（Lf（Xt））νt（I）- νt（Lf（Xt））+νt（Lf（Xt））+νt（Lf（Xt））+νt（LYtf（Xt））dt+νt（LYtf（Xt））dVt，其中我们使用Giesecke等人[18]中的引理B.1和B.2来表明EhRtXsdVs | Vti=RtE[Xs | Vs]dVs。因此，系统风险因素不会在极限内消失，并导致经验度量极限过程的随机偏微分方程，而不是原始模型中的确定性行为。4.3.3中心极限定理再次考虑（3.3）中定义的模型。为了改进（4.17）中给出的νmt的一阶近似值，我们可以分析νmar在其大系统极限ν附近的波动。继Spiliopoulos等人【28】定义=√M（νMt- νt）。有符号测度值过程在适当的空间中弱收敛到函数极限（特别是在加权Sobolev空间中考虑收敛，其中序列M，M∈ NCA可以显示为相对紧凑；关于该空间以及极限点的存在性和唯一性的讨论，我们参考Spiliopoulos等人的第7、8和9节。

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大多数88

2022-6-1 11:19:56

[28]). 我们首先导出ΞMt的表达式。该表达式中的某些项将在M的极限内消失→ ∞, 利用过程的紧密性（见Spiliopoulos等人[28]第8节）和表达式中运算符的连续性，我们可以传递到极限，并找到极限流动过程满足的表达式。从νMtwe findΞMt（f）中减去νtf=νMt（Lf）ΞMt（I）+νt（I）ΞMt（Lf）- ΞMt（Lf）+ΞMt（Lf）+ΞMt（Lf）dt+dMMt（f）+√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））dNt-√MMMXi=1cifxNit+√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））λit- νMt（Lf）！dt，其中鞅项定义为asMMt（f）=√MMMXi=1ZtσixfdWis+ZtMMXi=1cifxd▄Nis！。使用霍克斯跳跃项的极限表达式和第4.1节中的泰勒近似，我们得到√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））-MMXi=1cifx个≤公里数√Mfx个. （4.22）因此，可以通过取极限M来表示→ ∞, 使用（4.22）和假设3.4，序列{Mt，t∈ [0，T]}M∈n分布收敛到极限点{t∈ [0，T]}满足ΞT（f）=Ξ（f）+ZtνMs（Lf）Ξs（I）+νs（I）Ξs（Lf）- Ξs（Lf）+Ξs（Lf）+Ξs（Lf）ds+Mt（f），其中{Mt，t∈ [0，T]}是具有确定性二次变差的分布值连续平方可积鞅，序列{MMt，T∈ [0，T]}M∈nConverge在分布上（注：与LLN情况不同，在CLT缩放情况下鞅项不会消失）。根据鞅CLT（见Ethier和Kurtz[16]中的7.1.4），M是高斯的。这意味着以下二阶近似νMtd≈ νt+√MΞt，为有限银行系统提供更精确的近似值。5大型网络中的系统性风险在本节中，我们介绍了几个系统性风险指标，以量化网络中的风险，并显示风险对基础参数的特殊依赖性。

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2022-6-1 11:19:59

我们首先评论了具有霍克斯过程和具有独立泊松过程的货币储备之间的差异：评论5.9（独立泊松过程与霍克斯过程）。考虑强度为u的独立泊松过程。很容易看出|λt：=u+Ztαe-β（t-s） (R)λsds≥ u，因为我们假设α，β≥ 因此，对于c<0，我们有Q（t）≤Q（t），其中qan和qq分别是强度为λ的泊松跳跃和强度为u的跳跃的平均值。因此，在limitM→ ∞, 使用νM（I）→ Q（t），正如我们所料，霍克斯过程会增加网络中的违约风险。5.1风险指标在这里，我们展示了如何使用极限动力学Xt（p）来衡量大型网络中的系统性风险。我们建议根据从正常状态过渡到违约状态的银行比例，在平均场模型中计算系统性风险。我们将风险指标定义为在整个时间内∈ [0，T]已降至默认级别D以下，SRM：=MMXi=1最小0≤t型≤TXit公司≤D.注意，根据定理4.8，我们得到了limM→∞对于Xit的连续函数f，νMt=νt。对于t上的指示器功能∈ [0，T]我们考虑与holdlim的近似关系→∞SRM公司≈ E“最小0≤t型≤TXt（p）≤D#,其中，M货币储备过程指标函数的平均值因此被限制过程的指标所取代。此外，与Bo和Capponi[4]类似，我们可以确定违约平均距离asADDM（t）：=E“MMXi=1Xit#。请注意（νMt；M∈ R）一致可积，即对于每个t≥ 0supM∈内赫νMt（I）i<∞,其证明类似于附录A中引理A.1和Bo和Capponi中引理B.2的证明[4]。然后，对于到默认指示器的平均距离，我们使用以下限制结果imm→∞ADDM（t）=Q（t），Q（t）如（4.20）所示。

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2022-6-1 11:20:02

注意，在强度为λ的独立泊松跳跃的情况下，ADD指示器的极限由limM给出→∞ADDM（t）=x+cλt。这与霍克斯跳跃的情况相反，我们有limM→∞ADDM（t）=x+cRt'λsds。5.2数值结果我们设定M=300，即足够大，并分析我们的各种系统性风险指标的近似公式与相应的蒙特卡罗估计值的比较。后者是通过模拟m个相互作用过程Xit，i∈ i使用（3.3）的Euler近似。备注5.10（“λt”的计算）。将[0，T]的划分定义为0=T<T<…<tK=T，带t：=ti- ti公司-然后，我们将（4.11）中的积分近似为|λti+1≈\'\'λti+甘油三酯(t）？λti和？λ：=u。使用近似的λtwe计算Q（t）asQ（ti+1）≈ Q（ti）+tc？λti，其中Q（0）=x。表5.1：蒙特卡罗估计值与系统风险指标的LLN近似值，u=0.01，α=1，β=1.2，a=0.5，σ=0.5，^c=-0.2，D=0。蒙特卡罗近似XSR ADD（T）SR ADD（T）0.002 0.945 0.007 0.949 0.0070.1 0.821 0.096 0.816 0.0960.2 0.658 0.197 0.652 0.1970.5 0.252 0.497 0.261 0.4970.8 0.057 0.797 0.058 0.7971 0.016 0.998 0.017 0.997表5.2：蒙特卡罗估计值与u=0.05，α=1的系统风险指标LLN近似值的比较β=1.2，a=0.5，σ=0.5，^c=-0.2，D=0。蒙特卡罗近似XSR ADD（T）SR ADD（T）0.01 0.947-0.005 0.946-0.0070.1 0.826 0.085 0.830 0.0830.2 0.669 0.186 0.653 0.1830.5 0.262 0.486 0.269 0.4830.8 0.061 0.785 0.061 0.7831 0.017 0.985 0.016 0.983在表5.1和5.2中，我们给出了5000次模拟的近似结果和蒙特卡罗估计100个时间步，T=1，M=300。正如预期的那样，由SR和ADD量化的网络系统性风险随着初始货币储备价值的增加而减少。

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2022-6-1 11:20:05

此外，平均跳跃强度u越高，网络稳定性越差。在图5.2中，我们显示了霍克斯和泊松过程对系统风险和平均违约距离的LLN估计，初始准备金x的不同值。我们对霍克斯过程在模型中增加额外违约风险的主张也在这些数字结果中得到了验证，因为霍克斯过程的系统风险指标更大，而平均货币储备始终低于独立泊松过程。因此，通过霍克斯过程建模的自激和交叉激振是网络中的另一种接触形式，导致网络更容易发生系统性风险事件。图5.1:T=1时系统风险的LLN估计值（L）和平均违约距离（R）的LLN估计值，u=0.2，α=1.2，β=1.2，a=0.5，σ=0.5，c=-独立泊松过程为1，D=0，x为Hawkes过程∈ [0，1]5.2.1模型校准（3.3）中考虑的具有异质系数的模型校准是一项复杂的任务，尤其是对于大型银行系统。在Ait-Sahalia等人[1]中，作者考虑了用于资产回报建模的霍克斯扩散模型的校准，并开发了模型参数的矩估计方法。即使简化了强度假设，该模型也仅适用于成对资产。因此，使用霍克斯跳跃对大量银行的平均场SDE进行校准超出了本文的范围，有待进一步研究。然而，第4.2节中导出的极限表达式可用于导出校准模型的简单有效方法。

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2022-6-1 11:20:08

特别是，我们可以将（4.19）中Q（t）给出的平均违约距离调整为大量资产的平均值，从而得到校准参数x、c、u、α和β。特别是，考虑将资产价格作为货币储备过程的代表，并考虑2008-07-14至2008-10-21期间标普500指数各组成部分的平均值。将Q（t）的确定性表达式校准为默认的实际平均距离，我们获得以下参数集：u=0.3，x=1300，α=0.07，β=0.11和c=-1.6. 可以争辩的是，极限中参数的规律性假设（见假设3.4）太强，无法校准到实际激励。尽管如此，使用这种简单有效的模型校准方法，我们从图5.2的左侧可以看到，传染病得到了充分的捕捉；特别注意，从图5.2的右侧可以看出，泊松过程无法模拟必要的传染，虽然采用霍克斯过程的SDE提供了一个更好的函数。图5.2：标准普尔500指数数据的Qon校准模型显示了激励效应（L）和5000条Xt（p）（R）6模拟SDE路径的平均值。结论在本文中，我们研究了考虑额外自激和集群冲击的影响，该冲击会影响货币储备或节点的资产价值银行间系统。假设节点通过漂移相互作用，并且另外受到霍克斯分布冲击。这样一来，跳跃活动会随着时间的推移而变化，导致跳跃聚集，冲击会通过网络以传染方式传播。这使我们能够对银行间贷款导致的违约传播以及关联资产负债表和金融加速导致的传播进行建模。

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能者818

2022-6-1 11:20:11

我们从银行间模型的数值分析开始，在该分析中，我们表明霍克斯跳跃导致了同时发生多重违约的不可忽视的尾部概率。然后，我们在货币储备过程的平均场相互作用模型中考虑了霍克斯过程的影响，并得出了经验平均值的弱收敛性，其基础过程通过时间相关漂移项反映了霍克斯过程。最后，我们确定了几个风险指标及其LLN近似值，可用于量化大型系统中的风险，并表明LLN估计值与蒙特卡罗模拟值相比表现准确。我们的结论是，聚类霍克斯跳导致网络中额外的重要故障传播源，不应忽视。致谢本研究得到欧盟在2020年欧盟玛丽·居里初始培训网络项目WAKEUPCALL背景下的支持。证明了下一个引理是对数货币储备过程矩估计的有界结果。引理A.1。对于n=1、2和T≥ 0我们有SUP0≤t型≤T、 M级∈NMMXi=1Eh退出镍<+∞.证据让n∈ {1, 2}. 回想假设3.4中参数（pi，Xi）的常数Cpbounding。

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