体分布的平均值和方差分别为63877.92和2.625·10，对应于重标度矩m=-0.6388，m=0.0131。图3显示了采用我们的方法获得的99.9%百分位水平的结果，其中我们还显示了100次运行的MC模拟结果，每次运行包括1000000次聚合。我们注意到，即使是如此大量的MC试验，MC结果仍然相当一致，这尤其使MC设置中的灵敏度计算变得困难。通过构造，我们的分析方法不存在此类不足，并允许准确计算分位数及其灵敏度。图3：集成与MC仿真。7总结我们提出了一种计算复合重尾分布尾部概率的分析方法，该方法基于轮廓积分法，并以快速收敛的实值一维积分的形式表示复合分布的尾部概率。后一个积分可以求积，也可以表示为渐近展开。虽然我们只考虑了单个分量具有幂律或对数正态尾的复合泊松分布情况，但我们的方法可以扩展到具有不同规格的单个分量和/或频率分布的其他设置，只要其矩母函数在复平面中具有分支切奇点。我们相信，本文提出的方法可以替代蒙特卡罗、FFT或Panjerrecursion等“蛮力”数值方法。

有趣的是，这种替代方法似乎对高百分位水平尤其有吸引力，因为这些传统方法在高百分位水平上很难实现，而轮廓积分方法开始变得更加有效（在这个意义上，定义尾部分布的收敛积分随着百分位水平的增加收敛得更快）。致谢我要感谢Sergey Malinin就这本手稿的早期版本进行了多次讨论和合作，特别是分享了他对昆虫计算的想法。我感谢Andrey Itkin的有益评论。参考文献[1]K.B¨ocker和C.Kl¨oppelberg，“操作风险值：封闭式近似”，风险，2005年12月，90-93。[2] A.Clauset、C.R.Shalizi和M.E.J.Newman，“经验数据中的幂律分布”（2007），可在http://arxiv.org/pdf/0706.1062.pdf.[3] R.M.Corless、G.H.Gonnet、D.E.G.Hare、D.J.Je ffrey和D.E.Knuth，“关于LambertW函数”，计算数学进展5（1996），329359。[4] I.Halperin，“鞍点法CDO定价”，JPM（2005）。[5] L.Hernandez、J.Tejero、A.Surez和S.Carrillo Menndez（“重尾随机变量之和的百分位数：超越单一损失近似值”，《统计与计算》，24（3）（2014），第377-397页，可在http://arxiv.org/pdf/1203.2564.pdf.[6] L.D.Landau和E.M.Lif*****z，“量子力学”，巴特沃斯·海涅曼（1981年）。[7] M.E.J.Newman，“幂律、帕累托分布和齐普夫定律”，http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0412004.pdf.[8] R.Lugannani和S.Rice，“sumof独立随机变量分布的鞍点近似”，应用概率进展，v.12（1980），第475490页。[9] J.Mathews和R.L.Walker，《物理学的数学方法》，W.A.Benjamin，1964年。[10] A.Sahay、Z.Wan和B。

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