具体而言，如果存在初始分布X~ η，所有球员都应用策略qt=~q（x；⊙η）和at=~a（x；⊙η），然后预备队处理dxt=-对于所有t>0，q（Xt）1{Xt>0}dt+δd▄Nt（5.1）具有分布▄η（·），即储量分布在时间上是不变的。我们将当前预备队水平为x的球员的静态目标函数J定义为，有条件地将预备队分布η（·）定义为J（~q，~a；x，~η）：=EZ∞高清-1.Q（η）q（Xt）- Cq（￠q（Xt））- Ca（￠a（Xt））ie-rtdtX=X, （5.2）式中▄Q（▄η）：=-R∞~q（x）~η（dx）是固定骨料产量。定义5.1（固定制造商MNE）。一个平稳的平均场博弈纳什均衡是一个简单的（~q*, a*, η）使得（5.1）中的（Xt）储量分布η=P（Xt≥ x）t在策略下保持不变（▄q*, a*), 和▄v（x）≡J（▄q*, a*; ~η) ≥J（q，a；η），（q，a）∈ A、 （5.3）下面的命题5.1给出了在恒定发现率λ>0的情况下，静态HJB系统和输运方程的|v，|η。直觉上，在去掉对t的依赖性后，它与上一节中的方程等价。因此，我们将从PDE的微分方程转移到x.命题5.1（表征平稳制造平衡）中的普通微分方程。定常值函数▄vand upper CDF▄η满足：r▄v（x）=[-Ca（yena*（x） ）+~a*（x） λxv（x）]+p  q*（十）- Cq（▄q*（x） （）- q*（x） v（x）, x>0；（5.4）（0=λОa*(0)(1 - ~η(0+)) -Rx0+λИa*（z） η（dz）+q*（x） η（x），0<x≤ δ,0 = -Rxx-ΔλИa*（z） η（dz）+q*（x） η（x），x>δ，（5.5），其中平衡稳定生产和勘探速率（~q*, a*) 而价格p为q*（x） =βL-Q- κ- v（x）+,a*（x） =β（λxv（x）- κ） +，~p=D-1.~Q= L+Z∞q*（x） §η（dx），（5.6），其中▄Q由等式▄Q=-Z∞βL- κ- v（x）-Q+η（dx）。

（5.7）与【25】类似，~v（0）的边界条件由▄v（0）=supa确定≥0Ee-rτИv（δ）-Zτe-rtCa（a）dt= 苏帕≥0aλИv（δ）- Ca（a）r+aλ。（5.8）备注5.1。如果新发现率为零，λ=0，那么从输运方程（5.5）中，对于所有x>0的情况，我们得到|η（x）=0，这意味着从长远来看，没有具有正储备水平的生产者。5.1稳态MFG平衡的求解对于（5.4）-（5.5）中开发的稳态MFG，第4.3节中介绍的迭代方案不直接适用。挑战在于求解稳态输运方程（5.5）。我们看到，x=0处的奇点实际上在x=0处创建了一个自由边界，该边界描述了x>0的密度与耗尽生产者的点质量|π之间的平衡。目前尚不清楚如何直接处理这个自由边界，而不以一个棘手的全局耦合非线性方程组结束。为了克服这个问题，我们利用了时间相关模型和时间平稳模型之间的联系。具体而言，在恒定发现率λ和大视界T的情况下，策略（v*, 一*) 对t的依赖性很弱。因此，我们期望储备过程Xt收敛到不变分布，因为通过反馈、时间无关的控制，它在R+上形成了一个复发的马尔可夫过程。这建议取T大，求解[0，T]上的MFG，然后“提取”a（v，a，η），以近似真实的稳态解。恒定发现率λ（t）=λ的非平稳MFG的数值说明≡ 1如图5所示。图5下方的面板显示了总产量Q（t）、总发现量A（t）和总储量水平R（t）的演变，由（3.15）-（3.18）定义。

我们观察到小t的丰富层（大致为t∈ [0，12]），由非平衡初始分布η（dx）和另一个边界层（大致为t∈ [45，50]），由终端条件v（T，x）=0引起。后者导致limt→TR（t）=0，极限→TA（t）=图中观察到的0。（请注意，随着地平线的接近，总产量会上升，以消耗所有储量，且R（T）=0。）同时，对于中间体t，所有量都有效地与时间无关，因此应接近稳定的MFG平衡溶液。特别是，由于保护储量，R（t）\'1.9表示∈ [15，45]我们观察到Q（t）\'A（t）在时间间隔上。类似地，各储量分布η（t，x）几乎与t无关，参见图5中的π（t）图。换句话说，地平线T的实际值在本质上是不相关的，因为它只确定世界边界层末端出现的位置（T=T附近- 5），对之前的溶液影响可忽略不计。Cardaliaguet al.[6]对局部耦合MFG和Cardaliaguet al.[7]对非局部耦合的特殊情况进行了严格的处理。根据【7】，对于每个t∈ [0，T]，非平稳MFG模型的解（v（T，x），η（T，x））在L-范数中收敛到平稳MFG模型的解（￠v（x），￠η（x）），即T→ ∞. 此外，在IR设置中，通过L-范数测量的平稳和非平稳平均场博弈均衡解之间的差异在t=t/2时最小化。

将这些证明扩展到古诺MFG的设置，并进行探索，这有待于未来的研究。根据这些结果，我们可以通过以恒定的发现率λ（t）求解非平稳方程（3.12）和（3.16），获得平稳MFG MNE的近似解≡ λ、 采用与第4.3节中相同的迭代方案。然后将解（v（t，x），η（t，x））att=t/2作为平稳平均场博弈模型（5.4）-（5.5）的近似解，即|Μv（x）≈ v（T/2，x）和|η（x）≈ η（T/2，x）表示所有x∈ [0，Xmax]。inChan和Sircar【12】采用了相关方法，其中通过求解非平稳输运方程和平稳HJB方程，并取较大的时间限制，获得了平稳MFG解。在图5所示的示例中，T=50，因此我们使用中间溶液（v（T，x），η（T，x））≈ t=t/2=25时的（|v（x），|η（x）），近似于相应的时间静态制造。图5的左上面板显示了（近似）静态储备密度|m（x）≈xη（25，x）。我们观察到，当0<x时，x中的m（x）增加≤ δ，其中发现率高于生产率，当x>δ时，发现率降低。类似地，我们可以通过在t=t/2=25时查看Q（t），A（t），R（t）来提取固定总产量Q，总发现A和总储量水平R。（由于质量守恒A=Q。）5.2固定MFGIt的比较静力学对于研究勘探对固定平均场均衡的影响具有指导意义。图6显示了发现率λ对聚集的固定量Q、A和R的影响，所有这些都与λ呈正相关。随着λ越大，发现速度越快，每次发现的边际值越小，这对探索效应产生了不明确的影响*.

在图6）的右上面板中，我们观察到λ、λ的低值→ a*（x；λ）增加，即发现可能性增加，鼓励勘探。然而，对于高λ，λ→ a*（x；λ）逐点递减，因为生产者变得“懒惰”，并且认为不需要那么努力，因为很容易获得新的储量。在整个x中，我们观察到λ和总发现率▄A（左上图）之间存在正相关关系。由于▄A=▄Q，这将转化为更高的总产量和更低的价格。0 5 10 1500.10.20.30.40.5cm（t，x）t=0t=5t=250 10 20 30 40 5000.20.40.6tπ（t）0 10 20 30 40 5000.511.522.5tA（t）Q（t）0 10 20 30 40 50012345tR（t）图5：具有常数λ（t）的MFG溶液≡ λ=1和T=50，以说明时间相关解和平稳解之间的关系。左上面板：放射性分布的密度m（t，x）。右上角：无储量生产者的比例π（t）。左下：总勘探速率A（t）和总产量Q（t）。右下：总储量R（t）。更容易的发现也会提高储量的稳定水平▄R，尽管潜在影响▄η是非单调的。图6右下角的面板对此进行了说明，该面板绘制了几个不同λ的密度m（x），并突出显示了多个感兴趣的现象。一方面，我们观察到λОa*（0）λ单调增加，这减少了在x=0时直到下一次发现的预期时间，因此降低了平稳比例|π。同样，R上升λ并将整个m向右移动。另一方面，利差，即m的方差开始随着λ的增加而下降。因此，对于较低的λ，|η更分散，|π更高；对于高λ，η集中在平均值R附近。此外，m的支撑在λ中呈驼峰形状。

重新调用，由于勘探饱和度，~m在[0，~xsat+δ]上受支持，其中~xsatis为饱和度水平。我们发现，就λ而言，xsat首先上升，然后下降。例如，当λ=1时，我们的▄xsat=64.8可与▄xsat（λ=0.2）=60.7和▄xsat（λ=10）=23.9进行比较。在后一种情况下，当λ非常大时，没有理由持有许多储量（相反，资源几乎可以立即补充），因此v（x）很快接近其水平渐近线，因此只对小x进行勘探。另一种现象是，当λ非常小时，如图6中λ<0.05，在平稳平衡状态下，勘探完全停止（A=0导致R=0）。这是因为当κ>0且λ足够小时，值λ的预期相加xv（x）总是小于成本κ，因此不会进行勘探。因此，当发现“太困难”时，即使地下仍有潜在的新储量，勘探也将停止，λ>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.40.81.21.6λОQ0 20 40 60 8000.511.522.5x∧a（x）λ=0.2λ=0.5λ=1λ=4λ=100 0.2 0.4 0.6 0.8 100.40.81.21.6λОR0 2 4 6 8 1000.10.20.30.5 xλ=0.2λ=0.5λ=1λ=4λ=1 0图6：固定MFG溶液作为发现率λ的函数。左上面板：固定骨料勘探/生产▄A=▄Q。右上面板：固定骨料勘探▄A*（x） 。左下：固定骨料储量R=R∞xm（dx）；右下：平稳分布m（x）。注意，总质量为（0，∞) 是1- 取决于λ的π。如前所述，在x=δ=1.6的勘探过程流体极限处存在不连续性。勘探过程的随机性取决于两个因素：发现率λperunit勘探效率和每个发现的大小δ。

为了研究勘探过程的随机性对均衡产量和储量分布的影响，我们引入了无符号参数 > 0（参见[21]），重新缩放λ:= λ/ 和δ:= δ. 像 ↓ 0，我们有发现率λ↑ ∞ 和单位发现量δ↓ 0，这意味着探索过程变得更加确定。在我们使用的续集中 为各自的制造平衡编制索引。对于极限情况 = 0勘探过程是完全确定的。这被称为流体极限，因为我们完全平均了（Xt）中的随机性，而没有修改其平均值（在期望值的意义上）行为。直观地说，在流体极限中，差异项xv（t，x）=v（t，x+δ）- v（t，x）变为xv（t，x），积分变成δa*（t，x）xη（t，x），去掉非局部项。下文（6.1）–（6.2）给出了生成的制造方程。0 =电视（t，x）- rv（t，x）+2β“p（t）- κ-xv（t，x）+#+2β\"λδxv（t，x）- κ+#; (6.1)tη（t，x）=(-λδa*（t，x）+q*（t，x））xη（t，x），x>0，（6.2），其中最佳生产率q*勘探速度a*areq公司*（t，x）=arg maxq≥0p（t）q- Cq（q）- qxv（t，x）=βp（t）- κ-xv（t，x）+, （6.3）a*（t，x）=arg maxa≥0-Ca（a）+aλδxv（t，x）=βλδxv（t，x）- κ+, （6.4）和p（t）=L+R∞q*（t，x）η（t，dx）。注意，对于η，x=0时没有“边界”，因为从未明确遇到过消除；它只施加约束a*（t，0）≥ q*（t，0）。边界条件v（t，0）和xv（t，0）由附录A.4中证明的下列引理明确给出。引理6.1。边界条件v（t，0）和xv（t，0）满足xv（t，0）=β（p（t）- κ) + βλδκβλδ+ β; （6.5）v（t，0）=ZTtλδ（p（s）- κ) - κβλδ+ β（1+λδ）e-r（s）-t） ds。（6.6）取T→ ∞, 然后，我们可以考虑固定液限制造商。

从数学上讲，这产生了最简单的设置，因为它消除了与离散探索相关的非局部“延迟”项，以及时间依赖性，留下了两个ODE的耦合系统。事实上，以下命题6.1意味着从经济上讲，流体极限中的平稳MFG减少为仅几个代数关系。命题6.1（流体极限中的平稳平均场博弈均衡）。固定MFGMNE流体极限( = 0）总结为（i）。固定储量分布为▄π=1，即所有生产商均不持有储量，▄R=0。（二）。流体极限中的均衡总产量qa和市场价格由Q=~Q给出*（0）=[（L- κ)λδ - κ] +β+（1+β）λδ，和▄p=L-Q；（6.7）（iii）。均衡勘探控制为*（x） =0x>0和▄a*（0）=ΔλИq*(0). （6.8）命题6.1的证明见附录A.3。在流体限制的情况下 = 0时，新资源的发现是以完全确定的方式进行的，因此不必为生产保留储量。从正储量开始的生产商在储量耗尽之前不会进行勘探。一旦储量水平达到零，方程式（6.8）意味着没有储量的参与者将选择生产和勘探策略，使生产率完全等于其勘探效果导致的储量增量。这就解释了零储量是如何在均衡状态下维持的。总的来说，上述命题表明，具有确定性探索的平稳平衡是微不足道的，即只有x=0的物质，ODE的有效性系统会与连接▄Qand▄Ato模型参数的代数方程合并。

这表明，随机模型比确定性模型更为复杂。6.1数值格式和说明第4.3节中的迭代格式很容易适用于求解流体极限系统（6.1）–（6.2）。如第4.1节所述，我们采用直线法数值求解HJB方程。v（t，x）在每个空间网格点xm处的空间导数由后向微分商近似xv（t，xm）\'v（t，xm）-v（t，xm-1)xso那个tv（t，xm）成为v（t，xm）和v（t，xm）的函数-1):tv（t，xm）=rv（t，xm）-2β\"p（t）- κ-v（t，xm）- v（t，xm-1)x个+#-2β\"λδv（t，xm）- v（t，xm-1)x个- κ+#, m=1，2，M、 （6.9）我们使用Matlab的Runge-Kutta ODE解算器ode45来求解{v（t，xm）：M=0，1，…，M}的普通微分方程系统（6.9），时间向后，边界条件为v（t，x）≡v（t，0）由（6.6）给出，对于所有m=0，1，…，初始条件v（t，xm）=0。。。，M、 我们使用时间向前和空间向前格式来求解输运方程（6.2）。在第4.2节中，我们还规定了边界条件η（tn，xM）=0，n=0。。。，xM时为N≡ xmax假设Xmaxis大于饱和水平。我们直接设置η（tn，x）=1，并获得m=1，…，时η（tn+1，xm）的数值，M通过η（tn+1，xm）=η（tn，xm）+t型[-λδa（tn，xm）+q（tn，xm）]η（tn，xm+1）- η（tn，xm）x、 图7说明了上述时间相关模型（左面板）及其静态模型（中面板和右面板）的最终解决方案，类似于第5节。我们观察到许多有趣的特征。首先，我们发现，不确定性阻碍了勘探，因为在发现日期τ，贴现效应降低了今天对延迟回报的NPV。因此，更多的不确定性降低了总产量Q，并提高了价格。其次，不确定性鼓励“囤积”，即。

持有额外储量，以防止因耗尽而耗尽增加 （图7的右面板）。同时，作为 ↓ 0固定储备水平R↓ 确实，在极限范围内 = 0，可以将生产视为完美的即时供应链：投入资金以发现少量的新地下资源，并立即开采和出售。因此，勘探资金相当于二次生产成本，即确保商品供应与预期生产率完全匹配的成本，以及对储备设施的预防性需求。因此，我们得出结论，有关发现的经济不确定性带来了成本。0 10 20 30 40 501.51.61.71.81.922.1tQ（t）^2=0^2=0.1^2=0.2^2=0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 11.521.541.561.581.6^2方程0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.52^2= λ/ 和δ= δ fordi different value of. 左面板：总产量Q的演变（t） 对于多个级别的.中间：固定生产Q反对. 右：固定储备水平R反对. 对于 = 0我们有Q=5·1-0.21+2·1=1.6（6.7）和▄R=0.7结论我们研究了平均寡头垄断中可耗尽商品的联合生产和勘探。利用劳动力寻找新资源的能力创造了一些新现象，改变了市场的数学和经济结构。首先，勘探削弱了可耗尽性约束，特别是允许存在一个静态模型，其中单个生产者储量不断变化，但市场价格和总量随时间变化不变。其次，勘探改变了持有储量的作用——储量部分用作缓解流失的缓冲，而不是确定未来可用的生产手段。

因此，如果勘探是瞬时的和确定性的，则不需要储量。我们在分析流体极限模型时探讨了这一点，并将其与20世纪70年代早期的单代理网络联系起来。第三，勘探控制给古诺峰带来了新的数学挑战，特别是由于运输方程中的非局部项（来自离散储量事件）和非光滑储量分布，其中包括x=0的点质量和（0，∞). 第四，时间固定的古诺制造创造了一种非标准的“自由边界”特征，这需要一个与时间相关的近似值。我们的见解包括分析勘探不确定性和勘探频率对MFG平衡的模糊影响。这突出了除了游戏效果之外，战术稳定性、预备队和两种类型的控制之间的复杂互动。另一个重要贡献是开发定制的数值方案，以解决古诺模型的各种版本，这些版本需要对边界条件、空间和时间维度以及确定最优控制的一阶条件项进行不同的处理。在我们的示例中，时间范围T的作用主要是次要的，仅影响发现率λ（T）。可以进行更广泛的校准，以添加额外的t依赖性，这可以作为一种手段来捕获边做边学，或者捕获发现规模可能会随着时间而变小的直觉。提出的MFG方法的另一个变体是考虑单一主要能源生产商和大量次要能源生产商之间的竞争，参见【23，10】。例如，这相当于石油输出国组织（OPEC）在原油市场上发挥的主导作用，OPEC控制着全球约40%的石油产量。

由于由此产生的市场力量，小生产者根据欧佩克的生产战略选择生产战略。相应的博弈模型将包含主要参与者的博弈价值函数、代表性生产者的博弈价值函数以及次要生产者的储量分布。然后，价格由主要生产商加上所有次要生产商的总产量决定。另一个悬而未决的问题是，如何确定具有随机发现的制造业MNE的存在性和唯一性，以及相关价值函数的规律性。如前所述，对应的储量分布是非光滑的，点质量为x=0，因此预计只有弱不规则性。直观地说，如果发现分布是连续的（而不是固定数量的δ），则可能有更好的规律性，尽管这可能会对HJB方程产生进一步的挑战，在（3.12）中引入一个boni fied积分项。这种理论分析也有助于严格化所提出的数值格式的收敛性。附录A。1命题3.1证明。给定T，设h（T，x）∈ C∞c（（0，T）×R+）是（0，T）×R+中紧支持的测试函数。使用跳过程的It^o公式，h（T，XT）=h（0，X）=0，我们得到0=E[h（T，XT）- h（0，X）]=EZT公司th（t，Xt）- q（t，Xt）yh（t，Xt）dt+ZT[h（t，Xt）- h（t-, Xt公司-)]dNt公司= -Z∞ZT公司th（t，x）xη（t，x）dtdx+Z∞ZTq（t，x）xh（t，x）xη（t，x）dtdx-Z∞δZT（h（t，x）- h（t，x- δ） ）λ（t）a（t，x- δ)xη（t，x- δ） dtdx+ZTh（t，δ）λ（t）a（t，0）π（t）dt=：I1+I2+I3+I4。（A.1）通过部分积分以及h（t，x）在（0，t）×R+中具有紧密支撑的事实，最后一个等式（A.1）右侧的倒数等于toI1=Z∞ZTη（t，x）t型xh（t，x）dtdx=-Z∞ZT公司xh（t，x）tη（t，x）dtdx。

（A.2）通过定义F（t，x）：=Rxλ（t）A（t，z）η（t，dz），x>0，可将（A.1）最后等式右侧的第三项写成3=-Z∞δZTh（t，x）xF（t，x- δ） dtdx+Z∞ZTh（t，x）xF（t，x）dt dx=Z∞δZTF（t，x- δ)xh（t，x）dtdx-Z∞ZTF（t，x）xh（t，x）dt=Z∞δZT（F（t，x）- F（t，x- δ))xh（t，x）dtdx-ZδZTF（t，x）xh（t，x）dt dx。（A.3）（A.1）最后一个等式右侧的第四项可以写成asI4=ZTZδxh（t，x）dxλ（t）a（t，0）π（t）dt=ZδZTλ（t）a（t，0）π（t）xh（t，x）dtdx。（A.4）将（A.2）-（A.4）代入方程（A.1），得到0=-ZδZTxh（t，x）tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zx0+λa（t，z）η（t，dz）+λ（t）a（t，0）π（t）idt dx-Z∞δZTxh（t，x）tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zxx-Δλa（t，z）η（t，dz）dt dx，（A.5），这对于任何测试函数h（t，x）都是正确的∈ C∞c（（0，T）×R+）。根据（A.5）右侧的第一项，我们有0=tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zx0+λ（t）a（t，z）η（t，dz）+λ（t）a（t，0）π（t），0<x<δ。（A.6）根据（A.5）右侧的第二项，我们有0=tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zxx-Δλ（t）a（t，z）η（t，dz），x>δ。（A.7）两个方程（A.6）-（A.7）构成了命题3.1中储量分布的运移方程。A、 引理3.2证明。我们将输运方程（3.16）的两边对x进行积分（0，∞] toobtainZ公司∞0+tη*（t，x）dx=-=:I1z}|{Zδ0+Zx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx公司-=:I2z}|{Z∞δZxx公司-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx+Z∞0+q*（t，x）xη*（t，x）dx。（A.8）对于定义Stieltjes积分的最后一项，积分等于xη*（t，x）dx=η*（t，dx）。

我们对（A.8）的RHS的前两个术语应用分部积分，以获得1=xZx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）δ0+-Zδ0+xx个Zx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx=δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）-Zδ0+xλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）和（A.9）I2=xZxx-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）x个=∞x=δ-Z∞δxx个Zxx公司-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx=-δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）-Z∞δxλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）-Z∞0+（x+δ）λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）= -δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）+Zδ0+xλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）+δZ∞0+λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）。（A.10）（A.8）的左侧可以写为Z∞0+tη*（t，x）dx=ddtZ∞0+η*（t，x）dx，（A.11），其中，在η和*（t，x）和tη*（t，x）在域（t，x）中是连续的∈ [0, ∞) × (0, ∞). 通过将（A.9）–（A.11）代入方程式（A.8），我们得到了ddtz∞0+η*（t，x）dx=-δZ∞0+λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）+Z∞0+q*（t，x）η*（t，dx），给出（3.19）。A、 3命题6.1的证明我们首先提出了引理A.1和A.2，它们总结了与我们制造模型的流体极限相关的偏微分方程。引理A.1。极限对策值函数vand reserves分布函数（|π，|η）满足以下系统rv（x）=p- v（x）q*（十）- Cq（▄q*（x） （）+-Ca（yena*（x） ）+~a*（x） λδИv（x）, x个≥ 0，（A.12）（0=-λδИa*(0)~π- q*(0)~η(0+),0 = (-λδИa*（x） +/q*（x） ）～η（x），x>0，（A.13），其中最佳生产率～q*和勘探率a*由q给出*（x） =βL-Q- κ- v（x）+,a*（x） =βλδИv（x）- κ+, （A.14）和总产量▄Qi由等式▄Q=-Z∞βL- κ- v（x）-Q+η（dx），（A.15），均衡价格为▄p=L+Z∞q*（z） Иη（dz）。（A.16）证明。

为了得到极限对策值函数≈v（x）的HJB方程（A.12）和相关的最优生产控制（A.14），我们让 → 0，因此δ ↓ 0和λ/ ↑ ∞ 在HJB方程（3.2）和相关的最佳生产和勘探控制（3.3）-（3.4）中，a*（x） =lim→0a*（x） =lim→0β[λ（￠v）（x+δ) - v（x） （）- κ] +=lim→0βλ（￠v）（x+δ) - v（x） （）- κ+=βλδИv（x）- κ+,q*（x） =lim→0q*（x） =lim→0βL-Q- κ- v（十）+=βL-Q- κ- v（x）+.方程式（A.13）和（A.15）类似于（5.5）和（5.7）。请注意，作为 ↓ 0 integraltermRxx-δλa（z） η（dz）在第三种情况下δ< （3.16b）的x收敛于→0Zxx-δλa（z） η（dz）=lim→0Zxx-δλa（z） η（dz）=λИa（x）xη（x）。引理A.2（x=0时的流体极限静态边界条件）。边界x=0的平衡生产和勘探流体速度极限满足（6.8）。证据在没有储量的边界x=0上，我们必须有ΔλИa*(0) ≥ q*(0) ≥ 0，即储量增加率必须大于或等于生产率。如果a*（0）=0，由此得出q*（0）=λδa*(0) = 0. 现在我们考虑的情况是*(0) > 0. 自q起*（十）≥ 0为非递减，且▄a*（x） 随着x的增加，减少到0，我们必须有一些点x*≥ 0个这样的q*（十）*) = λδa*（十）*). 请注意，一旦储备过程XT达到x级*, 自生产率q起，它将保持不变*（十）*) 由储量增量的速率λδОa平衡*（十）*) atXt=x*. 我们现在证明x*= 对于矛盾假设x*> 0

然后▄v（x*) =Z∞h▄p▄q*（二十）*t）- Cq（▄q*（二十）*t） （）- Ca（yena*（二十）*t） ）ie-rtdt=Z∞[▄p▄q*（十）*) - Cq（▄q*（十）*)) - Ca（yena*（十）*))] e-rtdt≤ v（0），从x开始*, Xx号*t=x*对于所有t，因此得出的策略（≈q*（十）*), a*（十）*)) 对于零初始储量是可接受的，因此对于问题定义v（0）是次优的。接下来，让τ：=infnt≥ 0：Rtq*（0）ds=x*o、 v（0）=Zτpq*（Xt）- Cq（q*（Xt））- Ca（yena*（Xt））e-rtdt+e-rτИv（Xτ）<Zτpq*（Xt）- Cq（q*（Xt））e-rtdt+e-rτИv（Xτ）≤ v（x*) （A.17）如果严格不等式“>”是由于假设*（0）>0，最后一个不等式是从x开始的策略*, 使用零勘探将储量降至零，然后继续使用▄v（Xx*τ） 可用于问题定义v（x*) （处理固定）。上述两个不等式相互矛盾；因此x*= 0和▄q*（0）=λδИa*(0).利用引理A.1和A.2，我们证明了命题6.1。命题6.1的证明。（i） 。自q起*（x） >0和￠a*（x） =0，对于x>0，根据内部的方程式（A.13），对于x>0，我们有￠η（x）=0。因此，储量分布生成为0，|π=1的点质量。将后一个事实代入（A.15），我们得到▄Q=βL- κ- v（0）-Q+,给出了Q=1+β（L- κ- v（0））+。根据（A.14），x=0时的平衡生产率为q*(0) =βL- κ- v（0）-Q+=1 + βL- κ- v（0）+. （A.18）将生产率（A.18）和勘探效率（A.14）用x=0替换为方程式q*（0）=λδИa*（0）求解▄v（0），我们得到▄v（0）=（L- κ)β+ κ(1 + β)β+ (1 + β)λδ. （A.19）然后，通过将上述v（0）代入（A.18），我们得到了q*（0）=[（L- κ)λδ - κ]+β+ (1 + β)λδ.由于▄π=1，我们有▄Q=-R∞q*（x） η（dx）=q*（0）得出（6.7）。A、 4引理证明6.1防止。类似于引理A.2，在x=0时，我们有q*（t，0）=λδa*（t，0）。

（A.20）将（6.3）-（6.4）代入（A.20），得到边界条件xv（t，0）=β（p（t）- κ) + βλδκβλδ+ β.将（6.5）代入（6.3）-（6.4），我们得到*（t，0）和q*（t，0）的显式形式*（t，0）=λδ（p（t）- κ) - κβλδ+β，（A.21）q*（t，0）=λδ（p（t）- κ) - λδκβλδ+ β. （A.22）通过将（6.5）、（A.21）和（A.22）代入HJB方程（6.1），我们得到了v（·，0）的以下线性一阶微分方程：0=tv（t，0）- rv（t，0）+（a）*（t，0））+（q*（t，0））, 0<x，0≤ t<t，允许显式解v（t，0）=v（t，0）e-r（T-t） +ZTt（a）*（s，0））+（q*（s，0））e-r（s）-t） D匹配（6.6），因为v（t，0）=0。参考文献【1】Y.Achdou、F.Camilli和I.Capuzzo Dolcetta，《平均场游戏：有限差分法的收敛》，暹罗数值分析杂志，51（2013），第2585-2612页。[2] Y.Achdou和A.Porretta，《平均场游戏中偏微分方程组弱解的有限差分格式的收敛》，暹罗数值分析杂志，54（2016），第161-186页。[3] K.J.Arrow和S.Chang，《不确定资源存量的最优定价、使用和勘探》，《环境经济与管理杂志》，9（1）（1982），第1-10页。[4] A.Bensoussan、J.Frehse和P.Yam，《平均场游戏和平均场类型控制理论》，斯普林格出版社，2013年。[5] P.Cardaliaguet和P.J.Graber，《一阶平均场游戏系统》，ESAIM：控制、优化和变异演算，21（2015），第690-722页。[6] P.Cardaliaguet、J.-M.Lasry、P.-L.Lions和A.Porretta，《平均场游戏、网络和异质媒体的长期平均值》，7（2012），第279-301页。[7] P.Cardaliaguet、J.-M.Lasry、P.-L.Lions和A.Porretta，《具有非局部耦合的平均场游戏的长期平均值》，《暹罗控制与优化杂志》，51（2013），第3558–3591页。[8] E.Carlini和F.J。

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