这将需要移动到一个稍大的空间，在那里事情变得更容易管理。定义A.1（LpP（Go；M）空间）让▄LpP（Go；M）表示不相交并集的子集∈RLpP（Gt∨0; M）由所有家庭组成{Xt}t∈R调整7→ Xt（ω）∈ D（R；M，dg）；P- a、 s.由这些操作引起的▄LpP（Go；M）上的自然拓扑将用τ表示。将▄LpP（Go；M）上的拓扑重新定义为▄LpP（Go；M）上最粗糙的拓扑，满足（i）τ不比▄LpP（Go；M）上的拓扑粗糙，（ii）{Znt}n∈当且仅当n收敛到zt，且分别为ttoτ和{Znt时，n收敛到▄LpP（Go；M）元素-n} n个∈Nconverge to Ztinτ。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日LpP（Go；M）的一点紧定位用LpP（Go；M）表示，新点用∞ 被称为逃生点。LpP（Go；M）的元素称为永恒过程，用Zo。备注A.2。由于LpP（Gt；M）是LpP（Go；M）的拓扑子空间，因此它继承了相对论。Theorem4.6中讨论的不可分割性与此相对论有关。备注A.3（逃生点）。逃生点∞ 被解释为描述不满足方程式（4.3）的完整性条件或不在给定时间点P-a.s.备注a.4中取值的永恒过程（LpP（Go；M）中的点是永恒的，可能会爆炸）。LpP（Go；M）的每个元素都由时间t索引，时间t取R中的值，而不仅仅取[0，∞). 时间t=0被解释为观察者首次获得过程信息的时间。这样，时间t=0以上的部分是一个过程，它可以分解任意多个时间，而时间t=0以下的部分则被解释为观察者的前历史。这样，LpP（Go；M）中的过程被认为是永恒的。

请注意，永恒的过程Xe:Ttis Gt∧T适应。引理A.5（存在）。空间LpP（Go；M）存在并且在同胚上是唯一的。此外，LpP（Go；M）在LpP（Go；M）中是稠密的。证据~LpP（Go；M）的唯一性和密度在LpP（Go；M）中是一点紧集的性质。设τ表示▄LpP（Go；M）上的拓扑。设T表示包含τ且（ii）适用的拓扑集。T为非空，因为离散顶层满足（i）和（ii）。由于拓扑的交点又是一种拓扑（见[33，第55页问题a.a]），因此LpP（Go；M）上的拓扑存在且∩τ ∈Tτ。存在源于拓扑空间的一点紧定位的存在LpP（Go；M），∩τ ∈Tτ.黎曼对数和黎曼指数映射扩展到了nlpp（Go；M）和LpP之间的对应关系Go；研发部. 要看到这一点，请考虑mapsLOGg（）：LpP（Go；M）×LpP（Go；M）→ LpP公司Go；研发部LOGgZo（Yo）7→0：Zo=Yo=∞LoggZt（Yt）：Zo和Yo6=∞∞ : 其他的t型∈R、 EXPg（）：LpP（Go；M）×LpPGo；研发部→ LpP（Go；M）EXPgZo（Yo）7→（（ExpgZt（Yt）：Zo6=∞ 和Yo6=∞∞ : 其他）t∈R、 这些空间还展示了直接源自Alexandro Off one pointcompacti fication的通用属性，用于构建这些空间，但它们不属于本节的中心重点，因此在此不讨论。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日，如果内部过程Zo从未命中，则这些映射将通过Logg（）折叠为组件级后期合成（resp.Expg（））∞.map dg（·，·）还将m ap从LpP（Go；m）×LpP（Go；m）诱导到[0，∞ ]. 由Dg（·，·）表示的诱导地图由zo7定义→（dg（Zt，Xt）：如果X和Z 6=∞∞ : 其他的当没有遇到逃生点时，所有这些都会崩溃到通常的定义。

他们将为本节的指导者发挥关键的技术作用。引理A.6。每1个≤ p<∞ Fo、函数fn（Zo）和Zt的每一个子过滤G∈代表LOGgZt-n（Zt）- 低GgZt-n（Xt）pdt，Γ-收敛到函数lf（Zo），Zt∈代表Dpg（Zt、Xt）dton LpP（克o；米）。证据设Zo是LpP（Gt；M）的元素，{Zno}n∈Nbe在LpP（Gt；M）中收敛到Z的序列，X是LpP（Ft；M）的元素。每t∈ R、 反转Fatou引理意味着Limn7→∞Zt公司∈代表LOGgZnt-n（Znt）- LO GgZnt公司-n（Xt）pdt（A.3）≤Zt公司∈代表界限7→∞LOGgZnt-n（Znt）- LO GgZnt公司-n（Xt）pdt（A.4）k·k，Logg（）的连续性和路径t 7的P-A.s.连续性→ Zt（ω）和LpP（Go；M）上拓扑的选择意味着方程（A.4）的RHS极限存在，并且可以计算到belimn7→∞Zt公司∈代表LOGgZnt-n（Znt）- LOGgZnt-n（Xt）pdt公司≤Zt公司∈REPh公司LOGgZt（Zt）- LOGgZt（文本）pidt（A.5）=Zt∈REPh公司LOGgZt（文本）pidt=Zt∈代表Dpg（Zt、Xt）dt。（A.6）这里使用LOGgx（x）=0的事实以及黎曼对数和黎曼度量之间的关系，如P+Dby方程（3.4）中所示。类似地，通过ord inary Fatou的LemmaZt∈代表Dpg（Zt、Xt）dt公司≤ 界限7→∞Zt公司∈代表LOGgZnt-n（Znt）- LO GgZnt公司-n（Xt）pdt。（A.7）根据Γ-收敛的定义，F是泛函Fnon LpP（Go；M）的Γ-极限。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日假设A.7 X go，Xo6=∞.定理4.6的证明依赖于Γ-收敛理论的中心利益。这一结果[13，Theorem 7.8]在度量空间公式中也被称为[10，定理2.10]中的Γ-收敛基本定理。可以重新表述为，如果一系列泛函FnΓ-收敛到紧拓扑空间x上的一个函数，那么它必须满足yminx∈XΓ-limn7→∞Fn（x）=limn7→∞infx公司∈XFn（x）。

（A.8）理论证明4.6。引理4.3建立了紧拓扑空间LpP（Go；M）上所讨论泛函之间所需的Γ-收敛性；这就给出了每1存在一个内在条件期望，例如pP[Xt | Gt]≤ p<∞ .对于本证明的其余部分，p将等于2。方程（4.4）将由不可数强归纳法建立，并由全序集（R，≤). 根据XgT和Eg的定义，pP[Xt | G]if遵循Xg=EgP[X | G]=Z。因为Xge:0t=Xgand EgPXe:0t燃气轮机= 每t的EgP【X | G】≤ 0，建立了（不可数）强诱导假设的基本情形。假设每t≤ T，Xgt=Eg，pP[Xt | Gt]e:T。它由Fnto F的Γ-收敛得出，即minzo∈LpP（Go；M）ZTt=0EPhDpg（Zt，Xe：Tt）idt=minZo∈LpP（Go；M）Zt∈REPhDpg（Zt，Xe:Tt）idt（A.9）=limn7→∞infZo∈LpP（Go；M）Zt∈代表LOGgZt-n（Zt）- LOGgZt-nXe：Ttpdt=limn7→∞infZo∈LpP（Go；M）ZTt=0EPLOGgZt-n（Zt）- LOGgZt-nXe：Ttpdt。这里使用的事实是，T以上和0以下的Xe:tti是相同的。方程（A.9）两侧积分的非负性和积分的单调性意味着方程（A.9）的LHS最小EPDpg（Zt，Xe:Tt）对于介于0和当前时间t之间的t的m-a.e.值。因此，通过对内在条件期望的定义，方程（A.9）的左手边通过永恒过程G p最小化Xe：Tt燃气轮机e： T.（A.10）同样地，方程式（A.9）的右侧由P的最小值最小化LOGgZt-n（Zt）- LOGgZt-nXe：Ttp.自t起-n<t，归纳假设可能适用于henceZt-n=Xge:tt-n=EgPhXe:tt-n燃气轮机-镍。（A.11）紧性假设是仅要求等矫顽力的陈述的特例。A、 K ratsios，C。

Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日方程（A.11）暗示LOGgXge:tt-nXe：tt不再作为变量进入优化。LpP（Go；M）和LpP（Go；Rd）之间的对应关系由地图日志确定：tt-n（）给定fzo∈LP（Go；M）EP“LOGgXe:tt-n（Zt）- LOGgXe:tt-nXe：ttp#=infZo∈LpP（Go；Rd）EP“LOGgXe:tt-n（Zt）- LOGgXe:tt-nXe：ttp#（A.12）=EPLOGgXe:tt-nXe：tt燃气轮机, （A.13）其中使用了条件期望L公式的最小二乘性质（见[32，第80页]）。由于黎曼对数是一个差同态，变量的变化可能会被撤销。HencearginfZo∈LP（Go；M）EP“LOGgXge:tt-n（Zt）- LOGgXge:tt-nXe：ttp#=EXPgXge：tt+narginf▄Zo∈LpP（Go；Rd）EP“Zt- L OGgXge：tt-nXe：ttp#=扩展：tt+narginfZt∈LpP（Gt；Rd）EP“Zt- L OGgXge：tt-nXe：tttp#=EXPgXge:tt+nEP“LOGgXge:tt-nXe：ttGt#！。（A.14）重组方程（A.9）、（A.10）和（A.14）yieldsEgPXe：TT燃气轮机e： T=极限7→∞EXPgXge：tT-nEP“LOGgXge：TT-nXe：TTGt#！e： T=Xge:TT。（A.15）假设A。7表示Dg、LOGg（）、EXPg（）减少到它们通常的对应项。这就完成了归纳，并建立了定理4.6。定理4.6的证明说明了如何通过较大空间LP（G·；M）得出关于较小LP（Gt，M）空间的结论。