Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化是多项式23，最后等式中的积分正好是第i个Voronoi单元的权重。（21）中密度的表达式来自以下事实：带payoff f的导数的定价为，回忆方程（6），E[f（XT）]=Xn≥0fn\'n=Xn≥0ZRf（y）Hn（y）w（y）dy`n=ZRf（y）Xn≥0Hn（y）`nw（y）dy，其中我们可以改变有限和和和积分的顺序这一事实在科勒等人（2018）中得到了证明。由于衍生产品的价格也可以看作是Zrf（y）gT（y）dy，（21）如下。最后，P（XT）的表达式∈ Ci（Γ））直接来自第4.1条的证明。A、 3引理证明4.5防止。首先要记住=e-rTZR（ex- K） +g（M）T（x）dx- e-rTNXi=1ZCi（ΓX）（exi- K） +g（M）T（x）dx.通过引入s:=ex（请注意- K） +是关于s的Lipschitz，这将是至关重要的），我们haverrn=e-rT公司Z∞（s）- K） +g（M）T（ln s）十二烷基硫酸钠-NXi=1ZCi（ΓS）（si- K） +g（M）T（ln s）十二烷基硫酸钠其中S（M）是密度为h（M）T（S）的随机变量：=g（M）T（ln（S））S∈ (0, +∞) 其中，ΓS={S，…，sN}是S（M）T的N量化器。我们用bs（M，N）T表示S（M）TonΓS的量子化bS（M，N）T=si=ZCi（ΓS）h（M）T（S）ds。因此，研究误差ERRN与估计基于S（M）Tvia量化的欧洲看涨期权定价的误差相关。现在，对于每个具有Lipschitz常数[f]Lip的Lipschitz函数f，我们得到以下结果：errN=流行性出血热S（M）T- fbS（M，N）T我≤ [f] 唇部S（M）T-bS（M，N）T≤ [f] 唇部S（M）T-bS（M，N）T,G、 Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化多项式24，其中| | S（M）T-bS（M，N）T | r=NXi=1ZCi（S）| S- si | rh（M）T（s）ds！ris密度为h（M）的随机变量与其量化之间的距离为n点。看涨期权支付的Lipschitz常数等于1，我们得到了结果。A、 4定理的证明4.6证明。

值得注意的是，在这个多项式设置中，通过定义（回忆方程（24）），密度g（M）T（s），s∈ (0, +∞), 行为类似于sMe-s、 所以h（M）T（s）的行为类似于（lns）Me-（ln s）s=：eh（M）T（s）在0和单位。Callegaro等人（2018b，定理2.11）的证明由五个步骤组成，从零到四。现在，我们将其应用于我们的设置和二次量化的情况，即引用的论文中的p等于2的情况。前三个步骤保持不变，因此webrie会绘制它们。步骤0我们必须证明| | h（M）T | | p+1=| | h（M）T | |<+∞. 因此，我们研究了0和+∞ 的积分eh（M）T. 在其余的证明中，在不丧失一般性的情况下，我们将假设M是3的倍数，因此计算将是明确的。如果我们用M表示：=M，那么基元函数是zeh（M）T（s）ds=βMErf-2+ln s√+MXn=1αnse-lns（lns）M-n=：eHMT（s），其中Erf是误差函数，定义为Erf（s）=πRse-tdt和系数αn，n=1，M和βmca可以显式计算，例如使用Mathematica等符号编程语言。鉴于thatlims→+∞eHMT（s）=βMandlims→0eHMT=-βMwe获得| | h（M）T | | |的完整性。步骤1这里可以显示（10）中定义的失真函数D的以下估计，该失真函数与在通用网格Γ={S，…，sN}中计算的S（M）Tand相关：D（S，…，sN）≤Zs（s）- y） h（M）T（s）ds+N-1Xi=1h（M）T（ξi）+h（M）T（ξi+1）si+1- 硅+Z+∞序号（y- sN）h（M）T（s）ds，G.Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，对于某些ξ，…，量子化为多项式25，ξN∈ R、 步骤2存在网格Γ={s，…，sN}，和ζ。

，ζN-1，带ζi∈ [si，si+1]，这样Z'sih（M）T（s）ds=Z+∞\'\'sNh（M）T（s）ds=2N | | h（M）T | |，和（si+1- si）=| | h（M）T||h（M）T（ζi）N、 步骤3我们为量化误差提供以下界限：S（M）T-bS（M，N）T≤h（M）T24分钟-1Xi=1h（M）T（\'ξi）+h（M）T（\'ξi+1）h（M）T（ζi）（(R)si+1- \'si）+Z\'s（\'s- s） h（M）T（s）ds+Z+∞\'\'sN（s- \'sN）h（M）T（s）dsStep 4在步骤2中，我们已经证明了n=| | h（M）T||Z？sih（M）T（s）ds公司=||h（M）T||Z+∞\'\'sNh（M）T（s）ds公司,为了证明这一点，当N→ ∞,Z’s（\'s-s） h（M）T（s）ds和Z+∞\'\'sN（s-(R)sN）h（M）T（s）dsare oN, 我们只需要证明Limy→+∞Z+∞y（s）- y） h（M）T（s）dsZ+∞yh（M）T（s）ds公司= 0和thatlimy→0Zy（s）- y） h（M）T（s）dsZy公司h（M）T（s）ds公司= 0.自0和0时起，h（M）T~呃（M）T，我们可以等价地证明→+∞Z+∞yseh（M）T（s）ds- 2yZ公司+∞yseh（M）T（s）ds+yZ+∞yeh（M）T（s）dsZ+∞yeh（M）T（s）ds公司= 0克。Callegaro，L.Fiorin，A.Pallavicini，量子化多项式26和thatlimy→0Zyseh（M）T（s）ds- 2yZyseh（M）T（s）dz+yZyeh（M）T（s）dsZy公司eh（M）T（s）ds公司= 对于一个常数，我们有：`=0，1，2，Zs` eh（M）T（s）ds=β\'，MErf-` + ln s公司√+M-1Xn=0α′，ne-（ln s）s`（ln s）n=：eH（M）`，T（s），其中，如前所述，Erf是误差函数，α`，nandβ`，mca可以用闭合形式的Mathematica计算`=0，1，2。请注意，limy→+∞eH（M）`，T（y）=β`，Mandlimy→0eH（M）`，T（y）=-β`，M，表示`=0，1，2。那么我们就有了thatlimy→+∞Z+∞yseh（M）T（s）dz- 2yZ公司+∞yseh（M）T（s）ds+yZ+∞yeh（M）T（s）dsZ+∞yeh（M）T（s）ds公司=石灰→+∞β2，M-eH（M）2，T（y）- 2年β1，M-eH（M）1，T（y）+ yβ0，M-eH（M）0，T（y）βM-eH（M）T（y）= 0，以类似的方式，limy→0Zyseh（M）T（s）ds- 2yZyseh（M）T（s）ds+yZyeh（M）T（s）dsZy公司eh（M）T（s）ds公司=石灰→0eH（M）2，T（y）+β2，M- 2年eH（M）1，T（y）+β1，M+ yeH（M）0，T（y）+β0，MeH（M）T（y）+βM= 0.sincent-1Xi=1h（M）T（\'ξi）+h（M）T（\'ξi+1）h（M）T（ζi）（(R)si+1- (R)si）→ 2 | | h（M）T | |，当N→ +∞, 我们推导出thatlimN→+∞N | | S（M）T-bS（M，N）T||≤||h（M）T | |，由于引理4.5，我们得出结论。G、 Callegaro，L.Fiorin，A。

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