当资产按市价计价时，这种贬值会给j银行造成损失。我们随后发现，即使在i和j之间没有直接合同（如之前考虑的与银行间贷款相关的合同）的情况下，压力也可以通过公共资产x的价格中介从i传播到j。类似于交易对手违约风险的情况，因此，需要提出的问题是“银行间重叠投资组合的模式（可以建模为一个二部网络）如何影响系统性风险”？图3显示了重叠投资组合的简单网络的图示。Ciffentes等人首先研究了由于共同资产持有和出售而造成的损失的影响。[61]在艾森伯格-诺伊模型的背景下。在他们的论文中，Cifuntes等人[61]考虑了一个通过银行间借贷关系网络进行互动的银行系统，其中所有银行都投资于一项共同的外部资产。银行受到资本约束，因此，如果面临亏损，需要清算其在共同资产中的部分投资。作者在一个由10家银行组成的系统上进行了数字模拟，以显示系统对银行初始违约的响应，并研究了改变银行间网络平均连通性的影响。他们发现，网络中的连接数与观测到的故障数之间存在非单调关系。Gai和Kapadia[7]也探讨了类似的情况，其中银行间借贷网络建模为定向Erd"os-R'enyi网络，交易对手违约传染通过第3节以及Nier等人讨论的阈值动力学建模。May和Arinaminpathy【63】以Nier等人的模型为基础。

[62]，其中他们提出了一个平均场解决方案，考虑到银行通过不同的资产类别相互影响，并考虑到这些资产类别之间的传染。上述论文考虑了一种或几种资产类别的再出售影响，但其重点是研究作为银行间贷款网络性质函数的系统稳定性。最近，重点转向研究重叠投资组合网络本身及其形状如何影响系统稳定性。重叠投资组合网络通常被建模为一个二部作品，其中存在两种类型的节点（银行和资产），链接只能将银行连接到资产ACBBanks assets图3：重叠投资组合网络的图示。银行与资产负债表中的资产相关联。压力可能在拥有共同资产的银行之间传播。例如：如果银行1陷入困境并清算其投资组合，资产A将贬值。这将给第二银行造成损失，而这可能需要清算其投资组合。该清算将导致资产A进一步贬值，资产B也贬值，从而给银行3、4和5造成损失，并导致资产C贬值。这意味着银行正在投资该资产。如果我们考虑一个由N家银行和M项资产组成的系统，我们可以用矩阵Q来描述系统的结构，其中元素Qia是银行i持有的资产a的股份数，我们也用资产a的路径价格来表示。除了网络，定义模型需要两个主要因素。第一个是银行对其损失的反应，第二个是资产对其清算的反应。如果我们考虑在离散时间步长t=1，2，…上发生的动态。

., 银行i的响应可以用mapQia（t）=fia[Qia（t）]来定义- 1） ，Ai（t- 1） ，Ei（t- 1） ]，（30）其中，我们用Ai（t）表示银行i在时间t的资产价值，用Ei（t）表示其权益，而资产a的响应可以用mappa（t）=ga[{Qia（t）}]，（31）其中，我们用{Qia（t）}表示集合{Q1a（t），Q2a（t），…，QNa（t）}。在关于重叠投资组合的网络模型的文献中，对于银行的反应，有两种选择是常见的：要么银行在违约之前都是被动的，在这一点上，它们会清算所有的报告组合，要么它们会以一定的杠杆率为目标，定义为资产市值与权益之间的比率：下面我们简要讨论其中一些模型。虽然存在一些差异，但我们讨论的模型在成分上都非常相似，但分析的重点却截然不同。5.1 Threshold dynamicsHuang等人[46]考虑了银行在违约前处于被动状态，并且在违约时清算其全部报告组合的情况，以便FIA[Qia（t- 1） ，Ai（t- 1） ，Ei（t- 1)] =Qia（0），如果Ei（t- 1) ≥ 00，如果Ei（t- 1) < 0. （32）在Huang等人[46]中，假设资产价格对清算asga[{Qia（t）}]=pa（0）作出反应1.- αPi[Qia（0）- Qia（t）]皮卡（0）, （33）其中α≥ 0是与资产a相关的市场影响相关的参数。上述表达式表示，在时间t时资产的价值线性取决于截至该时间已清算的股份份额（相对于系统中持有的股份总数）。Huang等人[46]对2007年美国商业银行的情况进行了实证分析。他们考虑了7846家商业银行和13个资产类别的数据，并通过将一个资产类别的值从pa（0）降低到pa（1）来进行压力测试- ξ） pa（0），带0≤ ξ ≤ 1.

然后，他们计算在初始冲击触发的级联过程中幸存下来的数字银行。他们发现，作为参数α和ξ的函数，幸存银行的数量会发生突变，商业房地产贷款的贬值是次贷危机期间商业银行倒闭的原因。非常有趣的是，Huang等人[46]还通过将他们的模型预测的应该倒闭的银行与2008年至2011年间实际倒闭的银行进行比较，对他们的模型进行了实证验证。他们对假阳性率和真阳性率的分析表明，该模型具有预测能力。Caccioli等人[47]也提出了一个类似的重叠投资组合模型，他还考虑了银行和资产的两部分工作以及更新银行资产头寸的地图（32）。然而，资产贬值的规则在对数回报率中是线性的，正如[7，61]中的规则一样。这可以写为ga[{Qia（t）}]=pa（0）1.- eαPi【Qia（0）】-Qia（t）]皮卡（0）. （34）Caccioli等人[47]研究了当银行和资产数量较大时，系统在限制条件下的稳定性。特别是，它们确定了初始小扰动（如银行初始破产或资产贬值）可能导致全球一连串破产的条件。他们表明，该模型可以用分支过程来描述。特别是，使用网络是树的近似值，他们定义了一个转移矩阵∏，其元素∏ij表示j组的唯一故障触发i组故障的概率：∏ij=prob“MXa=1Qiapa（0）1.- e-αQja/PkQka>Ei#. （35）Caccioli等人。

【47】还可以根据市场影响函数的其他选择测试其结果，例如线性函数（33）和平方根市场影响定律。5 10 15510152025图4：二部Erd"os-R"enyinetwork重叠投资组合级联模型的不稳定区域。在红色区域内，系统显示全局级联。此时，可以通过研究∏的最大特征值来评估系统作为模型参数函数的稳定性。在这篇论文中，Caccioli等人[47]提供了二分体os-R"enyi集合中网络的结果，并且，与交易对手违约风险的情况类似[7]，他们发现平均多元化和观察全球级联的概率之间存在非单调关系。它们也表明了杠杆率的临界值的存在，低于该临界值，系统相对于初始冲击总是稳定的，这与网络连通性无关。这如图4所示，该图展示了不稳定地区的情况，该地区是银行平均多元化程度（即银行在重叠投资组合网络中的平均程度）和银行杠杆率的函数，银行杠杆率定义为银行投资组合的市场价值除以其权益。该图指的是【47】中考虑的相同设置，采用两部分Erd"os-R'enyi网络，并假设所有银行都具有相同的杠杆率。Banwo等人【64】通过数值模拟研究了非均匀度分布对该模型的影响。5.2杠杆率目标（Leverage TargetingCacioli et al.【47】还考虑了放松银行是被动投资者这一假设的影响，并看看如果银行决定将其初始杠杆率作为动态目标，会发生什么。如果一家银行过度提供支持，其杠杆率将上升，因此需要重新平衡以降低风险。

他们考虑了银行在时间t时通过清算一部分来应对损失的情况Ai（t）=γAi（t）1.-λiEi（t）Ai（t）（36）他们的投资。在上面的公式中，λiis是银行i的目标杠杆率，而参数γ∈ [0，1]确定银行实现目标的速度。Ai（t）是银行在时间t清算的资产的总价值。要知道某一特定资产a的出售股份数量，需要除以银行投资组合中不同资产的数量（此处假设银行清算的资产份额相同）和资产a的当前价格。这将导致以下响应函数FIA【Qia（t- 1） ，Ai（t- 1） ，Ei（t- 1)] =Qia（t- 1) - γAi（t-1） 基帕（t-1)1.-λiEi（t-1） Ai（t-1), 如果Ei（t- 1) ≥ 00，如果Ei（t- 1) < 0. （37）他们发现，银行通过先发制人清算来降低个人风险的尝试，最终显著扩大了可以观察到全局级联的参数空间区域。Greenwood等人提出了一种基于杠杆目标冲击传播的压力测试框架。在这种情况下，银行在时间t估计其损失，然后减少投资规模，以便在时间t+1时恢复其初始杠杆，这与γ=1的不等式（37）对应。去杠杆化导致价格贬值，从而导致银行按市值计价的损失，这将进一步需要去杠杆化，等等。[65]所考虑的市场影响函数是一个线性函数，类似于方程式（32）中的函数。他们试图理清不同因素对零售业蔓延造成的损失的影响，表明如果一家银行的关联度更高、规模更大、杠杆率更高，并且更容易受到最初的冲击，那么该银行对总去杠杆化的贡献就更大。

它们还引入了银行对特定资产的间接脆弱性的概念，通过与资产相关的去杠杆化导致的银行权益损失来衡量。这必须与直接脆弱性的概念形成对比，即银行对资产的直接暴露。他们在2009-2011年期间，在欧盟最大的90家银行上测试了该模型。通过对上市银行的回归分析，他们发现，直接和间接脆弱性对银行回报具有相同的解释力。Greenwood等人[65]的模型以Duarte和Eisenbach[66]开发的框架为基础，以衡量银行的总体脆弱性和系统重要性。Greenwood等人[65]还表明，他们对溢出效应造成的总体脆弱性的衡量在2008年危机之前增长得很快，他们能够理清杠杆率、系统规模和非流动资产投资集中度的增加对总体脆弱性的贡献。Cont和Schaanning[67]认为，动态介于被动投资者和杠杆目标投资者之间。在他们的模型中，他们解释了这样一个事实，即银行的杠杆率与监管允许的最大杠杆率之间通常存在差距。这样做是为了使他们不会因为相对较小的损失而被迫平仓。他们将银行视为被动投资者，直到其亏损使银行打破杠杆约束。当这种情况发生时，银行为了达到其目标而进行减持，但该目标低于监管制度允许的最大值（以便恢复一小部分缓冲）。

它们还区分了可变现且受市场影响的有价证券和不可变现因而无法变现的非流动资产。去杠杆化只涉及有价证券。Cont和Schaanning[67]考虑了欧洲银行管理局收集的51家欧洲银行的数据，并将压力测试的结果与其模型和目标杠杆进行了比较。在价格变化方面，他们考虑了线性和平方根市场影响。他们发现，两种模型估计的损失存在显著差异。非常有趣的是，他们还引入了不同银行投资组合之间的重叠矩阵，其中每项资产都由其流动性加权，并且他们表明，尽管许多金融机构的投资组合之间没有重叠，但它们之间都有二阶重叠。这意味着，不考虑第二轮损失的压力测试可能会严重低估系统风险。尽管冲击系统的冲击或重叠投资组合网络的构建可能存在随机性，但上述动态都是确定性的。一种随机动态，例如Corsi等人[68]中考虑的动态。他们考虑了一个由N家银行组成的系统，这些银行从M个可能的资产中随机选择资产，其中M被计算为多元化的最佳价值，对应于银行在VaR约束条件下最大化其利润，这相当于杠杆目标[69]。然后，资产的价值是取决于银行交易的线性市场影响项加上随机成分的总和，而随机成分又是公共因素和特殊成分的总和。

至于我们在这里讨论的其他模型，投资组合的相对构成不会随时间而改变，但每次银行都会改变对投资组合的投资量，以保持其目标杠杆率。Corsi等人【68】表明，随着多元化程度的增加，系统从资产收益时间序列平稳的稳定状态转变为以泡沫和破裂为特征的不稳定状态。6银行间网络的实证结构有许多作品旨在描述现实世界金融网络的结构。衡量和分析金融网络的结构有两个目标：一方面，对金融网络结构的了解可以洞察本地风险如何通过金融联系传播到整个网络。这类研究旨在衡量特定网络拓扑的系统性风险，这些风险可能会出现并在一定时期内保持不变（即静态结构）。另一方面，由于拓扑结构随时间变化，有关动态过渡模式的知识可以帮助我们预测系统风险将如何随时间演变。在本节中，我们简要回顾了这两条研究银行间网络静态和动态结构的研究路线。6.1静态结构6.1.1不同国家的银行间网络在过去十年中，许多国家对银行间网络的拓扑结构进行了研究。这些研究包括奥地利的Boss等人[30]，德国的Upper and Worms[70]，比利时的Degryse等人[71]，荷兰的Van Lelyveld and Liedorp[72]，意大利的Iori等人[31]和Bargigli等人[43]，英国的Wells[73]和Lang field等人[74]，美国的Fur fine[75]，巴西的Cont等人[32]，Martinez Jaramillo等人。

【76】墨西哥，Imakubo和Soejima【77】日本。虽然在一些国家可以获得双边交易数据，但在许多国家，综合平衡表数据（如贷款总额）是双边交易的唯一信息来源。在这种情况下，需要使用合适的估计方法来估计银行间网络结构。意大利银行间市场的数据就是一个例子，在意大利银行间市场中，银行通过一个名为e-MID的在线平台进行交易。e-MID数据可从位于米兰的e-MID S.p.A公司购买(http://www.e-mid.it/).最常用的方法是最大熵（ME）法。ME方法通过最大化银行间联系的熵来估计网络结构，这意味着银行间贷款总额尽可能均匀地分配给所有可能的借款人。ME方法的一个缺点是，估计的网络可能比实际网络密度大得多。米斯特鲁利（Mistrulli）[78]认为，ME方法可能过度或低估了违约蔓延的风险。为了克服这个问题，最近还提出了更复杂的方法[79]。Anand等人【80】通过将几种现有估计方法应用于各种经验网络，比较其准确性。提取双边交易信息的更直接方法是使用银行间支付数据。由于支付流包含银行间结算和转账信息，因此可以过滤掉双边银行间贷款信息。除其他外，Fur fine【75】，Demiralp等人采用了这种方法。[81]，Imakubo和Soejima[77]。6.1.2核心-外围结构有人认为，银行间网络在某个时间点的结构最好描述为核心-外围结构[82]。核心-外围结构由两组组成：核心和外围。

核心节点和外围节点的区别如下：；核心构成整个网络的子图，其中节点彼此紧密连接。外围节点连接到核心节点，但不连接到其他外围节点。这由块邻接矩阵表示#≈“1 CPPC 0#，，（38）其中CC表示表示核心节点之间连接的子矩阵，PC表示核心节点和外围节点之间的连接。因为我们考虑了无向图，所以PC和CP是相同的。一般来说，在有向图中检测核心-外围结构是一个具有挑战性的问题，现有的大多数核心-外围检测方法都是针对无向图开发的。在purecore外围结构中，CC=1（即完整图）和PP=0（即外围节点之间没有链接）。将所有节点分为核心节点和外围节点是一项非常重要的任务，实现这一点的一种方法是找到核心节点，以最小化经验邻接矩阵和理想核心-外围块矩阵之间的差异（38）[82–84]。6.1.3经验网络：核心-外围结构与二部结构我们在表1中总结了估计银行间网络核心-外围结构的工作。这些实证研究在数据和时间尺度上有所不同。例如，Fricke和Lux【84】以及Barucca和Lillo【85，86】将这些数据用于银行间交易，但前者研究季度聚合网络，后者分析每日网络。

Imakubo和Soejima【77】研究了从银行间支付数据中过滤出来的交易数据，其他研究基于金融机构向金融机构报告的监管数据。虽然许多关于核心-外围结构的实证研究基本上是基于上述标准检测方法，但也使用了一种更灵活、更广泛使用的块体结构检测方法，称为Stocastic块体模型（SBM）[87]。SBM是一种随机图的概率模型所有TISEsignificant TISE2014年6月23日至2014年7月4日2001年4月23日2001年5月7日2001年6月12日2007年6月25日图5：意大利银行间网络的可视化，e-MID。网络在10个工作日内聚合。红色和黑色圆圈分别表示意大利和其他外国银行。可视化由Python igraph和Kamada Kawai算法完成【91】。具有灵活的块体结构；节点被分配到不同的块，每对节点都以概率连接，这取决于节点的块。该模型可以生成任意的块结构，如核心-外围结构、模块结构和二部结构。事实上，Barucca和Lillo【85，86】采用了这种方法，并发现最能代表e-MID隔夜货币市场的两块结构是每日处置的两部分（即借款人和贷款人）。即使在聚合网络的情况下，作为银行间网络特征的程式化核心-外围结构的合理性也可能存在争议。从公式（38）可以明显看出，之前的工作隐含地假设经验网络由单个核心块和单个外围块组成。这表明，即使在经验网络中没有这样的标准核心-外围结构，估计方法将每个节点分类为核心节点或外围节点。

事实上，最近的研究表明，看似核心-外围的结构可能只是来自于异质程度的分布，或者由两个核心组成【88–90】。作为一个示例，图5显示了意大利银行间网络在10个工作日内的聚合情况。似乎在网络的中心有密集连接的核心节点，而也有（似乎）彼此未链接但连接到核心的外围节点。然而，2007年，意大利银行和其他外资银行似乎形成了两个类似核心的集团，这使得很难提取出一个程式化的纯核心-外围结构。网络中有两个核心-外围结构可能是合理的【89】。6.2每日规模的银行间网络动态6.2.1为什么是每日规模？尽管大多数实证研究都是基于静态和聚合网络，数据的粒度对于识别金融机构的异质行为和获取参考数据类型国家分辨率年Fricke和Lux【84】交易数据意大利2015年季度Raig和von Peter【83】监管数据德国2014年季度Veld和van Lelyveld【92】监管数据荷兰2014年季度Lang field等人【74】至关重要监管数据英国2014年度Imakubo和Soejima【77】结算数据日本2010年月度Barucca和Lillo【85，86】交易数据意大利日报2016表1：银行间网络核心-外围结构的实证研究。市场在其固有时间尺度上的功能。在银行间市场，大多数双边交易都是隔夜进行的，这意味着作为贷款人和借款人的两家银行之间的关系只持续一天或更短，这取决于贷款合同签订的时间。

例如，在意大利银行间市场，2000年至2015年期间，86%以上的交易是隔夜贷款[21]。如果利息问题是为了理解金融风险的相互关联性，那么隔夜贷款关系的聚合网络包含不相关的信息，因为在不同的日子形成的不同边缘实际上并不同时存在。许多研究人员之所以研究聚合网络，不一定是因为它传递了有关相互关联的风险结构的信息，而是因为它将揭示有关银行之间长期关系结构的有意义的信息。聚合网络吸引注意力的另一个可能原因是，日常网络可能比聚合网络更稀疏、噪音更大，而且它们似乎每天都在以纯粹随机的方式改变其结构【93，94】。6.2.2每日网络动态巴鲁卡（Daily network Dynamics Barucca）和利洛（Lillo）[85，86]表明，在每日解决方案中，e-MIDinterbank市场的银行间网络结构不是以核心-外围结构为特征，而是以两部分结构或更一般的社区结构为特征。降低时间分辨率（如数周或数月）往往会增加检测到核心-外围结构的可能性，但这种网络中不可忽视的一部分仍然以二部结构为最佳特征。Kobayashi和Takaguchi【21】通过显示日常银行间网络的二分性在过去十年中不断增加，进一步巩固了他们的结果。如果我们将银行间市场视为双边风险敞口结构每天都在变化的动态系统，那么一个有趣的问题是，日常动态是随机的，还是具有鲁棒性和时不变特性。

Kobayashi和Takaguchi[21]发现，由组合（N，M）表示的每日市场活动，其中N和M分别是活跃银行和边缘的数量，严格地由超线性关系N来控制∝ M1.5或hN i∝√M、 独立于日常网络的结构和大小（图6a）。他们还发现了电子中端市场中的几种日常动态模式，如交易持续时间的幂律分布（图6b）和权重增长的帐篷状分布。二部性是Estrada和Rodriguez Veliazquez[95]提出的二部结构的度量，如果网络是完整的，则取0.5，如果是纯二部的，则取1。10010110210310-510-410-310-210-1100数据斜率=2.9（a）（b）持续时间（天）CCDF图6：意大利隔夜银行间网络的缩放规律。（a） 2000年9月4日至2015年12月31日（3922个工作日），节点数（N）和边数（M）之间的超线性关系。每个点对应一天。（b） 2010-2015年期间银行对交易持续时间的互补累积分布函数（CCDF）（根据营业日数）。有趣的是，这些属性在通过电话和面对面交互等人类交互形成的社交网络中无处不在【96–98】。7讨论在本文中，我们回顾了最近基于网络方法研究金融系统性风险的工作。虽然我们试图涵盖尽可能多的研究主题，但这些显然并不详尽。特别是，本文没有讨论的两个重要研究领域是系统性风险的预测和控制。与其他科学领域一样，系统性风险的研究通常有三个步骤才能成熟为科学研究领域：第一步是理解和建模真实世界现象背后的机制。

二是预测系统的未来状态。第三步也是最后一步是控制系统，以避免不希望出现的现象。本文讨论的大多数研究仍处于第一阶段。自2000年代末以来，来自不同领域的研究人员刚刚开始合作开发模型，例如通过双边敞口和重叠投资组合的银行间违约级联模型，可用于分析描述现实世界的现象。然而，近年来，越来越多的研究人员通过模拟金融监管机构可能采取的政策工具来解决系统性风险的可控性问题。我们仍然需要在每一步都进行进一步的研究，以加深对金融网络复杂性的理解，减少系统风险。我们希望这篇综述文章将鼓励来自不同科学领域的研究人员加入这一具有挑战性的研究领域。确认SF。C、 感谢经济及社会研究理事会（ESRC）对系统性风险中心的资助（ES/K002309/1）。P、 B.感谢FET项目DOLFINS nr.640772的财政支持。T、 K.感谢日本科学促进会的财政支持。15H05729和16K03551。参考文献[1]May R.M.、Levin S.A.、Sugihara G.（2008）《复杂系统：银行家的生态学》。自然451（7181），893–895。[2] Schweitzer F.、Fagiolo G.、Sornette D.、Vega Redondo F.、Vespignani A.、White D.R.（2009）《经济网络：新挑战》。《科学》325（5939），422–425。[3] Battiston S.、Farmer J.D.、Flache A.、Garlaschelli D.、Haldane A.G.、Heesterbeek H.、HommesC。，Jaeger C.、May R.、Scheffer M.（2016）《复杂性理论与金融监管》。科学351（6275），818–819。[4] Haldane A.G.，May R.M.（2011）《银行生态系统中的系统性风险》。

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