对于电力公用事业情况，最佳消耗c*t=c*（t） ，t∈ [0，T]是一个确定性过程，其中c*（t） =ex*c、 P（qP（t））和ex*c、 P（·）表2：c>0ρ时的最佳消耗量- 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)c<c<λ1/（1）-p） cI+bc（t）I+c Ibc（t）I+cIbc（t）I+cIc cc<c=λ1/（1-p） cI+bc（t）Ibc（t）bc（t）c cc<λ1/（1-p） <c cI+bc（t）Ibc（t）bc（t）bc（t）cI+bc（t）Iλ1/（1）-p） =c<c c bc（t）bc（t）cI+bc（t）Iλ1/（1-p） <c<c c c bc（t）I+cIbc（t）I+cicici+bc（t）I+ci在（27）中给出，qP（·）在表8中给出。此外，最优消费c*表2对其进行了总结。在此，表中的常数K对应于（15）中的未来投资贡献因子，并且具有明确的形式K：=g（x*π; x个*u，x*σ) =R+π（u- R）-1.-pσπ，β≥ π;R+（u-R） 2（1-p） σ，1≤ β≤ π;u-1.-pσ，β≤ 1.≤ β;r+（u-r） 2（1-p） σ，0≤ β≤ 1.r、 β≤ 0≤ β;r+（u-r） 2（1-p） σ，π≤ β≤ 0;r+π（u- r）-1.-pσπ，β≤ π、 （31）和bc（t）=bcP（qP（t））（参见（27））。指标函数Iba表示T=0和T=T的时间段【Ta，Tb】，其中不同时间段的明确形式在附录B中给出。由于篇幅较长，证明推迟到附录B。表2列出了不同参数下所有可能的消费模式。例如，当市场参数满足c<c<λ1/（1）时，第一行和第一列（左上角）中的cI+bc（t）I+cI是最佳消费-p） 和ρ- 主键∈ (-∞, (1 - p） c）。更具体地说，在时间间隔[0，T]内，投资者将以最低利率c消费。然后投资者将以最佳利率bc（T）=λ1/（1）消费-p） exp（qP（t）/（p- 1） ）在时间间隔[T，T]中，因为在这种情况下，c≤ bc（t）≤ c

最后，在剩余时间间隔[T，T]内，投资者将以最大利率C消费。相反，在右下角，当λ1/（1-p） <c<c和ρ- 主键∈ ((1 - p） c、+∞). 也就是说，消耗量将从[0，T]中的最大速率c下降到[T，T]中的bc（T），最终下降到[T，T]中的最小速率c。下面，我们将对不同的消费模式进行一些直观的解释。从FPC和c的表达式*（t） ，我们知道最优消费c*t=c*（t） 在c=0的情况下，结果与表2中的结果相似，只是cI+bc（t）I+cIAN和cI+bc（t）I分别被bc（t）I+cIAN和bc（t）替换。注意，当c=0时，由于λ>0，因此关于最佳消耗的最后两行是无关的。区间[c，c]内凹函数fP（qP（t），·）的最大值。此外，注意bc（t）=λ1/（1-p） exp（qP（t）/（p-1） ）如（27）所示，是R+上fP（qP（t），·）的最大点。因此，c*如果c<bc（t）<c，则t=bc（t）。否则，c*twill可以是c或c。从下面命题4.6的证明中，我们知道qP（t）在时间t上是单调的，bc（t）也是单调的。因此，bc（t）是否保持在[c，c]中，不仅取决于它在两个端点bc（t）和bc（0）处的值，以及它们与c和c的关系。事实上，从m qP（t）=0开始，bc（t）=1/λ1-p、 根据bc（t）的连续性，当Tapproach成熟时，c*（t） 如果c<c<λ1/（1），将达到其上限c-p） ；c*（t） 如果c<λ1/（1），则精确为bc（t）-p） <c；c*（t） 如果λ1/（1），将研究其下界c-p） 上述三种情况决定了表2中行的分类。另一方面，对于limT，我们有以下渐近结果→+∞表3中的bc（0）（另见附录B，尤其是（49）-（52））。

根据bc（t）的连续性，当t足够大且t接近初始时间0时，c*（t） =到岸价格ρ-主键∈ (-∞, (1 -p） c）；c*（t） =bc，如果ρ- 主键∈ ((1 -p） c，（1- p） c）；和c*（t） =c，如果ρ- 主键∈ ((1 - p） c、+∞). 因此，上述情况将表2中的列分开。表3:T时bc（0）的极限→ +∞ρ - 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)限制→+∞bc（0）<c=c∈ （c，c）=c>cNext，我们进一步证明了最优消费具有一些时间单调性。与无约束消费情况相反，无论（ρ）的值是多少，消费约束可能会迫使最优消费要么不递增，要么不递减-pK）。提案4.6。最佳消耗c*t、 t型∈ [0，T]在时间T内具有以下单调特性，如表4所示。符号、和⊥ 分别表示不减少、不增加和独立于时间t。表4：时间c<c<λ1/（1）的最佳消耗-p） c≤ λ1/(1-p）≤ cρ- pK<（1- p） λ1/（1）-p） ρ- pK=（1- p） λ1/（1）-p） ρ- pK>（1- p） λ1/（1）-p） ⊥ λ1/(1-p） <c<c证明。它源于ex的表达式*c、 （27）中的P（xq）和bcP（xq），如果qP（t）是非递增的，那么c*（t） =ex*c、 P（qP（t））是非减量的；如果qP（t）为非递减，则c*（t） 是非递增的。另一方面，表达式（26）和ODE（15）导致q′P（t）=-p'fP（qP（t），c*（t） ）q′P（t），（32），其中'fP（qP（t），c*（t） ）：=-λpcpe-qP（t）<0，如果qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ；-λ1/(1-p） peqP（t）/（p-1） <0，如果（p- 1） lnc+lnλ≤ qP（t）≤ （p- 1） ln c+lnλ；-λpcpe-qP（t）<0，如果qP（t）>（p- 1） ln c+lnλ。我们认为q′P（t）的符号不随t而改变∈ [0，T]。否则，假设存在0≤ t<t≤ 使q′P（T）>0且q′P（T）<0。根据q′P（t）的连续性，存在∈ （t，t）使得q′P（t）=0。现在让t：=inf{t>t:q′P（t）=0}。

因此，t∈ （t，t），q′P（t）=0，对于t，q′P（t）>0∈ 根据中值定理，存在t∈ （t，t）使得q′P（t）=q′P（t）-q′P（t）t-t<0。然而，对于t，q′\'P（t）>0∈ 根据（32），这是一个矛盾。我们已经证明，qP（t）是t的非递增或非递减∈ [0，T]。因此，必须考虑q′P（T）的符号。让我们首先考虑情况c<c<λ1/（1-p） 。对于这种情况，我们有（p- 1） ln c+lnλ>0=qP（T），因此，（26）意味着T=T处的ODE（15）减少到q′P（T）=-（λcp- pc）- pK+ρ，其中常数K在（31）中给出。然而，定理4.5暗示c*（t）≡c如果ρ- 主键≥(1 -p） 在这种情况下，我们只需要考虑ρ的情况-pK<（1-p） c的单调性质*（t） 。连同C<λ1/（1）-p） 进一步得到了q′p（T）<-（c1-pcp公司- pc）+（1- p） c=0。反过来，q′P（t）≤ t为0∈ [0，T]，这意味着c*（t） 对于t是不减损的∈ [0，T]。其他两个案例c≤ λ1/(1-p）≤ c和λ1/（1）-p） <c<c可以用类似的方法处理，因此省略了它们的证明。4.3对数效用定理4.7下的最优消耗。假设T是一个大的整数。对于对数效用情况，最优消费c*t=ex*c、 L（qL（t）），t∈ [0，T]是一个确定性过程，具有*c、 L（·）和qL（·）分别在（29）和（34）中给出。此外，最优消费c*表5对其进行了总结。表5：c情况下的最佳消耗量≥ 00<ρ<cρ=c c<ρ<cρ=cρ>c0<λ≤ c c c bc（t）I+cIbc（t）I+cIcI+bc（t）I+cIc<λ<ccI+bc（t）I^c（t）I^c（t）I+bc（t）Iλ≥ccI+bc（t）I+cIbc（t）I+cIbc（t）I+cIc cHerein，iab表示时间间隔[Ta，Tb]的指标函数，bc（t）=λe-qL（t），t=0，t=t+ρlnλ（ρ-c） c（ρ- λ） ，T=T+ρlnλ（ρ- c） c（ρ- λ） ，T=T。（33）函数ql的形式为ql（T）=lnλρ+1.-λρe-ρ（T-t）.

（34）此外，最佳消耗c*对于ρ，t相对于t不递增≥ λ、 对于ρ，对于t不减≤ λ.注意，当c=0时，由于λ>0和ρ≥ 0，则关于最佳消耗量的第一行和第一列不相关。证据首先，很明显，ODE（19）的解采用（34）的形式。根据（29），我们知道*c、 L（xq）是相对于xq的非连续性。此外，表达式（34）表明，当ρ≥ λ、 当ρ≤ λ.然后，c的单调性*t=ex*c、 L（qL（t））立即跟随s。接下来，我们注意到eql（T）=1≥λc，0<λ≤ c∈ （λc，λc），c<λ<c；≤λc，λ≥c、 限制→+∞eqL（0）=λρ≥λc，0<ρ≤ c∈ （λc，λc），c<ρ<c；≤λc，ρ≥c、 （35）在下面，我们只证明情况0<λ≤ c和ρ>c。其他情况遵循类似的参数。由（35）可知，bc（T）=λe-qL（T）≤ c<c<λe-qL（0）=bc（0），c*T=ex*c、 L（qL（T））=c，c*= 前任*c、 L（qL（0））=提供的T足够大。此外，由于qL（·）是连续的，并且严格地随t增加，因此存在唯一的（t，t），例如qL（t）≥ lnλc，t∈ [T，T]；lnλc<qL（t）<lnλc，t∈ （T，T）；qL（t）≤ lnλc，t∈ [0，T]和T，T填写（33）中的表格。与（29）一起，我们推导出c*t=ex*c、 L（qL（t））=cI+bc（t）I+cI。5模型不确定性、投资组合消费约束和借款成本的影响在本节中，我们研究了模型不确定性、投资组合消费约束和借款成本对最坏情况参数（u）的影响*, σ*) 最优投资组合消费策略（π*, c*).提案5.1。假设假设假设4.1成立。

然后，对于电力效用情况，worstcase参数和最优投资组合消费策略在借款利率R、约束集[π，π]×[c，c]和不确定性参数集[u，u]×[σ，σ]方面具有以下单调性，如表6所示。符号、、，⊥ NM表示相应变量的非增、非减、独立、非单调。例如，底行和第一列（左下角）表示c*sis借款利率不变R.表6：比较统计Rππcuσσu*s⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥σ*s⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ π*s⊥ ⊥   ⊥ c*sNM⊥ 在进行证明之前，我们对上述结果提供了一些直观的解释。不同参数对最坏情况参数的影响（u*s、 σ*s） 最优投资组合π*从定理4.2的结果可以明显看出。所以我们只讨论它们对最优消费c的影响*s、 通过表达式（27）和c*s=ex*c、 P（qP（s）），参数（R、π、π、u、u、σ、σ）将通过机会过程eqP（s）的渠道影响最佳消费，机会过程eqP（s）是投资者在剩余期限内通过优化所有可接受的投资组合消费策略（至少由模型不确定性影响）获得的效用。仔细观察QP的ODE（15）告诉我们，这些参数只会进入未来的投资贡献因子G（x*π; x个*u，x*σ） in（23）。增加借贷成本R将使未来投资控制因子g（x*π; x个*u，x*σ） 规模较小，因此机会流程也将变小，即投资者在剩余期限内获得的公用事业将更少。反过来，她目前的最佳消费量将上升。

类似地，例如，增大不确定性参数区间【u，u】×【σ，σ】或缩小投资组合约束区间【π，π】，也会使未来的投资贡献系数g（x*π; x个*u，x*σ） 因此，将出现当前的最佳消费。更显著的结果是消耗约束区间[c，c]对最优消耗c的影响*s、 请注意，约束间隔只会影响消耗贡献因子fP（qP（s），c*（s） ）in（22），带c*（s） =ex*c、 P（qP（s））。较小的间隔将导致较小的消耗贡献因子fP（qP（s），c*（s） ）如（24）所示。反过来，投资者将在剩余期限内获得较少的公用事业。这可能意味着当前的最佳消费将增加。然而，情况并非总是如此，因为无约束最优消费bc（s）保持在收缩区间的可能性较小[c，c]。如果bc（s）达到下限c，则最佳c消耗将随着c的增加而进一步出现。另一方面，如果bc（s）达到上限C，则C经济体较小时的最佳消耗量将下降，因此，当C经济体较小时，会对最佳消耗量产生先前的递增影响。这意味着最优消费在其上界是非单调的。证据（i） u的单调性*s、 根据定理4.2，最坏情况下的漂移可写为su*s=u{u≥r} +u1{u<r}=u{u>r}+u1{u≤r} 对于s∈ [0，T]。第一行表示u*sis未减少，单位为u，第二行表示它也未减少，单位为u，与其他参数（R、π、π、c、c、σ、σ）无关。（ii）σ的单调性*s、 最坏情况下波动率σ的表达式得出了结论*s=s的σ∈ 定理4.2中的[0，T]。（iii）π的单调性*s

首先，定理4.2中β，β，β的表达式意味着它们在u，u中都是不减少的，在R，σ中都是不增加的，并且与σ，c，c无关，最优投资组合π也是如此*s、 asπ*相对于β、β、β，sis不减少（见图4.1）。从定理4.2的表1中，我们进一步得到π*s=最小{β，π}1{β≥1} +C{β<1}=最大{β，π}1{β≤0}+C{β>0}对于某些常数，与π相关，与π相关。因此，π*sis在π和π中均不减少。（iv）c的单调性*s、 我们首先研究了不同参数对ODE（15）溶液qP（t）的影响。注意，（R，π，π，u，u，σ，σ）仅通过hg（x）影响qP（t*π; x个*u，x*σ） =K，其中K在（31）中给出。从表达式（31）可以明显看出，K在R中是不递增的。此外，因为K是g（xπ；x）的最大值*u，x*σ） 超过xπ∈ [π，π]，K在π中不增加，在π中不减少。另一方面，K也是g（x）的最小值*π; xu，xσ）大于（xu，xσ）∈ [u, u] × [σ,σ].因此，K在u，σ中不减少，在u，σ中不增加。然而，Kfurther的表达式意味着K与σ无关。然后，根据ODE（15）的比较定理，其解qP（s）在R、π、u、σ中不增加，在π和u中不减少，与σ无关。

关于最优消费c的结论*Then遵循定理3.2和表达式（27）。就cand c对c的影响而言*s、 自fP（qP），c*（s） ），带c*（s） =ex*c、 P（qP（s）），是fP（qP（s），xc）对xc的最大值∈ [c，c]，c是非递增的，c是非递减的。根据ODE（15）的比较定理和表达式（27），我们再次得出c（s）是非递减的，c是非递增的。反过来，表达式（27）意味着最佳消耗c*sis在c中也不减少，但在c中的第二个和最后一个术语中既不增加也不减少inc*（s） 设置彼此的影响。事实上，我们在0的情况下证明了非单调性≤ c<c<c<λ1/（1）-p） 和ρ- 主键∈ ((1 - p） c，（1- p） c）。根据定理4.5，c*（t） 和c*（t） 取bc（t）I+cI的形式。当t接近t时，c*（t） =c>c=c*（t） 。另一方面，当它足够大且t接近零时，我们有c*（t） =bc（t）=expqP，1（t）p- 1.< 经验值qP，2（t）p- 1.= bc（t）=c*（t） ，其中严格不等式可以从ODE的比较定理中推导出来。最后，我们给出了对数效用情形的结果。它的证明被省略，因为它类似于电力公司案例的证明。提案5.2。与之相反的是，假设4.1成立。然后，对于对数效用情况，最坏情况参数和最优投资组合消费策略在借款利率R、约束s et[π，π]×[c，c]和不确定性参数集[u，u]×[σ，σ]方面具有以下单调特性，如表7所示。符号、、，⊥ 表示非递增、非递减且独立于相应变量。表7:logRππc cuuσu的比较统计*⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥σ*⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ π*   ⊥ ⊥   ⊥ c*⊥ ⊥ ⊥   ⊥ ⊥ ⊥ ⊥附录：定理4.2的证明，定理4.2的证明。

根据定理m 3.2，如果{x*π; x个*u，x*σ} 是函数g的鞍点（·；·，·），然后是x*π是最优投资组合，且（x*u,√x个*σ） 是最坏情况下的参数。因此，有必要证明{π*; u*, x个*σ} 定理4.2中给出的确实是函数g（·；·，·）的一个s addle点。首先，对于固定xπ∈ [π，π]，用g（xπ；xu，xσ）=p检查- 1xσxπ+xuxπ+r（1- xπ）- （R）- r） （1）- xπ）-,我们有最小值（xu，xσ）∈[u，u]×[σ，σ]g（xπ；xu，xσ）=g（xπ；u，σ），如果xπ>0；g（xπ；[u，u]，σ），如果xπ=0；g（xπ；u，σ），如果xπ<0，（36），其中[u，u]表示x*u可在该间隔内取任何值。通过定义g（xπ）：=g（xπ；x），可以将上述最小函数进一步写成比较形式*u，x*σ） =p- 1σxπ+uI{xπ>0}+uI{xπ<0}- r I{xπ<1}- RI{xπ≥1}xπ+rI{xπ<1}+rI{xπ≥1}.下面，我们研究了三种不同情况下g（xπ）的最大值xπ≥ 1, 0 ≤ xπ≤ 1和xπ≤ 0，然后加上约束π≤ xπ≤ π、 我们将获得最大化器x*π和相关最大值g（x*π).案例（1）xπ≥ 1.g（xπ）=p- 1σxπ+u- R（p- 1)σ+ R-(u- R） 2（p- 1)σ.如果β=（u- R） /（（1- p） σ）≥ π、 然后最大值1≤xπ≤πg（xπ）=g（π）≥ g（1）。如果1<β<π，则最大值为1≤xπ≤πg（xπ）=g（β）>g（1）。如果β≤ 1，然后最大值1≤xπ≤πg（xπ）=g（1）。案例（2）0≤ xπ≤ 1.g（xπ）=p- 1σxπ+u- r（p- 1)σ+ r-(u- r）2（p- 1)σ.如果β=（u- r） /（（1- p） σ）≥ 1，然后最大值0≤xπ≤1g（xπ）=g（1）>g（0）。如果0<β<1，则最大值为0≤xπ≤1g（xπ）=g（β）>最大值{g（1），g（0）}。如果β≤ 0，然后最大值0≤xπ≤1g（xπ）=g（0）>g（1）。案例（3）xπ≤ 0.g（xπ）=p- 1σxπ+u- r（p- 1)σ+ r-(u - r） 2（p- 1)σ.如果β=（u- r） /（（1- p） σ）≥ 0，然后最大π≤xπ≤0g（xπ）=g（0）。如果π<β<0，则最大π≤xπ≤0g（xπ）=g（β）>g（0）。如果β≤ π、 thenmaxπ≤xπ≤0g（xπ）=g（π）≥ g（0）。比较上述三种情况下的最大值，并注意到β≤ β≤ β、 我们看到maxπ≤xπ≤πg（xπ）=g（x*π） =K，其中K在（31）中定义，最佳x*π在表1中定义。

因此，我们得到了provedg（x*π; x个*u，x*σ) ≥ g（xπ；x*u，x*σ),  xπ∈ [ π, π ].另一方面，x*π如表1所示，它遵循（36）thatg（x*π; x个*u，x*σ) ≤ g（x*π; xu，xσ）， （xu，xσ）∈ [ u, u ] × [ σ, σ].因此，{x*π; x个*u，x*σ} 是函数g（·；·，·）的一个延迟点。附录B：定理4.5的证明首先，当c>0时，我们给出表8中ODE（15）的显式解。解q，q，q，q，q，q，q，q，q具有显式形式sq（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，T，T）I[T，T]+q（T；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，0，t）；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，0，T）I[0，T]；q（t）=q（t；1/λ，t，t）I[t，t]+q（t；cp-1，T，T）I[T，T]+q（T；cp-1，0，T）I【0，T】，在c=0的情况下，结果与表8中的结果相似，只是qand Qar分别被qand q取代。

注意，在这种情况下，表8中的第四行和第五行与q、q、q、q、q、T、T、皮重无关。表8:o f c>0ρ时ODE（15）的显式解qP（·）- 主键(-∞, (1 - p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c，（1- p） c）{（1）- p） c}（（1- p） c、+∞)c<c<λ1/（1）-p） q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）c<c=λ1/（1-p） q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）c<λ1/（1-p） <c q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）λ1/（1）-p） =c<c q（t）q（t）q（t）q（t）q（t）λ1/（1-p） 其中I[t，t]是集合[t，t]的指示函数，且区间[t，t]中的函数q（t；A，t，t），q（t；A，t，t），q（t；A，t，t），t（t；A，t，t）=lnλ+lnh公司A.-cpρ+pc-主键e（ρ+pc-pK）（t-T）+cpρ+pc-pKi，ρ-pK 6=-pc；lnhA+cp（T- t） i，ρ- pK=-pc；（37）q（t；A，t，t）=lnλ+(1 - p） lnh公司A1/（1）-p）-1.-pρ-主键eρ-pK1-p（t-T） +1个-pρ-pKi，ρ- pK 6=0；(1 - p） ln公司A1/（1）-p） +吨- t型, ρ - pK=0；（38）q（t；A，t，t）=lnλ+lnh公司A.-cpρ+pc-主键e（ρ+pc-pK）（t-T）+cpρ+pc-pKi，ρ-pK 6=-pc；自然对数A+cp（T- t）, ρ - pK=-pc，（39）和T，T，T，T，皮重给定asT=T+ρ+pc-pKhln公司内容提供商-1.-cpρ+pc-主键- 自然对数λ-cpρ+pc-主键i、 ρ- pK 6=-pc；T- 1/c+1/（λcp），ρ- pK=-pc；（40）吨=T+1-pρ-pKhln公司c-1.-pρ-主键- 自然对数c-1.-pρ-主键i、 ρ- pK 6=0；T+1/c- 1/c，ρ- pK=0；（41）吨=T+1-pρ-pKhln公司c-1.-pρ-主键- 自然对数λ1/（p-1)-1.-pρ-主键i、 ρ- pK 6=0；T+λ1/（p-1)- 1/c，ρ- pK=0；（42）T=T+1- pρ- 主键自然对数c-1.- pρ- 主键- 自然对数λ1/（p-1)-1.- pρ- 主键; （43）T=T+ρ+pc- 主键自然对数内容提供商-1.-cpρ+pc- 主键- 自然对数λ-cpρ+pc- 主键; （44）T=T+1- pρ- 主键自然对数c-1.- pρ- 主键- 自然对数c-1.- pρ- 主键.

（45）例行检查任何A>0和0≤ T≤ 函数q（T；A，T，T），q（T；A，T，T）和q（T；A，T，T）分别求解以下常微分方程，qP（T）=lnλ+ln A+ZTth- ρ+λcpe-qP（s）- pc+PKID， t型∈ [T，T]；（46）qP（t）=lnλ+ln A+ZTt“- ρ + (1 - p） λ（1-p） 经验值qP（s）p- 1.+ pK#ds， t型∈ [T，T]；（47）qP（t）=lnλ+ln A+ZTth- ρ+λcpe-qP（s）- pc+PKID， t型∈ [T，T]。（48）当c>0时，q（0；A，0，T），q（0；A，0，T）和q（0；A，0，T）具有以下渐近性质，极限→∞q（0；A，0，T）=lnλ+lncpρ+pc-主键, ρ - 主键>-pc+∞, ρ - 主键≤ -pc；限制→∞q（0；A，0，T）≤ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≥ (1 - p） c；（49）限制→∞q（0；A，0，T）=lnλ+（1- p） ln公司1.-pρ-主键, ρ - pK>0+∞, ρ - 主键≤ 0;限制→∞q（0；A，0，T）≥ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≤ (1 - p） c；（50）极限→∞q（0；A，0，T）≤ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≥ (1 - p） c；（51）限制→∞q（0；A，0，T）=lnλ+lncpρ+pc-主键, ρ - 主键>-pc+∞, ρ - 主键≤ -pc；限制→∞q（0；A，0，T）≥ （p- 1） ln c+lnλ<=> ρ - 主键≤ (1 - p） c.（52）定理4.5的证明。案例（1）0≤ c<c<λ1/（1）-p） 。在这种情况下，（p- 1） lnc+lnλ>0。由于qP（T）=0，那么，当T接近T时，qP（T）<（p- 1） lnc+lnλ和c*（t） =ex*c、 P（qP（t））=c。因此，qP（t）在区间[t，t]内满足A=1/λ且t=t的ODE（46），直到t=0或qP（t）=（P- 1） ln c+lnλ。（1.1）如果ρ- pK<（1- p） c6=0，解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），取区间[t，t]中（37）的形式。根据（49），q（0；1/λ，0，T）>（p-1） 如果ln c+lnλ足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1） lnc+lnλ，在（40）中给出。

因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的c。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK<0，则当t<且t接近t时，（p- 1） ln c+lnλ<qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ，and c*（t） =bc（t），形式为（27）。因此，qP（t）满足ODE（47），A=cp-1和T=T间隔[T，T]，直到T=0或qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ（其中我们使用了q′P（t）的sig n o不变这一事实（参见第4.6条）和qP（t）>（P- 1） lnc+lnλ表示anyt<T）。求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，T，T）在区间[T，T]中以（38）的形式出现。根据（51），q（0；cp-1，0，T）>（p- 1） 如果T足够大，则ln c+lnλ。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；cp-1，T，T）=（p- 1） ln c+lnλ，在（41）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；cp-1、T、T）和c*（t） =区间[t，t]中的bc（t）。回顾q′P（t）的符号不变的事实（参见命题4.6），我们推断出qp（t）≥ （p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（48），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。解O DE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，0，T），如（39）所示。（1.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） c，重复与（1.1）相同的参数，我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如（37）中所示，和c*=区间[T，T]中的c，且qp（T）=q（T；cp-1，T，T），直到T=0或qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ。在ρ的情况下- 主键≤ (1 - p） c=0，（p- 1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；cp-1，0，T），且T=0。在另一种情况下，由于ρ- pK>0和ρ- 主键- (1 - p） c<0，则（38）意味着q（t；cp）-1，0，T）<lnλ+（1-p） ln1- pρ- 主键≤ lnλ+（1-p） lnc=（p-1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]。因此，我们推断T=0。

因此，qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（1.3）如果（1- p） c类≤ ρ - pK<λcp- pc，求解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如（37）中所示，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。Sinceq（t；1/λ，0，t）<lnλ+lncpρ+pc- 主键≤ lnλ+lncp-1=（p- 1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]，然后qP（T）=q（T；1/λ，0，T）和c*（t） =区间[0，t]中的c。（1.4）如果ρ- 主键≥ λcp- 通过求解ODE（46），我们得出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。自ρ+pc- 主键≥ 0和ρ+pc- 主键- λcp≥ 0，那么q（t；1/λ，0，t）相对于t是不减的，因此对于t∈ [0，T]，q（T；1/λ，0，T）≤ q（T；1/λ，0，T）=0<（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。案例（2）0≤ c<c=λ1/（1）-p） 。在这种情况下，请注意（p- 1） ln c+lnλ=0。（2.1）如果ρ- pK<（1- p） c6=0，自q′p（T-0) = ρ -pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ - (1 -p） c类-主键≤ ρ - 主键-(1 - p） c<0，那么，当t接近t时，qP（t）>0=（p-1） lnc+lnλ，qP（t）<（p-1） ln c+lnλ和c*（t） =bc（t）。因此，qP（t）在区间[t，t]中以A=1/λ和t=t满足ODE（47），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t），如区间[t，t]中的（38）所示。根据（51），q（0；1/λ，0，T）>（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）ln c+lnλ，在（42）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。回顾q′P（t）的符号不变的事实，我们推断在区间[0，t]中，qP（t）≥ qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（48），A=cp-1andT=T。

解O DE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，0，T），如间隔[0，T]中的（39）。（2.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） c，自q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ - (1 - p） c类- pK<0仍然成立，然后重复与案例（2.1）相似的ar-gument，我们推断c*（t） =bc（t）和qP（t）=q（t；1/λ，t，t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。在ρ的情况下-主键≤ (1 - p） c=0，（p-1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；1/λ，0，t），t=0。在另一种情况下，由于ρ- pK>0和（ρ- pK）- (1 - p） λ1/（1）-p） =（ρ- pK）- (1 - p） c<0，则对于任何t∈ [0，T]，我们仍然有q（T；1/λ，0，T）<lnλ+（1- p） ln1- pρ- 主键≤ lnλ+（1- p） lnc=（p- 1） ln c+lnλ。（53）因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（2.3）如果ρ- 主键≥ (1 - p） c.我们首先讨论ρ- pK>（1- p） c.结合以下计算Q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK>0，并且q′P（t）的符号不变，我们得出qP（t）<qP（t）=0=（P-1） lnc+lnλ，c*（t） =c，且qP（t）满足ODE（46），在区间[0，t]内A=1/λ，t=t。解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。另一方面，如果ρ- pK=（1- p） c，然后ρ- pK=λcp- pc和t∈ [0，T]，我们有qP（T）=0，因此仍然有qP（T）=q（T；1/λ，0，T）。案例（3）0≤ c<λ1/（1）-p） <c.在这种情况下，请注意（p- 1） lnc+lnλ<0<（p- 1） ln c+lnλ。

由于qP（T）=0，那么，当T接近T时，（p- 1） lnc+lnλ<qP（t）<（p- 1） ln c+lnλ，c*（t） =bc（t）和qP（t）s A=1/λ，t=t，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ或qp（T）=（p- 1） ln c+lnλ。（3.1）如果ρ-pK<（1-p） c6=0，解O DE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。自q′P（T-0 ) = ρ-pfP（qP（T），c*（T））-pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1-p） λ1/（1）-p）-pK<ρ-(1-p） c-pK<0，那么我们根据q′P（t）的符号不变的事实推断qP（t）相对于t是不递增的。因此，我们有qP（t）>（p- 1） 对于任何t，lnc+lnλ∈ [0，T]。此外，（51）意味着q（0；1/λ，0，T）>（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）ln c+lnλ，在（42）中给出。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK<0，则对于任何t∈ [0，T），我们有qP（T）>（p-1） ln c+lnλ和qP（t）满足ODE（48），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。求解ODE（48），我们得到qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（3.2）如果ρ- pK<（1- p） c=0或（1- p） c类≤ ρ - pK<（1- p） λ1/（1）-p） ，重复cas e（3.1）中的类似参数，我们推断qP（t）=q（t；1/λ，t，t），c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t），直到t=0或qP（t）=（p-1） ln c+lnλ。对于ρ的情况-主键≤ (1-p） c=0，（p-1） ln c+lnλ=+∞ > q（t；1/λ，0，t），t=0。对于另一种情况，由于ρ-pK>0和ρ-主键-(1 -p） λ1/（1）-p） <0，则（53）仍然有效。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（3.3）如果（1- p） λ1-p≤ ρ - 主键≤ (1 - p） 解ODE（47），我们有qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。

自ρ起- pK>0和ρ- 主键- (1 - p） λ1-p≥ 0，则q（t；1/λ，0，t）为非减量，对于t∈ [0，T]，我们有（p- 1） ln c+lnλ>0=q（T；1/λ，0，T）≥ q（t；1/λ，0，t）≥ (1 - p） ln公司1.- pρ- 主键+ lnλ≥ (1 - p） lnc+lnλ=（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（3.4）如果ρ- pK>（1-p） 通过求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t）。自q′P（T-0 ) = ρ-pfP（qP（T），c*（T））-pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1-p） λ1/（1）-p）-pK>ρ-(1-p） c类-pK>0，然后我们根据q′P（t）的符号不变的事实推断qP（t）相对于t是不递减的。因此，我们有qP（t）<（p- 1） 对于任何t，ln c+lnλ∈ [0，T]。此外，（50）意味着q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1）lnc+lnλ，以及（43）中给出的。因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK>0，则对于任何t∈ [0，T），我们有qP（T）<（p-1） lnc+lnλ和qP（t）满足ODE（46），A=cp-1和T=T间隔[0，T]。求解ODE（46），我们得到qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =区间[0，t]中的c。情况（4）λ1/（1）-p） =c<c。在这种情况下，请注意（p- 1） ln c+lnλ<0=（p- 1） ln c+lnλ。（4.1）如果ρ- 主键≤ (1 - p） c，我们首先考虑ρ- pK<（1- p） c.结合以下计算Q′p（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c- pK<0，并且q′P（t）的符号没有改变，我们推断qP（t）>0=（P- 1） ln c+lnλ，c*（t） =c，且qP（t）满足ODE（4 8），其中A=1/λ，t=t在区间[0，t]内。

SolvingODE（48），我们有qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。当ρ- pK=（1- p） c，很容易看出t∈ [0，T]，我们有qP（T）=0，并且我们仍然有qP（T）等于q（T；1，0，T）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（4.2）如果（1- p） c<ρ- 主键≤ (1 - p） c，因为q（T）=0=（p- 1） ln c+lnλ和q′P（T- 0) = ρ - pfP（qP（T），c*（T））- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c- pK>0，那么，当t接近t时，我们有（p-1） lnc+lnλ<qP（t）<（p-1） ln c+lnλ。因此，qP（t）在区间[t，t]中满足A=1/λ和t=t的要求，直到t=0或qP（t）=（p-1） ln c+lnλ或qP（T）=（p-1） ln c+lnλ。根据q′P（t）的符号不变的事实，我们推断qP（t）与t无关。因此，qP（t）=（P-1） 对于某些T，ln c+lnλ∈ 解ODE（47），我们得到qP（T）=q（T；1/λ，T，T）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。自（ρ-pK）-(1 - p） λ1/（1）-p） =（ρ-pK）-(1 -p） c>0，则q（t；1/λ，0，t）相对于t增加，因此对于t∈ [0，T），我们有（p- 1） ln c+lnλ=0=q（T；1/λ，0，T）>q（T；1/λ，0，T）>（1- p） ln1- pρ- pK+lnλ≥ (1 - p） lnc+lnλ=（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（4.3）如果ρ-pK>（1-p） c，重复案例（4.2）中的类似论点，我们推断qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。根据（50），q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；1/λ，T，T）=（p- 1） lnc+lnλ，以及（43）中给出的Tis。

因此，我们推导出t qP（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。组合Q′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -主键- (1 - p） c＞0，并且q′p（t）的符号不变，我们推断在区间[0，t]中，qP（t）<（p- 1） lnc+lnλ，c*（t） =c，qP（t）满足ODE（46），A=cp-1和T=T。解ODE（46），我们得到qP（T）=q（T；cp-1，0，T），在间隔[0，T]中。情况（5）λ1/（1）-p） 因为qP（T）=0>（p- 1） ln c+lnλ，则qP（t）满足ODE（48），A=1/λ，t=t，直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。通过求解O DE（48），我们得到qp（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =间隔[t，t]中的c。（5.1）如果ρ-主键≤ λcp-pc，然后ρ+pc- 主键- λcp≤ 0，q（t；1/λ，0，t）相对于t是不递增的，因此对于t∈ [0，T]，我们有q（T；1/λ，0，T）≥ q（T；1/λ，0，T）=0>（p-1） ln c+lnλ。因此，qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =cin间隔[0，t]。（5.2）如果λcp- pc<ρ- 主键≤ (1 - p） c，然后ρ+p c- 主键- λcp>0，andq（t；1/λ，0，t）≥ lnλ+lncpρ+pc- 主键≥ LNCCP+lnλ=（p- 1） ln c+lnλ， t型∈ [0，T]。因此，我们仍然有qP（t）=q（t；1/λ，0，t）和c*（t） =区间[0，t]中的c。（5.3）如果（1- p） c<ρ- 主键≤ (1 - p） c，则（52）表示q（0；1/λ，0，T）<（p- 1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch thatq（T；1/λ，T，T）=（p- 1） ln c+lnλ，在（44）中给出。

因此，我们推导出qP（t）=q（t；1/λ，t，t）和c*（t） =cin间隔【t，t】。Sinceq′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ -(1 - p） c类- pK>0，那么，当t<且t接近t时，我们有qP（t）<（p-1） ln c+lnλ和qP（t）>（p-1） ln c+lnλ，且qP（t）相对于t是非减量的，且qP（t）满足A=cp的ODE（47）-1andT=T间隔[T，T]，直到T=0或qP（T）=（p- 1） ln c+lnλ。求解ODE（47），我们得到qP（t）=q（t；cp-1，T，T）和c*（t） =间隔[t，t]中的bc（t）。自ρ起- 主键- (1 - p） λ1/（1）-p） >ρ- 主键- (1 - p） c>0，那么在这种情况下，q（t；cp-1，0，T）相对于T增加，因此对于T∈ [0，T），我们有（p- 1） ln c+lnλ=q（T；cp-1，0，T）>q（T；cp-1，0，T）>lnλ+（1- p） ln1- pρ- 主键≥ (1 - p） lnc+lnλ=（p- 1） lnc+lnλ。因此，qP（t）=q（t；cp-1、0、T）和c*（t） =间隔[0，t]内的bc（t）。（5.4）如果ρ- pK>（1- p） c，重复与案例（5.3）相似的论点，我们推导出qp（t）=q（t；1/λ，t，t），和c*（t） =cin间隔【t，t】，qP（t）=q（t；cp-1，T，T）和c*（t） =间隔[t，t]内的bc（t），直到t=0或qP（t）=（p- 1） ln c+lnλ。根据（50），q（0；cp-1，0，T）<（p-1） lnc+lnλ，前提是T足够大。因此，存在一个正常数Tsuch，q（T；cp-1，T，T）=（p- 1） ln c+lnλ，并在（45）中给出。因此，我们得出qP（t）=q（t；cp-1、T、T）和c*（t） =区间[t，t]中的bc（t）。组合Q′P（T）=ρ-pfP（qP（T），c*（T） （）- pg（x*π; x个*u，x*σ) = ρ - (1 - p） c类- pK>0，并且q′P（t）的符号不改变符号，我们推断qP（t）相对于t是不递减的，并且qP（t）<（P-1） 对于任何t，ln c+lnλ∈ [0，T）.T hus，c*（t） =间隔t内的c和qP（t）满足标准（46）∈ 解ODE（46），我们得到qP（T）=q（T；cp-1，0，T）在间隔T内∈ [0，T]。参考文献[1]Bergman，Y.Z。

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