，d+1。（2） 估算m乘以^m=BPBi=1 %（z（i），w（i））r1，u*,Σ*（z） r2，θ*,η*（w） 在（32）中，其中%（z，w）通过（42）和u的分析形式计算*, Σ*, θ*, η*从算法第一部分的步骤（6）中获得。备注4。作为补充说明，在上述高效指数倾斜算法中，采用分量牛顿法确定最佳倾斜参数u、∑、θ、η；这与Teng等人（2016）的算法2不同，该算法只涉及一个参数的倾斜。值得一提的是，由于G（θ，η）的凸性和最优倾斜参数的唯一性，最优倾斜公式是稳健的，对初值不敏感。致illustrateAuthor：文章短标题26文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）   θ （θ） （a）克（u）    σ （σ） （b）G（σ）- -  ρ ×  ×  ×  ×  （ρ） （c）G（ρ）图1标准二元正态分布下简单事件X+Y>3的G（u，σ，ρ）函数。这种现象，我们考虑标准二元正态分布下简单事件X+Y>3的G（u，σ，ρ）函数。如图1所示，u和σ对初始值都不敏感；虽然初始值的范围对于找到最佳ρ至关重要，但对于大多数ρ，G（ρ）是变化的。注意，这种情况下的方差减少性能也如表2.5所示。数值结果本节通过广泛的仿真研究证明了所提出方法的能力和性能。我们将以下讨论分为四个部分：；前三项见第5.1节，最后一项见第5.2节。

首先，为了进行比较，我们举例说明了正态混合copula模型特例的结果，即单因素同质投资组合的t-copula模型，其设置类似于Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）中的设置。其次，在考虑Xkis的t分布的三因素正态混合模型下，我们将所提出的方法与原始模拟的性能进行了比较。（请注意，由于大多数文献侧重于模拟一维情况，因此我们仅将我们的方法的性能与原始蒙特卡罗模拟进行比较。）第三，为了评估所提方法的鲁棒性，我们还将其性能与原油模拟的性能进行了比较，在三因素正态混合模型下，考虑了吉格分布。还调查了因债务人违约造成不同损失的情况。最后，在第5.2节中，我们比较了原始Monte CarloAuthor的计算时间：提交给的文章短标题；手稿编号（请提供手稿编号！）27在几种情况下使用拟议的重要性抽样进行模拟，并提供减少方差和增加计算时间之间的权衡。除了表12中比较不同样本数下计算时间的实验外，我们生成B=5000个样本来定位最佳倾斜参数，B=10000个样本来计算其余所有实验中的损失概率。根据Bassamboo et al.（2008）的设置，通过观察到对于具有成功概率p的伯努利随机变量，方差等于p（1- p） 。

注意，如第4.1节所述，对于正态混合随机变量，与倾斜W参数相比，倾斜正态随机变量Z的方差相对重要；因此，在实验中，对于多因素正态混合模型，我们仅对Z进行平均倾斜，对W进行θ-或η-倾斜。值得一提的是，即使在这种情况下，我们的有效指数重要性抽样方法也与之前的研究不同，因为在他们的方法中，只有正态分布中的θ和伽马分布中的η被视为倾斜参数。5.1. 不同模型设置的计算和数值实验首先，在表7中，我们比较了我们的方法与Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）提出的方法之间的性能。为了进行比较，我们采用了与Bassamboo等人（2008）表1中相同的参数值集，其中最近的变量Xkin方程（2）遵循t分布，即W-1=W-1=Q/ν和Q~γ（ν/2，1/2）。模型参数选择为n=250，ρ=0.25，每个债务人的默认阈值χi=0.5×√n、 每个ci=1，τ=250×b，b=0.25，σ= 该表报告了Bassamboo等人（2008）提出的指数变化度量（ECM）的结果，以及Chan和Kroese（2010）提出的无交叉熵和有交叉熵的条件蒙特卡罗模拟（分别为CondMC和Condmcc）的结果。从表中可以看出，与原始模拟相比，所提出的算法（最后四列）显著减少了方差，并且总体而言，它优于ECM和CondMC估计量。此外，为了公平作者：文章简称第28篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）Bassamboo等人（2008）Chan和Kroese（2010）重要性抽样（IS）ECM CondMC CondMC CE IS CondMC ISνP（Ln>τ）V.R。

因子V.R.因子P（Ln>τ）V.R.因子P（Ln>τ）V.R.因子4 8.13×10-365 271 2,440 8.11 ×10-3338 8.09 ×10-31,6008 2.42 ×10-4878 1,690 20,656 2.36 ×10-46,212 2.47 ×10-414,77012 1.07 ×10-57,331 12,980 2.08 ×101.04 ×10-516,100 1.10 ×10-51.57 ×1016 6.16 ×10-752,185 81,170 1.30 ×106.34 ×10-72.78 ×106.20 ×10-71.89 ×1020 4.38 ×10-8301,000 4.19 ×101.27 ×104.12 ×10-85.44 ×104.14 ×10-81.61×10表7单因素模型（t分布）债务人违约导致的等损失情况下提出的算法的性能与CondMC CE的结果相比，我们首先遵循CondMC方法，通过对冲击变量进行分析积分；然后，我们不使用交叉熵方法，而是使用建议的重要性抽样方法进行方差缩减。在此设置下，建议的方法产生的方差减少与CondMC CE的方差减少相当。其次，表8、表9和表10比较了提议的重要性抽样方法与3因子t-copula模型的粗略模拟的性能，这是正态混合copula模型的特例，其中潜在变量xk服从多元t分布，即W-1j=Qj/νjandQj~ γ（νj/2，1/2），对于j=1，4、在三个表中，列出了因债务人违约而导致的相同损失（表8）和不同损失（表9和表10）的结果，这些损失具有不同的参数设置。根据Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）中的设置，第i个债务人χiis的阈值设置为0.5×√n、 特殊风险kis设置为N（0，9），总损失τ设置为N×b。表8、9和10的灰色背景单元格中报告了基本情况模型参数的结果。对于等损失情形（ci=1），基本情形的模型参数b设置为0.3，而对于ci=（d2ie/n）和ci=（d5ie/n），b分别设置为0.7和2。

此外，基本情况的其他参数如下所示：~ν=（8 6 4 4），n=250，每个ρki=0.1（对于k=1，…，n和i=1，…，d），协方差矩阵∑=（uij）∈ 多元正态分布Z的R3×3设为ui，i=σi，ui，j=uj，i=ρσiσj，其中σ=1，σ=0.8，σ=0.5，ρ=0.5。如表8、9、10所示，我们的IS方法的性能明显优于原油模拟，尤其是当损失阈值τ增加且概率变小时。此外，作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）29等损耗（ci=1）b P（Ln>τ）V.R.系数~νP（Ln>τ）V.R.系数n P（Ln>τ）V.R.系数0.3 3 3.08×10-3863 (4,4,4,4) 3.09×10-31,009 100 1.91×10-20.4 2.39×10-45,931 (8,6,4,4) 3.08×10-3863 250 3.08×10-30.5 2.13×10-620,300 (8,8,8,8) 2.97×10-51,667 400 1.17×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子（σ，σ，σ）P（Ln>τ）V.R.因子0.1 3.08×10-3863 -0.5 3.06×10-31,100 (0.6,0.4,0.1) 3.08×10-30.3 1.89×10-3945 0 3.05×10-31,156 (0.8,0.6,0.3) 3.07×10-31,0870.5 2.76×10-41,174 0.5 3.08×10-3863 (1,0.8,0.5) 3.08×10-表8三因素模型（t分布）中债务人违约导致的损失相等的拟议算法的性能两种不同的损失（ci=（d2ie/n））b P（Ln>τ）V.R.因子~νP（Ln>τ）V.R.因子n P（Ln>τ）V.R.因子0.7 4.79×10-3832 (4,4,4,4) 4.78×10-3692 100 3.02×10-21 2.91×10-43,078 (8,6,4,4) 4.79×10-3832 250 4.79×10-31.2 1.20×10-514,471 (8,8,8,8) 8.64×10-57,305 400 1.87×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子σ，σ，σP（Ln>τ）V.R。

系数0.1 4.79×10-3832 -0.5 4.81×10-31,055 (0.6,0.4,0.1) 4.84×10-30.3 2.96×10-3876 0 4.80×10-3745 (0.8,0.6,0.3) 4.79×10-30.5 4.27×10-4739 0.5 4.79×10-3832 (1,0.8,0.5) 4.79×10-3表9：与Chan和Kroese（2010）的表2所列结果相比，对于具有逆FFT（t分布）的a3因子模型，拟议算法的性能有2个不同的损失，这表明当ρKi增加时，CondMC的性能恶化，我们的方法的性能被证明是稳定的。造成这种现象的原因是，随着ρKi的增加，因子Z在确定罕见事件的发生方面变得越来越重要；虽然CondMC simplyignose Z的贡献，但该方法扭曲了Z和W的分布。第三，除了t-copula模型外，表11还显示了另一种类型的三因素正态混合copula模型的结果，其中Wj遵循广义逆高斯（GIG）分布的特殊情况，即Wj~ γ（νj/2，1/2），对于j=1，4和~ν=（8 6 4 4）；除b设置为0.28、0.32和0.36外，其他模型参数与表8中的基本情况相同。从表11中我们观察到，我们的方法优于原始模拟，这证明了所提出的算法对于正常混合copula模型的能力。此外，还值得注意的是，在此设置中，倾斜伽马分布的其他参数νj/2（即νj/2→νj/2-θ*j） 在方差折减因子方面，其性能是传统单参数指数倾斜（倾斜η）的2到4倍。作者：文章简称第30篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）五种不同的损失（ci=（d5ie/n））b P（Ln>τ）V.R.因子~νP（Ln>τ）V.R.因子n P（Ln>τ）V.R。

系数2.38×10-2141 (4,4,4,4) 2.39×10-2139 100 1.09×10-14 8.59×10-43414 (8,6,4,4) 2.38×10-2141 250 2.38×10-26 4.15×10-781,498 (8,8,8,8) 1.84×10-31,131 400 9.77×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子σ，σ，σP（Ln>τ）V.R.因子0.1 2.38×10-2141 -0.5 2.39×10-2152 (0.6,0.4,0.1) 2.37×10-20.3 1.51×10-2183 0 2.35×10-2125 (0.8,0.6,0.3) 2.40×10-20.5 2.34×10-3143 0.5 2.38×10-2141 (1,0.8,0.5) 2.38×10-2表10我们的算法在5种不同损失情况下的性能，这些损失是由具有反向FFT（t分布）的a3因子模型的债务人违约造成的，原油IS（倾斜η）IS（倾斜θ）b P（Ln>τ）方差P（Ln>τ）方差V.R因子P（Ln>τ）方差V.R因子0.28 2.04×10-32.04×10-31.98×10-36.99×10-6291 1.98×10-32.79×10-60.32 2.00×10-42.00×10-41.74×10-48.09×10-82,473 1.75×10-43.04×10-86,5750.36 8.00×10-68.00×10-67.99×10-63.77×10-1021,194 7.55×10-61.11×10-1072352表11三因素模型（对称广义双曲线分布）债务人违约导致的等损失情况下我们算法的性能5.2。拟议重要性抽样算法的计算时间我们现在开始比较几种情况下原始蒙特卡罗模拟的计算时间与拟议重要性抽样的计算时间，并深入了解减少的方差与增加的计算时间之间的权衡。

表12列出了原油模拟的计算时间和表8左上角列出的三种情况的方法。从表中我们观察到，使用更多样本（B）来确定最佳倾斜参数大大提高了方差缩减性能，但这会线性增加确定参数的计算时间；请注意，方差折减因子与样本数B呈非线性增长，我们的搜索算法通常只需7到9次迭代即可实现收敛。尽管需要额外的计算时间来找到合适的倾斜参数，但我们可以仅使用B=1000个样本来获得相当好的估计值，方差大大减少，尤其是在尾部概率很小的情况下。在表12的最后一列中，我们还报告了原始模拟所消耗的计算时间与生成公平估计（T*C、 将左侧带有星号的值）转换为ourimportance sampling算法的值，包括参数搜索时间（TI）和概率作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）31计算（TI）。从表中可以观察到，对于b=0.5的情况，使用10000甚至100000的原油模拟无法生成估计值，而我们的方法使用A7411方差缩减率得出了很好的估计值，而原油模拟需要的计算时间是我们的12.77倍。表12最后两列中列出的方差折减系数和时间消耗率之间的关系表明，所提出的算法取得了良好的性能，从而为衡量正态混合copula模型中的组合信用风险做出了实际贡献。备注5。通过求解方程组，找到最佳倾斜参数。

（10） -（11），我们必须评估EQ的RHSs。(10)-(11). 表12显示，从实验上看，所提出的执行算法在定位最佳倾斜参数方面是有效的，因为它总是在10次迭代中收敛，样本数量相当少，例如，B=1000。原油ISSearch参数计算概率（B=1000）B BTime（TC）P（Ln>τ）BTime（TI）#iter时间（TI）P（Ln>τ）方差V.R.因子T*C/（TI+TI）0.3 100 2–100 191 9 200 3.20×10-31.13×10-33 0.461,000 19 1.00×10-3500 647 8 191 3.38×10-31.42×10-422 0.2210,000*181 3.80×10-31,000 2,049 8 201 3.01×10-35.12×10-6602 0.080.4 1,000 17 – 500 581 8 183 2.43×10-41.37×10-6175 2.7110,000 184 1.00×10-41,000 1,618 9 220 2.32×10-48.08×10-7296 1.13100,000*2,070 2.00×10-42,000 2,687 7 276 2.29×10-42.83×10-7844 0.70.5 10,000 204 – 1,000 1,269 7 210 1.70×10-62.88×10-107,411 12.77100,000 1,812 – 2,000 2,442 8 209 1.98×10-62.59×10-108,244 7.131,000,000*18,896 2.00×10-65,000 6,001 8 228 1.90×10-61.07×10-1019845 3.03表12计算时间（秒）6。CDXIG指数多因素模型的有效模拟为了证明所提出方法的能力，在本节中，我们将重要抽样算法应用于根据CDXIG指数数据校准的多因素模型的一组参数，并使用2006年3月31日的数据考虑CDXIG指数的基础投资组合（Rosen和Saunders，2009年，2010年）。通过使用Rosen和Saunders（2010）中的相同设置，假设多因素模型具有单个全局因素zg和一组部门因素ZSjforj=1、··、7；从惠誉25个行业合并而来的7个行业的详细信息可以找到作者：Article Short Title32 Article submitted to；手稿编号（请提供手稿编号！）原油ISb P（Ln>τ）方差P（Ln>τ）方差V.R。

系数0.01 2.38×10-22.32×10-22.19×10-22.61×10-40.05 6.60×10-36.56×10-36.43×10-34.61×10-50.2 5.00×10-45.00×10-44.18×10-41.01×10-6表13罗森和桑德斯（2009）中实证例子的表现。对于该八因素模型，每个债务人有两个非零因素负载，因此，SJ部门第k个债务人的信誉指数由XK给出=√ρG·ZG+√ρS-ρG·ZSj+p1-ρS·k、 如果s（k）=Sj，（50），其中s（k）表示第k个债务人的部门，ρG=0.17和ρs=0.23对于allobligors是相同的。如（McNeil et al.2015）所述，潜在变量Xkcan具有一般解释，包括资产价值和信誉。就本例中的信誉而言，总投资组合损失被定义为Ln=c{X<χ}+····+cn{Xn<χn}。（51）由于CDXIG指数有125个等权债务人，我们将n=125，并将c=c=·····=cequal设置为1。在Rosen和Saunders（2010）中，我们没有使用传统的正态copula模型，而是在t-copula模型下考虑这一规范。Frey和McNeil（2003）、Bassamboo et al.（2008）、McNeil et al.（2015）提出了使用该模型的合理性，他们认为假设正常的依赖结构可能会低估风险因素联合大幅度变动的可能性，而t-copula模型更适合建模极端依赖的影响。对于（50）中考虑的t-copula模型，特殊风险kis设置为N（0，1），第i个债务人的阈值χiis设置为-0.55 ×√n、 总损失τ设置为n×b，与上一小节中的设置相同，潜变量xk遵循自由度等于4的多元t分布，即W-1j=Qj/4和Qj~γ（4/2，1/2），对于j=1，表13列出了这个实证例子在方差缩减因子方面的表现。

如表所示，粗模拟结果与估计值的高方差有关，作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）33这会导致非常长的模拟时间，以获得良好的估计，尤其是对于verysmall概率。例如，对于表中b=0.2的情况，我们可能需要超过10000条模拟路径来获得每个模拟的非零估计，从而导致5.00×10的较大方差-4.因此，为了减少方差并获得良好的估计，这种模拟是必要的。对于更有效的模拟方案，尽管之前的一些研究针对正常copula下的多因素模型（Glasserman et al.2008）或t-copula下的单因素模型（Bassamboo et al.2008，Chan和Kroese 2010）解决了这一问题，在更一般的正态混合copula模型下，对于有效模拟多因素模型的重要抽样方法的研究很少，其中包括流行的正态copula和t-copula模型作为特例。特别是，现有的重要性抽样算法不能用于模型（50）和（51）中的投资组合损失。为了弥补这一缺点，我们提出了一种重要的抽样算法来估计在正态混合copula下投资组合遭受巨大损失的概率。值得再次提及的是，新提出的有效指数化更适合于正常混合模型模拟。通过八因素模型下的经验示例，表13所列方法的方差减少性能证实了这一点。

请注意，对于这组校准因子负荷，具有较高权重的特质风险√1.-ρS≈ 潜变量Xk值以0.877为主；在这种情况下，倾斜最后一个非负标量值随机变量Wd+1对variancereduction性能至关重要。对于更多的应用，作为未来的工作，我们考虑在更一般的copula模型（如阿基米德copula模型）中应用此方法来估计预期的不足。请注意，在实际应用中，模拟的需求更为严重，其中模型（50）中的参数未知，必须从实际数据集进行估计；见第11.5章（McNeil et al.2015）。此外，当使用bootstrap方法对未知参数进行精确的区间估计时，需要对bootstrap算法进行1000次复制。我们认为，在这种情况下，Fuh和Hu（2004）提出的修正重要性抽样将非常有用。作者：文章简称第34篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）结论本文研究了一个具有正态混合copula的多因素模型，该模型允许多变量故障具有非对称分布。由于投资组合的数量、债务人的异质性影响以及违约事件罕见且相互依赖的现象，很难通过直接分析或粗略的蒙特卡罗模拟来计算投资组合信用风险。为了解决这个问题，我们首先提出了一种有效的指数化算法，然后提出了一种有效的模拟算法来估计在正常混合copula下投资组合遭受巨大损失的可能性。

我们还提供了所提出方法的理论合理性，并通过数值结果和实证例子说明了其有效性。基于此模型，未来可能有几个方向。举几个例子，首先，我们将探索所提议的有效指数倾斜的更多特性，并将其应用于更多的实践，看看它能走多远。其次，我们可以考虑在ETA椭圆copula和/或阿基米德copula模型下模拟投资组合损失。第三，虽然在本文中，默认时间是固定的，默认边界是外生的，但默认时间可以是预定时间T之前的任何时间，默认边界可能取决于企业特征，也可能取决于状态和时间。为了捕捉这些现象，我们将考虑更复杂的动力学模型，对于这些模型，重要性抽样应该更复杂。第四，通过建立首次通过时间模型，将企业价值过程与信用评级结合起来考虑更为实际。在这种情况下，需要对马尔可夫链进行重要抽样。附录：定理1的证明为了证明定理1，我们需要以下三个命题。命题1取自定理VI.3.4。在Ellis（1985）中，命题2是凸分析的标准结果，命题3取自Soriano（1994）的定理1。注意，虽然命题2和命题3中的函数域是整个空间，但子空间的结果仍然适用于类似的证明。作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）35提案1。f（θ）在θ处可微∈int（Θ）当且仅当d偏导数f（θ）θifor i=1，···，d存在于θ∈ int（Θ）和是有限的。提案2。让f：Rd→Rbe在所有x上都是连续的∈Rd。

如果f是强制性的（在f（x）的意义上）→∞ 如果kxk→∞), 那么f至少有一个全局极小值。提案3。让f：Rd→R、 f是连续可微函数和凸可满足函数（13）。则存在f的最小点<定理1的证明>在下面，我们首先证明G（θ，η）是严格凸函数。对于任何给定λ∈（0，1）和（θ，η），（θ，η）∈Θ×H，通过ψ（·，·）的凸性，我们得到ψ（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ)η) = ψ(λ(θ, η) + (1 -λ)(θ, η)) (52)≤ λψ(θ, η) + (1 -λ)ψ(θ, η).ThenG（λ（θ，η）+（1-λ） （θ，η））=G（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ） η）=Ep（十） 经验值-((λθ+ (1 -λ） θ）| h（X）+（λη+（1-λ） η）| h（X））+ψ（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ)η)≤ Ep公司（十） 经验值-((λθ+ (1 -λ） θ）| h（X）+（λη+（1-λ） η）| h（X））+λψ（θ，η）+（1-λ)ψ(θ, η)by（52）=Ep（十） 经验值-λ（θ| h（X）+η| h（X））+λψ（θ，η）-(1 -λ） （θ| h（X）+η| h（X））+（1-λ)ψ(θ, η)< EP公司λ（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）+（1-λ)（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）= λG（θ，η）+（1-λ） G（θ，η）。接下来，我们证明了优化问题（9）中（θ，η）的存在性。为了得到G（θ，η）的全局极小值，我们注意到，从上述参数来看，G（θ，η）是严格凸的，并且G（θ，η）θiandAuthor：文章短标题36文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）G（θ，η）η存在于i=1，···，p，j=1，···，q。命题1确定G（θ，η）连续可微于（θ，η）∈Θ×H.通过（9）中G（θ，η）的定义，很容易看出条件i）意味着G（θ）是强制性的。然后根据命题2，G（θ，η）有一个唯一的极小值。很容易看出ii）在命题3中暗示条件成立。为了证明（14）和（15），我们将（10）和（11）的右侧简化为Qθ，η。标准代数givesEP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]=E'Qθ，η[h（X）]，EP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]=E'Qθ，η[h（X）]，对于i=1，··，p，j=1，··，Q。这意味着期望的结果。

尾注1。虽然一些论文提到，他们可以处理d因子模型，但因子遵循i.i.d.高斯变量，因此可以通过Cholesky分解简化为一维情况。这里我们将均值向量和方差协方差矩阵作为两个参数。3、为了简单起见，我们省略了A、B和C之前的系数。虽然为了简单起见，我们在这里考虑了单位协方差矩阵，但可以直接将其扩展到任何有效的协方差矩阵∑。注意，定理1适用于指数族中的随机变量。在本节中，我们仅应用建议的重要性抽样来模拟投资组合损失。在模拟罕见事件概率的情况下，X在非凸集中，需要基于混合分布倾斜进行进一步分解，参见Fuh和Hu（2004），Glasserman等人（2008）。这方面的进一步研究将在另一篇论文中研究。所有的实验都是通过Mathematica 11在带有2.6 GHz Intel Core i7 CPU的MacBookPro上运行程序获得的。作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）377.请注意，如Scott和Metzler（2015）所述，由于他们的算法需要较少的计算时间，但精度略低于Chan和Kroese（2010），因此我们在此仅将其性能与Bassamboo等人（2008）、Chan和Kroese（2010）进行比较。8、该现象与示例2和第4.1.9节所示的情况一致。在这里报告的所有实验中，预定的精度水平 设置为10-4.10. 请注意，我们将此示例视为八因素模型；将我们的有效重力倾斜与Glasserman等人（2008）提出的方法相结合的方法将是未来的工作。11

选择这两个值是为了匹配Akhavein等人（2005）估计的相关性。12、请注意，这里我们按照Rosen和Saunders（2010）中的设置来定义（51）中的损失，这与（1）中的不同；因此，模拟方案与简单修改几乎相同。13、由于该多因素模型仅用于说明方法，为简单起见，此处选择的每个债务人的阈值大致与指数的平均一年违约概率0.19%相匹配。致谢本研究部分由台湾科技部资助，资助项目包括：MOST 105-2410-H-008-025-MY2、MOST 106-2118-M-008-002-MY2、MOST 102-2221-E-845-002-MY3和MOST 105-2221-E-001-035。参考Sakhavein JD、Kocagil AE、Neugebauer M（2005）《资产相关性的比较实证研究》。惠誉评级技术报告。Asmussen S，Glynn P（2007）《随机模拟：算法与分析》（纽约：Springer-Verlag）。Barndor Off-Nielsen OE（1978）《双曲线分布和双曲线上的分布》。斯堪的纳维亚统计杂志5（3）：151–157。Barndor Off-Nielsen OE（1997）正态逆高斯分布和随机波动率建模。斯堪的纳维亚统计杂志24（1）：1–13。作者：文章简称第38篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）Bassamboo A，Juneja S，Zeevi A（2008）《具有极值依赖的投资组合信用风险：渐近分析和有效模拟》。运筹学56（3）：593–606。Botev ZI，L\'Ecuyer P，Tu ffin B（2013）《马尔可夫链重要性抽样及其在罕见事件概率估计中的应用》。

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