如前所述，让M*= （M）*= u，M*= 十、 M级*= Y）是随机过程，使得P（X∈ dx，Y∈ dy）=^πx*（dx，dy），其中^πx*∈^∏（u，ν）是结合了耦合uf的鞅耦合*,x个*7.→ νf*,g级*和￠uf*,x个*7.→ νf*,g级*.回想一下定理2的证明。在这里，为了证明MBEP=HC，我们使用了模型M下*, 或者更具体地说，在映射（f*, x个*) 至（f*, g级*), 在时间1“未执行”且在时间2处于货币中的质量由（ν）给出- u)|(-∞,f*)其中f*< e-. 当f（x′）<e时-（如（K，K）时的情况）∈ R∪R∪R） 然后同样的证明也适用，MBEP=HC，我们有最优性。然而，如果（K，K）∈ R∪ R、 那么情况就不是这样了*< e-因此，为了指定最佳模型，我们需要在耦合|uf上施加额外的结构*,x个*7.→ νf*,g级*.假设（K，K）∈ R∪ R、 然后x′<f*, 所以（f′，x′）∩ （f）*, g级*) = . 从f′和x′的定义性质可以看出，存在一个鞅耦合，我们称之为^πx′，x*∈^∏M（u，ν），结合了uf′，x′7的耦合→ νf′、x′和uf*,x个*7.→ νf*,g级*, 所以^πx′，x*映射（f′，x′）到（f′，x′，（f*, x个*) 至（f*, g级*) 和（（f′，x′）∪ （f）*, x个*))Cto（（f′，x′）∪ （f）*, g级*))C、 Let^M*= （^M*=u，μM*= 十、 ^M*= Y）是随机过程，使得P（X∈ dx，Y∈ dy）=πx′，x*（dx，dy）。If（K，K）∈ R∪ R∪ Rwe有M*∈ 米（秒）*, u，ν）和if（K，K）∈ R∩ Rwe有那个^M*∈ 米（秒）*, u, ν). 对于这两种模型，我们考虑一个候选停止时间τ*= 如果X<X，则为1*和τ*= 否则为2，则为候选超边（ψ*, φ*, θ*1,2）由函数ψ生成*在（17）中定义。定理3。假设假设2成立且（K，K）∈ R、 取决于（K，K）∈R∪ R∪ Ror R R∪ R、 型号M*和^M*和停止时间τ*是美国期权价格最高的一致模型。函数ψ*定义在（17）定义最便宜的SuperEdge。

此外，基于模型的最高价格等于最便宜的SuperEdge的成本。证据If（K，K）∈ R∪ R∪ r证明与第一个casein定理2的证明基本相同。为了方便起见，我们重复一下。第一个查找x*∈ （g）-1（K）、K）和f*∈ （十）*) 使得Υ（f*, x个*g级*= g（x*)) = 0如果x*= x′我们发现f*= f（x′）+=f′。在候选模型M下*质量低于f*时间1映射到时间2的同一点（这可能是因为f*< e-), 和massin（f*, x个*) 映射到（f*, g级*), 当质量大于x时*映射到f以下*或g以上*.然后在候选停止规则τ下*基于模型的预期收益等于ψ产生的套期保值策略的成本*:MBEP=Zx*-∞（K）- w） +u（dw）+Zf*-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=Pu（x*) + （K）- x个*)P′u（x*) + D（f*) + （K）- f*)D′（f*)= HC。现在假设（K，K）∈ R∪R、 引理7有一个唯一的x*∈ （g）-1（K），x′和f*∈ （十）*)使得Υ（f*, x个*, g级*= g（x*)) = 0如果x*= x′，那么我们有f*= f（x′）-) = x′。那么，既然ν是连续的，我们就得到了f*, x个*, g级*求解（9）和（10）。然而，请注意，x′≤ f*< e-.在候选模型^M下*时间1处（f′，x′）中的质量映射到时间2处的相同间隔。此外，质量低于f′，质量in（x′，f*) 时间1映射到时间2的同一点，质量in（f*, x个*) 映射到（f*, g级*). x以上的质量*要么映射到f′以下，要么映射到（x′，f*), g以上orto*. 特别是（ν- u)|(-∞,f′）∪（x′，f*)是指在时间1时未“行使”的质量，当u在时间2时在货币中无原子“行使”时，f 3稳健界限中的单跳为3.3。换句话说，（ν- u)|(-∞,f′）∪（x′，f*)是^M以下的概率*（X>X*, Y<K）。从（22）我们得到了rf′x′（K- w） （ν）- u）（dw）=0。

MBEP=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf′-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）+Zf*x′（K- w） （ν）- u）（dw）=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf*-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）-Zx′f′（K- w） （ν）- u）（dw）=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf*-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）=Pu（x*) + （K）- x个*)P′u（x*) + D（f*) + （K）- f*)D′（f*)= HC。3.3.2（K，K）∈ B=B∪ B∪ BTheorem 4。假设假设2成立，并且（K，K）∈ B=B∪ B∪ B、 然后有一个一致的模型（Y<K）=（X<K）∪ （X>K，Y<K），如果X′<K，（f′<X<X′）=（f′<Y<X′）。那么，如果X<Kandτ=2，则具有这些性质且停止规则τ=1的任何模型都可以获得最高的一致模型价格。最便宜的超边是由ψ（x）=（K）生成的- x） +且基于模型的最高价格等于最便宜对冲的成本。证据设ψ（y）=（K- y） +。定义φ如引理2中所示，我们发现φ（x）=（K- x）+- （K）- x） +和超磨边成本（对于所有情况都相同）isHC=Pν（K）+Pu（K）- Pu（K）。假设（K，K）∈ B、 然后利用f和g的性质以及左幕耦合，我们可以看到基于模型的预期收益等于套期保值成本的证明与定理2的第二种情况相同。特别是，MBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）=Pu（K）+Pν（K）- Pu（K）。现在假设（K，K）∈ B、 然后，在左侧幕墙下，从时间1的（f′，x′）到时间2的相同间隔的耦合质量。因此，低于Kat时间2的质量在时间1时低于，或在时间1时高于x′。因此，我们再次得出MBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）=Pu（K）+Pν（K）- Pu（K）。最后，假设（K，K）∈ B、 我们再次利用这样一个事实，即在左帘耦合下，时间1处的质量自（f′，x′）映射到时间2处的相同间隔。在这两种情况下，低于Kat时间2的质量要么低于Kat时间1，要么高于Kat时间1。特别是，可在时间2“运动”的质量由（ν）给出- u)|(-∞,f′）∪（x′，K）。

然后使用rx′f′（K- z） （ν）- u）（dz）=0we再次haveMBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+Zf′-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）+ZKx′（K- y） （ν）- u）（dy）=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy），结束验证。3.3当u为无原子3.3.3（K，K）时，f 3鲁棒界中的单跳∈ WSuppose（K，K）∈ W、 对于这种情况，我们关联以下超边：设ψx′由ψx′（z）给出=（K）- z） z≤ f′；（K）- f′）- （z）- f′）K-f′x′-f′f′＜z≤ x′；0 z>x′，（26）见图9。因为ψx′是凸的，ψx′（z）≥ （K）- z） +，我们可以使用引理2生成相应的超边缘策略（ψx′，φx′，θx′1,2）。定理5。假设假设2成立且（K，K）∈ W、 然后，存在一个一致性模型（f′<X<X′）=（f′<Y<X′），如果X<Kandτ=2，则任何具有此性质且停止规则τ=1的模型都可以获得最高的一致性模型价格。最便宜的超边际由（26）中定义的ψx′产生，最高的模型基准价格等于最便宜对冲的成本。证据首先注意ψx′（z）=Θ（x′- z） ++（1- （f′）- z） +，其中Θ=K-f′x′-f′。因为x′<Kwe有φx′（w）+ψx′（z）=（K- w）+- ψx′（w）+ψx′（z）=（K- w） ++Θ[（x′）- z）+- （x′）- w） +]+（1- （f′）- z）+- （f′）- w） +]且该策略的成本（在任何一致模型下）为HC=Pu（K）+ΘD（x′）+（1- Θ）D（f′）。（K，K）f′x′ψx′图9：空白区域W.3.3 f和g以及超边缘的图片。当u为无原子时，f 3鲁棒边界中的单跳现在考虑基于模型的预期支付。从（22）可以看出，uf′，x′和νf′，x′具有相同的平均值和质量，且为凸序。此外，对于|uf′，x′和|νf′，x′也是如此。因此，存在一个鞅耦合，我们称之为^πx′∈^∏M（u，ν），将时间1（f′，x′）的质量映射到时间2的相同间隔。

因此，在该模型下，在时间2可以“运动”的唯一质量由（ν）给出- u)|(-∞,f′）。注意，因为f′和x′满足（22），而henceRx′f′（x′）- w） （ν）- u）（dw）=0，D（x′）- D（f′）=Zx′-∞（x′）- w） +（ν- u）（dw）-Zf′型-∞（f′）- w） +（ν- u）（dw）=Zf′-∞（x′）- f′（ν）- u）（dw）+Zx′f′（x′）- w） （ν）- u）（dw）=（x′的- f′）Zf′型-∞(ν - u）（dw）。然后假设我们在时间1停止，如果X<Kand在时间2，否则我们有mbep=ZK-∞（K）- w） +u（dw）+Zf′-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=ZK-∞（K）- w） u（dw）+Zf′-∞（f′）- w） （ν）- u）（dw）+（K- f′）Zf′型-∞(ν - u）（dw）=Pu（K）+D（f′）+Θ[D（x′）- D（f′）=Pu（K）+ΘD（x′）+（1- Θ）D（f′）=hC，按要求。3.3.4（K，K）∈ GRecall建造Luand Ld。对于K∈ （x′，g（x′）和K∈ （Ld（K），Lu（K））不存在x*∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 0; 相反∧（x′\'-) < 0<∧（x′）+。另一方面，从（23）中，我们发现存在ux′，x′和νx′，g（x′）的鞅耦合。此外，请注意，|uf′，x′到（x′，x′）和|νf′，x′到（x′，g（x′）的限制分别等于ux′，x′，和νx′，g（x′）。然后我们定义了一个鞅耦合^πx′，x′∈^∏（u，ν）通过结合uf′，x′7的耦合→ νf′，x′，ux′，x′7→ νx′，g（x′）和（￠uf′，x′）- ux′，x′）7→ （￠νf′，x′）- νx′，g（x′）。换句话说，^πx′，x′映射（f′，x′）到（f′，x′，（x′，x′）到（x′，g（x′）和（（f′，x′）∪ （x′，x′）Cto（（f′，x′）∪ （x′，g（x′））C.LetMx′，x′=（Mx′，x′u，Mx′，x′=x，Mx′，x′=Y）是随机过程，使得P（x∈ dx，Y∈dy）=πx′，x′（dx，dy）。然后是Mx′，x′∈ 米（秒）*, u, ν). 注意，模型Mx′，x′是定理5证明中使用的Mx′的一个补充。给定x′，也就是x′，我们定义超边如下。首次定义线性函数: [f′，x′]→ R和: [x′，g（x′）]→ R根据（x） =（K- f′）- （十）- f′）（K- f′）- （x′）x′- f′；（x） =（g（x′）- x） K级- x′g（x′）- x′，注意（f′）=（K- f′），（x′）=（x′），（x′）=K- x′和（g（x′）=0。

此外，直接计算表明-1 < ′（x） <′（x） <0。现在用ψx′，x′（z）定义函数ψx′，x′=（K）- z） z≤ f′；（z） f′<z≤ x′；（z） x′<z≤ g（x′）；0 z>g（x′）。（27）3.3当u为无原子（K，K）g（x′）x′f′ψx′，x′x′=g′时，f 3鲁棒界中的单跳图10：点区域g的f和g以及超边的图片。对冲函数ψx′，x′在x′处有一个扭结。通过构造ψx′，x′是凸的，ψx′，x′（z）≥ （K）- z） +（见图10），因此引理2可以用来构造超边（ψx′，x′，φx′，x′，θx′，x′1,2）。定理6。假设假设2成立且（K，K）∈ G、 如果x<x′、τ=2，则模型Mx′、x′和停止时间τ=1可获得最高的一致模型价格。此外，（27）中定义的ψx′，x′产生最便宜的超边缘，基于模型的最高价格等于最便宜的超边缘的成本。证据在候选模型Mx′下，时间1处（f′，x′）中的x′质量映射到时间2处的相同间隔，而（x′，x′）中的质量映射到（x′，g（x′）。然后，在候选停止时间下（如果X<X′，则在时间1行使，否则在时间2行使），关于在时间1未行使期权的事件的Y定律（在Mx′，X′）由（ν）给出- u)|(-∞,f′）+ν|（g（x′），∞). 因此，bep=Zx′\'-∞（K）- w） +u（dw）+Zf′-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=Pu（x′）+（K- x′P′u（x′）+D（f′）+（K- f′）D′（f′）。现在考虑ψx′，x′产生的套期保值成本。设Θ=K-f′-（x′）x′-f′=-′和Θ=K-x′g（x′）-x′′=-′. 注意，我们可以将（27）重写为ψx′，x′（z）=Θ（g（x′））- z） ++（Θ- Θ）（x′）- z） ++（1- （f′）- z） +。

那么φ（z）=（1- Θ）[（x′”- z）+- （f′）- z） +]+（1- Θ）[（x′\'- z）+- （x′）- z） +]，3.3μ无原子时f 3鲁棒界的单跳，因此套期保值成本isHC=ΘPν（g（x′））+（1- Θ）D（f′）+（1- Θ）Pu（x′）+（Θ）- Θ）D（x′）=Pu（x′））+D（f′）+Θ[D（x′）- D（f′）+Θ[Pν（g（x′））- Pν（x′）- Pu（x′）+Pu（x′）]。现在使用（22）和g（x′）=x′这一事实，我们得到了D′（f′）=D′（x′）和f′D′（f′）- D（f′）=x′D′（x′）- D（x′）。因此Θ[D（x′）- D（f′）=（K- f′）D′（f′）- （x′）D′（f′）；（28）此外（23）给出了Θ[Pν（g（x′））- Pν（x′）- Pu（x′））+Pu（x′）]=Θ[g（x′）P′ν（g（x′））- x′P′u（x′）- x′D′（x′）=Θ[（g（x′））- x′P′u（x′）+（g（x′））- x′）D′（x′）=（K- x′）P′u（x′）+（x′）D′（f′）。（29）然后，结合（28）和（29），我们得出结论，HC=M BEP。3.3.5 K>引理5中的ru，在色散假设下，我们构造了f和g，但仅在区间（e）上-, ru]。更一般地说，在现有假设1下，贝格洛克（Beiglb¨ock）和朱利埃（Juillet）[6]以及亨利·劳德埃（HenryLabord\'ere）和图兹（Touzi）[16]的论点允许我们在[lu，ru]适用于任意定律u≤cxν。就其目的而言，u范围外的f和g的定义并不重要，因为它们对左帘鞅耦合的构造没有影响。尽管如此，我们可以通过设置f（x）=x=g（x），以尊重引理3中条件的方式将f和g的定义扩展到R，-∞ < x个≤ lu;f（x）=lν、 g（x）=rν，ru<x<rν；f（x）=x=g（x），rν≤ x<∞.我们将表明，利用f和g的这些定义，前面章节的分析扩展到K>ru的情况。假设rν>ru，ru<K<rν。则∧（ru）=rν-Krν-ru-（K）-K） ru-lν和∧（rν-) = ∞. If∧（ru）≥ 0和∧是连续的，则存在x*∈ [lu，ru]使得g（x*) > x个*和∧（x*) = 0

然后，正如第3.2.2节所述，我们可以构建一个模型，即停止时间和超边缘，以使基于模型的预期收益等于对冲成本，因此模型、停止时间和对冲都是最优的。该模型可以基于左帘耦合，最佳练习规则是，如果X<X，则在时间1练习美国人推杆*. 即使∧不是连续的，也可能存在x*使得∧（x*) = 0和相同的参数适用（请参见第3.3.1节）。如果没有，则我们处于第3.3.4节的设置中，但我们可以再次确定最佳模型和对冲。基本上，情况∧（ru）≥ 0被现有参数的直接扩展所覆盖。注意∧（ru）≥ 0相当于toK≥ K-（ru- lν） （rν- K） rν- ru。现在假设ru<K<rν且K<K-（ru-lν） （rν-K） rν-ru。然后∧（ru）<0，并且自∧（rν）-) = ∞并且∧在[ru，rν]上是连续的（注意，我们已经将f和g定义为该范围内的常数），必须存在x*∈ （ru，K）使得∧（x*) = 在时间1和任何3.4的时间间隔内，如果ν没有质量，或ν=u，运动总是最佳的。3当u为原子自由鞅耦合时，鲁棒边界可用于生成一个模型，该模型可获得基于模型的最高价格pu（K）=（K-u). 最便宜的超边由ψ（y）=K生成- lνrν- lν（rν）- y） ++rν- Krν- lν(lν- y） +。（30）该对冲风险投资的成本- lνrν- lνPν（rν）+rν- Krν- lνPν(lν） +Pu（K）-K- lνrν- lνPu（rν）-rν- Krν- lνPu(lν） =K- lνrν- lν（rν）- u）+（K- u) -K- lνrν- lν（rν）- u）=（K- u).最后假设K>rν。在任何一致模型下，对于X<KE[（K- Y）+X]<E[（K- Y）+X]=（K- 十） 。在第一时间练习美国式推杆总是最佳的。

如果K>rν或K<lν然后我们在第3.3.2节研究的案例中，最便宜的对冲是由时间2支付ψ（y）=（K）生成的- y） +。如果K∈ [lν、 rν]然后我们在第3.3.3节中研究的情况下，最便宜的超边由ψ=ψ（y）生成，其中ψ由（30）给出。在任何一种情况下，基于模型的最高预期收益为u（K）=（K- 这也是SuperEdge的成本。lνrurν图11：第3.3.3.4节间隔设置中K>rν的各种情况，其中ν没有质量，或ν=u。左幕鞅耦合的定义（回忆引理5）只要求g=t递增，而不是连续。一般来说，g可能有跳跃；当存在ν不放置质量的间隔时，会发生这种跳跃。如果g有一个跳跃，那么我们需要调整SuperEdge。假设g在^x处有一个跳跃（因为g在增加，所以必须向上），假设f在^x处是连续的。进一步假设Kis使得^x∈ （g）-1（K），K）。然后像以前一样，我们想找到x*∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 回忆一下∧在增加，假设∧（g-1（K））<0<∧（K）。If∧（^x-) < 0且∧（^x+）>0，则∧=0将没有解。另一方面，通过将x=^x，^f=f（^x）固定在（15）中，并且仅改变g，我们可以看到存在^g∈ （g（^x-), g（^x+），使得（^g- K） /（^g- ^x）=（K- K） /（^x）-^f），使得Υ（f（^x），^x，^g）=0。然后，候选（实际上是最优）超边缘3.5当u是原子自由策略时，连续ν3鲁棒边界的一般情况由ψ生成*, 在（17）中给出，带（f*, x个*, g级*) = （^f，^x，^g），见图12。

此外，由于ν不充电（g（^x- ), g（^x+），三重（^f，^x，^g）求解质量和平均值方程（9）和（10）。基于模型的预期收益和套期保值成本之间的强二元性如下所示。KK^f^xg（^x-) g（^x+）^g图12：标有点^x、^f和^g的看跌期权草图。或者，假设f在'x处有向下跳跃。如果ν=uon（f（'x+），f（'x），则可能发生这种情况-)).假设Kis为'x∈ （g）-1（K），K）和∧（(R)x-) < 0且∧（(R)x+）>0，因此我们无法再次找到x∈ （g）-1（K），K），其中∧（x）=0。我们可以像处理g中的不连续性一样处理这个问题：选择“f”∈ （f（\'x+），f（\'x-)) 使得Υ（\'f，\'x，g（\'x））=0，然后考虑由ψ生成的hedgengstrategy*带（f*, x个*, g级*) = （\'f，\'x，g（\'x））。请注意，u=νon（f（\'x+），f（\'x-)) 所以如果（9）和（10）保持一些f∈ [f（\'x+），f（\'x-)] （使用‘‘x，’g）则它们在此间隔内保持所有f。因此，我们可以构造一个耦合，其中（\'f，\'x）映射到（\'f，\'g），并且强对偶成立。对于f和g中的两个跳跃，我们有一个成对区域（K，K）的图形表示，这意味着对冲策略必须如上所述进行调整，见图14。如果g在^x处有跳跃，则∧（^x-) < 0且∧（^x+）>0相当于位于顶点{（g（^x））三角形内部的点（K，K-), g（^x-)), （g（^x+，g（^x+），（^x，f（^x））}。另一方面，如果f在'x处向下跳跃，则∧（'x-) < 0和∧（\'x+）>0相当于点K，K位于顶点{（\'x，f（\'x）的三角形内部-)), （\'x，f（\'x+），（g（\'x），g（\'x））}（将其与区域g进行比较）。例外情况下，我们可能会在g和f的ˇx处同时跳跃。那么需要这些参数的（K，K）集是一个具有顶点（ˇx，f（ˇx）的四边形-)), （ˇx，f（ˇx+）、g（ˇx+）、g（ˇx+）和（g（ˇx-), g（ˇx-)).

特别是，则有多对（ˇf，ˇg）与ˇf∈ （f（ˇx+），f（ˇx-)) 和_g∈ （g（ˇx-), g（ˇx+），使得Υ（ˇf，ˇx，ˇg）=0，因此最优套期保值策略不是唯一的。3.5连续ν的一般情况在前面的章节中，我们展示了在u和ν都连续的假设下，如何使用左帘耦合来找到最佳模型、练习策略和超边缘，并进一步规则化和简化假设，我们将其标记为分散假设和单跳假设。在后一种假设下，解（22）的点的存在导致我们确定了在分散假设下不存在的另外两种类型的对冲策略，总共四种。如果我们进一步放宽假设，只要求u和ν都是连续的，那么我们预计存在多对（f′i，x′i），i=1，2，3。。。，解决方案（22）。注意，从g的单调性，我们可以把{x：g（x）>x}写为区间的可数并，并且在每一个这样的区间上，f是递减的。f跳过以上确定的区间（f′i，x′i）（至少是x′3.5的区间，当u在x的当前值左侧无原子时，连续ν3鲁棒边界的一般情况）。特别地，f只有可数目的向下跳跃。图1是一般左幕鞅耦合的程式化表示，尤其是因为图f中只有非常多的跳跃。使用图1，我们可以将（K，K<K）划分为四个区域，见图13。关键是这四个区域的特征与第3.3节中描述的情况完全相同。对于给定的（K，K），我们可以确定哪些类型的hedgingstrategy是候选最优超边，并确定候选最优停止规则。

（我们总是可以使用与左幕鞅耦合πlc相关的模型。）使用与第3.3节中使用的技术完全类似的技术，可以证明这些候选者确实是最佳的。图13：带区域阴影的f、g的总图。还有4种类型的阴影对应4种形式的最佳对冲。更具体地说，我们可以将{（k，k）：k<k}划分为{（k，k）：k≤ f（k）}∪ {（k，k）：f（k）<k<k}。我们可以将前者分为两个区域W={（k，k）：k<k，x个≤k使f（x）<k<g（x）}和B={（k，k）：k≤ f（k）}\\W。后者我们再次划分为两个区域G和R={（k，k）：f（k）<k<k}\\G。这里我们可以写G=∪x： f（x-)>f（x+）（x） 在哪里（x） 是具有顶点（x，f（x+），（x，f（x））的三角形-)) 和（g（x），g（x））。然后在每个区域W、B、G和R上，我们都有一个超边缘，正如第3.3节所述。此外，再次通过第3.3节的论证，我们可以证明与超级套期保值策略相关的套期保值成本正是鞅耦合πlc（和候选停止规则）下美国看跌期权基于模型的预期收益，从而证明套期保值和模型/行使规则的最优性。备注11。集合{x:g（x）>x}是区间的集合，我们让I+表示这些区间的右端点集。如上所述，图13是在“有限复杂性”的情况下绘制的，即集合I+包含有限数量的元素。如果I+不包含累积点，则结果很容易计算ableI+。一般来说，I+可能包含一个累积点，如Henry Labord\'ere和Touzi【16】所述，在这种情况下，在构建左幕映射（Td，Tu）时需要小心。然而，从我们的角度来看，这些微妙之处并不会造成问题。

原因是，我们的目标不是在目标定律4讨论和扩展中推导3.6个原子左curt-ain耦合，而是将左帘耦合视为给定，并使用它来解决输出定价问题。我们构建的最佳模型和最便宜的对冲是局部的，因为在图13中，当我们查看点（K，K）位于哪个区域时，（K，K）空间其他部分的图片细节并不重要。因此，只有当Kis等于其中一个累积点时，累积点的存在才可能成为一个问题。让x∞是I+中的这样一个累积点，假设K=x∞. 取决于K的值，当存在（x′，f′）且f′<K<x′，则（22）成立或不成立。在前一种情况下，我们可以遵循第3.3.3节的分析，在后一种情况下，我们构建模型和对冲，使模型价格和对冲成本一致，从而证明两者都是最优的。3.6目标定律中的原子当ν有原子时，质量保持和平均条件分别变为（11）和（12）。特别是，ν的原子对应于f或g中的FL截面。见图14。在这种情况下，westill可以像以前一样找到所有最佳数量。特别是∧（x）：=g（x）-千克（x）-x个-（K）-K） x个-f（x）在x中严格增加，即使f和/或g是常数。因此，我们可以找到∧=0的解（更一般的解x，f∈ （x） 精确到Υ（f，x，g=g（x））=0）。SuperEdge保持不变。在构造最优模型时需要一些技巧，但质量为（f（x*), x个*) 映射到（f（x*), g（x*))与f（x）处的（潜在）原子一起*) 或g（x*). 具体而言，给定f*, x个*, g级*我们可以找到λ*fandλ*G使（11）和（12）保持不变。

然后，在任何优化模型中，质量in（f*, x个*) 映射到νx*定义为νx*= ν|（f*,g级*)+ λ*f*δf*+ λ*g级*δg*和外部质量（f*, x个*) 映射到ν- νx*.xx0<ν（{x}）0<ν（{x}）g（^x-)g（^x+）f（(R)x-)f（(R)x+）图14：ν的原子对应于f和g中的FL截面。无质量ν的区域对应于f和g的跳跃。4讨论和扩展4.1左幕耦合的作用对于任何一对打击（K，K），左幕模型达到了美国put的最高预期回报。然而，尽管它在所有对击中同时进行优化，但对于美式看跌期权的线性组合（一般而言）并非最优。例如，如果我们考虑一个广义美国期权，如果在时间1行使，则为a，如果在时间2行使，则为b，其中a（x）=PJj=1（Kj- x） +和b（y）=PJj=1（Kj- y） +（含Kj≤ kj对于每个j），则与左侧窗帘耦合相关联的模型参考通常不是最优的。原因是模型（S，M）只有在与最佳停止规则相结合时才是最优的，而最优停止规则依赖于（K，K）。相反，虽然与左帘耦合相关的模型是最优的（同时交叉所有对K，K），但在使用固定（K，K）时，我们不需要该耦合的全部功率。在色散假设的情况下，我们只需要一个耦合，其中（f（x*), x个*) 映射到（f（x*), g（x*)) 其中x*等于∧（x*) = 有许多鞅耦合具有这个性质。左帘耦合优化背后的直觉如下所示。在美国，期权支付促进早期行使的时间衰减与支付功能促进延迟之间存在紧张关系。如果目标是使期权的收益最大化，则最好在时间1时行使在货币中并将保留在货币中的任何路径。

然而，一旦采用了路径，任何进一步的波动都是无关紧要的。特别是，在设计候选优化模型时，我们应该尽可能保持在time1执行的路径为常数（或接近常数）。因此，概率空间应分为两个区域：一个区域在时间1时看跌期权在货币中并被执行，然后路径移动很少，另一个区域在时间1时看跌期权在货币中（有时是justin货币，但在时间1时未执行），然后路径在时间1和2之间移动很长一段距离。左侧幕墙连接具有此特性。4.1.1多次行使时间很自然地会问，是否有可能将分析扩展到可以在N>2的多个日期（T，T，…TN）行使的美式看跌期权，或等效于鞅M=（Mn）0≤n≤Nwithmarginals（un），其中u的平均值为M=(R)u和un≤cxun+1用于1≤ n≤ N- 很明显，这些想法中的许多都自然而然地延伸到了多边际的情况。然而，hedgingstrategy类型的数量可能会随着N的增加呈指数增长。这将留作将来的工作。参考文献【1】Aksamit A.，Deng S.，Ob l\'oj J.，Tan，X。；美式期权非特定时间市场的稳健定价对冲二元性。arXiv预印本arXiv:1604.05517v22017。[2] Az'ema J.，Yor M.：解决斯科罗霍德的简单问题。在S\'eminaire de probabilit\'esXIII中，第90-115页。斯普林格，1979年。[3] Bayraktar E.，Huang Y-J.，Zhou Z.：关于模型不确定性下的美式期权套期保值。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：425–4472015。[4] Beiglb¨ock M.、Henry Labord\'ere P.、Penkner F.：期权价格大众运输方法的模型独立界限。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。[5] Beiglb¨ock M.、Henry Labord\'ere P.、Touzi N.：单调鞅运输计划和Skorokhod嵌入。

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