该结果与正交基E（π）的选择无关，如命题3.16所示，因为分布仅取决于通过范数k的基E（π）D~E（π）p（π）>πk.示例3.20。我们回到例3.13，考虑扰动 从uniformdistribution中采样。图8的左面板和右面板分别显示了在我们程式化的四银行网络中，在均匀分布误差下社会支出相对减少的密度和CDF。图9（a）显示了社会支出的最大减少和增加，以及支出变化的不同置信区间，作为扰动大小的函数，h。作为h*和h**取决于扰动矩阵的选择, 我们给出了h的外推区间的置信区间∈ [0, 1].3.2.3正态分布估计误差对社会的影响我们现在将考虑与上述相同的问题，前提是误差遵循标准正态分布。如第3.1.3节所述，我们注意到，在此设置中，扰动的大小不再以1为界。（a） 均匀分布扰动（b）正态分布扰动图9：作为扰动大小h的函数，社会支出和支出置信区间的最大增减量nF（π），分别为n（π），其中扰动 对于示例3.13中所述的社会化四银行系统，从标准高斯分布（右）中均匀采样（左）。提案3.21。设（π，x，’p）为正规金融系统。在扰动服从多元标准正态分布的情况下，社会支付的变化分布由比亚迪给出π> p（π）~ N0,D~E（π）p（π）>π.此外，该分布适用于任何基矩阵E（π）的选择。证据

设z为d维标准正态高斯随机变量。结果紧接着是多元高斯分布的线性和a ffne变换。该结果与正交基E（π）选择的独立性如命题3.16所示，因为分布仅取决于通过范数的基E（π）D~E（π）p（π）>π.示例3.22。我们再次回到例3.13来考虑扰动 从标准正态分布中取样。图9（b）显示了在正态分布误差下社会支出相对变化的不同置信区间（π），作为扰动大小的函数，h.作为h*和h**取决于扰动矩阵的选择 我们在h的外推区间上给出了置信区间∈ [0, 1].4实证应用：评估系统风险分析的稳健性在本节中，我们研究从系统风险研究中得出的结论的稳健性，这些研究使用艾森伯格-诺伊算法来模拟直接传染。我们使用了欧洲银行管理局2011年的欧洲银行数据集，该数据集已在之前的研究中使用，依赖于艾森伯格-诺伊框架（Gandy and Veraart（2016），Chen et al.（2016））。在这些论文中，考虑到数据集的启发式方法，我们的练习应该被视为我们的结果和方法的说明，而不是现实的全面经验分析。就模型的数据要求而言，EBA数据集仅提供有关总资产Ai、资本CIAN和银行间风险代理aIBi的信息。为了填充Eisenberg–Noe模型的其余关键变量，我们首先假设，如Chen等人（2016）所述，每家银行的银行间负债等于银行间资产。

此外，我们假设所有非银行间资产都是外部资产，非银行间负债是对社会汇聚节点的负债。因此，lIBi：=aIBi，Li0：=T Ai- lIBi公司- ci，ai：=T ai- 艾比。因此，艾森伯格-Noe模型变量为总负债：(R)pi=Li0+lIBi，总外部资产：xi=ai。请注意，因此每家银行的净值与股权账面价值或银行资本完全对应：T Ai- ？pi=ai+aIBi- lIBi公司- Li0=ci。该模型的最终关键要素是（相对）负债矩阵。这通常是高度机密的数据，不在EBA数据集中提供。在Gandy和Veraart（2016）中，Gandyand和Veraart提出了一种优雅的贝叶斯抽样方法，以生成单个银行间负债，并给出了每家银行的总银行间负债和总银行间资产的信息。作者开发了一个名为“systemicrisk”的R包，它实现了一个Gibbssampler，从这个条件分布生成样本。由于我们的分析需要初始责任矩阵，我们使用欧洲银行管理局（EBA）数据作为其代码的输入，以生成此类责任矩阵。正如（Gandy和Veraart 2016，第5.3节）所建议的，我们对银行间负债进行轻微扰动（使其与银行间资产不完全相等，同时保持总额相等），以满足L沿行和列连接的条件。然后我们运行他们的算法，参数p=0.5，细化=10，nburn-in=，λ=pn（n-1） PNi=1aIBi≈ 1.217810-3、从数据中创建一个87×87银行网络的实现。

（我们需要排除银行DE029、LU45和SI058，因为如上所述将数据映射到模型会违反算法的条件，并导致错误消息。）为了简单起见，并考虑一个可能引发欧洲银行系统系统性危机的极端事件，我们分析了如果希腊债务违约并退出欧元区，可能会发生什么。我们通过减少每家银行的希腊风险敞口来研究这种冲击，即将希腊债券价值设为零。图10（a）所示的希腊敞口直方图（占总敞口的百分比）显示了敞口的巨大异质性，大多数银行对希腊没有（或可以忽略不计）敞口，但少数希腊银行对希腊有大量敞口（占总资产的64%-96%）。在敏感性分析中，我们对Gandy&Veraartalgorithm Gandy and Veraart2016中的基础负债矩阵进行了1000次重采样。（a） 希腊风险敞口分布（b）银行对社会的义务分布图10：EBA数据集的直方图。在我们考虑的1000个模拟网络中，每一个都有9个特定机构在艾森伯格-Noe框架中拖欠债务；仅在3个模拟网络中（占所有模拟的0.3%），有1到3个额外的银行出现故障。因此，对Eisenberg–Noe框架敏感性的传统分析将得出结论，该传染模型对相对负债矩阵中的错误具有鲁棒性。这与Glasserman和Young（2015）等的工作一致。然而，我们现在考虑在1000个模拟网络中，在nF（π）。

在所有1000个模拟网络中，社会义务是相同的，图10（b）所示的柱状图显示，希腊风险敞口具有相当大的异质性。图11（a）描述了最大偏差估计误差SKD的经验密度p（π）kkp（π）kfor ∈ nF（π）。图11（b）描述了社会D最大部分短缺的经验密度e（π）e（π）。我们还描述了1000个模拟网络中每个网络的最坏情况扰动误差的上界。值得注意的是，在图11（a）中，我们看到，校准到相同EBA数据集的网络形状可以极大地改变最坏情况估计误差在以下情况下的影响：nF（π）。在这张经验密度图中，我们看到归一化最坏情况一阶估计误差的范围从0到接近4×10-4、这是清算付款的0%至2%的标准偏差（而kp（π）kitself的价值只有微小的变化：总范围低于2700万欧元，而不同模拟网络∏的标准值接近5万亿欧元）。这些扰动误差的上界（对于范数而非范数平方）约为2%，如图11（a）所示，获得的上界范围非常小。这表明该界限对初始相对责任矩阵∏相当不敏感。因此，即使相对负债∏的初始估计不正确，任何此类计算的上限对监管机构来说都是有价值的。当我们考虑图11（b）时，我们看到密度更钟形，与最小变化（大致相同）相比变化较大-0.001）至最大变化（大致-0.007）对社会的规范化影响；这证明了如图11（a）所示，基础网络可以在模拟的表面稳定性与验证之间提供很大的差异。

虽然这些值可能看起来很小，但10-3通过将清除向量的偏差与社会节点的值进行归一化而增加，但仍然相当于23.2-1624亿欧元的变化。因此，这种敏感性就好像整个银行的资产都从社会财富中消失了一样。这些扰动误差的上界大约是在以下条件下计算得到的最大偏差的两倍nF（π）。值得注意的是，最坏情况下误差的中位数上限几乎等于可能的最小值，尽管细尾巴会导致更大的误差。最后，图11（c）和图11（d）分析了网络异构性对清除向量扰动的影响。为此，我们将“网络异质性”量化为边缘度分布的方差。在1000个模拟网络中，其变化范围在110到170之间，因此显示出合理的异质性水平。图11（c）显示了最坏情况下的相对误差nF（π）（蓝色圆圈）和nF（π）（红色交叉）。同样，图11（d）显示了向社会支付的相对误差与网络中程度分布方差的散点图。这两个图似乎都没有表明相对误差与网络异质性之间的明确关系。请注意，图11（a）和11（b）是通过将图11（c）和11（d）中的所有点投影到y轴来获得的。5结论在本文中，我们分析了标准Eisenberg–Noe框架中清算付款对相对负债矩阵中的误报或估计错误的敏感性。我们通过确定清算付款相对于相对负债矩阵的方向导数来实现这一点。

我们将此结果推广到考虑固定点的完全泰勒展开，以确定清算付款作为初始解的闭合形式摄动。我们进一步研究了扰动分析的最坏情况和概率解释。在这个简单的设置中，我们的结果为清除向量的最大偏移量提供了上限，也为社会短缺量提供了下限。在欧洲银行系统的数字案例研究中，我们证明，即使违约公司数量保持不变，清算付款和社会财富也会受到很大影响。即使链接的存在和不存在是预先规定的，也是如此。当链接的存在和不存在未知时，可以利用误差的上界，通常提供的误差对相对负债的初始估计不太敏感，大约是预先规定链接下误差的两倍。我们的敏感性分析基于标准的Eisenberg–Noe模型。因此，它省略了文献中开发的许多其他重要扩展（如破产成本、再销售或网络拓扑的影响）。因此，为了全面量化风险和不确定性，未来的研究需要开发一个模型，将所有这些相关的传染渠道结合起来，并对其进行权衡。尽管如此，我们的结果为确定银行间负债矩阵中估计错误的影响提供了第一步，从而改进了系统风险分析工具。6致谢导致本文的合作是由美国国家科学基金会数学科学部资助的2015年金融数学AMS数学研究社区发起的，批准号为1321794。

Eric Schaanning的博士研究由卢森堡国家基金会（Fonds National de la Recherche Luxembourg）根据其AFR博士资助计划资助。（a） 清除向量的相对误差。（b） 向社会支付的相对误差。（c） 清除向量的相对误差和网络异质性之间并没有明显的相关性。（d） 社会支付的相对误差与网络异质性之间没有明确的关系。图11:Top:Eisenberg–Noe框架中相对误差的经验密度，作为校准到同一EBA数据集的随机网络的函数。垂直虚线表示最坏情况上限的最大和最小经验值，虚线表示中值上限。下图：清除向量扰动对网络异质性的依赖性。参考Samini H，Cont R，Minca A（2016a）《金融网络中的传染弹性》。数学财务26（2）：329–365。Amini H，Filipovi\'c D，Minca A（2016b）中央对手方清算的系统性风险。瑞士金融研究所研究论文第13-34号，瑞士金融研究所，URLhttps://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2275376.AminiH，Filipovi\'c D，Minca A（2016c）具有清算成本的支付系统中均衡的唯一性。运筹学信函44（1）：1–5，URLhttps://doi.org/10.1016/j.orl.2015.10.005.AnandK，B'edard Pag'e G，Traclet V（2014）《加拿大银行系统压力测试：全系统方法》。

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因此p-1[U]闭合，函数pis相对于∏连续。定理2.6的证明我们注意到，我们的证明并没有先验地假定清除向量是可微的；我们在下面对这个更简单的案例进行评论。证据我们假设净外部资产位于x个∈ 注册护士+@我∈ N s.t.xi+nXj=1πjipj（π）=π.表示α（1）=x+π>p（π）=（α（1），····，α（1）n）>和α（2）=x+（π+h)>p（π+h) = （α（2），···，α（2）n）>。通过p关于∏的连续性（命题2.1），我们得到了所有i∈ N、 α（2）i→ α（1）iash→ 0，因此1{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i>\'\'pi}}→ 0，1{{α（1）i>\'\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}→ 0和1{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}→{α（1）i<\'pi}。证明D的存在p（π），我们将显示以下两个极限，Dp（π）i=lim suph→0pi（π+h) - pi（π）handDp（π）i=直线infh→0pi（π+h) - 每个组件的pi（π）相等。考虑上限p（π）i=lim suph→0pi（π+h) - pi（π）h=lim suph→0小时“”pi∧ （xi+nXj=1（πji+hδji）pj（π+h))-“”pi∧ （xi+nXj=1πjipj（π））!= lim suph公司→00×1{{α（1）i>\'pi}∩{α（2）i>\'pi}}+\'pi- （xi+Pnj=1πjipj（π））h{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i>\'pi}}+xi+Pnj=1πjipj（π+h) + hPnj=1δjipj（π+h) - \'pih{{α（1）i>\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}+Pnj=1πjipj（π+h) - pj（π）+ hPnj=1δjipj（π+h)h{{α（1）i<\'pi}∩{α（2）i<\'pi}}=nXj=1πjiDp（π）j+nXj=1δjipj（π）{α（1）i<\'pi}=dinXj=1πjiDp（π）j+dinXj=1δjipj（π）=：ψiDp（π）对于某些函数ψ：Rn→ 注册护士。同样，我们得到p（π）i=dinXj=1πjiDp（π）j+dinXj=1δjipj（π）=ψiDp（π）.因此，Dp（π）和Dp（π）是相同映射ψ的固定点。假设这个定点问题有唯一的解决方案p（π）i=Dp（π）i，对于所有i∈ N

因此，在此假设下，Dp（π）定义良好，是固定点方程D的解p（π）=ψDp（π）= 诊断（d）∏>dp（π）+diag（d）>p（π）。接下来，我们继续展示我- 诊断（d）∏>是可逆的，这建立了固定点和方向导数（3）的唯一性，从而得出证明。首先，假设diag（d）π>是不可约的，即具有邻接矩阵diag（d）π>的图在任意两个顶点i 6=j之间的两个方向上都有定向路径。然后，通过Perron–FrobeniusTheorem（参见，例如，（Soft 2007，第8.7.2节）），diag（d）π>的特征向量v>0对应于特征值ρ（diag（d）π>），其中ρ（·）是矩阵的谱半径。由于特征向量只有一个乘法常数，我们可以假设kvk=1。在规则系统的假设下，至少有一家银行必须是有偿付能力的，即存在一些i，使得diag（d）ii=0。这意味着存在一列，使得diag（d）∏>的列和严格小于1。事实上，任何对银行i负有义务的破产机构j的diag（d）π>列总和将严格小于1。如果所有银行都有偿付能力，diag（d）是零矩阵，结果很简单。因此有一些矩阵M≥ 0，M 6=0，因此diag（d）∏>+M的每列和为1，即>诊断（d）∏>+M= 1>.请注意，由于∏的每一行和为1，因此diag（d）∏>的列和最多为1。因此，diag（d）∏>的光谱半径必须小于或等于1。此外，我们必须使ρ（diag（d）∏>）小于1。否则，ρ（diag（d）∏>）=1，随着特征向量躯干的缩放，kvk=1意味着1=1>v=1>诊断（d）∏>+Mv=1>（v+Mv）=1+1>Mv>1，根据特征值定义∏>v=1v。

因此，我们可以得出结论，在diag（d）π>不可约的情况下，ρ（diag（d）π>）<1。现在假设diag（d）∏>是可约的，即diag（d）∏>类似于块上三角矩阵d，具有不可约的对角块Di，i=1，对于某些m<n。在正则系统的假设下，每个Di至少有一列的和严格小于1。与递减情况一样，这意味着每个i的ρ（Di）<1，因此ρ（diag（d）∏>）=ρ（d）<1。由于diag（d）∏>的最大特征值严格小于1，0不能是i的特征值- 诊断（d）∏>。这表明我- diag（d）∏>是可逆的。备注A.1。如果假设p相对于相对负债∏是可微分的，则可直接从表达式p（∏）=（I）的隐式微分中获得定理2.6的结果- diag（d））(R)p+diag（d）[x+π>p（π）]。定理2.8的证明。我们用归纳法证明了结果。定理2.6给出了k=1的结果。现在我们假设方程（6）适用于k，我们继续证明它适用于k+1。如定理2.6所示，我们通过计算两个极限来证明（4）的存在性：D（k+1）p（π）i=lim suph→0D（k）p（π+h)我- D（k）p（π）i和d（k+1）p（π）i=直线infh→0D（k）p（π+h)我- D（k）p（π）ih。矩阵逆的一阶泰勒近似由X，Y的矩阵逆的微分规则（参见（Soft 2007，p.152））给出∈ Rn×nand h足够小：（X+hY）-1.≈十、-1.- hX公司-1年X月-1.

将此事实应用于X=I- 诊断（d）∏和Y=-诊断（d）T、 我们有我-诊断（d）（π+h)>-1.≈我-诊断（d）∏>-1+小时我-诊断（d）∏>-1图（d）>我-诊断（d）∏>-此外，我们注意到，与所有低阶导数类似，k阶导数与相对负债矩阵∏是连续的，因为（根据归纳假设）D（k）p（π）=k！我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π），其中p（π）和我- 诊断（d）∏>-1关于∏都是连续的（见命题2.1和矩阵逆的连续性）。考虑上限D（k+1）p（π）=lim suph→0D（k）p（π+h) - D（k）p（π）h=lim suph→0公里我- 诊断（d）（π+h)>-1图（d）>D（k-1)p（π+h)-我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）= lim suph公司→0公里我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π+h) - D（k-1)p（π）h+lim suph→0k小时我- 诊断（d）∏>-1图（d）>我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π+h)= k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）+k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）=k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）+我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）=（k+1）我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）。同样，我们得到D（k+1）p（π）=（k+1）我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k）p（π）。极限的存在性和所有k的结果（6）如下≥ 根据上述所有K阶方向导数的结果，我们现在考虑完整的泰勒展开。首先，通过定义h**如（5）所示，diag（d）表示h∈ (-h类**, h类**). 根据清算付款p（见第（2）款）和违约公司diag（d）（见第2.6款）的定义，以及以下事实：- 诊断（d）（π+h)>是可逆的（如定理2.6的证明所示，因为∏+h, x、 (R)p）仍然是h的常规系统∈ (-h类**, h类**)  (-h类*, h类*)), wehavep（π+h）) = 诊断（d）x+（π+h）)>p（π+h)+我- 诊断（d）\'\'p=我- 诊断（d）（π+h)>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p.（13） 同样，我们发现P（π）=我- 诊断（d）∏>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p.

（14） 通过组合（13）和（14），我们立即发现P（π+h) =我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>p（π）。此外，我们可以证明我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>=我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1直接由我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>=我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）∏>- h诊断（d）>=我- 诊断（d）（π+h)>-1.我- 诊断（d）（π+h)>= 一、 因此，对于任何h∈ (-h类**, h类**), 我们发现P（π+h) =我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1p（π），即（8）。现在让我们考虑邻域h中尺寸h的扰动：=h类∈ R|h |<分钟（h**,ρ我- 诊断（d）∏>-1图（d）>).我们将使用矩阵逆的以下性质（参见（Meyer 2000，第126页））：如果X，Y∈ Rn×nso该X-1存在和限制→∞（十）-1Y）k=0，然后（X+Y）-1=∞Xk=0-十、-1年kX公司-我们取X=I- 诊断（d）∏>和Y=-h诊断（d）>. 自ρ起h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>=|h |ρ我- 诊断（d）∏>-1图（d）>< 1假设| h |<ρ我-诊断（d）∏>-1图（d）>,我们有Limk→∞hh小时我- 诊断（d）∏>-1图（d）>ik=0，使用光谱半径的特性（请参见（Meyer 2000，第617页））。因此，通过将这个结果与（13）结合，我们得到了p（π+h) =我- 诊断（d）（π+h)>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p=∞Xk=0h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>k我- 诊断（d）∏>-1.诊断（d）x+我- 诊断（d）\'\'p=∞Xk=0h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π）=∞Xk=0hkk！D（k）p（π）。上述倒数第二个等式直接来自（14）。最后一个等式直接来自上述K阶方向导数的定义。因此，我们已经证明了fullTaylor展开式在H上是精确的 (-h类**, h类**).最后，因为我们已经证明（8）对于任何h都是精确的∈ (-h类**, h类**) 和-h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>对于至少一个元素h是单数的∈-ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>),ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>)通过构造，必须遵循h**≤ρ（（I-诊断（d）∏>）-1图（d）>).

即H=(-h类**, h类**).A、 2摄动矩阵的正交基我们在这里为n（π）。要确定想法，请考虑案例n=4，其中矩阵的一般形式 ∈ （C）对于完全连接的网络，∏C可以写为（πC）=诊断（(R)p）-1.0 zz-z- zz0 z-z- zz公司-Pk=1zkPk=1zk-z- zPk=2zk-z- zz∈ R,很明显，有5个自由度。很容易看出，一般来说，一个hasd=n-3n+1个自由度。在n=4的情况下，两个这样的基元^Eand^Eare由^E给定=\'\'p-1'p0 0 0 0 0-1“p”p0 0 0 0 0和^E=0 0'p-1'p0 0 0 0 0-1“p”p“p”-1'p.总的来说，我们注意到n（π）是一个封闭的凸多面体集；我们将利用这一事实来生成构造n（π），如下所示：1。定义~n（π）：=δ ∈ 注册护士δi+n（i-1） =0，nXj=1δi+n（j-1） =0，nXj=1？pjδn（i-1） +j=0，1{πij=0}δi+n（j-1)= 0 i、 j是的矢量化版本n（π）。2、构造矩阵a（π）∈ R（n+2n）×nso~n（π）={δ∈ Rn | A（π）δ=0}。请注意~n（π）（因此也适用于n（π））由矩阵A（π）的rankof给出。我们在矩阵A（π）中包含足够的行，以确保行和n（加权）列和为0，并且基于πij=0.3，δ的分量等于零。的正交基~n（π）可以通过生成A（π）的零空间的正交基{e，…，ed}来求出。最后，我们的基矩阵{E，…，Ed}可以通过设置Ek重塑A（π）的零空间的基来生成；i、 j：=ek；i+n（j-1） 对于任何k=1。。。，d和i，j∈ N、 定义A.2。集合En（π）：={E，…，Ed}是相对责任矩阵∏的扰动矩阵的正交基。此外，向量E（π）p（π）：=DEp（π）。

，DEdp（π）∈ Rn×dis是相对责任矩阵∏的基方向导数向量。当向量形式在Rn中正交时，我们将两个矩阵定义为正交矩阵，并注意到，通过构造，扰动矩阵~En（π）基中的任何矩阵都具有单位frobeniunsorm。提案A.3。Let∏∈ πn.那么D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）对于扰动矩阵的正交基的任何选择都是相同的。此外，ifzλ、 ~E（π）∈ Rdi是对应于特征值λ和基E（π）的特征向量，则Pdk=1zkλ、 ~E（π）Ekis独立于基础的选择。证据设E为~E（π）的向量化版本，设F 6=E为不同的正交基。通过方向导数的线性（见定理2.6），我们可以立即说明D~E（π）p（π）>对于某些矩阵C，D~E（π）p（π）=E>CE∈ Rn×n。Let（λ，v）是算子E>CE和Let z的特征值和igenvector对∈ rdev=F z。我们将证明（λ，z）是F>CF的特征值和特征向量对，因此证明是完整的：λz=λF>F z=λF>Ev=F>E（λv）=F>EE>CEv=F>CF z。最后一个等式来自以下事实，即EE>=F>是上的唯一投影矩阵~n（π）。提案A.4。Let∏∈ ∏n.那么D~E（π）p（π）>c独立于扰动矩阵的正交基的选择~E（π）和任何固定向量c∈ 注册护士。证据在命题A.3的证明中，设E和F是向量化扰动空间∏n（π）的两个不同的基矩阵。通过方向导数的线性（见定理2.6），我们可以立即说明D~E（π）p（π）>c=E>某些向量的▄c∈ 注册护士。很快我们就可以看到kE>~ck=kF>~ck，因为EE>=F F>是唯一的投影矩阵~n（π）。