艾森伯格Noe清算向量对单个银行间同业的敏感性

2022-6-2 14:47:31

Eisenberg–Noe清算向量对个人银行间负债的敏感性。*Zachary Feinstein+、Weijie Pang、Birgit Rudlo off§、Eric SchaanningPk、Stephan Sturm、Mackenzie Wildman**我们量化了Eisenberg–Noe清算向量对金融系统双边负债估计误差的敏感性。银行间负债矩阵是计算清算向量的关键输入。然而，在实践中，央行行长和监管机构必须经常估计该矩阵，因为很少有关于双边债务的完整信息可用。因此，清除向量可能会抵消责任矩阵中的估计误差。我们量化了清除向量对此类估计误差的敏感性，并表明其方向导数与清除向量本身一样，是固定点方程的解。我们利用表示容许扰动的矩阵空间的基来描述估计误差，并推导出Eisenberg–Noecleasing向量最大偏差的解析解。这允许我们计算清除向量最坏情况下扰动的上界。此外，对于相对责任矩阵中的均匀或正态分布误差，我们量化了观察到一定程度的清除向量偏差的概率。将我们的方法应用于欧洲银行的数据集，我们发现相对负债的扰动可能会导致经济上的巨大差异，从而导致对传染风险的低估。

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mingdashike22

2022-6-2 14:47:35

我们的结果是允许监管机构量化模拟误差的第一步。关键词：系统性风险、模型风险、艾森伯格-Noe清算向量、敏感性分析、银行间网络、传染。*本作品中表达的观点是作者的观点，并不一定反映挪威银行的观点。本材料基于国家科学基金会第1321794号拨款支持的工作。+圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，地址：美国密苏里州圣路易斯市格林豪尔布鲁金斯大道1号2160B室，邮编：63130，zfeinstein@ese.wustl.edu.伍斯特理工学院，数学科学系，100 Institute Road，Worcester，MA01609-2280 USA，wpang@wpi.edu和ssturm@wpi.edu.§奥地利维也纳1020号D4栋Welthandelsplatz 1号维也纳经济和商业大学，brudloff@wu.ac.at.P挪威银行研究，Bankplassen 2，0107奥斯陆，挪威，埃里克。schaanning@norges-银行。编号：kRiskLab，ETH Z¨urich，数学系，R¨amistrasse 101，8092 Z¨urich。这项工作的一部分是在埃里克·夏宁（EricSchaanning）就读于伦敦帝国理工学院期间完成的。**加利福尼亚大学圣巴巴拉分校统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市南大厅，邮编93106-3080。这项工作的一部分是在麦肯齐·威尔德曼（MackenzieWildman）就读于麦肯齐利海大学时进行的。wildman@gmail.com.1导言一些关于网络传染的重要文献集中在银行间传染，建立在Eisenberg和Noe（2001）的网络模型上。中央银行和监管机构已应用该模型研究其辖区银行系统中的违约级联。（Anandet al.（2014）、Ha laj和Kok（2015）、Boss et al.（2004）、Elsinger et al.（2013）、Upper（2011）、Gai et al.（2011））。H¨user（2015）对银行间传染文献进行了全面而详细的回顾。

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2022-6-2 14:47:39

Hurd（2016）提出了一个统一的数学框架来建模这些传染通道。最近，英格兰银行扩展了该模型，以分析英国金融体系中的偿付能力传染（Bardocia et al.（2017））。该模型的多个扩展已被开发，以包括o破产成本：Elsinger（2009）、Rogers和Veraart（2013）、Elliott等人（2014）、Glasserman和Young（2015）、Weber和Weske（2017）、o交叉所有权：Elsinger（2009）、Elliott等人（2014）、Weber和Weske（2017）oFire sales：Cifuntes等人（2005）、Nier等人（2007）、Gai和Kapadia（2010），Chen等人（2016年）、Amini等人（2016b，c）、Weber和Weske（2017年）、Feinstein（2017a）、Feinstein-andEl-Masri（2017年）、Feinstein（2017b）、Di Gangi等人（2015年）和o多重到期：Capponi和Chen（2015年）、Kusnetov和Veraart（2016年）、Banerjee等人（2018年）。此外，许多论文更详细地分析了网络拓扑对系统风险的影响。Amini等人（2016a）得出了网络特征方面违约级联规模的严格渐近结果，并发现具有较大连通性和大量“传染链接”的机构对传染的贡献最大。Detering等人（2016）表明，如果网络的度分布没有第二个时刻，局部冲击可以传播到整个网络。这是相关的，因为现实的金融网络通常显示出具有不均匀度分布的核心-外围结构（Cont et al.（2013））。

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2022-6-2 14:47:42

Chong和Kl¨uppelberg（2018）描述了金融系统在所有可能网络结构下的联合违约分布，并展示了贝叶斯网络理论如何应用于检测传染渠道。监管机构已确定将此类传染机制纳入压力测试是一项关键优先事项（巴塞尔银行监管委员会（2015），Anderson（2016））。此外，最近的研究表明，考虑反馈效应和传染可以改变个别机构压力测试的通过/失败结果（Cont和Schaanning（2017））。在这些模型中，估计传染所需的一个关键因素是所谓的负债矩阵，其中Lij是银行i对银行j的名义负债。通常，确切的双边风险敞口未知，因此需要进行估计（Ha laj和Kok（2013），Anand et al.（2015），Elsingeret al.（2013），Ha laj和Kok（2015））。尽管危机后为改善数据收集做出了大量努力，但数据差距尚未缩小。除了后勤问题，如报告格式的标准化和创建唯一和通用的机构标识，还存在其他障碍，如限制监管机构只能访问与其各自管辖区相关的数据的法律限制。因此，特定双边风险敞口的估计仍然是一个重要的组织（Lang field et al.（2014），Anand et al.（2015，2017），Financial Stability Board and International Monetary Fund（2015））。早期文献经常使用熵最大化技术，根据银行的总资产和负债（即L的行和列之和），在负债矩阵中“填补空白”。

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大多数88

2022-6-2 14:47:45

然而，越来越多的实证文献表明，真实世界的银行间网络看起来与使用此类技术获得的同质网络截然不同（Bech和Atlay（2010），Mistrulli（2011），Cont et al.（2013），Soram¨aki et al.（2007））。Gandy和Veraart（2016）提出了一种基于总负债和潜在其他先验信息的新贝叶斯方法来估计双边负债，并将其应用于重建Gandy和Veraart（2017）的CDS市场。特别是，Mistrulli（2011年）、Gandy和Veraart（2016年）表明，在估计现实世界和异构网络与统一网络的传染时，系统性风险的估计可能会产生多大的影响。这突出了双边风险敞口矩阵在计算违约级联时量化传染程度方面所起的关键作用。除了上述限制监管机构访问其管辖范围以外数据的法律障碍外，由于数据收集和压力测试运行之间的时间间隔，银行间风险敞口中的另一个重要不确定性示例也出现了：对于一些监管压力测试（如多德-弗兰克压力测试），每年收集数据，这既可能导致银行的粉饰行为，也可能导致风险敞口随时间自然变化。在这种情况下，两家银行之间是否存在风险敞口将是已知的，其不确定性主要围绕其规模。Capponi等人（2016年）通过使用基于优化的工具，研究了网络拓扑对系统风险的影响。据我们所知，Liuand Staum（2010）是迄今为止唯一一篇对Eisenberg-Noe模型进行敏感性分析的论文。

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2022-6-2 14:47:48

他们的分析侧重于清算向量对每家银行初始净值的敏感性。本文的主要贡献是在标准艾森伯格-诺埃框架下，对清算向量对银行间负债进行详细的敏感性分析。为此，我们定义了与“扰动矩阵”相关的清理向量k阶方向导数，这量化了相对责任矩阵中的估计误差。这使我们能够导出清除向量的精确泰勒级数。此外，我们还引入了一组“基矩阵”，它们指定了方向导数的基本方向的概念。我们证明了清除向量的方向导数可以写成这些基矩阵的线性组合。我们继续利用这一结果研究两个优化问题，这两个优化问题量化了清除向量与其“真”值的最大偏差，并获得了这两个问题的显式解。这些分析结果还提供了（一阶）最坏情况扰动误差的上限。当估计误差是均匀分布或正态分布时，我们通过计算观测到给定量级偏差的概率来扩展这些结果。最后，我们用一个小型的四家银行网络和一个欧洲银行数据集来说明我们的结果。我们的结果表明，尽管违约银行在不同的双边银行间网络中可能保持稳定（校准到相同的数据集），但清除向量与相对负债扰动的偏差可能很大。

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nandehutu2022

2022-6-2 14:47:53

虽然我们的程式化设置忽略了Eisenberg–Noe框架的其他扩展（例如破产成本或零售），但它为量化清算向量对负债矩阵的敏感性提供了第一步，这在之前的文献中尚未解决。在本文中，我们偶尔会考虑外部负债和银行间负债。将所有外部负债合并为一个单一的外部“社会企业”这家额外的“银行”是金融网络中未包含的整个经济体的替身。如Glasserman和Young（2015）对此进行了详细讨论。特别是，如inFeinstein等人（2017）所述，对社会企业财富的影响可以作为整体金融网络健康状况的综合衡量指标。我们将以类似的方式利用社会FIRM来研究银行间负债估计误差对外部利益相关者的影响。我们将文献综述主要局限于接近艾森伯格-诺伊方法论的论文。毋庸置疑，自金融危机以来，已经有大量论文使用不同的方法来衡量系统风险，如基于代理的建模（Bookstaberet al.（2014））、计量经济学（Brownlees and Engle（2016））、平均场博弈（Carmona et al.（2015））或经济分析（Brunnermeier and Cheridito（2014））、Hellwig（2009））。系统风险公理化度量和集合论方法已在（Chen et al.（2013）、Kromer et al.（2016）、Biagini et al.（2015）、Feinstein et al.（2017））中开发。Bisias等人（2012年）、Fouque和Langsam（2013年）以及Duffee（2010年）对这一庞大的文献进行了广泛概述。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Eisenberg–Noe框架，并提供了该模型的初始连续性结果。

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mingdashike22

2022-6-2 14:47:56

然后，我们研究了相对负债矩阵的方向导数和艾森伯格-诺埃清算支付的泰勒级数。这些结果允许我们考虑清算付款的敏感性。在第3节中，我们使用方向导数来确定相对责任矩阵的扰动，该矩阵在结算付款的错误指定和对社会的影响方面呈现“最严重”的错误。这些结果也被推广到考虑各种估计误差的概率。在第4节中，我们对根据欧洲银行网络校准的数据进行了敏感性分析。第5节总结并讨论了我们的方法的局限性。技术证明大多归入附录，附录还提供了扰动矩阵理论基础的详细信息。2艾森伯格-Noe清算向量的敏感性分析我们考虑由n家银行组成的金融系统，n={1，…，n}。对于i，j∈ N、丽晶≥ 0是i银行对j银行的名义负债。等效地，Lij是j银行对i银行的风险敞口∈ Rn×nis称为金融网络的负债矩阵，我们假设没有银行有自身风险敞口，即Lii=0∈ N、银行i的总负债由“pi=Pnj=1Lij”表示。银行i对银行j的相对负债表示为πij∈ [0，1]，其中πij=Lij'pi当'pi>0时。我们允许πij∈ 当π=0且仅要求nj=1πij=1时，[0，1]为任意值。Wedenote相对责任矩阵∏∈ Rn×n.任何相对责任矩阵∏必须属于容许矩阵∏n的集合，定义为所有右随机矩阵的集合，其条目在[0，1]中，所有对角线条目为0:n：=Π ∈ [0，1]n×ni：πii=0，nXj=1πij=1. （1）最后，用xi表示银行系统外i银行的外部资产≥ 0

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2022-6-2 14:48:00

然后，银行资产负债表采用表1的简化形式，财务系统由Triplet（π，x，’p）给出∈ ∏n×Rn+×Rn+。当一家银行的净外部资产和有效的银行间资产之和超过其总负债时，该银行即具有偿付能力。在这种情况下，银行将履行其所有义务。然而，如果其债务价值大于该银行的净资产加上银行间履约资产，则也可以通过引入“外部”银行0来考虑外部负债。第3.2节对此进行了详细讨论。请注意，在π=0的情况下，任意选择πij对艾森伯格-诺埃斯模型的结果没有影响，因为相对责任矩阵∏的转置乘以传入支付向量p（π），当πpj=0时，其值为0（参见（2））。资产代表负债代表银行间aIBi=Pnj=1LJI银行间lIBi=Pnj=1LIJIEXTERNAL XI外部LI0资本抵押表1：风格化银行资产负债表银行将违约并按比例偿还债务。这些规则产生一个清除向量，作为固定点问题的解p（π）=p∧x+π>p（π）. （2）设p：∏n→ Rn+；Π 7→ p（π）是具有参数（x，(R)p）的定点函数。如（Eisenberg和Noe 2001，定理2）所证明的，如果银行系统是正则的，则清算向量是唯一的。正则性定义如下：盈余集S N是一组银行，其中集合中的任何银行均不对集合外的银行承担任何义务，集合中所有银行的外部净资产价值之和均为正值，即。，（i，j）∈ S×Sc：πij=0和π∈Sxi>0。接下来，将金融系统视为一个有向图，其中，如果Lij>0，则银行i与银行j之间存在有向链接。将银行i的风险轨道表示为o（i）={j∈ N |存在一条从i到j的有向路径}。

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2022-6-2 14:48:03

这意味着，i银行的风险轨道是所有可能受到i银行违约影响的银行的集合。如果每个风险轨道都是盈余集，则系统是正则的。清除向量的唯一性对函数p的连续性有重要影响，这反过来对我们的敏感性分析很重要。因此，我们将假设我们的财务系统是正常的。提案2.1。考虑一个常规金融系统（π，x，\'p），其中x和\'p是固定的。通过（2）定义的函数p相对于∏是连续的∈ ∏n.我们通过考虑一个简单的Eisenberg示例来完成这些初步说明——在n=4家银行的系统下，无清算支付。我们将作为一个简单的说明性案例研究返回这个例子。示例2.2。考虑以下由四家银行组成的网络示例，其中银行的名义银行间负债由byL给出=0 7 1 13 0 3 31 1 0 11 1 1 0,如图1（a）所示。假设银行的外部资产由向量x=（0，2，2，2）>给出。由于净值为0，负债为正，第一银行最初违约。Eisenberg–Noe clearingvector（2）可以很容易地计算为p=（4.5，7.5，3，3）>，表明银行2也会通过传染违约。已实现的银行间支付如图1（b）所示。没有过错的银行被涂成红色，偿还金额少于全部的付款也被涂成红色。

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大多数88

2022-6-2 14:48:11

边线与付款规模成比例。这与以下假设相对应：所有银行间债权和外部债权都可以合并到一家配置银行，并且违约银行的所有债权人都得到了同等的支付。（a）名义银行间负债（b）清算银行间付款图1：示例2.22.1中定义的初始网络量化（相对）负债矩阵中的估计误差我们假设一些估计误差附加到相对负债矩阵的条目中，导致清算向量偏离“真实”清算向量p（π）。用∏和let∏+h表示真实的相对负债矩阵对于扰动矩阵，表示包含一些估计误差的负债矩阵和尺寸h∈ R、首先我们考虑一类微扰矩阵，n（π），在此情况下，我们假设监管机构已知两家银行之间存在或不存在联系，因此，误差仅限于该联系大小的错误指定。在实践中，当以较低的频率收集数据时，就会出现这种不确定性，这可能导致风险敞口自然演变，以及银行试图在监管报告日期之前改善资产负债表的组成。备注2.9、推论3.2和推论3.17将利用本节中的结果为一般扰动误差提供边界，而无需预先确定链路的存在或不存在。定义2.3。对于固定的“p”∈ Rn+，定义相对责任扰动矩阵集n（π）：= ∈ Rn×ni：δii=0，nXj=1δij=0，nXj=1δji'pj=0，和（πij=0）=> （δij=0）j.求和条件确保各银行的总负债和总资产分别保持不变。当然，不可能有∏+h ∈ ∏对于任何h∈ R

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2022-6-2 14:48:15

在这项工作中，我们考虑了有界区间内的扰动量，h∈ (-h类*, h类*), 其中*:= 最小值最小δij<0，(R)pi>0-πijδij，最小δij>0，(R)pi>01- πijδij> 例如，可以从欧洲银行的资产负债表缩减以及由此导致的美联储反向回购贷款利用率的相应飙升中看到季度末此类行为的证据，参见：http://libertystreeteconomics.newyorkfed.org/2017/08/regulatory-incentives-and-quarter-end-dynamics-in-the-repo-market.html.for任何 ∈ n（π）确保∏+h ∈ πn。我们不计算h*任何银行I的'pi=0，因为这对结果没有影响。在单位球上考虑方向导数是很自然的，因此我们关注有界扰动集nF（π）：=n（π）∩ ∈ Rn×nkkF公司≤ 1.,其中k·kf是Frobenius范数，即kkF=qPni=1Pnj=1 |δij |。备注2.4。可以考虑一种更一般的情况，即允许在没有链接的地方创建错误，或者在有连接的地方删除连接。该集合定义如下：对于固定的p∈ Rn+，n（π）：= ∈ Rn×ni：δii=0，nXj=1δij=0，nXj=1δji'pj=0，和（πij=0）=> （δij≥ 0) j.我们将特别考虑有界扰动集nF（π）：=n（π）∩ ∈ Rn×nkkF公司≤ 1..因此，这种扰动允许对网络进行“重新布线”。通常，允许添加或删除边会增加清除向量中的潜在错误。然而，敏感性分析的微小本质必然会限制重新布线以创建新链接；任何严格的积极责任都不能通过微小的干扰来删除。

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2022-6-2 14:48:18

我们在推论3.2中更详细地讨论了这个问题，其中我们将我们的方法应用于整个网络，以及在图11（a）中，它显示了在银行间网络重新布线的情况下向社会分配的支出。2.2 Eisenberg–Noe清算向量的方向导数接下来，我们分析了使用扰动责任矩阵的清算向量p（π+h）时的误差),对于小扰动h，代替原始责任矩阵的清除向量p（π）, 具有 ∈ n（π）。定义2.5。允许 ∈ n（π）。在存在以下极限的情况下，我们定义了清除向量p（π）在扰动矩阵方向上的方向导数 asD公司p（π）：=limh→0p（π+h) - p（π）h.p关于∏givesp（π+h）的一阶泰勒展开式) - p（π）=hDp（π）+Oh类.以下定理为固定金融网络的clearingvector的方向导数提供了一个明确的公式。定理2.6。设（π，x，’p）为正规金融系统。清除向量p（π）在扰动矩阵方向上的方向导数 ∈ n（π）几乎无处不在，是比亚迪给出的p（π）=我- 诊断（d）∏>-1图（d）>p（π），（3），其中diag（d）是定义为diag（d，…，dn）的对角矩阵，其中di：=1{xi+Pnj=1πjipj（π）<π}。这里，（3）保持在度量零集{x之外∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}，其中一些银行正处于违约边缘。术语（I- 诊断（d）∏>）-1陈等人（2016）也提出了这一观点，作者称之为“网络乘数”该乘数出现在以艾森伯格-诺伊清算向量为特征的线性规划的双重公式中，作者引入该乘数来研究清算向量对（违约银行的）资本和（非违约银行的）总负债的敏感性。

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2022-6-2 14:48:22

上述方向导数的计算可视为该结果对任意扰动的推广。在我们的案例中，解释保持不变：“网络乘数”描述了估计误差如何通过网络传播。2.3艾森伯格-Noe清算付款的泰勒级数同样，我们可以定义高阶方向导数。定义2.7。对于k≥ 1，我们定义了清除向量相对于扰动矩阵的K阶方向导数 asD（k）p（π）：=limh→0D（k-1)p（π+h) - D（k-1)p（π）h，（4）当极限存在时，和d（0）p（π）=p（π）。值得注意的是，正如定理2.8所示，所有高阶导数也都有一个显式公式，这使我们能够获得清除向量的精确泰勒级数。我们对容许扰动h施加了额外的假设因此矩阵diag（d）（如定理2.6所定义）是∏+h的函数就h而言是固定的，即我们要求h足够小，以便当负债矩阵为∏+h时，相同的银行子集处于违约状态当责任矩阵为∏时。勒思**:= 啜饮h类≤ h类*xi+Pnj=1πjipj（π）<π<=> xi+Pnj=1（πji+hδji）pj（π+h) < “”pi我∈ N,h类**:= inf公司h类≥ -h类*xi+Pnj=1πjipj（π）<π<=> xi+Pnj=1（πji+hδji）pj（π+h) < “”pi我∈ N,h类**:= 最小值{-h类**, h类**}. （5）我们必须有h**> 0，因为我们排除了度量零集{x∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}，其中银行正处于违约边缘。定理2.8。设（π，x，’p）为正规金融系统。然后用于 ∈ n（π），对于所有k≥ 1： D（k）p（π）=k我- 诊断（d）∏>-1图（d）>D（k-1)p（π）（6）=k！我- 诊断（d）∏>-1图（d）>kp（π），图2：近似误差的对数曲线图，| | p（π）- p（π+h)||针对例2.2中引入的网络随机扰动的扰动h的大小。其中D（0）p（π）=p（π）。

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2022-6-2 14:48:25

此外，对于h∈ (-h类**, h类**), 泰勒级数（π+h）) =∞Xk=0hkk！D（k）p（π）（7）收敛并具有以下表示p（π+h) =我- h类我- 诊断（d）∏>-1图（d）>-1p（π）（8）在测量零点集{x）之外∈ Rn+|我∈ N s.t.xi+Pnj=1πjipj（π）=π}。将方向导数（3）与完整的泰勒级数（7）进行比较，可以使我们对“网络乘数”的解释更加精确：网络乘数在实际默认算法的最后一轮中捕捉到错误传播的初始效应。错误传播的K阶效应由提高到K阶功率的网络乘数捕获。最后，固定点的泰勒级数是这些kthorder网络乘数的有限级数；由于这是一种类似的形式，因此可以将其解释为网络乘数的乘数。备注2.9。我们可以将泰勒级数展开的结果推广到更一般的微扰矩阵空间n（π）而不是n（π）。在这样一个域上，泰勒级数（8）只能保证收敛于∈0，最小值h类**,ρ（一）- 诊断（d）∏>）-1图（d）>,因为负扰动是不可行的。3摄动误差在本节中，我们根据前一节讨论的方向导数，在Eisenberg–Noe框架中详细研究估计误差。具体而言，我们计算最大误差以及误差分布，假设对银行间负债的错误估计存在特定分布，尤其是均匀分布和高斯分布。我们首先在原始的Eisenberg–Noe模型中这样做，将清除向量的欧几里德范数作为目标。

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2022-6-2 14:48:28

然后，我们转向一个增强模型，该模型包含一个额外的代表社会的节点，并研究估计错误对社会支出的影响。3.1结算向量的偏差我们首先关注实际结算向量与估计结算向量的L偏差。3.1.1清算向量的最大偏移我们返回到一阶方向导数，以量化清算向量的最大偏移，从而得出相对责任矩阵中的估计误差，这些误差由n（π）。允许 ∈ n（π），并假设对于给定的h∈ R：∏+h ∈ πn.那么，最坏情况下的估计误差为n（π）为最大值∈n（π）kp（π+h）) - 为了消除对h的依赖性和, 相反，我们考虑方向的有界集nF（π）和整体扰动，最大值∈nF（Ⅱ）limh→0kp（π+h) - p（π）kh=最大值∈nF（π）kD在这一节中，我们称为kDp（π）k估计误差和最大值∈nF（π）kDp（π）k清除向量中的最大偏差nF（π）。因为通过（3）中的线性项出现，这允许我们以优雅的方式使用扰动矩阵的基础来量化扰动空间下艾森伯格-诺埃清除向量的偏差nF（π）。在下面的结果中，我们将利用空间的正交基E（π）=（E，…，Edn（π）。附录A.2中给出了该空间的更多详细信息。提案3.1。设（π，x，’p）为正规金融系统。最坏情况下的一阶估计误差nF（π）由max给出∈nF（π）kDp（π）k=kD~E（π）p（π）ko（9）对于基E（π）的任意选择，其中k·kodenotes是矩阵的谱范数。此外，清除向量的最大偏移通过以下方式实现*（π）：=±dXk=1zkEk，其中zk是（归一化）特征向量的分量，对应于D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。证据

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2022-6-2 14:48:31

首先注意，任何扰动矩阵 ∈ n（π）可以写成基本扰动矩阵的线性组合，即：。， =Pdk=1zkEk。因此，kDp（π）k=dXk=1zkDEkp（π）= z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z。这立即意味着，用λmax（a），max表示矩阵a的最大特征值∈nF（π）kDp（π）k=maxkzk≤1z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z=λmaxD~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）=kD~E（π）p（π）ko.最后，解与基E（π）的选择无关是命题a.3的直接结果。因此，如果真实责任矩阵在*（π），这将在清除向量中产生最大的一阶估计误差。所谓误差，我们指的是标准艾森伯格-诺埃框架中的“真实”清算向量与扰动负债矩阵下的清算向量之间的欧几里德距离。这通常不等于最快更改默认设置的方向。此外，如果监管专家的判断有助于估计合理的绝对扰动，那么我们的最小方法在达到这种绝对估计误差之前，在贪婪的方法中可能会非常有用。我们可以在以下条件下对清除向量的最大偏差使用此结果nF（π），以提供最坏情况扰动误差的界，而无需预先确定链路的存在或不存在。推论3.2。设（π，x，’p）为正规金融系统。在所有扰动下，最坏情况下的一阶估计误差为kD~E（π）p（π）ko≤ 最大值∈nF（π）kDp（π）k≤kD~E（πC）p（π）ko（10）对于上述正交基~E（π）和任何完全连通网络∏C的~E（πC）的任意选择。如果∏本身是完全连通网络，则得到该上界。证据

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2022-6-2 14:48:34

对于所有∏和所有完全连通网络∏C，我们有nF（π） nF（π） nF（πC）。因此，使用（3），得到一个最大值∈nF（π）kDp（π）k≤ 最大值∈nF（C）kDp（π）k=maxkzk≤1.（一）- 诊断（d）∏>）-1图（d）dXk=1zkEk>p（π）=kD~E（πC）p（π）ko,最大值∈nF（π）kDp（π）k≥ 最大值∈nF（π）kDp（π）k=kD~E（π）p（π）ko,其中~E（πC）：=（E，…，Ed）是空间的正交基n（πC）。如命题3.1所示，解与基E（πC）的选择无关是命题a的直接结果。3、备注3.3。我们的实证分析表明，这一界限非常明显（见图11（b））。示例3.4。我们回到例2.2，考虑由四家银行组成的同一玩具网络，其中每家银行的名义负债如图1（a）所示。清除向量（9）在以下条件下的最大偏移如命题3.1所述，F（π）由矩阵给出*(Π) =0 0.3230 -0.1615-0.1615-0.0381 0 0.0190 0.01900.0571 -0.4845 0 0.42740.0571 -0.4845 0.4274 0.由于该网络是完整的，因此这也是最坏情况下扰动的优化问题（9）和（10）的解决方案。此外，还得到了推论3.2中的上界。图3描述了这种扰动。和以前一样，违约的银行被涂成红色。边缘标记为实现该最大估计误差的各个组之间链路的扰动。如果扰动集下的最大估计误差，则将一个节点连接到另一个节点的边为红色nF（π）发生在我们高估该链接的值时，如果我们低估了它，则为绿色。注意，由于最优估计误差问题的对称性，-*（π）也是最佳的，因此图3中红色和绿色链接的解释可以颠倒。事实上，在研究清除向量的偏差时*（π）和-*（π）是等效的。

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nandehutu2022

2022-6-2 14:48:38

在第3.2节中分析对社会的付款不足时，情况将不再如此。边缘宽度与entriesin的绝对值成比例*(Π). 虽然我们的泰勒展开结果（定理2.8）是针对h∈ (-h类**, h类**)仅当h**表示新组默认的扰动大小，而不是删除连接时的扰动大小。所以当h=h时**≈ 0.688，我们得到*=0 9 0 02.76 0 3.12 3.121.12 0 0 1.881.12 0 1.88 0,具有清除向量^p≈ (4.11, 6.11, 3, 3)>.可以立即验证*每个银行的银行间资产和负债总额确实相同，但分布方式不同。因此，在本例中，对于仍与总资产和总负债一致的网络，清算向量的相对标准偏差可能高达15%。备注3.5。可能需要通过清算付款或名义负债总额等标准化一阶估计误差，而不是考虑绝对误差。在一般形式中，让a∈ Rn×ndente归一化矩阵（例如，a=diag（p（π））-1或A=诊断（(R)p）-1). 然后我们可以将命题3.1和推论3.2的结果推广到max∈nF（π）kADp（π）k=kAD~E（π）p（π）ko最大值∈nF（π）kADp（π）k≤kAD~E（πC）p（π）ko对于任何完全连接的网络∏C，同样地，通过考虑AD~E（π）p（π）而不是D~E（π）p（π），可以将下面给出的分布结果简化。图3：最坏情况下的网络扰动示例3.43.1.2中定义的nF（π）清除均匀分布估计误差的向量偏差在本节中，我们将上述分析扩展到估计误差均匀分布的情况。这是通过考虑在d维欧氏单位球上均匀选择扰动矩阵基础的线性系数z来实现的。

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2022-6-2 14:48:42

然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。提案3.6。设（π，x，’p）为正规金融系统。当扰动在L-单位球中均匀分布时，估计误差的分布由P给出kD公司p（π）k≤ α=卷w∈ 研发部w> w≤ 1，w>∧w≤ αΓd+1πd/2，α≥ 0，其中∧是对角线矩阵，元素由D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）对于任意选择的正交基E（π），vol表示体积算子，Γ表示gammafunction。证据设z在d维单位球上是均匀的。然后 =Pdk=1zkek是一个扰动矩阵。获得一个SPkD公司p（π）k≤ α=PDp（π）>Dp（π）≤ α=Pz>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z≤ α.矩阵D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）是对角化的，因为它是实对称的。因此我们可以写D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）=V>∧V，其中∧是特征值的对角矩阵，V是正交矩阵。结合上述方程，我们得到z>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z≤ α=Pz> V>λV z≤ α.那么，由于z在单位球上是一致的，V V>=I，w=V z在单位球上也是一致的，因此我们有z> V>λV z≤ α=Pw> ∧w≤ α=卷ww> w≤ 1，w>∧w≤ α卷ww> w≤ 1.=卷ww> w≤ 1，w>∧w≤ αΓd+1πd/2。如命题3.1所示，分布与基E（πC）选择的独立性是命题A.3的直接结果。备注3.7。如果α≤ 水貂λkorα≥ 最大值λkthen PkD公司p（π）k≤ α可通过αdQdk=1明确给出√λkand 1，其中{λk | k=1，…，d}是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。

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2022-6-2 14:48:45

在minkλk<α<maxkλk的情况下，概率kD公司p（π）k≤ α可通过命题3.6中提供的体积公式给出，作为d嵌套整数，Γd+1πd/2Z-1Z√1.-x个-√1.-x···Zq1-下午-1k=1xk-第一季度-下午-1k=1xkZsα-Pmk=1λ[k]xkλ[m+1]-sα-Pmk=1λ[k]xkλ[m+1]···Zsα-Pd公司-1k=1λ[k]xkλ[d]-sα-Pd公司-1k=1λ【k】xkλ【d】dxd··dx，其中λ【m】≤ α ≤ λ[m+1]和λ[m]是特征值的重新排序，使得0≤ λ[1]≤ λ[2]≤··· ≤ λ[d]。示例3.8。我们再次回到示例2.2来考虑扰动从均匀分布中取样。图4显示了相对估计误差kD的密度和CDF估计p（π）k/kp（π）k，对应于我们的风格化四银行网络。概率是从100000个模拟均匀扰动中估计出来的。3.1.3清除正态分布估计误差的向量偏差我们通过考虑正态分布扰动扩展了上一小节的分析。为此，我们考虑扰动矩阵基的线性系数z按照标准d维多元标准高斯分布进行分布。Pdk=1zkek是一个摄动矩阵. 虽然我们之前关于结算付款偏差的结果在单位范围内nF（π），在高斯分布下，扰动矩阵的大小不再以1为界，因此估计误差可以超过命题3.1和推论3.2中确定的最坏情况误差。提案3.9。设（π，x，’p）为正规金融系统。

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能者818

2022-6-2 14:48:48

扰动相对于标准正态分布的估计误差分布由动量生成函数m（t）：=det给出我- 2∧t-1/2，其中∧是对角线矩阵，元素由D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）表示任意正交基E（π）。图4：相对估计误差kD的概率密度（左）和CDF（右）均匀扰动下的p（π）k/kp（π）k 如示例3.8“证明”中所述。设z为d维标准正态高斯随机变量。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。正如命题3.6，我们可以写>D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）z=z>V>∧V z，其中∧是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）和V是正交的。自z起~ N（0，I）和V V>=I，我们有w=V z~ N（0，V V>=I）。因此，z>V>∧V z=w>∧w=w>∧1/2∧1/2w。则y=∧1/2w~ N（0，λ）等各分量yk~ N（0，λk）和yk是独立的。因此，前>1/2∧1/2w=y>y=dXk=1yk。ykisΓ（1/2，2λk）的分布，因此sumPdk=1yk具有力矩生成函数m（t）=dYk=11.- 2λkt-1/2，其中λkar是D~E（π）p（π）>D~E（π）p（π）。如命题3.1所示，分布与基E（πC）选择的独立性是命题a.3的直接结果。备注3.10。命题3.9中发现的分布密度的闭合形式在Mathai（1982）的方程（7）中给出。图5：估计误差的估计概率密度（左）和CDF（右），kD标准高斯扰动下的p（π）k/kp（π）k 如例3.11所述。示例3.11。我们再次回到示例2.2来考虑扰动从标准正态分布中取样。图5显示了相对估计误差kD的密度和CDF估计p（π）k/kp（π）k，对应于我们的风格化四银行网络。

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2022-6-2 14:48:52

概率由100000个模拟高斯扰动估计。3.2对社会支出的影响在本节中，我们假设除了银行间负债外，银行还对社会负有责任。在这里，社会被用作总交易方，包括所有非金融交易对手，企业、个人或ZF。因此，机构集变为N={0}∪ N、在不丧失一般性的情况下，我们假设所有银行∈ N欠至少一个交易对手的钱j∈ N在系统中。否则，没有欠款的银行可以被societynode吸收，因为它在模型结构中扮演着相同的角色。因此，人们关心的问题是，如果相对负债矩阵中存在估计误差，那么对社会的支出如何可能被错误估计（尤其是高估）。例如，Glasserman and Young（2016）在引入外部负债的情况下研究了这种情况。我们采用他们的框架来分析这个问题。上一节的银行间负债矩阵L扩展为L∈ R（n+1）×（n+1）给定基=0···L1nL。。。。。。。。。。。。Ln1···0 Ln00···0=L l0···0 0 0,其中l=五十、 ···，Ln0>是社会责任的载体。我们要求至少有一家银行具有社会责任，即对于某些银行，Li0>0≤ 我≤ n、银行i的总负债现在由“pi=Pnj=0Lij”给出。如上所述，我们还要求每家银行至少欠系统中的一个交易对手（可能是社会），即“pi>0代表所有i”∈ N、相对责任矩阵∏相应地进行了转换，即∏ij∈ [0，1]和πij=Lij'pi。因此，容许相对责任矩阵∏属于所有右随机矩阵的集合，其条目在[0，1]，所有对角线条目为0，并且至少有一个πi0>0:n：=Π∈ [0，1]（n+1）×（n+1）i：πii=0，nXj=0πij=1和i s.t。

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2022-6-2 14:48:57

πi0>0.因此，可容许的银行间相对责任矩阵∏属于∏nI：=Π ∈ [0，1]n×ni：πii=0，nXj=1πij≤ 1和i s.t.nXj=1πij<1,其性质与（1）中定义的原始银行间相对负债矩阵∏相同，但行和小于或等于1，且至少有一个严格小于1。以下结果将在后续部分中隐式使用。这使我们能够，例如，在不考虑社会节点（假设等于0）的情况下，考虑金融公司支付的定向衍生工具。提案3.12。如果（π，x，(R)p）是正则网络，则I- diag（d）π是可逆的。证据这紧接着我- 诊断（d）∏>=我- 诊断（d）∏>-diag（d）π>,其中π=π、 ···，πn0>dis是默认指标的向量（长度为n+1，包括社会节点）。特别是，由于det（I-diag（d）∏>）6=0（如定理2.6的证明所示），我们可以得出以下结论：我- 诊断（d）∏>6= 0.示例3.13。现在，我们在第2节的示例中包括一个社会节点。名义上的银行间负债和每家银行对社会的负债如图6（a）所示。请注意，至少有一家银行对社会负有义务，而社会不欠任何银行任何债务。如上所述，银行的外部资产由向量x=（0，2，2，2）>。图6（b）给出了清算付款或每家银行能够偿还的债务金额。

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2022-6-2 14:49:01

无过错的银行被涂成红色，未全额偿还的债务也被涂成红色。3.2.1社会支出的最大减少下一步，我们使用方向导数来量化估计误差银行间相对负债矩阵中的nF（π）可能会导致对社会支出的高估。事实证明，使用附录A.2中讨论的扰动矩阵的基础，这个问题也有一个优雅的解决方案。我们假设（π，x，’p）是一个规则的金融系统，此外，对社会的相对负债π=（π，…，πn0）>和总负债’p都是精确已知的。定义3.14。设（π，x，’p）为正规金融系统。对社会的支出定义为数量π>p（π），其中p（π）是n公司的清算向量。（a）名义银行间负债（b）清算银行间付款图6：示例3.13中定义的初始网络在此，我们认为相对负债矩阵∏是对真实相对负债的估计。因此，我们考虑估计清算向量的扰动，以确定可能高估社会支出的最大金额。为了研究社会支出最小化的优化问题，我们假设至少有一家银行违约，但并非所有银行都违约。下面的命题表明，这一假设只排除了微不足道的情况。提案3.15。设（π，x，(R)p）是具有银行间相对负债矩阵∏的正则系统∈ ∏nIand ∈ n（π）。如果所有银行都违约，或者没有银行违约，那么对于任意容许的扰动，对社会的支付保持不变.证据允许是任意扰动矩阵。我们证明在这两种情况下π>Dp（π）=0.1。假设没有银行违约。然后diag（d）=0，结果保持为dp（π）=0.2。假设所有银行都违约。那么diag（d）=I。

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能者818

2022-6-2 14:49:04

因此，π>Dp（π）=π>我- Π>-1.>p（π）。注意π>我- Π>-1=1>，因为定义π>=1>我- Π>. 使用此和D的定义p（π）和, 它遵循π>Dp（π）=Pni=1Pnj=1δjipj（π）=0。允许 ∈ n（π），并假设对于给定的h∈ R：∏+h ∈ πnI。那么，对社会的最低支出是∈n（π）π>p（π+h).为了消除对h的依赖性和, 我们减去常数项π>p（π），然后考虑insteadmin∈nF（Ⅱ）limh→0π>p（π+h) - p（π）h=最小值∈nF（π）π>Dp（π）。如第3.1.1节所述，使用n（π）（见附录A.2），我们可以计算由于相对责任矩阵中的扰动而导致的社会短缺nF（π）。提案3.16。设（π，x，’p）为正规金融系统。年，由于负债矩阵中的估计错误，给社会带来了最大的工资缺口nF（π）由min给出∈nF（π）π>Dp（π）=-kπ>D~E（π）p（π）k。此外，对社会的最大缺口是通过*(Π) := -dXk=1π>DEkp（π）kπ>D~E（π）p（π）kEk。此外，最大短缺量和获得该短缺量的扰动矩阵都与所选基E（π）无关。证据由于问题minπ>D~E（π）p（π）z s.t.kzk≤ 1，有一个线性目标，它等价于tominπ>D~E（π）p（π）z s.t.z>z=1。通过必要的Karush–Kuhn–Tucker条件，我们知道这个问题的任何解决方案都必须满足D~E（π）p（π）>π+2uz=0，z>z=1，对于某些u∈ R、第一个条件意味着z*= -（D~E（π）p（π））>π2u。将其插入第二个表示u=±kπ>D~E（π）p（π）k。

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能者818

2022-6-2 14:49:07

通过两种可能的解决方案，我们将其重新插入原始目标，以发现在u=kπ>D~E（π）p（π）kF处达到最小值，最佳值为：π>D~E（π）p（π）z*= -π> D~E（π）p（π）π> D~E（π）p（π）>kπ>D~E（π）p（π）k=-kπ>D~E（π）p（π）k。因此，解为*（π）=dXk=1z*kEk=-dXk=1π>DEkp（π）kπ>D~E（π）p（π）kEk。根据命题A.4，该结果与基矩阵的选择无关。推论3.17。设（π，x，’p）为正规金融系统。最严重的社会缺口是-kπ>D~E（πC）p（π）k≤ 最小值∈nF（π）π>Dp（π）≤ -kπ>D~E（π）p（π）k，其中~E（πC）是任何完全连通网络∏C的扰动矩阵的任何正交基。如果∏本身是完全连通网络，则得到该上界。图7:nF（π），为样本3.18中定义的社会产生最大缺口。证据通过包含，这遵循与推论3.2相同的逻辑nF（π） nF（π）对于任何完全连通网络∏C，nF（∏C）。该结果与正交基~E（∏）的选择无关，如命题3.16所示。示例3.18。我们继续讨论例3.13：如命题3.16所述，导致社会支出最大缺口的扰动由矩阵给出*=0 0.16 -0.46 0.300.11 0 0.16 -0.270.06 0.04 0 -0.10-0.26-0.34 0.60 0.图7描述了这种扰动。每一条边缘都被贴上了银行间相互关联的扰动的标签，从而最大程度地减少了对社会的支出。和以前一样，违约的银行被涂成红色。如果我们高估了一个节点的价值，那么将一个节点链接到另一个节点的边将变为红色，如果在最坏的情况下nF（π），我们低估了这一联系的价值。

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2022-6-2 14:49:10

边缘宽度与中输入的绝对值成比例*(Π). 与示例3.4相比，请注意-*（π）不再是解决方案。由于该网络已完成，这也等于最坏情况下的短缺-1.4513，几乎占整个社会预计付款的32%。3.2.2均匀分布估计误差对社会的亏空在本节中，我们计算扰动均匀分布时对社会的支出减少。为此，我们考虑从d维欧氏单位球中均匀选择扰动矩阵基的线性系数z。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。提案3.19。设（π，x，’p）为正规金融系统。扰动均匀分布在单位球上的社会支付变化分布由P给出π> Dp（π）≤ α=+αD~E（π）p（π）>πΓ（1+d）√πΓ（1+d）F，1- dαD~E（π）p（π）>π!对于α∈ [-D~E（π）p（π）>π,D~E（π）p（π）>π] α为0≤ -D~E（π）p（π）>πα和1≥ kD~E（π）p（π）>πk。在上述方程中，Fis是标准的超几何函数。此外，该分布适用于任何基矩阵E（π）的选择。证据设z是Rd中以原点为中心的单位球上的均匀随机变量。然后 =Pdk=1zkek是一个摄动矩阵。注意，通过方向导数的线性，我们得到π> p（π）= π> D~E（π）p（π）z，其中D~E（π）p（π）=判定元件p（π）, . . . , DEd公司p（π）.

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