引理B.4。如果ξP LHpX，Fq和ζP LpX，Hq，thenEgpxζ，ξy | Hq“xζ，Egpξ| Hqy.Proof。如果tAn，ně1u是（B.1）中的分区，则语句后面是分区Ohm 利用条件期望的线性性质，使用AnX t}ζ}P rm，m\'1qu和。根据引理B.2，设LpHpX，Fq和p p r1，8s是ξp LpX，Fq的族，使得Ep}ξ}p | Hqa8 a.s.如果p p r1，8 q andess supH}ξ}a8 a.s.如果p“8引理B.5（支配收敛）. 设tξn，ně1u是LpHpX，Fq与p p r1，8q的序列，其收敛于a.s.到ξp LpX，Fq。如果}ξn}γa.s.对于某些γP LpHpR\'，Fq和所有n，则ξnИξinLpHpX，Fq。证据考虑H元素的分区tAi，iě1u，使得所有iě1的γ1AiP LppX，Fq。观察}ξ}γa.s.应用可积随机变量的条件支配收敛定理，我们得到了所有iě1的Ep}ξn'ξ}pAi | Hq~n0。因此，Ep}ξn'ξ}p | Hq~n0为nИ8。引理B.6。设置LppX，Fq为LpHpX中的de nse，Fq FOR all p p r1，8s。证据设p p r1，8q。考虑ξP LpHpX，Fq。根据引理B.3，ξ“γξ，其中γP Lpr1，8q，Hq和ξP LppX，Fq。定义ξn“γ1}γ}ndξPLppX，Fq。根据引理B.5，ξnИξ在LpHpX，Fq。对于P“8，如果ess supH}ξ}n和ξn”0，则类似的参数适用于ξn“ξ”。引理B.7。设tξn，ně1u是LpHpX，Fq中的一个序列，该序列收敛于LpHpX，Fq中的ξ。然后存在一个随机的H-可测自然数序列tnk，kě1u，使得ξnkPLpHpX，Fq和ξnkИξa.s.30 E.lepinete和I.MOLCHANOVProof。从LpHpX，Fq中的ξn~nξ出发，我们推导出Ep}ξm'ξ}p | Hq~n0a。s、 同m~n8。

确定H-可测量序列tnk，自然数的kě1u byn“inftn:Ep}ξi'ξp'Hq'2'p，对于所有iěnu，nk'1“inftnank:Ep}ξi'ξp'Hq'2'ppk'1q，对于所有iěnu，我们推断Ep'ξnk'ξ2'pq 2'pk。因此，LppX、Fq中的pξnk'ξq~n0几乎肯定是一个子序列。观察Ep}ξnk}| Hq“jěkEp}ξj}| Hq1nk“ja8，所以ξnkP LpHpX，Fq。结论如下。参考s【1】C.D.Aliprantis和K.C.Border。有限维分析。柏林斯普林格，2006年。[2] E.N.Barron、P.Cardaliague t和R.Jensen。应用程序的条件基本suprema。应用程序。数学优化。，48:229–253, 2003.[3] P.Cheridito、M.Kupper和N.Vogelpoth。对Rd.InA的条件分析。哈默尔，F.海德，A.洛恩，B。鲁德罗夫和C。Schrage，edito rs，《金融中的集合优化和应用-最新技术》。施普林格，柏林，2015年。[4] E.N.Dancer和B.Sims。弱星可分性。公牛南方的。数学Soc。，20:253–257, 1979.[5] F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，大阪，2012年。[6] H·F¨ollmer和A·Schied。随机金融。离散时间的介绍。De Gruyter，B erlin，第2版，2004年。[7] 哈默尔和海德。集值风险测度的对偶性。暹罗J.Finan。《工程》，2010年1:66–95。[8] A.H.Hamel、B.Rudloff和M.Yankova。Se t值风险平均值及其计算。数学芬南。《经济学》，7:229–2462013年。[9] C.赫斯。集值积分与集值概率理论：综述。《测量理论手册》编辑E.Pap，第14章，第617-673页。Elsevier，2002年。[10] C.Hess、R.Seri和C.Choirat。鲁棒优化的基本交集和近似结果。J、 非线性凸分析。，15:979–1002, 2014.[11] F.Hiai和H.Umegaki。多值函数的积分、条件期望和marting Ales。J、 多V。

分析。，7:149–182, 1977.[12] 卡巴诺夫和伊皮内特。关于随机偏序的本质上确界。J、 数学。经济体。，49(6):478–487, 2013.[13] Y.M.卡巴诺夫和M.Safarian。具有交易成本的市场。数学理论。斯普林格，贝林，2009年。[14] 马萨诸塞州T.-W。赋范空间的经典分析。世界科学出版社。，Inc.，新泽西州River Edge，1995年。[15] I.Molchanov。随机集理论。斯普林格，伦敦，2005年。核心和凸面外壳31【16】I.Molchanov和I.Cascos。多风险措施：基于选择的建设性方法。数学《金融》，26:867–900，2016年。Ceremake，巴黎多芬大学塔西尼广场，邮编75775，巴黎cedex 16，Fran ceE邮箱：emmanuel。lepinette@ceremade.dauphine.frUniversity伯尔尼，数理统计和精算科学研究所，Sidlerstrasse 5，CH-3012 Bern，SWITZERLANDE邮箱：ilya。molchanov@stat.unibe.ch