关于Fano比率和投资组合优化的注记

2022-6-2 16:25:32

Fano比率和投资组合优化说明Zura Kakushadze§+1和Willie Yu2.§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，Stamford，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，格鲁吉亚第比利斯大卫·阿格马森贝利巷，0159新加坡杜克国立大学医学院计算生物学中心，邮编：169857（2017年10月9日）。摘要我们讨论了投资组合优化的广义“平均风险”比率，其目的是作为一种政治学时尚。夏普比率只是这种广义“平均风险”比率的一个例子。另一个例子是什么术语法诺比（与夏普比不同，法诺比与时间范围无关）。因此，对于长期投资组合而言，优化Fano比率通常会导致投资组合更加多样化和不那么扭曲（与优化Sharpe比率相比）。我们给出了这种优化的显式算法。我们还讨论了（受Fano比率启发的）多空策略，这些策略在我们的回溯测试中优于基于优化夏普比率的策略。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁兼首席执行官，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comWillie余博士是杜克国立大学医学院的研究员。电子邮件：willie。yu@dukenus.edu.sgDISCLAIMER：通讯作者使用此地址的目的仅为表明其在出版物中惯常的专业职责。特别是，本文件的内容不打算作为投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表QuantigicSolutions L LC网站www.quantigic的观点。或其任何附属公司。1简介和总结在构建（如股票）投资组合时，平衡风险和回报（即预期回报）[夏普，1966年]。

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2022-6-2 16:25:35

均值-方差优化【Markowitz，1952年】提供了这一总体思想的实现。在某种（有限的）意义上，最大化夏普比率【Shar pe，1966年】可以作为均值方差优化的一个理由。因此，在没有成本、边界、约束等的情况下，最大化投资组合的夏普比率相当于均值-方差优化。然而，一旦包括成本，这种等价性就消失了。这就引出了一个问题：除了S-harpe比率之外，我们能否将投资组合优化定位在其他方面？在这些笔记中，我们正是针对这个问题。夏普比率是（适当调整–见下文）预期回报率与标准偏差的比率。因此，它是预期回报与特定风险度量的比率，在这种情况下，是标准偏差。然而，我们可以考虑其他风险度量，例如方差的一些通用函数。因此，夏普比率的一个特性是，它取决于计算夏普比率的时间范围。E、例如，每日预期回报率和波动率为我们提供了每日夏普比率，平均较低（由√252，其中252是一年中的大致阅读天数，如果我们关注股票），而不是一个按年计算的夏普鼠io。如果每日预期收益率和波动率在时间上保持稳定，夏普鼠指数将变为√时间范围为。相比之下，均值-方差比（即预期收益-方差比）——我们称之为Fano比率（见下一节）——独立于地平线T（在上述意义上）。然后，我们可以将Fano比率作为投资组合优化的起点。

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2022-6-2 16:25:38

如上所述，更一般地说，我们可以将预期回报率和适当的方差函数进行比较。这是我们在这些笔记中探索的途径，其目的是教学。在第2节中，我们讨论了在只有长对开本的情况下最大化广义平均风险比。最大化Fano比率会导致简化（与一般情况相比）。处理POR tfolio权重的非负性，就像最大化夏普比一样，需要一个迭代过程，我们提供了近似松弛算法来优化Fano比。长期来看，优化Fano比率的投资组合有效地将预期回报率转变为正值，从而减少了被排除在投资组合之外的股票（包括一些预期回报率为负值的股票），也就是说，在一个更加多样化和不太偏斜的投资组合中（与优化Sharpe比率相比）。在第3节中，我们讨论了多空投资组合，优化Fano比率的某些问题激发了新的“多重优化”策略的构建，其表现优于优化Sharpe比率。我们在第4节简要总结。之前已经讨论过均值-方差优化的修正；例如，参见【Konnoand Yamazaki，1991】【Rockafellar and Uryasev，200 0】【Bowler and Wentz，2005】【Michaud and Michaud，2008】【Br aga，2016】。E、 g.，在【Konno和Yamazaki，1991年】中，标准偏差被MAD取代（即平均绝对偏差）。在这里，我们采取了一种截然不同的方法。标准偏差是方差的平方根，但也可以使用其他函数。2广义平均风险比我们下面的讨论与基础可交易工具无关，这些工具可以是股票、债券、货币等。

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mingdashike22

2022-6-2 16:25:41

然而，为了明确起见，让我们将重点放在股票组合上（例如，2,0 00多只流动性最强的美国股票）。因此，我们有N只股票的时间序列为（例如，接近收盘的每日、每周、每月或其他水平）回报率Ris，i=1，N、这里的指数s=1，T表示计算这些收益的交易日（s=1表示最近的日期）。以上是已实现回报（事后）。我们还可以通过移动平均法确定预期回报（事前）：Eis=ds+dXs′=s+1Ris′（1），因此，如果RIS是每日回报，那么Eis是d天移动平均值。我们强调（1）只是一个例子，还有无数其他构建Eis的方法。一般来说，预期回报可能非常复杂，没有简单的财务解释，例如，基于机器学习的预期回报【Kakushadze，2016】。在下面，为了简单起见，我们将省略索引s，并参考Expected返回s Ei。因此，我们可以将EIA视为预期回报f或s=1（即“今天的”日期）。重要的是EI是从样本中计算出来的。接下来，我们可以确定基于时间序列Eisor RIS的样本协方差矩阵Cijb，也可以计算样本外（事前）。在接下来的过程中，根据预期回报EIS而不是实际回报Ris来计算CIJ似乎是自然而然的。然而，在实践中，在许多情况下，基于Ris计算CIJBs（要简单得多）。在某些情况下，建立Cijon EIS甚至可能不可行。一个问题是，通常回溯（即时间序列中的数据点数量，称为M）不足以可靠地计算。因此，如果M<N+1，那么样本协方差矩阵Cijis是奇异的，而就我们的目的而言，下面的ciji必须是正定义的。

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2022-6-2 16:25:44

此外，除非M>> N、实际上，如果实际情况是这样的话，那么斜元素（尤其是相关性——斜元素相对稳定）在样本外是高度不稳定的，从而导致了毫无用处（样本外不可预测）。因此，在实践中，可以通过一个模型协方差矩阵（称为Γij）来替换样本协方差矩阵cijj，例如多因素风险模型。如果是内部建造的，那么Γij可以先验地基于Eis（包括其他内容）进行建造。如果它是第三方产品，那么它自然是基于RIS（或其他回报）构建的。无论如何，在这里，我们将不深入探讨Γijis是如何构建的。我们只需假设Cijbelow与一些模型协方差矩阵Γij相一致，即i）正定义和ii）在样本外非常稳定。这里的回报率定义为超额回报率，即无风险回报率。在多极中性粒子的情况下，这并不重要。然而，他重申，我们不要求美元中立。如需一般性讨论，请参见【Grinold和Kahn，2000年】。有关股票通用多因素风险模型的前plic it开源实施，请参见【Kakushadze和Yu，2016a】。2.1投资组合的广义平均风险比现在我们可以定义投资组合风险。让我们假设我们的投资组合由权重为wi的我们的股票组成。先验地，其中一些权重可以是0或负。权重的标准化条件为nxi=1 | wi |=1（2），我们将考虑无负权重的情况；目前，我们是将军。portfo lio的预期回报率为byE=NXi=1wiEi（3）投资组合的预期方差为V=NXi，j=1Cijwiwj（4）我们可以通过=E确定投资组合的夏普比率[夏普，1994年]√V（5）Sharpe比率的一个优点是，它在形式r escalingswi下是不变的→ ζwi，其中ζ>0。

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2022-6-2 16:25:49

这种重标度不变性就是为什么在没有交易成本、边界等的情况下，最大化夏普比等同于均值方差优化的原因【Markowitz，1952年】。实际上，最大化（5）（即我们发现S w.r.t.wi的最大值）等同于最大化（w.r.t.wi）目标函数g=e-λV（6）和λ通过（2）固定（最大化后）。因此，在某种（有限的）意义上，最大化夏普比率可以作为均值-方差优化的一种调整。然而，一旦增加了交易成本等，最大化夏普拉蒂奥不再等同于均值-方差优化【Kakushadze，2015a】。此外，夏普大鼠io的一个特性是，它取决于计算它的时间范围。E、更准确地说，这有一个例外，即建立交易的线性成本的情况——详情参见【Kakushadze，2015a】。这可以通过忽略（2）来实现，因为我们可以始终将通过这种最大化获得的权重缩放为（2）。事实上，最大化（5）个系数只能达到总体归一化系数。美国每日夏普比率，平均较低（系数为√d、其中d≈ 25 2是一年中的大致交易日数，如果我们专注于股票），而不是年度夏普比率。如果每日预期收益率和波动率在时间上变化不大，则夏普比率为√时间范围为。因此，考虑夏普比率的一种切实可行的方法是，如果年化夏普比率为2，那么给定年份的亏损概率小于2.3%（假设正态分布的实现回报率，即可以提取的回报率，见下文）。我们能否定义一个独立于时间范围的比率？答案是肯定的。

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mingdashike22

2022-6-2 16:25:51

我们可以简单地定义均值-方差比：F=EV（7）。该比率独立于地平线T（在上述意义上）。其他自动“均值-方差比”，该比率显然未在财务中命名。将其命名为法诺比似乎是恰当的，因为它与法诺因子（Fano，1947年）有关，法诺因子是以美国物理学家乌戈·法诺（Ugo Fano）的名字命名的。在我们的符号中，Fano因子（又称方差均值比和离散指数）只是V/E，即Fano比（7）的倒数。在系数为2的情况下，这与[Ka kushadze，2017]在股价泡沫背景下讨论的比率κ=2EV（8）相同，其中有人认为，无量纲比率κ可用于确定股票（或类似工具）在长期内不是良好投资的标准，即使预期回报为正，也可能发生这种情况。因此，假设股票价格的对数正态分布，该标准（即股票在长期内不是一项良好的投资）为κ<1（9）。Fano比率的标准（定义为单个股票）为F<1/2。回想一下68-95-99.7规则：如果x是一个具有平均值u和标准偏差σ的正态分布变量，那么我们有以下概率：Pr（u-nσ≤ x个≤ u+nσ）=Pn，P≈ 68.27%，P≈ 95.45%，P≈ 99.73%. 夏普比率等于n（即u=nσ）时的亏损概率，然后iseP=（1- Pn）/2。所以，我们有≈ 15.9%，eP≈ 2.3%，eP≈ 0.14%. 然而，这并没有考虑杠杆、追加保证金、投资者撤资和其他此类细微差别。Shar-pe比率最大化和均值方差优化的另一个已知问题是，人们可以得到分散程度较低的投资组合。

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2022-6-2 16:25:55

E、例如，考虑一个简单的例子，其中所有Ei>0，矩阵Cij=σiδij是对角的（非相关收益-这不是这里的关键假设，甚至对于相关收益也可能发生以下情况）。最大化夏普比的权重由wi=γEi/σi给出，其中γ通过（2）固定。现在考虑一个案例，所有EI都很小，只有一个除外。然后，我们可以拥有所有权重，但只有一个权重，大部分投资将分配给相应的单一股票，从而实现多元化。在【Bai、Wang和Wong，2011年】中，提倡将均值-方差比检验作为变异系数检验和夏普比检验的补充。另见【Bai、Hui和Wo ng，2015年】。同样，夏普比率是变量系数的倒数√那么，很自然地，我们可以做一个sk：为什么不最大化Fano比率（而不是sharpe比率）？事实上，我们可以通过g=Ef（V）（10）定义更一般的“平均风险”比率，其中f（V）是V的一些函数。然后我们可以最大化G而不是S（或F）。然而，回想一下，当最大化夏普比率时，我们可以忽略归一化条件（2），因为后者在重新校准wi下是不变的→ ζwi。这种不变性在Fa-no比率或更一般的比率定义的情况下消失了（10）。因此，最大化问题变得更加重要。因此，我们必须最大化目标函数G=G+uNXi=1 | wi |- 1.（11）其中u是拉格朗日乘数。模数使事情变得相当复杂（参见第3节）。因此，为了简单起见，现在让我们专注于仅长投资组合的情况，其中≥ 0

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2022-6-2 16:25:58

然后，我们的目标函数简化为：g=g+uNXi=1wi- 1.（12）然而，现在我们有了boundswi≥ 0（13）为了了解手头的问题，在解决最大化问题时，首先我们将忽略边界（13），然后通过某种技巧将其合并。2.2最大化忽略边界最大化（12）w.r.t.wi和u（忽略边界（13）），我们得到以下解（f′（V）是一阶导数w.r.t.V，和C-1ijis是Cij的倒数）：wi=a bηi+b bνi（14）bηi=NXj=1C-1ijEj（15）bνi=NXj=1C-1ijνj（16）a=f（V）2Ef′（V）（17）b=V-f（V）2f′（V）（18）此处νi≡ 1是单位N向量（使用它可能在一开始看起来很有用，但以后会有用）。因此，我们有三个未知量，E、V和a。使用条件pni=1wi=1以及定义（3）和（4），我们有以下等式：aγ+bβ=1（19）E=aα+bγ（20）V=aα+2abγ+bβ=aα+（aγ+1）b=aα+（1-aγ）/β（21），其中α=NXi，j=1C-1ijEiEj（22）β=NXi，j=1C-1ijνiνj（23）γ=NXi，j=1C-1ijEiνj（24）和（21）中，我们反复使用（19）。所以我们可以通过V来表示a：a=Vβ- 1αβ- γ（25）结合（19），（18）和（25），我们得到以下仅涉及V的方程：γVβ- 1αβ- γ=1 + βf（V）2f′（V）- 五、（26）对于一般f（V），该方程是超越的l。在某些情况下，它可以简化。让我们从夏普比率f（V）的情况开始=√五、然后我们得到了b=0和a=1/γ的族解。如果f（V）=Vp，其中p>0，p 6=1/2，则（26）是V的二次方程，可以很容易地求解。当f（V）=exp（ξV）时，它也是一个二次方程。对于f（V）=exp（ξV），方程为四次方程。2.2.1最大化Fano比率尽管上述二次方程可以求解，但它们通常涉及半径，并不特别有启发性。然而，在Fa-no比率的情况下，即当f（V）=V时，事情进一步简化，并且没有根。

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2022-6-2 16:26:01

解为：a=αβ+γ（27）b=αβ（αβ+γ）（28）。注意，（20）来自（17）、（18）、（19）和（21）。我们有E=αβ（29）V=2αβ（αβ+γ）（30）F=（αβ+γ）（31）S=Sα（αβ+γ）2β（32）如果我们最大化夏普比，我们会得到E*= α/γ，V*= α/γ，F*= γ和S*= α. 由于γ<αβ，它允许t S<S*和F>F*（对于F和S来说，这并不奇怪*是其最大可能值p），且E<E*andV<V*. 因此，与最大化夏普比率相比，最大化Fano rat io会产生一个预期回报率较低但预期波动率也较低的投资组合。2.3结合边界从某种意义上说，溶液（14）不一定是好的，因为某些弱可能是负的。事实上，即使所有EI都是非负的，我们也可以对Cij中的o f-对角线元素具有负的宽度。因此，我们必须以某种方式将边界（13）合并到解中。问题是，我们这里不是在处理二次优化问题。然而，并不是所有的都丢失了，下面的技巧提供了一个合理的近似值。因此，可以将解（14）形式上视为最大化以下二次目标函数的解（λ在通过重新定标求解wi后固定，使得pni=1wi=1，重新定标不受边界（13）的影响）eg=eE-λV（33）受限于界限（13），其中（注意λ=α（J）β（J）+γ（J））eE=NXi=1wieEi（34）eEi=Ei+E（J）νi（35）E（J）=α（J）β（J）（36）注意，在基于夏普比率最大化的投资组合中，实现的预期回报和夏普比率可能与基于优化的预期值相差很大。

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2022-6-2 16:26:04

因此，与Fano比率最大化相比，夏普比率最大化时的预期回报率更高，这一事实对于实际回报率而言意义不大。这也是在存在边界的情况下最大化夏普比时的情况。[α（J）]=Xi，J∈J【C（J）】-1ijEiEj（37）[β（J）]=Xi，J∈J【C（J）】-1ijνiνj（38）γ（j）=Xi，j∈J【C（J）】-1ijEiνj（39），其中j={i | wi>0}是正权重的子集，[C（j）]-是N（J）×N（J）矩阵与N（J）×N（J）矩阵[C（J）]ij的逆矩阵，从Cijbyrestricting i，J获得∈ J、（这里N（J）=| J |是J中的元素数。）因此，catch是that E（J），而t herebyeEi取决于未知的J。如果E（J）是先验的，那么我们可以通过标准的二次优化技术简单地最小化（33）受边界（13）的约束。所以，这里有一个近似最优解的松弛算法。在初始迭代中，我们假设j（0）是全集{1，…，N}，并计算wivia（14）。如果所有wi≥ 0，那么就没有其他事情要做了，我们完成了。因此，让我们假设seteJ（0）={i | wi<0}不是空的。让我们看看l ∈eJ（0），其中Fl= min（Fi），其中Fi=每种股票的Fano比率s。然后永久设置wl= 0，取J（1）=J（0）\\l 并计算wivia（14）。如果生成的wi≥ 0 f或所有i∈ J（1），那么我们就完成了。那么，让我们假设seteJ（1）={i | wi<0，i∈ J（1）}并不诱人。让我们看看l′∈eJ（1），其中Fl′= 最小值（Fi），i∈ J（1）（见第18条）。然后永久设置wl′= 0，取J（2）=J（1）\\l′并计算wivia（14）。等等我们重复这个过程，直到在第k次迭代时，所有的wi≥ 0 fori∈ J（k）。与往常一样，这种松弛算法的一个问题是计算成本：我们必须计算逆矩阵[C（J）]-1在每次迭代中执行。然而，对于m的K因子模型（这里ξ是具体的a.K.a。

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2022-6-2 16:26:07

特殊风险，OhmiA，A=1，K是因子载荷矩阵，φabi是因子协方差矩阵）Cij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAφABOhmjB（40）计算[C（J）]-1ij，我们只需要求K×K矩阵φabon的逆，加上我们必须求K×K矩阵[Q（J）]AB=φ的逆-1AB+Xi∈JξiOhmiA公司OhmiB（41）在每次迭代时。然而，假设K，这些反演要便宜得多<< N、例如，见【Delbos和Gilbert，2005】【den Hertog，1992】【Jansen，1997】【Kakushadze，2015a】【Murty，1988】【Pang，1983】，以及其中的参考文献。如果有多个值l 其中Fl= min（Fi），那么我们取l 为此，Cll= max（Cii），如果仍有多个值l 剩下的，我们只取最低的l.以最低的Fano比率反复抛售股票只是一个近似值。然而，它在计算上是可行的。E、例如，以对全Fano比率（31）影响最小的方式反复抛售股票，将可能需要反转~ 每次迭代时，N个矩阵（41）。2.4“市场”模式我们下一步要解决的问题与我们上面讨论的最大化Sharperatio、Fano比率和广义平均风险比率同样相关。为了更加精确和简单，让我们关注最大化夏普比的情况。让我们暂时忽略界限。然后重量由wi=aNXj=1C给出-1ijEj（42）a-1=NXi，j=1C-1jeiνj（43）对于典型配置，即使所有EI均为非负，接近50%的权重也可能为负。因此，为了说明这一点，让我们考虑下面的“玩具”协方差matr ix：Cij=σiσjψij，其中σi是方差；相关矩阵ψij=（1- ρ） δij+ρνiνj；和νi≡ 1是单位N向量。一、例如，所有N个股票都具有均匀的成对相关性，等于ρ。

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2022-6-2 16:26:11

将该矩阵求逆得到以下权重：wi=aσi（1- ρ） “eEi-ρνi1+（N- 1） ρNXj=1eEj#（44），其中eei=Ei/σi是归一化预期收益。总的来说，后两者的平均值大致对称分布。从（44）可以看出，t，除非ρ<< 1/N，大约50%的权重为负。现在，在实践中，具有均匀成对相关性的关联矩阵是不现实的。然而，即使对于实际的相关矩阵，上述问题仍然存在。因此，考虑一般相关矩阵ψij。我们可以把它写成ψij=（1- ρ） δij+ρνiνj+ij=ψ′+ij（45）这里ρ=N（N-1） PNi，j=1；i6=jψij是平均成对相关，Pni，j=1ij=0。在第0个近似值中，我们可以ij，即ψij≈ ψ′ij。其第一主成分U（1）i=νi/√N、它描述了“市场”模式【Bouchaud和Potters，2011年】，即所有股票的平均相关性，非零（且不小，确切地说是ρ6<< 1/N）。“市场”模式对应于广义市场的整体运动，它影响所有股票（不同程度）-现金流入（流出）到（从）市场往往推动股票价格上涨（下跌）。这是市场风险因素。为了缓解这一风险因素，人们可以持有美元中性的投资组合股票。然而，长期投资组合因建设而面临市场风险。这是一个单因素模型的示例。另见【Kakushadze和Yu，2017a】。注意，ψ′ij的特征值对应于U（1）iiλ′*= 1+ρ（N- 1).因此，在最大化夏普比率的同时中和市场风险因素是一个新的特点。

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2022-6-2 16:26:14

为什么？因为最终我们还是设定了界限（13），所以市场风险仍然存在，但由于将负权重（即无界优化）推至零，因此最终的投资组合会受到人为扭曲，从而也会影响正权重。罪魁祸首是，当使用包含“市场”模式的协变量矩阵最大化夏普风险时，我们几乎中和了投资组合的市场风险。换言之，我们对冲所有即将破产的股票，即兄弟广告市场。然而，持有数千只股票的长期投资组合必然会受到广泛市场的影响。因此，我们必须从协方差矩阵中消除“市场”模式。在因子模型（4 0）的背景下，这可以相对容易地实现。在这种情况下（忽略边界（13）），我们有（如上所述，a通过pni=1wi=1固定）wi=a“Eiξi-ξiKXA，B=1Ohm室内空气品质-1ABNXj=1EjξjOhmjB#（46）QAB=φ-1AB+NXi=1ξiOhmiA公司OhmiB（47）从CIJ中消除“市场”模式相当于要求因子加载矩阵与某些正N向量vi>0:NXi=1vi正交OhmiA公司≡ 0（48），那么我们不再有大约50%的负权重wi。虽然一些权重仍然可能为负，但与N相比，此类负权重的数量通常会相对较少（假设所有Ei≥ 0，即）。那么，vi是什么？一种——但不是唯一一种——关于VIS的思考方式是，它们是一些ben c hmark lo ng only投资组合的权重：vi=wbenchmarki>0。如果这个基准投资组合合理多样化，那么它的选择并不那么关键。例如，我们可以≡ 1，即同等权重的基准。我们可以取vi=1/σior vi=1/ξi。这可能会使投资组合偏向低波动性（通常是大市值）股票。

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2022-6-2 16:26:17

为了缓解这种情况，我们可以对σi（或ξi）的偏态（大致对数正态）分布进行风扫或其他处理。等等。在这里，人们可以争辩说，可以通过选择股票权重来构建“市场中性”的只做多投资组合，使其成为中性的w.r.t.市场Beta，通过利用某些Beta可以受益的fac t。然而，不仅贝塔系数在样本外往往高度不稳定，我们还有b边界（13）（对于贝塔系数中性的投资组合来说，这不是那么容易满足的），而且中和反对“市场”模式（其要素都是正的）对构建贝塔系数中性的长期投资组合没有任何帮助。有关一些市场中立战略的回顾（然而，这些战略不仅很长），请参见，例如，[Lo and Patel 2008]和其中的参考s。也就是说，要达到总体正常化。2.5统计风险模型统计风险模型【Kakushadze和Yu，2017b】提供了一个特别简单的因子模型示例，其中fa-cto-r协方差矩阵是对角的。因此，让ψsampleij为基于历史收益时间序列计算的样本相关矩阵。ψsampleij可以是单数。这不会影响我们下面的讨论。样本协方差矩阵为Csampleij=σiσjψsampleij。我们可以构造一个统计风险模型协方差矩阵Cijas如下：Cij=σiσjψij（49）ψij=eξiδij+KXa=1λ（a）V（a）iV（a）j（50）eξi=1-rXa=K+1λ（a）[V（a）i]（51）这里V（a）i是矩阵ψsampleij的主成分，其相应的特征值按降序排列：λ（1）>λ（2）>····>λ（r），其中r是ψsampleij的库（如果r<N，则对于a>r，λ（a）=0）。系数K的数量是通过（截断或四舍五入的）eRank（有效等级）确定的【Roy and Vetterli，2007】–详情参见【Kakushadze and Yu，2017b】。与theso的问题构建了Cijis，它包含“市场”模式。

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2022-6-2 16:26:20

事实上，在不损失一般性的情况下，我们可以假设第一个主成分V（1）i的所有元素都大于0–如果需要，可以通过如下更改基础来确保这一点：Cij→ ijCij，其中i=符号（V（1）i）。那么，全正V（1）可以被视为“市场”模式【Bouchaud和Potters，2011年】。事实上，对于大N，我们有V（1）i≈ 1/√N、请注意，较高的主成分V（a>1）IIn可变地具有负元素。因此，我们需要消除第一个主成分。这可以通过定义cij=σiσjbψij（52）bψij=bξiδij+KXa=2λ（a）V（a）iV（a）j（53）bξi=1来实现- λ（1）[V（1）i]-rXa=K+1λ（a）[V（a）i]（54）这不是唯一可能的定义，但它与任何其他定义一样好。根据这一定义，我们可以将基准投资组合视为vi=V（1）i/σi。我们上面的讨论是为了最大化夏普比率，但同样适用于最大化Fano比率和广义平均t o风险比率。这是因为在所有这些情况下，权重都需要反转协方差矩阵。实际上，在（14）中，我们有wi=aPNj=1C-1ijE′j，其中E′i=Ei+νib/a，因此上述仍然适用。2.6为什么这很有用？长期而言，只有优化Fano比率的投资组合才能有效地通过（35）将预期收益转化为正数，这会导致由于边界（13）而被排除在投资组合之外的股票减少（包括一些预期收益为负的股票，其有效收益可以为正），即。，在更加多样化和更少倾斜的港口对账单中（与优化速比相比）。对于对角矩阵Cij=σiδij，这一点很明显。这一结论适用于“市场”现代化的f因素模型形式的非对角Cijof。

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2022-6-2 16:26:23

这可以用Cij=σiσjψij形式的简单1-fa cto r模型来说明，其中相关矩阵ψij=（1- ρ） δij+ρsisj，对于i值的一半，si=1，且si=-另一半为1（假定股票数量N为偶数）。（如上所述，让我们暂时忽略边界。）那么我们有（这里a由（27）给出）wi=aσi（1- ρ） “eE′i-ρsi1+（N- 1） ρNXj=1eE′jsj#（55）eE′i=eEi+αβνiσi（56）eEi=Ei/σi（57）α=（1- ρ)NXi=1eEi-ρ1+（N- 1） ρNXi=1eEisi！(58)β=(1 - ρ)NXi=1σi-ρ1+（N- 1） ρNXi=1siσi！（59）可以合理地假设σi的值与符号si或ei和si的值之间没有实质性的相关性。那么我们可以估计PNi=1si/σi~<√N/σ*, 式中N/σ*=PNi=11/σi。类似地，PNi=1eEisi~<√原姓的*, 何处NeE*=PNi=1eEi。此外，我们可以合理地假设ρ6<< 1/N（和N>> 1). 那么我们有α=NeE*(1 - ρ)[1 -O（1/N）]（60）β=Nσ*(1 - ρ)[1 -O（1/N）]（61），并且，对于被1/N抑制的项，权重由WI给出≈aσi（1- ρ） “eEi+eE*νiσ*σi-siNNXj=1eEjsj+eE*σ*sjσj#（62）在本表达式中，包含EE的术语*与优化Fano比有关；优化夏普比率时，会出现其他两项（在这种情况下，总体归一化系数a会有所不同）。正是（62）中的方括号中的第二个终端造成了这里的差异。以下是原因和方式。基于我们上面的论点，（62）中包含j上的和的项具有序方的数量级*/√N、现在考虑指数i的值，例如σi<<√Nσ*. 对于这样的i，（62）中的第二项，确实取消了包含the sum的项，我们有≈aσi（1- ρ)eEi+eE*νiσ*σi（63）对于i的这些值，wi可以是正的，即使对于负回报Ei也是如此。

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2022-6-2 16:26:26

这是因为i）协方差矩阵Cijin中的正交项对优化的贡献被抑制，以及ii）固有的Fa no比项（比例toeE*) 提供加性正贡献。这减少了负权重股票的数量（当我们忽略边界时），当我们包含边界时，这些股票会被“推高”。即使对于σi6的i值，这种加性贡献也是正的<<√Nσ*. 让我们量化一下。我们可以合理地假设，t与1/σi之间没有实质性的相关性。那么，可以独立估计（62）中的两个项的偏差。包含（62）（约）isp2/NeE中总和的术语的标准偏差*. 保守地假设其实际值偏离5/√2.≈ 3.54在任一方向上的标准偏差，我们可以估计σ上的界限eσ，对于σi<eσ，不太可能（在3.54标准偏差置信水平下）包含（62）中总和的项超过（62）中的第二项，因此这些项的总贡献为负：eσ≈√Nσ*（64）此类股票的数量通常非常少（与投资组合中的股票数量相比）。为了说明这一点，下面是一个FROM数据示例。我们以截至2014年9月6日的全球股票行情为例，在http://finance上有历史定价数据。雅虎。2008年8月1日至2014年9月5日期间的com（于2014年9月6日访问）。截至2014年第6步，我们限制该范围仅包括BIC（BloombergIndustry Classification System）部门、行业和子行业分配的美国上市的普通股和类别股（无OTC、优先股等）。在我们的数据中，此类股票的数量为3811。

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2022-6-2 16:26:31

然后，我们根据数据中最近日期（2014年9月5日）的每日收盘收益率计算21个交易日（即1个月）的历史价值。一只股票在21个交易日内没有交易（零波动），因此我们剩下3810只股票没有零波动。这些是我们的σi。σii的横截面分布完全对数正态分布，在较高的值下有较长的ta il（见图1和图2）。此处选择此窗口并不重要。我们只是简单地使用了现有的数据。σiis的381 0值汇总如下：Min=0.64×10-3，第一个Q uartile=9.16×10-3，中位数=0.0137，平均值=0.0185，第三个四分位数=0。02197，最大值=0.3252，标准差=0。01706，MAD（平均绝对偏差）=8.37×10-3、此外，我们还有σ*= 9.99 × 1 0-3，以及这个宇宙中σi的股票数量≥ eσ仅为14。如果我们在分母中取10而不是在定义中取5（64），我们仍然只能得到78支σi的股票≥ eσ。如果我们按ADDV（平均每日美元交易量，也基于相同的21个交易日计算）将我们的股票范围限制在前2000个流动性最强的股票中，结果是相似的（见图3和图4）：Min=0.64×10-3，第一个四分位数=7.86×10-3，中位数=0.0111，平均值=0.01470，第三个四分位数=0.01678，最大值=0.2566，SD=0.01408，MAD=5.60×10-3、此外，我们还有σ*= 8.55 × 10-3，以及这个宇宙中σi的个数≥ eσ仅为16。如果我们在分母中取10，而不是在定义（64）时取5，那么我们仍然只能得到69只σi的股票≥ eσ。2.7多因素风险模型在上一小节中，我们讨论了一个简单的1-f因素模型，其中成对相关性（去掉“市场”模式后）可以取两个值，±ρ。

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2022-6-2 16:26:34

（如果我们将“市场”模式与统一的相关性ρ相加，则所得相关矩阵中的成对相关性将得到两个值，其中任何一个值都不必为负（但其中一个值可以为负）。O以上讨论可以推广到多因素模型（去掉“市场”模式）。数学更复杂，但我们上面讨论的1-fa cto r示例抓住了它的要点。因此，我们可以很容易地假设收益率EI与σior或因子载荷没有显著相关性Ohm因此，在优化Fano比率（与Sharpe比率相比）时，大多数股票（波动性较大的股票除外）的预期回报率会有效地通过正加性贡献进行转移。如上所述，这导致违反边界的权重减少（13），并且订单对账单也更加多样化。3长-短港口对账单以上我们讨论的是仅长港口对账单。多空组合怎么样？为了最大化Fano比率，我们需要最大化目标函数（11）。模块化使事情复杂化。首先，对于wi6=0和子集J={i | wi6=0}，其导数定义良好。g在（11）中的最大化等于g级/wi=0，i∈ J、为了简单起见，让我们假设所有wi6=0。然后我们得到了所有这些对10的响应/√2.≈ 7.07标准偏差（第d部分，共5部分/√2.≈ 3.54–见上文）。在这里，我们将不深入研究wi=0（以及其他重要的）细微之处。例如，在具有线性成本的均值-方差优化的情况下，就出现了这种微妙之处。有关最近的讨论，请参见，例如，【Kakushadze，2015a】。

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mingdashike22

2022-6-2 16:26:37

有关相关文献的部分列表，请参见，例如，[阿德科克和米德，1994年]，[贝斯特和赫卢斯科娃，2003年]，[卡德尼拉斯和普利斯卡，1999年]，[简·切克和史莱夫，2004年]，[凯勒勒、曼西尼和斯佩兰扎，2000年]，[洛博、法泽尔和博伊德，2007年]，[莫卡维萨和阿特金森，2002年]，[帕特尔和苏布拉曼亚姆，1982年]，[史莱夫和索纳，1994年]，以及其中的参考文献。对于只做多的投资组合，上述公式相同（没有任何界限，因为Wined不再是非负的），除了νiis替换为χi=符号（wi）。所以（14）的分析现在必须迭代求解。然而，在这里，我们将不深入探讨这个问题（或其微妙之处），因为还有一个更为平淡的问题需要解决。忽略上述细微之处，我们需要求解迭代读取的方程（见（14）和后续方程，以定义a和b）wi=NXj=1C-1ij【a Ej+bχj】（65），其中a和b也依赖于χi。然而，问题并不在于这种依赖性。相反，它是符号的存在，即（65）中的χi。迹象非常不稳定（它们“浮动”很多，尤其是对于较短的地平线）。为了说明这一点，让我们简化s，并考虑对角协方差矩阵Cij=σiδij的情况。然后bηi=Ei/σi，我们可以设置χi=符号（Ei）。因此，对于较小的Ei（例如，与其历史标准偏差或其适当倍数相比），如果其符号flips（但绝对值仍然很小），我们可以从χiinto（65）得到100%的oppo站点贡献。这是上述不稳定性的根本原因，非对角Cij也存在这种不稳定性（在这种情况下，事情变得更加混乱）。我们无法想象这样的情况。权重（65）实际上与两种策略的线性组合相同。一种是基于优化预期回报Ei的夏普比。另一种是基于优化二元RyexpectedReturns的Sharpe比率χi=±1。

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2022-6-2 16:26:40

定量交易者毫不奇怪，第二种策略是次优策略。例如，如果我们采用符号（Ei）而不是EIA二元预期回报，那么这种策略将不利于基于优化Ei的策略。这是因为预测预期回报的方向而不是幅度只能提供部分信息。将这种次优战略与基于优化夏普比率的战略线性结合也是次优的。我们可以对此进行验证吗？我们可以在χi=符号（wi）中平滑符号。一种方法是将其替换为双曲正切：χi=tanh（wi/i），其中i重要参数。在限制内我→ 0我们恢复χi=符号（wi）。引入N个新参数我可能没有吸引力，因为它们很容易被证明是不稳定的。我们可以通过采取统一的我≡ （不过，我们将在下面对此放松）。然后我们得到wi=NXj=1C-1ij[a Ej+b tanh（wj/)] （66）我们可以通过将双曲正切线性化来求解该方程，为了简单起见，如上所述，假设所有wi6=0，即。如果某些wi=0，则相应的r返回不是二进制的，而是三元的（至少有少量null返回）。然而，这并没有改变上述关于符号χi不稳定性的结论。mally的数量达到极限，其中 → ∞ , b→ ∞, andeb=b/ 保持不变：wi=NXj=1C-1ijha Ej+eb wji（67）正式解决方案READSWI=aNXj=1eC-1ijEj（68）eCij=Cij-ebδij（69）通过要求归一化条件（2）来确定总体归一化参数a。然而，参数b是先验未定的。由于我们已经不再优化Fano比率，因此不再清楚什么是TEB。我们不能采取务实的方法，创建一个自由的参数，而不是试图“从理论上”确定它。Foreb=0我们只是在优化夏普比率。

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2022-6-2 16:26:43

对于b 6=0，我们正在优化夏普比率，但使用修改后的协方差矩阵Cij，其对角线元素与Cij的对角线元素不同，但对角线元素（方差）会发生移动：可以增加（eb<0）或减少（eb>0）。在这方面，考虑非均匀分布的情况是有益的i、在这种情况下，我们仍然有（68），其中noweCij=Cij-ebiδij（70）andebi=b/i、让我们考虑一个形式为（40）的因子模型。如果我们设置ebi=θξi，其中ξi是特定的方差，θ是一个参数，那么对于θ=1，矩阵是奇异的。我们可以把它倒过来↑ 1限值（在此限值中，无r lizat iona变为0，因此wi实际上是有限的），结果是，在总体归一化f因子（通过（2）固定）之前，权重wi由i/ξi给出，其中i是ei在因子载荷上的横截面回归残差Ohmi回归权重s zi=1/ξ且无截距【Kakushadze，2015年a】。等效地，ei=ei/ξi是矩阵上e i/ξ横截面回归的残差OhmiA/ξi，单位回归权重（无截距-见上文）。所以，这里我们在对Shar-pe比率进行插值和（加权）回归之间进行插值。正式而言，我们可以将（68）视为一个完整的系列（此处ap=aebp-1）：wi=∞Xp=1apNXj=1C-1ijE（p）j（71）E（p+1）i=NXj=1C-1ijE（p）j（72）E（1）i=Ei（73）我们再次使用形容词“formal”作为a，b先验未确定（见下文）。除非截距已包含在因子载荷矩阵中OhmiA，就是这样。一、例如，这是“一次优化”、“二次优化”、“三次优化”的组合，策略。事实上，我们可以简单地忘记我们是如何得到这个结果的（这是一种特殊的手工方式——然而，请参见下文），然后取一个t runcatedserieswi=noptXp=1apNXj=1C-1ijE（p）j=aNXj=1C-1ijbEj（74），其中BEI=Pnoptp=1ebp-1E（p）i。

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2022-6-2 16:26:46

只有一个NOPTCOfficients API是由标准化条件（2）确定的，即我们可以确定a=a。如上所述，没有确定B参数的指导原则。然而，我们可以要求系数A在Ei下具有适当的标度特性→ ζEiandCij→ λCij，其中ζ>0和λ>0（因此wi在这种重新校准下不变）：ap→ ζ-1ap（75）ap→ λpap（76）这意味着Eb在Ei下是不变的→ ζEi，我们有eb→ Cij下的λeb→λCij。考虑以下形式：eb=bb h=bbvuutPNi，j=1C-1ijEiEjPNi，j=1C-je（2）iE（2）j（77）Thenbb在ζ和λ重定标下都是不变的。因此，我们可以处理一个纯数值系数。例如，f或nopt=2，我们有wi=a“NXj=1C-1ijEj+bb hNXj=1C-也就是说，我们将“一次优化”和“两次优化”战略与BB控制的相对效率相结合。我们将在下面讨论此策略的回溯测试。3.1铃铛和哨子虽然我们的wiin（74）完全是美元中性的（由于Cij中存在“市场”模式，这一模式在多空策略中不需要事先移除），但它们并不完全是美元中性的。我们可能希望我们的长期-短期投资组合完全是美元中性的（例如，由于风险管理/合规要求等）：NXi=1wi=0（79）。更一般而言，我们可以脱离ap=aebp-1并将系数APA视为独立的。然后我们可以对ap>1进行数据挖掘，看看它们在样本外是否稳定。我们不会在这里这样做。更一般地，我们可能希望施加一个以上的线性齐次约束nxi=1Giαwi=0，α=1，m（80），其中N×m矩阵Giα的列与线性无关。通过用额外的m列“填充”因子荷载矩阵，可以很容易地将此类约束纳入优化问题中：eOhmieA=(OhmiA，Giα），其中指数A=（A，α）∈ H现在取K=| H |=K+m值（H={eA}）。

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2022-6-2 16:26:50

然后我们有（参见，例如，【Kakushadze，2015a】）C-1ij=ξiδij-XeA，eB∈他OhmieAξieQ-1eAeBe公司OhmjeBξj（81）eQeAeB=ДeAeB+Xi∈JξieOhmieAeOhmieB（82）ДAB=φ-1AB，A，B=1，K（83）ДAα=0，A=1，K、 α=1，m（84）Дαβ=0，α，β=1，m（85）矩阵C-1ij具有以下特性：NXj=1C-1ije公司OhmjeC=XeA，eB∈他OhmieAξieQ-1eAeBИeBeC（86），其（连同（84）和（85））反过来意味着Nxj=1C-1ijGjα≡ 0, α = 1, . . . , m（87）这导致解（74）满足线性约束（80）。在实践中，要最小化因子模型协方差矩阵中的噪声Ohm应选择与矩阵Giα正交的i【Kakushadze，2015a】：NXi=1OhmiAGiα≡ 0，A=1，K、 α=1，m（88）这不是上述“填充”技巧所必需的，它的工作与（88）无关。另一个考虑因素是，在实践中，通常需要对wi:w施加上下限-我≤ wi公司≤ w+i（89）此外，“填充”仅在Cijon（74）的r.h.s.中需要，在定义中不需要（72）。参见【Kakushadze，2015a】，了解面向公关活动的讨论。假设w-当i<0且w+i>0时，我们可以使用[Kakushadze，20 15a]中给出的算法很容易地合并此类边界，其源代码在[Kakushadze，2015b]中给出。界限（89）仅用于优化夏普比率，其“有效”预期回报率为（74）的r.h.s.（但（72）中没有界限）。最后，出于下面的回溯测试目的，我们将讨论如何包含交易成本。包括非线性影响使问题复杂化，对于我们这里的目的来说是不必要的。然而，我们可以包括线性交易成本。下面我们将考虑纯粹的盘中策略，即在开盘时只建立一次头寸，在同一交易日收盘时只清算一次头寸。对于标有i的股票，让每美元交易的线性交易成本为τi。

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2022-6-2 16:26:54

然后，在优化夏普比率的情况下，将这些成本与预期回报EI相加，以取代投资组合的预期回报（3）byE=NXi=1[Eiwi- τi | wi |]（90）中给出了将线性交易成本纳入均值-方差优化的完整算法，例如，【Kakushadze，2015a】。然而，出于我们的目的，这里有以下简单的“黑客”功能。我们可以定义有效的返回EFI=符号（Ei）最大值（| Ei |- τi，0）（91），简单地设置e=NXi=1effiwi（92），即，如果给定股票的预期收益幅度小于将要发生的预期成本，我们将预期收益设置为零，否则通过所述成本减少所述幅度。通过这种方式，我们可以避免一个无争议的itera tiveprocedure（见【Ka kushadze，2015a】），尽管我们强调该解决方案只是最佳解决方案的近似值。然而，这里我们已经使用了其他近似值，因此这种处理线性交易成本的方法是合理的。那么，我们应该使用什么作为τiin（91）？【Almgren e t al，2005年】的模型适用于我们这里的目的。让Hibe为标记为i的股票交易的美元金额。然后对于线性交易成本，我们得到ti=ζσi | Hi | Ai（93），这是投资组合一旦建立的预期回报。在计算损益时，我们不仅要考虑资产负债表的编制成本，还要考虑清算成本（因此从损益表中减去的总成本大约是建立成本的两倍）。对于（74）中的“多重优化”策略，使用更复杂的近似值可能有意义。为了简单起见，而不是使事情过于复杂，我们将在这里使用（91）。其中σi是历史波动率，Ai是平均每日美元交易量（ADDV），ζ是我们需要确定的总体非规范化常数。然而，在上述情况下，我们使用的是权重wi，而不是交易美元金额Hi。

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2022-6-2 16:26:58

在我们上文讨论的纯日内交易策略的情况下，它们仅通过Hi=I wi进行关联，其中iI为总投资水平（即，建立后的总绝对美元持有量）。因此，我们有（注意Ti=τi | Hi |=τiI | wi |）τi=ζσiAi（94），我们将通过以下启发式确定总体归一化ζ。我们将（保守地）假设每交易一美元的平均线性交易成本为10个基点（1个基点=1个基点=1/100），即平均值（τi）=10-3和ζ=10-3/平均值（σi/Ai）。3.2回溯测试我们讨论了一些回溯测试。我们希望了解美元中性日内模型的“多重优化”策略（74）与优化夏普比率（即“单一优化”策略）相比如何。为了进行这种比较，我们对一个sin进行了回溯测试【Kakushadze，2015b】。对于我们的Cij（在所有情况下），我们使用杂种风险模型[Kakushadze，201 5b]。我们在回溯测试中使用的历史数据与【Kakushadze，2015b】中的数据相同，并在本文第6.2和6.3小节中进行了详细描述。交易范围选择在【Kakushadze，2015b】第6.2小节中进行了描述。我们假设投资组合是以开放价格建立的，并以开放价格提供融资；ii）在当天收盘时进行清算，因此这是一种纯粹的盘中策略，以收盘价进行融资。我们包括本协议第3.1小节中讨论的交易成本。此外，我们还包括严格的交易界限（在这种情况下与头寸界限相同）| Hi |≤ 0.01 Ai（95）我们进一步对投资组合实行严格的美元中性，因此Nxi=1Hi=0（96）我们的后验测试中的总投资水平为I=2000万美元（即1000万美元长，1000万美元短），与[Kakushadze，2015b]中的相同。对于带边界的Sharpe rat io优化，我们使用R函数bopt。[Kakushadze，2015b]附录C中的计算选项（）。

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2022-6-2 16:27:02

我们在“多重优化”策略中使用BB=1（见上文）。表1总结了回溯测试结果，表明nopt=2策略优于nopt=1策略（这只是优化Sharpe比率）。然而，对于更高的noptit，我们似乎得到了——非常确切地说——“递减回报”。这相当于假设，要建立一个等权重的投资组合，其成本为10个基点。4仅长期投资组合的结论性意见优化Fano比率有效地等于通过（3 5）将预期收益转化为正值，这导致较少的股票由于边界（13）而被排除在投资组合之外（包括一些预期收益为负的股票Ei，其有效收益可以为正），即。，在更加多样化的投资组合中（与优化夏普风险相比）。然而，对于多空投资组合来说，这一点从一开始就不是问题：所需的权重不是非负的。正如我们上面所讨论的，在这种情况下，将Fano r atio最小化是次优的。然而，Fano比率优化启发人们考虑对Sharpe ra t io进行优化的修改，如（66）和（67）。在这方面，下面的评论是合适的。将（66）中的双曲正切线性化相当于完全删除第3节中讨论的符号“fli-fl-fl”问题，即使我们将（66）中的符号替换为（67）中的双曲正切，也会出现该问题（程度较低）。通过（74）的进一步缩减基本上是为了简单地组合多个不同的字母，即使这里的字母是特殊（“多重优化”）形式。

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