弹性网回归解决了约束最小化问题minβiTTXt=1ci（t）- I（t）+βI+ λPa（βi）（21），其中βiis是由（βi1，βi2，…，βiK）+给出的荷载向量，i（t）是由列（i（t），i（t），…）组成的矩阵，INcl（t））、λ和a是超参数。Pa（βi）定义为asPa（βi）=MXj=1（1- a） βij+a |βij |！(22). 公式（22）和中的第一项是岭正则化的Lpenalty，和中的第二项是lasso回归的Lpenalty。因此，如果a=0，则elasticnet减少为岭回归，如果a=1，则elasticnet变为套索，两者之间的值控制一个比另一个更优的程度。使用10个交叉验证的系数[47]确定a超参数，控制套索与脊线的范围，以及脊线的λ，选择一对（a，λ）得出最小预测误差。我们在表3中显示了βi的值，并使用[61]中概述的显著性检验，在5%的水平上测试了预测因子Ik（t）的显著性，其中括号中显示了p值。βikKO 0.9431（0）0.8997（0）RIG 0.9041（0）1.1265（0）表3：该表显示了对集群模式Ik（t）的响应，βIk按照第3.3节中的详细说明进行校准。括号中显示的P值测试clustermode Ik（t）给出的预测值的显著性。第一列为加权方案，第二列为等权方案，详见A.2.200 400 600 800 1000 1200-0.20.20.40.60.8图11：G的相关矩阵热图，股票重新排序，以对应表2中的集群号。图的右侧给出了热图的颜色图例。A、 4残差和事实的可视化或我们可以将等式（8）中定义的相关矩阵G表示为热图，如图11所示，股票根据表2给出的k类重新排序。

从图11中，我们可以看到相关矩阵的簇，这些簇由对角线上的方形块给出，这些方形块的相关性值越高。我们还看到了集群之间的相互作用，这些集群由远离主对角线的相关值较高的矩形块表示。为了提供这些因素的可视化，我们绘制了k=1，12时市场模式i（t）和两个特定集群模式Ik（t）的时间序列，其中集群模式的下标表示我们正在使用图12中表2所示的特定集群。我们从图12中看到，时间序列编码了有关市场状况的重要信息。在图12a的I（t）图中，红色和黑色虚线所示的两个高波动期代表了2008年的大金融危机和欧元区债务危机（请注意，2002年之前出现的极低波动是由于美国证券交易所因911恐怖袭击而关闭）。图12b中的I（t）时间序列再次显示了2000年2002年2005年2010年2015年2017年日期-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51.5（a）I（t）2000年2002年2005年2010年2015年2017年日期-1.5-1-0.50.51.52.53.5（b）I（t）2000年2005年2010年2015年2017年日期-2-1（c）I（t）图12：a中市场模式I（t）的时间序列，以及k=1、12的集群模式Ik（t）（见表2）的时间序列分别在b和c中，其中，集群模式的下标指表2中给定的集群。这些图中的红色虚线指的是2008年大金融危机的爆发。图12a中的黑色虚线标志着欧元区债务危机的一部分。

图12b中的浅蓝色虚线表示全球对石油和天然气供应的需求较低。金融危机期间的波动期，但我们也看到另一个高波动期，用浅蓝色虚线表示。这代表了低需求导致的石油和天然气市场的波动性，并且是有意义的，因为表2显示集群1代表了石油和天然气ICB超级部门。A、 5η的光滑度我们将η绘制为公式（15）中被积函数上限的函数，其中上限L′允许在区间[1，Lcut]内。正如我们从图13中的两个图中所看到的，这条线非常平滑，表明η代理对于实验ACF的噪声信号更加稳健。这提供了使用η而非βvol的优势，βvol对ACF中的噪声更为敏感，在对数-对数尺度上对ACF的影响很小，如图1.0 50 100 150 200 250 300L’（a）可口可乐企业股份有限公司0 20 40 60 80 100 120 140L’（b）跨海图13：综合代理η作为滞后L’的函数，其中η在[1，L’]上进行综合直到′=Lcut。图13a代表可口可乐公司，图13b代表TransoceanReferences【1】Jean-Philipp e Bouchaud和Marc Potters。金融风险和衍生品定价理论：从统计物理学到风险管理。剑桥大学出版社，2009年。[2] 约翰·赫尔和艾伦·怀特。具有随机波动性资产的期权定价。《金融杂志》，42（2）：281-3001987年。[3] 约翰·C·赫尔。期权、期货和其他衍生品。培生教育（印度），2006年。[4] Jo"el Bun、Jean-PhilippeBouchaud和Marc Potters。清理大型相关矩阵：来自随机矩阵理论的工具。《物理报告》，666:1–109，2017年。[5] Luc Bauwens、Sébastien Laurent和Jeroen VK Rombouts。多元garch模型：asurvey。《应用计量经济学杂志》，21（1）：79–109，2006年。[6] 彼得·克拉克。

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