条件风险值的非参数copula方法

2022-6-2 18:46:00

风险Geenens条件值的非参数copula方法*澳大利亚悉尼新南威尔士州数学与统计学院澳大利亚悉尼新南威尔士州Hard DunnSchool of Mathematics and Statistics，UNSW Sydney AbstractValue at Risk及其条件寓言（考虑到有关经济环境的可用信息）构成了巴塞尔银行业市场风险评估框架的核心。本文提出了一种新的非参数框架来估计这种条件价值的风险。非参数方法尤其重要，因为在实践中观察到的大多数equityreturn数据集中，传统使用的参数分布显示出不够稳健和灵活。该方法提取感兴趣的条件分布的分位数，其估计基于描述收益序列中观察到的动态相关性的copula密度的新估计量。蒙特卡罗模拟和真实世界的回溯测试分析证明了该方法的潜力，其性能可能优于行业同行。1简介在过去二十年中，由于风险在现代金融部门中的至高无上的地位，风险的量化已成为一个备受关注的领域，因为核心业务运营是基于这种风险的互利交易（Segal，2011）。虽然有许多量化风险的方法，但很少有像风险价值（以下简称VaR）这样流行和广泛的方法。1987年股市崩盘后，VaR成为金融风险管理的重要手段，2004年被纳入巴塞尔II银行业强制性标准，目前已被全球公认为风险管理的基准。

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2022-6-2 18:46:03

实际上，差异是指企业在从事风险交易活动时，为抵御不太可能但并非不可能发生的不利事件而必须获得的资本量。有关财务背景和应用，请参见Duffee和Pan（1997）、Jorion（2001）和Scaillet（2003）。从统计学上讲，VaR只是一个上分位数*通讯作者：ggeenens@unsw.edu.au，澳大利亚悉尼新南威尔士州数学与统计学院，电话：+612 938 57032，传真：+61 2 9385 7123一些随机损失X的分布fx，该公司在从事这些活动时，在给定时期内可能面临这些损失X。对于某一固定水平α∈ （0，1），α通常接近1，VaR被定义为：VaRα（X）=inf{X∈ R:P（X>X）≤ 1.- α} =F-1X（α），其中F-1X（α）是FX的（广义）逆，即其分位数函数。然而，很明显，一些交易活动所代表的风险随市场条件而变化。因此，通常最重要的是根据一些附加变量（如Z）有条件地评估风险∈ Rd，反映有关经济环境的最新可用信息（Chernozhukov和Umantsev，2001，McNeil et al，2005，Kuester et al，2006，Escanciano和Olmo，2010）。在一般框架中，α级的条件风险值（cVaR）∈ （0，1）对于给定协变量Z向量的随机损失X，定义为asc VaRα（X | Z=Z）=inf{X∈ R:P（X>X | Z=Z）≤ 1.-α} =F-1X | Z（α| Z），（1.1），即给定Z=Z的条件分布FX | Zof X的α-分位数。除其他外，变量sz可能是过去观察到的损失，在时间序列设置中（见第2节），和/或其他外生经济和市场协变量。备注1.1。“有条件的风险价值”这一习语有时在之前的文献中被不同地使用，例如在Jorion（2001）或Rockafellar和Uryasev（2002）中，用于现在更常见的预期短缺。

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2022-6-2 18:46:06

这不应该在这里带来任何混乱。第6节提供了有关估计条件ES的相关问题的一些评论。由于参数模型的熟悉性和方便性，cVaR的估算一直以参数模型为中心。这些方法中最广为人知的可能是行业基准RiskMetrics（摩根大通，1996），该方法试图通过市场波动率指数加权移动平均（EWMA）估计值的正态分布来表征未来回报。这是一项特殊的实证研究，表明正常假设通常无法拟合金融数据，而金融数据通常表现出显著的偏度和峰度。这推动了EWMA模型的发展，用t分布（So和Yu，2006）、拉普拉斯分布（Guermat和Harris，2001）、非对称拉普拉斯分布（Gerlach et al，2013）或甚至更复杂的参数分布来取代正态创新。尽管如此，自1996年以来，RiskMetrics可以说一直是行业标准。RiskMetrics的基础是通过一个具有正常创新的综合GARCHmodel对嵌入在收益序列中的波动性进行建模。这属于一类更广泛的参数时间序列模型，具体如下。设Xt为时间t的利息回报（或损失）。然后，对于t=0，T，假设XT+1 | Ft~ D（ξt，θ），（1.2）ξt+1=h（ξt，…，ξt-p+1，Xt，Xt公司-q+1；β），（1.3）其中，fti是从时间0到时间t收集的信息，D是一个特定的参数创新分布，由ξt（时变参数向量）和θ（静态参数向量）参数化，h是函数，由参数β的静态向量参数化，设置所考虑模型的动态。

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2022-6-2 18:46:09

例如，通过GARCH（1，1）模型（Bollerslev，1986）对波动性行为（即Xt的条件方差）进行建模的一种流行方法，该模型满足上述规定，ξt=σt，时间t的波动性参数，h由σt+1=β+β给出t+βσt。通常假设条件分布D为正态、Student或skew Student。满足动力学（如（1.2）-（1.3）的GARCH类模型的进一步规范包括上述综合GARCH（iGARCH）模型（Engle和Bollerslev，1986）、指数GARCH模型（eGARCH）（Nelson，1991）和非对称幂拱模型（APARCH）（Ding et al，1993），Glosten et al（1993）的gjr GARCH规范为特例。关于最近对GARCH模型的广泛调查，请参见Francq和Zakoian（2011）。另一类满足（1.2）-（1.3）要求的模型是Creal et al（2013）和Harvey（2013）最近提出的广义自回归得分模型（GAS），在建模高度非线性波动动力学时，这些模型似乎是GARCH模型的重要替代品。预测cVaR的备选参数模型最终包括基于极值理论的方法，如块极大值模型（BMM，McNeil（1998，1999））或峰值超阈值模型（POT，Embrechtset al（1997，1999），Chavez Dumoulin et al（2014））；或分位数回归，如鱼子酱（Engle and Manganelli，2004）。Nieto和Ruiz（2016）最近进行了全面审查。虽然这些方法有其优点，但它们通常不受参数设置通常的僵化影响。特别是，不同的参数模型规格通常会导致不同的结果，难以协调，请参见Li和Racine（2008年，第4.2节）中的经验说明。

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能者818

2022-6-2 18:46:13

此外，型号规格错误可能会产生严重后果；e、有人认为，2009年的全球金融危机主要是由于在资产定价中不合理地使用了参数高斯copula模型（Salmon，2009）。为了解决这种灵活性不足的问题，也提出了非参数模型，该模型摒弃了数据的任何刚性结构。非参数方法确实让数据“自言自语”，因此它具有吸引力。这在估计分布的高分位数（如VaR）时尤为重要，因为概率密度的尾部行为通常完全由其参数规格锁定。另一方面，由于这些领域数据的典型稀疏性，在没有任何参数指导的情况下估计分布的尾部通常是一项具有挑战性的任务。第一次非参数尝试集中在经验方法上，在这种方法中，假设过去的回报率代表未来回报的全部分布，参见Hendricks（1996）、Linsmeier和Pearson（2000）、Dowd（2001）和Chen和Tang（2007）中的历史模拟技术。这种基本方法忽视了股票市场不断变化的性质，因此Barone Adesi et al（2002）继Hull and White（1998）之后，建议通过隐含的市场波动率来衡量历史回报，以补偿这些变化。这种被称为过滤历史模拟（FHS）的方法由于其简单性和计算效率而成为市场上的先驱。最近，Zikovic和Aktan（2011）以及Dupuis等人（2015）提出了类似路线的历史模拟“加权”版本。

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nandehutu2022

2022-6-2 18:46:15

Fan和Gu（2003）提出了可以被视为风险度量的半参数版本，后来扩展到Martins Filho和Yao（2006）、Martins Filho等人（2016）和Wang和Zhao（2016）。Cai（2002）使用Nadaraya-Watson型估计量对给定Z的X的条件分布进行估计，并通过反转获得条件VaR，这种方法在Scaillet（2005）、Cai和Wang（2008）、Li和Racine（2008）、Taylor（2008）、Wu et al（2008）、Xu（2013）和Franke et al（2015）中得到了定义。第3节将更详细地讨论其中一些估计器，由于本文实际上是对这一主题的延续，它研究了基于条件分布FX | Z的非参数估计量的直接反演的c VaRα（X | Z=Z）的新估计量。与之前的贡献相比，最大的不同之处在于，这里将通过利用非参数copulamodeling领域的新发展来估计FX | Z。这有很多优点，本文将详细介绍这些优点。当然，Copula在金融和相关领域已经存在了很长一段时间，参见Embrechts et al（2002）、Embrechts（2009）、Cherubini et al（2004、2012）等综合评论，但该领域的文献仍然以参数方法为主。通过估计CVAR的具体应用，本文旨在证明灵活的非参数copula建模方法在金融应用中的能力。其组织如下：第2节确定了将要考虑的框架。第3节简要回顾了现有的非参数、基于核的估计条件分布和密度的方法，这项工作将补充这些方法。第4节详细概述了如何将非参数copula建模的一些最新元素合并，以提供条件值atRisk的估计。

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2022-6-2 18:46:18

第5节着重于通过蒙特卡罗模拟研究和两个实际数据应用来实证说明和验证这一想法。第6节总结了未来研究的一些途径。2框架考虑一个样本{Xt；t=0，1，…，t-1} 假设这是一个离散时间内的严格平稳过程X的实现，边际分布fX承认密度fX。第4.2节中的理论考虑假设{Xt}形成α混合（即强混合）序列，这是大多数时间序列模型遵循的依赖结构（Doukhan，1994），因此是相当普遍的。为了简单起见，本文将只关注一步超前cVaR的估计问题，即在时间T估计-1时间T的VaR；当作为“影响经济因素”，即（1.1）中的Z时，刚刚观察到的损失XT-1仅限。具体而言，相关参数为VaRα（XT | XT-1=x）=inf{y∈ R:P（XT>y | XT-1=x）≤ 1.- α} =F-1XT | XT-1（α| x），给定XT的条件分布的α级分位数-1=x，即。FXT | XT-1（y | x）=P（XT≤ y | XT-1=x）。（2.1）虽然马尔可夫型框架非常基础，但它为实际数据集中收益的波动性聚类和序列相关性提供了考虑范围（McNeil et al，2005）。此外，它还涵盖了回报动量的影响（Carhart，1997），已证明与其他流行风险因素相比，回报动量对未来股票回报有着强烈的影响（Bender等人，2013）。最后，这与Fama（1965）的有效市场假说是一致的。因此，这似乎是阐明这一想法的有效依据。备注2.1。不过，有人强调，所建议的方法很容易扩展到更一般的框架。

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2022-6-2 18:46:21

特别是，对一个以上变量的条件化在概念上是很简单的，因为我认为，所开发的程序是纯非参数的，它可以解决维度问题（Geenens，2011）。如果需要，可以通过引入一些结构性假设来实现降维，例如单一指数结构，参见Fan等人（2018）。有趣的是，FXT | XT-1（y | x）可以被视为回归函数，认为fxt | XT-1（y | x）=E（1I{XT≤y} | XT-1=x），（2.2），其中1I{·}是指示符函数，如果括号之间的语句为true，则等于1，否则等于0。在这里，X的“损失”一词相当通用。例如，它可能意味着负的日志返回，或任何其他适当的数量。在考虑的非参数框架内，通常假设X的严格平稳性（Scaillet，2005，Cai and Wang，2008，Franke et al，2015）。原因是非参数程序明确基于条件分布的经验估计（2.1）。因此，该分布必须能够从观察到的样本中识别出来，该样本在X上的弱平稳性假设下是不一致的。当然，它也可以是writenfxt | XT-1（y | x）=Zy-∞fXT | XT-1（ξ| x）dξ，（2.3）其中fXT | XT-1是给定XT的条件密度-1–前提是它存在。因此，我们可以估计FXT | XT-1使用回归思想，或插入条件密度的估计值，例如^fXT | XT-1，in（2.3）。基于回归的估计已经相当流行（见下一节），然而，类型为^FXT | XT的估计-1（y | x）=Zy-∞^fXT | XT-1（ξ| x）dξ（2.4）具有显著优势。

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2022-6-2 18:46:24

实际上，前提是^fXT | XT-从某种意义上说，1是一个丰富的密度-1（y | x）≥ 0（x，y）andR∞-∞^fXT | XT-1（ξ| x）dξ=1x、如此获得的^FXT | XT-1始终是一个真正的分布函数，y和X均不递减-1(-∞|x） =0，^FXT | XT-1(∞|x） =1。当反转它以获得其分位数时，这是必不可少的。基于回归的方法可能会导致估计值不局限于[0，1]或在y中单调，这会导致明显的问题和不一致。3条件分布和密度的核估计量最基本的非参数回归估计量可以说是Nadaraya Watson（NW）估计量（Nadaraya，1964，Watson，1964），对于（2.2）而言，它写▄FXT▄XT-1（y | x）=PT-1t=1h（x- Xt公司-1） 1I{Xt≤y} PT公司-1t=1h（x- Xt公司-1），（3.1）其中K是对称概率分布（“核”），h>0是平滑参数（“带宽”），Kh（·）=K（·/h）/h，详见h¨ardle et al（2004，第4章）。显然，如此定义的^FXT | XT-1（y | x）是一个有利的分布函数，始终位于[0，1]且y不递减。这使得（3.1）的反演非常容易，Franke et al（2015）详细研究了通过这样做获得的条件VaR的估计量。然而，人们通常认为，局部多项式回归估计（Fan和Gijbels，1996）比Nadaraya Watson估计具有更好的理论性质。这促使Yu和Jones（1998）提出了条件分布函数的局部线性（LL）估计。然而，LL估计量既不局限于0到1之间，也不局限于y的单调性，这违反了常识。因此，Hall et al（1999）和Cai（2002）提出了加权Nadaraya Watson估计量（WNW），该估计量满足这些约束条件，同时与LL估计量具有相同的理论特性。

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2022-6-2 18:46:27

然而，该估计值在其第一个参数中不是连续的，这可能并不理想。此外，对于每个x，它需要通过约束优化问题以数字方式确定一组权重，这可能需要计算。注意，Cai和Wang（2008）通过另一层平滑处理解决了非连续性问题，提出了他们的FXT | XT的“加权双核局部线性估计”（WDKLL）-1，但仍然需要进行数值优化以确定正确的权重，这使得程序相当繁琐。基于条件密度到（2.3）的方法可能更简单。根据定义，条件密度fXT-1isfXT | XT-1（y | x）=fXT-1，XT（x，y）fXT-1（x），（3.2），其中fXT-1，XT是向量的关节密度（XT-1，XT）和fXT-1其边缘。同样，通过过程X的假定平稳性，这些量与T无关，因此fXT-1，XT=f、说，和fxt-1=外汇。这激发了^fXT | XT类型的非参数估计-1（y | x）=^f（x，y）^fX（x），（3.3），其中（3.2）中的分子和分母都是由usualkernel型估计器^fand^fX对二元和一元密度进行估计的（H¨ardle et al，2004，第3章）。这种“插件”核条件密度估计器最初是在Rosenblatt（1968）提出的，Hyndman等人（1996）、Bashtanyk和Hyndman（2001）、Fan和Yim（2004）以及Hall etal（2004）等对其进行了研究。将（3.3）插入（2.3）得到“双核”Nadaraya Watson估计量（DKNW）：^FXT | XT-1（y | x）=PT-1t=1h（x- Xt公司-1） K（（y- Xt）/h）PT-1t=1h（x- Xt公司-1），（3.4），其中K（u）=Ru-∞K（u*) 杜邦*是内核和带宽的“集成”版本。本质上，（3.4）是（3.1），但带有指示器1I{Xt≤y} 替换为平滑版本，使^FXT | XT-1（y | x）在y中连续。

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2022-6-2 18:46:30

这通常有利于估计器，因为分位数估计的经典文献中经常强调这一点（Azzalini，1981，Falk，1985，Yang，1985，Bolanc\'e et al，2014）。正是这个估计器（3.4）被斯凯莱（2005）和李和拉辛（2008）颠倒过来，产生了他们的cVaR的估计器——参见费拉蒂和昆特拉·德尔里奥（2016）将其扩展到功能上下文。因此，在下面的研究中，它将作为之前提出的内核类型方法的基准。然而，可以理解，（3.3）的比率形式在理论和实践中都会产生问题（Faugeras，2009）：分母接近0、数值不稳定性、平滑参数的精细选择等。本文建议使用（2.4）中基于向量的copula（XT）的不同类型的条件密度核估计-1，XT）。考虑到XT-1和X具有相同的平稳性分布，这是（XT）联合分布中包含的唯一额外信息-1，XT）与他们的依赖性有关。这证明了在这个框架中，基于copulas（也称为dependencefunctions）的方法是合适的。4基于非参数copula的cVaR4.1 copula、copula密度、条件密度和条件分布的估计copula理论的中心结果，即Sklar定理（Sklar，1959），断言对于任何具有分布函数FXY（和边缘FX和FY）的连续二元随机向量（X，Y），存在唯一的“copula”函数C，因此fxy（x，y）=C（FX（x），FY（y））（x，y）∈ R

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2022-6-2 18:46:33

（4.1）很明显，C描述了X和Y如何“相互作用”以产生（X，Y）的联合行为，因此它充分描述了X和Y之间的依赖结构，并将其与它们的边缘行为隔离开来。参见Joe（1997）和Nelsen（2006），了解教科书中对这些想法的一般处理，以及Cherubini et al（20042012），了解其对金融的影响。重要的是，考虑到FX（X），FY（Y）~ U[0,1]（概率积分变换），C实际上是单位平方I上的二元分布。=[0，1]具有均匀边缘。在温和的条件下，这种分布允许一种密度，称为copula密度：c（u，v）=Cuv（u，v），（u，v）∈ 一、为向量（XT）写入（4.1-1，XT）yieldsFXT-1，XT（x，y）=C（FX（x），FX（y）），对于一些与T相关的copula，FX=FXT-1=FXTby平稳性。现在，不同的两侧，关节密度f=fXT-1，x被视为bef（x，y）=FXT公司-1，XTx个y（x，y）=c（FX（x），FX（y））FX（x）FX（y），根据链式规则，c的copula密度为c。因此，根据（3.2），x的条件密度为-1可以用copula密度直接书写：fXT | XT-1（y | x）=c（FX（x），FX（y））FX（y）。（4.2）用一些估值器^c、^fx和^fx替换未知的c、fx和fx，会导致fXT | XT的不同的、基于copula的目标函数-1，即。fXT | XT-1（y | x）=^c（^FX（x），^FX（y））^FX（y）。（4.3）在产品形状下，与（3.3）不同，该估计器没有随机分母产生的任何问题，因此具有吸引力。表达式（4.2）也非常直观：给定XT的条件密度-1是XT的边缘密度，根据XT的影响进行校正-1可以通过向量（XT）的copuladensity得到x-1，XT）。现在，将（4.2）集成到（2.3）yieldsFXT | XT中-1（y | x）=Zy-∞c（FX（x），FX（ξ））FX（ξ）dξ=ZFX（y）c（FX（x），v）dv，通过改变变量FX（ξ）。=v

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2022-6-2 18:46:36

这种表达式在copula文献中称为ah函数。4.2非参数copula密度估计和CVA通常，通过数值积分c的估计量来估计h函数（Nagler和Czado，2016）。然而，看到fxt | XT-1（y | x）=EXc（FX（x），FX（x））1I{x≤y},积分可以很容易地用蒙特卡罗近似，即。^FXT | XT-1（y | x）=TT-1Xt=0^c（^FX（x），^FX（Xt））1I{Xt≤y} ，式中，^cand^fx是（4.3）中未知cand fx的适当估计量（但此处不需要估计边缘密度fx）。有趣的是，估计量（4.4）可以看作是一个加权的经验分布函数，其中每个指标1I{Xt≤y} 如果已知Xt-1=x，由（估计的）copula density^c测量。请注意，由于前面提到的某些原因，人们可能更喜欢连续版本的^FXT | XT-1（y | x）=TT-1Xt=0^c（^FX（x），^FX（Xt））K（（y- Xt）/h），（4.4），其中Kand hare如（3.4）所示。在copula框架中，通常通过重新标度的经验分布函数^FX（x）=T+1T来估计FX-1Xt=01I{Xt≤x} ，已知是一个简单且一致一致的外汇估值器。因此，很明显，估计量（4.4）的可行性主要取决于c的可靠估计量。然而，长期以来，copula密度的良好非参数估计一直被证明是难以捉摸的。

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能者818

2022-6-2 18:46:41

这主要是因为三个原因，使得案例不标准：1）copula密度有界支持I，并且已知核估计量严重影响边界偏差问题；2） copula密度通常在I的某些角是无界的，在这种情况下，核刺激因子是不一致的；3）由于cis本质上是（FX（XT）的密度，因此无法从密度估计中获得真正的观测结果-1），FX（XT）），其中FX未知，必须求助于“伪观测”{FX（XT）}。然而，最近，Geenens等人（2017）继Geenens（2014）的一个原始想法之后，提出了一种新的copula密度核型估计器，其思路如下。定义-1= Φ-1（FX（XT-1））和ST=Φ-1（FX（XT）），其中Φ-1是“probit”函数，即标准正态分布函数Φ的逆函数。通过标准分布参数，一个getsc（u，v）=g（Φ-1（u），Φ-1（v））φ（Φ-1（u））φ（Φ-1（v）），（u，v）∈ 一、式中，gis的节理密度（ST-1，ST），φ为标准正常密度。因此，可以直接从任何估值器^gof g中获得估值器^cofcca：^c（u，v）=^g（Φ-1（u），Φ-1（v））φ（Φ-1（u））φ（Φ-1（v））。（4.5）不过，估算g要容易得多。对于U~ U[0,1]，Φ-1（U）~ N（0，1），因此ghas具有标准正态边缘的无约束支持。局部似然方法，尤其是Loader（1996）的locallog二次估计，尤其擅长估计正态密度，因此在这种情况下使用这种方法来估计gin是合适的。Geenens等人（2017）的估计量，称为“LLTKDE2”，实际上是（4.5），其中^G是基于伪观测值{Φ的二元密度G的局部对数平方估计量-1.^FX（Xt）}. 得到了它的理论性质。

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2022-6-2 18:46:44

特别地，在温和的假设下，证明了它在I的任何紧致真子集上一致一致，并且与已知的（渐近）偏差和方差表达式渐近正态。此外，还研究和测试了一种选择始终至关重要的平滑参数的实用准则。将变换和局部似然估计相结合，该方法实际上利用了已知的C均匀裕度，从而得出了非常准确的估计（Geenenset al，2017，Nagler and Czado，2016，De Backer et al，2017）。此外，LLTKDE2估计值通常具有参数函数特有的视觉愉悦外观。本文建议使用LLTKDE2估计值^cin（4.4）并继续提取cVaR。因此，基于非参数copula的cVaR估计量定义为DVARα，T（x）。=cdVaRα（XT | XT-1=x）=^F-1XT | XT-1（α| x），其中^F-1XT | XT-1是（4.4）的广义逆。假设FXon R的^fx一致一致，可积con的^cis一致一致，I的任何适当紧子集，（4.4）也通过遍历定理在rb的任何紧子集上一致一致。如果infx∈GfXT | XT-1（c VaRα，T（x）| x）>0，其中G是R的任何紧子集，cdVaRα，T（x）是c VaRα，T（x）的一致一致估计量。=c VaRα（XT | XT-1=x）：supx∈G | cdVaRα，T（x）- c VaRα，T（x）| P-→ 0作为T→ ∞,对于任何固定α∈ (0, 1). 该估计量的进一步理论性质（如渐近正态性和收敛速度）很容易从样本分位数的通常渐近表示中得到，即。cdVaRα，T（x）- c VaRα，T（x）\'α-^FXT | XT-1（c VaRα，T（x）| x）fXT-1（c VaRα，T（x）| x），但由于Geenens et al（2017）中的表达相当笨拙，细节被搁置一旁。

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2022-6-2 18:46:47

相反，第5节通过真实数据分析、蒙特卡罗模拟和回溯测试对其实际性能进行了评估。5实证研究5.1例证-标准普尔500指数首先，前几节中描述的程序以2011年11月至2015年10月标准普尔500指数的日收益率为例。标准普尔500指数是投资者可获得的交易最活跃的指数之一。图5.1（左）显示了标准普尔500指数从2011年11月9日到2015年10月31日（相当于T=1000个交易日）随时间的演变。图5.1（右）显示了相应的负对数返回序列{Xt}，即索引值的近似百分比变化。可以合理地假设这个系列是（至少是近似的）静止的。0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000指数SNP5000 200 400 600 800 1000-0.02 0.00 0.02 0.04指数每日负对数-回报图5.1:2011年11月至2015年10月期间（1000个交易日）的标准普尔500指数（左）和相应的负对数回报系列（右）。copula密度cof（XT-1，XT）由Geenenset al（2017）的LLTKDE2估计器根据这些数据进行估计，见图5.2。估计的copula密度的形状表明（XT-1，XT）不是二元高斯（高斯copulas只能在I的对角显示峰值，而不能在相邻角显示峰值）。“热量”图清楚地显示了两个影响。首先，某种负面影响，表明连续两天的日志返回可能是负相关的。如果今天的回报率较低（u值较大），那么明天的回报率可能会在中等范围内（v’0.5），而如果今天的回报率很高（u’0），那么明天的回报率很可能会很低（即负值）（v’1）。

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2022-6-2 18:46:50

然而，第二个效应（单位平方左下角的峰值）极大地平衡了这一点：考虑到今天的高回报率（u’0），明天的回报率也很高（v’0），这也是一个很大的可能性。换句话说，当XT-1被视为一天很小，人们期望在第二天比在其他情况下更极端地（在任何方向）实现XT。显然，这直接影响了相应的cVaR值。u0.20.40.60.8v0.20.40.60.8copula密度c01234c^1.01.52.00.2 0.4 0.6 0.80.20.40.60.8图5.2：估计copula密度（XT-标准普尔500指数的负对数回报。如图5.3所示。条件密度fXT | XT-x=1（·| x）-0.02（今天的高回报）、x=0（今天的中回报）和x=0.02（今天的低回报）由（4.3）估计。静态边际（即无条件）密度FX由局部对数二次型估计器（Loader，1996）估计，如图5.3（蓝线）所示。对于x=-0.02，此处对应于u’0.01，^fx在其域上乘以^cat u的‘切片’≡ 0.01，这是一个U形函数。因此，给定XT的（估计）条件密度-1= -0.02的尾巴更肥。这在α=0.95和α=0.99两个水平上转化为更高的cdVaR（即更高的风险）。当xT=0时，风险实际上低于平均值（cdVaR低于无条件VaR），因为对于u’0.5，^C的“切片”显示了一个中间范围附近的模式，并向下加权了结果条件密度的尾部。类似地，当xT=0.02时，我们发现c VaR略高于无条件VaR。请注意，将cVaR提取为（4.4）的分位数不需要估计密度fXT | XT-1.图5.3中所示的这些密度仅供说明。

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2022-6-2 18:46:53

在x=-对于α=0.95和0.99，表5.1给出了0.02、0和0.02。dVaRα，TcdVaRα，T（x）αx=-0.02 x=0 x=0.020.95 0.01278 0.01543 0.01192 0.01790.99 0.01968 0.02263 0.01867 0.02095表5.1：标准普尔500指数在α=0.95和α=0.99水平下的估计VaR和cVaR。-0.04-0.02 0.00 0.020 20 40 60 80密度-条件文本-1= - 0.02xT-1=0xT-1=0.02cVaR 99%cVaR 95%图5.3：负对数回报的估计无条件密度^fX（纯蓝线），条件密度 fXT | XT-x=1（·| x）-0.02（虚线）、x=0（虚线）和x=0.02（虚线），以及95%（绿色）和99%（红色）级别的VAR和cdVaR对应值。5.2蒙特卡罗模拟前面的分析当然是纯粹的描述性分析。在这里，通过蒙特卡洛模拟研究，将c VaR的预测性能与一系列合理的备选方案进行对比，从而对所提出的c VaR估计量进行评估。与Franke等人（2015年，第3节）类似，考虑非线性AR（1）-ARCH（1）模型XT=a+bXt-1+√Xt公司-1φc，d（Xt-1） +qω+αXt-1εt，t=1，2，（5.1）式中，a=0.4，b=0.3，φc，dis为正态密度，平均值c和标准偏差d，c=1.657，d=0.1175，ω=0.007，α=0.2，新值εtare i.i.d.遵循分布ψ。显然，在这个模型下，c VaRα，T（x）=a+bx+√xφc，d（x）+pω+αxψ-1（α），（5.2），其中ψ-1（α）是分布ψ的α级分位数。以下（5.1）生成了四个系列的1736个“每日”日志回报，从X=1开始，其中（a）ψ=标准正态分布；（b） ψ=标准指数分布；和（c）ψ=学生t分布。这些系列共同模拟了真实金融数据的特征，即。

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2022-6-2 18:46:56

波动性聚集、不对称和厚尾，见图5.4。在每个系列中，copula密度cwas first estimate On the first T=252 observations，这大约相当于一年的交易日，这是滚动窗口分析中常见的时间范围。然后，通过上一小节中描述的程序估计给定XT=XT时T+1=253的条件VaR。然后使用宽度为N=252的滚动窗口：每天，最旧的0 500 1000 1500-2 0 1 2 3 4（a）正常指数损失0 500 1000 15000 5 10 15 20（b）指数指数损失0 500 1000 1500-5 0 5 10（c）StudentIndexLoss图5.4：四个系列，共1736个，模拟了（5.1）的日常损失，其中（a）为正常创新；（b）指数创新；（c）学生3创新。观察结果被丢弃，新观察到的结果包含在“学习样本”中，从而每天更新copula密度的估计值，以预测下一个c VaR。这在每个创新分布中产生了两组1484个提前一步的cVaR预测，分别在α=0.95和α=0.99这两个水平上进行。这些可与真实cVaR（5.2）进行比较。

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能者818

2022-6-2 18:47:00

对于每对（ψ，α），基于非参数copula的估计器的均方误差（以下简称：NP-Cop），即：。E（cdVaRα，T（XT-1) - c VaRα，T（XT-1)), 最终近似于其经验对应值[MSEα=Xt=253（cdVaRα，t（Xt-1) - c VaRα，t（Xt-1)).通过完全相同的过程，我们可以近似其他过程产生的cVaR预测的均方误差：基于反转“双核”Nadaraya Watson估计量（3.4）的主要非参数竞争对手（DKNW），以及一组常见的GARCH类型模型：GARCH、iGARCH、eGARCH和gjr GARCH，均具有三种不同的创新分布（正态N，学生（a）（b）（c）α=0.95α=0.99α=0.95α=0.99α=0.95α=0.99NP-Cop 0.0427 0.2326 2.0982 7.1370 0.2416 0.7685DKNW 0.1592 0.2492 6.1859 17.3181 0.6351 1.6881GARCH-N 0.1286 0.2011 3.1421 9.5377 0.4174 0.8600GARCH-S 0.1570 0.3816 3.6141 7.7965 0.5426 1.3535GARCH-SS 0.1635 0.4037 6.4947 17.5205 0.5359 1.3811iGARCH-N 0.15950.2717 3.4752 9.6427 0.4622 0.9101iGARCH-S 0.1613 0.4465 4.0734 9.3564 0.5468 1.4122iGARCH-SS 0.1707 0.5201 6.4096 17.6876 0.5543 1.4994eGARCH-N 0.7475 0.7789 3.8632 11.4942 0.6154 0.7745eGARCH-S 0.3960 0.4679 4.6201 12.1515 0.6829 0.9165eGARCH-SS 0.4154 6.0764 12.2205 0.7423 1.0688gjr-GARCH-N 0.0871 0.1301 1.9685 5.9310 0.2205 0.3861gjr-GARCH-S 0.1074 0.1966 3.2292 6.7643 0.37770.8670gjr-GARCH-SS 0.1137 0.2190 5.2181 13.6359 0.3233 0.7527GAS-N 0.6413 1.2018 10.9377 21.6921 0.8957 1.7906 GAS-S 0.2337 0.3872 6.3169 12.1580 0.5512 1.0466 GAS-S 0.2177 0.3667 9.9595 21.5550 0.5430 1.0082表5.2：（近似）三个创新点两个水平的cVaR预测均方误差α=0.95和α=0.99分布ψ：（a）正态分布，（b）指数分布，（c）Student-3分布。每对的最小均方误差（α，ψ）用粗体表示，第二和第三个最小均方误差用下划线表示。S和倾斜的学生SS）。

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2022-6-2 18:47:03

这些模型已使用R包rugarch（Ghalanos，2017）安装。该研究还包括广义自回归得分（GAS）模型，同样具有相同的三个创新分布，该模型已通过R软件包GAS进行了验证（Ardia et al，2016）。请注意，KNW估算值来自R包np（Hay field和Racine，2008）。所有这些（近似）MSE如表5.2所示。对于这些序列，最好的参数模型似乎是具有正常创新的gjr GARCH，并且与ψ无关。重要的是，基于非参数copula的均方误差实际上紧随其后，在α=0.95的情况下（a）的最小均方误差最低，在所有其他情况下，最小均方误差始终处于最低的三个水平。因此，可以公平地说，在（5.1）等非线性模型上，拟议的“NP-Cop”估计量在估计精度方面与最佳参数模型不相上下。这一观察结果的威力在于，非参数估值器不需要选择模型，因此，模型误判的风险显然为零。事实上，从表5.2中可以看出，如果有可能找到一个参数模型，该模型产生的cVaR预测比NP Copprocedure（在本模拟中：gjr GARCH模型）略为准确，那么除了最佳模型之外的任何其他选择通常会导致较差的性能。当然，在实践中面对真实的财务数据时，人们通常对什么是最佳模型知之甚少。更糟糕的是，略微不同的模型规格可能会导致非常不同的结果：例如，在本模拟研究中，在情景（b）下，gjr GARCH与扭曲的学生创新产生非常糟糕的结果，而相同的模型，但具有正常或甚至学生创新的结果似乎非常好。

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2022-6-2 18:47:06

另一方面，同样的gjr GARCH模型和SkewedStudent创新恰好是场景（a）和（c）的好选择。因此，参数模型的选择特别敏感，这使得提出的“无模型”非参数copula-based过程成为完美的默认选择。5.3预测和回溯测试-IBM数据为了评估NP Cop程序在实际条件下的性能，现考虑2011年1月3日至2017年11月22日（1736个交易日）的IBM公司股票指数。作为一支股票，IBM的数据在某种意义上不如上述标准普尔500指数等指数数据那样“平滑”，因此不太可能遵循人们熟知的简单参数规范。因此，其建模更具挑战性。原始系列及其负收益如图5.5.2012 2014 2016 2018120 140 160 180 200DateIBM2012 2014 2016 2018所示-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-回报图5.5:2011年1月至2017年11月期间（1736个交易日）开盘时的IBM公司股票指数（左）和相应的负对数回报系列（右）。正如第5.2节所述，copula密度cof（XT-1，XT）是根据第一年的数据（第一次T=252个观察值）首次估计的，然后根据第5.1节估计T+1=253时的条件VaR，给定XT=XT。按照滚动窗口（宽度N=252）程序，然后每天更新CWA的当前估计值，以预测下一个c VaR。图5.6显示了95%（黄色）和99%（橙色）水平的每日一步aheadc VaR预测系列。在1484个c VaRforecasts中，95%水平的c VaR违反VaR的比例为0.0498，1%水平的c VaR违反VaR的比例为0.013。

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2022-6-2 18:47:10

两者都非常接近他们的目标。2012 2014 2016 2018-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-returnFigure 5.6:IBM数据：每日提前一步的c VaR预测水平为95%（黄色）和99%（橙色），滚动窗口宽度N=252（大约一年）。已经提出了许多程序，本质上类似于统计假设检验，用于评估和比较真实数据上的c VaR预测。巴塞尔协议通过“回溯测试”来评估其准确性，因此这里将遵循相同的方法。Campbell（2007）、Gaglianone等人（2011）和Nieto及Ruiz（2016）对此类反向测试程序进行了全面审查。最简单的版本只是将违规的经验比例与其目标理论概率进行对比1- α. 这是Kupiec（1995）的“无条件覆盖”测试（UC）。然而，这忽略了违规事件的可能串行关联。Christo Offersen（1998）建议进行“条件覆盖”测试（CC），并将此考虑在内。尽管这两项测试目前在从业者中最受欢迎，但却受到了不同理由的批评，见Escanciano和Olmo（2010）。恩格尔（Engle）和曼加内利（Manganelli）（2004）的“动态分位数”测试（DQ）似乎是最受欢迎的选择，它联合测试了加州大学和加州大学，并证明对预测中的某些形式的故障更有效。另一种选择可能是基于Gaglianone等人（2011）提出的分位数回归（“VQR”测试）。然而，已知该测试（Gaglianone等人，2011年，第4.1节）渐近等同于DQ测试，鉴于此处分析的时间序列包含6年以上的数据，因此未进一步考虑soit。表5.3显示了与第5.2节中调查的17 c VaR预测程序的3个测试（UC、CC、DQ）相关的p值，分别为95%和99%。

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2022-6-2 18:47:13

除了两个测试程序外，所有测试程序中至少有一个水平的测试拒绝了预测的充分性（显著性为5%）：拟议的基于非参数copula的估计器和带有学生创新的综合GARCH模型。对于所有其他程序，有证据表明，c VaR预测在α=0.95α=0.99UC CC DQ UC CC DQNP Cop 0.986 0.793 0.219 0.297 0.454 0.106DKNW 0.649 0.814 0.007 0.580 0.360 0.011GARCH-N 0.173 0.162 0.075 0.016 0.010 0.001GARCH-S 0.206 0.171 0.003 0.049 0.021 0.000GARCH-SS 0.826 0.314 0.013中不充分0.580 0.704 0.234iGARCH-N 0.033 0.090 0.019 0.049 0.021 0.002iGARCH-S 0.7970.422 0.067 0.763 0.802 0.923iGARCH-SS 0.323 0.155 0.016 0.827 0.854 0.912eGARCH-N 0.030 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000eGARCH-S 0.030 0.063 0.056 0.028 0.060 0 0.104eGARCH-SS 0.649 0.900 0.001 0.200 0.335 0.015gjr-GARCH-N 0.618 0.819 0.076 0.008 0.025 4 0.090gjr-GARCH-S 0.300 0.325 0.020 0.297 0.292 0.043gjr-GARCH-SS 0.826 0.314 0.007 0.423 0.335 0.021GAS-N 0.017 0.047 0.115 0.049 0.095 0.062GAS-S0.706 0.644 0.160 0.004 0.014 0.005GAS-S 0.458 0.591 0.052 0.049 0.095 0.021表5.3：与NP Cop程序及其竞争对手的三种回测程序（UC、CC、DQ）相关的p值。带下划线的值突出了统计意义（5%水平）。有些道理。为了进一步将拟定的NP Cop与参数iGARCH-S规范进行比较，我们求助于“分位数损失”函数（Giacomini和Komunjer，2005），对于时间t的预测，该函数为`α，t.=`Xt，cdVaRα，t（Xt-1)= (α - 1I{Xt≤cdVaRα，t（xt-1） }）（Xt- cdVaRα，t（xt-1)).这显然是一种不对称损失函数，对风险价值超标的惩罚更为严重（Gonz'alez Rivera等人，2004）。

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2022-6-2 18:47:16

对1484个预测进行平均，得到基于非参数copula的程序损失xt=253\'0.95，t=0.00139和xt=253\'0.99，t=0.00059，而对于参数iGARCH-S模型，一个getsXt=253\'0.95，t=0.00139和xt=253\'0.99，t=0.00055。根据这一标准，可以说这两种程序都做得同样好。因此，可以公平地得出这样的结论：当IBM数据预测一步领先的c VaR为95%和99%时，拟议的基于非参数copula的程序与最佳参数程序不相上下。这令人印象深刻，因为这是在没有任何参数指导的情况下实现的，而是直接从数据中提取相关信息。与其像以前那样使用滚动窗口，还可以使用扩展窗口，也就是说，当从新观测到的回报更新copula密度估计值时，保留从时间0开始的所有先前观测值。如果你相信序列在整个观察期内的平稳性，这显然是有意义的。如果在IBM系列上执行此操作，则可以获得每日提前一步的c VaRforecasts，如图5.7.2012 2014 2016 2018所示-0.05 0.00 0.05 0.10IBMdateneg日志-returnFigure 5.7:IBM数据：每日提前一步预测95%（黄色）和99%（橙色）级别的c VaR，扩展窗口。正如人们所能理解的那样，c VaR序列自然比“滚动”窗口情况下更平滑（尤其是在99%的水平上）。然而，值得注意的是，该程序似乎能够猜测每次都会出现极端损失：每次实现的序列显示出一个高于0.04的峰值，99%水平的估计c VaR也显示出一个类似幅度的峰值。

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2022-6-2 18:47:19

这似乎很有希望，并推动了对拟议程序的进一步研究。6结论与未来工作本文研究了一种新的非参数条件风险值预测方法。与之前建议的非参数方法一样，VaR是通过直接反演利息条件累积分布的非参数估计量获得的。与它们不同的是，对条件分布的估计是基于描述收益序列中观察到的动态依赖关系的copula的密度。正如本文所阐述的，这有几个优点。特别是，这样生成的估计条件分布函数总是被限制在0到1之间并递增，这使得很容易反转以提取所需的分位数。copula框架可以直观地解释结果，请参见第5.1节标准普尔500指数的应用。此外，蒙特卡罗模拟（第5.2节）和对2011年1月至2017年11月IBM公司股票的分析（第5.3节）表明，建议的程序可能与一步领先风险价值预测的最佳参数模型一样有效。值得注意的是，VaR最近一直是讨论和批评的对象，主要是因为它可能不是重尾损失分布的次加性和非一致性，参见Danielssonet al（2005）和Ibragimov and Walden（2011）中的讨论。因此，也提出了其他风险度量，使得选择正确的风险度量成为其自身理论利益的问题（Cherubini et al，2012）。在任何情况下，巴塞尔协议III建议用预期差额补充VaR，因为后者的一致性得到保证。

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2022-6-2 18:47:22

因此，建议并调查了条件预期短缺的估算方法（Scaillet，2005，Cai和Wang，2008，Chen，2008，Kato，2012，Linton和Xiao，2013，Xu，2016）；有关综述，请参见Nadarajah等人（2014）。对于某些级别的α，（条件）ES定义为ascESα，T（x）=E（XT | XT>c VaRα，T（x），XT-1=x），即假定损失超过相应的（有条件的）风险值，即cESα，T（x）=1的预期损失- αZ∞c VaRα，T（x）yfXT | XT-1（y | x）dy.define WT=XT- c VaRα，T，见a，T（x）=c VaR，α（x）+1- αZ∞wfWT | XT-1（宽x）dw。从（4.2）中，一个为FWT | XT-1（w | x）=fW（w）×c（w）（FX（x），fW（w）），其中c（w）是向量（XT）的copula密度-1，重量）。现在，因为wt只是XTplus一个常量，所以（XT）中的依赖关系-1，WT）与（XT）中的完全相同-1，XT），它们的copula是相同的。因此，有条件的预期差额可以是可写性α，T（x）=c VaRα，T（x）+1- αZ∞wc（FX（x），FX（w+c VaRα，T（x）））fW（w）dw。这反过来又表明了一个非参数估计量，类型为ccesα，T（x）=cdVaRα，T（x）+1- αTT-1Xt=0（Xt- cdVaRα，T（x））^c（bFX（x），bFX（Xt））1I{Xt>cdVaRα，T（x）}，具有与（4.4）中相同的估计量。这一估计值将在下一篇论文中详细研究。致谢这项研究得到了新南威尔士州悉尼（澳大利亚）科学院的学院研究资助。ReferencesArdia，D.、Boudt，K.和Catania，L.（2016），《使用气体包的R风险预测值》，手稿，http://arxiv.org/pdf/1611.06010.Azzalini，A.（1981），关于用核方法估计分布函数和分位数的注记，Biometrika，68326-328。Bashtanyk，D.M.和Hyndman，R.J.（2001），《核条件密度估计的带宽选择》，计算机。统计学家。数据分析。，36, 279-298.巴龙·阿德西（Barone Adesi，G.）、吉安·诺普洛斯（Giannopoulos，K.）和沃斯珀（Vosper，L.）。

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2022-6-2 18:47:25

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