光谱正的情况的证明是相似的。当X为谱负时，与引理3中使用的参数类似的参数表明，对于log K<l，我们有vc（ex，K，q，δ，σ，π，l，u）=（ex- K） （十）∈[l，u]）+埃尔- Ke-Φ（q）（l）-x） （x<l）+（Z∞Z（0，∞)e-Φ（q）（l）-u+y）∨0埃尔∨（u）-y）- Kr（q）（x）- u、 z）π(-z- dy）dz+（eu- K） σW（q）0（x- u）- Φ（q）W（q）（x）- u）)（x>u）。表示qxt=-（Xt）- log s）+log K16 M.De Donno–Z.Palmowski-J.Tumilewiczandqx=log K，qK=ex，qq=δ，ql=x+log K- u、 qu=x+对数K- l、 请注意，qx是从qx开始的光谱正过程，由三重态（qu，σ，q∏）定义，其中qu=-u - σ. 如[Fajardo和Mordecki（2006）]中引理2.1的证明所示，其特征指数qψ与ψ之间的关系为：qψ（φ）=ψ（1- φ) - ψ(1). 流程Xt：=bqXt=(-qX）为谱负，拉普拉斯指数ψ（φ）=qψ(-φ） ，右连续反函数Φ由Φ（qq）=Φ（q）给出- 确实，请注意ψ（Φ（qq））=qψ(-Φ（qq））=qψ(-（Φ（q）- 1） ）=qψ（1）- Φ（q））=ψ（Φ（q））- ψ（1）=q- （q）- δ） =δ=qq。最后，【Kyprianou（2006）】的引理8.4给出了xtsatiesw（q）（x）的第一尺度函数W（q）（x）=exW（q-ψ（1））（x）=exW（q）（x）W（q）0（x）=exW（q）（x）+exW0（q）（x）及其预解密度r（q）（x，y）满足esr（q）（x，y）=e(-Φ（q）-1） yexW（q）（x）- 前任-yW（q）（x）- y） =ex-yr（q）（x，y）。利用上述关系和引理3，我们可以直接导出方程（5.1）。因此，这个引理的断言是正确的。引理6立即为永久美式期权生成以下看跌期权对称性。定理4。假设永久看跌期权的停止区域不为空，具有最优停止边界l*p=el*pand u公司*p=欧盟*p

那么，Vc（s，K，q，δ，σ，π）=Vp（K，s，δ，q，σ，q∏）。此外，美式看涨期权允许具有最优停止边界l的双连续区域*c=el*c、 u型*c=欧盟*c、 这样我*铜*p=l*聚氨基甲酸酯*c=sKor当量*c+u*p=l*p+u*c=对数s+对数K。备注4。[Battauz et al.（2014）]得出了Black-Scholes模型的类似结果。对于标准情况q>0，定理4在一个不同的市场中被[Carr和Chesney（1996）]证明，在ageneral半鞅模型中被[Schroder（1999）]证明。关于q>0的列维市场二元性的精确描述，见【Fajardo和Mordecki（2006），Cor.2.2】。[Detemple（2001）]对美式期权的看跌期权二元性进行了全面的回顾。证据使用类似引理2的证明，我们可以得出结论，对于调用美式选项，停止区域也必须是一个区间或半线。引理6意味着lvc（s，K，q，δ，σ，π，l，u）=-uvp（K，s，δ，q，σ，q∏，log s+log K- u、 对数s+对数K- l） ，则，uvc（s，K，q，δ，σ，π，l，u）=-lvp（K，s，δ，q，σ，q∏，log s+log K- u、 对数s+对数K- l） 。当且仅当l*p=-u*c+对数s+对数K，u*p=-l*c+log s+log K。这就完成了证明。根据前面的定理，还可以导出摆动期权的看跌期权对称结果。LetV（N）p（s，K，q，δ，σ，π，τ*p） ：=supτ∈T（N）E（log s）“NXi=1e-qτiK- eeXτi+#= E（对数s）“NXi=1e-qτ*i、 pK- eeXτ*i、 p+#,V（N）c（s，K，q，δ，σ，π，τ*c） ：=supτ∈T（N）E（log s）“NXi=1e-qτieeXτi- K+#= E（对数s）“NXi=1e-qτ*i、 c类eeXτ*i、 c类- K+#,分别为卖出和买入美式期权，其中T（N）在（4.2）和τ中定义*= (τ*, ..., τ*N） =τ*p=（τ*1，p。。。，τ*N、 p），τ*c=（τ*1，c。。。，τ*N、 c）是相应的最佳停止规则。

从定理2和3可以得出τ*i=τ*i、 p=inf{t≥ 0：外部∈ [l*i、 u型*i] }，其中l*i=el*i=el*i、 p≤ 欧盟*i=欧盟*i、 p=u*I或l*土地u*定义于定理3。美式期权17推论1的双连续区域。下面的put称为对称holdsV（N）c（s，K，q，δ，σ，π，τ*c） =V（N）p（K，s，δ，q，σ，q∏，τ*p） 和（5.2）τ*i、 c：=inf{t≥ 0：外部∈ [l*i、 c、u*i、 c]}带L*i、 c：=对数s+对数K- u*i、 p，u*i、 c：=对数s+对数K- l*i、 p.证明。为了证明看涨期权的停止区域为（5.2）的形式，可以使用（4.11）中给出的类似想法，但在这种情况下，必须交换sand sas Payoff函数g（k）的角色。现在，引理6的结果是，当对称性对所有l，u都成立时，使得log K<l<u，同时假设Swing选项是单个选项的和。6、数值分析6.1。布莱克-斯科尔斯模型。LetXt=x+ut+σwt是线性布朗运动，其中wt是布朗运动，u=q- δ -σ是鞅测度下的漂移（见（2.3）），σ>0是波动，x=log s是x的起始位置。由于线性布朗运动没有任何跳跃，因此它是唯一一个同时具有谱负和谱正的L'evy过程。该模型与开创性的Black-Scholes市场模型相对应。对于线性布朗运动xT，拉普拉斯指数和标度函数由ψ（φ）=uφ+σφ和w（q）（φ）=Ξσ给出e（Ξ-uσ)φ- e类(-Ξ-uσ)φ=Ξσe-uσφsinh（Ξφ），（6.1），其中Ξ=pu+2qσ。利用引理3，我们现在给出了负贴现因子q<0的美式看跌期权的价值。首先，我们计算右逆拉普拉斯变换Φ（q）=-uσ+ Ξ.当u+2qσ≥ 0，对于q<0，取负值。

因此，负利率的美式看跌期权允许双连续区域，其布朗运动值减少到：v（x，l*, u*) = （K）- ex）（x∈[l*,u*])+K- 埃尔*e（μσ-Ξ）（l）*-x） （x<l*)+K- 欧盟*e-（uσ+Ξ）（x-u*)（x>u*),其中，最佳水平l*和u*可以使用一阶条件或命题1中的平滑原则来识别，它们由*= 日志KΦ（q）Φ（q）- 1.,u*= 日志K2Ξ- Φ（q）2Ξ- Φ（q）+1.18 M.De Donno–Z.Palmowski–J.Tumilewicz备注5。最佳水平l*解决方案lv（x，l*, u*) = -埃尔*e-Φ（q）（l）*-x）- Φ（q）（K）- 埃尔*)e-Φ（q）（l）*-x） =0，因为它最大化了美式看跌期权的价值函数。上述方程相当于Φ（q）（K- 埃尔*) = -埃尔*当q≥ 这意味着对于q≥ 0我们总是有一个单一的连续区域；见表1。事实上，【Alili和Kyprianou（2005）】（另见【Kyprianou（2006），第9.2节）】证明了该停止区域是(-∞, u*], 因此，连续区域C等于（u*, ∞) 在这种情况下。图1：。不同贴现因子的美式看跌期权价值：q=-双连续区域为0.01，单连续区域为q=0.01。参数：σ=0.2，δ=-0.06.在表1中，我们总结了布朗运动情况下，关于Americanput期权参数的所有可能的连续区域。看跌期权对称性对美式看涨期权产生了类似的结果，我们在表2中进行了描述。注意，在美式看涨期权的情况下，当q<0且δ>0时，只能导出单停区域。本案符合[夏和周（2007）]所考虑的条件。表1：。

美国看跌期权相对于贴现率的延续区域。贴现率连续区域Cq>0单个连续区域；C=（u*, ∞)q=0u>0单连续区域；C=（u*, ∞)u ≤ 0无早期锻炼；C=Rq<0u+2qσ>0u>0双连续区；C=(-∞, l*) ∪ （u）*, ∞)u ≤ 0无早期锻炼；C=Ru+2qσ=0u>0双连续区；l*= u*; C=(-∞, l*) ∪ （l）*, ∞)u ≤ 0无早期锻炼；C=Ru+2qσ<0无早期运动；C=通过数值方法，我们还发现Black-Scholes模型中摆动期权的最佳停止区域。在图2中，我们给出了最佳水平l的顺序*kand u公司*K用蒙特卡罗方法计算，每个递归步骤迭代10.000次。6.2. 跳跃扩散模型。为了进行比较，我们通过增加原木价格向下跳跃的可能性，扩展了上述Black-Scholes模型的数值计算。我们通过美国期权19的双延拓区域对这种跳跃进行建模，见表2。美式看涨期权相对于贴现率的延续区域。贴现率连续区域Cq≥ 0δ>0单延拓区域；C=(-∞, l*)δ ≤ 0无早期锻炼；C=Rq<0δ>0单延拓区域；C=(-∞, l*)δ=0无早期运动；C=Rδ<0u+2δσ>0u<0双连续区；C=(-∞, l*) ∪ （u）*, ∞)u ≥ 0无早期锻炼；C=Ru+2Δσ=0u<0双连续区域；l*= u*; C=(-∞, l*) ∪ （l）*, ∞)u ≥ 0无早期锻炼；C=Ru+2Δσ<0无早期运动；C=R图2。最佳水平l*kand u公司*k对于k=1。。。，10为具有负折扣的摇摆美式看跌期权。

参数：q=-0.01，K=1.2，σ=0.2，δ=-0.06，δk=0.5。具有参数ρ的指数分布，我们假设它们出现在强度λ>0的固定市场中。形式上，我们对风险标的资产价格的对数Xt=log StbyXt=x+ut+σWt进行建模-NtXi=1ξi，（6.2），其中，x=对数s，u=q- δ -σ+λρφ+ρ- λ、 NTI是强度λ>0且{ξi}的泊松过程∞{i=1}是一系列i.i.d.指数跳跃，参数为ρ。众所周知，跳跃差异模型可以更好地产生各种隐含的波动率偏差和微笑，以及市场波动（见引言中的讨论和参考）。注意，（6.2）中给出的过程Xt是一个谱负L'evy过程，拉普拉斯指数ψ（φ）=uφ+σφ+λρφ+ρ- λ.为了很好地定义美式看跌期权停止问题，在引理1之后，我们假设E（x）x=ψ（0）=u-λρ> 0.标度函数由：W（q）（x）=eΦ（q）xψ（Φ（q））+e给出-ψxψ(-^1）+e-ψxψ(-ν），其中（可能是复数）值为Дifor i=1，2满足ψ(-νi）=q.（6.3）可以观察到，上述方程相当于一个三次方程，可以使用卡达诺根进行求解。这类方程要么有全部三个实根，要么有一个实根和两个非实复共轭根。当Φ（q）存在时，负利率美式看跌期权的问题得到了很好的解决。这相当于具有（6.3）的三个实解。负贴现率的ψ（φ）=q的根如图3所示。注意Φ（q）还必须满足以下不等式Φ（q）+ρ>0。（6.4）事实上，当ψ（Φ（q））=q时，我们可以写出q=eψ（Φ（q））X=EheΦ（q）i=EheΦ（q）（ut+σWt）iEhe-Φ（q）NtPi=1ξii=euΦ（q）+σΦ（q）e-λ(1-R∞e-Φ（q）ξρe-ρξdξ）。现在，第二个期望中的积分是有限的，当且仅当（6.4）成立。图3：。

拉普拉斯变换ψ（φ）（左）和不同q（右）的ψ（φ）=q的解。参数：σ=0.2，λ=0.2，ρ=7.5，u=0.06。我们可以使用（3.12）确定美式看跌期权的价值。为此，只需计算公式中出现的双积分即可。由于跳跃具有指数分布，它可以计算为两个积分的乘积，如下所示：Z∞e-Φ（q）（l）-u+y）∨0K- 埃尔∨（u）-y） e类-ρydy=K- 埃尔e-ρ（u-l） Φ（q）+ρ+ρK1.- e-ρ（u-l）-1+ρeu1.- e-（1+ρ）（u-l）andZ公司∞e-Φ（q）zW（q）（x）- u）- W（q）（x）- u- z）λρe-ρzdz=λρΦ（q）+ρW（q）（x- u） +λρΦ（q）+ρe-ρ（x-u）- eΦ（q）（x）-u） ψ（Φ（q））+λρρ- ^1e-ρ（x-u）- e-^1（x-u） ψ(-φ)+λρρ - ^1e-ρ（x-u）- e-^1（x-u） ψ(-φ).然后，可以使用平滑原则或一阶条件导出最佳边界。图4给出了美式看跌期权的价值函数以及一些负贴现因子（双连续区域）和一些正贴现因子（单连续区域）的最优停止区域。为了了解跳跃对值函数和停止区域的影响，我们比较了指数分布的各种强度ρ和到达率的各种强度λ，图5和图6分别保留了固定的其他参数。注意，ρ的增加对应于跳跃平均大小的减少，我们记得，这是向下跳跃。另一方面，λ的增加影响一个时间单位内观察到的平均跳跃次数的增加。请注意，随着指数分布参数的增加，值函数变小，停止区域变大。当到达强度降低时，观察到相同的行为。对于Americanput期权，跳变会降低资产价格，更高或更频繁的向下跳变会增加获得更高收益的可能性，从而提高期权价格。

至于临界价格，我们记得，当利率为负时，如果期权价格太深或资金不足，行使期权就不方便了。如果期权位于美式期权21的双延拓区域，见图4。不同贴现因子的美式看跌期权价值：q=-双连续区域为0.01，单连续区域为q=0.01。参数：σ=0.2，λ=0.2，ρ=7.5，u=0.06。资金方面，更高或更频繁的向下跳跃可能会大幅降低资产价格，使行使不再方便，因此需要更安全（即更高）的停止区域较低水平。看跌期权的上临界值为“标准”值，其行为与案例Q的文献一致≥ 例如【Amin（1993）】表明，跳跃可能会降低资产的价值，提前行权会推迟，如果资产在货币中的深度更深，则会行使期权。图5：。指数分布不同强度的美国看跌期权价值。参数：σ=0.2，λ=0.2，u=0.06，q=-0.01.最后，我们还比较了光谱负过程和光谱正过程的情况。当我们将跳跃符号设置为与谱负情况正好相反的符号，并且所有其他参数保持不变时，我们观察到在正跳跃情况下更大的停止区域和更低的值函数。这种行为与先前对跳跃参数ρ和λ的分析一致。当光谱负过程的跳跃变小时，即跳跃强度ρ增大，停止区域扩大。如果我们允许跳跃大小的相反符号，我们会得到一个光谱正过程和进一步的膨胀。图7.22 M.De Donno–Z.Palmowski-J.Tumilewicz（图6）中可以观察到这一结果。

指数分布不同强度的美国看跌期权价值。参数：σ=0.2，ρ=7.5，u=0.06，q=-0.01.图7：。谱不对称过程的美式看跌期权价值。参数：σ=0.2，ρ=7.5，λ=0.2，u=0.06，q=-0.01.7. 结论和未来工作在本文中，我们研究了完全不对称的列维市场中，当贴现率为负时的永久美式期权。我们明确计算了美式期权的价格，并根据适当的谱负L'evy过程的标度函数确定了临界价格，从而确定了双连续区域。我们还将我们的方法扩展到摆动选项的分析。我们还对Black-Scholes模型和具有指数跳跃的跳跃扩散模型进行了广泛的数值分析。得出所有结果的主要工具是基于列维过程的波动理论和阻力问题的一般理论。这类研究仍处于起步阶段，还可以进一步扩展。首先，永久美式期权价格和临界价格的特征化是分析无限期美式期权和加拿大化期权的起点。此外，我们可以考虑更一般的设置，包括马尔可夫机制转换，以建模基础价格。这些类型的结果可能是使用【Ivanovs和Palmowski（2012）】的工作实现的美国选项23的双重延续区域，其中给出了与第一个passagetimes（2.4）相关的一些退出身份。考虑多维指数L'evy过程也很有趣（见【Klimsiak和Rozkosz（2018）】）。最后，在存在负贴现率的情况下，对市场的分析还应涉及其他类型的期权，例如：。

[Guo和Zervos（2010）]描述的π-选项。所有这些问题都非常复杂，有待进一步研究。致谢本论文是在第一作者访问Wroc法律科技大学Hugo Steinhaus中心时构思的。特别感谢A.Weron教授及其团队的盛情款待。参考文献[黄金世界理事会]http://www.gold.org/investment/statistics/.【Aase（2010）】K.K.Aase（2010）。跳跃式贴现的永久美式看跌期权。《能源、自然资源和环境经济学》493-507年编辑恩德·比约尔达尔、M·比约尔达尔、P·M·帕达洛斯和M·R¨onqvist。施普林格柏林海德堡。【Alili和Kyprianou（2005）】L.Alili和A.E.Kyprianou（2005）。关于列维过程第一段的一些评论，即美国的放置和粘贴原则。《应用概率年鉴》，15，2062–2080。【Alvarez和Tourin（1996）】O.Alvarez和A.Tourin（1996）。非线性积分微分方程的粘度解。安。Poincar\'e Anal研究所。非Lin\'eaire，13（3），293–317。[Amin（1993）]K.I.Amin（1993）。离散时间内跳差期权估值。《金融杂志》，48（5），1833-1863年。[Asmussen等人（2004）]S.Asmussen、F.Avram和M.R.Pistorius（2004）。指数Alphase型L'evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。随机过程及其应用，109，79–111。【Avram等人（2004年）】F.Avram、A.E.Kyprianou和M.R.Pistorius（2004年）。光谱负L'evy过程的退出问题以及对俄罗斯、美国和加拿大选项的应用。安。应用程序。概率。，14(1), 215–238.[尼尔森（1998）]O.B.尼尔森（1998）。麦肯恩随机博弈由一个谱负的L’evy过程驱动。财务Stoch。，1,41–68.【Barrieu和Bellamy（2005）】P.Barrieu和N.Bellamy（2005）。市场危机对实物期权的影响。

在Wilmott Kyprianou，Schoutens，编辑，奇异期权定价和高级Levy模型。威利金融。【Battauz等人（2012）】A.Battauz、M.De Donno和A.Sbuelz（2012）。具有双连续区域的实物期权。QuantitativeFinance，12（3），465–475。【Battauz等人（2014）】A.Battauz、M.De Donno和A.Sbuelz（2014）。实物期权与美国衍生品：双重延续区域。《管理科学》，61（5），1094-1107。【巴托兹等人（2017）】A.Battauz、M.De Donno和A.Sbuelz（2017）。关于美国quanto期权的行使。预印本。【Baurdoux（2007）】E.Baurdoux（2007）。谱负L'evy过程的涨落理论和随机对策。乌得勒支大学博士论文，参见http://stats.lse.ac.uk/baurdoux/thesis.pdf.【Baurdoux（2009）】E.Baurdoux（2009）。谱负L'evy过程指数时间之前的最后一次退出。《应用可能性杂志》，46（2），542–558。【Baurdoux和Kyprianou（2008）】E.Baurdoux和A.Kyprianou（2008）。谱负过程驱动的McKean随机博弈。概率电子杂志，8173-197。[伯格曼等人（1996）]Y.伯格曼、B.格兰迪、Z.维纳（1996）。期权价格的一般性质。J、 《金融》，511573-1610。【Boyarchenko和Levendorskii（2002）】S.I.Boyarchenko和S.Z.Levendorskii（2002）。列维过程下的永久美式期权。暹罗控制与优化杂志，401663-1696。【Broadie和Detemple（1995）】M.Broadie和J.Detemple（1995）。美国股息支付资产上限看涨期权《金融研究回顾》，8（1），161–191。【Carmona和Touzi（2008）】R.Carmona和N.Touzi（2008）。摆动期权的最优多重停止和估值。MathematicalFinance，18（2），446–460。[Carr等人（2002）]P.Carr、D.Madan、H.Geman和M.Yor（2002）。资产回报的详细结构，一项实证调查。J

商业，75（2），305–332。[卡尔和切斯尼（1996）]P.卡尔和M.切斯尼（1996）。美式put称之为对称。预印本。【Chan（2005）】T.Chan（2005）。由光谱单边L'evy过程驱动的永久美式期权定价。在Wilmott Kyprianou，Schoutens，编辑，奇异期权定价和高级Levy模型。威利金融。【Chesney和Jeanblanc（2004）】M.Chesney和M.Jeanblanc（2004）。指数L'evymodel中的美元期权定价。《应用数学金融》，11207-225。【Churiwal和Shreni（2012）】A.Churiwal和A.Shreni（2012）。调查印度黄金贷款市场。认知20-20个见解。【Cont和Tankov（2003）】R.Cont和P.Tankov（2003）。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔，CRC出版社。【Cui和Hoyle（2011）】C.Cui和R.Hoyle（2011）。J、 摩根大通将接受黄金作为抵押品。《华尔街日报》，商品，8。[Detemple（2001）]J.Detemple（2001）。美式选项：对称特性。在Musiela Jouini，Cvitani\'c，期权定价、利率和风险管理编辑，67–104。剑桥大学出版社。【Detemple（2014）】J.Detemple（2014）。衍生证券的最佳行使。《金融经济学年鉴》，6459–487。【Detemple和Kitapbayev（2018）】J.Detemple和Y.Kitapbayev（2018）不连续两级上限的美式期权。《暹罗金融数学杂志》，9（1），219–250。【Dixit等人（1993年）】A.K.Dixit和R.S.Pindyck（1993年）。不确定性投资。普林斯顿大学出版社。【Eberlein和Keller（1995）】E.Eberlein和U.Keller（1995）。金融中的双曲线分布。伯努利，1281–299。[Eberlein和Papantaleon（2005）]E.Eberlein和A.Papantaleon（2005）。Levy模型中奇异期权的对称性与定价。在Wilmott Kyprianou，Schoutens，编辑，奇异期权定价和高级Levy模型。威利金融。24 M.De Donno–Z。

Palmowski-J.Tumilewicz【Eisenbaum（2006）】N.Eisenbaum（2006）。L'evy过程的局部时空随机演算。随机过程及其应用，116757–778。[艾森鲍姆和基普里亚努（2008）]N.艾森鲍姆和A.E.基普里亚努（2008）。关于一般一维all'evy过程的抛物发生器。概率中的电子通信，13198–208。[Ekstr–om（2004）]E.Ekstr–om（2004）。美式期权价格的性质。随机过程及其应用，114265–278。[Fajardo和Mordecki（2006）]J.Fajardo和E.Mordecki（2006）。列维市场的对称性和对偶性。量化金融，6210–227。【Gerber and Shiu（1998）】H.Gerber and E.Shiu（1998）。跳跃过程的永久期权定价。《北美精算杂志》，2101-112。[郭和泽沃斯（2010）]X.郭和M.泽沃斯（2010）。π选项。随机过程及其应用，1201033–1059。【赫尔（2011）】J.C.赫尔（2011）。期权、期货和其他衍生品。普伦蒂斯大厅。【Ivanovs和Palmowski（2012）】J.Ivanovs和Z.Palmowski（2012）。马尔可夫加和过程出口问题求解中的职业密度及其反映。随机过程及其应用，122（9），3342–3360。【Klimsiak和Rozkosz（2018）】T.Klimsiak和A.Rozkosz（2018）。多维指数模型中美式期权的估值。金融数学，http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111.[Koponen（1995）]I.Koponen（1995）。截断L′evy函数收敛于高斯随机过程问题的解析方法。物理。修订版。E、 ，521197–1199。【Kyprianou和Surya（2007）】A.E.Kyprianou和B.A.Surya（2007）。确定内生破产水平的平稳和连续性原则。《金融与随机》，11（1），131–152。【基普里亚努（2006）】A.E.基普里亚努（2006）。

关于L'evy过程波动及其应用的入门讲座。斯普林格。【Kyprianou等人（2013）】A.E.Kyprianou、A.Kuznetsov和V.Rivero（2013）。谱负过程的尺度函数理论。Levy Matters II，斯普林格数学课堂讲稿。【Lamberton和Mikou（2012）】D.Lamberton和M.Mikou（2012）。指数L'evy模型中的平滑特性。应用概率日志，49（1），137–149。[Leung等人（2015）]T.Leung、K.Yamazaki和H.Zhang（2015）。L'evy模型下具有负贴现率和随机折射时间的最优多次停止。《暹罗控制与优化杂志》，53（4），2373–2405。【Madan和Seneta（1990）】D.B.Madan和E.Seneta（1990）。股票市场收益的方差伽马模型。J、 商业，63511–524。[默顿（1976）]R.默顿（1976）。当标的股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3125-144。【Mordecki（2002）】E.Mordecki（2002）。L'evy过程的最优停止和永久选项。《金融与随机》，6（4），473-493。[佩斯基尔（2005）]G.佩斯基尔（2005）。在曲线上随当地时间变化的变量公式。《理论概率杂志》，18（3），499–535。[Peskir和Shiryaev（2006）]G.Peskir和A.Shiryaev（2006）。最优停止和自由边界问题。伯豪斯。【Pham（1997）】H.Pham（1997）。跳跃扩散模型中的最优停车、自由边界和美式期权。《应用数学与优化》，35（2），145–164。【Pham（1998）】H.Pham（1998）。受控跳跃扩散过程的最优停止：粘度解方法。《数学系统，估计和控制杂志》，8，1-27。【Schoutens（2003）】W.Schoutens（2003）。金融学中的列维过程：金融衍生品定价。威利。[施罗德（1999）]M.施罗德（1999）。

期货、远期和期权定价基准的变化。《金融研究回顾》，12（5），1143–1163。【Surya（2007）】B.Surya（2007）。由L'evy过程和粘贴原理驱动的最优停止问题。乌得勒支大学博士论文。[夏和周（2007）]夏J和周X（2007）。股票贷款。数学金融，17（2），307–317。【Zeghal和Mnif（2006）】A.B.Zeghal和M.Mnif（2006）。L'evy模型中摆动期权的最优多重停止和估值。《国际理论与应用金融杂志》，9（8），1267-1297。帕尔马大学经济与管理系，via Kennedy 6，43125 Parma，Italy电子邮件地址：marzia。dedonno@unipr.itFaculty美国联邦理工大学法学院纯数学与应用数学专业。Wyb。Wyspia\'nskiego27，50-370 Wroc law，PolandE邮箱：zbigniew。palmowski@gmail.comMathematical波兰波兰德Wroc法律大学研究所Grunwaldzki 2/4，50-384邮编：joanna。tumilewicz@gmail.com