养老保险的多元密度模型

2022-6-4 16:36:12

文献综述。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2.二、准备工作。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.三、单变量密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。29四、不含协方差的多元密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。37五、具有协方差的多变量密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。40六、多元化投资组合的费用调整实际复利回报。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。47七、退休投资组合优化。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。49八、结论51参考文献。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。52数据来源/退休调查。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。55九、带源代码的附录。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

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2022-6-4 16:36:15

56关键词：方差分量、EM算法、ECME算法、最大似然、PDF、CDF、信息准则、有限混合模型、约束优化、退休递减、破产概率、静态/动态下滑路径、金融危机联系：cjr5@njit.eduA在时间t-1以美元pt-1购买的金融证券，所有分配再投资产生一个时间t称为调整价格的价值，例如，t=1,2，…，为美元pt，。。。，T、时间T的总回报率为Rt=（Pt-Pt-1）/Pt-1，总复合回报率为1+Rt=Pt/Pt-1，因此$Pt-1（1+Rt）=$Pt。如果时间t-1和t之间的通货膨胀率为1+Rt=（1+It）（1+Rt），其中Rt=（1+Rt）/（1+It）–1是时间t的实际回报。时间t的实际价格是价值$pt，使得（pt-pt-1）/pt-1=Rt，求解后产生$pt=$pt/（1+It）。在有效市场中，真实价格由几何随机游走（GRW）控制，即ln（$pt）=ln（$pt-1）+St，其中St~N（μ，σ）。μ>0的值表示漂移，预期对数标度价格上涨是否足以补偿投资者在时间t-1和t之间的风险（σ）。在随机游走中，下一个值是当前值加上随机正态步长St，其最佳预测值是当前值+μ。将GRW模型的两侧指数化，得到另一种形式$pt=（$pt-1）e, 其中e= （1+rt）~对数正态分布（μ，σ）。在严格的条件下，正态分布的步长St是合理的。将t-1和t之间的时间分解为一系列较小的段，例如，d=1,2，。。。，设1+rd为独立同分布（iid）随机变量（RVs），用于时间D-1和D之间的复合实际收益，因此ln（1+rd）也是iid RVs。时间t的复合实际回报为（1+rt）=∏1.re∑= e其中St=∑自然对数1.r~ 当d时，N（μ，σ）≥ 根据中心极限定理（CLT）。

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2022-6-4 16:36:18

这里，t可以表示年和日，因此复合年收益率是复合日收益率的乘积。当（1+rd）不是iid（d=1,2，…）时，（1+rt）的对数正态性假设失效，。。。，有充分的研究表明，收益率之间的相关性随着时间长度的减少而增加。我们还发现，与对数正态分布相比，正态概率密度函数（PDF）更适合退休融资中使用的流动证券的复合收益，这表明短期实际复合收益可能不是iid（见§II.C）。更复杂的是，一般认为正常PDF是可处理的，而对数正常PDF则不是。例如，分别具有真实回报E和bt的股票和债券的多元化投资组合具有复合真实回报α（1+et）+（1-α）（1+bt），其中α是权益比率。不幸的是，相关对数正态RVs之和不存在已知的PDF，我们只能近似给定α的PDF，请参见Rook&Kerman（2015）了解实现。尽管使用normalRVs对金融领域的复合实际回报进行建模有好处，但许多从业者和研究人员不会这么做，主要原因是缺乏偏斜和厚尾，还因为普通PDF会产生负价格。金融危机期间高斯copulas的严重失效强化了人们的怀疑。不幸的是，那些拒绝使用普通PDF的人无法从使用它优化的离散时间金融模型中获益。

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2022-6-4 16:36:23

这项研究的动机是出于这种困境，尤其是对倾斜、重尾、多模式、可处理PDF的渴望，以模拟离散时间金融应用中多元化投资组合的复合实际回报。特别令人感兴趣的是卡尔·皮尔逊（KarlPearson）于1895年提出的一项主张，即对数正态PDF的矩实际上可以与正态的混合物进行区分（McLachlan&Peel，2000）。一、在房地产繁荣时期，住房抵押贷款被打包并作为证券出售。证券的价格是未来现金流的现值，这里是抵押付款。这些产品被分为多个部分，因此当借款人违约时，低级别持有人首先遭受损失，其次是中级持有人，然后是顶级持有人（MacKenzie&Spears，2014）。需要现金流和时间来为每笔贷款在每个时间点违约的贷款定价。违约时间可以使用指数PDF进行建模，其概率是在其累积分布函数（CDF）返回的一段时间之前违约的。给定时间之前同时违约的概率由copula或多元CDF计算得出，并取决于违约时间之间的相关性。由于缺乏数据，无法估计住宅借款人违约时间之间的真实相关性。Li（2000）建议将copula同时默认为使用正常RVs的等效表达式。这些RVs之间的相关性来自对基础债务工具的衡量，其正常假设是合理的，并且存在足够的数据。利用这些相关性，高斯copula可以在特定时间之前返回同时违约的可能性。

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2022-6-4 16:36:26

然后可以从高斯copula模拟相关指数衰减时间上的样本，并用于评估安全性。持有的贷款池5000份抵押贷款，股权部分像股票，高级部分像asafe债券。低利率导致流动性过剩，养老金和主权财富基金对AAA级优先股产生了贪得无厌的胃口，这些优先股的收益率超过了美国国债（Kachani，2012）。该体系的一个致命缺陷是，经济学家几十年来一直认为金融数据来源于危机期间的制度和相关性变化（Hamilton，1989）。由于房地产泡沫破灭之后是房地产繁荣，事后看来，用一个价值来衡量相关性是不明智的。正如所见，在危机中，违约时间相关性（defaulttimecorrelations）增加，作为安全债券出售的高级债券更像是一只股票，保险公司表示，到2007年，保险公司已承销了62.2万亿美元的信用违约合同（2002年为16万亿美元）。这场危机的罪魁祸首集中在高斯copula（Salmon，2009），有一个结论是“正常回报在金融业是不合适的”（Nocera，2009）。警告不要使用正态分布的研究人员和从业者被证明是正确的。Paolella（2013）随后宣布“therace正在进行”，以找到更适合金融应用的多元PDF，并提供了混合密度的概述，混合密度通常用于建模经济体制并构成本研究的基础。我们开发的PDF是一个具有固定正态混合边缘的多元正态混合。当用于离散时间退休减记模型时，它是可分割的，并且易于理解。在§II中，我们详细说明了所需的理论/技术，在§III中，我们将通用的单变量正态混合拟合到收益集合中。在§IV中，我们形成多元PDF，并在§V中添加相关性。

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2022-6-4 16:36:30

最后，在§VI和§VII中，我们推导了多元化投资组合的费用调整后实际复合回报，并将其用于最优减计模型中。附录中包含了支持性证明、派生和完整的C/C++实现。二、本文介绍了§III至§V中开发的密度模型所需的基本概念。A、概率密度和累积分布函数let X是连续的RV，f（X）是函数，使得f（X）≥ 0 x个∈ 具有= 函数f（x）是x的有效PDF（Casella&Berger，1990）。CDFfor X定义为F（X）=P（X x）=. 根据微积分第二基本定理（Anton，1988），F′（x）=F（x）-F(-∞) = f（x），即RV x的DF是其CDF的第一导数。注意，X可以定义在, 而f（·）通常取决于参数向量，比如θ，它可以表示X的平均值和方差。PDF的其他常见表达式包括f（X，θ）、f（X；θ）、f（X |θ），也可以用fX（·）表示受控制的RV，写为X ~ fX（·）。对于单个RV X，f（X）是一个单变量PDF，但上述内容也适用于RVs的n维向量， = （X，…，Xn）′，定义于n、这里，f() 是带f的多元PDF()≥ 0 ∈ n、以及= 1、多元CDF 定义为F() = P() =, 其中Ω={:}. 与单变量情况类似，区分多变量CDF会产生多变量PDF，即，…F= , 和一个RV的边缘PDF，例如，Xis，通过整合所有其他RV获得。即f（x）=ooo.B、有限混合物密度设X为连续RV，设f（X）。。。，fg（x）是满足§II中单变量PDF条件的g函数。A、还有，让π。。。，πgbe概率（0<πi 1，i=1，。。。，g）这样π+…+πg=1。

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2022-6-4 16:36:33

那么f（x）=πf（x）+…+πgfg（x）也满足§II中的PDF条件。被称为有限混合密度（Titterington，et al.，1985）。如果X~f（X），则f（X）=P（X x）=∑πi我gi公司1.= πF（x）+…+πgFg（x）是x的theCDF。Letμ是fi（x）的rth时刻。然后E（Xr）=μ（r）= =∑π=∑π =∑πμ. 因此，E（X）=∑πμV（X）=E（X）–E（X）=∑πμ- ∑πμ.什么时候= （X，…，Xn）′是RVs的n维向量n= πf() + ... + πgfg() 是一种多变量PDF，满足§II中规定的多变量PDF条件。A、混合PDF，f（x）有两种不同的解释：（1）f（x）是一个函数，可以精确模拟RV x的DF形状/形式，或（2）RV x源自概率为πi，i=1,2，。。。，g、组件有标签。虽然参数估计不受解释的影响，但基本数学是。在参数估计期间，我们采用简化数学的解释。每个分量密度fi（x）可能取决于参数向量θi，并且let = （π，…，πg）′是分量概率的向量。当从f（x）中得出iid观测值时，例如xt，t=1,2，。。。，T、目标是估计参数θi，i=1,2，。。。，g和. 估计后，PDF已完全指定，可以使用。根据上述解释（2），组件具有含义。混合PDF模型通过组件串行关联数据。每个组件都被视为一个状态，每个时间t都有g个状态。如果我们假设观测xt+1仅依赖于先前的观测xt，并且状态之间转换的长期概率是平稳的，那么状态转换随时间演化为马尔可夫链（Hillier&Lieberman，2010）。

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2022-6-4 16:36:36

定义gxg矩阵{πij}i，j=1,2，。。。，g作为时间t+1时处于状态的条件概率，假设我们在时间t时处于状态i。源自混合PDF的序列相关数据除了θi和, 其中πiis现在被解释为在时间t处于状态i的无条件概率（在时间t=0时使用）（McLachlan&Peel，2000）。在金融/经济学中，混合PDF的g状态被称为制度，国家之间的依赖性随时间推移的过渡过程被称为制度转换（Hamilton，1989）。如上所述，上述解释（1）和（2）的基本数学不同。在解释（2）下，成分有标签，因此混合PDF中的观察结果可以看作成对出现（xt，zt），其中xt是实际值，zt是生成它的成分，t=1,2，。。。，T、通常用矢量代替ZTBY= {}, 对于t=1,2，。。。，T&j=1,2，。。。，g在组件槽中有1，在其他地方有0，例如，在时间t=1时组件=2可以表示为z=2或= （0,1,0，…，0）′（见图一）。图I.成分有标签时的混合物数据收集注：每个ztj=0或1，以及∑=1，对于t=1,2，。。。，T、此表示法适用于从属和独立数据。依赖数据的混合PDF被称为隐马尔可夫模型（HMM）（Rabiner&Juang，1986），因为状态向量通常无法观察到（它是隐藏的）。因此，HMM模型构建中的一个关键任务是确定哪个状态生成每个观察值，xt，t=1,2，。。。，T

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2022-6-4 16:36:41

根据解释（2），PDF包含RV Zt，观察如下, asf（xt，) = f（xt|)·p[Zt=] 或f（xt，zt1，…，ztg）=f（xt | zt1，…，ztg）·p[Zt=（zt1，…，ztg）\'），由下式得出：,,…,o,对于1.o,对于1.o,对于1.,Hamilton（1989）中的制度是时间序列模型。在本研究中，它们是PDF。（2.B.1）或者更紧凑地说：,,…,oo…ooo.例如，假设金融证券的N个收益率随时间观察到，并在某个总体平均值周围对称出现，不显示序列相关性，但确实包括黑天鹅事件，其频率高于正态或对数正态PDF下相应的尾部概率（Taleb，2010）。Tukey的污染正态PDF（Huber，2002）是此类回报的直观易处理PDF，它是两个均值相等但方差不等的正态的混合体。它可以用来加厚异常PDF的尾部。方差较大的密度产生异常值，概率较小。我们可以直观地将收益划分为两个集合，其中一个集合包含nnon异常值，另一个集合包含noutliers。正常PDF可以使用MLE拟合到每个集合，例如，将混合权重设置为πi=ni/N，i=1,2。如果X是代表这些收益的RV，那么X~f（X）=πf（X）+πf（X），其中fi（X）=N（μ，σi），i=1,2，σ>σ。在将所有参数替换为其估计值后，假设75%的回报来自于N（0.08,0.10）的“普通”PDF（非离群值），25%来自于N（0.08,0.30）的“灰天鹅”PDF（离群值），其中μ=0.08是总平均值，通过（见图二）。图二：。Tukey受污染的正常PDFBy标签组件示例我们正在使用解释（2）。

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可人4

2022-6-4 16:36:44

请注意，正常PDF的混合物通常不是正态分布，也不是对称的（这是一个例外）。注意不要将图II中的混合PDF误认为RV Z=0.75*X+0.25*X，其中X ~ N（0.08,0.10）和X ~ N（0.08,0.30），因为Z显然是正态分布的。实际上，g组分正态混合物可以模拟任何PDF和可分解的（McLachlan&Peel，2000）。例如，两条法线的混合可以非常接近观测到的异常值，称为灰天鹅事件。黑天鹅是以前从未发生过的极端事件。Taleb（2010）不鼓励在金融/经济学中使用普通PDF，并将对数普通PDF称为“糟糕的妥协”。Fama（1965）讨论了使用混合PDF来解释股价的非正态性，Taleb（2010）也在实践中使用混合PDF在正态PDF上添加一个重尾，作为对数正态PDF的替代。本特别程序仅供说明。在EM算法出现之前，这种方法很常见（见Johnson等人，1994）。正如将要看到的，混合PDF几乎总是使用EM算法或梯度程序进行校准。（2.B.2）对数正态PDF（Titterington等，1985）。最后，由于图II中的混合PDF没有模拟黑天鹅事件，因此可能会被视为不令人满意。一种解决方案是添加一个标记为“BlackSwan”的第三组分，例如N（0.08,0.50），概率很小，例如π=0.05，然后调整π和π，以便∑π= 1.C.中心极限定理（CLT）Let Xt~f（x），t=1,2，。。。，T、 E（Xt）=μ，V（Xt）=σ. 对于大T，∑十、~ N（Tμ，√Tσ）根据中心极限定理（Freund，1992）。换句话说，来自任何PDF的iid RVs之和f（x）近似为正态（表示为~) 对于大样本，经验法则是T≥ 不幸的是，这条规则并不总是适用于混合PDF。

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2022-6-4 16:36:47

考虑f（x）=πf（x）+πf（x），其中π=（1-10-5）和π=10-5，并设f（x）=N（0,1）和f（x）=N（10,1）。如果X~f（X），则μ=E（X）=10和σ=五、十、 3.16E（摘自§II.B）。在距离f（x）T=30的IID样本中，我们不太可能从f（x）中得出观察结果∑十、~ N（0，√)违反CLT，确保∑十、~ N（30·10，√·3.16E）。该样本由f（x）和∑十、= 6.77所有观测值均来自f（x）。该值在CLT PDFmean的σ范围内，因此是一个有效值。重复该过程9次，应从CLT PDF中生成大小为N=10的iid样本。但并非如此，因为所有10个值均<CLT PDF平均值。因此，当从混合PDF调用RVs上的CLT时，建议谨慎。例如，设rd~f（r）为标准普尔500指数每日实际回报率的RV，d=1,2，。。。，D、其中D=#个交易日/年。1月1日投入的B美元将增至E美元$Bo∏1.r12月31日，以实际美元计价。年度实际复利回报率为=∏1.r和ln（A）=∑自然对数1.r, 这就是~ 当rdare iid（D）为>> 30). 根据定义，RV Y=e= 那么A就是~ 对数正态分布，使得年度真实标准普尔500指数的历史集合返回对数正态分布随机样本。该假设通过Anderson-Darling检验进行了检验和否定（Rook&Kerman，2015）。一种解释是，每日回报并非独立的，这一说法得到了短期指数回报学术研究的支持（Baltussen等人，2016）。另一个原因是，日收益率的分布不完全相同，或者日收益率来源于一个混合PDF，其中D的大小不足以达到CLT近似值。D、未来观测的密度在某些假设下，可以在观测之前导出未来值的PDF。

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2022-6-4 16:36:50

让Xt~N（μ，σ）是t=1,2，…，时金融证券的复合收益，。。。，T+1（μ和σ未知）。假设XT是观察到的XT值，对于t=1,2，。。。，T、 XT+1表示未观察到的下一个值。请注意，X~这种方法被考虑用于退休计划的压力测试。全样本（N=10）：6.77、11.71、3.04、-6.75、5.65、-0.49、-3.53、4.58、7.95、5.55（平均值=3.45，标准偏差=5.56）。每日（实际）复合回报率可近似为1+rd=（1+rd）/1.我, 式中，Rdi是按（终值-起始值）/起始值计算的总日回报率，I是年通货膨胀率。虽然短期（即每日）指数回报率历史上表现出正的序列相关性，但Baltussen等人（2016年）认为指数产品的普遍性可能消除了信号，甚至将其变为负值。N（μ，σ/√T），其中X∑十、是样本平均值和（T-1）S/σ~ , 其中S=∑十、十、是样本方差，并且是具有T-1自由度的卡方RV。已确定X和Sare独立RVs（Ross，2009）。自X起和X也是独立的，X十、~ N（0，σ1.1吨）和十、十、)/σ1.1/T~N（0,1）。因此（2.D.1）具有形式N（0,1）//T1. 它遵循T-1自由度的学生st分布（Ross，2009），表示为T:十、十、σ1.TSσ十、十、σ1.T*σS十、十、S1.T~T.因此，X~十、S1.1/TT, 或者，未来的观察将以样本平均值为中心的缩放学生TDI分布PDF。在模拟研究中，这将是评估财务计划的首选PDF。如果我们可以从正态分布进行模拟，那么从学生t-1自由度的t分布进行模拟是非常正确的。

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2022-6-4 16:36:53

首先，为分子生成N（0,1）个随机值，然后生成、平方和T-1个额外的N（0,1）值来构造分母的随机值。最后，使用aT定义中的比率上述RV（Law&Kelton，2000）。未来值的PDF为可通过区分CDF得出（见§II.A）。未来观测的CDF XT+1为F = P（XT+1≤ x） =PT十、/S1.1/T, 吉文比（Freund，1992）：FT十、S1.TΓTT1.ΓT1./1.T1.,式中，Γ（·）是伽马函数。最后，未来观测的PDF XT+1 FT十、/S1.1/T 使用§II导出。A和链式规则为：ΓTT1.ΓT1.1.十、S1.1/TT1.S1.T,对于∞x个∞.未来值X的PDF, …,十、可以类似地导出。假设独立，N个未来值的多变量PDF是单变量PDF的乘积。注意，该技术只是描述了X的分布Shere不是近似值（即不涉及CLT），因此对任何样本量T都有效。正态分子和卡方分母必须是独立的RVs。如果X，X。。。，Xn公司~N（0,1），然后∑十、~ , （Ross，2009）。（2.D.1）（2.D.2）（2.D.3）当添加第二个资产时。让Xt~N（μx，σ) 和Yt~N（μy，σ) 在t=1,2，…，时，两种不相关金融证券的复合收益，。。。，T+1。兴趣在于使用这些证券对多样化投资组合的未来未观测值进行建模，例如，RT+1=αXT+1+（1-α）YT+1，其中0 α 1.

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2022-6-4 16:36:56

因此α（XT+1-X) + （1-α）（YT+1-Y) ~ N（0，1.1/Tασ1.ασ ), 因此：α十、十、1.αYY1.Tασ1.ασ~N0,1.与1资产一样，假设一个数量Q（σx，σy）的存在使得它的函数和（2.D.4）有一个已知的PDF，它不是（σx，σy）的函数，并且可以用（2.D.4）的分子来求解。这将为Behren’s-Fisher问题提供解决方案，这是统计学中一个著名的未解决问题（Casella&Berger，1990）。E、最大似然（ML）估计集Xt~f（x，θ），t=1,2，。。。，T、为连续RVs，Xt为Xt的观察值。xtis f（xt，θ）的可能性，即观察值的PDF。向量θ包含未知参数，如θ=（μ，σ）′，其中E（Xt）=μ，V（Xt）=σ。似然值不是概率，可以大于1，但是，它是一个类似的度量，因为可能性越高的值越有可能被观察到。似然函数，（·），PDF是否写为θ的函数，即。，（θ| xt）=f（xt，θ）。将其扩展到整个样本=（X，…，XT）′在X=（X，…，XT）′处计算的值为f(,θ） =f（x，…，xT，θ），可写为(θ|) =（θ| x，…，xT），整个样本的可能性。θ的一个吸引人的估计是(θ|) 及其值，表示为, 被称为最大似然估计（MLE）。由于自然对数函数在增加，最大化(θ|) 和ln((θ|)) 都是等价的问题，后者往往更容易处理。如果RVs XT是独立的，t=1,2，。。。，T、那么(θ|) = f（x，...,xT，θ）=∏,, andln公司((θ|))=∑自然对数,. 极大似然估计具有许多理想的统计性质，如一致性、有效性、渐近正态性和不变性（对函数变换），因此通常被认为是参数估计的金标准。

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2022-6-4 16:36:58

然而，这些质量取决于是否满足某些规律性条件（Hogg等人，2005），见§II。G、因此，在统计学中寻找参数估计值进入了专门研究约束优化技术的工程学科的视野，见§II。K、源自g组分混合物PDF的iid样品的相似性函数取决于解释，见§II。B、让(1)(θ|) = f级(,θ）以及(2)(θ|,,…,) = f级(,,…,,θ）是θ的可能性=(,θ,θ, ...,θg）分别在解释（1）和（2）下。然后，Behren’s-Fisher问题在两个方差不相等（未知）的正态总体中检验等均值。LetX，。。。，Xn公司~N（μx，σ) 和Y，。。。，Yn公司~N（μy，σy）为独立样本。在Ho下：μx=μy，十、Y/σn/σn/~ N（0,1）。AQ（σ,σ) 要使此T或任何其他完全指定的PDF未知。（2.D.4）|,···,,→自然对数|自然对数,···,自然对数,,使用（2.B.2），|,,…,,o…o,,→自然对数|,,…,zo自然对数自然对数,.目标是收集数据，并最大化（2.E.2）或（2.E.4）中关于,获取MLE. 不幸的是，（2.E.4）中解释（2）的对数可能性无法直接最大化，因为缺少成分指标RVs Zt=（zt1，zt2，…，ztg）\'（即，不可见）。可以直接最大化（2.E.2）中解释（1）的对数似然，但由于各种原因，该函数不令人满意。例如，它可以有多个局部极大值，因此找到固定点并不能保证极大似然估计具有所需的性质。

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2022-6-4 16:37:01

对于普通组件，它也是无界的，因此可以赋予任何值, 无论多大，我们总能找到这样ln((1)(θ|)) > , 见附录A。当最大化正常组分的混合对数可能性时，我们将限制以下参数空间：到一个区域((1)(θ|)) 是有限的，搜索所有局部极大值，声明作为argmax。为了限制g组分混合物PDF的参数空间，让σ为成分i的方差，i=1，。。。，g、方差比约束为max（σ)/最小值（σ < C、其中C是给定常数（McLachlan&Peel，2000）。对于C，一个好的选择将消除虚假的最大化器，这些最大化器是最佳值，缺乏有意义的解释，并且当一个组件适合一小部分观测值时可能会出现。F、期望最大化（EM）算法一些研究人员在缺失数据的研究中使用了两步过程来获得最大似然估计。这一过程被观察到具有许多有趣的性质，并通过Dempster等人（1977）的证明和分析正式化，成为有史以来最有影响力的统计论文之一。该过程称为期望最大化（EM）算法，生成的最大似然估计如下：Let（Xt，Yt）~f（xt，yt，θ），假设观察到Xtis为Xtis，但缺少Ytis，对于t=1，。。。，T、当（Xt，Yt）是iid超时时=（X，…，XT）′和=（Y，…，YT）′是f(,y、 θ）=∏,,.根据θ，当Ytis连续时，可通过对f（xt，yt，θ）的ytout进行积分，或当Ytis离散时，可通过对其求和，获得xtm的边际功率密度，见§II。A、即f（xt，θ）=,,或f（xt，θ）=∑,,对于t=1，。。。，T、然后，EM算法不需要iid观测，也可以用于估计HMM模型中的参数（参见§II.B）。（2.E.1）（2.E.2）（2.E.3）（2.E.4）f(,θ) =∏,.

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2022-6-4 16:37:04

这导致θ有两个似然函数，一个包含缺失数据，另一个不包含缺失数据，即：。，(θ|,y） =f(,y、 θ）和(θ|) = f级(,θ). EM算法计算, θ的最大似然估计为：开始：初始化至起始值.E-Step：计算EY自然对数|,. 使用只有在实现预期时，才执行Y.M步骤：最大化自然对数|,关于. 使用转到E-Step=在期望中。结束：终止时间(|) 停止增加（使用%-更改低于某个阈值）。E步替换缺失的yt，t=1，。。。，T、由于采用期望值和M-STEP，因此只有未知的的价值(θ|) 迭代时不会减少，并将在最接近的起始值的局部最大值处结束, 鉴于(θ|) 在该区域内有界。如果(θ|) 有多个局部最大值我们使用多种启动价值观和价值观作为argmax。该值将显示§II中所述的理想质量。E（McLachlan&Peel，2000年）。EM算法可用于查找各种模型的最大似然估计。诀窍是重新制定格式，使一些RVs出现缺失。混合PDF的应用非常简单。根据解释（2），组件指示器RVs Zt=（zt1，…，ztg）′缺失（见§II.B，§II.E）。（2.B.2）中给出了xt和Zt的多元PDF，以及相应的xt的边缘f（xt，θ）=∑,,…,∑oo…oo,···,, 这是口译（1）中使用的PDF，请参见（2.E.1）。（Ztare离散型。）包含缺失数据RVs的g组分混合物PDF中iid样本（x，…，xT）的似然函数为|,,…,根据（2.E.3），相应的无缺失数据的可能性为|来自（2.E.1）。EM算法E-Step使用EZ自然对数|,,…,取代了按其预期值。

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2022-6-4 16:37:08

请注意|,,…,是线性的=（zt1，…，ztg）\'（见2.E.4），因此：E自然对数|,,…,Ezo自然对数自然对数,,式中，E（zti）=E（zti|,), i、例如，使用所有可用的非缺失数据以及当前设置计算=(,θ, ..., θg）。由于ztiis是一个离散RV，当Xt源自分量i时等于1，否则为0，E（zti|,) = 1·P[zti=1|,] + 0·P[zti=0|,] = P[zti=1|,], 即：Ez|,P1|,1.,,,|1.oP1.,,,,对于t=1，。。。，T和i=1，。。。，g、何时如果给定，则该值完全已知，并替换（2.F.1）中的E（zti）。结果函数未知在M-Step中优化。的初始值可以使用模拟随机设置（McLachlan&Peel，2000）和(1)(θ|) 可能有许多局部最优解，策略是将EM算法应用于各种启动值并选择作为argmax。（2.F.1）（2.F.2）G.正则性条件统计测试、模型和定理建立在一系列假设的基础上，在统计推断中，这些假设被称为正则性条件。Hogg等人（2005年）附录A描述了9个这样的条件，通常情况下，给定的结果只需要满足一个子集。1stregularitycondition适用于PDF并处理唯一性，即PDF f（·），如果θ 那么f（x，θ） f（x，). 这一条件显然适用于N（μ，σ）PDF，因为改变均值或方差会改变分布。然而，考虑混合物PDF f（x，θ）=πf（x）+πf（x），其中fi（x）~ N（μi，σi），i=1,2。未知参数的向量为θ=（π，μ，σ，π，μ，σ）′。定义=（π，μ，σ，π，μ，σ）′，注意θ 但f（x，θ）=f（x，) 违反规则性条件#1。

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2022-6-4 16:37:10

一般来说，混合PDF不满足所有规律性条件，建议在使用需要它们的结果时小心。H、似然比检验（LRT）Let（x，θ）是任意统计模型，并且（x，θR）是同一个模型，其中包含一些参数。例如（x，θ）可以是一个线性回归模型，θ保持系数和（x，θR）是排除某些预测变量的相应简化模型。简约原则倾向于参数较少的统计模型，似然比检验（LRT）检查完整模型的似然值与简化模型的似然值之间的显著差异。如果可能性没有显著差异，则简化模型具有较少参数的（x，θR）是首选。LRT测试可能性的等效性，即Ho：(|x） =(|x） vs Ha：(|x） <(|x），其中和分别是θ和θR的theMLEs。检验统计量由（Hogg等人，2005）给出：λ2ln||请注意(|x） (|x）由于向模型中添加参数不会降低其可能性，并且在Hot下，由于ln（1）=0，检验统计量λ接近于零。什么时候(|x）>> , λ取一个较大的正值，因此当λ>C时，对于一些临界值C，HOI被拒绝。在Hoand select正则条件下（包括第一个，见§II.G），λ~ , 式中，v是从θ中删除以创建θR的参数数。Howith I类错误概率α的测试将定义C，以便P[C] =α，I类错误表示为真时Hoisrejected。我们有兴趣使用LRT测试混合物中的最佳成分，但λ不是因此，违反了适用的规则性条件。McLachlan（1987）建议使用自举近似λ的零分布。

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2022-6-4 16:37:14

假设检验为：Ho：数据向量源于g组分混合物PDF，例如f（x，θ）vs.Ha：数据向量源于（g+k）-组分混合物PDF，如f（x），)据Howe估计作为f（x，), 哪里是θ的最大似然估计，在Hawe估计下为PDF asf（x，), 哪里是的MLE. 使用这些PDF的（2.H.1）对应似然函数计算（2.H.1）中的检验统计量λ值。如果我们隐式假设f（x，) 生成我们的样本向量, 通过从f（x，) 并使用最大似然估计拟合g分量和（g+k）分量混合PDF。样本大小应与我们的数据向量相同. 重复此过程K次将模拟值λ。。。，λKwhichestimateλ在HO下的分布，本试验的p值近似为λj的（#）≥ λ） /K.I.方差协方差矩阵let = （X，X，…，XN）’是给定时间点N项金融资产复合回报的RVs。如果V（Xi）=σ, Cov（Xi，Xj）=σ, 和Corr（Xi，Xj）=σ/σσ=ρ是i的方差、协方差和相关性，j=1,2，。。。，N然后V()=E类[( - E类())( - E类())′] 是的方差-协方差（VC）矩阵, 写为：Vσσ…σσσ…σσσ…σσρσσ…ρσσρσσσ…ρσσρσσρσσ…σ对角线是方差σoff对角线是协方差σ=ρσσ. 请注意，V() issquareand symmetric使V()=五()′, 但并不是每个平方对称矩阵都是VC矩阵。为了符合要求，所有方差和相关性必须满足σ> 0和-1<ρ< 1、这些值还必须具有统计意义，例如以下值不具有统计意义：ρ0.95, ρ0.95和ρ-0.95.

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2022-6-4 16:37:18

X与X和X的强正相关，X和X也应具有强正相关。结果表明，如果一个平方对称矩阵是正定（+正定）的，则满足它成为有效VC矩阵的所有条件，即，五、 > 0表示任何常量向量=（a，a，…，aN）≠ （Wothke，1993）。自V起() = 五、, 该条件仅表示RVs Xi的任何非零线性组合，i=1,2，。。。，N是方差>0的RV。如果所有特征值都大于0，则矩阵是+定的。V的特征值() 常数λIthatsemit | V() - λi| = 0，i=1,2，。。。，N（Meyer，2000）。自V起() - λi 行列式=0时，方程（V）为单数() - λi)·用户界面= 可以通过ui解决, 因此λi和u成对出现。uiwithlength=1被称为λi的特征向量。请注意，V()·ui=λiui所以ui′V()ui=λiui′ui=λi，这解释了为什么V的每个λi必须大于0() 明确（否则Z=ui′） V（Z）<0）。注意，矩阵的定数是其特征值的乘积| V()|=∏λ, 由于每个λi>0，| V()|>0确保V()-1存在（Guttman，1982）。具有行列式的矩阵因此，0不能是+确定的。此外，ρ的相关性=1（或ρ=-1）在VC矩阵中不允许。如果两个RVs Xiand Xjare完全相关，我们可以质疑为什么需要这两个RVs，但超出了V() 不能为+确定。设置ai=1，aj=-σi/σJan，并在中分配元素=（a，…，aN）′到0，注意V（Z）=五、a=0，其中Z=, 因为V（Z）=1σ+（σi/σj）σ– 2（σi/σj）ρσσ= 2σ- 2ρσ= 0，带ρ=1.（ρ时=-1使用常数ai=1和aj=σi/σj.）（2.i.1）i.1修复损坏的VC矩阵一个不确定的VC矩阵被称为损坏，可能由于各种原因发生，包括丢失数据、特殊估计程序和迭代优化方法。

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2022-6-4 16:37:21

如果遇到错误，我们可以用错误结束分析，或者修复损坏的VC矩阵并继续。我们采用后一种方法进行屋脊修复（Wothke，1993）。将屋脊添加到V() 将对角线乘以常数Tk>1。从K=1+ε开始，增加ε，直到修改后的矩阵，如VR() 带对角线Kσ, 是+确定的。然后将整个矩阵除以K，将对角线还原为σ并强制协方差ρ/Kσσ, 当K增加时，接近0（以及相关性）（元素大于0的对角矩阵是+确定的）。缩放矩阵将是+确定的，因为1/K五、> 0时五、> 0，K>0。一、 VC MatricesLet的2个有用导数t=（X1t，…，XNt）是N项金融资产在t=1，…，时的复合收益，。。。，T其中t型~f（xt，θ）~N（μ，V()), θ=（μ，V()), μ=（μ，…，μN）′，μi=E（Xit）。V中的术语() （2.I.1）中的未知参数可在收集数据后估算为最大似然估计（见§II.E）。MLEs最大化（θ| x，…，xT），这是数据的多变量PDF。多元正态PDFtis（Guttman，1982）：,,,五、2./|五、|/e’,∈整个iid RV样本的多变量PDF(, ...T）是：,…,,,…,,,五、2./|五、|/e’未知参数θ=（μ，V）的对数似然函数()) 由：ln给出,五、|,…,ToNln公司2.To自然对数|五、|’五、θ=（μ，V）的最大似然估计()) 通过最大化（2.I.4）wrtθ找到。

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2022-6-4 16:37:24

临界点是1stderivatives的向量等于这将揭示最大值，或者可以使用梯度法（gradientmethod）迭代找到，也可以要求上述导数。设Aijbe为NxN矩阵，i-j和j-i位置为1，所有其他位置为a0，并设Vij() 是（2.I.1）中的VC矩阵，在I-j和j-I位置处为0。接下来就是V= σ五、和五、. 根据定义，V五、, 因此五、五、并通过产品规则V五、五、五、= 0以便五、五、五、（塞尔等人，1992年）。表示σ=σ上述内容适用于所有元素。V的行列式可以用关于第i行的余因子展开表示，i=1，。。。，N、 as（Meyer，2000）：如§II所述。一、 1、迭代优化方法是破坏VC矩阵的来源，因为我们可能会进入不可行区域。（2.I.2）（2.I.3）（2.I.4）| V|σ|五、|∑1.σ五、,对于我1，…，N，其中Vij是V移除第i行和第j列后|五、||五、|.允许={aij}是一个矩阵，aij=aij（t）。行列式是aij的一个函数||一,…,一,…,一,…,一. 通过Chainrule（NN尺寸），||∑∑ot型（Anton，1988）。如果=五、和t=σ, 我≠j、那么|五、||五、||五、|, aij=aji=aij（σ)=aji（σ)=σ. 使用（2.I.5），|五、|1.五、和|五、|1.五、. 自V起对称，V′=五、, 因此五、=五、′=五、andfor i公司≠j|五、|2.1.五、2.五、, 其中V是Vi-j位置为1，分配符i行和j列位置为0（Searle等人，1992）。J、串行相关LETXT，t=1，。。。，T是T时金融资产复合收益的RVs。

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2022-6-4 16:37:28

如果无条件平均值和方差是常数，则E（Xt）=μ，V（Xt）=σ t、分别为。当σij=Cov（Xi，Xj）时≠ 0表示i≠j、收益是串行相关的，不能假定为iid。序列相关数据使用atime序列模型建模，如自回归（AR）或移动平均（MA）过程。orderp的AR模型为Zt=ДZt-1+…+νpZt-p+εt，q阶MA模型为Zt=εt–θεt-1–…–θqεt-q，其中Zt=Xt–μ和εt~N0,σ t（Box等人，1994年）。自回归滑动平均（ARMA）模型包含AR（p）和MA（q）项。数据集的适当模型由自相关（ACF）和偏自相关（PACF）函数的签名确定。滞后k时的ACF为ρt，t-k=Corr（Xt，Xt-k），滞后k时的PACF为考虑所有滞后<k相关性后剩余的相关性，即在AR（p）模型中。经典AR（p）信号的PACF突然被切断，ACF在滞后p后衰减，1STPATCFB>0。经典的MA（q）信号使ACF突然切断，但PACF在滞后q后衰减，1stPACF<0。其中一种模式经常出现（可能在对数或幂变换之后），通常是max（p，q）≤ 3（Nau，2014）。具有固定μ、σ和σ的级数据说是静止的。一个随时间向上或向下漂移的时间序列有一个趋势，并且不是固定的，因为E（Xt）不是固定的。非平稳序列通常可以通过差分使其保持平稳（Box等人，1994）。通常1或2个差值就足够了，其中Dt=Zt–Zt-1对于t=2，。。。，T和Dt=Dt–Dt-1对于T=3，。。。，T是第一和第二个差异。当Dt~AR（0）时，Zt=Zt-1+ε称为随机游动（RW）。RW中的每个观测值是先验值加上由εt控制的随机步。

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2022-6-4 16:37:31

趋势差分的另一种方法是拟合带有时间的回归作为预测值，然后对平稳残差进行建模。将倒车档操作员B定义为BkZt=Zt kso，AR（p）模型可以写为Zt=ДBZt+…+ДpBpZt+εtorД（B）Zt=εt，其中Д（B）=（1-ДB-…-ДpBp）是特征符号V是我们的，因为只处理NxN矩阵简化了代码。一种新的NxN矩阵V将在服用第2种防腐剂时引入（§V.A.2），即Vr-s位置为1，所有其他行r和列s位置为0。（2.I.5）多项式。如果Д（B）的所有根在量级上大于1，则AR（p）过程是平稳的（Box，et al.，1994）。由于E（Zt）=0，TheMA（q）模型在设计上是平稳的→ E（Xt）=μ，σ=V（Zt）=σ（1+θ+…+θq），σt，t-k=Cov（Zt，Zt-k）=σθ∑θθ 是k的固定μ、σ和σt、t-kf≤ q、协方差是使用模型定义为σt，t-k=Cov（-θkεt-k，εt-k）+Cov（θk+1εt-（k+1），θεt-（k+1））+…+Cov（θqεt-q，θq-kεt-q）=-θkV（εt-k）+θk+1θV（εt-（k+1））+…+k的θqθq-kV（εt-q）≤ k>q时为q和0。相关性为ρt，t-k=Corr（Zt，Zt-k）=σt，t-k/σ=θ∑θθ/1.∑θ.考虑AR（1）过程，Zt=ДZt-1+εt。由于Zt-1=ДZt-2+εt-1和Zt-2=ДZt-3+εt-2，每个中心观测可重写为Zt=Д（Д（ДZt-3+εt-2）+εt-1）+εt=ДZt-3+Дεεt-2+Дεt-1+εt，并在外重复∞Zt公司-∞+∑φε. 因此，AR（1）模型仅在|Д|时有效≤ 1，否则^1∞Zt公司-∞为无穷大，未定义E（Zt）、V（Zt）。此外，如果|Д|<1，则∞Zt公司-∞→ 0和AR（1）型号isZt的替代形式=∑φε, E（Zt）=0，E（Xt）=μ。AR（1）模型具有特征多项式Д（B）=（1-ДB），根B=1/Д，因此当| 1/Д|>1或|Д|<1时是静止的，证明了固定E（Zt）和V（Zt）的条件。

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2022-6-4 16:37:35

给定所有先前观测值，新观测值Xt的条件方差为V（Xt | Xt-1，Xt-2，…）=V（Zt | Zt-1，Zt-2，…）=V（εt）=σ, 根据AR（1）模型的定义。使用替代AR（1）模型形式，每个Xt的无条件方差（给定|Д|<1）为σ=V（Zt）=∑φ五、ε= σ∑φ= σ/1.φ.AR（1）模型并不意味着每个新值Xt仅取决于先前的值Xt-1。事实上，它假设Xt与所有先前观测值Xt-1、Xt-2……之间存在非零相关性。。。，这就是为什么在实践中很少需要p>3的原因。要了解这一点，请使用AR（1）替代形式，并注意σt，t-k=Cov（Zt，Zt-k）=Cov（Дkεt-k，εt-k）+Cov（Дk+1εt-（k+1），Дεt-（k+1））+…=ДKV（εt-k）+Дk+2V（εt-（k+1））+…=σ（ДK+ДK+2+…）=σ自ε皮重iid起，单位为ДK/（1-Д）。相隔k个时间点的值之间的相关性为Corr（Xt，Xt-k）=Cov（Xt，Xt-k）/五、十、五、十、=^1K（K的指数下降）。RW是具有单位根的AR（1）模型，即φ=1，具有交替形式Zt=Zt-k+∑ε. 无条件方差为V（Zt）=V（Zt-k）+kσ由于V（Zt）>V（Zt-k），RW不是静止的（V（Zt）→ ∞ 作为t→ ∞). AR（1）模型中的参数可以通过最小二乘法（调整以考虑序列相关性）、最大似然法或Yule-Walker方程（矩量法）进行估计（Box，et al.，1994）。观察样本的似然函数是数据的多元PDF，写为参数Д和σ的函数. 使用Zt，这是来自（2.I.4）的可能性，μ=0，V()=σ/1.φ VC矩阵是否具有对角线=1，且i-j偏离对角线Д| j-i |表示i≠ j、如果| E（Zt+k | Zt，Zt-1，…）|时，时间序列平均值恢复→ 0和V（Zt+k）<∞ 作为k→∞. 换句话说，未来中心值Zt+k来自一个具有固定σ和μ的PDF→ 当k增加时为0。

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2022-6-4 16:37:37

因此，平稳时间序列因其E（Zt）=0和固定V（Zt）而均值回复，但RWs没有。平均回复强度通过速度或半衰期来衡量。这是E所需的k（Zt+k | Zt，Zt-1，…）=zt/2，即过程的条件均值s=Д+Д+Д+…，之前的时间。。。，因此，ДS=Д+Д+Д。。。，和SДS=Д，导致S=Д/（1-Д）=1/（1-Д），iff |Д|<1，否则S=∞.等于上次观测值Zt=Zt的 1/2 。在AR（1）工艺中，Zt+k=ДkZt+∑φε因此，E（Zt+k | Zt=Zt）=Дkzt，半衰期为k，使得Дkzt=Zt/2，或k=ln（0.5）/ln（|Д|）（Tsay，2011）。因此，平均回复速度增强为^1→0，并减弱为|Д|→1，这是直观的，因为ν是应用于前一个值的阻尼系数。最快的均值回复AR（1）过程的φ=0，这是一个没有序列相关性的随机样本。k=0的半衰期意味着该过程生成Zt=Zt，然后立即恢复为平均值0，有限σPDF。As^1→1 AR（1）工艺接近半衰期为k的RW=∞, 并不意味着恢复。因此，AR（1）过程随着序列相关性的增强，均值回复减弱，反之亦然。由于均值回归增强（即，ν→0）新值越来越依赖于平均值，但资产相关性增强（即|Д|→1）新值越来越依赖于以前的值。检索了18个时间序列的数据，并测试了序列相关性（见附录B表一）。结论是草案，并受相关诊断的影响（Box等人，1994年）。正确的显著性水平，α=P（I型错误），用于测试多个同时假设以控制家族错误率，α*=P(≥ 1 I类错误），如下所述。市场效率是默认值，每个测试的形式为Ho：无序列相关性vs.Ha：序列相关性。

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