（90）形式为：dXi=ξidt+dWi（t）+ζiJidNi（t），（91）相应的Kolmogorov向后算子的形式为l（N）f=NXi=1NXj=1ρijfXiXj+ξifXi（92）+Pπ∈π（N）λπYi∈πJif~十、-Pπ∈π（N）λπf~十、≡ρf+ξ·f+Jf- νf，其中j~十、=Pπ∈π（N）λπYi∈πJif~十、, （93）Jif~十、= iZXif（X，…，Xi）- jXN）e-ijdj，（94）和i=σiθi/σ。我们可以在正锥R（N）+中建立一个典型的定价方程。我们有电视t、 ~X个+ L（N）Vt、 ~X个= χt、 ~X个, （95）Vt、 ~X0，k= φ0，kt、 ~是的, 五、t、 ~X个∞,k= φ∞,kt、 ~是的, （96）VT、 ~X个= ψ~十、, （97）其中~X，~X0，k，~X∞,k、 ~Ykare N和N- 一维向量，~ X=（X，…，xk，…，xN），~ X0，k=x、 。。。，0k。。。xN公司,~十、∞,k级=x、 。。。，∞kxN公司,~Yk=（x，…xk-1，xk+1。。。xN）。（98）此处χt、 ~X个, φ0，k（t，~ y），φ∞,k（t，~ y），ψ~十、是已知的函数，是合同规定的。例如，联合生存概率Qt、 ~X个wehaveχt、 ~X个= 0，φ0，kt、 ~是的= φ∞,kt、 ~是的= 0, ψ~十、= 1至X∈D（1，…，1）。（99）对应的伴随算子isL（N）+g~十、=ρg- ξ · g+J+g- νg，（100），其中j+g~十、=Pπ∈π（N）λπYi∈πJ+ig~十、, （101）J+ig~十、= iZ∞g（X，…，Xi+j，…，xN）e-ijdj，（102）很容易检查Zr（N）+hJif~十、g级~十、- f~十、J+ig~十、id~X=0。（103）我们通过引入格林函数G来求解方程（95）-（97）t、 ~X个, 或者更明确地说，Gt、 ~ x；0，~ X, 因此tG（t，~ x）- L（N）+G（t，~ x）=0，（104）Gt、 ^X（k）= 0，克t、 ^X（k）∞= 0，（105）克0，~ X= δ~十、-~十、. （106）很明显，（V G）t+LV G- V L+G=χG.（107）一些相对简单的代数产生（V G）t+ ·~F（V，G）+ 合资公司G- V J+G=χG，（108），其中~ F=（F，…，Fi，…FN）（109）=F（1）。。。，F（1）i。。。F（1）N+F（2）。。。，F（2）i。。。F（2）N≡~F（1）+~ F（2），F（1）i=VXiG+ξiV G+Xj<iρijVXjG、 F（2）i=-V GXi- 五、Xj>iρijGXj.格林定理yieldsV0，~ X=ZR（N）+ψ~十、GT、 ~X个d~X（110）+XkZTdtZR（N-1） +φ0，kt、 ~是的gK公司t、 ~是的d ~ Y-ZTZR（N）+χt、 ~X个Gt、 ~X个dtd~X，其中gkt、 ~是的=GXk公司t、 X。。。，0k。。。，XN公司.

（111）因此，为了解决具有非均匀右侧和边界条件的反向定价问题，可以有效地解决具有均匀右侧和边界条件的格林函数的正向传播问题。特别是对于联合生存概率，我们有0，~ X=Z~X∈D（1，…，1）GT、 ~X个dX。。。dXN。（112）同样，对于第一家银行的边际生存概率，我们有0，~ X=Z~X∈D（0，…，1）克T、 ~X个d~X（113）+XkZTdtZR（N-1） +Qt、 ~是的gK公司t、 ~是的是的。7银行资产负债表优化本节旨在提高我们模型的粒度。让我们回顾一下，首先我们将简单经济视为一个整体，并假设它是由对商品和货币的随机需求驱动的，并描述了相应的货币回路。在这个框架中，实物和货币被统一对待。接下来，我们进入了更细粒度的层次，描述了一个由相互关联的银行组成的系统，这些银行通过适应外部对货币需求的变化来创造货币。现在，我们已经达到了我们理论的最精细的层次，并考虑单个银行。我们强调，本文所描述的MMC理论是一种自上而下的理论。然而，一旦从整体经济的主要一致性模式追溯到单个银行的水平，对银行盈利能力和风险管理的影响就很难估计。许多论文和专著涉及银行资产负债表优化问题的各个方面。这里我们只提几个。Kusy和Ziemba（1986）开发了一个多周期随机线性规划模型，用于解决小型银行资产负债管理（ALM）问题。dos Reisand Martins（2001）开发了一个优化模型，并使用该模型选择资产和负债的最佳类别，以形成一个可盈利且稳健的银行的资产负债表。

在一系列论文中，Petersen和合著者通过随机最优控制分析银行管理，并提出最优投资组合选择和银行资本流动率，以保持贷款水平接近精算确定的参考过程，参见Mukuddem Petersen和Petersen（2006）。Dempster等人（2009）展示了如何使用动态随机规划在长时间范围内执行最优动态ALM；他们的想法可以扩展到银行资产负债表优化。Birge和Judice（2013）提出了一个动态模型，该模型包含了银行资产负债表中的主要风险，并使用该模型模拟了给定清算策略的银行资产负债表随时间的变化，并从内部确定了最佳银行ALM策略。Halaj（2012）提出了一个银行资产负债表优化结构模型，该模型结合了银行在压力情景下的战略和优化行为。Astic和Tourin（2013）提出了一个金融机构投资流动资产和非流动资产的结构模型，并使用随机控制技术推导出价值函数满足的变分不等式，计算资产的最优配置。Selyutin和Rudenko（2013）基于贷款和存款动力学的运输方程，开发了一种新的ALM问题方法。为了补充现有文献，我们通过对各种经济情景下的财务和风险指标进行数学分析，制定了一个优化企业业务组合的框架，总体目标是最大化风险调整后的回报，同时保持在各种限制条件下。

监管对银行业施加了多种资本要求和限制（如B3S和B3A资本比率、杠杆比率、流动性覆盖率等）。单个银行资产负债表优化的经济目标是选择贷款、存款、投资、债务和资本水平，以满足巴塞尔协议III的规定，同时最大限度地增加股东的现金流。资产负债表优化归结为解决一个非常复杂的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼问题。优化问题可以用两种方式来表述：（a）优化现金流，而不使用风险偏好效用函数，或者等效地，与损失概率和收益概率无关；（b） 在优化问题中引入一个效用函数，并按照默顿最优消费问题的精神进行求解。虽然通常，资产负债表优化必须通过数值进行，但有时，根据所选的效用函数，可以获得半解析解。7.1符号和主要变量请让我们介绍键符号。出于必要，我们必须重用以前使用的一些符号；我们希望这不会让读者感到困惑。流动性递增顺序中的银行资产有formXπk、到期未偿还贷款和质量p、I、股票和债券投资、C、现金。我们假设T<…<Tk<…<TK，且p=1。。。，P贷款质量由各种因素决定，如借款人的评级、抵押等。银行的负债按粘性的递增顺序依次为D、存款、Yql、到期的未偿债务T和质量q、E、权益（或资本）。我们假设T<…<Tl<…<TL，q=1。。。，Q

借款的质量取决于各种因素，如资历、抵押等。资产和负债具有以下性质：（a）贷款和债务的特点是其偿还/损失率λpk和uql，以及利率νpk和ξql；（b） 同样，对于存款，我们分别有利率α和β；（c） 最后，对于投资，相应的增长率是随机的，并且具有- ζ+σχ（t），其中r是预期增长率，ζ是股息率，σ是投资回报的波动率，χ（t）=dW（t）/dt是白噪声，或标准布朗运动的“导数”，因此di=（r- ζ） Idt+σIdW。（114）资产负债表平衡方程的形式为：Xk，pXpk+I+C=D+Xl，qYql+E。（115）为了简洁起见，我们省略了上下标，并将平衡方程改写如下：X+I+C- D- Y-E=0。（116）有几种控制和杠杆可用于确定银行的总体方向：（a）发放新贷款的利率φ（t）；（b） 获得新借款的利率ψ（t）；（c） 进行新投资的比率ω（t）；（d） 获得新矿床的速率π（t）；（e） 以股息或股票回购的形式向股东返还资金的比率δ（t）。如果δ（t）<0，则发行新股。当然，新股发行时不应支付股息。银行资产和负债的演变受以下方程式的制约：X（t）=-λX（t）+Φ（t），（117）I（t）=（r- ζ+σχ（t））I（t）+ω（t），C（t）=-X（t）+νX（t）+ζI（t）- ω（t）+D（t）- βD（t）+Y（t）- ξY（t）- δ（t）=（λ+ν）X（t）- Φ（t）+ζI（t）- ω（t）-（α+β）D（t）+π（t）- （u+ξ）Y（t）+ψ（t）- δ（t），and d（t）=-αD（t）+π（t），（118）Y（t）=-uY（t）+ψ（t），E（t）=νX（t）+I（t）+ζI（t）- ω（t）- βD（t）- ξY（t）- δ（t）=νX（t）+（r+σχ（t））I（t）- βD（t）- ξY（t）- δ（t）。

这里，为了方便起见，我们使用Φ（t）和ψ（t），而不是φ（t）和ψ（t），定义如下Φ（t）=φ（t）- e-λTφ（T- T），ψ（T）=ψ（T）- e-uTψ（T- T），（119）。在银行资产方面，未偿贷款与还款率成决定性的比例衰减，并因新发放的贷款减去偿还的旧贷款而增加。现有投资如等式（114）所示随机增长，并由新投资补充。现金余额的变化受到几个因素的影响。一方面，预付贷款、未偿贷款利息、投资股息、新存款和新贷款对现金余额有积极贡献。另一方面，新的投资、存款和借款支付的利息、提取的存款和贷款损失，以及作为股息和/或股份回购返还给股东的资金，导致银行现金头寸减少。在银行的负债方面，存款的衰减与取款率成决定性的比例，并随着新存款的到来而增加。未偿银行债务按其偿还率决定性地衰减，并因新借款减去已偿还的摊余旧债务而增加。与资产方面的现金变化类似，负债方面的资本（股本）变化也受到未偿贷款利息、随机回报投资（包括股息）的积极影响，受到存款利息、借款和支付给股东的股息的消极影响。微分变为x+I+C后的平衡方程（116）- D- Y- E=0。

（120）并通过等式（117）、（118）得到相同的满足，因为x+I+C- D- Y- E=X+I- X+νX+ζI- ω+D- βD+Y- ξY- δ-D- Y- νX- 我- ζI+ω+βD+ξY+δ=0。（121）7.2优化问题在某个终止时间T之前（含该时间）归属于普通股的现金流CF（T）由权益变动的折现预期值加上在某个特定时间段内返还给股东的资金的折现值确定。通过使用等式（118），CF（T）可计算如下：CF（T）=e-RTE{E（T）}- E（0）+RTe-Rtδ（t）dt=e-RTEnRTE（t）+e-R（t-T）δ（T）dto=e-RTEnRT（νX（t）+（r+σχ（t））I（t）-βD（t）- ξY（t）- δ（t）+e-R（t-T）δ（T）dt公司= e-RTRT（νX（t）+rJ（t）- βD（t）- ξY（t）+e-R（t-T）- 1.δ（t）dt。（122）这里R是贴现率，J（t）是投资I（t）的预期价值，股息再投资。J的确定性控制方程的形式为：J（t）=rJ（t）+ω（t）（123），因此，为了在最基本的层面上优化资产负债表，我们需要最大化CF（t），视为取决于φ（t）、ω（t）、π（t）、ψ（t）和δ（t）的函数：CF（t）→φ（t）、ω（t）、π（t）、ψ（t）、δ（t）max。（124）然而，该优化问题受制于各种监管约束，如资本、流动性、杠杆等，下面将明确描述其中一些约束。显然，这个问题有许多自由度，可以通过假设φ（t）、ω（t）、π（t）、ψ（t）、δ（t）与时间无关来减少自由度。7.3资本约束监管资本计算相当复杂。它们的基础是将银行投资组合的资产系统化和聚合到风险组中，并为每个组分配风险权重。

因此，为了确定风险加权资产（RWA），有必要将贷款和投资分类为持有至到期（HTM）、可供出售（AFS）或属于交易账簿（TB）。我们从HTM和AFS债券开始。我们可以使用标准模型（SM）或基于内部评级的模型（IRBM）。SM表示RWA，形式为：RW ASM=rwaSM·X，（125），其中权重为rwaSM=rwapSM，k是法规规定的，并且rwasm·X=Xk、prwapSM、kXpk。（126）或者，IRBM为RWA提供以下表达式：RW AIRBM=rwaIRBM·X，（127），其中权重为rwaIRBM=rwapIRBM，k由相对复杂的公式给出，为简洁起见，省略了这些公式。在这两种情况下，相应的监管资本由K（1）=κRW A.（128）分别需要额外的资本K（2）、K（3）、K（4）来覆盖交易对手、运营和市场风险，因此银行需要持有的资本总额由K=K（1）+K（2）+K（3）+K（4）给出。（129）很明显，银行要持续经营，必须满足以下不平等- K>0。（130）7.4流动性约束我们根据以下数量制定流动性约束：（a）所需稳定资金（RSF）RSF=rsfX·X+rsfI·I+0·C；（131）（b）可用稳定资金（ASF）ASF=asfD·D+asfY·Y+1·E。（132）此处rsfX=（rsfpk），rsfX·X=Xk，prsfpkXpk。（133）此外，我们还确定：（c）风格化的30天现金流出（CO）CO=coD·D+coY·Y+0·E；（134）（d）风格化的30天现金流入（CI）：CI=ciX·X+ciI·I+1·C。（135）此处的权重rsfX、rsfI、asfD、asfY、coD、coY、ciX、CIIAR由监管机构规定。为了符合巴塞尔协议III的要求，必须有：ASF>RSF，（136）CI>CO，（137）或同等，- rsf·X- rsfI·I+asfD·D+asf·Y+E>0，（138）ci·X+ciI·I+C-coD·D- co·Y>0。

（139）换言之，等式（138）和（139）表明，拥有大量股权、E和资本，C有利于银行的流动性状况（但不利于其收益！）。7.5数学公式：一般优化问题一般优化问题可以用由相应约束给定的多维域中定义的独立变量X、I、C、D、Y来表示。存在满足互补变分不等式的相邻域。相应的HJB方程为：maxφ、ω、π、ψ、δVt+σIVII+(-λX+Φ）VX+（r- ζ） IVI+（（λ+ν）X-Φ+ζI- ω-（α+β）D+π- （u+ξ）Y+ψ）VC+(-αD+π）VD+(-uY+ψ）VY- RY，1- VC公司= 0.（140）在T的极限内→ ∞ 问题简化为（但仍然非常复杂）：maxφ、ω、π、ψ、δσIVII+(-λX+Φ）VX+（r- ζ） IVI+（（λ+ν）X-Φ+ζI- ω-（α+β）D+π- （u+ξ）Y+ψ）VC+(-αD+π）VD+(-uY+ψ）VY- RY，1- VC公司= 0。（141）7.6数学公式：简化优化问题，而不是处理多个自变量X。。。，Y，我们集中于资本结构的股权部分，E，遵循有效演化方程：dE=（u- d） dt+σdW-JdN公司- JdN，（142）其中u是累积率，d是我们希望优化的股息率，σ是收益的波动率，W是布朗运动，N1,2是两个频率为λ1,2的独立泊松过程，J1,2是指数分布跳跃，Ji~ δiexp(-δij）。

选择具有两个独立泊松驱动因素的跳跃扩散动力学反映了这样一个事实，即银行股本的增长由留存收益决定，留存收益受算术布朗运动的支配，并受到两种跳跃的负面影响，即，更频繁（但由于中央银行的潜在行动，危险性稍低）的流动性跳跃由N表示，较不频繁（但更危险）的偿付能力跳跃由N表示。相应地，λ>λ，δ<δ。下面我们假设股息率可能是无限的，因此可以立即一次性支付。在一家对股息支付最大化感兴趣的保险公司的背景下，考虑了一个只有一个跳跃来源的类似问题（参见Taksar 2000和Belhaj 2010以及其中的参考文献）。当E超过零时，银行违约。我们很快就会看到，在E达到某个最佳水平E之前，银行不支付任何股息是最理想的*,当达到这一水平时，立即支付所有超额股本的股息。考虑到所有具体情况，股息优化问题（140）可以用数学公式表示为以下MaxdVt+σVEE+（u- d） VE公司- （R+λ+λ）V+λδREV（E- J） e类-δJdJ+λδREV（E- J） e类-δJdJ+d= 0，（143）V（T，E）=E，E≥ 0，（144）V（t，0）=0，0≤ t型≤ T、 （145）求解等式（143）并补充终端和边界条件（144）（145）相当于求解以下变分不等式：maxVt+σVEE+uVE- （R+λ+λ）V+λδREV（E- J） e类-δJdJ+λδREV（E- J） e类-δJdJ，1- VE公司= 0，（146）加上条件（144），（145）。我们使用一般符号将等式（146）改写如下：max{Vt+aVEE+aVE+aV+λI+λI，1- VE}=0，（147），其中ii（t，E）=δiZEV（t，E- Ji）e-δiJidJi=δiZEV（t，j）e-δi（E-j） dj，i=1，2。（148）象征意义上，我们可以表示Eq。

（147）在形式max{Vt+L（V），1- VE}=0，（149），其中l（V）=aVEE+aVE+aV+λI+λI。（150）该变分不等式的解V（t，E）无法解析计算，必须通过数值确定。为此，我们使用Lipton（2003）提出的方法，并用以下onemax替换所讨论的变分不等式{-Vτ+aVEE+aVE+aV+λI+λI，1- VE}=0，Ii，E+δiIi- δiV=0，V（0，E）=E，V（τ，0）=0，（151），其中τ=T-t、 通过计算iII并执行max{、.}运算，以相对简单的方式解决了相应的问题显式地，当以通常的Crank-Nicolson方式计算V时。相应的解决方案如图12所示。图12此处附近。对于T→ ∞ 极限，与时间无关的最大化问题的最大矩为{L（V），1- VE}=0，V（0）=0，（152）或等效地，L（V）（E）=0，0<E≤ E*,V（E）=E+V（E*) - E*, E*< E<∞,V（0）=0，VE（E*) = 1，V（E*) = 0。（153）此处E*事先未知，必须作为计算的一部分确定。结果表明，时间无关问题可以解析求解。由于我们正在处理征税程序，我们有eξe= ψ（ξ）eξe-λδξ+δe-δE-λδξ+δe-δE，（154），其中ψ（ξ）是伪微分算子L的符号，ψ（ξ）=aξ+aξ+a+λδξ+δ+λδξ+δ。（155）用ξj表示，j=1。。。，（多项式）方程ψ（ξ）=0的根。（156）一组代表性参数的对应函数ψ（ξ）如图13所示，它清楚地显示了方程的所有根。

（156）是真实的。图13靠近此处。然后，线性组合v（E）=XjCjeξjE，（157）解决了定价问题和边界条件（153），前提是1 1 1 1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1(ξ+ δ)-1ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*ξeξe*中国交建=.（158）等式（158）应被视为五个未知数的五个方程组，即，（C，C，C，C）和E*. 相应的文件V（E）如图14所示。图14靠近此处。该图显示，在区间[0，E*) 我们的VE>1。因此，系数（1- 式（143）中d前面的VE）为负值，因此最优d必须为零。换句话说，在E达到最佳水平E之前，银行最好不要支付任何股息*. 在间隔（E）上*, ∞) 我们已经得到了>1，所以d是不确定的。然而，这并不特别重要，因为当E超过最佳水平E时*支付所有超额股息是最佳选择。出现这种情况的原因是我们考虑到了最终的分割，因此也考虑到了一次性付款。当d有界时，相应的优化问题有所不同，但仍然可以沿着类似的路线解决。图14（a）和图14（b）的比较表明，对于较长的到期日T，V（E）是V（T，E）的最佳近似值。8结论在本文中，我们提出了一个简单而一致的理论，使我们能够在三个粒度层次上考察银行系统，即作为一个整体，作为一个相互关联的银行集合，相互承担责任；最后，作为一家私人银行。

我们证明，银行体系在货币流通环境中起着关键作用，是经济成功的必要条件。即使在一个相对简单的背景下，我们也对银行的货币创造及其后果，包括自然发生的银行间联系，以及银行运营所面临的多重约束的作用，获得了一些非平凡的见解。在模型中引入随机消费之后，连续时间内货币循环的一致定量描述成为可能，这使我们能够将方程与经济现实相协调。我们建立了货币循环的定量描述，可以根据实际宏观经济数据进行校准，并用数学方法进行求解。通过增加不同的经济部门，可以进一步扩展已开发的框架。很明显，更先进的模型自然会提供更深入、可操作的见解，这些见解可用于多种目的，如制定货币政策、为银行负责任的增长定位以及宏观投资。在最高层，我们将银行系统视为一个整体，因此掩盖了银行部门的结构，并排除了对其内部缺陷的调查。量化方法（quantitativeapproach）的重要性怎么估计都不为过，该方法能够描述2007-2009年危机后互联银行系统中可能发生的一连串事件！因此，我们将分析扩展到了中间层面，并展示了资产负债平衡法案如何在各银行之间建立非平凡的联系。我们使用为信用违约定价开发的技术表明，这些联系可能会在整个系统中造成意外的不稳定性。

我们的模型可以向多个方向扩展，例如，通过将银行间衍生品（如掉期）纳入图片中。它可以深入了解与银行系统中多个同时（或几乎同时）违约相关的滚雪球效应。最后，从最底层来看，银行和所有其他公司一样，有责任最大限度地提高其盈利能力。鉴于银行业务的特殊性，这种最大化的盈利能力与资产负债表优化有着内在的联系，资产负债表优化用于选择资产和负债的最佳组合。我们在最一般的情况下制定了约束优化问题，在资本结构股权部分的特殊情况下制定了其简化版本。虽然简化了，但简化后的问题仍然包括诸如流动性和偿付能力跳跃等股本动态的显著因素。然后，我们提出了一种有效解决相应约束优化问题的方案。我们希望我们的MMC理论将推动沿着本文建议的路线进行进一步的研究。特别是，帮助预测未来的经济危机，这些危机在拟议的框架内自然发生。致谢作者感谢罗素·巴克、阿戈斯蒂诺·卡波尼、迈克尔·登普斯特、安德鲁·迪金森、达雷尔·杜菲、保罗·格拉斯曼、汤姆·赫德、安德烈·伊特金、玛莎·利普顿和拉吉耶夫·维尔马尼进行了有益的对话。本文在纽约彭博定量研讨会系列、阿姆斯特丹全球衍生品会议、莱顿洛伦兹中心金融数学模型和数值研讨会、纽约哥伦比亚大学系统性风险研讨会以及洛桑第七届金融和瑞士通用高级数学方法会议上发表。非常感谢这些活动参与者的反馈和建议。

马莎·利普顿（MarshaLipton）在完成这项工作并准备出版方面所提供的宝贵帮助无论怎样估计都不为过。参考文献【1】Allen，F.和Babus，A.，金融网络。《网络挑战：互联世界中的战略、利益和风险》，P.Kleindorfer、Y.Wind和R.Gunther编辑，367–3822009年。（Prentice Hall专业人士：新泽西州上鞍河）。[2] Astic，F.和Tourin，A.，资本和流动性约束下的最佳银行管理。工作文件，2013年。[3] 巴科斯，D.、布雷纳德，W.、史密斯，G.和托宾，J.，美国金融和非金融经济行为的模型。《货币、信贷和银行杂志》，1980年，12（2），259-293。[4] Barbosa Filho，N.和Taylor，L.，《美国经济中的分配和需求周期——结构主义古德温模型》，Metroeconomica，2006，57389-411。[5] 巴克斯特，W.T.，早期会计：理货和棋盘。《会计历史学家杂志》，1989年，16（2），43-83。[6] Bello fiore，R.、Davanzati，G.F.和Realfonzo，R，Marx《电路内部：纪律装置、工资谈判和连续货币经济中的失业》。《政治经济学评论》，2000年，12403-17。[7] Belhaj，M.，当现金储备遵循一个跳跃式的分化过程时，最佳股息支付。《数学金融》，2010年，第20期，第2期，第313–325页。[8] 伯南克和布林德，信贷、货币和总需求。《美国经济评论》，1989，78（2），435-439。[9] Birge J.R.和Judice P.，《长期银行资产负债表管理：风险因素的估计和模拟》。《银行与金融杂志》，2013年，37，4711-4720。[10] Black，F.和Cox，J.C.，评估公司证券：债券契约条款的一些影响。《金融杂志》，1976年，31（2），351-367。[11] Blanch Flower，D.G.和Oswald，A.J.，《工资曲线》，1994年（麻省理工学院出版社：马萨诸塞州剑桥）。[12] Cai，G.Q。

和Lin，Y.K.，Lotka-Volterra生态系统模型的随机分析，物理评论E，2004，70041910。[13] 坎蒂隆，R.Essai sur la Nature du Commerce en G'en'eral（1755），2010（路德维希·冯·米塞斯研究所：奥本，阿拉巴马州）。[14] Cassel，G.，《社会经济理论》（1924），1967年（A.M.KelleyPublishers：纽约州纽约市）。[15] Caverzasi，E.和Godin，A.，古往今来的股流一致建模。2013年第7452013号工作文件（利维经济研究所：纽约州哈德逊市安南代尔）。[16] Crick，W.F.，银行存款的起源。《经济学》，1927，7（20），191-202。[17] Dallery，T.和van Treeck，T.，在一个股票流量一致的宏观模型中反映索赔和均衡调整过程。《政治经济评论》，2011年，23（2），189–211。[18] Dalio，R.，经济原则。未出版的手稿，2015年[19]Davidson，P.，金融市场，货币与现实世界，2002年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。[20] De Carvalho，F.、凯恩斯先生和后凯恩斯主义者：货币生产经济的宏观经济学原理，1992年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。【21】Dempster，M.A.H.，P flug，G.和Mitra，G.，量化基金管理，2009年（查普曼和霍尔/CRC：佛罗里达州博卡拉顿）。[22]Desai，M.、Henry，B.、Mosley，A.和Pemberton，M.，对增长周期古德温模型的澄清。《经济动力与控制杂志》，2006年，30，2661-2670。[23]Diamond，D.W.和Dybvig，P.H.，银行挤兑、存款保险和流动性。《政治经济学杂志》，1983年，91（3），401–419。[24]Domar，E.，资本扩张、增长率和就业。《计量经济学》，1946，14（2），137–147。[25]Dos Santos，C.和Zezza，G.，《后凯恩斯主义股票流一致性宏观经济增长模型：初步结果》，第402号工作文件，2004年（Levy Economics Institute:Annandale on Hudson，N.Y.）。[26]多斯桑托斯，C.和泽扎，G。

2006年，后凯恩斯主义股流一致模型中的分布和增长。《经济增长和分配：论国家财富的性质和原因》，N.Salvadori编辑，2006年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。[27]dos Reis S.G.和Martins，E.，Planejamento do Balan,co Banc'ario：Desenvolvimento de um Modelo Matem'atico de Otimiza'c'ao do retrono Econ'omico Ajustado ao Risco。Revista Contabilidade&Finan,casFIPECAFI-FEA-USP，2001，15，58-80。【28】Eglo Offf，D.、Leippold，M.和Vanini，P.，一个简单的信贷传染模型。《银行与金融杂志》，2007年，312475–2492。[29]Eisenberg，L.和Noe，T.H.，金融系统中的系统性风险。管理科学，2001，47（2），236–249。[30]Fama，E.，银行有什么不同？《货币经济学杂志》，1985，15，29–39。【31】联邦储备委员会，《联邦储备系统：目的和功能》，第9版，2005年（联邦储备系统理事会：华盛顿特区）。[32]Flaschel，P.，资本主义的宏观动力学。《马克思、凯恩斯和熊彼特的综合要素》，2010年（斯普林格：海德堡）。【33】Fontana，G.和Realfonzo，R.，（编辑），《生产的货币理论》，2005年（Palgrave：纽约）。[34]Franke，R.、Flaschel，P.和Proano，C.R.，半结构性凯恩斯-古德温模型中的工资-价格动态和收入分配。《结构变化与经济动态》，2006，17（4），452-465。【35】Freixas，X.、Parigi，B.和Rochet，J.C.，《中央银行的系统风险、银行间关系和流动性规定》。

《货币、信贷和银行杂志》，2000年，32611-638。[36]Friedman，M.，The Optimal Quantity of Money and Other散文，1969年（交易出版商：新泽西州皮斯卡塔韦）[37]Friedman，M.，and Schwartz，A.，美国和英国的货币趋势：与收入、价格和利率的关系，1867-1975年，1982年（芝加哥大学出版社：伊利诺伊州芝加哥）。[38]Godley，W.，凯恩斯主义收入决定模型中的货币和信贷。剑桥经济学杂志，1999年，23（4），393-411。【39】Godley，W.和Lavoie，M.，《货币经济学：信贷、货币、收入、生产和财富的综合方法》，2007年（PalgraveMacmillan：伦敦）。[40]Goodwin，R.M.1967年《增长周期》。《社会主义、资本主义和经济增长》，C.H.Feinstein编辑，1967年54-58页。（剑桥大学出版社：剑桥）。[41]Gnos，C.，电路理论是对复杂现实世界的一种解释。《现代货币理论：资本主义经济中货币的性质和作用》，L.-P.Rochon&S.Rossi编辑，2003年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。[42]Graeber，D.，债务：第一个5000年，2011年（Melville House：纽约布鲁克林）[43]Grasselli，M.R.和Costa Lima，B.，对信贷扩张、资产价格泡沫和金融脆弱性的敏锐模型的分析。《数学与金融经济学》，2012，6（3），191-210。[44]Graziani，Augusto，《生产的货币理论》，2003年（剑桥大学出版社：剑桥）。【45】Guttentag，J.M.和Lindsay，R.，商业银行的独特性。《政治经济学杂志》，1968年，76（5），991-1014。【46】Hahn，A.C.，大众财富理论（Volkswirtschaftliche Theorie des Bankkredits），1920年（J.C.B.Mohr:T–ubingen）。[47]Halaj，G.，银行的最佳资产负债表结构：银行对压力市场条件的反应。欧洲中央银行工作文件，2012年。[48]Haldane，A.和May，R.，银行生态系统中的系统性风险。

《自然》，2011，469（7330），351–355。【49】Harrod，R.F.，一篇动态理论论文。《经济杂志》，1939,49（193），14–33。【50】Harvie，D.、Kelmanson，M.和Knapp，D.，《商业周期不对称的动态模型：扩展Goodwin》。《经济问题》，2007年12月，53-92日。【51】He Offernan，S.，《现代银行业理论与实践》，1996年（John Wileyand Sons:Chichester）。[52]Hein，E.《利息、债务和资本积累——卡莱基方法》。《国际应用经济学评论》，2006年，20（3），337-52。[53]Howe，R.H.，银行业的演变；《1915年学分制发展研究》（C.H.Kerr&Company：伊利诺伊州芝加哥）。【54】Huu A.N.和Costa Lima，B.在随机Goodwin-LotkaVolterra模型中的轨道。工作文件，2014年。[55]赫德，T.R.，传染病！《金融网络系统性风险的蔓延》，2015年（施普林格出版社：柏林，海德堡，纽约）。[56]Ingham，G.K.，货币的性质，2004年（政治出版社：剑桥）。[57]Itkin，A.和Lipton，A.，具有相关跳跃和相互义务的结构违约模型的有效解决方案。《国际计算机数学杂志》，2015a。[58]Itkin，A.和Lipton，A.，具有相互义务的结构违约模型。工作文件，arXiv。组织，2015b。【59】Jevons，W.S.《货币与交换机制》，1875年（麦克米兰：伦敦）。[60]Kalecki，M.，经济波动理论论文集（1939年）。年：迈克尔·卡莱基作品集，。第一卷；《资本主义、商业和充分就业》，J.Osiatynski，J.（2007）编辑。235-2522007（ClarendonPress：牛津）。[61]Kalecki，M.《1933-1970年资本主义经济动态选文》，1971年（剑桥大学出版社，剑桥）。[62]基恩。S、 ，金融和经济崩溃：模拟明斯基的金融不稳定假说。

后凯恩斯主义经济学杂志，1995,17，607-635。[63]Keen，S.，一个关于大缓和和大衰退的明斯基货币模型。《经济行为与组织杂志》，2013,86，221-235。[64]Keen，S.，长期停滞和内生货币。《现实世界经济学评论》，2014，66，2-11。[65]凯恩斯，J.M.，货币论，1930年（麦克米兰：伦敦）。[66]凯恩斯，J.M.，《就业、利息和货币的一般理论》，1936年（麦克米兰：伦敦）。[67]Klein，M.A.，银行业理论。《货币、信贷和银行杂志》，1971年，3205-218。【68】克纳普，G.F.，格尔德斯塔利什理论出版社，1905年（Duncker&Humblot：莱比锡）。Kocherlakota N.R.，金钱就是记忆。《经济理论杂志》，1998年，81，232–51。[70]Kodera，J.和Vosvrda，M.，Goodwin的具有内生技术进步的捕食者-食饵模型。工作文件。布拉格查尔斯大学社会科学学院经济研究所，2007年。【71】Kusy，M.I.和Ziemba，W.T.，银行资产负债管理模型。运筹学，1986，34（3），356-376。[72]Ladley，D.，银行间市场的传染和风险分担。《经济动态与控制杂志》，2013年，37（7），1384–1400。【73】Lavoie，M.，连贯的股票流动框架中的内生货币。2001年第325号工作文件（列维经济研究所：纽约州安南代尔·昂哈德逊）。【74】Lavoie，M.Circuit and Consistent Stock Flow Accounting。《金钱、信贷和国家的作用》，R.Arena和N.Salvadori编辑，2004年（阿什盖特：Aldershot）。【75】Lavoie，M.和Godley，W.，《存量和流动货币框架中的卡莱基增长模型：卡尔多里观点》。后凯恩斯经济学杂志，2001-2002，24（2），（冬季），277-312。【76】Law，J.，《货币与贸易与向国家提供货币的提案》，1705年（R.&a。

犯规：格拉斯哥）。[77]Le Heron，E.，《后凯恩斯斯托克流一致性模型中的金融危机和银行行为》。工作文件，CEPN，2009年。【78】Le Heron，E.和Mouakil，T.，一个后凯恩斯主义的股价波动一致性模型，用于动态分析货币政策对银行行为的冲击。《都市经济》，2008，59（3），405-40。[79]Leitner，Y.，金融网络：传染、承诺和私营部门救助。《金融杂志》，2005年，第60期，第2925-2953页。[80]Lipton，A.，《外汇数学方法：金融工程师方法》，2001年（世界科学：新加坡）。[81]Lipton，A.，评估信用风险的最新结构和混合模型。会议演示文稿。《全球衍生品》，巴塞罗那，2003年5月21日。[82]Lipton，A.和Savescu，I.通过双边价值调整对信用违约掉期进行定价。量化金融，2014，14（1），171-188。【83】Lipton，A.和Sepp，A.，通过结构性违约模型对信用违约掉期进行信用价值调整。《信贷风险杂志》，2009年，5（2），123–146。【84】Lotka，A.Y.，《物理生物学原理》，1925年（Williams和Wilkins：《巴尔的摩》）。[85]Macleod，H.D.《银行业的理论与实践》，第2卷（1855-6），1905年（Longman，Greens and Co:London）。[86]Marshall，A.，黄金和白银委员会1887年的报告。【87】Marshall，A.W.，和Olkin，I.，多元指数分布。《美国统计协会杂志》，1967年，第2期，第84-98页。[88]Marx，K.《资本论》：Kritik der Politischen Oekonomie，1867（Verlagvon Otto Meissner：汉堡）。[89]McLeay，M.、Radia，A.和Thomas，R.《现代经济中的货币：导论》。英格兰银行季报，2014年第1季度。[90]Mehrling，P.，《现代货币：金融还是信贷？后凯恩斯经济学杂志，2000年，22397-406。[91]Merton，R.，关于公司债务定价：利率的风险结构。

《金融杂志》，1974年，29449-470。[92]Mitchell Innes，A.，货币信用理论。《银行法杂志》，1914年，31151-68。[93]Minsky，H.P.，John Maynard Keynes，1975（哥伦比亚大学出版社：纽约）。[94]Minsky，H.P.，《金融不稳定假说：凯恩斯的解释和“标准”理论的替代品》。内布拉斯加州经济与商业杂志，1977年，16（1），5-16。[95]Minsky，H.P.，稳定不稳定的经济，1986年（耶鲁大学出版社：纽黑文和伦敦）。【96】Moore，B.J.，《横向主义者和纵向主义者：信贷的宏观经济学》，1988年（剑桥大学出版社：剑桥）。【97】Moore，B.J.《握着看不见的手：复杂性、内生货币和外生利率》，2006年（Palgrave Macmillan：Houndmills，英国和纽约）。[98]Mukuddem Petersen，J.和Petersen，M.A.，通过随机最优控制进行银行管理。Automatica，2006，42（8），1395-1406。【99】Nakamoto，S.，《比特币：对等电子现金系统》。工作纸，www.bitcoin。org，2009年。【100】Parguez，A.和Secareccia，M.，《货币信贷理论：货币循环方法》。In：什么是钱？，J.Smithin编辑，2000年（劳特利奇：伦敦）。【101】Pastor Satorras，R.和Vespignani，A.，流行病在无规模网络中传播。《物理评论快报》，2001年，863200–3203年。【102】佩蒂，W.，威廉·佩蒂爵士的经济著作，第一卷，1899年（剑桥大学出版社：剑桥）。[103]Phillips，A.W.，《失业与英国货币工资率变动率之间的关系》，1861-1957年。《经济学》，1958年，25（100），283–299。[104]Piketty，T.，二十一世纪的首都，2013年（哈瓦德大学出版社贝尔纳普出版社：马萨诸塞州剑桥）。【105】魁奈，F.，重农主义（1759）。Cartellier版，1991年（Flammarion：巴黎）。【106】Reofonzo，R.，货币和银行业，1998年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。【107】罗切特，J.-C。

和Tirole，J.《银行间借贷与系统性风险》。《货币、信贷和银行杂志》，1996年，28（4），733-762。【108】Sawyer，M.，《有争议的宏观经济学：凯恩斯主义货币主义者和卡莱基亚备选方案》，1982年（M.E.Sharpe：Armonk，NY）。【109】塞缪尔森，P.和诺德豪斯，W.，经济学，1995年。（麦格劳·希尔：纽约州纽约市）。【110】储蓄，T.R.，一种竞争性银行的货币供应理论。《货币经济学杂志》，1977年，3289-303。[111]Say，J.-B.《政治经济学特征》（Trait\'e d\'economie politique），1803年（Deterville：巴黎）。【112】Sbordone，A.、Tambalotti，A.、Rao，K.和Kieran Walsh，K.（2010），使用DSGE模型的政策分析：简介。《纽约联邦储备银行经济政策评论》，2010年，16（2），23-43。【113】Schlesinger K.，Theorie der Geld-und Kreditwirtschaft，1914年（Duncker&Humblot：柏林）。[114]熊彼特，J.，Theorie der wirtschaftlichen Entwicklung，1912年（Duncker&Humblot：柏林）。【115】熊彼特·J.，《格尔德斯之路》（Das Wesen des Geldes），1970年（Vandenhoek&Ruprecht:G¨ottingen）。【116】Sealey，C.和Lindley，J.T.，《投入、产出和存款金融机构的生产和成本理论》。《金融杂志》，1977年，321251-1266。【117】Secareccia，M.《货币循环框架内的定价、投资和生产融资：一些初步证据》。《现代货币理论：资本主义经济中货币的性质和作用》，L.-P.Rochon和S.Rossi编辑，2003年（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。[118]Selgin，G.和White，L.，自由银行体系的演变。《经济调查》，1987年，25439–457。【119】Selyutin，V.和Rudenko，M.，银行公司asTool分析、管理和学习的数学模型。工作文件，2013年。[120]史密斯，A。

《国家财富的性质和原因的调查》，17761977年（芝加哥大学出版社：伊利诺伊州芝加哥）。[121]Soddy，F.，《金钱的作用》，1934年（ElkinMathews&Marrot：伦敦）。【122】Solow，R.M.，古德温的增长周期；回忆和沉思。《非线性和多部门宏观动力学》，K.Velupillai编辑，1990年（麦克米兰：伦敦）。【123】Sra Offa，P.，《通过商品生产商品》，1960年（剑桥大学出版社：剑桥）。[124]Steinbacher，M.、Steinbacher，M.和Steinbacher，M.《银行及其联系潜力：银行体系有多稳定？《艺术经济学与自组织》，S.Leitner和F.Wall编辑，2014161-175（施普林格出版社：柏林）。【125】Stiglitz，J.，经济学，第二版，1997年（W.W.Norton：纽约）。[126]Taksar，M.，最优风险/股息分配控制模型：保险应用。运筹学数学方法，2000,1，1-42。【127】Taylor，L.，增长、周期、资产价格和融资。《都市经济》，2012，63（1），40–63。[128]Tobin，J.，商业银行是“货币”的创造者。《银行与货币研究》，D.Carson编辑，408-4191963年（货币主计长：华盛顿）。【129】托宾，J.，货币理论的一般均衡方法。《货币、信贷和银行杂志》，1969年，第1期，第15-29页。【130】Tobin，J.，宏观经济过程中的货币和金融。《货币、信贷和银行杂志》，1982年，14（2），171-204。【131】Tobin，J.和Golub，S.，《货币、信贷和资本》，1998年（欧文·麦格劳希尔：马萨诸塞州波士顿）。【132】Van Treek，T.，一个综合的股票流量一致的宏观经济金融模型。2007年6月工作文件，德国杜塞尔多夫宏观经济研究所，2007年。【133】Veneziani，R.和Mohun，S.，结构稳定性和Goodwin的生长周期。

《结构变化与经济动态》，2006年，第17.4437-451页。【134】Volterra，V.，Le,cons sur la Th'eorie Math'ematique de la Lutte por la Vie，1931年（Gauthier Villar：巴黎）。【135】von Mises，L.，Theorie des Geldes under Umlaufsmittel，1924年（Duncker&Humblot：柏林）。【136】Wagner，W.，金融机构多元化与系统性危机。《金融中介杂志》，2010年，19（3），373–386。[137]Webber，L.和Willison，M.，系统资本要求。技术代表436，英格兰银行，2011年。[138]Werner，R.A.，宏观经济学新范式，2005年（PalgraveMacmillan:Basingstoke）。[139]沃纳，R.A.，银行能独立地从无到有地创造货币吗？-理论和经验证据。《国际金融分析评论》，2014年，第36期，第1-19页。[140]Wicksell，K.，政治经济学讲座，1935年。（劳特利奇：伦敦）。Wolf，M.剥夺了私人银行创造货币的权力。《金融时报》，2014年4月24日。【142】Zezza，G.和Dos Santos，C.H.，货币政策在后凯恩斯主义股市持续宏观经济增长模型中的作用。《现代世界的中央银行：另类视角》，M.Lavoie和M.Seccareccia编辑，181-208，2004（爱德华·埃尔加：切尔滕纳姆）。9附录A使我们在第6节中的计算更加具体，让我们考虑两个银行相互承担债务而不进行净额结算的情况，N=2。更多详细信息请参见Itkin和Lipton（2015b）。对于0<t<t，默认边界的形式为≤ ∧i=Ri（Li+Li’’i）- Lii≡ ∧<i，t<t，Li+Li‘- Lii≡ ∧=i，t=t，（159）Ai≤∧i=Ri（Li+Lii- RiLii）≡∧<i，t<t，Li+Lii- RiLii≡∧=i，t=t.（160），其中i=3- i、 在（A，A）象限中，我们有四个域SD（1，1）={A>∧=，A>∧=}，（161）D（δi，1，δi，2）=Ai> - L‘‘iA‘‘L’, i=1，2，D（0，0）=A> ∧<，A>∧<- D（1，1）- D（1，0）- D（0，1），其中δi，jis为克罗内克三角洲，和 = LL+LL+LL。

（162）很明显，在D（1，1）中，两家银行都存续，在D（1，0）中，第一家银行存续，第二家银行违约，在D（0，1）中，第二家银行存续，第二家银行违约，在D（0，0）中，两家银行都违约。相应的域如图15（a）所示。在对数坐标中，域Di的形式为（δi，1，δi，2）={Xi>Θi（X′305），0<X′305<M=i}，（163），其中Θi（X′305;）=rσ′σiln - Lii（Ri（Li+Lii）- Li（i）exppσ′i/σiX′i（Ri（Li+Li？））- Lii）（Li+Lii）. （164）我们强调域Di有一个曲线边界，该边界取决于Ai的值。值得注意的是，Θi（0）=M=i，Θi（u=(R)305）=M=i.（165）相应的域如图15（b）所示。图15靠近此处。不同选项的付款如下所示。对于联合生存概率Q（T，A，A）=1（A，A）∈D（1,1），（166）Qt、 δi，1∧<i+δi，2A′i，δi，2∧<i+δi，1A′i= 0，i=1，2。对于边际生存概率Qi（T，A，A）=1（A，A）∈D（1,1）+D（δi，1，δi，2），（167）对于第一银行和第二银行的CDS，支付如下CI（T，A，A）=0，（A，A）∈ D（1，1）+D（δi，1，δi，2），1-Ai+L“iLi+Li”（A，A）∈ D（δ′i，1，δ′i，2），1-Ai+κ′L′iLi+Li′（A，A）∈ D（0，0），（168），其中系数κi根据详细的平衡方程A+κL=κ（L+L），（169）A+κL=κ（L+L），因此κi=L′Ai+L′i（Ai+A′）. （170）最后，对于FTD，付款形式为F（T、A、A）=0，（A，A）∈ D（1，1），1-A+Li+L+i（A，A）∈ D（δi，1，δi，2），maxn1-A+κLL+L，1-A+κLL+Lo，（A，A）∈ D（0，0），（171）为简洁起见，我们只考虑联合概率和边际生存概率的计算。

联合生存概率Q（t，X，X）解决了以下终端边值问题qt（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（172）Q（t，X，X）=1X∈D（1,1），Q（t，X，0）=0，Q（t，0，X）=0，第一银行的相应边际生存概率，例如，Q（t，X，X），它是X和X的函数，解决了以下终端边界值问题Q1，t（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（173）Q（t，X，X）=1X∈D（1,1）+1X∈D（1,0），Q（t，0，X）=0，Q（t，X，0）=（Q（t，X），X≥ M（2），<，0，X<M（2），<，这里q（t，X）是1D生存概率，它解决了以下终端边值问题q1，t（t，X）+q1，XX+ξq1，X=0，（174）q（t，X）=1nX>M（2），=o，qt、 M（2）<= 0，很容易表示q（t，X）=N-M（2）=- 十、- ξτ√τ!(175)-e-2ξ十、-M（2）<N-M（2），=+X- 2M（2）<- ξτ√τ!,式中，τ=T-t、 相应的二维格林函数的形式为（例如，参见Lipton 2001、Lipton和Savecu 2014）：g（t，X，X）=e-（θ，ξ）t/2+θ·（X-十） \'G（t，X，X），\'G（t，X，X）=2e-（R+R）/2t？ρ$t∞Xn=1IνnRRt公司sin（νnφ）sinνnφ,（176）其中c=1 ρρ 1, C-1=ρ1.-ρ-ρ 1,θ=C-1ξ，(R)ρ=p1- ρ、 $=阿尔茨坦-ρρ, νn=nπ$>n，R=p（C-1X，X），R=p（C-1X，X），φ=弧tan(R)ρX-ρX+X, φ=arctan(R)ρX-ρX+X.（177）很明显，gx（t，X，0）=e-（θ，ξ）t/2+θX-θ·X'GX（t，X，0），'GX（t，X，0）=2e-（X/(R)ρ+R）/2吨/吨∞Xn=1(-1） n+1νnIνnXR？ρt罪νnφ.（178）将这些公式代入式（112），（113）中，得到Q和Q的半解析表达式。Q的相应表达式类似。我们给出Q（0，X，X）和差异Q（0，X）- 图16（a）和16（b）中的Q（0，X，X）分别为。