线性信用风险模型

2022-6-6 13:30:35

线性信用风险模型*Damien Ackerer+Damir Filipovi'c'2019年7月6日，即将出版的《金融与随机》（Finance and StochasticsAbstractWe）介绍了一类新的信用风险模型，其中企业生存过程的漂移是因素的线性函数。可违约债券和信用违约掉期（CDS）的价格在因素上是线性理性的。CDS期权的价格可以通过因子中的多项式统一近似。多名称模型可以同时产生违约，产生正相关和负相关的违约强度，并适应随机利率。校准研究通过拟合CDS扩散时间序列说明了这些模型的多功能性。数值分析验证了期权价格近似方法的有效性。关键词：信用违约掉期、信用衍生品、信用风险、多项式模型、生存过程MSC（2010）：91B25、91B70、91G20、91G40、91G60JEL分类：C51、G12、G13*作者感谢Agostino Capponi、David Lando、Martin Larsson、JongsubLee、Andrea Pallavicini、Sander Willems和两位匿名裁判，以及2015年洛桑AMaMeFand Swissquote会议、2016年纽约Bacelier世界大会、2016年奥斯陆全民教育年会、2016年AFFI巴黎12月会议、，以及2017年CIB金融动态模型研讨会。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+瑞士银行。电子邮件：damien。ackerer@swissquote.chEPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@epfl.ch1简介我们为信贷风险的期限结构引入了一类新的灵活且易于处理的简化模型，即线性信贷风险模型。

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2022-6-6 13:30:38

我们直接指定企业的生存过程，即给定经济背景信息的条件生存概率。具体而言，我们假设一个具有线性漂移的多元因子过程，并让生存过程的漂移在因子中呈线性。可违约债券和信用违约掉期（CDS）的价格由因子中的线性有理函数以闭合形式给出。通过线性分析，同样的结果也适用于指数CDS的价格。隐含违约强度是各因素的线性有理函数。相反，违约强度模型中CDS的价格是因子过程中指数函数的总和，其系数通常由非闭合形式的非线性常微分方程的解给出。此外，线性信用风险模型提供了新的可处理特性，例如具有负相关违约强度的多名称模型。在线性框架内，我们定义了线性超立方体（LHC）模型，它是一个单名模型。因子过程与二次微分函数不同，因此它采用一个高周长的值，其边的长度由生存过程给出。二次微分函数是凹函数和双单调函数。此功能允许因子在低值和高值之间实际跳跃。这有利于期限结构变化的持续性和可能性。这些因素的波动性参数并未纳入债券和CDS定价公式，但它们会影响CDS的波动性，从而影响CDS期权价格。这可能有助于信用价差和期权价格时间序列的联合校准。我们详细讨论了单因素LHC模型，并将其与单因素a ffne违约强度模型进行了比较。

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2022-6-6 13:30:42

我们提供了一个可识别的规范代表和风险规格的市场价格，以保持因素的线性漂移。我们提出了一种信用风险分析欧式期权的价格近似方法，该方法利用了状态空间的紧性和因子过程条件矩的封闭形式。首先，根据Stone–Weierstrass定理，紧致状态空间上的任何连续Payoff函数都可以用多项式逼近到任何给定的精度水平。其次，因子中任何多项式的条件期望都是失效因子值中的多项式。因此，CDS期权的价格可以用因子中的多项式统一近似。该方法也适用于信用评估调整的计算。我们通过让生存过程是独立LHC模型的线性和多项式组合来构建多名称模型。债券和CDS价格仍然是线性理性的，但相对于扩展因子表示。这些直接扩展可以很容易地适应新因素和新公司的加入。具有类似特征的随机短期利率模型可以引入生存过程，同时保持设置的可跟踪性。同时，可以通过在生存过程中引入公共跳跃过程或随机时钟来生成默认值。我们对LHC模型进行了经验和数值分析。假设存在节约型漂移结构，我们将二因素和三因素LHC模型应用于投资级和高收益企业上长达十年的每周CDS利差时间序列。三因素模型能够很好地捕捉复杂的期限结构动态，其表现明显优于双因素模型。

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2022-6-6 13:30:44

我们通过近似不同货币的CDS期权的价格来说明期权定价方法的数值效率。相对低阶多项式有助于获得货币期权的精确近似值。缺钱选项通常需要更高的订单。我们推导了同质投资组合中CDI期权和份额的定价公式，以说明其价格也可以用类似的技术近似。一般来说，CDI期权和份额的定价需要操纵可能大维度的多元多项式基。在实践中，计算效率高的多名称信用衍生产品定价需要使用本文未研究的特殊算法。我们现在回顾一些相关文献。我们的方法遵循了（Elliott、Jeanblanc和Yor 2000）或（Bielecki和Rutkowski 2002）中所述的违约时间的标准双随机结构。（Lando 1998）和（Duffee和Singleton 1999）的早期贡献已经准备好使用一个单一因素过程。相比之下，大型强子对撞机模型中的因子过程是一个严格的非有效多项式微分，其一般性质在（Filipovi\'c和Larsson 2016）中进行了研究。（Hull and White 1987）和（Ackerer、Filipovi\'c和Pulido 2018）中开发的随机波动率模型是非多项式模型的两个其他示例。大型强子对撞机模型中的因子具有紧凑的支撑，并且可以表现出类似于（Gourieroux和Jasiak 2006）引入的多变量Jacobiprocess的跳跃式动力学。我们的方法与（？）的线性生成过程有一些相似之处以及Filipovi\'c、Larsson和Trolle2017的线性理性模型。这些模型还利用了具有线性漂移的因素过程的可跟踪性，但侧重于不可违约资产的定价。

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2022-6-6 13:30:50

据我们所知，我们是第一个直接模拟具有线性漂移特征的企业生存过程的公司。CDS合约上的期权是复杂的衍生品，价格也很复杂。（Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski 2006年）和（Bielecki、Jeanblanc、Rutkowski等，2008年）讨论了一般风险过程框架中CDS期权的定价和对冲，并在（Bielecki、Jeanblanc和Rutkowski 2011年）中专门讨论了平方根扩散因子过程。最近（Brigo和El Bachir，2010年）在（Brigoand Alfonsi，2005年）引入的移动平方根跳跃扩散违约强度模型的背景下，开发了CDS期权价格的半解析表达式。另一部分文献集中在LIBOR市场模型的精神下开发市场模型。我们请感兴趣的读者参考（Sch¨onbucher 2000），（Hull and White 2003），（Sch¨onbucher 2004），（Jamshidian 2004）和（Brigo and Morini 2005）。然后，通过假设基础CDS价差在生存测度下遵循几何布朗运动，得到了CDS期权价格的Black-Scholes式公式。尽管这种方法更容易处理，但如果不是不可能的话，很难对暴露于同一信用风险源的多个工具进行统一定价。（Di Graziano和Rogers，2009）引入了一个框架，在该框架中，他们获得了与我们的CDS价格类似的封闭式表达式，但假设固定违约强度由连续时间有限状态不可约马尔可夫链驱动。违约风险建模的另一个重要方法是使用从属关系来建模累积风险过程。特别表明，时间非齐次模型可以很好地再现CDIS部分价格。

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能者818

2022-6-6 13:30:53

有关这些模型的更多详细信息，请参阅（Kokholm和Nicolato 2010），（Sun、Mendoza Arriaga和Linetsky 2017），以及其中的参考文献。彭和寇（2008）基于模拟的工作表明，具有系统性和特殊风险因素的风险率模型可以同时适用于CDS和CDI部分，因此证实了具有常见风险因素的自下而上模型可以产生准确且完全一致的风险管理框架。定价多名称信贷衍生品的一个可行替代方案是使用copula函数对违约之间的依赖性进行建模，例如（Li 2000），（Laurent and Gregory 2005）和（Ackerer and Vatter 2017）。然而，这些模型在构造上是静态的，需要重复校准，并且通常在与随机生存过程相结合时变得难以处理，如（Sch¨onbucher和Schubert 2001）。用幂级数近似期权价格的思想可以追溯到（Jarrow and Rudd 1982）。然而，以前的大多数文献都集中于近似基础过程的传递密度函数，例如（Corrado和Su 1996）和（Filipovi\'c、Mayerhofer和Schneider 2013）。相比之下，我们通过apolynomial直接近似Payoff函数。本文其余部分的结构如下。第2节介绍了线性信贷风险框架以及通用定价公式。第3节描述了单名称LHC模型。LHC模型的数值和经验分析见第4节。第5节讨论了多名称模型以及随机利率模型。第6节结束。

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2022-6-6 13:30:58

附录中收集了这些价格，以及关于保持因子线性漂移的风险规格市场价格和二维切比雪文插值的一些额外结果。2线性框架我们引入了线性信用风险模型框架，推导出了可违约债券价格和信用违约掉期利差的闭合表达式。我们还讨论了信用指数、信用违约掉期期权和信用估值调整的定价。2.1生存过程规范我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 Q）配备右侧连续过滤F=（Ft）t≥0表示经济背景信息，其中Q是风险中性定价度量。我们考虑N个企业，让Sibe来描述企业i的生存过程。这是一个正确的连续F适应且非递增的正过程，Si=1。让你，UNbe相互独立的标准独立于F的统一随机变量∞. 对于每个表i，我们定义了随机默认时间τi=inf{t≥ 0：坐下≤ Ui}，如果集合为空，则为完整。让（击中）t≥0是指标过程生成的过滤，只要在时间t之前我没有违约，则为1，之后为0，命中={τi>t}fort≥ 默认时间τiis是放大过滤的停止时间（Ft∨命中）t≥0.在q[τi>t | F的意义上，它是F-双随机的∞] = Q[座位>Ui | F∞] = 坐过滤（Gt）t≥0=（英尺∨Ht公司∨···∨HNt）t≥0包含有关企业违约发生的所有信息，以及经济背景信息。

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2022-6-6 13:31:01

此后，只要不存在歧义，我们将省略公司的索引XI，并提及任何N公司。在线性信用风险模型中，企业的生存过程由t=a>Yt，t定义≥ 0，（1）对于某些特定参数a∈ Rn+，以及一些公因子过程（Y，X），取数值inRn+×rm，形式为Dyt=（c Yt+γXt）dt+dMYt（2）dXt=（b Yt+βXt）dt+dMXt（3），对于某些c∈ Rn×n，b∈ Rm×n，γ∈ Rn×m，β∈ Rm×m，m维F-鞅MX，n维F-鞅MY。过程S为正且不增加，我们必然有其鞅分量MS=a>MYis的有限变化，因此是完全不连续的，参见（Jacod和Shiryaev 2013，Lemma I.4.14），并且-St公司-< MSt公司≤ 0表示所有t≥ 0因为St=MSt。这一观察结果促使因子过程分解为具有有限变化的成分X和成分Y。虽然我们目前没有进一步明确因子过程的动力学，但重要的是要强调，应满足额外的条件，以确保S是一个有效的生存过程。备注2.1在实践中，我们将考虑Y=1的成分非递增过程Y。然后，可以通过选择任意向量a轻松构建生存过程∈ Rn+使得a>1=1。过程（Y，X）的线性漂移意味着（Yu，Xu）的Ft条件期望是形式的线性余旭Fti=eA（u-t）YtXt公司, t型≤ u、（4）其中（m+n）×（m+n）-矩阵A由A定义=cγbβ. （5）备注2.2如果S是绝对连续的，那么对于所有t，a>dMYt=0≥ 0，对应的默认强度λ，由关系式St=e得出-Rtλsds是λt=-a> （c Yt+γXt）St。在这个框架中，默认时间是相关的，因为生存过程是由共同因素驱动的。

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2022-6-6 13:31:05

同时违约是可能的，可能是由Y的鞅分量引起的，它迫使生存过程同时向下跳。此外，与一个有效的违约强度模型相反，线性信用风险框架允许违约强度之间存在负相关性，如以下程式化示例所示。例2.3考虑因子过程（Y，X），取DYT定义的R+×R值=-1 00 -1.年初至今+-1.Xt公司dtdXt=-κXtdt+σp（e-t型- Xt）（e-t+Xt）dwt对于某些κ> > 0，σ>0，X∈ [-1，1]和F-适应的单变量布朗运动Wt。过程X取区间内的值[-e-t、 e类-t] 在时间t时，让N=2个生存过程由St=y1和St=y2t定义，对于所有t≥ 0，因此两个公司的隐含违约强度由λt给出=1+XtY1t和λt=1.-XtY2t, t型≥ 0。这导致dhλ，λit≤ 0和dhλ，λit<0，正概率，和λt，λt≤ . 此外，默认强度λ和λ均恢复为/2、附录A.2.2可违约债券中给出了这些声明的证明。我们考虑名义金额等于1且面临参考公司信用风险的证券。我们假设一个恒定的无风险利率等于r，因此到期时间为t且名义金额为1的无风险零息票债券的时间t价格由e给出-r（tM-t）。以下结果给出了到期时回收率不变的可违约债券价格的闭合表达式。命题2.4到期时间为t且回收率为δ的可违约零息票债券的时间t价格∈ [0，1]到期时isBM（t，tM）=Ehe-r（tM-t）{τ>tM}+δ{τ≤tM}Gti=（1- δ） BZ（t，tM）+{τ>t}δe-r（tM-t）式中，BZ（t，tM）=e-r（tM-t） E[{τ>tM}| Gt]表示到期时间为t且回收率为零的可违约零耦合债券的时间-时间价格。

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2022-6-6 13:31:08

其形式为bz（t，tM）={τ>t}a>YtψZ（t，tM）>YtXt公司（6）其中向量ψZ（t，tM）∈ Rn+mis由ψZ（t，tM）>=e给出-r（tM-t）a> >米eA（tM-t）其中，m维向量0M仅包含零。下一个结果表明，在违约时支付固定回收率的可违约债券的价格也可以以封闭形式获得。命题2.5到期时间为t且回收率为δ的可违约零息票债券的时间t价格∈ 默认情况下，[0，1]isBD（t，tM）=Ehe-r（tM-t） {τ>tM}+δe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti=BZ（t，tM）+δCD（t，tM），其中CD（t，tM）=E[E-r（τ-t） {t<τ≤tM}| Gt]表示如果发生在t和tM之间，则在违约情况下支付的或有索赔的时间t价格。其形式为cd（t，tM）={τ>t}a>YtψD（t，tM）>YtXt公司（7）其中向量ψD（t，tM）∈ 由ψD（t，tM）>=-a>cγZtMteA公司*（s）-t） ds（8），其中A*= A.- r Id.只有现金流与违约时间成比例的证券的价格在以下推论中给出。它用于计算某些或有证券（如CDS）的预期违约应计利息。推论2.6如果发生在formCD的日期t和tMis之间，则在违约时支付τ的或有权益的时间t价格*（t，tM）=Ehτe-r（τ-t） {τ≤tM}Gti={τ>t}a>YtψD*（t，tM）>YtXt公司（9）其中向量ψD*（t，tM）∈ Rn+mis由ψD给出*（t，tM）>=-a>cγZtMts eA*（s）-t） ds。

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2022-6-6 13:31:12

（10）注意（10）右侧的被积函数中存在因子s，这在（8）中是不存在的。备注2.7通过在（9）中设置r=0，我们得到了E[τ{τ]的闭合形式表达式≤tM}| Gt]。该表达式可用于对可违约债券进行定价，该债券到期时的回收价值tMdependson违约时间τ呈线性关系，BD（t，t，tM）=BZ（t，tM）+e-r（tM-t）呃δτ - ttM- t+δ{τ≤tM}G某些参数δ，δ≥ 0，使得δ+δ≤ 1，一段时间内t≤ t、下面的引理表明，定价公式（7）–（10）可以通过附加条件进一步简化。引理2.8假设矩阵A*是可逆的，那么我们有以下闭式表达式ψD（t，tM）>=-a>cγA.-1.*eA公司*（tM）-t）- 身份证件ψD*（t，tM）>=-a>cγ（tM）- t） A-1.*eA公司*（tM）-t） +A-1.*（Id t- A.-1.*)（eA）*（tM）-t）- Id）其中，Id是（n+m）维单位矩阵。这是一个显著的结果，因为或有现金流的价格成为由基本矩阵运算组成的封闭式表达式，因此易于计算。与通常需要使用额外数值方法的标准违约强度模型相比，默认证券的封闭式公式使得线性框架适合大规模应用，例如大量公司和合同。为了举例说明，假设生存过程仍然是绝对连续的，因此它允许标记2.2中的默认强度λtas。然后可以重写CD（t，tM）asCD（t，tM）={τ>t}ZtMte-r（u-t） Ehλue-车辙λsdsFtidu。对于一个单一的默认强度模型，要集成的期望值需要求解Riccati方程，只有当默认强度由一个独立的单变量CIR过程之和驱动时，Riccati方程才具有封闭形式的解。通常使用有限差分等数值方法来计算u的时间-现金流期望值∈ [t，tM]。

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何人来此

2022-6-6 13:31:16

然后，只能通过另一种数值方法（如求积）来近似积分，该方法需要在许多不同点u处求解相应的普通微分方程。有关一个默认强度模型的更多详细信息，我们参考（？），（Filipovi\'c 2009）和（Lando 2009）。2.3信用违约掉期我们推导出单个企业和多个企业信用违约掉期（CDS）的封闭式表达式。我们在本节结束时讨论了债券和CDS价格未受影响的因素。单名CDS是一种保险合同，在违约时以参考债券（即保护条款）支付已实现的损失，以交换违约后停止的定期付款（即优先条款）。我们考虑以下离散的期限结构t≤ t<t<··<t以及从date到date提供违约保护的合同。当t<t时，该合同通常被称为敲定远期CDS，只有当公司在t之前没有违约时，才会产生现金流。我们认为名义金额等于1的CDS合同。带价差k的Premium段的时间t值由k Vprem（t，t，tM）给出，其中Vprem（t，t，tM）=Vcoup（t，t，tM）+Vai（t，t，tM）是默认Vcoup（t，t，tM）=MXj=1之前息票付款的值之和-r（tj-t）（tj- tj公司-1） {tj<τ}gTian和违约时应计息票付款的价值Vai（t，t，tM）=MXj=1He-r（τ-t）（τ）- tj公司-1） {tj-1<τ≤tj}Gti。保护段的时间t值为vprot（t，t，tM）=（1- δ） Ehe公司-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti，其中δ∈ [0，1]表示默认情况下的恒定恢复率。该付款规范与ISDA模型一致，见（？）。（远期）CDS价差CDS（t，t，tM）是价差k，它使特优支腿和保护支腿在时间t时的价值相等。

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2022-6-6 13:31:19

也就是说，CDS（t，t，tM）=Vprot（t，t，tM）Vprem（t，t，tM）。命题2.9保护和特优支腿的值由Vprot（t，t，tM）={τ>t}Stψprot（t，t，tM）>YtXt公司（11） Vprem（t，t，tM）={τ>t}Stψprem（t，t，tM）>YtXt公司（12）其中向量ψprot（t，t，tM），ψprem（t，t，tM）∈ Rn+mare由ψprot（t，t，tM）=（1）给出- δ）（ψD（t，tM）- ψD（t，t）），ψprem（t，t，tM）=MXj=1（tj- tj公司-1） ψZ（t，tj）+ψD*（t，tM）- ψD*（t，t）+tM-1ψD（t，tM）-M-1Xj=1（tj- tj公司-1） ψD（t，tj）- tψD（t，t）。根据命题2.9，CDS价差由一个现成的线性有理表达式给出，CDS（t，t，tM）={τ>t}ψprot（t，t，tM）>YtXt公司ψprem（t，t，tM）>YtXt公司. （13）这是一个非常简单的表达式，可以让我们看到因子（Y，X）如何影响CDS通过向量ψprot（t，t，tM）和ψprem（t，t，tM）传播。为了进行比较，在a ffine defaultintensity模型中，两个支腿Vprot（t，t，tM）和Vprem（t，t，tM）作为指数项的和给出，不能进一步简化。在下文中，我们将VCD（t，t，tM，k）表示从到期时间t开始的CDS合同的时间-时间价格t和价差k，VCD（t，t，tM，k）={τ>t}ψprot（t，t，tM）- ψprem（t，t，tM）>YtXt公司. （14）多名称CDS或信用违约指数掉期（CDIS）是一种对参考投资组合的保险，我们假设其权重为1/N，以便投资组合的总名义金额等于1。保护买方支付与CDI当前名义金额成比例的定期保费。Letδ∈ [0，1]是初始确定的回收率。保护卖方支付1- δ对保护买方而言，CDI的名义金额减少了1/N。这些步骤重复进行，直到到期或referenceportfolio中的所有公司违约为止，以先到者为准。用Sit=a>i表示（1）中定义的企业i的生存过程。

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2022-6-6 13:31:22

CDIS扩展简化为双线性有理表达式，CDIS（t，t，tM）=PNi=1{τi>t}（1/a>iYt）ψiprot（t，t，tM）>YtXt公司PNi=1{τi>t}（1/a>iYt）ψiprem（t，t，tM）>YtXt公司其中，ψiprot（t，t，tM）和ψiprem（t，t，tM）的定义如命题2.9中针对每一家公司i所述。备注2.10（未退火因子），鞅My和Mx的特征并未明确出现在债券、CDS和CDI定价公式中。这样就可以自由地指定输入My和MX的外部因素。如（Filipovi\'c、Larsson和Trolle 2017）所述，这些因素将不受可违约债券和CDS的期限结构的影响，并导致不受影响的随机波动性。它们为债券价格和CDS利差的融资时间序列提供了额外的灵活性。这些未经规划的随机波动性因素影响生存和因素过程的分布，因此可以从下文讨论的信贷衍生品价格中恢复。2.4 CDIS批款CDIS批款是对参考投资组合损失的部分保险，其意义是仅小于所保险的附着点Ka和分离点Kd。我们假设与CDIS合同相同的期限结构和参考投资组合，protectionbuyer支付与当前部分名义金额成比例的定期溢价，Tt=（Kd- 灵魂- （Nt（1- δ） /不适用- Ka）++（15），其中Nt=PNi=1{τi≤t} 是在参考portfolioat time t中默认的公司总数。

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mingdashike22

2022-6-6 13:31:25

时间t时保护段和高级段的值分别由Vprot（t，tM，Ka，Kd）=ZtMte给出-ruE[dTu | Gt]，和Vprem（t，tM，Ka，Kd）=MXj=1e-rtjZtjtj-1.Kd公司- 灵魂- E[图| Gt]杜。（16）然后，通过现金流量值的差异，VT（t，tM，Ka，Kd，k）=Vprot（t，tM，Ka，Kd），简单地给出该部分的价值- k Vprem（t、tM、Ka、Kd）（17），其中k是部分价差。以下命题表明（F∞∨ Gt）-通过应用离散傅立叶变换（Ackerer和Vatter 2017）可以精确地以闭合形式检索时间u>t的违约数量的条件分布。提案2.11（F∞∨Gt）-默认数量Nu的条件分布由Q给出[Nu=n | F∞∨ Gt]=N+1NXj=0ζnjNYi=1ζj+（1-ζj）{τi>t}a>iYua>iYt（18）对于u>t，对于任何n=0，N、式中，ζ=exp（2iπ/（N+1））和虚数i。从（15）可以立即得出，Tu的条件期望可以表示为Nu的条件分布的函数。为简单起见，假设Ka=na（1- δ） /N和kd=nd（1- δ） /N对于某些整数0≤ na<nd≤ N、然后，Tu的条件期望由[Tu | F]给出∞∨ Gt]=N-naXj=1（1- δ）最小值（j，nd- na）NQ[Nu=na+j | F∞∨ Gt]（19）对于u>t。因此，只要条件概率Q[Nu=j | Gt]在所有t的封闭形式中可用，份额价格（17）就具有封闭形式的表达式≤ u≤ t和j=0，N第4.4节给出了多项式模型的示例。2.5 CDS期权和CDIS期权带有履约价差k的CDS期权是一种欧洲CDS合同看涨期权，仅当公司在期权到期日t之前未违约时才可行使。其在时间上的支付由（VCD（t，t，tM））+={τ>t}a>Yt给出ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ψcds（t，t，tM，k）=ψprot（t，t，tM）- kψprem（t，t，tM）。

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2022-6-6 13:31:28

（20）用VCDSO（t，t，tM，k）表示时间t时CDS期权的价格，VCDSO（t，t，tM，k）=Ehe-r（t-t） {τ>t}a>Ytψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+Gti={τ>t}e-r（t-t） a>字节ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+其中第二个等式直接来自引理A.1。CDIS期权在当时有权与未违约的参考投资组合中的公司签订履约价差k和到期日t的CDIS合同，同时有权接收行权日t之前实现的损失。用VCDISO（t，t，tM，k）表示CDIS期权在时间t的价格≤ t、 VCDISO（t，t，tM，k）=e-r（t-t）内赫NXi=1ViCDS（t，t，tM，k）+（1- δ） {τi≤t}+Gti，其中ViCDS（t，t，tM，k）的定义如（14）中所述。提案2.12 CDIS期权的价格由VCDISO（t，t，tM，k）=Xα给出∈{0,1}Ne-r（t-t）东北（五）*（α，t，tM，k））+q（α，t，t）英尺有条件支付sV*（α，t，tM，k）=NXi=1αia>iYtψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ (1 -δ)(1 - αi）和条件概率q（α，t，t）=NYi=1（a>iYt）αi（a>i（Yt- Yt）1-αia>iYt{τi>t}+（{τi≤t} ）1-αi其中α=（α，…，αN），且约定为0=0。因此，CDS期权或CDIS期权的时间t价格由（Yt，Xt）中非光滑连续函数的期望值给出，其中t<t。

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2022-6-6 13:31:31

第3.2.2.6节“信用估值调整”中介绍了此类合同的定价方法。双边合同头寸的单边信用估值调整（UCVA）是指交易对手违约时取消该头寸所造成损失的现值。命题2.13对于某些连续函数f（u，y，x），具有到期时间t和时间u净正敞口f（u，Yu，Xu）的UCVA的时间t价格，isUCVA（t，tM）=Ehe-r（τ-t） {t<τ≤tM}f（τ，Yτ，Xτ）Gti={τ>t}a>YtZtMte-r（u-t）流行性出血热（u、Yu、Xu）a>（c Yu+γXu）Ftidu。式中，τ是交易对手违约时间。因此，计算UCVA归结为欧洲式期权价格的数值积分。与CDS和CDIS期权一样，这些期权价格可以统一近似为第3.2节所述的价格。我们参考（Brigo、Capponi和Pallavicini，2014），以在双重随机违约框架下对双边交易对手风险估值进行全面分析。3线性超立方体模型线性超立方体（LHC）模型是一个单名称模型，即n=1，因此S=Y。生存过程是绝对连续的，如备注2.2所示，因子过程X是不同的，并且取一个超立方体中的值，其边的长度由Yt给出，对于所有t≥ （Y，X）的状态空间由=（y，x）∈ R1+m：y∈ （0、1）和x∈ [0，y]m.（Y，X）的动力学isdYt=-γ> 对于某些γ，XtdtdXt=（bYt+βXt）dt+∑（Yt，Xt）dWt（21）∈ Rm+和一些m维布朗运动W，其中波动矩阵∑（y，x）由∑（y，x）=diag给出σpx（y- x），σmpxm（y- xm）（22）波动率参数σ，σm≥ 设（Y，X）是（21）的E值解。很容易验证Y是非递增的，参数γ控制其递减的速度，0≤ γ> Xt公司≤ γ> 1 Yt，意味着0≤ λt≤ γ> 1和Yt≥ Ye公司-γ> 1 t>0，对于任何t≥ 0

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2022-6-6 13:31:34

（23）注意，默认强度上限γ>1取决于γ，γ是根据数据估计的。因此，模型验证程序中的一个关键步骤是验证可能的故障强度范围是否足够宽。以下定理给出了LHC模型（21）定义良好的参数条件。定理3.1假设，对于所有i=1，m、 bi公司-Xj6=iβ-ij公司≥ 0，（24）γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij）+≤ 0。（25）那么对于（Y，X）的任何初始定律，在E中有一个唯一的E值解（Y，X）（21）。对于任何i=1，…，它满足了未达到的边界，m、（i）对于所有t，Xit>0≥ 如果Xi0>0且BI为0，则为0-Xj6=iβ-ij公司≥σi，（26）（ii）Xit<所有t的yt≥ 如果Xi0<且γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij），则为0+≤ -σi.（27）状态空间E是正则（m+1）维超金字塔。图1显示了E whenm=1，并说明了E边界处的漂移向内指向条件（24）–（25）。在B节中，我们描述了风险规格的所有可能市场价格，在此情况下，（Y，X）的漂移函数保持线性。备注3.2当Xi=Y/2时，Xi的波动性在其支撑中心处最大，在Xi的边界处降至零→ 0和Xi→ Y因此，一些因素可能会交替访问其支架的下部和上部，因此可能会模仿架构转移行为。备注3.3确定归一化过程Z=X/Y，然后（Z，λ）的动力学由DZT给出=b+（β+诊断（γ>Zt））Ztdt+∑（1，Zt）dWt，（28）dλt=γ>dZt。

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2022-6-6 13:31:38

（29）在第3.1节和第4.1节中，我们推导了（Z，λ）漂移固定点的闭合表达式，在示例2.3.3.1中，单因素LHC模型的默认强度m=1，具有以下形式的自治动力学：dλt=（λt+βλt+bγ）dt+σpλt（γ- λt）dWt。λ的扩散函数与雅可比过程的扩散函数相同，该过程取紧致区间[0，γ]中的值。然而，λ的漂移包括一个二次项，它既不存在于Jacobi过程中，也不存在于a ffne过程中。定理3.1重写B中的条件（24）–（25）≥ 0和（γ+b+β）≤ 也就是说，λ的漂移在λ=0时为非负，在λ=γ时为非正。我们可以将漂移分解如下，λt+βλt+bγ=（λt- `)（λt- `),对于某些根0≤ `≤ γ ≤ `. 因此，只要λt=`=γ，λ就会向`漂移。相应的原始参数由β=-（`+`）和bγ=``，因此因子X的漂移读取βYt+BXt=（`+`）``γ（`+`）Yt- Xt公司. （30）作为健全性检查，我们验证了所有t的恒定默认强度情况λt=γ≥ 0，作为特例嵌套。这相当于X=Y，可以通过指定动力学dXt=-因子过程和初始条件X=1的γXtdt。这对应于驻点`=0和`=γ。R+isdλt=`(`- λt）dt+σpλtdWt，其中`是平均逆转速度和`λ的平均逆转水平。图2显示了单因子LHC和a ffne模型的默认强度的提取和扩散函数。（Delbaen和Shirakawa 2002）中使用了雅可比过程来模拟短期利率，在这种情况下，无风险债券价格由短期利率值中的雅可比多项式的加权序列给出。漂移函数在a ffene模型中为a ffene，而在LHC模型中为二次函数。

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2022-6-6 13:31:41

然而，对于合理的参数值，当默认强度小于平均回复水平λ<`时，漂移函数看起来相似。另一方面，在大型强子对撞机模型中，当λ>`时，向`漂移的力较小且呈凹形。对于a ffine模型，扩散函数是严格递增和凹形的，而在LHC模型中，扩散函数是凹半椭圆形状。扩散函数在[0，γ/2]上具有相同的形状，但在参数σ中通常不具有等效的比例。注意，参数γ总是可以设置得非常大，因此λ超过γ/2的可能性可以任意小。3.2期权价格近似我们在第2.5节和第2.6节中看到，CDS期权、CDIS期权或UCVA的定价归结为计算形式为Φ（f；t，tM）=E[f（YtM，XtM）| Ft]的Ft条件期望，对于E上的某些连续函数f（y，x）。我们现在展示如何通过f（y，x）的多项式近似来近似Φ（f；t，tM）包含形式。下文介绍的方法适用于任何线性信用风险模型，该模型具有紧凑的状态空间E，并且可计算（YtM，XtM）的Ft条件矩。为此，我们首先回顾t的Ft条件矩（YtM，XtM）是如何≤ 可按照（Filipovi\'c和Larsson 2016）中所述的封闭形式获取。用Poln（E）表示E上n次或以下的多项式集p（y，x）。很容易看出，（Y，X），Gf（Y，X）的发生器=- γ> x（βy+Bx）>f（y，x）（31）+mXi=1f（y，x）xiσixi（y- xi），（32）是多项式，即gpoln（E） Poln（E）表示任意n∈ N、让Nn=n+1+mn表示Poln（E）的维数，并用多项式基{h，…，hNn}表示Poln（E）。我们定义了（y，x）Hn（y，x）=（h（y，x），hNn（y，x））>值以RNn为单位。

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2022-6-6 13:31:44

对于这个多项式基，G | Poln（E）存在一个唯一的矩阵表示，使得对于任何p∈ Poln（E）我们可以将p（y，x）=Hn（y，x）>Gnp表示p的坐标。这意味着力矩公式[p（YtM，XtM）| Ft]=Hn（Yt，Xt）>eGn（tM-t） ~p（33）表示任何t≤ tMwe有，见（Filipovi\'c和Larsson 2016，定理（3.1））。备注3.4 Poln（E）的基Hn（y，x）的选择是任意的，可以简单地考虑单项式基Hn（y，x）={1，y，x，…，xm，y，yx，x，…，xnm}，其中Gnis是块对角的。有一些有效的算法可以计算矩阵指数gn（tM-t），参见示例（Higham 2008）。注意，只需要矩阵指数的作用，即eGn（tM-t） ~p换一些p∈ Poln（E），也存在特定算法，请参见示例（Al Mohy和Higham 2011）和（Sidje 1998）以及其中的参考文献。现在让我们 > 根据Stone Weierstrass近似定理（Rudin 1974，定理5.8），存在多项式p∈ Poln（E）对于某些n，例如sup（y，x）∈E | f（y，x）- p（y，x）|≤ . （34）结合（33）和（34），我们得到Φ（f；t，t）的期望近似值。定理3.5设p∈ Poln（E）如（34）所示。然后Φ（f；t，tM）由SUPT一致逼近≤tM公司Φ（f；t，tM）- Hn（Yt，Xt）>eGn（tM-t） ~pL∞≤ . （35）（34）中的近似多项式p需要逐案找到。我们在第4.2节为CDS期权和第4.3节为同质投资组合上的CDIS期权说明了这一点。备注3.6在状态空间的严格子集上近似Payoff函数f（y，x），足以近似期权价格。事实上，任何时候t≤ u≤ 这是一个过程≤u≤赌注价值（y，x）∈ E：Yt≥ y≥ e-γ> 1（s）-t）年初至今 E、可以预期E的紧致子集上的多项式近似更精确，因此可以产生更精确的价格近似。

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能者818

2022-6-6 13:31:47

有关实现示例，请参见第4.2节。4案例研究我们表明，LHC模型可以再现复杂的期限结构动力学，期权价格可以精确近似，同质投资组合上的衍生品价格也可以类似地计算。首先，我们对CDS数据进行了简化的LHC模型规范，并讨论了估计的参数和因素。然后，我们精确地估计了不同货币条件下CDS期权的价格。最后，对于同质投资组合，我们推导出了CDIS期权支付函数和部分价格的闭式表达式。4.1 CDS校准我们将大型强子对撞机模型校准给一家高产企业庞巴迪公司，以及一家投资级企业沃尔特·迪士尼公司，以表明该模型能够灵活地适应不同的传播水平和动态。我们还提出了一种针对特定toLHC模型的快速过滤和校准方法。数据描述。实证分析基于Markit的复合CDS利差数据，这些数据基本上是主要做市商提供的平均报价。样本开始于2005年1月1日，结束于2015年1月1日。该数据集包含552项每周观察，总计3620项观察到的每家公司的CDS利差。在每个日期，我们都会将可用条款与修改后的重组条款一起纳入到期日为1年、2年、3年、4年、5年、7年和10年的合同中。图3显示了1年期、5年期和10年期CDS利差的时间序列，以及5年期和1年期CDS利差的相对变化。CDSspreads的两项结构表现出其水平、坡度和曲率的重要变化。时间序列可以分为三个时段。次贷危机前的第一个时期，表现出低利差和低波动性。

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2022-6-6 13:31:50

第二个时期，即次贷危机期间，表现出高度的波动性，短期内的溢价利差飙升。这场危机对高收益企业产生了重大影响，其利差已翻了两番多。第三个周期的特点是连续波动剧烈，波动剧烈。图3还显示，CDS价差变化在各到期日之间具有很强的相关性。汇总统计数据见表1。型号规格。每个生存过程的风险中性动力学由第3节的LHC模型给出，包含两个和三个因素。我们设置γ=γe，对于某些γ≥ 0，并考虑公式dxit=κi（θiX（i+1）t的重叠结构- Xit）dt+σipXit（Yt- Xit）对于i=1，…，dWit（36），m级-1和dxmt=κm（θmYt- Xmt）dt+σmpXmt（Yt- Xmt）dWmt（37），对于某些参数κ、θ、σ∈ Rm+满足θi≤ 1.-γκi（38）对于i=1，m、我们有βii=-κi，βi，i+i=κiθi，否则βij=0，否则bm=κmθmandbi=0。它直接跟在0后面≤ bi公司-Xj6=iβ-ij={i=m}κmθm={i=m}βm，对于i=1，m0级≥ γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij）+=γ- κi+κiθi=γ+βii+{i6=m}βi，i+1+{i=m}bm。这表明参数条件（24）-（25）是满足的。请注意，（24）-（25）可以归结为标准线性参数约束，用β和b表示。因此，它们可以与高效的优化算法兼容。此规范允许默认强度值在延长的时间段内持续接近零。它还允许节省使用多维模型，因为自由参数的数量等于3m+1，而对于一般的LHC模型，它等于3m+M。然后，默认强度与第一个因子成比例，由λ=γX/Y给出。我们分别用LHCC（2）和LHCC（3）表示二因子和三因子线性超立方体级联模型。

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2022-6-6 13:31:53

此外，我们估计了一个三因素模型，表示为LHCC（3）*, 其中，参数γ是一个外生固定参数。该参数值是固定的，因此大约与LHCC（3）模型估计的γ一样大。我们估计约束模型，以确定默认强度上界的选择是否对实验结果至关重要。我们将无风险利率设定为样本的平均5年无风险收益率，r=2.52%。我们通常假设回收率等于δ=40%。我们还使用引理2.8有效地计算了CDS利差，其结果如下所示。引理4.1假设r>0，那么矩阵A*= A.- 对于（36）–（37）中定义的级联LHCC模型，如（5）中所示的r Id是可逆的，且γ=γe。备注4.2归一化过程的漂移Z=X/Y允许通过方程组|ut|ut=(-1） m级-i+1mYj=iκjθj？u1tγ- κj，i=1，m（39）如附录A所示。事实上，\'u1t表示i=2，…，的\'uits值，m、 λ漂移的稳定点由γ′u1t给出。过滤和校准。我们提出了一种有效的方法来过滤CDS利差中的因素。我们记得，CDS价差CDS（t，t，tM）是指使CDS合约的初始值等于零的履约价差。因此，我们得到了方程ψcds（t，t，tM，cds（t，t，tM））>Zt公司= 0（40），条件是τ>t，且归一化过程Z=X/Y∈ [0，1]m。因此，理论上，我们可以通过观察至少m个不同到期日的利差来提取Zt值。例如，可以通过应用Euler模式来计算生存过程值，然后重新缩放伪因子Zt，Yti=Yti来推断时间t的因子值（St，Xt-1.- γ> Xti公司-1.t和Xti=所有观测日期的YtiZti（41），且Yt=1。

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2022-6-6 13:31:56

实际上，可能没有一个值Ztsuchthat（40）可以满足所有观察到的市场利差。因此，我们考虑所有可观测数据并最小化以下加权均方误差minznixk=1ψcds（ti，ti，tkM，cds（ti，ti，tkM））>zψprem（ti，ti，tkM）>Zti公司-1.!s、 t.0≤ 子≤ 1，i=1，m（42），其中tM，tNIobserved利差到期日为ti，且ti-1是之前的观察日期。用CDS价格误差除以CDS溢价legvalue的近似值，可以准确地近似出Zti时的CDS价差误差≈ Zti公司-1、上述极小化问题是一个线性约束二次优化问题，可以用数值方法实时求解。对于任何参数集，我们都可以通过递归求解（42）和应用（41）提取每个日期的可观测因子过程。通过参数和因子过程值，我们可以计算模型与市场CDS利差之间的差异。因此，我们通过使用无梯度Nelder-Mead算法和惩罚项来强制参数约束，并从几个随机初始参数集开始，数值搜索使聚合CDS扩展均方根误差（RMSE）最小化的参数集。注意，我们没有校准波动率参数σifor i=1，m因为CDS利差不依赖于线性信用风险模型的鞅分量，而且因子过程可以直接从CDS利差中观察到。此外，我们仅确定CDS利差所隐含的风险中性漂移参数κ和θ。LHCC（2）、LHCC（3）和LHCC（3）的参数总数*因此，模型分别等于5、7和6。

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能者818

2022-6-6 13:31:59

配备快速过滤器和低维参数空间，校准程序快速。备注4.3或者，可以通过执行准最大似然估计或更高级的广义矩估计方法来估计参数。如果风险规格的市场价格保持了因子的多项式性质，那么这可以通过LHC模型直接实现，因为（Y，X）的真实世界条件矩以闭合形式给出，见附录B。条件矩的可用性还可以直接使用无迹卡尔曼滤波器来恢复每个日期的因子值。然而，如果我们只对市场价格感兴趣，这种方法的代价是更多的参数和可能更严格的条件，以及不必要的计算成本。参数、固定息差和因素。表2中报告了已安装的参数。一个重要的观察结果是，（38）中的参数约束对所有拟合模型中的每个维度都有约束力。不同规格的校准参数值相似，令人欣慰，校准的违约强度上限似乎足够大，足以覆盖次贷危机期间观察到的高价差值。从校准中提取的拟合因子用作计算拟合利差的输入。利用固定利差，我们计算每个日期和到期日的固定误差。毫不奇怪，更灵活的规格LHCC（3）表现最好。估计默认强度上限γ而不是设置任意大的值可以改进校准。表3按成熟度报告了错误的汇总统计。LHCC（3）模型的每种自然度的RMSE最小。特别是，其总体RMSE是双因素模型的一半。

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2022-6-6 13:32:03

LHCC（3）*该模型在复制长期利差方面面临困难，例如，对于两家公司的10年期到期利差，其RMSE是无约束LHCC（3）的两倍。图4显示了固定息差和RMSE时间序列。再次，LHCC（3）似乎随着时间的推移，误差水平最小。另外两个模型在金融危机前的低息差时期和最近的动荡时期表现不佳。总体而言，fittedmodels似乎能较好地再现观察到的CDS价差值。图5显示了估计的因素。它们在不同的规格中非常相似。金融危机期间，违约强度激增，生存过程迅速减少。第m个因子控制长期默认强度级别。第二个因素控制LHCC（3）和LHCC（3）中信用风险期限结构的中期行为*模型。LHCC（2）模型要求违约强度几乎等于零，以捕获样本期结束时期限结构的短期连续性，甚至低于金融危机之前。这似乎与事实相反，说明了LHCC（2）模型在捕捉变化动态方面的局限性。第m个因子访问其支持[0，Yt]的下半部分，这三种模型在该区域似乎趋于稳定。4.2 CDS期权定价我们描述了一种准确有效的CDS期权定价方法，该方法基于第3.2节所述的Payoff近似方法，并用数值示例加以说明。

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2022-6-6 13:32:06

用于数值说明的模型是第3.1节中的单因素LHC模型，具有样式化但实际参数γ=0.25、`=0.05、`=1、σ=0.75、X=0.2和r=0。从第2.5节中，我们知道，履约价差为k的time-t CDS期权价格的形式为VCDSO（t，t，tM，k）={τ>t}E[f（Z（t，tM，k））| Ft]，支付函数为f（Z）=E-r（t-t） z+/Ytand，其中随机变量z（t，tM，k）由z（t，tM，k）=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司（43）ψcds（t，t，tM，k）如（20）所示。此外，随机变量Z（t，tM，k）取LHC模型的区间值[bmin，bmax]，该区间值由bmin=m+1Xi=1min（0，ψcds（t，t，tM，k）i）和bmax=m+1Xi=1max（0，ψcds（t，t，tM，k）i）给出。现在，我们展示了如何通过截断其FourierLegendre级数来用多项式近似Payoff函数f，然后如何从（Yt，Xt）的条件矩递归计算Z（t，tM，k）的条件矩。设Len（x）表示取值于闭区间[bmin，bmax]的广义勒让德多项式，且由Len（x）=r1+2n2σLen给出x个- uσ式中，u=（bmax+bmin）/2，σ=（bmax- bmin）/2和标准勒让德多项式Len（x）on[-1，1]由en+1（x）=2n+1n+1x Len（x）递归定义-nn+1Len-1（x），其中Le=1，Le（x）=x。广义Legendre多项式在[bmin，bmax]上形成一个完整的正交系统，即任何分段连续函数f（x）的Fourier Legendre级数近似f（n）（x）的均方误差，由f（n）（x）=nXk=0fnLen（x）定义，其中fn=zbmaxinf（x）Len（x）dx，（44）收敛到零，limn→∞Zbmaxbminf（x）- f（n）（x）dx=0。CDS期权支付系数以闭合形式给出，fn={τ>t}e-r（t-t）因为被积函数是多项式函数。

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