我们假设提议的约束条件（18）全部通过，避免了在执行MCMC时的约束问题，如第2.4节所述非线性/非高斯随机死亡率模型：在非线性和/或非高斯状态空间模型动力学的情况下，如LC3-H2的随机挥发模型和LCSV模型，我们开发的采样器基于Andrieu等人（2010）的粒子Metropolis Hastings采样器的新发展，该采样器适用于随机死亡率模型。特别是，我们考虑了针对潜在状态过程全后验条件的Raobackwellized Kalman滤波器和部分icle滤波器的组合，以及针对静态模型参数的Gibbs内Metropolis和G ibbs采样步骤的组合。通常，在我们考虑的所有贝叶斯方法下，我们的目标是获得状态κ0:Tas的联合后验概率π（κ0:T，ψ| y1:T）（43）以及参数ψ，给定观测值y1:T。我们从线性高斯状态空间随机死亡率模型的第一种情况开始，并以LC Hmodel为例，其中参数向量为ψ：=（αx:xp，βx:xp，θ，σε，x:xp，σω），因为我们使用了（18）中提出的约束。5.1线性高斯状态空间推断我们开发了一种有效的方法，包括针对静态模型参数的边际目标分布的组合吉布斯采样共轭模型采样器，以及针对潜在过程κ1:t的前向后向卡尔曼滤波器采样器。通过吉布斯采样获得目标密度的样本，其中M是MCMC迭代次数（算法2）。算法2 R ao黑井化前后向卡尔曼滤波器和G ibbs采样π（κ0:T，ψ| y1:T）1：初始化：ψ=ψ（0）。2： 对于i=1，M do3：样本κ（i）0:T来自π（κ0:T |ψ（i-1） ，y1:T）通过FFBS（第5.1.1节）。4： 对于h=1。

，n do5：样本ψ（i）hfromπ（ψh |κ（i）0:T，ψ（i）-h、 y1：T），6：式中ψ（i）-h=（ψ（i），ψ（i）h-1，ψ（i-1） h+1，ψ（i）-1） n）。7： end for 8：end for the general block Gibbs采样算法步骤需要从完整的条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）和π（ψ|κ0:T，y1:T）中进行采样，如下所示。5.1.1从全条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）中采样全条件密度π（κ0:T |ψ，y1:T）的样本可通过所谓的前向滤波后向采样（FFBS）程序获得（Carter和Kohn（1994））。我们可以写出π（κ0:T |ψ，y1:T）=TYt=0π（κT |κT+1:T，ψ，y1:T）=TYt=0π（κT |κT+1，ψ，y1:T），（44），其中乘积中的最后一项π（κT |ψ，y1:T）分布为N（mT，CT），这是从卡尔曼滤波过程的最后一次迭代中获得的。一旦我们从N（mT，CT）中提取样本κt，那么（44）表明我们可以从π（κt |κt+1，ψ，y1:t）中递归和向后绘制κt，其中t=t- 1，T- 2.1, 0. 此外，我们有κt |κt+1，ψ，y1:t~ N（ht，ht），（45），其中ht=mt+CtR-1t+1（κt+1- 在+1时，（46a）Ht=Ct- CtR公司-1t+1Ct，（46b），可根据Kalma n smoother得出（Petris et al.（2009））。FFBS程序显示在算法3中。注意，可以将κ的先验分布设置为模糊，以运行卡尔曼滤波器；算法hm的输出包括κ的后验分布。算法3 FFBS算法hm：前向滤波后向采样1：运行Ka lma n filter以获得MTA和CT。2： 样本κt来自N（mT，CT）。3： 对于t=t- 1.

，0 do4：使用上一步获得的样本κt+1从N（ht，ht）中取样κt。5： 结束于5.1.2从全条件密度π（ψ|κ0:T，y1:T）中取样。首先要观察的是，在识别约束（18）的重新参数化下，可以精确执行以下吉布斯取样阶段。我们假设（αx:xp，βx:xp，θ，σε，x:xp，σω）的先验由αx给出~ N（△uα，△σα），βx~ N（△uβ，△σβ），θ~ N（￠uθ，￠σθ），（47a）σε，x~ IG（▄aε，▄bε），σω~ IG（～aω，～bω），（47b），其中IG（～aω，～bω）表示具有平均值～bω/（～aω）的反向ga mma分布- 1） 和方差▄bω/（▄aω-1） （￠aω-2） ）对于￠aω>2。我们假设所有参数的先验是独立的。在这种情况下，参数的后验密度与先验密度的类型相同，aso称为共轭先验。每个参数的后验分布如下所示（为了便于注释，我们写下，y=y1:T，κ=κ0:T，族ψ-λ表示“无参数λ的参数向量ψ”）：αx | y1:T，κ，ψ-αx~ Nuασε，x+￠σαPt（yxt- βxκt）▄σαt+σε，x，▄σασε，x▄σαt+σε，x, （48）βx | y1:T，κ，ψ-βx~ N∑βPt（yxt- αx）κt+￠uβσε，x￠σβPtκt+σε，x，￠σβσε，x￠σβPtκt+σε，x！，（49）θ| y1:T，κ，ψ-θ~ NσθPTt=1（κt- κt-1） +￠uθσω￠σθT+σω，￠σθσω￠σθT+σω！，（50）σε，x | y1:T，κ，ψ-σε，x~ IG▄aε+pT，▄bε+TXt=1（yxt- （αx+βxκt））！，（51）σω| y1:T，κ，ψ-σω~ IG▄aω+T，▄bω+TXt=1（κT- （κt-1+ θ))!. （52）5.2非线性/非高斯状态空间推断在非线性/非高斯状态空间模型动力学的情况下，如LC3-H2的随机波动模型和LCSV模型，我们开发的采样器基于Andrieu et al.（2010）的粒子Metropolis Ha stings采样器的最新开发，该采样器适用于随机死亡率模型。

特别是，我们考虑了Rao BlackwellizedKalman滤波器和粒子滤波器的组合，用于潜在状态过程的全后验条件，以及Gibbs内Metropolis和静态模型参数的Gibbs采样步骤的组合，以及嵌入PMCMC框架内的其他组合。我们将说明LCSV模型的这种方法的思想，其中随机波动性动力学包含在周期效应的最近过程中。5.2.1 LCSV死亡率模型的估计静态参数向量表示为ψ=（αx:xp，βx:xp，θ，σε，σγ，λ，λ，γ）。注意，我们将γ视为静态参数，我们的任务是从联合后验分布中获取样本：π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）。（53）在这种情况下，人们可以尝试多种不同的方法，首先是通过下文描述的PMCMC方法从全后验分布（53）中联合取样。第二种方法是将PMCMC方法与基于Gibbs的块状取样器相结合，如以下抽样方案，其中我们将Gibbs抽样应用于全条件密度π（κ0:T |ψ，γ1:T，y1:T），（54a）π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T），（54b）π（γ1:T |ψ，κ0:T，y1:T）。（54c）注意，（54a）中的采样可以通过算法3中描述的FFBS程序实现，因为可以应用K-alman滤波，因为假设γ1:t是给定的。与第5.1.1节相比，唯一的区别是，在卡尔曼滤波中，术语σω被exp{γt}代替。在下文中，我们详细介绍了如何通过PMCMC方法从完整的后验（53）或完整条件（如（54c）中的密度）中取样。

第5.2.4.5.2.2节“死亡率模型的粒子马尔可夫链蒙特卡罗（PMCMC）”中详细介绍了静态参数（54b）的后验抽样。在本节中，我们解释了可应用于一系列状态空间随机死亡率模型方法的PMCMC方法的一般形式。通常，PMCMC采样方法是一类MCMC方法，其中SMC算法用作MCMC算法中的建议分布。虽然这看起来微不足道，但实际上是基于akey的观察，通过在MCMC中使用这样的过滤器，Metropolis Hastings接受-拒绝阶段的接受概率维度显著降低，因此可以产生更好的马尔可夫链混合性能，减少估计方差，详细讨论见Andrieu等人（20-10）。为了揭示PMCMC的本质，我们首先讨论从目标分布π（φ1:T，ψ| z1:T），（55）中采样的一般方法，其中φ1:Tandψ是一般状态空间模型的潜在状态和静态参数。注意，这种情况下的状态过程通常是非线性的，并且可能是非高斯的。从获得最有效混合马尔可夫链的角度来看，构建（φ′1:T，ψ′）马尔可夫链的理想建议分布很容易由q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T:z1:T），（56）给出，其中q（ψ′ψ）是对参数的建议，也是对后一状态pψ′（φ′1:T:z1:T）的建议，来自状态方程（给定ψ′）。

这里（φ1:T，ψ）是MCMC迭代j的当前状态- 1和（φ′1:T，ψ′）是T MCMC迭代j的下一步。在这种理想情况下，该理想方案的接受概率为：α（（φ′1:T，ψ′，（φ1:T，ψ））=1∧p（φ′1:T，ψ′z1:T）q（ψ′ψ′）pψ（φ1:T | z1:T）p（φ1:T，ψ′z1:T）q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T | z1:T）（57）=1∧pψ′（φ′1:T | z1:T）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ′）pψ（φ1:T | z1:T）pψ（φ1:T | z1:T）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ）pψ′（φ′1:T | z1:T）（58）=1∧p（ψ′z1:T）q（ψ′）p（ψ′z1:T）q（ψ′ψ）（59）=1∧pψ′（z1:T）p（ψ′）q（ψ|ψ′）pψ（z1:T）p（ψ）q（ψ′|ψ），（60），其中r∧ r： =最小值（r，r）。理想提议的一个可取特性是，接受概率仅取决于边际可能性，以及静态参数的先验和提议。这是最佳的，因为数字和分母的维数显著降低到静态模型参数的维数，并且不包括明确的pat h空间潜在过程维数，d维状态向量φT的d×T维数降低。然而，显然，我们永远无法实现这一目标，因为它需要对pψ′（φ′1:T | z1:T）的完全了解，以及对这一分布进行采样的能力，这两种能力都是无法实现的，除非在第5.1节中解释的线性高斯情况的特殊情况下。为了避免这个问题，粒子边缘Metropolis Hastings采样器（PMMH；Andrieu et al。

（201 0））应用SMC方法获得状态转移度的n近似值（这也是状态建议）^pψ′（φ1:T | z1:T）=NXi=1w（i）TΔφ（i）1:T（φ1:T），（61），其中w（i）是重要权重，δx（x）表示以x为中心的Dirac质量函数，并从该离散近似分布中得出潜在状态的下一步移动。此外，SMC算法的一个副产品是边际似然，^pψ（z1:T），它具有以下重要性质：引理5.1 SMC建议允许s a副产品是边际似然pψ（z1:T）g i v en的无偏估计量，由^pψ（z1:T）：=TYt=2^pψ（zt | z1:T-1） ，（62）其中，对于all t，N粒子的SMC近似产生^pψ（zt | z1:t-1） =NNXi=1w（i）t，（63），这是pψ（zt | z1:t）的无偏粒子估计-1). 正如ed inChopin等人（2013）所解释的那样，这种非平凡的无偏性在Del Moral（2004）中得到了体现，并在此后得到了极大的利用。此外，该估计量的方差通常仅随t线性增长。然后在接受概率（60）中使用无偏近似边际似然度：α（（φ′1:T，ψ′，（φ1:T，ψ））=1∧^pψ′（z1:T）p（ψ′）q（ψ|ψ′）^pψ（z1:T）p（ψ）q（ψ′|ψ）。（64）由于估计边际可能性的无偏性，Andrieu等人（2010）表明，尽管仅使用SMC近似值（粒子数为有限），PMMH的不变分布是目标分布π（φ1:T，ψ| z1:T）。为了应用PMCMC f或LCSV模型的有效估计，我们首先注意到，我们可以通过共轭先验明确获得静态参数的后验值。因此，我们只需要从密度π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）中取样，而不是从节理密度π（γ1:T，ψ|κ0:n，y1:T）中取样。

事实证明，有一类PMCMC算法，称为粒子无关Metropolis Hastings采样器（PIMH），它提供了一种从π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）精确采样的机制。算法hm 4总结了我们从CSV模型的联合后验分布π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）采样的方法。算法4π（κ0:T，γ1:T，ψ| y1:T）1的采样：初始化：ψ=ψ（0），γ1:T=γ（0）1:T.2：对于i=1，M do3：样本κ（i）0:T来自π（κ0:T |γ（i-1） 1:T，ψ（i-1） ，y1:T）通过FFBS；4： 样品γ（i）1:T来自π（γ1:T |κ（i）0:T，ψ（i-1） ，y1:T）通过PIMH（第5.2.3节）；5： 对于h=1，n do6：样本ψ（i）hfromπ（ψh |κ（i）0:T，γ（i）1:T，ψ（i）-h、 y1：T），7：式中ψ（i）-h=（ψ（i），ψ（i）h-1，ψ（i-1） h+1，ψ（i）-1） n）通过共轭优先。8： 结束时间9：结束时间5.2.3 PIMH：从π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）中取样。我们首先注意到，给定LCSV模型的结构，π（γ1:T |ψ，κ0:n，y1:T）=πψ（γ1:T |κ0:n）。在Metropolis-Hastings算法中，使用独立的概率密度qψ（γ1:T |κ0:n），接受概率由α（γ′1:T，γ1:T）=1给出∧πψ（γ′1:T |κ0:n）qψ（γ1:T |κ0:n）πψ（γ1:T |κ0:n）qψ（γ′1:T |κ0:n）。（65）理想情况下，可以取qψ（γ1:T |κ0:n）=πψ（γ1:T |κ0:n）。然而，在大多数情况下，这种理想的选择是不可能抽样和评估的。PIMH取样器建议使用SMC近似^πψ（γ1:T |κ0:n）作为建议密度，并将接受概率计算为α（γ′1:T，γ1:T）=1∧^πψ（κ0:n）′^πψ（κ0:n）〔j〕- 1] ，（66）式中，^πψ（κ0:n）′和^πψ（κ0:n）[j- 1] 是SMC（见Lemma 5.1）在当前MCMC迭代j和上一次迭代j中估计的无偏边际可能性- 分别为1。可以看出，PIMH采样器的不变分布是目标分布πψ（γ1:T |κ0:n）（Andrieu et al.（2010））。仍需指定SMC近似值^πψ（γ1:T |κ0:n）（附录B）。

我们使用所谓的bootstrap滤波器，即SMC算法中的建议分布来绘制由状态方程（23c）：gt（γt |γ1:t）给出的γt-1，κ0:t）：=πψ（γt |γt-1). （67）因此，重要性权重被评估为wt∝ 重量-1πψ（κt |γt，κt-1） ，（68）式中π（κt |γt，κt-1） 是增量重要性权重。算法5（连同算法6）总结了我们从πψ（γ1:T |κ0:T）采样的方法。算法5 PIMH：从πψ（γ1:T |κ0:T）1采样：迭代j=0：通过算法6获得SMC近似值^πψ（γ1:T |κ0:T）。绘制γ1:T[0]~ ^πψ（γ1:T |κ0:T），并获得相应的边际似然估计^πψ（κ0:n）[0]。2： 对于j=1，NP IM Hdo3：通过算法6获得SMC近似^πψ（γ1:T |κ0:T）。图纸γ′1:T~ ^πψ（γ1:T |κ0:T），并获得相应的基本似然估计^πψ（κ0:n）′。4： 绘制u~ U（0，1）。Ifu<πψ（κ0:n）′πψ（κ0:n）[j- 1] ，（69）集γ1:T[j]=γ′1:Tandπψ（κ0:n）[j]=πψ（κ0:n）\'；否则设置γ1:T[j]=γ1:T[j- 1] 和^πψ（κ0:n）[j]=^πψ（κ0:n）[j- 1].5： 结束6：获得γ1:T[NP IM H]作为πψ（γ1:T |κ0:T）的样本。5.2.4从π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T）取样我们假设（αx:xp，βx:xp，θ，σε，σγ，λ，λ，γ）的先验值为αx~ N（△uα，△σα），βx~ N（△uβ，△σβ），θ~ N（￠uθ，￠σθ），σε~ IG（△aε，△bε），（74a）σγ~ IG（▄aγ，▄bγ），λ~ N个[-1,1](~uλ, ~σλ), λ~ N（￠uλ，￠σλ），γ~ N（△uγ，△σγ），（74b），其中x=x，X和N[-1,1]表示带支撑的截断高斯分布[-1, 1].

假设所有参数的先验是独立的。密度π（ψ|κ0:T，γ1:T，y1:T）的样品通过以下后验取样获得：αx | y1:T，κ，γ，ψ-αx~ NДuασε+ДσαPt（yxt- βxκt）t▄σα+σε，▄σασεt▄σα+σε, （75）βx | y1:T，κ，γ，ψ-βx~ N∑βPt（yxt- αx）κt+￠uβσε￠σβPtκt+σε，￠σβσε￠σβPtκt+σε！，（76）θx | y1:T，κ，γ，ψ-θ~ Nuθ/￠σθ+Pt（κt- κt-1） /eγt1/~σθ+Pt1/eγt，1/~σθ+Pt1/eγt, （77）算法6πψ的自举滤波器（γ1:T |κ0:T）；参见附录B1：t=1时：从πψ（γ|γ）中画出γ（i）。设置▄w（i）=πψ（κ▄γ，κ），w（i）=▄w（i）/PNj=1▄w（j）。2： 对于t=2，T do3：从πψ（γT |γ（i）T）中画出γ（i）T-1） 设置γ（i）1:t=（γ（i）1:t-1，γ（i）t）；（70）4：评估▄w（i）t=▄w（i）t-1·πψ（κt |γ（i）t，κt-1); （71）5：归一化：w（i）t=~w（i）PNj=1 ~w（j）t；（72）6：EvaluateNeff=NXi=1（w（i）t）！-1.（73）7：如果Neff<0.8N，则从w（j）t，γ（j）1:tNj=1，设置w（i）t=N.8：结束9：获得^πψ（γ1:t |κ0:t）=PNi=1w（i）tδγ（i）1:t（γ1:t）。σε| y1:T，κ，γ，ψ-σε~ IG▄aε+pT，▄bε+TXt=1pXx=1（yxt- （αx+βxκt））！，（78）σγ| y1:T，κ，γ，ψ-σγ~ IG▄aγ+T，▄bγ+TXt=1（γT- λγt-1)!, （79）λ| y1:T，κ，γ，ψ-λ~ N个[-1,1]σγИuλ+~σλPtγt-1γtσγ+～σλPtγt-1、▄σλσγσγ+▄σλPtγt-1., （80）λ| y1:T，κ，γ，ψ-λ~ NσγИuλ+~σλPt（γt- λγt-1） σγ+T▄σλ，▄σλσγσγ+T▄σλ, （81）γ| y1:T，κ，γ，ψ-γ~ Nσγ~uγ+ ~σγλγσγ+ ~σγλ,~σγσγσγ+ ~σγλ. （82）后验分布的获得与第5.1.2.6节经验分析相似：丹麦男性人口在本节中，使用表2中总结的模型对丹麦死亡率数据进行了真实数据经验研究。第3节介绍了LC、LC-H和LCSV模型。虽然LC-H模型解决了观测方程中的异方差问题，但LCSV模型试图将随机波动性纳入状态动力学。

LCSV-H模型我们还使用合成数据进行了大量模拟研究，以证实我们估算方法的有效性，但出于空间考虑，此处省略了这些方法。可根据要求提供。包括LC-H模型和LCSV模型的两个特征，因此可以充分考虑长期死亡率动态的可变性。人类死亡率数据库提供了从1835年到2011年丹麦人口的一系列特别长的死亡率数据，并补充了详细的数据分析文件（Andreev（2002））。提供长时间序列对于我们分析随机波动性很重要。在过去几十年中，发达国家的死亡率趋势总体上呈现出较为平稳的格局。将涉及战争、流行病或其他生命关键事件的时期包括在内，是见证死亡时间序列显著波动的关键因素。接下来，我们根据表2的模型和本文研究的贝叶斯方法分析了丹麦的人口死亡率。然后，我们根据死亡率和寿命预测特性检验模型。我们还对死亡率预测中的线性趋势假设和跳跃效应偏差进行了评论。模型名称DynamicLee Carter（LC）模型LC（3）-（4）具有异方差的LC模型LC-H（22）LC随机波动率（SV）模型LCSV（23）具有异方差的LC-SV-H模型LC-H和LCSV的组合表2：我们实证研究中考虑的状态空间死亡率模型总结。6.1数据描述dat a集合包括丹麦21个年龄组（0、1-4、5-9、…、95-99）的男性人口死亡率，从18年到35年，其中2010年为年末。图1显示了成年雄性种群对数死亡大鼠的一些时间序列。

很明显，对于不同的年龄组，多维时间序列表现出不同的波动性，这证明了将异方差引入观测方程的合理性，如第3.1节所述。我们还观察到，主要是在1950年之前，某些年龄组的死亡率波动性存在显著差异。这种波动性在时间维度上的变化表明，随机波动性可能存在于潜在的时间周期效应中。6.2估计结果在我们的实证研究中，我们侧重于贝叶斯推理和预测。我们假设先验模糊，因此所有推断主要基于数据，先验的影响不是实质性的。以LCSV模型为例，我们假设κ~ N（0，10），αx~ N（0，10），βx~ N（0，10），θ~ N（0，10），σε~ IG（2.001，0.001），σγ~ IG（2.001，0.001），λ~ N（0，10），λ~ N（0，10）和γ~ N（0，10），其中x∈ {x，…，xp}。马尔可夫链的迭代次数为15000次，老化次数为5000次。我们将αx=TPTt=1yx，βx=0.2作为识别约束。丹麦死亡率数据（1835-2010）的静态参数（α和β除外）估计值如表3所示。其余估计参数和状态如图2所示。

这里，我们仅显示了LCSV-H模型的曲线图，因为gureshttp://www.mortality.org/（2015年9月访问）1850 1900 1950 2000-10-8.-6.-4.-2 0年死亡率组0年龄组5-9age组15-191850 1900 1950 2000-7.-6.-5.-4年死亡率Sage group 25-29年龄组35-39年龄组45-491850 1900 1950 2000-5-4-3-2.0年死亡率第55组-59年龄组65-69年龄组75-791850 1900 1950 2000-2-1.5-1-0.5 0.0年死亡率组85-89年龄组90-94年龄组95-99图1:1835-2010年丹麦男性人口的对数死亡率系列。从LC、LC-H和LCSV模型获得的数据在视觉上与LCSV Hmodel的情况相似。从图2可以明显看出，有些时期，即1850-1870、1910-20、1930-1950，与其他时期相比，时间效应κ表现出更高的波动性。我们还观察到，κ在1990年后显著下降，在1950-2010年的近期相对平稳。对数波动率过程γ1835:2010（图2）的过滤量化了时间效应的波动率水平（eγt），并进一步证明了重要性的随机波动性。为了更清楚地看到波动率变化的现象，我们绘制了第一个差异\'κt=\'κt- \'-κt-在图e 2中，对于LCSV-H模型，其中“κt表示κt的后验平均值，t=1836，2010年。它明显显示了潜在过程κt中波动水平的变化。估计对数波动率γ1835:2010的模式和第一个差异κtclayerly指出，对于时间效应，假设波动率为常数（σω）是不合适的。状态空间建模方法能够揭示隐藏在死亡时间序列中的特定异方差结构。

图2显示，对于非常年轻和非常年老的年龄组，死亡率特别高。异方差结构对预测的影响将在第6.4节中讨论。为了研究随机波动率模型的预测性能，我们还基于1835-1990年和1950-1990年的校准期对模型进行了估计。图3和图4显示了这些时期LCSV-H模型的估计参数和状态。LC LC-H LCSV LCSV-Hθ-0.11（-0.17，-0.06）-0.11（-0.17，-0.06）-0.11（-0.15，-0.07）-0.0 9（-0.14，-0.04）σε0.023（0.0 22，0.024），类似于图2 0.023（0.022，0.024）图2σω0.13（0.09，0.18）0.15（0.10，0.21）N.A.N.A.λN.A.N.A.0.989（0.962，0.999）0.984（0.9 49，0.999）λN.A.N.A.-0.025（-0.11，0.042）-0.03（-0.15，0.05）σγN.A.N.A.0.15（0.03，0.48）0.25（0.06，0.67）γN.A.N.A。-2.09（-4.52，0.23）-2.11（-5.04，0.47）表3：丹麦男性死亡率数据（1835-2010）的静态参数估计值（α和β除外）。（，）中的范围表示95%可信区间。（N.A.：不适用）6.3模型评估为了将模型的fit与da进行比较，我们采用偏差信息准则（DIC）作为模型复杂性和fit的贝叶斯度量（Spiegelhalter et al.（2002））。通常使用条件DIC评估和比较模型与潜在变量（Berg et al.（20 04），Celeux et al.（2006））。具体而言，我们使用所谓的条件对数似然，计算为ln f（y1:T |ψ，κ1:T）=xpXx=xTXt=1-ln 2π- lnσε，x-yx，t- （αx+βxκt）σε，x!. （83）注意，可能性取决于包括bot h静态参数和潜在过程κ在内的参数。

使用条件对数似然函数，偏差定义为asD（ψ）=-2 ln f（y1:T |ψ）+2 ln h（y1:T），（84），其中ψ=（ψ，κ1:T），我们假设h（y1:T）=1，因为在模型中，我们认为它扮演一个常数的角色，这对于竞争模型是相同的。有效维度pD为aspD=(R)D（ψ）- 其中，D（ψ）和ψ分别表示D（ψ）的平均值和ψ的后验分布的平均值。条件DIC由DIC给出：=\'D（ψ）+pD=2\'D（ψ）- D（°ψ），（86），可使用MCMC样品直接评估。校准周期：1835-2010 1835-1990 1950-1990 LC-3218.6-3087.5-156 7.3LC-H-4469.1-4269.7-179 3.6LCV-3250.8-3109.7-155 9.7LCSV-H-4518.3-4326.8-179 4.1表4：具有不同校准周期的车型的DIC。5 10 15 20-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1α年龄组平均95%CI5 10 15 200.00 0.10 0.20β年龄组平均95%CI5 10 15 200.00 0.05 0.10 0.15 0.20σε2年龄组平均95%CI1850 1900 1950 2000-10-5 0 5 10千年平均95%CI1850 1900 1950 2000-6.-4.-2 0γ年平均95%CI1850 1900 1950 2000-2.-1 0 1 2κTyear图2（上面板）α、β和σx的估计：x，ε；（下面板）时间效应κ1834:2010、对数波动率γ1835:2010和第一个差异κt，用于丹麦男性死亡率数据（1835-2010），使用THLCSV-H模型。具有不同校准周期的模型的DIC值f如表4所示。异方差结构的加入显著改进了LC和LCSV模型。在较长的校准周期内，LCSV模型的性能优于LC模型。这表明，LCSV模型的较好拟合度足以弥补其复杂性的增加。

对于短期校准期（1950-1990年），LC模型的表现优于预期的LCSV模型，因为在短期内死亡率的演变是平稳的，并且在LC模型中引入随机波动性没有明显的优势。6.4预测在本节中，我们研究了表2中总结的死亡率模型的预测特性，其中包括异方差和随机波动结构。我们的分析基于（对数）死亡大鼠和预期寿命的预测分布。贝叶斯状态空间框架允许我们使用MCMC样本获得预测分布，如下所示。DIC值越低，模型在效率和复杂性方面就越好。5 10 15 20-6.-5.-4.-3.-2.-1α年龄组平均95%CI5 10 15 200.00 0.10 0.20 0.30β年龄组平均95%CI5 10 15 200.00 0.05 0.10 0.15σε2年龄组平均95%CI1850 1900 1950-5 0 5千年平均95%CI1850 1900 1950-10-8.-6.-4.-2 0 2γ年平均95%CI1850 1900 1950-2.-1 0 1 2κTYEAR图3（上面板）α、β和σx的估计：x，ε；（下面板）时间效应κ1834:1990、对数波动率γ1835:1990和第一个差异κt，用于丹麦男性死亡率数据（1835-1990），使用THLCSV-H模型。6.4.1死亡率对于LC（LC-H）模型，给定y1:T的yT+k的k步预测分布由π（yT+k | y1:T）=Zπ（yT+k |κT+k，ψ）π（κT+k |κT+k）给出-1, ψ) . . . π（κT，ψ| y1:T）dψdκT:T+k，（87），其中ψ是LC（LC-H）模型的参数向量。（87）表明我们可以通过抽样获得预测分布，对于k≥ 1，如下κ(l)T+k~ Nκ(l)T+k-1+ θ(l),σω(l), （88a）y(l)T+k~ Nα(l)+ β(l)κ(l)T+k，∑(l), （88b）其中l = 1.L和L是老化后MCMC迭代的次数。这里，∑是一个对角线矩阵，其中σε，xon是LC-H模型的对角线，σε是LC模型的对角线。

此过程重新生成预测分布的估计值。类似地，LCSV（LCSV-H）模型的预测分布为π（yT+k | y1:T）=Zπ（yT+k |κT+k，ψ）π（κT+k |κT+k-1，γT+k，ψ）。π（γT+1 |γT，ψ）π（κT，γT，ψ| y1:T）dψdκT:T+kdγT:T+k.（89）5 10 15 20-8.-6.-4.-2α年龄组平均95%CI5 10 15 200.00 0.05 0.10 0.15 0.20β年龄组平均95%CI5 10 15 200.02 0.04 0.06 0.08σε2年龄组平均95%CI1950 1960 1970 1980 1990-4.-2 0 2 4千年平均95%CI1950 1960 1970 1980 1990-7.-6.-5.-4.-3.-2.-1γ年平均95%CI1950 1960 1970 1980 1990-2.-1 0 1 2κTYEAR图4（上面板）α、β和σx的估计：x，ε；（下面板）时间效应κ1949:1990，对数波动率γ1950:1990和第一次差异κt，丹麦男性死亡率数据（1950-1990），使用THLCSV-H模型。对于k≥ 1、预测分布可通过递归采样γ获得(l)T+k~ Nλ(l)γ(l)T+k-1+ λ(l),σγ(l), （90a）κ(l)T+k~ Nκ(l)T+k-1+ θ(l), exp{γ(l)T+k}, （90b）年(l)T+k~ Nα(l)+ β(l)κ(l)T+k，∑(l), （90c）其中l = 1.五十、 ∑是一个对角线矩阵，其中σε，xon是LCSV-H模型的对角线，σε是LCSV模型的对角线。图5显示了以LC模型为基准，基于LC-H、LCSV和LCSV Hmodel的预测对数死亡率。我们将年龄组5-9、35-39、6 5-69和95-99显示为年轻、成年、老年和高龄的代表。模型使用1835-2010年期间的数据进行估计，并预测30年。LC-H模型的异方差结构使年轻和高龄组的预测区间大大增大，而35-39岁组的预测区间比LC模型的预测区间窄。另一方面，与LC模型相比，LCSV模型产生了更宽的预测区间，但高龄组除外。

观察到的更宽预测区间是由于波动率水平在最后的估计期内不断增加，并且大于LC模型中估计的nσω。此外，随着老年人的估计βxis接近于零（图2），随着年龄的增长，预测κ对死亡率预测的影响显著降低。LCSV-H模型显示出与LC-H和LCSV模型相似的特征。值得注意的是，不同模型得出的预测平均值非常相似，它们的差异主要在于预测间隔。为了进一步说明LCSV模型的预测特性，我们估计了1835-1990年期间的模型，并在图6中绘制了20年样本外预测的原木死亡率。结果表明，LCSV模型预测的预测区间往往比LC模型小，因为在这种情况下，LC模型中估计的σω大于LCSV模型最后一个估计期的波动水平。请注意，与基准L C模型相比，LC-H模型产生的预测分布是有偏差的，因为上一个估计期（即1990年）的数据对于LC和LC-H模型是不同的。这一特性被称为跳跃误差（Lee和Miller（2001））。可以通过强制预测死亡率从实际死亡率开始，而不是从固定死亡率开始，来消除这种跳跃效应偏差（Bell（1997）和Shang等人（2011））。然而，在本文中，我们不执行此过程。图7显示了对数死亡率的预测分布，其中我们假设1950年至1990年的校准期较短。对于所有模型，除0、1-4和5-9岁年龄组外，所有年龄组的估计βx都非常接近于零。

事实上，这是可以预期的，因为在1950-1990年期间，除了前几个年龄组之外，观察到的死亡率数据没有明显的下降趋势。因此，LC模型和LCSV模型产生的预测分布之间只有很小的差异，但年轻组除外。请注意，图7所示的一些中年男性死亡率数据有明显的下降趋势。这会导致样本外数据超出95%可信区间的下限，其对预期寿命预测的影响将在第6.4.2节和第6.4.3节中讨论。通过比较图6和图7所示的样本数据fr 1835-1990和fro m1950-1990的预测性能，我们揭示了忽略可能显著影响人口死亡率的重要历史事件对准确模拟人口动态趋势和波动结构的能力的影响。特别是，我们注意到，当从样本中排除重要历史事件时，预测性能可能会显著下降，因为使用1835-1990年数据的预测明显优于仅使用19501990年较短校准数据a的预测。6.4.2使用预测对数死亡率y样本的预期寿命(l)x、 t=ln^m(l)x、 t，其中l = 1.L和L是MCMC样本的数量，我们可以通过构建简化寿命表来获得不同时期的所谓预期寿命，因为我们使用年龄组数据，如下所示（Koissi et al.（2006），Yusuf et al.（2014））。我们考虑ge group x∈ {0，1-4，5-9，…，95-99}和▄x被定义为ge组x的初始年龄，即▄x∈ {0, 1, 5, . . . , 90, 95}.

定义n▄x为年龄组x的区间长度（对应于▄x），因此n=1，n=4，n=5，n=5。然后，我们计算（粗略的）死亡概率，即t年x岁的人将在下一个nxyears asnx^q年死亡(l)x，t=nx^m(l)x、 t1+nx（1- a（￠x，n￠x））^m(l)x、 t，（91）死亡概率是“粗略的”，因为粗略的死亡率用于计算。有关粗略和真实死亡概率的分析，请参见Dowd等人（2010）。式中，a（～x，n≈x）是在该时间间隔内出生的人所生活的nx耳朵的平均分数。使用死亡人数在区间内均匀分布的假设，我们为每x设置一个（x，nx）=0.5(l)~x+n ~x，t由l确定(l)x+n  x，t=l(l)x，t1.-nxq(l)x，t其中l(l)0，假设为100，00 0。然后我们可以计算死亡人数nxd(l)x，t=l(l)x，t- l(l)x+n▄x，和人年寿命DN▄xL(l)x，t=n  xl(l)~x+nx，t+a（~x，nx）×nxd(l)x，t. l的未来总寿命(l)~x，T达到~x的人是T(l)x，t=π≥xn  xL(l)i、 t，其中i∈ {0, 1, 5, . . . , 90, 95}. 最后，从中获得了x岁时的周期寿命预测样本(l)x，t=t(l)x，吨/升(l)x，t（92）和分布在不同的预测年t=t+k，其中k≥ 备注6.1（周期和队列预期寿命）周期预期寿命假设未来死亡率没有趋势（根据固定年份t的特定年龄死亡率进行评估），而队列预期寿命是队列寿命后的死亡率总和，因此它考虑了死亡率趋势。例如，为了评估t年65岁时的预期寿命，需要{q65，t，q70，t，…，q95，t}，而对于队列预期寿命，则使用{q65，t，q70，t+5，…，q95，t+30}。

然而，由于一些死亡率数据尚待观察，因此无法单独使用数据评估近年来埃博恩人群的预期寿命。因此，我们将重点放在预期寿命上，以便我们的预测可以与观察到的数据进行比较。图8显示了使用1835-2010年数据估计的所有模型在出生、65岁和85岁时的30年预期（周期）寿命。有趣的是，LC和LC-H模型的预测出生时预期寿命相似。与LC模型相比，它反映了预测LC-H模型产生的脱烃时间间隔对于某些年龄组更宽，而对于其他年龄组更窄的fa-ct。这些影响往往会相互抵消，因为所有年龄组的死亡率被汇总，形成出生时的预期寿命，从而得出出生时的预期寿命分布具有可比性。然而，这一解释不适用于65岁和85岁的预期寿命，因为只有65岁和85岁以上年龄组的预测死亡率才用于获得相应的预期寿命分布。由于与LC模型相比，LC-H模型生成的老年组死亡预测区间更窄，因此LC-H模型生成的65岁和85岁预期寿命分布预测区间明显小于LC模型。与LC模型相比，L CSV模型预测死亡率的更高可变性意味着预期寿命的预测间隔更短。与死亡率预测类似，LCSV-H模型在预期寿命预测方面既具有LC-H模型的特点，也具有LCSV模型的特点。由于我们使用固定死亡率而不是跳跃年（即2010年）的观察死亡率，因此预测死亡率存在跳跃偏差。

预测寿命人类死亡率数据库提供了简略的生命表，其中包含不同时期a（～x，n～x）的特定值。为了便于比较，我们使用了典型的假设，即a（≈x，nx）=0.5。对于考虑年龄组（即x=x）的特殊情况，一年死亡概率qx，t年定义为死亡人数与当年出生人口的比率。假设有一半的死亡发生在今年上半年，那么我们有qx，t：=Dx，t/（Ex，t+0.5 Dx，t）=^mx，t/（1+0.5^mx，t），其中Ex，是年中的人口。当考虑年龄组时，一般情况下的nx年死亡概率（91）可以类似地推导出来。65岁时的经验对这种跳跃效应偏见特别敏感。从1990年开始，65岁以上年龄组的死亡率突然下降，因此观察到65岁时的预期寿命增加。考虑到1835-1990年的校准期，跳变偏差明显较小，见图9。正如预期的那样，使用1950-1990年的mo r t alitydata估计的所有模型的出生时和65岁时预期寿命的预测分布是相似的（图10）。请注意，在这种情况下，除了85岁时的预期寿命外，95%可信区间捕获的样本数据很少。从1990年左右开始，丹麦死亡率数据中中年组的死亡率出现了显著下降趋势的突然变化，见图7，以及跳跃效应偏差。

我们将在下一节讨论线性趋势假设和跳跃效应偏差。6.4.3线性趋势假设和跳跃效应偏差在进行死亡率和预期寿命预测时，我们使用表2中总结的模型，其中LC-H、LCSV和LCSV-H模型是Lee-Carter模型的变体，其中假设了周期效应的线性趋势。然而，对于我们使用的丹麦男性死亡率数据，整个1835年至2010年期间的总体趋势是线性的，但如图6-7所示，在较短的1950年至2010年期间，情况可能并非如此。特别是，我们在图e 7中观察到，中年组的死亡率有明显的趋势变化。这种趋势的变化即使不是不可能，也很难从时间和幅度上进行预测。我们还对法国男性死亡率数据进行了分析，发现了类似的模式。因此，出于预测目的，有人可能认为专家意见将是预测死亡率的一个重要因素。即使仅使用数据无法合理准确地预测短期内死亡率趋势的任何变化，但如果死亡率的瞬时波动率是量化的，则可以检测到。例如，使用CSV-H模型，对数波动率γ是量化的，我们从图2中观察到，在经过几十年的下降后，γ在1990年左右开始增加。波动性水平的变化不仅影响了前面章节中讨论的预测区间，还表明死亡率的变化加剧了，人们应该注意趋势是否发生变化。我们还发现，第6.4.1-6.4.2节中讨论的跳跃效应偏差是预测死亡率和寿命预期的一个重要因素。

我们注意到，直接通过调整（88）-（90）来消除跳跃效应偏差，以便在预测期开始时使用实际死亡率，而不是固定的死亡率。我们在本文中没有提供相应的图，但我们可以通过简单地将预测分布移动，从而将预测平均值附加到估计期末的（样本中）数据，来设想结果。消除跳跃效应偏差将对死亡率预测的准确性产生重大影响，尤其是当数据显示出明显的趋势时。7结论性意见我们开发并提出了一个用于随机死亡率建模的综合状态空间框架。状态空间方法有两个关键优势。首先，它将死亡率的建模、估计和预测置于一个统一的框架内，与该领域的常见做法形成对比。第二，该方法允许对现实和复杂的死亡率模型进行估计和预测，这可能很难用其他方法处理。我们表明，文献中存在的许多流行的死亡模型都可以是不稳定空间形式。然后，我们提出了几类可分为线性高斯状态空间模型和非线性/非高斯状态空间模型的模型。我们的建议并不详尽，但旨在说明该方法的灵活性。特别是，我们将异方差性和随机波动性纳入死亡率模型，因为对死亡率数据的检查表明，在很长一段时间内，死亡风险的波动性在年龄和时间维度上不是恒定的。

此外，我们还为Lee-Carter型建模提出了一种替代的识别约束，该模型是为状态空间方法量身定制的。基于统计学文献中最近发展起来的边缘化似然的g r adient和Hessian，对随机死亡模型进行了Fr等式状态空间推断，并对其进行了解释。我们还利用一种现代的贝叶斯推理方法对状态空间建模，该建模依赖于PMCMC框架。特别是，我们开发了一个采样器，该采样器使用R ao黑井化K阿尔曼滤波器和粒子滤波器的组合，用于潜在状态过程的全后验条件，并结合静态模型参数的吉布斯采样步骤来估计本文提出的死亡率随机波动模型。利用丹麦男性人口的死亡率数据，我们评估了基于生存条件标准的扩展模型。研究发现，引入异方差是模型拟合的一个关键改进因素，同时考虑了模型的复杂性。随机波动率的合并明显提高了长期致命时间序列拟合的模型性能。长校准周期的估计结果支持随机波动性假设。我们表明，在巴依山环境下，可以在状态空间框架内直接进行预测。我们使用不同的校准周期来检验模型的预测特性。异方差性和随机波动性的加入极大地影响了死亡率和预期寿命分布的预测区间。根据完整的死亡率数据，讨论了死亡率建模中常见的线性趋势假设和跳跃效应偏差。状态空间框架提供了对实体建模非常重要的吸引人的特征。

本文开发和显示的方法和结果将对精算应用中的长寿风险管理具有重要意义，这是未来研究的主题。致谢本研究得到了CSIRO莫纳什养老金研究集群的支持，该集群由CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、威斯特瑙斯特拉利大学、华威大学和退休系统利益相关者共同合作，旨在为所有人带来更好的结果。这项研究也得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（项目编号：DP160103489）的部分支持。附录A微分矩阵在对LC-H模型的基本估计中，参数向量用ψ=（αx:xp，βx:xp，σε，x:xp，θ，σω）表示，维数n=3p，其中p是考虑的年龄增长数。我们需要评估αψi，βψi，Σψi，θψi和σωψiin基于梯度的估计（第4.2节）。定义ψα：=ψ1:p-1=αx:xp（：=α-x） ，ψβ：=ψp:2p-2=βx:xp（：=β-x） ψσε：=ψ2p-1： 3p-2=σε，x:xp，ψθ：=ψ3p-1=θ，ψσω：=ψ3p=σω。那么我们有(α-x） j（ψα）i=δij=(β-x） j（ψβ）i，i，j=1，p- 1.（∑）jj（ψσε）i=δij，i，j=1，pθψθ= 1 =σωψσω，其中，如果j=i，δij=1，否则为零；∑是对角线σε的对角线矩阵，x:xp。请注意(α)（ψα）i=(β)（ψβ）i=0表示i=1，p- 1，其中α=αx:xp，β=βx:xp。附录B SMC方法综述SMC，也称为粒子滤波，可被视为卡尔曼滤波instate空间建模背景的推广。该方法基于重要抽样，已成为许多领域中基于抽样的重要工具（Doucet et al.（2001））。下面，我们简要回顾了使用LCSV模型（23b）-（23 c）的方法，作为导出基本粒子滤波算法的示例。

我们的目标密度是随机波动率状态的联合后验分布：π（γ1:t |κ0:t）（93），其中模型a的参数被假定为已知，并且为了便于旋转，在这里被抑制。为了应用重要性抽样，我们首先计算π（γ1:t |κ0:t）=π（κt |γ1:t，κ0:t-1） π（γ1:t |κ0:t-1） π（κt |κ0:t-1） =π（κt |γ1:t，κ0:t-1） π（γt |γ1:t-1，κ0:t-1） π（κt |κ0:t-1） π（γ1:t-1 |κ0:t-1） =π（κt |γt，κt-1） π（γt |γt-1） π（κt |κ0:t-1） π（γ1:t-1 |κ0:t-1). （94）假设重要性密度满足yg1:t（γ1:t |κ0:t）：=gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）g1:t-1（γ1:t-1 |κ0:t-1） （95）重要性权重由▄wt=π（κt |γt，κt）给出-1） π（γt |γt-1） π（κt |κt-1） gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）π（γ1:t-1 |κ0:t-1） g0:t-1（γ1:t-1 |κ0:t-1)∝π（κt |γt，κt-1） π（γt |γt-1） gt（γt |γ1:t-1，κ0:t）~wt-1： =^wtwt-1，（96），其中^wt称为增量重要性权重。然后，获得的非平均重要性权重为w（i）t：=~w（i）t/PNj=1w（j）t。总之，假设我们有N条路径（γ（i）1:t-1，w（i）t-1） Ni=1，近似密度π（γ1:t-1 |κ0:t-1） 在时间t- 那么，f r om（95），时间t的第i个粒子路径由γ（i）1:t=（γ（i）1:t）给出-1，γ（i）t），其中γ（i）t从mgt中取样（γt |γ（i）1:t-1，κ0:t）。目标密度π（γ1:t |κ0:t）近似为（γ（i）1:t，w（i）t）Ni=1，其中从（96）中获得标准化重量w（i），并进行标准化。简并问题，即大多数icle路径可能具有可忽略的光线，可以通过重采样来处理。具体而言，我们定义了所谓的有效样本大小off：=NXi=1（w（i）t）！-1.（97）在每个时间t，如果Neffis小于某个阈值（例如，N的80%），则我们抽取样本（由N（i）表示，i=1，N） 从概率权重为w（i）t的多项式分布，i=1。

，N，并将粒子路径γ（i）1:tby替换为γ（N（i））1:t，并设置w（i）t=1/N。重采样步骤允许保持粒子路径与其重量成比例，t端丢弃重量可忽略的t软管。ReferencesAnalitis，A.、Katsouyanni，K.、Biggeri，A.、Baccini，M.、Forsberg，B.、Bisanti，L.、Kirchmayer，U.、Ballester，F.、Cadum，E.、Goodman，P.等人，2008年。寒冷天气对死亡率的影响：PHEWE项目中15个欧洲城市的结果。《美国流行病学杂志》168（12），1397–1408。Andreev，K.F.，2002年。1835年至2000年丹麦人口的演变。欧登塞大学出版社。Andrieu，C.，Doucet，A.，Holenstein，R.，2010年。粒子马尔可夫链蒙特卡罗方法。《皇家统计学会杂志》B辑72269–342。贝尔，W.R.，1997年。比较和评估用于预测特定年龄生育率和死亡率的时间序列方法。《政府统计杂志》13（3），279–303。Berg，A.，Meyer，R.，Yu，J.，2004年。比较随机波动率模型的偏差信息准则。《商业与经济统计杂志》22（1），107–120。Bi ffis，E.，2005年。动态死亡率和精算估值的有效流程。保险：数学与经济37（3），443–468。Brouhns，N.，Denuit，M.，Vermunt，J.K.，2002年。构建预测寿命表的一种对数双线性回归方法。保险：数学与经济学31373–393。凯恩斯，A.，布莱克，D.，多德，K.，2006年。具有参数不确定性的随机死亡率双因素模型：理论和校准。《风险与保险杂志》73（4），687–718。凯恩斯，A.，布莱克，D.，多德，K.，2008年。死亡风险的建模和管理：综述。《斯堪的纳维亚纪事杂志》2（3），79–113。凯恩斯，A.、布莱克，D.、多德，K.、考夫兰，G.、爱泼斯坦，D.、翁，A.、巴列维奇，I.、20 09。

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