当起始向量离最优值不太远时，该解算器的收敛速度通常会快2.5到5倍。尽管两者都是局部优化器，但我们相信它们可以用来找到真正的（全局）最小值。使用许多不同的起点进行的广泛测试表明，两者都收敛到相同的向量。使用Mathematica的NMimimize全局优化例程，我们在测试的每种情况下都进一步验证了该解决方案。NMinimize还作为PDE引擎的折磨测试，探索参数空间的所有角落。尽管“困难”的参数集（以及分辨率不足）通常会触发重新定价机制，但所有方案都能产生有效的价格。即使如此，在实践中，总优化时间也不会受到显著影响。用于测试的允许参数范围为：,  ,  ,  ,, 涵盖了大多数市场情景。4.2 PDE引擎测试-原则为了测试时间推进方案的收敛行为，我们将空间分辨率固定为   并使用BDF3模式计算（时间收敛的）基准价格. 我们还应用了空间Richardson外推。这样一来，空间离散化误差很低，但与时间误差相比，误差不可忽略。尽管如此，我们发现这两个错误只是弱相关的，因此可以正确评估方案的比较性能。价格是通过方法I下的目标函数评估获得的，这意味着链中的每个选项都是单独定价的，并且是根据Sec中描述的决议覆盖/重新定价规则进行定价的。3.

各种  根据与基准价格的差异计算，RMSE用作每个方案总体绩效的指标。图1显示了HV1、HV2、MCS和BDF3方案的结果，以及带有Rannacher时间步进的HV1方案（以下简称HV1D）。左边的点对应于实际 （和CPU时间），而右侧的则包括在内，以更好地说明渐近行为。我们绘制了相对（相对于绝对）定价误差，因为这些误差与隐含波动率的误差以及校准模型参数的误差更密切相关。HV1、HV2和MCS方案在对数尺度上显示RMSE和CPU时间之间的线性关系。这反映（并证实）了它们的理论二阶收敛性，以及它们的执行时间与NT成正比的事实。隐式Euler阻尼步骤（需要对整个系统矩阵进行昂贵的因式分解）引入了前期成本，从而降低了HV1D方案的效率。ChainA的HV2曲线左侧不规则的前两个点就是重新定价机制的一个例子：这里的方案精度太低，导致链中的一些选项无法通过“负值测试”（然后使用不同的配置重新评估）。最后，对于BDF3方案，我们有一个前期成本，就像HV1D一样，是由于初始矩阵分解，导致实际应用的效率显著降低.

总的来说 这种效应被稀释，该格式被视为证实了其理论三阶收敛性。（复合）RE解决方案结合了  以及(  ) 网格。图1中误差曲线的最右侧点对应于 对于ADI方案和 对于BDF3。图1：。时间推进格式的计算效率。链A（246个选项，左）和链B（68个选项，右）定价的RMS相对时间误差与CPU时间。表1中的模型参数。总体而言，HV1、HV1D和MCS方案提供了相当的性能。基于目前和更多类似的测试，HV1方案很可能是最佳选择。在典型使用情况下，任何杂散振荡似乎都不会显著影响其校准性能。添加阻尼的总体成本较低，而HV1D方案实际上为ChainB产生了较低的（相对）误差。MCS方案仍然是所考虑的ADI方案中最健壮的方案，通常与HV1/HV1D一样精确，但它在每个时间步上的计算成本稍高。HV2scheme是性能最差的，我们在此不再考虑它。最后，BDF3方案的表现好于预期，在链A的相对误差低于0.02%的情况下，BDF3方案的表现开始优于ADI方案。有趣的是，注意到链B的所有时间离散化误差都大约小一个数量级，这使得BDF3方案在这种情况下的竞争力降低。总的来说，我们（毫不奇怪）发现它无法与最佳ADI方案的效率相匹配，以实现实际准确性目标。4.3 PDE发动机测试-校准（方法一）我们现在根据最终结果，即校准模型的参数，测试PDE发动机的性能。

表1给出了基准值，使用BDF3方案和      使用空间RE。表1：。基准校准模型参数选项链A（2017年3月31日）0.0109350.0391395.39056.8997-0.74579选项链B（2010年2月1日）0.0448160.0885293.66955.0333-0.79206图1表明，对于链A，HV1方案比MCS方案更有效，但对于链B，两种方案的性能非常相似。这转化为校准模型参数。表2显示，对于任何与MCS方案相比，校准所需的CPU时间也更低。我们注意到，在这种情况下，BDF3方案 与的精度大致相同。对于链A和链B，与无阻尼HV1相比，绝对误差（未显示）略低。这可能确实表明HV1方案存在轻微振荡（导致精度降低），HV1D方案的附加阻尼成功抑制了该振荡。我们发现HV1D方案的Euler阻尼（Rannacher时间步进）程序可以减少但不能消除虚假振荡，而对于相同的情况，MCS方案是无振荡的（即使没有阻尼）。相比之下，我们没有看到任何相反的情况。10-710-610-510-410-310-210-10.5 5 50RMSESECSHV1DV2MCSBDF310-810-710-610-510-410-310-20.05 0.5 5RMSESECSHV1DV2MCSBDF3HV1方案 也需要同样的时间。表3证实了两种ADI方案对链B参数的精度相似。后者对所有人来说也更加收敛与表2中的链A参数相比，在图1的右图中反映了较低的总体误差。如第。

4.2，我们使用的固定空间分辨率为   使用（空间）RE并使用BDF3方案获得时间收敛的校准模型参数.表2：。根据HV1、MCS和BDF3方案的时间分辨率，校准链A（246个选项）的模型参数收敛。精确（时间收敛）参数集为    .HV1MCSBDF3NT0.0108720.0109200.0109330.0109360.0108640.0109120.0109310.0109360.0109370.0109370.0393220.0391780.0391420.0391340.0393020.0392070.0391500.0391360.0391280.0391315.35185.38215.38915.39085.36355.37645.38765.39045.39205.39156.94806.91306.90396.90176.94976.92236.90616.90236.89966.9009-0.73655-0.74338-0.74511-0.74554-0.73753-0.74197-0.74476-0.74545-0.74586-0.74570CPU（mm:ss）01:5203:2006:2812:4303:0804:2208:2016:0212:1718:20表3。根据HV1、MCS和BDF3方案的时间分辨率，校准链B（68个选项）的模型参数收敛。

精确（时间收敛）参数集为    .HV1MCSBDF3NT0.0448000.0448120.0448150.0448150.0448050.0448130.0448150.0448150.0448140.0448150.0884820.0884800.0884790.0884780.0885080.0884870.0884810.0884790.0884800.0884793.67813.67383.67293.67273.67453.67293.67263.67263.67313.67275.04035.03465.03335.03305.03945.03445.03325.03295.03365.0330-0.79120-0.79205-0.79226-0.79232-0.79121-0.79204-0.79226-0.79231-0.79227-0.79233CPU（mm:ss）00:2000:4001:1602:2700:2600:5201:3903:1001:5602:42A仔细检查两个ADI方案获得的参数序列，并递增（加倍）, 显示非常接近二阶收敛 这表明时间离散化的理论顺序转化为计算的“函数”，即模型参数向量。这表明可能对拟合参数使用（时间）Richardsonextrapolation。表4显示了这种方法的有效性，其中参数向量是使用略有不同的两次连续标定的合成（外推）结果获得的. 第一次校准的矢量可以用作第二次校准的起点，从而缩短了后一次校准的时间。比较例如 表2中的校准（复合）在表4中，对于链A的校准，可以看到使用后者获得的参数明显更加收敛，而CPU时间也较低。与RE一样，应注意不要使用太低的分辨率（在这种情况下). 为了保证良好的再性能，建议使用 和空间REO对校准参数的影响如表5和表6所示。

这里我们使用BDF3方案 因此，时间离散化误差可以忽略不计。基准参数来自表1。尽管分辨率较低，但使用RE获得的参数并不遥远，除非另有说明，否则当前工作中列出的所有校准CPU时间都是使用Excel的Solverstarting从平均值向量获得的.此外，在以下情况下，ADI方案可能不会始终充分阻尼振荡： 太低，可能导致不稳定的收敛，从而导致重新结果。这主要是HV1计划的一个问题。适用于PDE解决方案（选项价格），如第。2.4.3.来自基准值。对于链A，它们实际上收敛到4位数（错误在第四位数的莫斯顿点处），而对于链B，它们的收敛性稍差。在这两种情况下，在不使用RE的情况下获得的参数的准确性明显较低。表4：。使用ADI格式和时间Richardson外推法对给定参数进行模型参数收敛。   利用空间理查森外推。精确（时间收敛）参数集为对于链A和    对于链条B.链条A（246个选项）链条B（68个选项）HV1MCSHV1MCSNT4060801006080103036608303660,800.0109370.0109370.0109380.0109370.0448160.0448160.0448160.0448160.0391300.0391310.0391310.0391310.0884790.0884780.0884810.0884795.39185.39145.39105.39143.67243.67263.67233.67256.90086.90096.90056.90095.03275.03285.03285.0328-0.74571-0.74569-0.74567-0.74568-0.79233-0.79233-0.79231-0.79233CPU（mm:ss）05:0709:0707:0711:2000:5201:0801:0001:20表5。

空间Richardson外推对链A模型参数收敛的影响。空间分辨率（NS×NV）=60×300.0109140.0392325.28056.8705-0.74333（NS×NV）=60×30 w RE0.0109370.0391315.39156.9009-0.74570基准0.0109350.0391395.39056.8997-0.74579表6。空间Richardson外推对链B模型参数收敛的影响。空间分辨率（NS×NV）=60×300.0448110.0886633.60645.0181-0.79212（NS×NV）=60×30 w RE0.0448150.0884793.67275.0330-0.79233Benchmark0.0448160.0885293.66955.0333-0.792064.4使用MAP属性进行更快的校准（方法II）。到目前为止，我们已经提供了校准测试，其中链中的每个选项都单独定价。这些试验证明了PDE发动机的效率；使用这种方法的校准已经停止。我们现在测试目标函数评估的方法II，即使用MAPproperty。根据表4的成功组合，我们选择HV1方案，分辨率为    在拟合参数上使用空间RE和时间RE（结合两次连续标定的结果），NT=（30,36）。正如预期的那样，表7证实了与方法I相比，速度的提高是显著的，尤其是对于最大的链A。参数精度至少是一样好的。很明显，这种方法在实践中效果很好，有效地将校准时间与包含的选项总数解耦。对于我们的任何一个数据集，需要不到一分钟的CPU时间才能达到最大值，而这种标称分辨率是由方法I中的大多数PDE解算器使用的，在方法II的情况下，所有（7或8）解算器确实使用更高的分辨率，如第节所述。

3.1.我们注意到，该代码是在较旧的CPU（4核Intel i7-9202009）上开发的，而不是用于此处报告计时的新10核i97900X CPU。开发CPU上的MAP性能增益几乎是较新CPU的两倍（6倍），最大校准时间仍在2分钟左右。获得的参数的相对（数值）误差为0.05%。我们强调，明智的S-gridconstruction（低到中等的非均匀性）是在货币频谱上保持较低的解决方案误差剖面的关键，并使这种方法起作用。正如我们在第二节中已经提到的。4.1总体定价准确度较低不仅会导致参数不准确，而且（可能更重要的是）会导致优化器收敛速度较慢。表7：。比较定价方法I（每个选项一个PDE解决方案）和方法II（每个到期一个PDE解决方案）。括号中显示了相对误差（与表1的基准参数相比）。A链（246个选项）B链（68个选项）进近IApproach II进近IApproach II0.010937(0.01%)0.010940(0.05%)0.044816(0.00%)0.044818(0.01%)0.039128(0.03%)0.039135(0.01%)0.088479(0.06%)0.088505(0.03%)5.3923(0.03%)5.3906(0.00%)3.6724(0.08%)3.6712(0.05%)6.9010(0.02%)6.8988(0.01%)5.0327(0.01%)5.0323(0.02%)-0.74569（0.01%）-0.74581（0.00%）-0.79233（0.03%）-0.79209（0.00%）CPU（mm:ss）00:03:0000:00:5500:00:5200:00:404.5更多校准结果和与赫斯顿模型的比较我们现在提供详细的校准结果，证明GARCH扩散模型能够适应期权市场，并将其与流行的赫斯顿模型进行比较。使用现有PDE引擎执行赫斯顿校准，然后使用著名的傅立叶积分表示法进行定价，通过独立校准确认产生的参数向量。

图2和图3分别说明了链A和链B中每个期权到期区间的市场适合度。首先，我们可以说，该模型确实能够在短时间内捕捉微笑行为，并实现整体上的体面匹配。（所谓“微笑行为”，我们的意思是IV曲线有一个明显的最小值）。这可以在图2中的前两个图中看到，但在图3中看不到（可以看到赫斯顿模型在这两种情况下都捕捉到了微笑）。原因是，链B中前两次到期的触发点K*（GARCH扩散模型IV曲线出现的地方）进一步位于图中最后一个市场点的右侧（大约K=1225）。总的来说，两次样本校准似乎都表明赫斯顿模型更“灵活”，能够更好地拟合总体数据。另一方面，GARCH扩散模型的拟合看起来更“僵化”。这有点令人惊讶，与Christoffersen等人的研究结果形成对比。虽然我们的双链数据集与他们的数据集相比很小，但我们怀疑调查结果的对比是由于我们的货币覆盖率较低，因为[1]中没有使用下行看跌期权。赫斯顿模式的明显胜利带来了已知的问题。获得的Feller比率非常小， , （0.12和0.29）远低于1。请注意，根据S.Heston 1993年的模型【14】，在P（物理）和Q（风险中性）模型演变下，R是相同的。根据我们的经验，赫斯顿P模型估计值（根据时间序列，使用最大似然）通常具有有一些要抱怨的警告: 对于任何一种模型，P模型参数估计都不是很容易获得的，因为潜在波动率必须是代理的或联合估计的。

此外，P模型时间序列估计通常对是否包括1987年10月19日这样的崩溃日非常敏感。为了使PDE引擎适应赫斯顿定价PDE：调整v扩散和混合衍生效率和相应地，在（17）和（20）中。唯一需要的其他更改是选择.我们相信“射程”， ,  应允许在校准中使用。然而，一旦你在命中范围内找到了最佳Q-估计比，你就不得不考虑其影响。事实上，波动率分布在零处会产生一个可积的散度，v=0成为最可能的值，重复的波动率击中零成为可能。如果P-evolution模型 ,    任意地理机会的发展——至少在构建模型的理想化连续时间世界中。然而，在打击范围内找到一个微笑校准的Feller比率是众所周知的常见现象[15]。图2：。GARCH扩散和赫斯顿模型暗示了链A的到期波动率。表1给出了GARCH扩散模型参数。赫斯顿模型的参数为  和.  GARCH扩散=  1.68%，赫斯顿=  1.28%.赫斯顿-费勒比率=0.12。为了故意夸大费勒比率的问题，我们还只在链A中安装了前两个最短的呼气时间。尽管看起来达到了一个不错的拟合（图4），但赫斯顿模型符合实际为Yzero，伐木率为0.05。另一方面，GARCH扩散模型通过最合理的参数和不为零的波动过程实现了更接近的拟合。

然而，我们校准的波动率-与典型的P估计值相比，GARCH扩散值也可能“过高”。在链条B的情况下（图5），赫斯顿模型表现稍好（if00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天MarketGarcheston00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600KMarketGARCHHeston00.10.20.30.40.50.61000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800IVKT=77天MarketGarcheston00.10.20.30.40.50.6700 1200 1700 2200 2700IVK市场GARCHHESTON00.10.20.30.40.50.6500 1000 1500 2000 2500 3000IVT=259天市场调查00.10.20.30.40.50.6400 900 1400 1900 2400 2900IVKT=441天市场调查00.10.20.30.40.5400 900 1400 2400 2900 3400IVT=630天MarketGarcheston00.10.20.30.40.5400 900 1400 1900 2400 2900 3400KT=994 daysmarketgarchestonscillatory），正确地跟随微笑（模型K*非常接近市场K*在K=1140左右），而GARCH扩散模型K*约为1180。图3：。GARCH扩散和赫斯顿模型暗示了链B的到期波动率。表1给出了GARCH扩散模型参数。赫斯顿模型的参数为  和.  GARCH扩散=  1.19%，赫斯顿 = 1.01%.

Heston-Feller比率=0.29.0.10.150.20.250.30.350.40.45850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200IVT=19天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45650 750 850 950 1050 1150 1250IVKMarketGARCHHeston0.10.150.20.250.30.350.40.45750 850 950 1050 1150 1250IVKT=46天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.450.5450 550 750 850 950 1050 1150 1250 1350KT=228天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45450 550 650 750 950 1050 1150 1250 1350IVT=319天市场调查0.10.150.20.250.30.350.4450 650 1050 1250 1450 1650IVKMarketGARCHHeston0.10.150.20.250.30.35450 650 850 1050 1250 1450 1650 1850IVKT=1054天MarketGarchest配置图4。GARCH扩散和Heston模型仅适用于链A中的前两个到期日时，意味着波动率。GARCH模型参数为 和.  赫斯顿模型参数为  和. GARCH扩散= 0.61%，赫斯顿= 0.86%.  赫斯顿-费勒比率=0.05。图5：。GARCH扩散和Heston模型仅适用于链B中的前两个到期日时，意味着波动率。GARCH模型参数为 和. 赫斯顿模型参数为 和. GARCH扩散= 0.64%，赫斯顿= 0.59%. 赫斯顿-费勒比率=0.38。总之，从一开始，我们就知道这两种模型都有其良好的特性和问题。特别是，这两种模型都不能很自然或很好地处理资产价格或潜在波动性的极端波动。

然而，尽管我们的数据集非常小，但我们仍然惊讶地看到赫斯顿模型实现了更好的微笑拟合。4.6一些简单的PDE扩展到目前为止，我们校准的两个模型都是更一般的幂律SV模型的子类 (32)  流行的仿射赫斯顿模型() 具有一些众所周知的局限性，例如：（a）无法捕捉到陡峭的短期波动率微笑，（b）拟合参数在重新校准过程中的不稳定性，以及（c）拟合参数与P-world估计的参数不兼容。GARCH扩散模型() 在文献中受到的关注较少，但我们在这里的测试表明，它也受到（a）的影响。关于（b）和（c），需要进行更多的测试；例如，GARCH很可能产生比Heston更稳定的参数。为了解决这些问题，研究人员引入了各种想法。再次，命名一些：（i）远离仿射模型，因此使用上面更通用的p模型（或其他双因素扩散变量），（ii）随机化（潜在）点方差,  （iii）添加跳跃，（iv）添加更多随机因素，（v）使用分数布朗00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天MarketGarcheston00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600KT=49天MarketGarcheston 0.10.150.20.250.30.350.40.45850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200KT=19天MarketGarcheston0.10.150.20.250.30.350.40.45750 850 950 1050 1150 1250IVT=46天作为波动驱动因素的MarketGarchestonMotion。在这些扩展中，（i）和（ii）特别容易添加到当前框架中，因此我们将在这里简要探讨它们。我们的PDE引擎可以轻松解决GARCH扩散、Heston或任何“中间”模型，即.

事实上，让 浮动并让优化器确定最佳值。如图2和图3所示，值 对应于更“灵活”，而 更加“刚性”的配合。中间值 可以预见的是，产量匹配看起来就像两者之间的混合。的低值 减少 通过局部启用足够的曲率来模拟短期市场微笑，另一方面，随着中期到期（过度）灵活行为的持续，它会增加微笑（赫斯顿案例）。但总的来说，至少对于我们的数据集来说可以用较低的p值实现。我们的测试发现了一个最佳值  链条A为0.62(=1.23%），而对于链B，我们发现(= 1%). 因此，与赫斯顿模型相比，Fitton模型的改善并不显著（相对减少1%~4%）。不过，这可能并不能说明全部情况。让我们承认，赫斯顿和加什·迪夫里奥纳对原因的描述基本上都是错误的。因此，优化器被迫使用不自然的参数（例如，不切实际的低和/或高ξ），以适应观察到的短期微笑。如果这两个模型被错误指定，那么通用p模型也将被错误指定。我们的结论是，如果有某种短期的微笑支持扩展，使扩散模型更自由地适应剩余的呼气期，则最好评估为一般p模型选择特定p值的任何益处。通常这将涉及添加跳跃，但更简单的方法是通过区域化；参见Mechkov【16】或Jacquier&Shi【17】。虽然我们发现这种方法的动态原理可能并不完全清楚，但我们也发现它确实成功地“打开”（向上）了短期微笑。

由于我们的代码中添加此功能所需的更改也是最小的，所以我们尝试了一下。表8显示了摘要链A的结果。如上所述，当模型缺乏匹配短期微笑的能力时，改变p几乎没有什么区别。但是，当微笑得到更好的解释时（这里通过随机化），最优p模型在校准拟合方面比Heston和GARCH扩散模型都有更实质性的改进。这种情况在附录D中有更详细的描述。我们最后补充说，其他非仿射双因素变化也可以很容易地适应。作为一个例子，我们校准了Langrené等人提出的反伽马SV模型。如表8所示，就整体拟合质量而言，它介于Heston和GARCH扩散模型之间(链B为1.11%）。我们还注意到和 对于该模型，两个数据集的werequite相互接近（未显示）。表8：。校准适用于纯扩散模型变化下的链A。模型幂律模型：1.28%GARCH扩散1.68%最优p模型1.23%赫斯顿-随机化0.96%GARCH扩散-随机化0.94%最优p模型-随机化0.79%逆伽马体积模型1.53%5。结论在这项工作中，我们首次（据我们所知）使用PDE方法对GARCH扩散模型进行全选项校准。校准非常快速和准确（在modernPC上不到一分钟），改善了封闭式解决方案的不足。这是通过使用efficientyet“普通”二阶有限差分PDE引擎实现的。虽然我们在这里校准了Europeanvanilla选项，但相同的定价引擎只需稍作修改即可用于快速校准其他类型的选项，这些选项可以在PDE设置中轻松处理，例如：。

美国的选择或障碍。其他类似的模型也可以很容易地适应我们对Sec的简短实验。4.6展示。在对两条SPX期权链进行的一项小型测试中，smile与GARCH扩散模型的拟合程度要高于赫斯顿93年模型的拟合程度。这与之前的一些文献（如[1]）不同。Heston拟合的所谓伐木条件比值很低，这导致了其他问题。尽管如此，我们还是感到惊讶。我们更普遍的贡献是，闭式解不一定是模型选择的有力标准。类似的PDE引擎可能会处理在实践中基本上被忽视的各种相关模型，因此可以为特定的交易区域提供更明智的选择。对于未来，将解算器扩展到能够以类似的高效率处理双变量跳跃扩散的解算器将是非常有趣的。最后，第二作者（Lewis）想强调的是，第一作者（Papadopoulos）完成了这里所有的繁重工作：开发和实现所有C/C++解算器及其Excel和Mathematica接口。参考文献[1]P.Christoffersen、K.Jacobs和K.Mimouni，“标普500指数的波动率动力学：来自已实现波动率、数据回报和期权价格的证据”，《金融研究评论》，第23卷，第8期，第3141-3189页，2010年。[2] R.Zvan、P.Forsyth和K.Vetzal，“双因素期权定价模型中的负系数”，《计算金融杂志》，第7卷，第1期，第37-73页，2003年。[3] K.J.in’t Hout和S.Foulon，“具有相关性的赫斯顿模型中期权定价的ADI有限差分格式”，《国际数值分析与建模杂志》，第7卷，第2期，第303–320页，2010年。[4] Y.Ait Sahalia和R.Kimmel，“随机波动率模型的最大似然估计”，《金融经济学杂志》，第83期，p。

413–452, 2007.[5] A.L.Lewis，《随机波动率II下的期权估值》，加利福尼亚州纽波特海滩：金融出版社，2016年。[6] S.Ikonen和J.Toivanen，“随机波动下美式期权定价的有效数值方法”，《偏微分方程数值方法》，第24卷，第1期，第104–126页，2008年。[7] K.J.in’t Hout和J.Toivanen，“算子分裂方法在金融中的应用”，arXiv:1504.01022【q-fin.CP】，2015年。[8] K.J.in’t Hout和C.Mishra，“带混合导数项的二维对流扩散方程的修正Craig–Sneyd格式的稳定性”，数学与计算机模拟，第81卷，第11期，第2540-25482011页。[9] M.Wyns，“具有非光滑初始数据的二维对流扩散方程的修正Craig-Sneyd格式的收敛性分析”，IMA数值分析杂志，第37卷，第2期，第798-8312017页。[10] M.Vinokur，“关于有限差分计算的一维拉伸函数”，NASA承包商报告3313，加利福尼亚州圣克拉拉，1980年。[11] D.Tavella和C.Randall，《金融工具定价，有限差分法》，纽约：Wiley，2000年。[12] T.Haentjens和K.J.in’T Hout，“赫斯顿模型下美国期权定价的ADI方案”，应用数学金融，第22卷，第3期，第207-2372015页。[13] D.M.Pooley、K.R.Vetzal和P.A.Forsyth，“期权定价中非光滑收益的收敛补救措施”，《计算金融杂志》，第6卷，第4期，第25-40页，2003年。[14] S.L.Heston，“具有随机波动性的期权的封闭式解决方案，应用于债券和货币期权”，修订版。《金融研究》，第6卷，第2期，第327-343页，1993年。[15] N.Langrené、G.Lee和Z。

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在存在确定性股票股利收益率的情况下,  在此过程下，与Q-测度GARCH扩散兼容的P-测度演化具有以下形式：  现在  是一对相关的P-布朗运动,  二者都  在P或Q下是相同的，我们使用. 事实上，“无套利”要求Q-演化必须通过Girsanov替换与P-演化相关 和. 在这种隐含的测量变化下，SDE的方差-协方差结构保持不变，但漂移可能会改变。财政上代表（股票、波动性）风险的市场价格。这个 功能独立于任何衍生资产，但通常取决于   然后，Q演化模型变为   哪里  和 . 固定 （其中) 从我们假设的Q-测度GARCH扩散（1）仍然为P-演化留下了很大的自由度。在这种普遍性中，“无套利”下唯一剩下的兼容性要求是：o,  因为持有股票会在瞬间无风险，假定短期利率是决定性的.o  边界和 应该在有限时间内通过P-测度无法实现过程，因为假设的Q-测量过程也是如此。然而，该模型的精神在于，P-测度演化也是一种GARCH扩散（名称的起源）。所以，让我们 , 可能有不同的P参数。例如，let\'spostulate i）波动性相关的股票风险溢价 , 哪里 是一个（正）常数，且ii）也是常数。

有了这些选择，我们相关的P模型GARCH扩散是     哪里=和=. 现在有两个附加参数需要进行估计，我们的选择下的“P/Q兼容性”成为一个需要检验的假设。所有这些都超出了本文的范围。然而，人们期望 和 比如说，SPX。最后，请注意 哪里, 现实世界和风险中性过程都是映射（马尔可夫加性过程）。正如正文中所讨论的，映射propertyleads到一个“所有选项同时”的KBE解决方案，用于普通选项；此外，它还允许使用傅立叶方法进行降维。附录B–独立波动率过程的关键点在我们的模型中，独立波动率过程演变为  , 哪里是布朗运动。尽管参数的数值可能不同，但在两种测量（P/Q）下，相同的函数形式都成立。允许 表示过程的转移概率密度；即.  然后,    这个关联分布的临界点定义如下,  哪里.有（用于 接近1）对于设置-全2Dprocess PDE解算器的网格（上）截断点。现在分析上未知，但解决了福克-普朗克问题：,  哪里  ,    并以初始条件为准使用Dirac delta。在这里是概率电流或通量。从数学上来说 和 进程无法访问（使用, 连续介质问题不需要边界条件。两种关系。

很容易在极限内找到, 遵循反Gamma分布, 带形状参数  和比例参数.任意t的另一个简单关系是缩放恒等式：这将有效的参数数量减少了两个。虽然在这些实现中没有使用缩放关系，但对其进行了检查。Mathematica实现。当速度不是一个因素时，这个完整的问题（求解福克·普朗克偏微分方程，并计算临界点）很容易在Mathematica中得到解决。我们的简短实现如图6所示。即使您不是Mathematica用户，语法也应该是largelyreadable。基本思想是转换为新坐标  并使用NDSolve解决由此产生的PDE问题。均匀分布的x网格点居中于. 网格位于“西格玛”来自, 其中一西格玛等于. 数值边界条件取（i）零通量和（ii）零空间导数. 初始条件为alattice Dirac delta，仅在, 正好位于节点上。C/C++实现。Mathematica实现通过一个ODE解算器，使用4阶空间离散化和直线法（MOL）及时解决了上述福克-普朗克问题。这会产生非常精确的结果，但速度很慢（尽管我们还没有尝试将其移植到C++）。对于本文所述的测试，我们选择了一种更标准的方法，我们仅在此简要概述：离散化基于均匀中心二阶有限差分和Crank-Nicolsonscheme和Rannacher时间步进。边界条件同上。

这种方法有效，除了网格的最左侧区域，在那里对流可能占主导地位，并导致不稳定/负密度。在这种情况下，我们局部引入了矢量项的1阶迎风格式。如果仍然产生负密度，我们会尝试增大. 如果一切都失败了，我们只需返回从平稳（反伽马）分布。我们还应用了双空间Richardsonextrapolation（如果逆风格式仅用于密度值可忽略不计的区域，则理论上应达到6级精度）。所有这些都导致精度甚至高于Mathematica，需要大约2-3毫秒的CPU时间 和.图6：。Mathematica代码计算独立V分布临界点。附录C–数据描述选项链A。2017年3月31日的日终（EOD）SPX期权数据来自于京东方的LiveVol服务：“带计算器的日终期权报价”。这些文件记录纽约时间15:45的期权报价和CBOE计算的期权隐含波动率（IV）。这一次是纽约和芝加哥常规会议结束前15分钟。来自CBOE（为简洁起见编辑）：“隐含波动率和希腊值是根据1545年的时间戳计算的，被认为是比日终市场更准确的市场流动性快照。LiveVol在实时和历史数据集上应用统一的计算方法，以提供回测和实时应用程序之间的最大一致性。

进位成本输入（利率、股息）由统计回归临界点GARCHPDE q、V0、T、NX、vbar、kappa、xi、n1、AG确定：模块X0、Xmin、Xmax、mu-kappa 0.5 xi^2、omega、a、h0、h、dX、i、grida、gridb、grid、T、soln、cdf、critx、critv、critx99、Off-NDSolve：：eerri；X0 N对数V0；Xmin X0 n1 xi Sqrt T；Xmax X0 n1 xi Sqrt T；dX X0 Xmin NX；欧米伽-卡帕vbar；网格Xmin N表i dX，i，0，NX；网格NX 1 X0；gridb X0 N表i dX，i，1，NX；网格连接grida、gridb；h0 X？数值Q：如果Abs X X0 0.5 dX，1 dX，0；透明溶液，h，t；关闭NDSolve：：eerr；在xminsln h下使用零通量条件。NDSolveth x，t 0.5 xi^2x，xh x，txomega E^x mu h x，t，h x，0 h0 x，0.5 xi^2 D h x，t，x。x XminΩE ^ Xmin mu h Xmin，t 0，D h x，t，x。x Xmax 0，h，x，Xmin，Xmax，t，t，AccuracyGoal AG，方法“线的方法”，“空间离散”，“张量积网格”，“坐标”网格1；一个九合一的soln x，T，x，Xmin，X0，AccuracyGoal AG；cdf y？数值Q：一个九合一的soln x，T，x，X0，y，AccuracyGoal AG；critx99 y。FindRoot cdf y 0.99，y，X0，Xmin，Xmax；critx y。FindRoot cdf y q，y，critx99，Xmin，Xmax；critv E ^ critx；返回critvprocess…。将这些投入预测的结转成本与每个期权到期时的现金期权隐含的结转成本进行比较。如果利率差异很大，且该到期日的期权价差足够窄，则隐含利率将取代标准输入……”。表9：。

SPX期权隐含波动率（%）：链A（2017年3月31日15时45分）。期权到期日（年月日格式）罢工4/21/175/19/176/16/179/15/1712/15/176/15/1812/21/1812/20/1952.2641.5735.3852.1546.7840.0751.4442.4037.4933.2954.2345.0940.2736.2231.7148.0541.6736.4133.2330.2445.3138.9434.4832.1929.5054.8440.5536.6332.5229.9027.8349.6936.6834.2630.8329.0529 26.7844.1434.6232.0929.1227.2725.7841.2632.4929.9027.5125.9424.7645.1737.6030.1927.8925.9624.8023.8040.2833.4827.9226.0224.5823.5422.9136.1930.9125.7824.2323.1322.3821.9141.0032.5227.6623.6222.3721.7821.2821.0934.6527.8824.4321.5620.7820.4420.1520.1430.7323.7521.3919.5719.0719.0919.1419.4224.7419.7218.3417.5517.5017.7818.0618.5917.6715.8015.2815.4315.7616.4716.9517.7911.6112.1312.4013.3614.0615.2015.9316.897.869.6510.3811.8212.8214.3215.2516.517.379.029.8011.3512.4314.0114.9716.347.348.529.2710.9012.0413.7014.7416.127.958.158.9110.4611.6513.3814.4315.998.968.318.6810.0511.2713.0914.2915.8310.438.188.669.7110.9212.8013.9915.6612.208.778.789.4610.6112.5013.7615.5012.689.468.929.2510.2912.2513.5615.3613.5310.149.209.1110.0511.9813.3515.1814.4911.029.549.069.8611.7213.1415.0110.019.079.6511.4112.9414.8510.539.119.5311.2312.8514.759.4312.5411.279.359.4010.7912.3714.399.729.3710.4512.0514.0910.089.4010.1711.7413.819.9913.559.749.9111.1713.3210.7910.0410.7912.8710.6612.4610.6312.1811.9511.8611.4511.75在任何给定的数据上，期权数据可能非常庞大，需要进行过滤，以减少计算负担并消除不相关的噪音。事实上，2017年3月31日的完整数据文件包含8399个选项行项目，我们将其过滤为表9所示的246个项目。这是通过首先关注传统的“第三个星期五”到期，然后进行一些罢工过滤来完成的。15:45 SPXindex值为 （中点引号）。

我们从货币期权中选择了正出价，因此表中所示的IV是在罢工时的看跌期权以及其他调用。（CBOE的sIV方法论有点像一个黑匣子，但它似乎本质上是保持调用奇偶校验的。另请参见[18]）。对于我们选择的第一个到期日（2017年4月21日），隐含波动率趋于平稳, 选择作为下限走向截止点。对于其他过期，数据看起来平滑到, 剩余到期日的截止日期。我们没有规定罢工上限。为了在看跌期权和看涨期权之间实现大致平衡，我们选择了100倍的看跌期权和25倍的看涨期权。我们相信这种过滤保留了完整数据集的重要特征。对于短期利率，我们发现美国国债于2017年3月31日从《华尔街日报》（WSJ）获得了收益率，并将其作为我们8个到期日的逐步常数。该序列的到期顺序为{0.00728、0.00723、0.00716、0.00865、0.00939、0.01118、0.01203、0.01434}。对于SPX股息收益率，我们使用了一个常数  对于所有到期日，《华尔街日报》在同一日期公布了12个月期SPX收益率。这些不一定是CBOE使用的进位成本参数，后者不可用。这种差异不太可能以任何重要的方式改变参数拟合或我们的结论。但如果读者对这一小点感到担忧，那么就把IV和携带成本的组合作为一个“可能的”市场数据集（与2017年3月31日的实际数据基本一致），我们可以将各种模型与之相匹配。期权链B。第二作者刘易斯（Lewis）收集了当时（2010年2月1日）的收盘期权报价，只使用出价为正的期权。IV根据投标askmidpoint期权价格计算。

根据链a，华尔街日报发现了利率和股息收益率。附录D–随机最优p模型的校准Mechkov提出了赫斯顿模型的随机版本【16】。其基本思想是，不采用（潜在）方差过程的初始值作为一个已知的固定值，我们假定它是由某种分布给出的。这是一个简单而有吸引力的想法，可以方便地扩展到当前的框架：PDE解决方案自动为可能的初始方差值（对应于v方向的网格）的整个范围提供选项值。找到资产现货的“随机”期权价格, 平均整个解决方案使用假定分布的网格线。如【16】所述，可以合理地假设后者应与过程平衡分布的类型相同。对于GARCH扩散模型，这将是反伽马分布。我们的简短测试表明，即使是赫斯顿模型的随机化，这种选择也会产生最佳结果，因此我们将在这里使用它来随机化一般pmodel（32）。我们制作了分布参数（形状和比例), 以及功率pof模型部分的标定。现在要安装的参数总数为7个。如图7所示，拟合的总体质量() 比GARCH扩散要好得多() 或者赫斯顿模型(), 尤其是最短的到期时间（见图3）。如第节所述。4.5，赫斯顿模型(拟合意味着不太可能的动态。一般模型的最佳功率校准为,略接近GARCH扩散模型。

与后者相反，我们在这里看到，第一次（3W）到期时，由于随机化（而不是 到). 我们还注意到，既然模型不受其无法解释短期微笑的约束（并因此受到压力），那么拟合的波动率参数波动率下降到可以说更现实的水平(. 这远低于GARCH扩散的校准值 （表1），即使考虑了 到.校准的相关系数存在潜在问题(). 其他类似的测试也表明，随机化过程往往会导致优化器产生非常极端的相关值。为什么？从[17]中可以看出，由于随机化，小T渐近微笑“爆炸”是对称的。平方根方差过程的平衡（平稳）分布是伽马分布，但至少对于我们的数据集，我们发现它实际上比逆伽马分布表现得更差，因为它是赫斯顿模型的随机化（初始化）分布。该模型在隐含动力学方面更接近于GARCH扩散模型。例如，有人发现，赫斯顿模型在这里的拟合意味着长期（风险中性）波动率低于1%的概率为41%，这是不太可能的。对于GARCH扩散和  这个概率实际上为零。所有三种模型的平均长期波动率约为20%。关于 哪里 是原木的钱。优化器可能试图通过推动来补偿“不必要的”对称新趋势 朝向-1。不包括 从校准并将其固定到更合理的值() 与.

这表明，大大改进的拟合并不强烈依赖于这样的极限 价值观然而，这种行为（以及需要动力学原理）是随机化的问题。图7：。链A的一般幂律模型（32）的校准，随机化具有反Gammadistribution。校准模型参数为,  ,  初始分布形状和比例参数（见附录B） 和模型电源. = 0.79%.00.10.20.30.40.51700 1900 2100 2300 2500 2700IVKT=21天市场化DP=0.8模型00.10.20.30.40.51400 1600 1800 2000 2200 2400 2600IVKT=49天市场化DP=0.8模型00.10.20.30.40.50.61000 1200 1800 2000 2200 2600 2800IVKT=77天市场化p=0.8模型00.10.20.30.40.50.6700 1200 1700 2700IVKT=168天市场化DP=0..8型号00.10.20.30.40.50.65001000 1500 2000 2500 3000IVKT=259天营销DP=0.8模型00.10.20.30.40.50.6400 900 1400 1900 2400 2900IVKT=441天营销DP=0.8模型00.10.20.30.40.5400 900 1400 1900 2400 2900 3400IVKT=630天营销DP=0.8模型00.10.20.40.5400 900 1900 2400 2900 3400IVKT=994天营销DP=0.8模型