基于风险中性价格的代表性代理模型

2022-6-6 19:11:02

基于风险中性价格的代表性agent模型*首尔国立大学数学科学系，1 Gwanak ro，Gwanak gu，首尔共和国，2022年3月。摘要本文确定了一个基于风险中性信息的代表性代理模型。其主要思想是定价核心是独立于转移的，这得到了著名资本资产定价理论的支持。确定代表性代理模型与二阶微分算子的特征对问题密切相关。本文的目的是找到所有这些具有财务或经济意义的特征对。我们给出了这类对存在的一个必要的充分条件，并证明了所有可能的eignepairs都可以用一个单参数族来表示。最后，我们从特征对中找到了一个具有代表性的agent模型。1引言代表代理人模型是金融领域的一个重要概念，许多作者利用代表代理人的稳健性函数来解决许多金融问题。然而，效用函数的选择是巧合的结果，而不是结果。许多作者使用幂函数、对数函数、指数函数及其线性组合作为效用函数的原型。他们选择其中一个的原因是分析的可处理性，而不是不可避免的经济基础。如果我们能找到一个不可避免的理由来解释为什么我们应该选择一个特定的函数，那就更好了，本文部分回答了这个问题。我们的故事从定价内核开始。在金融领域，许多作者致力于阐明资产回报与风险之间的关系。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:05

这种关系反映在一个由市场主体的风险偏好相互作用决定的定价核中。代表代理人定理认为，这种相互作用可以通过市场代表代理人的效用函数来理解。主要目的是表达代理人的效用函数。本文与Ross recoverytheorem（Carr and Yu（2012）、Park（2016）、Qin and Linetsky（2014）、Ross（2015）、Walden（2017））的观点相同。他们利用从衍生工具中获得的风险中性信息*hyungbin@snu.ac.kr, hyungbin2015@gmail.comprices查找定价内核。这一结果很有吸引力，因为他们推翻了普遍认为无法从衍生品价格推断出客观衡量标准的观点。稍后，我们将得出结论，效用函数可以通过风险中性信息作为一个单参数族来确定。本文给出了一个有趣的结果。稍后，在第5.1节中，我们将看到，如果股票价格遵循标准的Black-Scholes模型，那么效用函数被确定为幂函数。Black-Scholes模型推导出了功率效用函数，这是一个令人惊讶的结果，因为这两种理论是独立发展起来的。确定效用函数的宏观经济基础依赖于基于持续时间消费的资本资产定价模型（CAPM）。CAPM的标准论点是，定价核的倒数可以表示为lt=eβtU′（X）U′（Xt），t≥ 0其中U（·）是代表代理人，β>0是代理人的贴现率，（Xt）t≥0是总消费（或收入）过程。读者可以发现，这种表现主义是Ross（2015）中等式（9）的连续时间版本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:09

通过定义φ（x）：=U′（x）U′（x），（1.1），我们得到了与跃迁无关的公式lt=eβtφ（Xt），t≥ 0稍后在假设3中说明。函数φ的性质继承自CAPM中的效用函数U。效用函数的一般条件如公式（？？）所示。因此，从公式（1.1）的关系来看，函数φ满足：（i）φ>0，（ii）φ′>0，（iii）limx→0+φ（x）=0，（iv）limx→∞φ（x）=∞ . φ上的这四个条件也称为通常条件。该问题将在第3.5节中讨论。其中一个最重要的观察结果是，找到与跃迁无关形式的对（β，φ）的问题转化为算子的特征值/特征函数问题。受Carr和Yu（2012）论文的启发，我们将看到（β，φ）满足二阶微分方程σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x）=-βφ（x）。（1.2）该微分方程是Ross（2015）中给出的Perron-Frobenius型方程的连续版本。本文的主要目的之一是找到φ满足通常条件的方程（1.2）的解对。所有这些对的集合称为通常集合，并用U表示。通常集合与基础过程X的行为密切相关，尤其是X的Feller边界分类。在第3.5节中，通常集合U将以X的边界分类来表征。本文有两个主要贡献。首先，我们根据X的边界分类提供了存在这些对的必要且充分的条件。此外，我们将提供所有这些对（β，φ）的表示。证明了可能集可以用一个具有上界ed参数的单参数族来表示。其次，我们的结果给出了一个关于校准目标动力学的有趣含义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:13

到目前为止，我们已经使用非参数或启发式参数模型来校准Xtender客观测度的动态性。本文的结果告诉我们，可以使用经济推导的参数模型来校准目标动力学。本文其余部分的结构如下。第2节描述了本文的基本市场模型，并定义了客观指标。第三节给出了本文的主要结果。我们将确定效用函数的问题转化为二阶微分算子的特征对问题。然后，选择具有财务意义的特征对。第4节将主要结果应用于寻找具有代表性的代理模型。第5节给出了几个例子，最后一节总结了本文。所有证据都在附录中。2金融市场模型2.1风险中性市场风险中性金融市场定义为概率空间(Ohm, （Ft）t≥0，Q）具有一维布朗运动W=（Wt）t≥0通常完成过滤（Ft）t≥0由W生成。假设本文中的所有流程都适用于此过滤（Ft）t≥我们确定了一个正过程G=（Gt）t≥0，称为数字。如果贴现过程S/G是Q下的鞅，则过程S被称为资产。当G是货币市场账户时，该度量Q通常被称为风险中性度量。假设1。设b和σ是（0，∞). 随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=ξ有唯一强解，且该解在（0，∞). 这个processX在市场上被称为状态变量。众所周知，过程X是一个单变量时间齐次马尔可夫微分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-6 19:11:16

非爆炸性意味着边界0和∞ 无法访问（定义3.3）。该边界条件合理，因为CAPM中的总消耗量未达到0∞ 在有限的时间内。假设2。状态变量X决定了数值G的动态。更准确地说，假设在（0，∞) 例如，gt=eRt（r（Xs）+v（Xs））ds+Rtv（Xs）dWs。在SDE形式中，过程G遵循dgtgt=（r（Xt）+v（Xt））dt+v（Xt）dWt，G=1。（2.1）假设局部鞅（e-Rtv（Xs）ds-Rtv（Xs）dWs）t≥0是Q下的鞅。式（2.1）中的漂移项可能看起来不符合实际，但事实并非如此（Park（2016））。2.2风险中性市场的客观衡量标准(Ohm, （Ft）t≥0，Q）满足A1-2，我们希望找到满足A3-5的可能客观指标，如下所述。假设3。存在一个实数β和一个φ（ξ）=1的两次连续可微函数φ，使得eβtφ（Xt）/Gt，t≥ 0是Q定义2.1下的鞅。设（β，φ）是满足A3的一对。由dpφdQ定义的每个ftp上的测量值PφFt=eβtφ（Xt）/gt称为转换测度或关于φ的目标测度。对于所有T，该测量值Pφ定义良好≥ 0，因为EQ（IAMt）=EQ（IAMt）适用于∈ F和0≤ t型≤ T其中Mt：=eβTφ（Xt）/Gt。备注2.1。在这个定义中，这对（β，φ）确定了客观度量Pφ。读者可能想知道为什么我们用上标Pφ代替P（β，φ）。稍后我们将看到，实际上，数字β是由φ自动确定的，因此符号P（β，φ）非常丰富。备注2.2。假设3意味着这对（β，φ）可以理解为操作器的ei-genpair。定义定价运算符PTbyPTf（x）：=EQX=x（f（XT）/GT，然后ptφ（x）=EQX=x（φ（XT）/GT）=e-βTEQX=x（eβTφ（XT）/GT）=e-βTφ（x）。最后一个等式成立，因为（eβtφ（Xt）/Gt）0≤t型≤这是一个鞅，它的time-0值是φ（x）。假设4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-6 19:11:19

在客观测度Pφ下，过程X=（Xt）t≥0接近完整性为t→ ∞ 概率为1。这一假设可能有争议，但典型的经验数据表明，总消费量随着时间的推移而增长。因此，可以合理地假设，在客观度量下，总消费过程不会随着时间的推移而反复出现，也不会变为零。众所周知，任何不收敛于左边界的瞬态时间齐次马尔可夫扩散过程总是接近右边界，正如t→ ∞. 在这方面，这一假设是合理的。现在，我们证明关于φ的合理假设。效用函数U（x）的一般条件如下：（i）U′>0（ii）U′<0（iii）limx→0+U′（x）=∞ （iv）limx→∞U′（x）=0。由φ（x）=U′（x）/U′（x），我们通过直接计算得到以下假设。假设5。函数φ满足以下条件（i）φ>0（ii）φ′>0（iii）limx→0+φ（x）=0（iv）limx→∞φ（x）=∞ .本文将上述四个条件称为φ上的一般条件。当且仅当U（x）：=Rx·1/φ（y）dy满足效用函数的通常条件时，可以很容易地检查函数φ满足通常条件。定义2.2。对于实数β和正函数φ∈ C（0，∞ ), 如果对满足A3-5.3分析模型，我们说（β，φ）是可容许对。本文的主要目的是找到所有可容许对（β，φ）（即满足A3-5）可原谅风险中性市场(Ohm, （Ft）t≥0，Q），A1-2。本文的主要贡献是研究A5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:22

以下是我们感兴趣的内容。（i）找到满足A1-2的风险中性市场的充分条件，以便存在一对合适的组合。（ii）如果存在此类可接受对，则表示所有此类对。事实证明，这种对可以用一个参数族来表示。3.1二阶微分算子在这一部分中，我们观察到，找到满足A3的对（β，φ）的问题转化为找到二阶微分算子的特征对的问题。定义运算符l byLφ（x）=σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x），（3.1），其中k：=b- σv.关于以下定理的证明，请参见Park（2016）。定理3.1。设β为实数，φ为两次连续可差函数。如果对（β，φ）满足假设3，则（β，φ）是算子的特征对-五十、相反，如果（β，φ）是运算符的eig对-五十、 theneβtφ（Xt）/Gt，t≥ 0是Q下的局部鞅。通过本文，得到了微分方程Lh=-λh将由（λ，h）表示。这个定理指导了本文的策略。我们首先将注意力限制在Lh=-λh，h>0且h（X）=1，则排除不满足A3-5的对（λ，h）。定理3.2。如果r（x）≥ 0，存在一个数λ≥ 0.对于λ<λ，它有两个线性相关的正解，对于λ>λ，它没有正解，对于λ=λ，它有一个或两个线性独立的解。定义r：=infx>0r（x）。考虑r（x）- r、得到λ≥ r（3.2）参考Pinsky（1995）第146页和149页进行证明。r（x）的条件≥ 0在财务上是合理的，因为短期利率r（Xt）在实践中通常是非负的。我们通过以下方式更有效地表示该对（λ，h）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:26

二阶微分方程的解h由初值h（X）和初始导数h′（X）唯一确定。通过归一化，我们可以假设h（X）=1，然后解由h′（X）确定。因此，在h（X）=1的假设下，解对（λ，h）可以用（λ，h′（X））表示。有时，我们使用没有歧义的术语：元组（λ，h′（X））对应于对（λ，h）。将使用两个术语元组和d对来区分这些含义。使用元组的概念，我们通过以下方式定义所有可容许元组的集合。答：=（λ，h′（ξ））∈ R（λ，h）满足假设3、4和5.受定理3.1的启发，我们首先考虑Lh=-λh，h>0。我们记得假设1中的X=ξ。定义3.1。我们说（λ，h′（ξ））∈ Ris是候选元组，或者我们说（λ，h）是候选元组，如果（λ，h）是L h=-λh，h（·）>0，h（ξ）=1。用C表示候选元组集。C：=（λ，h′（ξ））∈ R左侧=-λh，h>0，h（ξ）=1.我们简化了C的状态性质。定理3.2保证集合C是非空的ifr（x）≥ 回想一下，λ是C元素第一个坐标的最大值，即λ=max{λ|（λ，z）∈ C}。对于带λ的任何λ≤ λ、 we s etMλ：=sup（λ，z）∈Cz，mλ：=inf（λ，z）∈捷克。有时，我们分别使用符号M（λ）和M（λ）来代替Mλ和Mλ，以避免出现双下标，如hMλ和hMλ。3.1中的提议。Letλ≤λ. 对于mλ的任何z≤ z≤ Mλ，元组（λ，z）在C中。上述命题可以很容易地由方程Lh=-λh有两个线性独立解，任何解都可以用这两个解的线性组合来表示。对于严格的证明，请参阅Park（2016）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:30

因此，C的λ片是连通紧集。3.2变换度量对于候选对（λ，h），定理3.1表示（eλth（Xt）/Gt）t≥0是3.2中Q.命题下的局部鞅。设（λ，h）为候选对，使得（eλth（Xt）/Gt）t≥0是鞅（即，（λ，h）满足假设3）。然后是一个过程（Bht）≥0由dBht定义=-（σh′h-1.-v）（Xt）dt+dwt是在变换测度Ph下的B布朗运动。在这种情况下，X的h动力学为Xt=（B- vσ+σh′h-1）（Xt）dt+σ（Xt）dBht=（k+σh′h-1）（Xt）dt+σ（Xt）dBht。（3.3）偶尔，我们使用符号P和（Bt）t≥0代替Phand（Bht）t≥0，无歧义。即使当（eλth（Xt）/Gt）t≥0不是鞅，我们可以在等式（3.3）中考虑扩散过程。定义3.2。扩散过程（Xt）t≥定义为dxt=（k+σh′/h）（Xt）dt+σ（Xt）dbt，称为由对（λ，h）或元组（λ，h′（ξ））诱导的分化过程。3.3内部分歧我们将注意力转移到假设4。以下定理规定了候选四元组诱导满足假设4的转换度量。有关证据，请参见Park（2016）。定理3.3。Letλ≤ λ. 元组（λ，Mλ）诱导的分化过程接近于t→ ∞ 概率为1。对于带mλ的z≤ z<Mλ，当t→ ∞ 以正概率。综上所述，得出如下结论： {（λ，Mλ）∈ C |λ≤ λ } .从现在起，我们主要关注带λ的元组（λ，Mλ）≤λ.3.4鞅条件我们现在探讨第3.2节中讨论的鞅条件。对于任意给定的元组（λ，h′（ξ）），我们知道过程eλth（Xt）G-1是局部鞅。考虑诱导鞅eλth（Xt）G的元组集（λ，Mλ）-1t，即M：={（λ，Mλ）| eλth（Xt）G-这是一个鞅}。显然，A是M的子集。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:34

以下定理说明该集在R中是连通的。请参阅Park（2016）的证明。定理3.4。设δ<λ≤λ和let（δ，g）和（λ，h）分别是对应于（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的候选对。如果eδtg（Xt）G-1是鞅，eλth（Xt）G也是鞅-1吨。我们假设有足够多的候选对满足鞅条件。换句话说，由λ定义的数字λ：=inf{λ|（λ，Mλ）∈ M}是su ficiently的购物中心。这个假设是为了保证容许对的存在。如果集合太小或为空，则可能不存在允许的对。有一个有用的标准来检查鞅条件。设（λ，h）为Lh=-λh.当且仅当以下两个条件成立时，该对满足鞅条件：Zξdxh（x）e-Rxξ2k（s）σ（s）dsZξxdyh（y）σ（y）eRyξ2k（s）σ（s）ds=∞ ,Z∞ξdxh（x）e-Rxξ2k（s）σ（s）dsZxξdyh（y）σ（y）eRyξ2k（s）σ（s）ds=∞ .（3.4）我们回顾定义3.2。上述标准意味着过程eλth（Xt）G-1当且仅当（λ，h）诱导的扩散过程没有爆炸时，这是一个阿马丁格尔现象。请参阅Pinsky（1995）第215页。鞅条件可以逐案检查，因此我们不必进一步详细说明。3.5本条的主要贡献之一是调查假设5。现在，在集合{（λ，Mλ）中∈ C |λ≤λ}，我们探索哪些元组满足假设5。为方便起见，putU：={（λ，M（λ））∈ C | hM（λ）满足通常条件}。这里，hM（λ）是对应于元组（λ，Mλ）的函数。符号U继承自术语“通常条件”。设L为氡NikodymderivativedLdQ定义的测量值Ft=exp-Ztv（Xs）ds-Ztv（Xs）dWs,根据假设2，这是一个鞅。XtisdXt=（b）的L-动力学- vσ）（Xt）dt+σ（Xt）dBt=对于布朗运动Bt，k（Xt）dt+σ（Xt）dBt。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:38

在这里，我们使用符号bt与命题3.2中使用的符号一致。为了研究集合U，我们需要采用边界分类的概念。边界0和∞ of（Xt）t≥0在Q下是不可访问的，当且仅当它们在L下是不可访问的。这是因为Q和L在每英尺T上是等价的≥ 从假设1开始，两个边界0和∞ 在度量值Q和L下都无法访问。从现在起，我们将在度量值L定义3.3下讨论更详细的边界分类。设γ（x）=e-Rxξ2k（s）σ（s）ds，Q（x）=σ（x）γ（x）Zxξγ（s）ds，R（x）=γ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds。如果R/∈ L（0，ξ）。不可访问的端点0被称为（入口，如果Q∈ L（0，ξ），如果Q，则为自然/∈ L（0，ξ）。终点处不可接近、入口和自然的定义∞ 以类似方式定义。现在，我们陈述了本文的主要定理，这些定理描述了通常的集合U。下面的定理意味着集合U是R的连通子集。定义λ：=sup{λ|（λ，Mλ）∈ U}，则对于所有λ<λ，元组（λ，Mλ）在通常的集合U中。端点（λ，Mλ）可能不在U中。定理3.5。假设δ<λ≤λ. 设g和h分别是对应于tuple（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的函数。如果h满足通常条件，则g也满足。换句话说，如果（λ，Mλ）在U中，则（δ，Mδ）也在U中。定理3.6。假设r（·）≥ 0和r（·）在（0，ξ）上有界。那么，集U是非空的，并且仅当0是自然边界时。在这种情况下，对于λ<r：=infx>0r（x），元组（λ，Mλ）位于集合U中。上述定理说明了满足通常条件的元组存在的充分必要条件。定理3.5和3.6的证明分别参见附录A和附录B。在本节的其余部分中，当短期利率函数r（·）为常数r时，我们定义了通常的集合U。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:41

根据定理3.6，U是非空的当且仅当0是自然边界，因此我们假设0是自然边界。对于λ<r，元组（λ，Mλ）总是inU。根据方程（3.2），我们知道λ≥ r、 λ=r的情况相对容易找到集合U。因为{（λ，Mλ）|λ<r} U {（λ，Mλ）|λ≤ r} ，则集合U由对应于tup（r，Mr）的解确定。考虑相应二阶微分方程σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=0的解。通过直接计算，得到了两个线性独立解areh（x）=1+cZxξe-Ryξ2k（s）σ（s）dsdy，h（x）=1。显然，h（x）=1不满足通常的条件。通过考虑函数h（x），我们有以下命题。回想一下γ（x）：=e-Rxξ2k（s）σ（s）ds。3.3中的提议。假设λ=r且0为自然边界。IfR公司∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞, 那么U={（λ，Mλ）|λ≤ r} 。否则，U={（λ，Mλ）|λ<r}。证据假设∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞. 那么h（x）w ithc=Rξγ（x）dx是对应于（R，Mr）的函数。清晰边缘→0+h（x）=0，选择c。因此，这个例子在U中。反之亦然。值得注意的是∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞ 表示扩散过程X具有以下特性：L限制→∞Xt=0= Lsup0≤t型<∞Xt<∞= 1.请参阅Karatzas和Shreve（2012）第345页。我们现在考虑λ>r的情况。请参阅附录C以获得以下定理的证明。定理3.7。假设λ>r且0为自然边界。IfR公司∞ξγ（x）dx=∞, thenU={（λ，Mλ）|λ≤λ}或{（λ，Mλ）|λ<λ}。此外，如果∞ 是自然边界，则U={（λ，Mλ）|λ≤ λ }. IfR公司∞ξγ（x）dx<∞, thenU={（λ，Mλ）|λ<r}。作者推测∞ξγ（x）dx=∞, 右侧边界∞ 是自然边界当且仅当U={（λ，Mλ）|λ≤λ }.3.6容许集本文的目的是在假设1-5下找到容许集A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:44

容许集满足=M∩ U，因此A是连通子集，因为M和U是{（λ，Mλ）的连通子集∈ C |λ≤λ }.定义λ：=inf{λ|（λ，Mλ）∈ M}，λ：=sup{λ|（λ，Mλ）∈ U}。端点λ和λ可以分别在M和U中，也可以不在M和U中。假设λ≤ λ、我们得出，对于λ和λ之间的λ，元组（λ，Mλ）是一个可容许的元组。总之，可以通过单参数族恢复客观度量。4恢复理论我们研究了如何将之前的结果用于罗斯恢复。在基于连续时间消费的CAPM中，状态变量XT是市场的总消费（或收入）过程。在金融市场中，总收入等于总股息，因此我们可以假设X是总股息。设St为一个综合股票价格指数，如标准普尔500指数，并假设St支付的总股息是St的函数，即Xt=δ（St）St，其中δ（St）是综合股票价格指数每单位的股息。假设函数δ（s）事先已知，并且是s的一个非减量函数。假设函数π（s）：=δ（s）s是连续二次可微的，具有连续二次可微逆。根据Appen-dix D，变形测度在映射π下是不变的，因此我们可以假设状态变量是St.Ross（2015），也使用了630-633页中的股息或综合股票价格指数（标准普尔500）作为状态变量。设数值Gt为综合股价过程St的财富过程，即Gt=eRtδ（Su）duSt。假设s状态变量Stsatis fiesdst=（r（St）- δ（St）+σ（St））Stdt+σ（St）StdWt。然后dgtgt=（r（St）+σ（St））dt+σ（St）dWt。方程（3.1）对应的算子L isLh（s）=σ（s）sh′（s）+（r（s）- δ（s））sh′（s）- r（s）h（s）。（4.1）有时，Yt:=log stin会导出一个更简单的二阶方程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:47

设y=ln s，定义κ（y）=r（s）- δ（s），ν（y）=σ（s），ρ（y）=r（s）。THNDYT=（r（St）- δ（St）+σ（St））dt+σ（St）dWt=（κ（Yt）+ν（Yt））dt+ν（Yt）dWt。相应的方程（4.1）变为ν（y）g′（y）+（κ（y）-ν（y））g′（y）- ρ（y）g（y）=-λg（y），其中g（y）=h（s）。5个示例在本节中，我们将探讨Ross恢复的示例。如第4节所述，用St表示综合股价指数。偶尔，为了方便起见，我们会毫不含糊地说Stis是股价。在第5.1节和第5.2节中，分别讨论了经典的Black-Scholes-tock模型和指数CIR-stockmodel，其中短期利率为常数，股息期末利率为常数。第5.3.5.1节探讨了具有对数股息率的经典Black-Scholes股票模型Black-Scholes模型讨论了具有恒定空头利率和恒定股息率的经典Black-Scholes股票模型。该股票的股息以δdt的比率连续支付。假设St遵循几何布朗运动Dst=（r- δ+σ）Stdt+σStdWt，S=1，数值为Gt=Steδt。相应的二阶方程isLh（S）=σsh′（S）+（r- δ） sh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。通过直接计算，我们得到λ=（σ-r-Δσ）+r.表示λ≤λ、可以很容易地表明，值MλisMλ=-r- Δσ+s-r- δσ+2（右- λ） σ和对应于元组（λ，Mλ）ishλ（s）的函数：=s-r-Δσ+r-r-δσ+2（右-λ)σ.函数γ（s）是s-2（右-δ)σ.我们找到了可容许集A。通过使用第3.4节中的方法，可以很容易地检查每个候选对是否可容许，因此A=U。众所周知，端点0和∞ 几何布朗运动的边界是自然边界。应用定理3.6、命题3.3和定理3.7，我们得到a={（λ，Mλ）|λ≤λ}如果2（r- δ） <σ，A={（λ，Mλ）|λ<r}如果2（r- δ) ≥ σ.5.2指数CIR模型我们探讨了入口0边界不可接近的股票模型的一个例子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-6 19:11:50

根据定理3.6，通常的集合为空，即U= .即使U为空，找到集合M也很有趣。假设空头利率r和股息率δ为常数。Putθ：=r- δ. 设Yt是一个扩展的cir过程，由dyt=（θ+σYt）dt+σpytdwt和2θ给出≥ σ. 众所周知，左边界0和右边界∞ 分别为入口和自然。假设股票价格遵循St=eYtso thatdSt=（θ+σln St）Stdt+σpln Stdwt。相应的二阶微分方程为σln（s）sh′（s）+θsh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。然而，过程Yt：=log stin导出了一个更简单的二阶方程σyg′（y）+（θ-σy）g′（y）- rg（y）=-λg（y）。可以很容易地检查gλ（y）：=M2（右- λ） σ，2θσ，y是对应于λ的（λ，Mλ）的解≤ r=λ。众所周知，反超几何函数M（α，β，y）是正的当且仅当α≤ 0、详见秦和林茨基（2014）。我们得到了那个DYT=θ+σYt+σYtg′λ（Yt）gλ（Yt）dt+σpytdbt，其中bt是相应变换测度下的布朗运动。可以很容易地检查eλtgλ（Yt）G-这是一个鞅。考虑渐近行为M（α，β，y）~ eyyα-β/Γ（α）as y→ ∞ 事实上，M′（α，β，y）=（α/β）M（α+1，β+1，y），我们得到y→ ∞,g′λ（y）gλ（y）~σ2θ.方程5.2的漂移具有线性增长率，与CIR模型一样，Yt不符合方程（3.4）中的标准。总之，对应于（λ，Mλ）ishλ（s）的函数：=gλ（lns）和M=λ，h′λ（S）hλ（S）λ ≤ r=λ，r- λθS·M2（右-λ） σ+1,2θσ+1，ln SM2（右-λ） σ，2θσ，ln Sλ ≤ r.5.3对数股息模型在本节中，我们探讨了当s股票的股息以b Log Stdt利率连续支付时回收的可能性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:53

假设ST的波动率σ为常数，短期利率为常数r.dSt=（r+σ- b log St）Stdt+σStdWt。可以很容易地表明，St=Eytheredyt=（r+σ- bYt）dt+σdWt。相应的二阶微分方程为σsh′（s）+（r- b对数s）sh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。将s=Ey和h（s）=g（y），则得出σg′（y）+（r-σ- by）g′（y）- rg（y）=-λg（y）。我们可以检查，对于一些归一化常数c，gλ（y）=cM（r-λ2b，，bσ（y- κ））Γ（+r）-λ2b）+2（y- κ） rbσM（r-λ2b+，bσ（y- κ））Γ（r）-λ2b）！是gλ的容许函数（即正增长解）(-∞) = 0，gλ(∞) = ∞对于λ≤ r=λWher eκ=rb-σ2b和M（·，·，·）是反超几何函数。相应的变换测度P isdPdQFt=eλtgλ（Yt）G-1t=eλtgλ（log St）G-1 YtisdYt的动力学=r+σ- bYt+σg′λ（Yt）gλ（Yt）dt+σdBt。（5.1）因此，我们得到了St=eYt的P动力学。可以很容易地检查eλtgλ（Yt）G-这是一个鞅。通过考虑第5.3节中M（·，·，·，·）和M′（·，·，·，·）的渐近行为，我们得出| y |→ ∞,g′λ（y）gλ（y）~4b3σ| y |。由于方程（5.1）的漂移具有线性增长率，根据方程（3.4）中的标准，我们知道Ytin不会随着Ytin方程（5.1）的动力学而爆炸。总之，wegetA=λ，h′λ（S）hλ（S）λ ≤ r其中hλ（s）=gλ（ln s）。6结论本文从风险中性指标出发，在连续时间环境下确定了一个具有代表性的代理人模型。该论点的关键思想之一是，对于常数β和正函数φ，定价核的倒数由与转移无关的形式βtφ（Xt）表示。这种形式源自基于连续时间消费的资产定价模型，这是一种著名的资产定价理论。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:11:58

基于该理论，在函数φ和基本过程Xt上假设了若干条件，如鞅条件、发散到不一致性条件和通常条件。满足这些条件的对（β，φ）称为容许对。本文的主要目的是研究可容许对。探讨了容许对存在的一个充要条件。此外，我们还发现，如果允许对集存在，则允许对集由一个单参数族表示。允许集由鞅集M的下界和U的上界确定。作为特例，当短期利率为常数时，给出了U集。建议对未来的研究进行以下扩展。首先，将恢复扩展到多维状态变量是很有意思的。在这种情况下，对应的图尔-刘维尔方程是一个二阶偏微分方程。其次，找到经济上有意义的方法来测定β是很有价值的。我们无法在本文中提供此类方法。最后，在未来的研究中，恢复理论的实施和实证检验还有很多工作要做。定理3.5引理A.1的证明。假设δ<λ≤λ. 设g和h分别是对应于tuple（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的函数。那么我们有g′g-1> h′h-1、证明见引理E.2 in Park（2016）。现在我们证明定理3.5。证据假设h满足通常条件。从引理A.1可以直接看出，g′>0。我们现在显示limx→∞g（x）=∞ . 当x＞ξ时，证明g（x）＞h（x）就足够了。byRxξ与不等式g′g的积分-1> h′h-在引理A中，我们有g（x）- ln g（ξ）>ln h（x）- ln h（ξ）。由于g（ξ）=h（ξ）=1，因此g（x）>h（x）forx>ξ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:01

以同样的方式，可以证明limx→0+g（x）=0，表示0<x<ξ的g（x）<h（x）。定理3.6的证明当r（x）在0附近有界时，将使用下列引理来证明定理3.6。重新定义r：=infx>0r（x）。引理B.1。假设r（·）≥ 0和λ<r。设h为Lh=-λh.则hC既不能达到正的局部极大值，也不能达到负的局部极小值。证据假设h在x处有一个正的局部极大值。Th en h′（x）=0和h′（x）≤ 0。从左侧=-λh，则σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=（r（x）- λ） h（x）>0，这是一个矛盾。以类似的方式，可以证明h不能达到负的localminimum。引理B.2。假设r（·）≥ 0和λ<r。设b和c是两个c<b的数字，不一定在mλ和mλ之间，设hb和hc分别是对应于偶（λ，b）和（λ，c）的函数。然后，对于x>ξ，hb（x）>hc（x），对于0<x<ξ，hb（x）<hc（x）。证据由于h′c（ξ）=c<b=h′b（ξ），且hb（ξ）=hc（ξ）=1，因此存在一个hc<hb的区间（ξ，x）。假设x<∞. 然后hb（x）=hc（x）。这意味着g：=hb- bcis解决方案Lg=-λg和g在ξ和x处有两个零。根据引理B.1，由于g既可以达到正的局部最大值，也可以达到负的局部最小值，因此g应为相同的零。这给我们带来了一个矛盾。以类似的方式，可以表明hb（x）<hc（x）为0<x<ξ。引理B.3。假设r（·）≥ 0和λ<r。设hM（λ）和hM（λ）分别是响应于（λ，Mλ）和（λ，Mλ）的函数。然后h′M（λ）>0，h′M（λ）<0。证据我们证明了h′M（λ）>0。设b为实数，b>Mλ，用对应于（λ，b）的hbthefunction表示。我们证明了HB是单调递增函数。通过定义Mλ，HB在x>0的点处有一个零。它在x<ξ时跟随th，因为hM（λ）是正的，而在x>ξ时，通过引理B.2，hb（x）>hM（λ）（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:04

我们得到，当hb（x）=0且hb（ξ）=1时，hb（x）在x>x上单调递增，否则hb有一个正的lo-Calmax，这与Lemm a B.1相矛盾。很明显，h′b（x）>0，因为如果h′b（x）=0，则HB等于零。hbis在x附近严格递增，因此hbis单调递增onx<x，因为hbis没有负的局部极小值。总之，hbis在（0，∞ ).现在我们证明，对于所有x>0的情况，h′M（λ）（x）>0。它可以很容易地显示为thm（λ）（x）=肢体→M（λ）+hb（x），因为hb可以用hM（λ）和hM（λ）的线性组合表示：hb=b- 毫米- mhM+M- bM公司- mhm。在这里，有一段时间，我们分别使用M和M来代替M（λ）和M（λ），以避免沉重的概念。S因为hM（λ）是单调递增函数的极限，hM（λ）是单调递增函数，即h′M（λ）（x）≥ 0表示所有x>0。假设h′M（λ）（x）=0，在某个点x>0。那么σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=（r（x）- λ） h（x）>0。在这里，我们用h代替hM（λ）来避免沉重的概念。T hus，h′\'M（λ）（x）>0，这与hM（λ）单调递增的事实相矛盾。综上所述，对于所有x＞0的情况，h′M（λ）（x）＞0。结果表明，对于所有x＞0的情况，h′m（λ）（x）＜0的方式相似。现在我们证明定理3.6的证明。(<=) 假设0是自然边界。注意，根据假设1，∞ 是自然入口边界。固定λ<r，并将h设为对应于元组（λ，Mλ）的函数。我们证明h满足通常的条件。利用引理B.3，得到了h′＞0的一般条件之一。现在我们展示limx→∞h（x）=∞. 假设thatlimx→∞h（x）是有限的。回顾定义3.3中γ的功能。通过直接计算，h′γ′=2（右- λ） hσγ。因此h′（x）=γ（x）h′（ξ）+Zxξ2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:08

（B.2）右侧的两项为L（ξ，∞) 因为它们是正的，左手侧的积分∞ξh′（y）dy=limx→∞h（x）-h（ξ）是有限的。因此，γ（x）Rxξ2h（s）σ（s）γ（s）dsis in L（ξ），∞) 自r（x）起-λ ≥r-λ > 0. 另一方面，由于h是递增的，且h（ξ）=1，我们知道r（x）=γ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zxξ2h（s）σ（s）γ（s）ds。因此，R∈ L（ξ，∞), 假设∞ 无法访问。现在我们证明limx→0+h（x）=0。假设limx→0+h（x）>0。由于h′/γ由方程式（B.1）递增，且h′为正，因此极限存在slimx→0+h′（x）γ（x）=C≥ 0 . （B.3）积分方程（B.1）byRx，我们得到h′（x）=γ（x）C+Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds. （B.4）右侧的两项在L（0，ξ）中，因为它们是非负的andRξh′（x）dx=h（ξ）- 林克斯→0+h（x）是有限的。因此，γ（x）Rx2h（s）σ（s）γ（s）ds在L（0，ξ）中，因为r（x）- λ ≥r- λ > 0. 因为h是一个递增的函数和limx→0+h（x）>0，我们得到γ（x）Rxσ（s）γ（s）ds在L（0，ξ）中。根据Fubini定理，Zξγ（x）Zxσ（s）γ（s）ds dx=Zξσ（s）γ（s）Zξsγ（x）dx是有限的。因此，Q在L（0，ξ）中，这意味着0不是自然边界。这是一个传统。(=>) 假设集合U是非空的。设（λ，Mλ）为集合中的一个元素，并用h表示相应的函数。根据Thorem 3.5，我们可以假设λ<r。我们现在证明0是一个自然边界。假设0处的th是入口边界，即Q∈ L（0，ξ）。通过Fubini定理，我们知道γ（x）Zxσ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ）。（B.5）由于h在（0，ξ）上有界，并且r假设在0附近有界，因此得到γ（x）Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ）。（B.6）另一方面，根据方程式（B.3），可以得出limx→0+h′（x）γ（x）=C≥ 0 . 我们认为C=0。假设C 6=0。那么，从方程（B.4）和（B.6）中，γ在L（0，ξ）中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:12

对于x<ξ/2，我们知道0≤σ（x）γ（x）=σ（x）γ（x）Rξxγ（s）dsRξxγ（s）ds≤σ（x）γ（x）Rξxγ（s）dsRξ/2γ（s）ds=-Q（x）Rξξ/2γ（s）ds，所以我们得到c：=Rξσ（x）γ（x）dx是有限的，因为Q∈ L（0，ξ）。因此，R∈ L（0，ξ），因为f或x<ξ，0≤ -R（x）=γ（x）Zξxσ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zξσ（s）γ（s）ds=cγ（x）∈ L（0，ξ）。这是一个矛盾，因为∞ 是无法访问的边界。因此，C=0。现在我们证明假设Q∈ L（0，ξ）引起一个矛盾。由于C=0且h在增加，从方程式（B.4）和（B.5）中，我们知道h′（x）h（x）=γ（x）h（x）Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zx2（r（s）- λ） σ（s）γ（s）ds≤ cγ（x）Zxσ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ），其中c：=|λ|+su p0≤x个≤ξr（x）。这意味着limx→0+h（x）>0，因为- 林克斯→0+ln h（0）=ln h（ξ）- 林克斯→0+ln h（0）=Zξh′（x）h（x）dxis定义。这与通常情况下满足的假设相矛盾。C定理3.7的证明将显示定理3.7。为此，我们首先证明定理C.1、引理C.1和C。以下为2 s。在本附录中，假设r<λ。定理C.1。设r<λ≤λ. 用h表示对应于（λ，Mλ）的函数。ThenR公司∞ξγ（x）dx=∞ 当且仅当h′>0。证据假设是这样∞ξγ（x）dx=∞. 回想方程式（B.2），H′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds. （C.1）如果某个点x的h′（x）<0，则对于x>x，h′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds≤ γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds=γ（x）γ（x）h′（x）。SinceR公司∞ξγ（x）dx=∞ h′（x）<0，那么h（x）→ -∞ 作为x→ ∞, 这与h为正的事实相矛盾。因此，我们得到h′≥ 我们现在证明h′>0。假设h′（x）=0。那么σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=-(λ - r） h（x）<0，因此h在x处具有局部最大值。这与h′的事实相矛盾≥ 我们现在证明了相反的情况。假设h′>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:15

从方程（C.1）中，我们知道h′（ξ）Zxξγ（y）dy=h（x）- h（ξ）+2（λ- r） Zxξγ（y）Zyξh（s）σ（s）γ（s）ds dy。为了证明这一点，R∞ξγ（x）dx=∞, 由于右侧的第一项h（x）为正，因此足以表明z∞ξγ（x）Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds dx=∞ .另一方面，因为∞ 我们知道这是一个难以逾越的边界∞ξγ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds dx=∞ .由于h是正的并且在增加，我们得到了期望的结果。引理C.1。设r<λ≤ λ. 如果h是Lh的正和递增溶液=-λh，thenh（0）：=limx→0+h（x）=0。证据可以很容易地表明e（λ-r） th（Xt）是局部鞅。由于正lo-calmartingale是一个超鞅，因此e[e（λ-r） th（Xt）]≤ h（X）=h（ξ）。由于h在增加，我们有e（λ-r） th（0）≤ E[E（λ-r） th（Xt）]≤ h（ξ）。因此，h（0）≤ e-(λ-r） th（ξ）。让t→ ∞, 我们得到了预期的结果。引理C.2。设λ<λ。设h分别为（λ，Mλ）对应的函数。如果（λ，h）满足鞅条件andR∞ξγ（x）dx=∞, 那么h是无界的。证据设h和g是对应于（λ，Mλ）和（λ，Mλ）的函数。由于（λ，h）满足鞅条件，因此（λ，Mλ）也满足定理3.4。设P是相对于（λ，Mλ）的变换度量。T henh（ξ）=等式[e（λ-r） th（Xt）]=EP[（g-1h）（Xt）]e-(λ-λ） tg（ξ）。（C.2）第一个等式成立，因为（λ，h）满足鞅条件。假设h是有界的，即对于某些常数c，h<c。通过引理A.1，如定理3.5的证明中所述，我们知道，对于0<x<ξ，h（x）<g（x），对于x>ξ，h（x）>g（x），其为（g-1h）（x）<1对于0<x<ξ和（g-1h）（x）<重心-1（x）表示x>ξ。SinceR公司∞ξγ（x）dx=∞, g根据定理C递增。1，我们知道（g-1h）（x）<重心-1（x）<重心-1（ξ）=c，x>ξ。因此，可以得出（g-1h）（x）<c+1，所有x>0。根据方程式（C.2），我们得到h（ξ）=EP[（g-1h）（Xt）]e-(λ-λ） tg（ξ）≤ （c+1）e-(λ-λ） tg（ξ）。让t→ ∞, 它在h（ξ）处跟随th≤ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 19:12:19

这就给我们带来了矛盾。证据现在我们证明定理3.7。假设是这样∞ξγ（x）dx=∞. 用r<λ<λ固定任意λ，并设h为对应于（λ，Mλ）的函数。根据定理C.1，h′>0。根据引理C.1，由于h是正的且在增加，limx→0+h（x）=0。引理C.2，我们有limx→∞h（x）=∞. 因此，h满足通常的条件，即，（λ，Mλ）在U中。根据定理3.5，可以得出{（λ，Mλ）|λ<λ} U、这是期望的结果。我们现在证明如果∞ 是自然边界，则U={（λ，Mλ）|λ≤λ }. 设hbe为（λ，Mλ）对应的函数。通过相同的参数，我们有h′>0和limx→0+h（x）=0。必须表明limx→∞h（x）=∞. 根据方程式（B.2），我们得到h′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds.因为括号内的项是x的递减函数，并且左侧的h′（x）对于所有x都是正的，通过让x→ ∞, 因此，C：=h′（ξ）-2(λ-r） r∞ξh（s）σ（s）γ（s）ds为非负。上述方程可用h′（x）=γ（x）表示C+2（λ- r） Z∞xh（s）σ（s）γ（s）ds≥ 2(λ - r） γ（x）Z∞xh（s）σ（s）γ（s）ds。（C.3）另一方面，应用Fubini定理，我们知道th atZ∞ξγ（x）Z∞xσ（s）γ（s）ds dx=Z∞ξσ（s）γ（s）Zsξγ（x）dx ds=∞因为∞ 是一个自然边界。因此，方程式（C.3）右侧的积分变为∞ξγ（x）R∞xh（s）σ（s）γ（s）ds dx=∞ 因为CEH是一种缓解功能。这意味着limx→∞h（x）=∞.现在假设R∞ξγ（x）dx<∞. 根据定理C.1，对于r<λ的任何λ≤λ、相应的函数h不满足条件h′>0。因此，U {（λ，Mλ）|λ≤ r}。当λ=r时，根据位置3.3证明中的相同参数，我们知道（r，Mr）不在U中，所以U {（λ，Mλ）|λ<r}。另一方面，{（λ，Mλ）|λ<r} 定理3.6明确了U。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝