由于M1拓扑较粗糙，我们得出结论（DS，M1）是Suslin。命题4.7（积分的收敛性）。修复t≤ T和φ∈ S和定义ψ，Φ：{ζ∈ DS：ζs∈ M≤1（R）}×DR→ R乘以ψ（ζ，) :=Zthζs，g（s，·，ζs，s） φids，Φ（ζ，) :=Zthζs，α（s，·，ζs，s） φid（K* )s、 其中g是b、σ或σρ中的任意一个。给定（νN，LN）=> (ν*, L*) 在（DS，M1）×（DR，M1）上，ψN：=ψ（νN，LN）弱收敛于ψ*:= Ψ(ν*, L*), 对于R，对于Φ也是如此。证据固定有界f∈ 边缘（R）。根据备注4.6，（νN，LN）的任何子序列都有另一个子序列，也以N为索引，我们可以假设其几乎肯定收敛。通过应用三角形不等式，我们得到Ef（ψN）-Ef（ψ*)> EZt公司ν*s- νNs，g（s，·，ν）*s、 L*s） φds公司+ EZt公司νNs，g（s，·，ν）*s、 LNs）φ- g（s，·，νNs，LNs）φds公司+ EZt公司νNs，g（s，·，ν）*s、 L*s） φ- g（s，·，ν）*s、 LNs）φds公司=: EIN+EIN+EIN。从I开始，fixδ>0，回忆| g |≤ |x |+C（ν*) 带C（ν*) > 1个以上sups≤t | M*s |。因此，使用φ∈ S，我们可以取λ=λ（δ）足够大，因此∈R\\[-λ、 λ]| g（s，x，ν*s、 L*s） φ（x）|<（1+C（ν*))δ/2 s∈ [0，T]。（4.10）现在取一组molli fiersψε∈ C∞c（R）并考虑（随机）软化gεs（x）：=g（s，·，ν）*s、 L*s）* ψε（x） ，ε>0。Asν*和νNare次概率测度，我们有≤Zt公司ν*s- νNs，gεsφds公司+ 2 kφk∞Ztsup | x|≤λ| gεs- gs | ds+（1+C（ν*))δt.自gεs→ GSX均匀分布∈ [λ，λ]，支配收敛意味着，对于εsu fficientlysmall，第二项预期小于δ。同样，gεsφ∈ S确保，对于较大的情况，第一项小于预期的δ。因此，EIN≤ C（δ+δ+δt）表示较大的N，其中C仅取决于EC（ν*), so EIN→ 0作为N→ ∞.对于IN，g的局部Lipschitz度，以及φ∈ S和νNs∈ M≤1、给予≤ C（ν*)Ztsup{| hν*s- νNs，ψi |：ψ∈ Cd}ds，其中Cd：={ψ∈ C（R）：kψkLip≤ 1，|ψ（x）|≤ 1+| x |}，和C（ν*) > 1个以上sups≤t | M*s |。固定δ>0，取λ=λ（δ）大（稍后确定）。

根据ArzeláAscoli定理，有一个有限族ψ，ψk∈ 中支持的CD[-λ、 λ]因此，对于每个ψ∈ Cd，sup{|ψ（x）- ψi（x）|：x∈ [-λ、 λ]}<δ/2对于某些i∈ {1，…，k}。固定任意ψ∈ Cd（R）和相应的ψi，我们有| hν*- νN，ψi |≤Zλ（ψ）- ψi）d（ν）*- νN）+Z∞λ(ψ - ψi）d（ν）*- νN）+ |hν*- νN，ψii |。通过构造，第一项以N中的δ一致为界≥ 此外，通过Cauchy–Schwartz和Jensen不等式，我们得到了EHC（ν*)Zt公司Z∞λ(ψ - ψi）d（ν）*s- νNs）dsi公司≤ CEZthν*s+νNs，|·|[λ，∞)ID和henceEIN≤ Cδt+CEZthν*s+νNs，|·|[λ，∞)ids+C supi=1，。。。，kEZt | hν*s- νNs，ψii | ds。根据推论3.4和命题4.3，引理A.3给出中期在N中一致消失≥ 1为λ→ ∞, 所以我们可以把λ取得足够大，这样它就被δ统一包围了。对于最后一个术语，回想一下ψihas compact support in[-λ、 λ]，因此我们可以使用与中相同的molli fication参数。由于要考虑的ψi只有非常多，因此我们可以取N足够大，使得EIN≤ C（δt+δ+2δ），其中Cis是一个固定的数值常数。这证明了EINvanishes作为N→ ∞.最后，我们考虑中的最后一个积分。根据假设2.1的（iii），我们νNs，g（s，·，ν）*s*s） φ- g（s，·，ν）*sNs）φ> C（ν*)|*s- Ns |（4.11）无论何时*sNs系列∈ [θi-1，θi）对于某些i=1，k、 让{*, (N） N个≥1} 表示{L的实现*, （LN）N≥1}. 然后N→ *in（DR，M1），因此Ns系列→ *对于任何文件∈r∈ [0，t]：*r-= *r. 固定ε>0。自从*严格增加（根据假设2.3），我们可以取δ=δ（ε）小，以便Leb{r∈ [0，T]：|θi- *r |<δ对于某些i}≤ ε. 另一方面，如果|θi- *s |≥ δ对于我来说，那么我们最终*sNs系列∈ [θi-1，θi）对于某些i，因此（4.11）适用。

因此，对于给定的随机性实现，lim supN→∞在中≤ C（ν*)Zt{r∈[0，T]：|θi-`*某些i}（s）ds的r |<δ≤ C（ν*)ε.由于ε>0是任意的，我们几乎可以确定limNIN=0。注意到（4.11）中边界的一致性，支配收敛给出了EIN→ 0作为N→ ∞.仍需证明Ef（ΦN）→ Ef（Φ*) 作为N→ ∞. 为此，要点暗示|（K*L*)s |≤ kKkand | Rt（K*（L）*-LN））十二烷基硫酸钠≤ kKkRt | L*s-LNs | ds。利用这些观察，参数与ψ的参数相同。命题4.8（鞅论证）。固定任意φ∈ 所有（ζ，, w）∈ DS×DR×CR，DR进程mt（ζ，) := hζt，φi- hν，φi-Rthζs，b（s，·，ζs，s）xφID+Rtζs，σ（s，·）xxφds公司-Rthζs，α（s，·，ζs，s）xφid（K* )s、 Nt（ζ，) := Mt（ζ，)-Rthζs，σ（s，·）ρ（s，ζs，s）xφids，Kt（ζ，, w） ：=Mt（ζ，) · wt公司-Rthζs，σ（s，·）ρ（s，ζs，s）xφ内径。If（νN，LN，W）=> (ν*, L*, W） ，然后是M（ν*, L*), N（ν）*, L*), 和K（ν*, L*, W） 都是连续鞅。证据设MNt：=Mt（νN，LN）和M*t： =Mt（ν*, L*). 现在Fix s，t∈ [0，T]s<标准，对于任何s，序号∈ [0，s]，FNM：=MNt公司- MNs公司nYi=1fi（MNsi）和F*M：=M*t型- M*snYi=1fi（M*si），其中f，fn公司∈ Cb（R）是任意的。类似地，对于N和K，它遵循命题4.7和连续映射定理fnm=> F*M、 FNN公司=> F*N、 和FNK=> F*K、 利用这一点，并借助命题3.2中的有限维演化方程，现在的目标是证明*M=limN→∞EFNM=0，EF*N=limN→∞EFNN=0，EF*K=极限→∞EFNK=0，从而证明M*, N*, 和K*是真正的鞅，根据标准的单调类参数。依靠一致可积性得出平均值的收敛性，然后很容易对[35，Prop.5.11]中的参数进行微小修改。根据[43，Thm.3.2]和命题4.2和4.5的紧性，我们可以提取出一个非常收敛的子序列（νN，LN，W）=> (ν*, L*, W） 。

反过来，命题4.8和Doob–Meyer分解定理允许我们得出结论，对于每个φ∈ S，hM（ν*, L*)it=Rthν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφID和M（ν*, L*), Wt=Rthν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφid，所以它适用于所有t∈ [0，T]那M（ν*, L*) -R·hν*s、 σ（s，·）ρ（s，ν）*s、 L*s）xφidWst=0。因此（ν*, W） 满足SPDE（2.3），因此定理2.4的证明是完整的。5唯一性论证在这一节中，我们给出了定理2.6的证明。鉴于第4.2节，我们确定了经验测量序列（νN）的极限点ν，并让￠ν表示SPDE的另一个候选解决方案（2.3）。然后，策略是以H为单位建立能量估算-1针对差异t： =νt- νt，其中H-通常是H=W1,2（R+）的对偶空间。更具体地说，我们将依赖“平滑”H-1提案5.1中给出的估计值。基于此估计，我们在第5.1.1节中推导出了SPDE的唯一性，然后第5.2节和第5.3节致力于证明命题5.1.5.1的能量估计和平滑，而不是估计H-1标准t直接而言，我们的方法依赖于通过卷积（用一系列近似于恒等式的核）平滑解ν和ν。通过这种方式，我们可以经典地处理得到的方程。由于我们的问题是基于边界处有吸收的正半线来表述的，因此自然要考虑由Gε（x，y）给出的Dirichlet热核族Gε：=pε（x- y）- pε（x+y），pε（x）=（2πε）-经验值{-x/2ε}。（5.1）我们用Tεu表示Gε对度量u的作用，即（Tεu）（x）：=Z∞Gε（x，y）du（y）。为了简化表示，我们引入了符号-1 X对于反导数(-1xTεt） （x）：=-Z∞x（Tεt） （y）dy.（5.2）调用嵌入M±→ H-1，其中M±是R上的有限符号度量的空间（总变化范数）。如【35，道具】。

6.5]，然后我们有tkH公司-1.≤ lim infε→0-1xTεt型, （5.3）其中k·k表示R+上的L-范数。因此，我们可以估计H-1差异标准tvia光滑解的反导数。现在让我们简要概述一下我们方法背后的关键思想。第一个观察结果是y 7→ Gε（x，y）在C中是一个可接受的测试函数，因此我们可以将其插入到spdean中，从而获得平滑解Tεν和TεИνT的表达式。将它们积分以引入反导数，并查看它们的差异，这样我们就可以得到-1xTεTε的tin项Tενtand的出现导致了一些临界“边界效应”以及一系列更简单的误差项。为了控制-1xTεt、 因此，我们需要对tενt进行统一估计，并且需要将边界效应（和误差项）包含为ε→ 0.这两项任务是第5.2节的主题，这允许我们推导上述Lestimate-1xTεtin第5.3节。然而，在这之前，我们首先展示如何推导出SPDE的唯一性，前提是所需的能量估计值成立。5.1.1 SPDE的唯一性-定理2.6a的证明如上所述，我们假设ν是粒子系统的极限点，并且假设￠ν是SPDE（2.3）的另一个解，满足假设2.3。回想一下，损失变量中的局部Lipschitz性仅在区间[θi]上以分段方式成立-1，θi）对于i=1，k、 这个障碍很容易被以下分段停止论证克服：假设我们可以证明[0，t]上的唯一性，如果Lt，~Lt∈ [0，θ）并引入停止时间τ：=inf{t>0:Lt≥ θ} ∧ T和▄τ：=inf{T>0：▄Lt≥ θ} ∧ T、 然后Lt，Lt∈ [0，θ）对于t<：=τ∧ 所以我们得到了唯一性达到。注意，通过唯一性，L=~L在[0，]上，因此=τ=~τ。

因此，我们可以重复[，]上的唯一性论证，其中Lt，Lt∈ [θ，θ），定义为：=τ∧ 对于τ：=inf{t>：Lt≥ θ} ∧ T和▄τ：=inf{T>：▄Lt≥ θ} ∧ T、 以这种方式继续，k-1，我们得到了所有[0，T]的唯一性，因为Ltandlt都是严格递增的（回想一下假设2.3的第（ii）部分）。下面我们证明了当L中的局部Lipschitz性处处成立时的唯一性，而不是当L和▄L被限定到一个特定的块时，这些参数意味着唯一性[θi-1，θi）。因此，鉴于上述停止论证，下一个结果将有助于完成定理2.6的证明。命题5.1（平滑H-1估计）。假设假设2.1（iii）中的局部Lipschitzness无处不在，而不是分段。然后，作为ε↓ 0，我们有-1xTεt型∧田纳西州+ cEZt公司∧tnkTεskds公司≤ cnEZt公司∧tnd（νs，νs）-1xTεsds+cnEZt∧tn | Ls-~Ls |+d（νs，~νs）ds+o（1），对于固定的c>0，且cno仅取决于n，其中（tn）是一系列停止时间，使得tn↑ T作为n↑ ∞.证据证明是第5.2节和第5.3节的主题。注意，此时Gr"onwall已经给出了ERt∧tnkd公司sdxkds是有限的，特别是，s∧tn的密度为L，我们在下面使用。还应注意| L-~L |主要由d（ν，~ν）控制，但它包含在估计中，因为它显示了上述“分段停止论证”将在何处发挥作用。下一个引理涉及光滑H的左右两侧-1估计，从而为astronger Gr"onwall论证打开了大门，这将允许我们完成定理2.6的证明。引理5.2。存在c>0，因此，对于所有s≤ T，δ∈ （0，1），且λ>1，d（νs，￠νs）≤ cλ（1+δ-1)-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε）d（νs，￠νs）≤ c√λ + δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），asε↓ 0

此处（ft（λ））t≤这是一个过程，对于每一个a>0，ERTfs（λ）ds≤ cae公司-aλ对于某些ca>0和（gs（ε））s≤该过程使得ERTgs（ε）ds=o（1）asε↓ 0、插入din Prop的边界。5.1，我们得到前导项λ（1+δ-1） k级-1xTεsk，其中λ不是平方是至关重要的。对于来自dwe的其余术语，我们可以简单地应用杨氏不等式。在插入d的界之后，它将跟随e-1xTεt型∧田纳西州≤ δcnEZt∧田纳西州dsdx公司ds公司- cEZt公司∧tnkTεskds（5.4）+cn（1+λ+λδ-1） 中兴通讯-1xTεs∧田纳西州ds+cae-aλ+o（1），作为ε↓ 通过Tε的构造，我们得到了kTεsk公司≤ kd公司sdxkand kTεsk公司→ kd公司sdxk，sodominated convergence givesEZt∧田纳西州Tεsds公司→ 埃兹特∧田纳西州dsdx公司ds为ε↓ 因此，通过取δ：=c/2cn，当ε>0时，（5.4）右侧的前两项之和最终为非正。反过来，我们可以应用积分因子exp{cn（1+λ+λδ-1） t}到（5.4）中的反导数项，并推导出-1xTεt型∧田纳西州≤ cacn（1+λ+λδ-1） ecn（1+λ+λδ-1） Te公司-aλ+o（1）为ε↓ 回顾（5.3）并引用Fatou引理，如下所示t型∧tnkH公司-1.≤ ca，n，T（1+λ+λδ-1） exp{λ（1+δ-1） T型- aλ}。因此，我们可以简单地取a：=2（1+δ-1） T并发送λ→ ∞ 到达atE kt型∧tnkH公司-1= 0 t型∈ [0，T]。因为n是任意的，tn↑ T作为n↑ ∞, 我们得出结论，对于所有t∈ [0，T]。这就完成了定理2.6的证明。引理5.2的证明。固定ψ∈ Cd，其中Cd：={f:kfkLip≤ 1，| f（x）|≤ 1+| x |}。

如果λ>1，δ>0，我们可以取一个切割函数χ∈ C∞c（R）等于[δ，λ]上的1-1] 并在（δ/2，λ）中支撑，使得|χ|≤ 1, |χ| ≤ Cχ/δ开[δ/2，δ]，和|χ| ≤ Cχon[λ- 1, λ].观察χψ∈ W1，∞（δ/2，λ）带K（χψ）k=Zδ|χ| |ψ| dx+Zλλ-1|χ| |ψ| dx+Zλ|χ||ψ| dx≤ Cχ（δ-1+1）kψkL∞(0,λ)+ λ.接下来，我们可以观察到| hs、 ψi |≤ |h类s、 χψi |+| hs、 （χ- 1） ψ1[0，δ]i |+hνs+|νs，|ψ| 1[λ-1.∞)我≤ |h类s、 χψi |+（1+δ）δ1/2dsdx公司+ hνs+~νs，（1+|·|）1[λ-1.∞)iLet（·，·）是L上的内积。通过部件和Cauchy–Schwarz进行积分得到| hs、 χψi |≤（Tεs、 χψ）+（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi≤-1xTεsx（χψ）+（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi.由ArzeláAscoli定理应用于{χf:f∈ Cd}，我们可以找到一个完整的家族{i∈ Lip（R）：i=1，k（δ，λ）}在[δ/2，λ]中得到支持，因此，对于任何f∈ Cd，supx∈R |Дi（x）- χf（x）|≤ δλ-, 对于某些i=1。。。，k（δ，λ）。因此，存在一个（Tεs、 χψ）- h类s、 χψi≤（Tεs、 ^1i）- h类s、 ^1ii+ 2.√δdsdx公司,我们使用了Cauchy–Schwarz和kTεsk公司≤ kd公司sdxkand kДi-χψk≤√δ. 注意（Tεs、 ^1i）→ h类s、 Дii为ε→ 0（参见例如[35，第6.4条]），因此定义gεs=gεs（δ，λ）：=sup{|（Tεs、 ^1i）- h类s、 ^1ii |：i=1，k（δ，λ）}，我们有ERTgs（ε）ds→ 0为ε→ 有界收敛为0。因此，| hs、 χψi |≤-1xTεsx（χψ）+ 2.√δdsdx公司+ gs（ε），其中g是引理所要求的。最后，结合以上内容，我们可以在定义和发现d（νs，νs）的函数类中取supremaoverψ≤ cλp1+δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），and d（νs，￠νs）≤ cpλ+δ-1.-1xTεs+ cδdsdx公司+ fs（λ）+gs（ε），其中fs（λ）：=hνs+～νs，（1+|·|）1[λ-1.∞)i。

因此，通过引用引理A.3.5.2 l边界效应的规则性和包含性所保证的fs（λ）的指数衰减特性，证明是完整的。本节的第一个任务是为ε>0且T∈ [0，T]。这可以通过利用我们对ν的额外控制来实现，因为它是粒子系统的一个极限点。具体而言，我们可以使用经验度量（νN）由其整体空间对应物支配，因此，在极限情况下，ν由SPDE（2.3）的整个空间版本的解决方案支配，其中M和L仍然根据ν定义。这一点至关重要，因为我们可以在没有任何边界影响的情况下，对整个空间进行简化。另一方面，对半线的估计只会成功，因为我们在较弱的空间H中工作-1，其中我们可以仅依靠命题4.3和假设2.3中的边界衰减来控制边界效应（见引理5.5和第5.3.2节）。命题5.3（能量估计）。Letν*是（νN）的极限点。ThenE公司支持∈[0，T]supε>0Z∞（1+x）（Tεν*t） dx公司< ∞. （5.5）证明。这些粗略的想法与[35，Prop.7.1]相同，因此为了避免重复，我们将再次参考这一点。首先，设？νN：=PNi=1aNiδxit，并注νN（A）≤ \'νN（A）表示ALA∈ B（R）。

现在，与（νN）相同的工作确保（νN，(R)νN）与极限点ν紧密相连*≤ ν*, 其中\'ν*满足SPDE（2.3）的全空间模拟，即测试函数的空间都是S，但M和L仍然定义为ν*.如[35]中的引理7.2和7.3所述，证明（5.5）它对边界j的作用：=lim infε→0E支持≤TZR（\'Tε\'ν）*t） dx公司和J：=lim infε→0E支持≤TZRx（\'Tε\'ν）*t） dx公司,式中，\'Tε的作用由（\'Tε′ν）给出*t） （x）：=ZRpε（x- y） d？ν*t（y）。请注意，y 7→ pε（x- y） 当然不在C中，但在±处有快速衰减∞, 因此，这是一个可接受的测试函数，用于满足“ν”的整个空间SPDE*. 我们将证据的其余部分分为三个步骤。第1步。我们首先展示J>R∞V（x）dx。简化一下，letbt（x）：=b（t，x，νt，Lt）- α（t，x，νt，Lt）Lt。那么bt将在[35]中命题7.1的证明中扮演漂移的角色。正如[35]中所述，我们可以用pε（·）测试SPDE- y） 并引入适当的误差项，以获得‘Tε’ν的可处理表达式*t、 接下来，我们可以应用It^o的公式，并将其转换为平方（\'tε\'ν）的表达式*t） 。这样，我们就得到了d（\'Tε\'ν*t） =- 2（\'Tε\'ν）*t）英国电信x（\'Tε\'ν）*t）- xbt？Hbt，ε+？Ebt，εdt（5.6）+（Tεν）*t）x个σtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdt公司- 2ρt（\'tε′ν）*t）σtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdWt+ρtσtx（\'Tε\'ν）*t）- xσt'Hσt，ε+'Eσt，εdt，其中误差项“E”和“H”在附录引理A.2中定义。与文献[35]相比，我们必须小心bt的线性增长，然而，这是通过部分集成来实现的：因为“Tεν”*tvanishes位于±∞ 靠着‘ν’的尾巴*t（使用引理A.4的全空间模拟），我们得到-ZRZt2bs（\'Tε\'ν）*s）x（\'Tε\'ν）*s） dsdx=-ZtZRbs公司x（\'Tε\'ν）*s） dxds=ZtZRxbs（\'Tε′ν）*s） dxds≤ CZt公司\'Tε\'ν*sds。（5.7）鉴于此，计划整合x∈ 方程（5.6）中的R，以获得‘Tε’ν的L-范数估计值*t。

在对x进行积分后，我们可以求助于前一个估计值（5.7），同样，我们可以在（5.6）右侧的第二行中按部分进行另一次积分。利用这一点，以及|'Hgt，ε|>'T2ε'ν*因此，我们可以应用杨氏不等式（自由参数θ>0）来了解\'Tε\'ν*t型≤\'Tεν+ CθZt\'Tε\'ν*sds+CθZt？T2ε？ν*sds（5.8）+CθZt\'Ebs，ε+Eσs，ε+Eσs，εds+ZtZRρsσs+θρsσs- σs+θx（\'Tε\'ν）*s）dxds+ZtZRρsxσs（\'Tε′ν）*s） +2ρs（\'Tε\'ν）*s）(xσs'Hσs，ε-Eσs，εdxdWs。在这里，我们使用随机fubini定理来切换随机积分中的积分顺序（由于[35，Lem.8.3]中的指数尾允许），并且我们还对随机积分中的dx积分进行了部分积分。第2步。由于ρ的界距为1（σ的界距为0），我们可以选择θ足够小，以便（5.8）的第三行为负，因此我们可以对其进行修正。将（5.8）的两侧提高到幂k≥ 因此，我们有SUPR≤t型\'Tε\'ν*r2公里≤ C\'Tεν2k+CZt\'Tε\'ν*s2公里+？T2ε？ν*s2公里ds（5.9）+CZt\'Ebs，ε2公里+Eσs，ε2公里+Eσs，ε2公里ds+Cnsupr≤tZrZRρsxσs（\'Tε′ν）*s） +2ρs（\'Tε\'ν）*s）(xσs'Hσs，ε-Eσs，εdxdWsok，C=C（k）。通过Burkholder-Davis-Gundy和H"older和Young不等式，随机积分的预期上确界为常数时间ZZR（\'Tε\'ν）*s）\'Tε\'ν*s+|xσs'Hσs，ε|+'Eσs，ε|dx公司dsok/2≤ CE主管≤t型\'Tε\'ν*r2k+CEZt\'Tε\'ν*t型2公里+？T2ε？ν*t型2公里+Eσs，ε2公里因此，将（5.9）中的期望值设为ε≤εE supr≤t型\'Tε\'ν*r2公里≤ Cinfε≤ε\'Tεν2k+tCinfε≤εE supr≤t型\'Tε\'ν*r2k+Cinfε≤εEZt\'Ebs，ε2公里+Eσs，ε2公里+Eσs，ε2公里ds。如果我们现在限制为t≤ T： =1/2发送ε→ 0，那么我们得到lim infε→0E支持≤T\'Tε\'ν*t型2公里≤ 2C五、2k，这里我们使用了k'Tενk→ kVkasε→ 0，误差项由Emma A.2消失。

对于k=1，这证明了Jin小时间上的界，即对于t∈ [0，T]，T=1/2C。将此界扩展到所有[0，T]之后，将参数传播到有限多个区间[Tk，Tk+1∧ T]当Tk+1=Tk+1/2Cfork=1，d2CT e（如【35，第7.1款】中的证明）。第3步。我们现在展示如何扩展之前的工作来证明Jis定义。为了在这方面取得成功，我们需要控制支撑的第四个时刻≤Tk'Tε'ν*tk，这就是在上面的步骤2中引入功率k的原因。这个想法很简单，就是在积分x之前乘以xin（5.6）∈ R，然后按照上述步骤1和2进行操作。从第一学期开始，按部分进行的整合将产生-ZRZt2xbs（\'Tε′ν）*s）x（\'Tε\'ν）*s） dsdx=ZtZRx个xbs+2xbs（‘Tε’ν）*s） dxds≤ CZt公司x（\'Tε\'ν）*s）ds+CZt（1+| Ms |）\'Tε\'ν*sds。至关重要的是，右侧的第二项可以由EZT控制（1+| Ms |）\'Tε\'ν*sds公司≤中兴通讯（1+| Ms |）ds+ZtEh\'Tε\'ν*sids，（5.10），这是因为步骤2中的结果k=2。完全类似于（5.8）–（5.9）的论点，然后产生x'Tε'ν*t型≤x'Tεν+ CθZtx'Tε'ν*sds+CθZtx'T2ε'ν*sds+C（5.11）+CθZtx’Ebs，ε+x'Eσs，ε+x′Eσs，εds公司- 2ZtZRxρs'Tε'ν*s（σsx'Tε'ν*t+xσs'Hσs，ε+'Eσs，ε）dxdWs，其中额外常数Ccomes从（5.10）开始。有鉴于此，我们可以像步骤2（k=1）中那样，将jb绑定为C+kxVk的倍数。推论5.4（密度过程）。任意极限点ν*of（νN）有一个L值密度过程（V*t） t型≥0带kxV*tk<∞.证据给出命题5.3，然后是L-有界序列（Tεν）的标准弱紧性论证*t）>下一个引理抑制了-1xTεt、 通过确保相关项消失为ε→ 0

这在很大程度上取决于边界附近溶液质量的行为，因此基本成分是假设2.3中的边界衰减，因为命题4.3中的极限点满足了这一点。引理5.5（边界估计）。设u满足假设2.3，设gt（y）是一个| gt（y）|>1+| y |+Mt的（随机）函数，其中Mt：=hut，对于某些ψ∈ 边缘（R）。塞内茨∞ut，gt（·）pε（x+·）dxdt→ 0为ε→ 0.证明。首先请注意，根据Jensen不等式，ut，gt（·）pε（x+·）≤ Cε-1e级-x/εZ∞（1+y+Mt）e-y/εdut（y）。和henceZ∞ut，gt（·）pε（x+·）dx公司≤ CZ公司∞（1+y+Mt）ε-e-y/εdut（y）我们将证明分为三种情况，其中1或m出现在被积函数中。第一种情况如【35，Lem.7.6】所示。对于第二种情况，fix 0<ε<1，让η∈ （0，1）是自由参数。在y上拆分积分≤ εη及其补码给出ε-Z∞ye公司-y/εdut（y）≤ ε-ut（0，εη）+ut，y经验值-ε2η-1.. （5.12）通过假设2.3的（iii）-（iv），也引用引理A.3，它遵循Thatezz∞yε-e-y/εdut（y）dt≤ Cε-εη（1+β）+exp-ε2η-1.（5.13）对于常数β>0，其中（5.13）的右侧收敛到零，只要（2+2β）-1< η < 2-对于最后一种情况，我们可以依靠霍尔德不等式来了解Eztmtz∞ε-e-y/εdutdt≤ EZTM2qtdt量化宽松ZT公司Z∞ε-e-y/εdutpdt公司p、 由于M2qt>ut（0，∞) + hut，y2qi通过ψ的lipschitz，我们得到ERTM2qtdt<∞ 根据假设2.3（iii）和引理A.3，对于所有q>1。此外，如（5.12）–（5.13）所述，EZTZ∞ε-e-y/εdut（y）pdt公司≤ Cε-pεη（1+β）+exp-pε2η-1.,因此，该要求如下：取p：=1+β/2，并选择范围（1+β/2）（2+2β）内的η-1< η < 2-1、完成证明。5.3平滑H-1估计-命题证明5.1在本节中，我们完成了平滑H的证明-1根据提案5.1进行估算。备注5.6（“osq（1）”–注释）。

如[35]所示，我们用osq（1）表示左值过程{（ζεt）t的任何族≤T} ε>0，满足ERTkζεtkdt→ 0为ε↓ 例如，引理5.5和引理A.1确保“边界效应”和误差项为osq（1）。如第5.1节开头所述，我们将推导-1xTεt通过使用内核y 7测试ν和ν的SPDE→ Gε（·，y），然后积分（x，∞) 对于x>0。在命题5.3的证明中，我们设定：=bt-αtLtand▄bt：=▄bt- ~αt▄Lt。然后我们可以像[35，第7节]中那样进行论证，用引理5.5和引理A.1代替[35]中的对应引理，得出如下结论：-1xTεt=-btTεt+δbtTενtdt公司+x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdt公司- σt（|ρtεt+ΔρtTενt）dWt+osq（1）dt+osq（1）dWt，其中egi是引理A.1中定义的一个误差项，其中仅对ν进行类似定义，δgt：=g（t，x，νt，Lt）- g（t，x，~νt，~Lt）。应用It^o的公式，它遵循(-1xTεt） =- 2(-1xTεt）btTεt+δbtTενtdt（5.14）+(-1xTεt）x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdt+σt§ρTεt+ΔρtTενtdt公司- 2α(-1xTεt） σt§ρTεt+ΔρtTενt载重吨+(-1xTεt） osq（1）dt+(-1xTεt） osq（1）dWt+osq（1）dt。现在，我们可以将上述内容集成到x中∈ R+达到-1xTεt、 然后，我们需要在右侧估计得到的积分，这一过程分为五个短步骤（与[35]有很大的偏差）。为方便起见，我们定义了| M | t，？：=sups公司≤t{1+| Mt |+| Mt |}和kTνkT，？：=sups公司≤tsupε>0k（1+x）Tενsk。第1步。我们首先考虑（5.14）右侧的第一行。注意，我们可以写2(-1xTεt） （tεt） =x个(-1xTεt） 在第一学期。

因此，我们可以对x中的各个部分进行积分，并使用带有自由参数θ的杨氏不等式得到-Z∞英国电信(-1xTεt） （tεt） dx=-Z∞(xbt）(-1xTεt） dx+2bt（0）Z∞(-1xTεt） （tεt） dx公司≤ Cbk公司-1xTεtk+CθCb | M | t，？k-1xTεtk+θkTεtk。对于（5.14）第一行中的第二个积分，我们记得|δbt |>（| x |+| M | t，？）d（νt，￠νt）+Lt-Lt |+| Lt-Lt|.因此，使用Cauchy-Schwarz对dterm进行处理，使用Young不等式对其他项进行处理，Z∞δbt(-1xTεt） tενtdx> |M | t，？kTνkT，？k-1xTεtkd（νt，￠νt）+M | t，？k-1xTεtk+| M | t，？kTνkT，？（| Lt-Lt |+| Lt-Lt |），其中我们可以注意到zt | M | s，？kTνks|Ls公司-Ls | ds≤ |M | t，？kTνkT，？Zt公司ZsK（s）- r） （左后-Lr）drds公司≤ |M | t，？kTνkT，？kKkZt公司Lr公司-Lrdr.步骤2。现在考虑（5.14）右侧的第二行。通过分段积分和使用自由参数θ的杨氏不等式，我们得到∞(-1xTεt）x个σtTεt+Eσt，ε-Eσt，εdx=-σtTεt型-Z∞（Tεt） （Eσt，ε-Eσt，ε）dx≤ -σtTεt型+ CθEσt，ε-Eσt，ε+ θTεt型,我们使用了Tεt、 Egt，ε和▄Egt，ε在零处为零，在单位处为零。第3步。在（5.14）右侧的第三行中，我们将平方展开，并将带有自由参数θ的Young不等式应用于低阶项。这个yieldsZ∞σt§ρTεt+ΔρtTενtdx公司≤σt▄ρtTεt型+ Cσ|Δρt|TενT+ Cθ|Δρ|TενT+ θTεt型.此外，我们在这里回忆起|Δρt |>| M | t，？（| Lt-Lt |+d（νt，￠νt））。第4步。在（5.14）中取期望值时，随机积分消失。因此，通过对x>0进行期望和积分，可以从步骤1–3和自由参数θ>0的Young\'sinequality得出-1xTεt型≤ CθEZtkTνks|M | s，？|Ls公司-~Ls |+d（νs，~νs）ds+CθEZt | M | s，？-1xTεsds+CθEZt | M | s，？kTνks，？-1xTεsd（νs，~νs）ds+EZtZ∞{σs▄ρs- σs+2θ}| Tεs | dxds+o（1），（5.15）作为ε↓ 0，对于仅依赖于自由参数θ的常数Cθ。第5步。

由于ρ有界远离1，σ有界远离0，我们可以将自由参数θ取得非常小，以便（对于所有x和t）σ（s，x）ρ（t，|νt）- σ（s，x）+2θ≤ -c（5.16），对于固定常数c>0。接下来，我们可以考虑停止时间tn：=inft>0:kTνkT，？>n或| M | t，？>n∧ T、 对于n≥ 注意，根据命题5.3，我们有tn↑ T作为n→ ∞. 评估t时的估计值（5.15）∧ t使用（5.16），我们得到-1xTεt型∧田纳西州+ cEZt公司∧tnkTεskds公司≤ 中兴通讯-1xTεs∧田纳西州ds+o（1）+CnEZt∧tn | Ls-~Ls |+d（νs，~νs）ds+CnEZt∧tnd（νs，νs）-1xTεsds。最后，通过应用积分因子exp{-Cnt}对于右侧的第一项，我们从命题5.1中获得估计值，cn：=n（eCT- 1).6密度估计本节的目的是证明命题3.3中所述的密度估计。我们的方法将依赖于本质上完全是概率的技术，我们遵循一个简单直观的过程。第一步是确保粒子尾部的快速衰减。这在第6.1节中得到了实现，在那里我们表明，初始定律的次高斯性在所有正时间都能很好地传播。在第6.2节中，我们将粒子转化为具有漂移的布朗运动，漂移与原点的命中时间相同，然后我们使用亚高斯性引入与漂移相关的度量变化。最后，我们通过将时间t>0时的任何给定变换粒子与从变换粒子在早期时间s<的位置开始的独立吸收布朗运动（在原始测量下）进行比较，得出第6.3节中的密度估计，并在剩余时间t内运行- s、 6.1次高斯为了便于标注，我们定义了支配过程∧i，Nt：=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |，Nt：=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |。

（6.1）注意，根据假设2.1，我们有| Xit |，| MNt |，| b（t，Xit，νNt）|>1+λi，Nt。提案6.1。假设2.1满足以下条件： > 0，存在（平滑）递减函数t 7→ ηtwithη=/2和ηt>0，因此，对于所有t>0和N≥ 1，EeηtΓi，Nt≤ ecRtηsdsEhe|Xi | iEhePNj=1aNj | Xj | i.（6.2），尤其是Xit、MNt和∧i、nta在N中均为次高斯分布≥ 1.证明。首先，我们将使用的关于漂移的唯一事实是|位|>1+λi，Nt，所以不使用|位- （LN）tαit |>1+λi，Nt，我们可以假设αit≡ 固定一个严格正（确定性）函数η∈ η=/2和定义ψ∈ C1,2（R+×RN）乘以ψ（t，x）：=eηt（xi+PjaNjxj）。为了便于记法，我们用Γtin代替Γi，Nt。然后ψ（t，Xt）=eηtΓt，其中我们定义了Xt：=（Xt，…，XNt）。引入停止时间τn：=inf{t≥ 0：| Xt |>n}表示n≥ 1，应用It^o的公式，我们得到ηt∧τnΓt∧τn=eηΓ+Zt∧τn(t+L）eηsΓsds+NXj=1Zt∧τnσjsxjeηsΓsdBjs，（6.3），其中dBjs=ρtdWt+p1- ρtdwjt和lψ=NXj=1bjtxjψ+NXj=1（σjt）xjψ+Xk6=jσjtσktρtxjxkψ。计算导数，我们看到(t+L）eηtΓt=eηtΓt˙ηtΓt+2ηtNXj=1bjt（δij+aNj）Xjt++ηtNXj=1（σjt）（δij+aj）+2ηtNXj=1（σjt）（δij+aNj）（Xjt）+2ηtρtXk6=jσjtσkt（δij+aNk）XjtXkt.使用界|σj |≤ Cσ和| bj |≤ Cb（1+| Xjt |+P\'aN | X | t |）以及基本质量X≤ 1+x，（x+y）≤ 2（x+y），和PNj=1aNjxj≤PNj=1aNjxj，然后很容易验证(t+L）eηtΓt≤2ηt（Cb+Cσ）+（˙ηt+10Cbηt+8Cσηt）Γt因此，如果我们能选择η∈ C（R+）使得˙ηt+10Cbηt+8Cσηt=0，η=/2那么我们有(t+L）eηtΓt≤ 2ηt（Cσ+Cb）eηtΓt.（6.4）取ηt：=5Cb10Cbe10Cbt+4Cσ（e10Cbt- 1). （6.5）对于η的选择，不等式（6.4）是满足的，因此（6.3）给出了ηt∧τnΓt∧τn≤ eηΓ+2（Cσ+Cb）Zt∧τnηseηsΓsds+NXj=1Zt∧τnσjsxjeηsΓsdBjs。

（6.6）取期望值并注意到随机积分是真鞅，Eeηt∧τnΓt∧τn≤ EeηΓ+ 2（Cσ+Cb）ZtηsEeηs∧τnΓs∧τnds。作者：Cauchy–Schwarz（回忆η=/2） ，我们有eηΓ≤ Ehe公司|Xi | iEhePjaNj | Xj | i因此，根据Gronwall的不等式eηt∧τnΓt∧τn≤ e2（Cσ+Cb）RtηsdsEhe|Xi | iEhePjaNj | Xj | i，（6.7）注意到τn↑ ∞ 作为n→ ∞ , 我们有eηt∧τnΓt∧τn→ eηtΓtas n→ ∞, 到t 7的持续时间→ ηtand t 7→ Xjt，对于j=1，N、 因此，Fatou引理屈服eηtΓt≤ lim信息→∞Eeηt∧τnΓt∧τn≤ e2（Cσ+Cb）RtηsdsEhe|Xi | iEhePjaNj | Xj | i.由于ηt不依赖于N，估计值在N中是一致的≥ 1、上述结果还可以控制流程的运行最大值。推论6.2。假设ηt来自命题6.1，fix any < ηT/2。那么我们有了他 支持≤TΓi，Nti≤ 计算机断层扫描，,对于某些常数CT，> N中均匀的0≥ 1.证明。设置ξt：=pηt/2，表示p<1，并导出ξ的估计值（6.6）。当p<1时|xjeξsΓs |可由命题6.1积分，因此我们可以应用Burkholder–Davis–Gundy来控制随机积分的运行极大值。因此，取期望值并使用单调收敛，我们得到eHEPηTsupt≤TΓti≤ Ehsupt公司≤TeξtΓti≤ CT，p。p<1是任意的，声明如下。6.2测量值的变化在本节中，我们首先将每个粒子转换为布朗运动，并以保持原点命中时间的方式漂移。接下来，我们使用次高斯性引入一种可以消除这种漂移的度量变化，并最终获得相关Radon-Nikodym导数的重要测试。引理6.3。定义转换Υ∈ C1,2（[0，T]×R）乘以（T，x）7→ Υt（x）：=Zxσ（t，y）dy.固定任意指数i∈ {1，…，N}，我们让Zt：=Υt（Xit）。然后dzt=^bidt+dbit，Z=Υ（Xi），其中Bi是布朗运动，（随机）漂移^bit服从增长条件| bit |>1+| Xit |+| MNt |。

（6.8）此外，转换后的过程Z满足度（Zt）=sgn（Xit）和| Zt |>| Xit |。（6.9）证明。请注意tΥt（x）=-Zx公司tσ（t，y）σ（t，y）dy，xΥt（x）=σ（t，x），xxΥt（x）=-xσ（t，x）σ（t，x）。定义位：=RtρsdWs+Rtp1- ρsdWis，我们有dXt=（位-αit（LN）t）dt+σtdBtwithdhXit=σtdt。因此，应用It^o的公式得到dZt=^bitdt+dBit，其中^bit：=bt（Xit）- αt（Xit）（LN）tσ（t，Xit）-xσ（t，Xit）-ZXit公司tσ（t，y）σ（t，y）dy。现在，zt上的界和关于其登录的声明（6.9）直接来自于Υ的定义，因为σ是严格正的，且界远离零。类似地，（6.8）中的增长条件源自系数的性质（假设2.1）和|（LN）t |的事实≤Rt | K（t- s） | LNsds≤ kKkL。引理6.4。修复i∈ {1，…，N}并定义随机指数：=exp-Zt^bisdBis公司-Zt（^bis）ds,式中，^bi是引理6.3中定义的Z漂移。那么Z是由Radon-Nikodym导数qdp给出的概率测度Q下的布朗运动Ft=Et，初始值Zd根据:= uo Υ-1.证明。为了便于标注，我们删除了上标i和定义，t：=exp-Zts^budBu-Zts^budu, E0，t=Et。根据标准参数，eti是一个正连续局部鞅，因此也可以是E=1的一个鞅。现在的说法是，Etis实际上是[0，T]上的真鞅，这相当于表明所有T的EEt=1∈ [0，T]。回想一下| bs |≤ C（1+λi，Ns）。虽然我们不能直接求助于Novikov条件，但∧i的次高斯性，Nswill允许我们将其应用于[0，T]的有限分区的每个区间。要了解这一点，我们需要使用任意n≥ 1，并用T划分间隔[0，T]，其中tk：=kT/n。

Jensen不等式的一个应用-1^buduo≤nTEZtktk公司-expnt2n^buodu=nTZtktk-1出口2 n^buodu≤ 支持∈[tk-1，tk]E expnCTn（1+λi，Nt）o.选择n≥ 1个足够大，以便2吨/吨≤ ηT，我们从命题6.1导出-1^buduo<∞, 对于每个k=1，n、 特别是，Novikov条件现在暗示（Et）t∈[0，t]是真鞅，Henceeet=1，对于所有t∈ [0，t]。注意（Et，t）t∈[t，t]又是一个Et，t=1的随机指数，Novikov条件的另一个应用表明（Et，t）t∈是鞅。因此，对于所有t∈ [t，t]。从感应角度考虑时间间隔-1，tk]对于k=3，n、 根据相同的推理，EEt=1表示所有t∈ [0，T]。因此Etis是[0，T]上的真鞅，因此Girsanov定理暗示过程dzt=^btdt+dBt，Z=Υ（X），是Q下具有初始分布的布朗运动= uo Υ-1、除了Z是Q下的布朗运动外，我们还需要对之前引理中的Radon-Nikodym导数Et进行具体估计。引理6.5（Radon–Nikodym估计）。设Et为EMMA 6.4中定义的随机指数。如果有的话 > 0，以便E exp{|Xj |}<∞, 对于j=1，N，存在sp>1，距离1足够近，使得ehe1-pt | Xi=Xi≤ C扩展{x} ，其中C=C（p，, T）。此外，对于任何q>1，我们有^钻头q | Xi=Xi≤ C（1+xq），其中C=C（q，T）。证据

我们从定义开始：=-Zt^bisdBis。利用p＞1的霍尔德不等式，我们得到了eHE1-pt | Xi=Xi=EepYt公司-hpY itp-1便士e（p+1）（p-1） phY itp | Xi=x≤ EhepYt公司-hpY it | Xi=xip-1 PEHE（p+1）（p-1） phY it | Xi=xip注意到右侧的第一项以1为界，我们得出以下结论：ehe1-pt | Xi=Xi≤ EheCpRt（^bis）ds | Xi=XIP，Cp=（p+1）（p- 1） 这里最重要的观察结果是Cp↓ 0作为p↓ 1、回顾界限^bis> 1+λi，Ns，我们可以应用Jensen不等式来看到-pt | Xi=Xi>TZTEheT CCp（λi，Ns）| Xi=xidsp（6.10）将功率pclose固定到1，使T CCp≤ ηT/2，η如命题6.1所示，因此eHE1-pt | Xi=Xi>sups∈[0，T]Eheηs（λi，Ns）/2 | Xi=xip。现在，回顾命题6.1证明中估计值（6.7）的形式，对于j 6=i，xi独立于xjj这一事实意味着∈[0，T]EheηT（λi，Ns）/2 | Xi=Xi≤ 总工程师x/佩赫Pj6=iaNj（Xj）i2p。将此与估计值（6.10）相结合，该命题的第一个主张如下。最后，使用界|位|>1+λi，Nt，第二个声明后面是一个标准Gronwallargument，因此我们省略了证明。6.3密度估计本节的目的是通过控制概率P（Xit）得出Xit所需的密度估计∈ S、 t<τi），对于任何给定的i∈ {1，…，N}和S∈ B（0，∞).回想引理6.3中的转换Υ，注意x 7→ Υt（x）与Υt（x）是双射的≤ 0当且仅当x≤ 因此，调节初始值Xi=x，Px（Xit∈ S、 t<τi）=Pz（Zt∈ St，t<τ），其中τ=inf{t>0:Zt≤ 0}，Zt=Υ（Xit），St=Υt（S），z=Υ（x）。从这里开始，我们的想法是近似变换后的粒子Zt∧τ通过运行到时间s，对于s<t，然后运行独立的吸收布朗运动W，对于剩余时间t- s、 更准确地说，给定z∈ (0, ∞), 我们对地图7感兴趣→ Ez公司PZs公司∧τ（Wt-s∈ St，t- s<τW）, （6.11）式中，τW=inf{t>0:Wt≤ 0}.

固定时间t∈ [0，T]，因此，我们确定，对于每个<T的函数u（s，x）：=PxWt公司-s∈ St，t- s<τW=ZStGt公司-s（y，x）dy，其中Gt（y，x）=pt（x- y）- pt（x+y），pt（x）=（2πt）-经验值{-x/2t}。注意，u是终端边值问题的经典解su（s，x）+u（s，x）=0在[0，t）×（0，∞)u（t，x）={t}×（0）上的第一（x），∞)u（s，0）=0在[0，t）×{0}（6.12）上我们可以更简洁地编写（6.11）ass 7→ v（s，z）：=Ez[u（s，Zs∧τ） ]，（6.13），注意v（0，z）=Pz（Wt∧τW∈ St）和v（t，z）=Pz（Zt∧τ∈ St）。通过有界收敛，s 7立即→ v（s，z）是连续的。此外，下面引理6.6中的weshow证明，对于任何t<t，它实际上在[0，t]上是绝对连续的。因此，如果我们能证明（a.e.）导数sv扩展到L（0，t），那么我们将在所有的[0，t]上具有pz（Zt）的绝对连续性∧τ∈ St）=Pz（重量∧τW∈ St）+Ztsv（s，z）ds。（6.14）因此，关键在于对s 7建立正确的控制→ sv（s，z）。我们将在下一节开始讨论这个问题，但首先我们要证明之前关于绝对连续性的说法。引理6.6。固定任意z∈ (0, ∞). 然后映射s 7→ （6.13）中的v（s，z）isin AC[0，t]，对于每t<t（a.e.）导数sv（s，z）=Ez[1s<τ^bsxu（s，Zs）]。证据修复s∈ [0，t）和h>0，使得| h |<t- s、 回顾引理6.3，我们有DZT∧τ=1t<τ^btdt+1t<τdBt，因此It^o公式yieldsv（s+h，z）的应用- v（s，z）=Ezhu（s+h，z（s+h）∧τ) - u（s，Zs）∧τ） i=EzZs+hs(s+4）urdr+Zs+hsr<τ^brxurdr+Zs+hsr<τxurdBr.右侧的第一项消失（6.12），自xu（r，x）在区间[s，s+h]上有界 [0，t），随机积分是真鞅≤T^br |<∞ （参见示例。

推论6.2），Fubini定理因此暗示V（s+h，z）- v（s，z）=Zs+hsEz[1r<τ^brxu（r，Zr）]dr.这证明了这一说法。6.3.1半直线上的估计值引理6.6中的sv（s，z），q＞1的H"older不等式的一个应用sv（s，z）≤ Ez公司s<τ|^bs|xu（s，Zs）= Ezhs<τ|^bs | ZSt|xGt公司-s（y，Zs）| dyi。≤ Eh | bs | qq-1.Xi=xiq-1qZStEzs<τ|xGt公司-s（y，Zs）| qqdy公司≤ C（1+x）ZStEzs<τ|xGt公司-s（y，Zs）| qqdy。这里最后一个不等式来自引理6.5中的第二个断言，我们强调q可以任意取接近1。通过引入引理6.4中的Radon-Nikodym导数，得到了p>1 yieldsZStEz的H"older不等式s<τxGt公司-s（y，Zs）qqdy=ZStEzQE-1ss<τxGt公司-s（y，Zs）qqdy公司≤ EE1级-ps | Xi=xpqZStEzQs<τxGt公司-s（y，Zs）一ady，其中a=a（p，q）：=qpp-1> 1. 对于任何δ>0的情况，我们可以使p足够接近1，以便引理6.5中的第一个估计适用。因此，存在一个大于1的足够大的sv（s，z）> eδxZStEzQs<τxGt公司-s（y，Zs∧τ)一ady=eδxZStZ∞xGt公司-s（y，x）aGs（x，z）dxady，（6.15），其中最后一行来自Zs∧τ是Q下的吸收布朗运动，如引理6.4所示。在继续之前，我们收集了一些有用的指数函数边界。引理6.7。固定任意x、y∈ R和t>s。那么它适用于所有幂a≥ 1 thate-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2秒≤ e-（y）-z） 2te-t2s型（十）-y）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+sa, （6.16）e-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2秒≤ e-（y+z）2te-t2s型（y+x）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+sa. （6.17）回顾（6.14），如果我们能够在（6.15）的右侧获得合适的界限，那么我们将得到所需的密度估计值。我们的第一个结果如下。提案6.8。对于任何δ>0，存在一个>1，这样，对于每个S∈ B（（0，∞)), i在N中均匀旋转≥ 1 thatPx新界Xi∧τi∈ S≤ZSGt公司Υt（x），Υ（x）xΥt（x）dx+CaeδxZSt型-aΥ（x）aΥt（x）a∧ 1.e-（Υt（x）-Υ（x））4atxΥt（x）dx。证据

给定δ>0，我们可以选择a>1，使（6.15）保持不变。写出以下表达式xGt公司-砂Gs，注意-（十）-z） /2秒- e-（x+z）/2s≤ （2xzs∧ 1） e类-（十）-z） /2s，（6.18）我们得到|sv（s，z）|>eδxI（s），其中i（s）：=s-2a（t- s）-ZSt公司Z∞（y）-x） t型-东南方-（y）-x） 2（t-s） +（y+x）t-东南方-（y+x）2（t-s）axzse-（十）-z） 2sdxady公司。回顾（6.14），我们因此有px新界Xi∧τi∈ S≤ Pz（重量∈ St，t<τW）+CeδxZtI（s）ds（6.19），对于某些C>0的情况，因此该声明相当于控制被积函数I（s）。我们将这项工作分为六个步骤。第1步。为了估计I（s），我们首先观察（y）-x） t型-东南方-（y）-x） 2（t-s） +（y+x）t-东南方-（y+x）2（t-s）≤|y-x | t-se-（y）-x） 2（t-s）- e-（y+x）2（t-s）+2年期-东南方-（y+x）2（t-s） 。对于右侧的第一项，我们可以使用（6.18）来查看| y-x | t-se-（y）-x） 2（t-s）- e-（y+x）2（t-s）≤|y-x | t-s2xyt-s∧ 1.e-（y）-x） 2（t-s） =：f（s）。（6.20）对于第二项，如果x，y>0，yt-东南方-（y+x）2（t-s）≤x+yxayt公司-东南方-（y+x）2（t-s）≤ 雅克斯-a（x+y）t-东南方-（y+x）2（t-s） =：f（s），（6.21），其中我们使用了y1-一≤ （x+y）1-asince a>1。根据（6.20）和（6.21），我们有I（s）≤ I（s）+2I（s），其中ik（s）：=s-2a（t- s）-zaZSt公司Z∞fi（s）斧头-（十）-z） 2sdxady，k=1，2。第2步。我们从第二项开始，即使用引理6.7的（6.17），我们有I（s）=s-2at-sZStzaya公司Z∞x+y√t型-sae-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady公司≤ s-2at-sZStzayae公司-（y+z）2tZ∞x+y√t型-sae-t2s型（y+x）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+sadx公司为了计算内积分，我们用w=ts来改变变量-（x+y）√t型-s+√t型-s（y+z）t-s+σs, dx=（t- s） t型-sdw，其中我们注意到0≤（x+y）√t型-s=t-软件-√t型-s（y+z）t-s+σs≤ wand henceI（s）≤ s-a（t- s） 2a级-1吨-2a级Z∞wae公司-wdw公司阿兹特扎耶-（y+z）2 TDY。由于a>1，我们有RTS-a（t- s） 2a级-1ds=cat-2对于某些ca>0，因此Iis位于L（0，t）中，带有ZTI（s）ds≤ 猫-阿兹特扎耶-（y+z）2atdy，（6.22），其中Ca>0是一些数值常数，仅取决于a。步骤3。

为了估计第一项I，我们依赖不等式x2xyt-s∧ 1.一≤ 4y | x-y | t-对于任何a>1，s+2y。（6.23）要证明这个不等式是真的，只需注意，当x≤ y、 我们有2xyt-s∧ 1.一≤ x个≤ ywhile，for y≤ x、 我们可以写x=（x- y） +y获得X2xyt-s∧ 1.一≤ 2（| x- y |+y）2年期-s∧y≤ 2 | x- y | 2yt-s+2年。现在，使用引理6.7中的不等式（6.23）和（6.16），可以得出i（s）：=s-2a（t- s）-ZSt公司Z∞2xyt-s∧ 1.|y-x | t-东南方-（y）-x） 2（t-s）axzse-（十）-z） 2sdxady=t-不锈钢-2aZStZ∞xz公司2xyt-s∧ 1.a | y-x个√t型-s | ae-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady>t-不锈钢-2aZStzayae-（y）-z） 2atZ∞F（s，x，y，z）dxady，其中f（s，x，y，z）：=|y-x个√t型-s | a+| y-x个√t型-s | a+2e-t2s型（y）-x）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+sa.对于内积分，我们改变变量sw=ts-（十）-y）√t型-s+√t型-s（y）-z） t型-s+as, dx=（t- s） t型-sdw和setf（w）=f（s，w，y，z）：=t型-软件-√t型-s（y）-z） t型-s+as.此产量大于-a（t- s） 2a级-1吨-2aZStzayae-（y）-z） 2at锆f（w）a+f（w）a+2e-wdw公司ady公司。注意f（w）≤ |w |+t-1（t- s） | y- z |，我们可以分道扬镳。西塞特-2aZts-a（t- s） 2a级-1ds=cat-a、 t型-1.-2aZts-a（t- s） 2a级-ds=cat--a、 和t-1.-2aZts-a（t- s） 2a级-ds=cat--a、 因此，我们得到ZTI（s）ds>Cat-阿兹特扎耶-（y）-z） 2 TDY+Cat--阿兹特扎耶-（y）-z） 2at | y- z | dy+Cat--阿兹特扎耶-（y）-z） 2at | y- z | 1+ady，（6.24），其中ca=ca锆|w | a+| w | a+2e-wdw公司a、 Ca=CaZRe公司-wdw公司a=ca2aπ2a，Ca=CaZRe公司-wdw公司a=ca2aπ2a。第4步。综上所述，我们现在可以合并Iand I的估计值。然而，我们首先回顾一下基本不等式| y- z | e-（y）-z） 2at≤ 美食-（y）-z） 4at，（y+z）e-（y+z）2σt≤ 美食-（y+z）4at和t-a | y- z | 1+σe-（y）-z） 2at≤ 美食-（y）-z） 4at，使用这些，并回顾（6.19），从（6.22）和（6.24）可以看出，存在一个常数Ca>0，这样px新界Xi∧τi∈ S≤ZStGt公司y、 zdy+CaeδxZStt-阿扎耶-（y）-z） 4atdy。（6.25）步骤5。需要注意的是，（6.25）也适用于1代替t-阿扎亚。

要看到这一点，请注意，在步骤1中，我们还有|sv（s，z）|>eδx（J（s）+J（s）），其中J（s）：=s-2a（t- s）-第一次R∞y-x个√t型-sae-a（y-x） 2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxadyJ（s）：=s-2a（t- s）-第一次R∞y+x√t型-sae-a（y+x）2（t-s） e类-（十）-z） 2sdxady公司。使用引理6.7并执行与步骤2和3相同的变量变化，计算显著简化，我们获得了所需的界限。第6步。回想一下，St=Υt（S）和z=Υ（x）。鉴于第4步和第5步，通过执行变量y=Υt（x）的变化来完成预防。6.3.2整个空间的估计如果我们忽略边界处的吸收，那么估计就简单得多，我们得到以下界。提案6.9。对于每个δ>0，存在一个>1，这样，对于每个S∈ B（R），i在N中均匀地旋转≥ 1 thatPx新界Xi∈ S≤ZSpt公司\'Υt（x，x）xΥt（x，x）dx+CaZSe-（Υt（x，x））4atxΥt（x，x）dx，其中pt（x）=（2πt）-exp{x/2t}和Υt（x，x）=Rxxσ（t，y）-1天。证据考虑引理6.3，用“Zt：=”t（Xit，x）代替“Zt=”t（Xit）=”t（Xit，0），并让“Q”表示引理6.4中的相应度量，这样“Zt”是“Q”下的标准布朗运动，从0开始，当Xi=x时。设置“St：=”t（S，x），我们有px新界Xi∈ S= P(R)Zt∈\'\'St.从这里开始，该界限与命题6.8相似，适用于新度量“Q和”v（s）：=E\'u（s，\'Zs）, \'u（s，x）：=PxWt公司-s∈\'\'St=Z？Stpt-s（y）- x） dy.由于没有边界效应，估计简化了，事实上，这项工作与命题6.8证明的Jin步骤5相同，z=0.6.4命题3.3的证明鉴于命题6.8和6.9，在我们可以推导密度估计（3.2）和（3.3），从而证明命题3.3之前，只剩下一些观察结果。给定假设2.1，通过构造Υ，它认为存在常数C，C>0，这样C | x- x |≤|\'Υt（x，x）|≤ C | x-x |和|xΥt（x）|≤ C对于所有x∈ R和t∈ [0，T]。

因此，整个空间估计（3.3）是命题6.9的直接结果。对于具有边界衰减的估计，我们首先回顾标准边界gt（x，x）≤ C√t型x个√t型∧ 1.x个√t型∧ 1.expn公司-（十）- x） 4tof或x，x≥ 0。接下来，我们注意到，通过定义Υ，存在C>0，使得| t（x）|≤ Cx和|xΥt（x）|≤ C代表所有x≥ 0和t∈ [0，T]。最后，我们可以观察到Υt（x）- Υ（x）≥Zx公司∨xx号∧xdyσ（t，y）+ 2Zx∨xx号∧xdyσ（t，y）Zx∧xσ（t，y）-σ（0，y）dy≥ C（x- x）- Ct | x- x |（x∧ x） ，通过使用σ和tσ来自假设2.1。结合这些观察结果，密度估计（3.2）遵循命题6.8，取cx，y：=4aC | x-y |（x∧y） 和κ：=1/a。还有待观察，我们可以取cx，y≡ 0，当σ（t，x）=σ（t）σ（x），在这种情况下，我们不需要t 7的任何光滑性→ σ（t，x），如备注2.2所述。要看到这一点，关键是必须缩小波动性的空间成分。具体地说，我们可以考虑引理5.2的类似物，其中Υ（x）：=Zxdyσ（y）和ΥZit：=Υ（Xit）=Υ（Xi）+Ztbisds+Ztσ（s）dBs。修复S∈ B（0，∞) 并设置▄S：=▄Υ（S）。同时固定t∈ （0，T），我们可以复制第6.3节，其中▄v（s，z）：=Ez[▄u（s，▄Zs∧τ）]和▄u（s，x）：=PxWRtsσ（r）dr∈S，Rtsσ（r）dr<τW=Z▄SGσs，t（y，x）dy，其中Gσs，是sf（s，x）+σ（s）f（s，x）=0作为[0，t）×（0，∞) f（s，0）=0。

即Gσs，t（y，x）=2πRtsσ（r）dr-经验值-（十）- y） Rtsσ（r）dr- 经验值-（x+y）Rtsσ（r）dr.由于存在常数c，c>0，因此c（t-s）≤Rtsσ（r）dr≤ c（t-s） ，与命题6.8 yieldPx的证明中的估计相同退出∧τi∈ S=Z▄SGσs，t（y，▄Υ（x））dy+Zts▄v（s，▄Υ（x））dsand，也使用边界▄Υ（x）▄≤ cx和|xΥ|≤ c、 我们获得PX退出∧τi∈ S>ZSGσ0，tΥ（x），Υ（x）dx+eδxZSt型-axaxa公司∧ 1.e-（ΥΥ（x）-Υ（x））4atdx。由于Υ不依赖于时间，我们有|Υ（x）-Υ（x）|=| Rxxσ（y）-1dy |，所以存在c，c>0，这样c | x- x |≤ |Υ（x）-Υ（x）|≤ c | x- x |。此外，Gσ0，tsatis与上述Gt（x，y）的值有一个分析性绑定，因此我们得出结论，密度估计值（3.2）与cx，y一致≡ 0，根据需要。这完成了命题3.3的证明。附录A。1技术引理A.1。假设ν满足假设2.3，并设gs（x）=g（s，x，νs，Ls），其中gis为b，b，σ或σ中的任意一个，Ls=1- νs（0，∞). 定义误差项egt，ε（x）：=hνt，gt（·）Gε（x，·）i- gt（x）（TενT）（x）。那么我们有EztEgt，εL（R）dt→ 0为ε→ 0.证明。接下来是对[35]中引理8.1的直接修改。唯一需要注意的是，我们不能再使用粗绑定的| gt（x）- gt（y）|≤ 2 kgtk∞, as GT不需要有界。然而，如果我们转而依赖| gt（x），那么[35]中的论点很容易扩展到目前的情况- gt（y）|≤ kxgtk公司∞|x个- y |。引理A.2。假设“ν”满足假设2.3中（iii）-（iv）的整个空间类似物。设g=g（s，·，νs，Ls），其中g是b、b、σ或σ中的任意一个，并定义误差项\'Egt，ε（x）：=h'νt，gt（·）pε（x，·）i- gt（x）x（\'Tε′νT）（x）+xgt（x）’Hgt，ε（x），’Hgt，ε（x）：=h’νt，（x- ·)xpε（x- ·)i、 那么，对于k=1，2，我们有eztEgt，ε2kL（R）dt→ 0，EZTx’Egt，εL（R）dt→ 0，作为ε→ 0.证明。接下来是对[35]中引理8.2的简单修改。引理A.3。设νNtbe如（2.1）中所定义，并设Ntbe为满足假设2.3的任何度量值过程。

然后，每a>0，我们就有EZTνt，xk[λ，∞)（十）dt=o（λke-aλ）为λ→ ∞, （A.1），同样，它在N中保持一致≥ 1和t∈ [0，T]那是νNt，xk[λ，∞)（十）= o（λke-aλ）为λ→ ∞ （A.2）证明。固定任意a>0，并给定ε>0。根据推论3.4，存在λ≥ 0使得e[νNt（λ，∞)] ≤ εe-aλλ ≥ λ、 （A.3）在N中均匀分布≥ 1和t∈ [0，T]。给定任意λ≥ λ我们让{s，s，…}表示[λ]的分区，∞) 使用si- 硅-1=1/a。通过（a.3）和单调收敛，我们得到νNt，x1[λ，∞)（十）≤∞Xi=1siEνNt（si-1.∞) ≤ ε∞Xi=1sie-asi公司-1=εe∞Xi=1sie-asiNow，x 7→ xe公司-x轴递减≥ 1/a，取λ：=max{1/a，λ}，注意s=λ，它适用于所有λ>λthatEνNt，x1[λ，∞)（十）≤ εeZ∞λxe-axdx=εeλa+ae-aλ。这证明了（A.2）对于k=1和k的功≥ 2类似。类似地，（A.1）中的主张也遵循假设2.3中的指数尾特性。引理A.4。设ν为定理2.4中的一个极限点，设￠ν为满足假设2.3的任何测量值过程。那么它以概率1成立，即λ→ ∞),limε↓0νt（0，ε）ε=0，νt（λ，∞) = O（e-λ） ，和zt￠νt（λ，∞)dt=O（e-λ).证据对于第一项索赔，我们从命题4.3中回顾，存在δ∈ （0，1）和β>0，使得Eνt（0，ε）=t-δO（ε1+β）为ε→ 利用马尔可夫不等式，我们得出，对于任何θ>0且n足够大的情况，Pn2/βνt（0，n-2/β) > θ≤ θ-1n2/βEνt（0，n-2/β) ≤ 计算机断层扫描-δθ-1n-因此，Borel–Cantelli引理给出了lim supnn2/βνt（0，n-2/β）=0，概率为1。现在，给定ε>0，我们有（n+1）-2/β< ε ≤ n-对于某些n，为2/β≥ 1，那么我们推导出lim supε↓0νt（0，ε）ε≤ lim支持≥1νt（0，n-2/β）（n+1）-2/β≤ lim支持≥1νt（0，n-2/β）n-2/βn+1nβ.由于后者为零，概率为1，这证明了第一种说法。

这两个剩余结果之后，分别使用命题4.3和假设2.3中的指数阿尔泰性质，对尾部概率进行了类似的考虑。A、 2命题3.5和命题3.6Lemma A.5的证明。设∧i，Nt=| Xit |+PNj=1aNj | Xjt |，如（6.1）所示。然后它会保持一致≥ 1 thatP支持≤T∧i，Nt≥ λ= o（1）为λ→ ∞.证据这是推论6.2的直接结果。基于这个引理，我们可以修改[35]第4节的论点，以证明命题3.5和命题3.6。命题3.5的证明。如[35]中命题4.6的证明中所述，对于所有a>0和θ：=（1- r） ，我们有p（LNt+h- LNt<δ，LNt<r）≤ P（LNt+h- LNt<δ，νNt（0，a）>θ）+o（e-a） 。让E：=LNt+h- LNt<δ，νNt（0，a）>θ并定义一个随机指数集I byI：=1.≤ 我≤ N：Xit<a，t<τi，aNi>θ/2N.请注意，索引为的粒子1.≤ 我≤ N：aNi≤θN-1.对νNt（0，a）最多贡献θ。还回顾aNi≤ 对于一些m>0的m/N，参见（2.2），在事件E上，我们必须有| I |>Nθ/2m。亨塞普（E）≤十一： | I |>θN2mP（E | I=I）P（I=I）。（A.4）此外，由于LNt+h- E上的LNt<δ，而i上的aNi>θ/2N∈ 一、 我们推导出p（E | I=I）≤ P#我∈ 一： infu公司≤hXit+u≤ 0< 2δN/θ| I=I. （A.5）为了估算（A.5），我们让Zit=Υt（Xit），如引理6.3所示，并回顾Zitthensatiesdzit=^bitdt+dBit，| bit |≤ c（1+λi，Nt），| Zit |≤ c（1+| Xit |）。