非零漂移为0.0885（RW）和0.0040（GRW）。根据去趋势数据，初步模型为ARMA（2,1）：Yt–[μ+βt]=ARMA（2,1）→ Yt=μ+βt+ДYt-1+ДYt-2-θεt-1+εt。目的是检验这些假设，以使结论族具有（1-α*）%置信度的可复制性，其中α*=P(≥ 1 I类错误）。一般来说，对于N个独立测试和每个测试的α=P（I型误差），使k(≤  N） I类错误为P（B=k）=Nα1.α用B~二项式（N，α）。因此≥1 N个独立测试中的I类错误为P（B≥ 1) =∑Nα1.α= 1–P（B=0）=1–（1–α）N。对于上述N=18个试验，α=0.05，得出≥ 1类错误为∑0.050.95=1-P（B=0)=1-0.95  0.60.  对18项独立测试中的每一项都有95%的信心，这意味着有40%的机会用新数据复制出一系列结论。以95%的置信度复制该家族，即α*=P(≥  1 I类误差）=0.05，我们调整每个测试使用的α。Bonferonni调整使用α=α*/N，不需要独立测试，但可确保P(≥  1类IError）≤  α*（Westfall等人，1999年）。α*=0.05时，表I中每个试验的调整p值为α=0.002778。表一中的结论引发了表二对当前退休财务教条的担忧。表二。退休金融文献claimconcernshiller的CAPE比率（年度）中有疑问的索赔可用于计时市场。投资者/退休人员应在资本充足率较高时卖出，在资本充足率相对于历史平均水平较低时买入。年度CAPE比率表现为（G）RW的假设不能被拒绝。随机游动有单位根，并不意味着回复。

arandom walk中任何未来值的最佳预测值是当前值+漂移（使用GRW日志）。因此，标准普尔500指数的年回报率（实际或总）均值回归是连续相关的，应使用自回归模型进行拟合。序列相关和均值回归是相反的（即，一个强一个弱）。标准普尔500指数的年度收益率没有序列相关性，它们是随机样本和均值回复。Shiller的CAPE比率（年度）可用于预测未来的平均长期回报。使用CAPE值预测未来标准普尔500指数10年平均回报的（对数转换）线性回归具有高度显著的R。标准普尔500指数10年平均回报具有强序列相关性（见表一和附录B）。通过这些点拟合回归线是不合适的，会导致估计不足的方差和夸大的I型错误率，这通常会导致错误地声称预测值是显著的。调查结果是初步的。安装的（线性）模型需要进行适当的诊断（见Box等人，1994）。这是故意的。让Xt~f（x），t=1，。。。，T、 E（Xt）=μ，V（Xt）=σ.  10年平均回报率被构造为Yt=（Xt+…+Xt+9）/10，fort=1，。。。，T-9，因此Cov（Yt，Yt+k）=（1/10）[V（Xt+k）+…+V（Xt+9）]=[（9-k+1）/100]·σ, 对于0≤ k≤ 9和Cov（Yt，Yt+k）=0，对于k≥ 10、通过与CAPE的回归，对退休时的安全提款率（SWR）提出了类似的主张，并产生了完全相同的担忧。K、 约束优化K。1线性规划线性规划（LP）是一个优化问题，其中目标和所有约束都是决策变量的线性函数。LPs使用单纯形算法求解，具有n个决策变量和k个线性独立约束的anLP的标准形式为（Jensen&Bard，2003）：最大化：Z=cx+cx+…+cnxn公司′（目标函数）受制于：ax+ax+。。。

+a1nxn≤ bax+ax+…+a2nxn≤ b（可行区域）ak1x+ak2x+…+aknxn公司≤ BK其中：xi≥ 0，i=1,2，。。。，n（非负性约束）所有LP成对出现，对偶是一个等价的最小化问题。当主LP解算时，对偶解算，反之亦然。而主LP有n个决策变量和k个约束，（2.k.1）对偶有k个决策变量和n个约束，并且因为min（Z）≡ 最大值（-Z），任何LP都可以按≤ n、 单纯形算法认识到，当Z为线性时，全局解必须出现在可行域的角点上。约束在\'≤’ 对于决策变量的给定值，变为“=”。当m个约束绑定时，m个决策变量由约束固定，并且公里数选择这些约束的方法，m=0，。。。，k、 剩余的n-m决策变量在角点处必须等于0，并且nn型m级这可能发生的方式。因此，角点的总数为∑公里数nn型m级=nkk公司, 每个都有一个潜在的解决方案。单纯形算法将A划分为 这样Ais mxm和满秩，并设c′=[c | c]，x′=[x | x]，b′=[b | b]为相应的向量分区。因此，A·x+A·x=带x=A-1·b-A-1·A·xreflect由绑定约束固定的m个决策变量。目标Zbecomes c·x+c·x=c·A-1·b–（c·A-1·A-c）·x，这是一个常数减去x中决策变量的线性组合。如果此线性组合中的任何系数为负，则问题是无界的，没有解。只需在Xt中增加相应的决策变量，以增加目标Z。要获得解决方案，xin Z的所有系数必须为≤  当出现这种情况时，XM中的所有决策变量都必须等于0以最大化Z。

常数减去量≥  当该数量等于0时，0最大化。最后，当x=0，x=A-1·band，如果满足所有约束，则x′=[x | x]是LP的基本可行解（BFS）（Jensen&Bard，2003）。单纯形算法从可行区域的一个角点开始，循环通过相邻的角点（即，由) 使Z不减小。因此，LP可以通过少量的求值来求解，并且算法以全局最大化结束。请注意，当k≤ n A和A都是这样，通过将n-m决策变量Sequal设置为0并求解其余变量，可以形成每个基。如果任何数量是随机的，那么（2.K.1）是一个随机线性规划（SLP）。虽然需要解决SLPsusing理论（Kall&Mayer，2010），但模拟可以是一种实用的替代方法。例如，假设b=（b，…，bk）′是一组具有bfB（b），E（b）=μb的RV。由于任何解都是b的函数，因此也必须是RV，例如xfX（x），E（x）=μx。当fB（b）已知/近似时，通过为b生成随机值，例如bi=（b1i，…，bki）获得启发式SLP解，其中样本i生成LP BFS，例如xi=（x1i，…，xni）′，i=1，。。。，N、 然后将解决方案视为=∑.  因为每个xisatifies因此和作为N→∞,或EE.因此，模拟解在预期情况下渐近满足约束集。大量的实际问题可以用线性规划来表示和求解，一些非线性规划也可以用线性规划来近似。LP的解决方案可能是唯一的，也可能不是唯一的，但它是全局的。由于所有决策变量都是≥ 0

当n=2时，一个技术上不正确但有用的可视化工具是，四个不同高度的人拿着一块平板（目标函数是一个平面），放在一个平放在地面上的停车标志上（1stquadrant中的可行区域）。标志内板上的最高点将直接位于标志的一角上方，不能位于内部点上方。这里，b可以反映任何随机发生的数量，如供应、需求、温度、销售收入、利润等。。。K、 2二次规划当（2.K.1）中的目标函数为Z形式时=∑一x个∑∑bx个x个∑cx个, 被最大化的曲面是二次曲面（非线性），得到的优化称为二次规划（quadraticprogram，QP）。如果bij=0i<j=1，。。。，n、 当目标分解为1个决策变量函数之和时，Z称为可分离的，即Z=∑x个（Hillier和Lieberman，2010年）。可分离的QP可由LP近似。首先，将QP转换为最小化问题，注意max（Z）≡ 最小值（–Z），然后在–Z中写入每个函数x个x个cx个一2c/这将常数相加∑一4c级/to-Z自最小化-Z和-Z以来不存在任何问题+∑一4c级/都是等价的问题。通过将每个xi轴划分为等距常数[xi1，…，xiS+1]，定义S线段x个.  选择这些+1值，并允许xit被权重向量替换= （αi1，…，α为+1），其中∑α= 1、任意xi1≤ xi≤ xiS+1可以通过使用, 即xi=∑α, 和每个函数x个∑α当使用相邻权重时，近似值随着S的增加而锐化（Jensen&Bard，2003），见图三。由于目标是最小值（–Z），因此必须在最佳解决方案中使用相邻权重，比较图三中虚线和红线的蓝点目标。图三。

LP（S=4）的可分离QP近似（最小化目标）QP max（Z），Z=∑一x个∑cx个, 然后由以下LP（线性):最小化：-Z∑∑α′（目标函数）受制于：am1∑α+ ... + amn公司∑α≤ bm，m=1,2，。。。，k（可行区域）∑α≤ 1.∑α≤ -1 i=1,2，。。。，nWhere:αij≥ 0，i=1,2，。。。，n&j=1,2，。。。，S+1（非负约束）在（2.K.1）中的标准形式LP要求所有约束具有形式fm（x）≤ bm，m=1,2，。。。，k其中fm（x）在x中是线性的。表示质量约束fm（x）=bm仅使用“≤” as（fm（x）≤ bm公司∩ fm（x）≥ bm）≡（fm（x）≤ bm公司∩ -fm（x）≤ -bm）。（2.K.2）K.3经典凸规划经典凸规划（CCP）是一种非线性优化，其目标是在一组线性等式约束条件下最小化凸函数或最大化凹函数（Jensen&Bard，2003）。A函数f() is凸iff f（α+ (1-α)) ≤ αf() + （1-α）f()  ,∈n、 如果f() 是凸的，则为-f() isconcave。此外，最大值[-f()] ≡ max[ef（x）]，从而最大化凹函数和对数凹函数，因为ln（ef（x））=-f，所以ef（x）是对数凹的() 是凹面的（Lovasz&Vempala，2006）。CCP具有局部最优是全局最优的理想性质，因此问题简化为寻找任何局部最优。下面的公式很有趣：最小化：f（x，x，…，xn）（凸目标函数）（或）最大化：f（x，x，…，xn）（凹目标函数）受：ax+ax+…+a1nxn=bax+ax+…+a2nxn=b（可行区域）ak1x+ak2x+…+aknxn=BK其中：xi≥ 0，i=1,2，。。。，n（非负性约束）与LPs一样，冗余约束被删除。

如果k>n，可行域为空，没有解。如果k=n，可行区域由点组成 = ,这也是解决方案。如果k=0，则解决方案为*因此f*=  如果0<k<n，f*=  0和*=   然后，无约束解解决了约束问题。最有可能的是，上述任何一项都不适用，我们需要进行优化0<k<n时， = , 和等级() = k、 为了在一步中解决这个问题，我们定位拉格朗日的临界点，L（·），定义为，L（x，…，xn，λ，…，λk）=L(,)=∑λ一x个一x个···一x个b.拉格朗日函数，L(, ),将所有约束合并到引入k个新的决策变量λi，i=1,2，。。。，k、 称为拉格朗日乘数。解决方案发生在L(,) = 0，即：L(,) =∑λ一∑λ一一x个一x个···一x个b一x个一x个···一x个b.这个非线性系统可以用牛顿法求解L(,) 线性地处于像L(, )     L(,  )  +  L(,  ).  将近似值设置为0并求解产量=- L(, )]-1.L(, ).  重复该过程会生成迭代解决方案一个多步骤解决方案会写  =  像=   具有kk和等级() = k然后求解= (-  和替换在目标中，, 使其成为只有解决后*= 0我们使用上述内容来确定*.（2.K.3）（2.K.4）从…起当|L(*,*)|  <  ε.  （n+k）（n+k）2ndderivatives对称矩阵L(,) 被称为边界黑森，由以下公式给出：L(,) ···一···一 ···一···一一···一0···0 一···一0···0 ,哪里 是f的Hessian().

牛顿方法使用[L(,)]-thus（2.K.5）必须是可逆的。请注意L(,)= 暗示=和=  因此= .  自f起() 是凸的，是+一定的和′=暗示= ,因此= .  （与-f相同() 凹面的 –明确。）由于删除了冗余约束，是nk带等级()=k和=  暗示= .因此，当f() 是凸的[-f() 是凹面的]，L(,)=  暗示=  边界黑森河是满秩的，因此是可逆的（Border，2013）。K、 4一般非线性规划一般非线性规划（NLP）寻求最小化或最大化平滑函数,  ∈n、 主题tog≤ bi，i=1,2，。。。，k、 在哪里不一定是凸面或凹面和g是通用的。这样的问题可能有几个局部最优解，目标是找到其中最好的。一般来说，NLP问题几乎不存在，优化策略取决于问题的性质。在某些情况下，拉格朗日可以用来寻找局部最优解。在其他情况下，可以使用元启发式，如禁忌搜索、模拟退火或遗传算法（Hillier&Lieberman，2010）。如果所有这些都失败了，我们可以生成随机值并计算o当满足约束集时，保留最佳值的记录。更好的方法是生成满足所有约束的随机值。或者，我们可以选择一个不可行的随机设置，并将其投影到可行区域内的一个点，然后进行评估o在那一点上。当存在许多局部最优值时，随机启动是有效的，并且针对特定问题（如混合可能性）制定了生成值的策略（见McLachlan&Peel，2000）。五十、 Copula建模设X为任意连续RV，PDF f（X）和CDF f（X）=P（X≤ x）=.  Copula建模是基于一个最初令人惊讶的事实，但在反射时是直观的。

即thatF（X）~均匀（0,1）。假设U=F（X），那么FU（U）=P（U≤ u） =P（F（X）≤ u） =P（X≤ F-1（u））=F（F-1（u））=u，对于0≤ u≤ 具有相同CDF的随机变量具有相同的分布，并且U的CDF来自一致（0,1）考虑最大化包含VC矩阵V的一般似然函数来自（2.I.1）。方差和协方差的约束条件是V必须是+明确的。放弃任何V形断裂点的替代方法matrix正在修复它。（2.K.5）分配。允许 = （X，…，XN）是给定时间点N种金融证券的复利回报率的RVs。夏热fi（xi）和fi（xi）的边际PDF和CDF，以及多元PDF和CDFof 是f() 和F()= P( ≤ ) = F（x，…，xN）=P（x≤ x个∩ ... ∩ XN公司≤ xN）分别参见§II。A、 如上所述，设Ui=Fi（Xi），其中Ui~均匀（0,1），Xi=Fi-1（Ui）。的CDF = （U，…，UN）是G() = P( ≤ ) = G（u，…，uN）=P（u≤  u∩ ... ∩ 联合国≤  联合国）。自G起() 是有效的CDF，其导数是,  即…G= g级() - g级() = g级(), 见§II。A、 注意F之间的关系() 和G() （Nelson，2006）：FF（x，…，xN）=P（x≤ x个∩ ... ∩ XN公司≤ xN）=P（F-1（U）≤ x个∩ ... ∩ FN-1（联合国）≤ xN）=P（U≤ F（x）∩... ∩ 联合国≤ FN（xN））=G（F（x）。。。，FN（xN））。的多元PDF 然后可以通过微分F（x，…，xN），使用Fi（xi）上的链式规则得出：F() = f（x，…，xN）=…F=…[G（F（x），…，FN（xN））][来自（2.L.4）] …g级,…,…g级F,…,F…文献中称G（·）为copula，G（·）为copula密度。该术语表示一组RVs的多元和边际PDF之间的耦合（Nelson，2006）。

当X，。。。，XNare independentU。。。，UNare也独立，g() = 1....1=1，因此f（x，…，xN）=...NN.  因此，copula术语建模了一组RVs之间的依赖关系，突破之处在于可以单独建模边际PDF。这种品质很有吸引力，尤其是在退休金融领域。当为一组实际复合收益建模多元PDF时，给定证券的边际收益不应取决于涉及哪些其他证券。因此，copula建模是金融学中的一种标准公式多变量PDF建模，已经提出了多种形式。例如，如果g（·）是高斯诱导的，那么copula将在映射到正常RVs后建立依赖关系模型。由于copula中的未知参数存在于可能性中，因此可以将其估计为mle。在构建多变量关联函数时，我们可以通过使用经验关联函数构造的经验关联函数，通过取均方根误差最小的关联函数，在候选关联函数之间进行选择。在这项研究中，我们提出了一种代理固定边际可处理的替代copula模型，非常适合退休金融。假设边际PDF f（x），…，边际PDF（2.L.1）（2.L.2）（2.L.3）（2.L.4）（2.L.6）（2.L.5）（2.L.7）（2.L.8）的多元PDF多元Copula PDF乘积。。。，fn（xn）任意拟合数据集，选择具有相应CDF H（·）的分布来模拟RVs X，…，的依赖结构。。。，Xn。例如，在房地产繁荣期间，证券化抵押贷款产品将指定住宅借款人的违约时间建模为指数RVs，见§I。这里，fi（xi）将是指数PDF，表示I=1。。。，n、 此外，将依赖结构选择为高斯结构，使H（·）变为Φ（·）。

（2.L.8）中的多元PDF要求g（·）作为完整规范，我们说它是由使用转换su=H（Y），…，选择H（·）引起的。。。，Un=Hn（Yn），其中Hj（·）是元素j的相应边缘CDF。按照RVs转换的标准程序（Freund，1992），多元PDF g（·）的形式为：g,…,H,…,Ho……,∈0,1其中，h（·）=h′（·）是所选依赖结构的对应PDF。雅可比项中的所有非对角线均为零，因为每个变换只涉及一个RV。对角线项为i=1，。。。，n如下所示：利用微积分中的规则，我们可以作为Hi（·）可逆时的比率，因此：H因此，当CDF H（·）：g的依赖结构诱导时，copula密度g（·）以（2.L.12）的形式出现,…,H,…,HoH,∈0,1当H（·）是高斯分布时，H（·）=~n（·）和hi（·）=hi′（·）是单变量标准正态PDF。（2.L.12）中的copula densityg（·）用于（2.L.8）中，以完成样本数据的多元PDF，f（x，…，xN）。请注意，Sklar定理保证（2.L.8）中的PDF在使用g（·）时具有边缘fi（xi）（Nelson，2006）。然后，Copula参数可以估计为只有协方差项未知的极大似然估计，因为假设一元边缘是完全指定的。Tran等人（2013年）警告称，（2.L.8）的直接优化可能适用于基本copula形式，但在使用商业软件和复杂的依赖结构时可能会失败。Giordoni等人（2009年）解决了一个与我们所解决的问题相似但方式不同的问题。

也就是说，使用正态混合copula和正态混合边缘，并使用非copula自适应估计器，试图消除正态混合边缘和多元正态混合的隐含边缘之间的差异，以直接拟合数据。（2.L.9）（2.L.10）（2.L.11）（2.L.12）除§II中的轻轨外的信息标准。H、 统计数据中的拟合模型可以使用称为信息标准（IC）的指标进行比较。这些值量化了模型与真实自然状态之间丢失的信息。首选较小的IC值，因为它们表示信息丢失较少。据说，参数太多的模型缺乏节俭。在候选模型中进行选择时，IC指标试图在似然值和参数之间取得平衡。在最广泛使用的IC度量中，Akaike的信息标准（AIC）计算为（Akaike，1974）：AIC=2（#参数）-2ln（(|))计数的参数必须是自由的。π和π受π+π=1线性约束的模型只计算1个参数，因为估计π估计π。因此，（#参数）=（总参数）–（#独立约束）。术语ln((|)) 是使用MLE的对数可能性，见§II。E、 AIC在随后的假设检验中控制I型错误时效果很好（Tao等人，2002），但它往往在小样本中过度拟合，导致模型缺乏简约性。因此，提出了修正后的AIC（AICC），其中包括一个随参数增加而增加的惩罚（Hurvich&Tsai，1989）：2.#参数1.#参数2.样品大小#参数2随着样本量的增加，惩罚减少，因此AICC≈ AIC公司。而α=P（I类错误）=P（RejectHo | Ho为真），β=P（II类错误）=P（Accept Ho | Ho为假）。

假设检验的功效为1–β=P（拒绝Ho | Ho为假）。如果有兴趣控制后续假设检验的能力，则建议使用贝叶斯信息标准（BIC）（Tao，et al.，2002），计算公式为（Schwarz，1978）：BIC=-2ln（(|)) + （#参数）ln（样本量）虽然确定有限混合PDF（见§II.B）中组分的最佳#是统计学中尚未解决的问题，但IC通常被用作比较不同大小混合PDF的启发式方法。Titterington等人（1985年）警告说，理论上，它们的有效性通常取决于§II中未满足的规律性条件。G、 N.退休的破产概率t=1,2，。。。，T是退休期限的时间点，其中第一次提款在时间T=1进行，最后一次提款在时间T=T进行，可以是固定的（TF）或随机的（TR）。对于TRis定义的asP（TR=t），对于t=0,1，…，PMF，。。。，T、 可以使用SSA发布的生命表派生。个人或团体的政府（Rook，2014）。安全提款率（SWR）是一种启发式方法，建议退休人员在每个时间点从其储蓄中提取（100%）利息（Bengen，1994）。退休计划通常将提取率（WR）与资产配置相结合。如果涉及N种证券，则将Rti、Rti、Ei、αti分别设为总收益率、费用比率、分配给证券i的比例和通货膨胀率，时间t时，证券i的总复利回报为：（2.M.1）（2.M.2）（2.M.3）（1+Rti）=（1+Rti）（1+It）时间t时，证券i的费用调整后总复利回报为：（1Ei）（1+Rti）=（1-Ei）（1+Rti）（1+It）时间t时证券i的费用调整后实际复利回报，表示为ti，is：ti=（1-Ei）（1+rti）=（1-Ei）（1+rti）/（1+It）由于ti是一个连续RV，它由一个单变量PDF控制，例如fti（ti）。

当Cov（rki，rsj）=0时，时间k≠s=1，。。。，t证券i，j=1，。。。，N、 那么tian和fti（ti）与时间无关。如果我们降低时间指数，则它们分别为i和fi（i）。安全i的边际PDF，fi（i），使用历史数据建模。疲劳计划的成败取决于多元化投资组合的回报，而不是单一证券的回报。在t时，投资组合的费用调整后实际复利回报为：（t）=（αt-1,1）+…+（αt-1，N）N，其中αt-1,1+…+αt-1，N=1。因此，（t）是时间的函数，通过在时间t-1设置的投资组合权重（即资产位置），并导出为线性变换(N→) of=（，…，N）′。单变量PDFfor（t），例如ht（），用于评估/优化退休计划。在某些情况下，此PDF很容易导出（即正常），而在其他情况下，则没有解决方案（即对数正常）。存在各种方法来推导变换RV的PDF，其中一种方法使用随机向量=（，…，N）′，f（）的多元PDF（Freund，1992）。我们的目标是使用f（）对ht（）进行建模，同时保持个人安全边际，即服从于i（i）=,...,…… .  在这里，ht（）可能是倾斜的、重尾的和多模态的（即，通常是非正态的），允许更高的PDF时刻来帮助确定计划的成功或失败。N、 1退休调查和另类指标退休人员调查显示#1的担忧正在耗尽资金。一个资金耗尽的退休人员会经历财务破产。对于给定的减少策略，可以计算该事件发生的概率并与退休人员共享。概率以[0,1]为界，乘以100%得到一个以[0100]为界的百分比。百分比是一个普遍存在的衡量标准，人们普遍不理解。

例如，0.5的概率转化为50%，可以用词来描述为“coinflip”。退休人员在时间t取款，如果时间t-1取款成功，但账户不支持，或在时间t取款时完全清空，他们在时间t经历破产事件，表示破产（t）。这一事件的好处是避免在时间t时破产，表示为破产c（t），如果在时间t时提款成功，则会发生破产，留下大于0美元的余额。定义破产(≤ t） 在时间t或之前发生的破产事件(≤ t） 是它的赞美。§II中描述的工具。J可用于检测证券内部和证券之间随时间变化的序列相关性。在本研究的结论中引用了一些数据。（2.N.1）（2.N.2）（2.N.3）（2.N.4）尽管经过了广泛的研究，破产概率作为一种度量标准并没有被普遍接受，来自各个方面的批评都是如此。最常见的是，退休破产事件可能会以破产（1）或破产（30）的形式发生，而退休人员在这些事件之间的现实生活中存在着巨大的差异。这种批评认为，破产作为一种二元结果过于简单化，更细微的方法会考虑不同程度的失败。另一种批评是，破产指标过于复杂，最好交给保险公司的精算师处理。在这种观点下，财务规划师会误解这一指标，因为他们缺乏正确校准计算的能力和/或无法理解其固有缺陷，如协方差和高阶PDF矩的影响。虽然退休策略可能会有不同程度的失败，但我们主要感兴趣的是破产事件的完成，即成功。与退休破产不同，退休成功事件没有不同的时间点程度。

此外，一个最大化成功概率的递减模型也将最小化破产概率，因为这是等效的优化问题。尽管如此，一个最大化成功概率的模型实际上可能会失败，在这种情况下，尝试并限制损害是合理的。Harlow和Brown（2016）介绍了两种下行风险度量方法，正是这两种方法。他们的方法使用完全随机贴现来计算从减计计划中提取（现金流）的退休现值（RPV）。RPV是RV，其PDF可通过模拟进行估计。RPV值低于零表示该账户不支持所有提款，并且发生了退休破产。将下行风险降至最低的策略认识到，对于失效概率相似的退休计划，RPV PDF的破产部分可能会有明显的不同。目标是在发生破产时，使PDF的这一部分尽可能令人满意。在优化过程中，将负RPV值的平均值和标准差作为最小化指标，并找到相应的资产分配。Harlow和Brown（2016）报告称，在最小化下行风险的背景下，低得多的股本比率是最佳选择。这一发现的好处是直观，因为我们通常认为退休人员的遗赠分布具有随权益比率增加而增加的利差（方差），而负性遗赠（即RPV<0）表明退休人员在活着的时候已经耗尽了储蓄。米列夫斯基（2016）持相反的观点，认为破产概率经常被退休规划师滥用和/或滥用，并主张用一个不同的指标来取代它，即投资组合寿命（PL）。由于投资具有波动性，PLI是一种RV，用于衡量疲劳投资组合持续的时间长度。

取值l=0，1，2。。。，∞ 在离散时间内，PMF由P（PL=l）定义。请注意（l=0）<-> （成功提款0次）<-> 破产（1），（l=1）<-> （仅1次成功退出ismade）<-> 破产（2）。。。，（l=T-1）<-> （准确地说，T-1成功提款）<-> 破产（T）。最后，（l≥  T）<->（所有T取款成功）<-> 瑞尼克(≤T）≡ 退休成功（给定地平线长度T）。因此，对于l=0，1，2，…，P（PL=l）=P[破产（l+1）]。。。，T-1和P（l≥  T） =P[RUNC(≤T） ，见表III。因此，PLS的平均值、中值和模式将是破产概率的函数，其结构中固有的任何缺陷都将传播到这些统计数据中。表III.投资组合寿命（PL）PMF和相应的统计学投资组合寿命（PL=l）P（PL=l）平均值（μ=E[PL]）MedianModeP[破产（1）]0P[破产（2）]1*P[破产（2）]P[破产（3）]2*P[破产（3）]    iP[破产（i+1）]i*P[破产（i+1）]X    jP[破产（j+1）]j*P[破产（j+1）]X   kP[破产（k+1）]k*P[破产（k+1）]X    ∑1μEP∑∑0.5argmax[P（PL=l）]在任一方向上求和概率，并在以下情况下停止≥ 0.5相应的l值为中位数，如上面的j所示。如果l=j时Sum正好为0.5，则中值（PL）=（2j+1）/2。确定最大概率P（PL=l）。所有对应的l值都是模式（s），如上所示为模式（PL）={i，k}。表III适用于任何非负提款率（WR），以及∑P破坏t型=1表示noinvestment帐户是永久的，包括WR=0时。建议财务顾问检查这一事件，因为这意味着退休人员的寿命超过了他们的储蓄。该事件的概率P（PL<TR）是破产概率（T=TR）。

我们可以使用如下条件概率计算P（PL<TR）：PL<TR≡ PT∩S[其中S是任何通用样本空间，即P（S）=1]≡PT∩T0∪T1.∪···∪TT   [用TR的样本空间替换S]≡PT∩T0∪···∪PT∩TT]   [集合的分配性质]→ P（PL<TR）=∑PPT∩Tt型[互斥事件的概率求和]=∑PPT|Tt型PTt型[因为P（A | B）=P（A∩B） /P（B）]=∑PPt型|Tt型PTt型[条件概率使用固定的地平线长度，TF]=∑1.PPt型|Tt型PTt型[自PL起，从上一步开始下降t=0≥ 0]=∑1.P破坏T|Tt型PTt型[使用成功概率计算]=∑1.P退休成功|Tt型PTt型如前所述，P（PL<TR）根据定义是使用随机时间范围的破产概率。关于投资组合寿命（PL），最重要的概率完全是使用破产概率得出的，如（2.N.6）所示，其中RV寿命的概率没有出现。（2.N.5）（2.N.6）（2.N.8）（2.N.9）（2.N.10）N.2计算破产概率假设退休人员在t=1，…，时成功提款，。。。，t-1。当（t）发生时，事件破产（t）≤ RF（t-1），其中RF（t）=RF（t-1）/[（t）–RF（t-1）]，对于t=1，。。。，T和RF（0）=WR（Rook，2014）。因此，当（t）>RF（t-1）时，会发生RUNC（t）。RF（t）被称为破产系数，它反映了退休人员在t时的资金状况，其中1/RF（t）等于剩余实际提款额（Rook，2014）。

因此，使用SWR实现退休成功的事件分别针对固定和随机视野定义为：RUNC(≤ TF）≡ （退休成功| T=TF）≡t型射频t型1.,  （t）~ ht（）RUNC(≤ TR）≡ （退休成功| T=TR）≡t型射频t型1.,  （t）~ ht（）和TR ~ P（TR=t）回想起来，（t）是N种证券的多元化投资组合的经费用调整的实际复利回报，是t-1时资产配置集的函数。因此，假设（T）随时间的独立性，固定T=TFin（2.N.7）的相应成功概率为(将（t）替换为集成的vbl）：P破坏T … ……随机T=TRin（2.N.8）的成功概率为1–P[破产(≤ TR）]，其中P[破产(≤ TR）]在上述（2.N.6）中得到，也使用了（2.N.9）。对于任何事件A和B，如果A B然后P（B∩ AC）=P（B）-P（A）。SinceRuinC(≤  t） 瑞尼克(≤  t-1）和破产（t）≡[瑞尼克(≤t-1）∩毁灭(≤t） ，因此P[破产（t）]=P[破产c(≤  t-1）∩毁灭(≤t） ]=P[瑞恩C(≤ t-1）]-P【RUNC(≤t） 】。因此，对于（t）~ ht（）和t≤ TF：P破坏t型 P我射频我1.    P我射频我1. … …… … ……给定时间t的安全权重值（αt-1,1，…，αt-1，N）（即资产配置），使用模拟或动态程序（DP）递归近似估计（2.N.10）中的项，参见Rook（2014）和Rook（2015）。随后，可以用这些概率填充表III。通常，我们没有得到权重，而是负责根据一些最优性标准推导权重。

Rook（2014）使用动态滑动路径（TF和TR）推导出最小化股票和债券组合破产概率的权重，Rook（2015）使用静态滑动路径推导出相应的权重，以最小化破产概率。这两种解决方案都假设了正态分布的复合收益，如前所述，许多金融从业者/研究人员拒绝接受这一假设。本研究的主要目的是将这些模型和其他模型扩展到非正态复合收益。如上所述，无论提款率（WR）如何，投资账户都不会永远持续。当WR=0时，RF（t）=0 t=参见Rook（2014）获得相应的维恩图。（2.N.7）0。。。，T、 作为T→ ∞, 破产（t）发生在（t）时≤ 0表示任何t。因此，如果P[（t）≤ 0]>0，破产事件最终将在无限时间范围内发生。不幸的是，对数正态PDF是为值定义的≥f（0）=0时，不允许复利收益为零。我们为（t）开发的PDF为事件（t）分配了大于0的概率≤ 0，因为复利收益和证券价格可以而且确实取零。三、 单变量密度模型多元化投资组合的费用调整后实际复合收益决定退休策略的成败（§II.N）。我们假设时间上的独立性，并使用表中的证券作为随机样本。本研究将开发标准普尔500指数（L）、小盘股股票（S）和美国10年期国债（B）的费用调整后实际复合收益的多元PDF。表示这些收益的RVS为（L，S，B），多元PDF为f（L，S，B）。

使用这些证券的多元化投资组合产生时间t费用调整后的实际复合收益（t）=αt-1L（1-EL）L+αt-1S（1-ES）S+αt-1B（1-EB）B，其中αt-1，L，αt-1，S，αt-1，减去投资组合权重(≥0）在时间t-1设置为αt-1，L+αt-1，S+αt-1，B=1，EL、ES、E为费用。与copula建模（§II.L）类似，我们首先分别为L、s和b构建单变量PDF fL（L）、fS（s）和fB（b）。多元PDF f（l、s、b）（内置于§IV和§V）将保留边缘，即fL（l）=,,,  fS（s）=,, 和fB（b）=,,.（L，S，B）′的单变量PDF适合于有限正态混合，使用具有随机起始和方差比约束的EM算法来消除虚假最大化器（§II.E）。引入了一种新的前向-后向过程来寻找单变量分量的最优值，通常认为这是一个未解决的不稳定性问题（§II.M）。前部分使用自举LRT（§II.H）测试1和2个组件，然后测试（1或2）和3个组件，直到允许的最大单变量组件。如果前向程序中最后一个有效测试是g分量，后向部分测试g对g-1分量，然后测试g对g-2分量，等等。。。，直到在结束程序时发现显著差异。例如，如果向后测试gvs。g-k产生显著差异，那么组分的最佳#是g-k+1。请注意，（L，S，B）的AndersonDarling正态性检验分别得出p值0.7206、0.0984和0.2607，表明这些证券的正态性假设在α=0.05时未被拒绝。在即将进行的分析中，不应忽视这三个变量都可以假设为来自单变量正态分布的事实。A、 单变量PDF g与g+k组件的所有单变量测试将使用1000个LRT引导样本。

当g>1时，每次执行EMalgorithm时，使用6000*（g-1）随机开始，每个样本将数据拟合到g和g+k组分混合物中。随机启动使用从相同数据的最近拟合混合物生成的值，但成分较少。因此，每个LRT样本值需要6000*（2g+k-2）EM执行。使用连续相关资产的退休研究应考虑多元PDF中的依赖性，否则可能会引起有效怀疑。这将包括使用某些短期现金等价物的策略，如美国国库券（见表一）。A、 1标准普尔500指数（L）的单变量PDF:fL（L）图四。标准普尔500指数年实际复合收益率（L）历史可预测表四。

标准普尔500指数年实际复利回报率的单变量混合PDF（L）成分数量34LL=17.9019 LL=18.6383 LL=20.1144 LL=25.1860 LL=26.7351VR=1.0000 VR=46.7606 VR=68.4102 VR=84.6646 VR=42.6613AIC=-31.8038 AIC=-27.2766 AIC=-24.2289 AIC=-28.3721 AIC=-25.4702AIC=-31.5181 AIC=-26.2396 AIC=-21.9211 AIC=-21-24.2120 AICC=-18.8035BIC=-26.8491BIC=-14.8899 BIC=-4.4102 BIC=-1.1214 BIC=9.2125μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974γ（L）=0.00000 0.10701γ（L）=-0.26986γ（L）=-0.20207γ（L）=0.14463κ（L）=3.00000κ（L）=2.87231κ（L）=3.02576κ（L）=2.76519κ（L）=2.98090π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.082 0.197  0.056  1.287  0.029 0.833 1.055 0.204  0.092  0.998  0.016  0.114 0.998 0.0170.944  1.070  0.197  0.078  1.286  0.029  0.708  1.170  0.149  0.045  0.630  0.0220.089 1.157 0.025  0.155  0.860  0.046  0.191 0.864 0.0490.045  0.629  0.022  0.037  1.505  0.0640.613 1.174 0.110缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。对于正常PDF，偏度（X）=γ（X）=E[（（X-μ）/σ）]=[E（X）-3μE（X）+2μ]/σ=0，因此E（X）=3μE（X）-2μ。对于正常PDF，峰度（X）=κ（X）=E[（（X-μ）/σ）]=[E（X）-4μE（X）+6μE（X）-3μ]/σ=3，因此E（X）=3σ+4μE（X）-6μE（X）+3μ。（定义见Hogg等人，2005年；力矩详情见Johnson等人，1994年。）请注意，在多峰分布中，像这样的高阶矩可能很难解释。图五：。

用于测试单变量混合成分最优的LRT抽样分布年度真实标准普尔500指数复合收益（L）远期↓                   向后的↑图四以ahistogram绘制了1928-2015年标准普尔500指数（n=88）的年度实际复合收益，表四将这些收益拟合为单变量正态混合(≤5个组件）。使用上述正向-反向程序，在图V中对部件的最佳性能进行测试。所有显示的值都是四舍五入的，未四舍五入的值用于计算。VR约束和α=0.2500的显著性水平用于每个测试。一些非正态性的证据将导致Ho的剔除。如表四所示，没有足够的证据否定标准普尔500指数年度真实复合收益率的正态性。前向-后向自举LRT程序与所有3个信息标准值（AIC、AICC、BIC）一致，即单变量正态PDF适用于这些回报，这也与正态性AD测试一致（p=0.7206）。A、 2小盘股的单变量PDF：fS图六。年度实际小盘股复利回报率历史可预测V。

年度真实小盘复利回报的单变量混合PDF 4LL=-24.7605 LL=-23.0510 LL=-18.3915 LL=-15.9514 LL=-14.4531VR=1.0000 VR=148.4732 VR=241.2802 VR=241.5788 VR=198.4935AIC=53.5211 AIC=56.1021 AIC=52.7829 AIC=53.9028 AIC=56.9062AIC=53.8067 AIC=57.1390 AIC=55.0907 58.0628 AICC=63.5729BIC=58.4758BIC=68.4888 BIC=72.6016 BIC=81.1535 BIC=91.5889μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206γ（S）=0.00000 0.13061γ（S）=0.23954γ（S）=0.15342γ（S）=0.61679κ3.00000κ（S）=3.02488κ（S）=3.71740κ（S）=4.60462κ（S）=4.52729π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.132 0.321  0.928  1.150  0.326 0.164 0.945 0.065  0.483  1.155  0.426  0.194 1.185 0.0290.072  0.908  0.027  0.707  1.165  0.367  0.114  1.338  0.051  0.149  1.338  0.0540.129 1.192 0.024  0.167  1.187  0.027  0.105 0.662 0.1390.237  0.948  0.074  0.258  1.370  0.4150.295 0.954 0.076缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。图七：。用于测试单变量混合成分最佳组合的LRT抽样分布年度实际小盘股组合收益（S）↓                   向后的↑图六绘制了1928-2015年（n=88）的年度实际小盘股复利回报，表五将这些回报拟合为单变量正态混合(≤5个组件）。图VII显示了使用上述正向-反向程序对最佳成分进行的测试，VRconstraint为16，显著性水平α=0.2500。对1组分和3组分的测试产生了一个显著的pvalue，Ho被拒绝。反向处理开始于测试2个和3个同样重要的组件，结束该过程。

因此，三组分正态混合PDF适合这些回报。系数γ（S）=0.23954>0表示PDF具有正偏斜，而κ（S）=3.71740>3表示正过剩峰度，这意味着尾部比正态分布更重。fittedmarginal PDF明显倾斜、重尾和多模态（表V）。A、 3美国10年期国债的单变量PDF（B）：fB（B）图VIII。年度真实美国10年期国债总复利收益率（B）历史可预测VI.年度真实美国10年期国债总复利收益率的单变量混合PDF（B）成分数量3 4LL=94.9092 LL=99.4731 LL=100.2688 LL=102.2525 LL=104.1529VR=1.0000 VR=16.7844 VR=20.2289 VR=8.8448 VR=125.3318AIC=-185.8184 AIC=-188.9463 AIC=-184.5377 AIC=-182.5049 9 AIC=-180.3057AICC=-185.5327 AICC=-187.9092 AICC=-182.2299 AICC=-178.3450 AICC=-173.6391BIC=-180.8637 BIC=-176.5596 BIC=-164.7190 BIC=-155.2542 BIC=-145.6230μ（B）=1.022μ（B）=1.022μ（B）=1.022μ（B）=1.022σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823γ（B）=0.00000γ（B）=0.47529γ（B）=0.50035γ（B）=0.49208γ（B）=0.49047κ（B）=3.00000κ（B）=3.36595κ（B）=3.26913κ（B）=3.14599κ（B）=3.14076π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.022 0.082  0.948  1.011  0.070 0.893 1.004 0.065  0.089  1.118  0.020  0.350 0.991 0.0290.052  1.220  0.017  0.055  1.220  0.017  0.118  0.903  0.021  0.385  1.059  0.0410.052 1.120 0.015  0.057  1.220  0.017  0.042 1.128 0.0040.736  1.014  0.051  0.167  0.908  0.0240.057 1.220 0.017缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。图IX.用于测试单变量混合物成分最佳#的LRT采样分布美国全年实际值。

10年期国债总复利收益（B）远期↓                   向后的↑图VIII显示了1928-2015年间美国10年期国债的年度实际总复合收益率（n=88），并适用于表VI中的单变量正态混合。通过图IX中详述的前向-后向程序发现了最佳成分，VR约束为16，显著性水平为α=0.2500。对1组分和2组分进行的测试产生了显著的p值，Ho被拒绝。反向处理从测试1和2个组件开始，这是一个重复测试，没有执行。因此，双组分NormalMixed PDF适用于这些回报。系数γ（B）=0.47529>0表示该PDF具有正偏斜，而κ（B）=3.36595>3表示正的过剩峰度，这意味着尾部比正常分布更重。拟合的边缘PDF明显倾斜、重尾和多模态（表VI）。B、 单变量PDF汇总表VII。全单变量PDF参数化安全组件πμσ标准普尔500（L）1 1.000000000000000 1.0821393181818 0.197430382245555小盘股1 0.16379657010864 0.944667188140307 0.0652331514080532 0.707369571461765 1.165057494177362 0.3665293257680433 0.12883371527371 1.191903886074301 0.023596517545339U。S、 10年期国债（B）1 0.947744576049301 1.01164539967906 0.0695799176661492 0.05225423950700 1.220436091927283 0.016983666409906注：将这些估计值与历史数据一起使用，以再现对数似然值。最佳组件测试使用α=0.2500。大值是向前向后测试过程中常见的默认值。VR=256的方差比约束用于消除伪优化器，同时使用EM算法（§II.F）查找MLE（§II.E）。

减少该值或在概率或均值上添加新的约束将改变PDF形状，例如增加或减少模式/峰值（见图X）。要添加约束，只需丢弃任何违反它的随机开始。偏态单峰PDF（如对数正态分布）可用，但未优化训练目标。根据§II的解释（2）。B组件已分配标签。这些数据表明，标普500指数的年度实际复合收益来自一种制度，但小盘股的股票回报来自3种制度。即，占主导地位的N（1.165，0.367）PDF产生约70%的回报（包括离群值），而低N（0.945，0.065）PDF产生>15%，而<15%来自高N（1.192，0.024）PDF。高/低区域在平均值上方和下方增加了路肩，PDF的尾部明显比正常值重。美国10年期国债的年度实际总复合收益来自两种制度，其中占主导地位的N（1.011,0.070）PDF产生了95%的收益，而高离群值N（1.220,0.017）PDF产生了其他5%。请注意，2010-2015年的平均回报率为1.033，高于主导区域μ和总体历史平均值μ（B）=1.022。因此，普遍认为当前的低收益率使“4%规则”等退休启发式无效的说法应该受到质疑。图X.具有概率加权成分区域的单变量混合PDF（4.A.1）IV.不含协方差的多变量密度建模（L、S、B）的多变量PDF分两步构建。首先，在没有相关性的情况下引入相关性，结果是估计相关性的最后一步的起点。根据§II中的解释（2）。B、 混合物观察结果来自§III.B中关于（L、S、B）的标记区域。

多元PDF的观察结果可以被视为源自这些机制的某种组合。有1、3、2个区域分别控制L、S、B，因此最多1·3·2=6个区域将控制多元PDF。一个节俭的多变量PDF可能需要消除没有生成数据的组合。目标是以最佳的方式进行制度选择，考虑样本量和多变量PDF参数的总数。我们还必须保留§III.A.A.多元区域中得出的边际PDF。根据混合PDF解释（2），区域产生观察结果。在估计了混合物（2.B.2）中的PDF参数后，我们可以估计观测来自给定区域的概率。设XT和Zt=（zt1，…，ztg）′为g组分单变量混合物PDF的时间t观察值和组分指示符RVs，对于t=1，。。。，T、 假设所有参数均已按照§III.A进行估算，且X为时间T的观测值。X由成分i产生的概率，i=1，。。。，g为：P1|P1.PP|1.*P1.P*∑自从已估算，且=|具有此外，还可以对每个观测值xt，t=1，…，计算该量，。。。，T、 贝叶斯决策规则将每个观测值以最大概率分配给组件，并被视为最优分配方案（McLachlan&Peel，2000）。使用上述赋值规则，设Nijk分别为RVs L、S、B的i、j、k区的观测值。（L，S，B）′上的观察结果源自给定多元分量的概率可以估计为=nijk/T，其中将是真实（未知）概率，见图XI。图XI。

具有估计概率的（L、S、B）的多变量区域组合注：在每个单元中都存在对三变量（L、S、B）的观察，并且相关性可能在不同区域之间发生变化。例如，S和B之间的相关性可能在一个细胞中为强正，而在另一个细胞中为强负（见§V）。如果L、S和B是独立的，则多元PDF是边缘的乘积，f（L、S、B）=fL（L）·fS（S）·fB（B）。边缘值适用于§III.A中的混合物，其产物为6组分多元正态混合物，可产生拟合边缘值。在独立性条件下，多元观测（l、s、b）来自给定区域的概率是边际概率的乘积。不存在假设独立性的依据，图XI显示了根据数据估计的多元成分概率，即.多元混合PDF的依赖性有两种形式：成分间和成分内。分量间依赖通过概率建模，分量内依赖通过协方差建模。两者都必须保留§III.A中的边缘部分，但图XI中的估计值并非如此，因此不可行。例如，使用fS（s），s来自“主导”状态的概率等于0.707（表V），而使用数据，s为60/88=0.682（图XI）。Conway（1979）给出了保证一元和二元PMF都适用于三元列联表中概率的条件。如果对二元PDF感兴趣，我们建议从三元PDF中推导出来。B、 通过线性规划进行多元区域选择（LPs）我们的目标是在保留§III.A中的边际PDF的同时，简化组件依赖性之间的模型。提出了两种方法，并成为估计协方差和更新组件概率的最后一步的初始解。