此外，为了强调默认时间不是模d，我们用F=（Ft）t表示过滤∈[0，T]。根据定义3.5和备注3.1，通过融资交易策略^1复制担保合同（a，C）意味着VT（Д，AC）=VpT（Д，AC）- CT=0。定义3.6。对于担保合约（A，C），交易员的除息价格π（AC）为g，对于所有∈ [0，T]，πT（A，C）=Vt（Д，AC）=Vpt（Д，AC）- Ctwhere^1是一种自我融资的交易策略，复制（a，C）。假设合约（a，C）可以复制，其初始交易者价格p=π（a，C）。在下一个结果中，我们得到了∈ [0，T]，Vpt（ν，AC）=Ft+mXi=d+1hit，因为我们在方程（3.1）中设置了κ=κ=0。对于具体性，我们假设At=1{t=t}X表示所有t∈ [0，T]。引理3.1。假设债券D不敢交易，且At=1{t=t}X，其中X是一个平方可积FT可测随机变量。然后，自我融资条件（3.6）产生交易者财富过程的以下动态V（Д，AC）dVt（Д，AC）=ftVt（Д，AC）-mXi=d+1命中dt+dXi=1ξit（dSit- hitSitdt）+mXi=d+1ξitdSit+dbCt（3.12），其中过程bc由bct=Zt（clu）给出- fu）C-udu-Zt（cbu- fu）C+udu=Zt（fu- (R)cu）Cudu。（3.13）证明。等式（3.12）来自（3.4）、（3.6）和等式V（Д，AC）=Vp（Д，AC）- C从（3.12）中，很容易得出交易员价格过程πt（X，C）=yt和对冲比率ξt=Zt的以下线性BSDE，对于每个t∈ [0，T），dYt=ftYt公司-dXi=1hitZitSit-mXi=d+1英尺- (R)ct）ctdt+mXi=1ZitdSit（3.14），终端条件YT=-十、 观察c组分ψf，ψ。

，ψdof自我融资交易策略Д，其复制（a，C），也可根据回购条件ξitSit=-ψitBitand方程（3.1）。在温和的技术假设下，已知线性BSDE（3.14）的唯一解存在于一个适当的随机过程空间中，并且它由一个明确的公式给出，当然，前提是Siare的动力学是有效的。对于insta nc e，如果风险资产的价格S，S，Smaregoverned bydSit=Situitdt+σitdWt其中，W=（W，W，…，Wm）是相对于其自然滤波F的m维布朗运动（可能具有相关分量），然后（3.14）成为经典的线性BSDE（例如，见El Ka roui等人【27】或El Karoui和Quenez【28】）=ftYt+dXi=1（uit- hit）ZitSit+mXi=d+1（uit- ft）ZitSit+（ft- (R)ct）ctdt+mXi=1ZitσitdWt（3.15）融资成本、违约和抵押17下的估值，因此已知在温和的技术假设下存在解决方案Y的明确表达式。在第3.2.2节中，我们将根据概率度量e表示为Qf，h，fπt（X，C）=BftEQf，h，f的条件期望，推导出除息pric eπ（X，C）的以下概率表示- （BfT）-1X+ZTt（(R)cu- fu）Cu（Bfu）-1件英尺. （3.16）由于Y=π（X，C）是（3.15）的解，因此也可以通过应用Girsanov定理和产生线性BSDE的明确解的著名公式来获得所要求的表示（3.16）。然而，我们的一般方法将不依赖于BSDE的显式解，而是依赖于第3.2.1节中开发的抽象鞅参数。为了说明（3.16）的财务后果，我们假设，例如，X≤ 0因此，很自然地假设抵押品将始终由交易者抵押，并且thusCt=-C-t型≤ 每t为0∈ [0，T]。

那么πt（X，C）=BftEQf，h，f- （BfT）-1台-ZTt（clu- fu）C-u（Bfu）-1件英尺因此πt（X，C）≥ πt（X，0）假设clt- 英尺≤ 每t为0∈ [0，T]其中πT（X，0）是未抵押版本合同的交易方除息价格。这一结论与交易者借入现金金额C是不利的这一事实是一致的-≥ 0，并以较低的利率cl向交易对手“借贷”该金额，以换取报酬≤ f、 为了具体起见，让我们检查资产集S=S上的看涨期权的估值。如果交易员卖出看涨期权，那么X=-（ST- K） +因此BSDE（3.14）readsYT的终端条件=-X=（ST- K） +。当然，这与作者复制通话付费的通常概念是一致的。如果交易员在时间0买入看涨期权，则终端条件变为YT=-X=-（ST- K） +=-X自其各自等式的最终付款X=（ST- K） +因此，为了对冲风险敞口，他需要复制收益-（ST- K） +。注意，抵押品Ct=-（Ct）-将在时间t由编写看涨期权的交易员进行抵押，但如果他购买看涨期权，则会收到对方，这意味着在后一种情况下，Ct=（Ct）+。因此，如果cl6=Cb，即使我们假设Ct=-Ctfor所有t∈ [0，T]（胶原化的自然对称性），我们得到了不等式πT（X，C）6=-πt(-十、-C） =-πt（X，C）。相反，等式πt（X，C）=-πt(-十、-C） =-当cl=cb=C时，即使C 6=f，πt（X，C）也是有效的。这说明了一般性质，即在线性设置中，只要cl=cb=c，并且在抵押品对称的情况下，买卖交易的价格是相等的。

形式上，如果cl=cb=c，那么πt（A，c）=-πt(-A.-C） 对于allt∈ [0，T]对于过程A和C.3.2.1的任意规范，辅助引理导出概率表示的一般版本（3.16），我们首先引入以下符号Bζjt：=expZtζ聚都, Bγit：=经验值Ztγiudu, Bνit：=经验值Ztνiudu其中ζj，γi和νi是任意G-适应可积过程。然后过程Dj（t，t）=（Bζjt）-1Dj（t，t），j=1，2满足Dj（t，t）=（Bζjt）-1（dDj（t，t）- ζjtDj（t，t）dt）。18 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski然后，对于根据回购协议交易的风险资产，我们可以定义过程‘Si=（Bγi）-1Si，i=1，2，d、 这样我们就可以写‘Sit=（Bγit）-1（dSit- γitSitdt），i=1，2，d、 同样，对于直接在市场上交易的风险资产，我们可以定义“Si=（Bνi）”-1Si，i=d+1，d+2，m、 所以我们得到d'Sit=（Bνit）-1（dSit- νitSitdt），i=d+1，d+2，m、 定义3.7。设（ζ，γ，ν）=（ζ，ζ，γ，γ，…，γd，νd+1，νd+2，…，νm）是一个（m+2）维、G适应的可积过程。然后我们用Qζ，γ，ν表示(Ohm, GT）使过程“Dj（t，t），j=1，2和”Si，i=1，2，m是Qζ，γ，ν–局部鞅。概率测度Qζ、γ、ν的存在在先验中并不明显，但在现有文献中遇到的大多数市场模型中都可以建立概率测度Qζ、γ、ν。出于一般性考虑，我们将自此假设这样一个概率度量是定义良好的。然后，从定义3.7可以看出，过程dj（t，t）-ZtζjuDj（u，T）du，Sit-ZtγiuSiudu，Sit-ZtνiuSiuduare（Qζ，γ，ν，G）–本地martinga les。换言之，Qζ，γ，ν是价格dj（t，t）的局部鞅测度，由Bζj贴现，价格与过程Bγifor i=1，2，d和价格与过程BνIf=d+1，d+2。

，m。对于一个随机G适应的可积过程η，我们通过设置∈ [0，T]，BηT：=expZtηudu.以下引理支持了支持婴儿主义的方法，即根据资金成本对合同进行估价。引理3.2。假设Vpt（Д，eAC）是自融资交易策略的价值过程，在定义3.2的意义上，因此（3.6）适用于∈ [0，T]，AC=eAC。设η为任意适应的可积过程，过程Vη（Д，eAC）由Vηt（Д，eAC）给出：=Vpt（Д，eAC）+BηtZtαuFu（Bηu）-1du+Xj=1BηtZtδjuDju（Bηu）-1du（3.17）+dXi=1BηtZtβiuHiu（Bηu）-1du+dXi=d+1BηtZtθiuHiu（Bηu）-1件- BηtZ（0，t）（Bηu）-1每个。如果每t保持以下等式∈ [0，T]αT=ηT- ft，δjt=ηt- ζjt，βit=ηt- γit，θit=ηt- νit，（3.18）然后过程Vη（ν，eAC）：=（Bη）-1Vη（ν，eAC）是（Qζ，γ，ν，G）-局部鞅。证据让我们表示Vη=Vη（Д，eAC）和Vp=Vp（Д，eAC）。从方程（3.17）中，我们得到了dVηt=dVT+αtFtdt+Xj=1δjtdjdtt+dXi=1βitHitdt+（Vηt- Vpt）ηtdt- 死亡。融资成本、违约和抵押下的估价19由于Vpt=Ft+Pj=1Djt+Pmi=d+1Hit，我们获得了dVηt- ηtVηtdt=ftFtdt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1ξit（dSit- hitSitdt）+mXi=d+1ξitdSit+αtFtdt+Xj=1δjtdjttdt+dXi=1βitHitdt+mXi=d+1θitHitdt- ηtVptdt=（αt+ft- ηt）Ftdt+Xj=1（δjt+ζjt- ηt）Djtdt+Xj=1κjt（dDj（t，t）- ζjtDj（t，t）dt）+dXi=1（βit+γit- ηt）Hitdt+dXi=1ξit（dSit- γitSitdt）+mXi=d+1（θit+νit- ηt）Hitdt+mXi=d+1ξit（dSit- νitSitdt）。自d？Vηt=（Bηt）-1（dVηt- ηtVηtdt），现在很清楚，如果过程sα、δ、β和θ满足（3.18），那么过程Vη=（Bη）-1Vη是a（Qζ，γ，ν，G）-局部鞅。3.2.2线性概率估值公式我们能够证明本节中的主要结果，该结果给出了基因ral概率估值公式。我们强调，过程η、ζ、ζ、γifor i=1、2、。

，d和νifor i=d+1，d+2，m分别与价值过程和除息价格的概率表示（3.20）和（3.21）的推导无关。让我们表示，对于所有t∈ [0，T]，eAt=1{T<τ}At+1{T≥τ}Aτ-,eCt=1{t<τ}Ct+1{t≥τ}Cτ-. （3.19）还记得，保证金账户的有效抵押品应计利率c由（3.5）给出。定理3.1。假设可违约抵押合同（A、C、R、τ）可以通过交易策略^1复制。如果相关过程Vη（Д，eAC）=（Bη）-1Vη（ν，eAC），其中Vη（ν，eAC）由（3.17）给出，是真（Qζ，γ，ν，G）-鞅，那么值过程Vpt（ν，AC，R）等于，对于每个t∈ [0，T]，Vpt（ν，AC，R）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1deACu+CT（BηT）-1{τ>T}- Rτ（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu- fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.20）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机.此外，20 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski给出了可违约抵押合同（A、C、R、τ）的除息价格，在事件{t<τ}上，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1水- （Rτ+Cτ-)（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu- fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.21）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（(R)cu- ηu）Cu（Bηu）-1件燃气轮机.证据设Д为复制合同的交易策略（a、C、R、τ）。从定义3.5来看，这意味着Vpbτ（Д，eAC）=CT{τ>T}- Rτ{τ≤T}。（3.22）因此，方程式（3.20）是Vη（ν，AC）鞅性质的直接结果，即bτ是G-停止时间，等式（3.22）。

有待证明的是，（3.21）可以从（3.20）和除息价格的定义中推断出来。在事件{t<τ}上，我们得到πt（A，C，R，τ）=Vt（Д，AC，R）=Vpt（Д，eAC）- Ct（见（3.11））。注意（3.7）给出了deACt=deAt+deCt- ？ctCtdt。分部积分公式在{τ>T}事件上产生Z（T，bτ）（bηu）-1deCu=Z（t，t）（Bηu）-1dCu=CT（BηT）-1.- Ct（Bηt）-1.-ZTtCud（Bηu）-1=CT（BηT）-1.- Ct（Bηt）-1+ZTtηu（Bηu）-1关于事件{τ≤ T}，我们得到z（T，bτ）（bηu）-1deCu=Z（t，τ）（Bηu）-1deCu=Cτ-（Bητ）-1.- Ct（Bηt）-1.-ZτtCud（Bηu）-1=Cτ-（Bητ）-1.- Ct（Bηt）-1+Zτtηu（Bηu）-1 CUDU。现在很容易检查（3.21）是否是（3.2 0）的直接结果。现在我们将考虑定理3.1的一些应用。第一个推论给出了第3.2.1节的质量延伸（3.16）。可以说，这是可违约抵押合同（a、C、R、τ）除息价格最自然的概率表示。应该注意的是，它为估价问题提供了一个封闭形式的解决方案，并且可以为几个感兴趣的案例显式计算右侧。推论3.1。如果η=f，ζj=f，γi=hi，对于i=1，2，对于i=d+1，d+2，…，d和νi=f，m、 然后（3.20）得出包含融资、违约和流动性成本的估值公式πt（A，C，R，τ）=BftEQf，h，f-Z（t，t）（Bfu）-1水- （Rτ+Cτ-)（Bfτ）-1{τ ≤T}燃气轮机（3.23）+BftEQf、h、fZbτt（(R)cu- fu）Cu（Bfu）-1件燃气轮机.推论3.1适用于计算（A，C，R，τ）的交易者价格。相比之下，它不会立即分解价格πt（A、C、R、τ）及其“净”价格和各种估值调整，这些都具有实际意义，因此在现有金融文献中进行了广泛研究。

因此，我们将在下一节中介绍定理3.1的另一个应用，其中将明确显示估值调整，如asCVA、DVA、FVA、LVA等。融资成本、违约和抵押下的估值213.3具有融资、违约和流动性成本的风险中性估值下一个目标是展示如何从定理3.1中获得具有调整现金流的风险中性估值公式，该公式首次通过Pallavicini etal中的不同方法得出。[34]和Brigo等人[12]。设r是一个G适应的可积过程，设Br代表关联的无风险现金账户Brt：=expZtrudu公司.我们要强调的是，我们不认为交易员可以使用无风险现金账户，并且他可以将无风险利率过程r视为纯粹的工具变量。备注3.2。虽然我们的推导没有要求这一点，但我们可以向风险管理者提供无风险利率的财务解释，即非违约实体之间的短期借贷利率。在实践中，我们可以使用一些市场代理。在欧洲金融市场，OIS（隔夜指数e d掉期）利率可被视为无风险利率的代理，因为交易对手ris k有限，而LIBOR是指违约实体之间的现金借贷利率。因此，LIBOR-OIS利差通常被解释为基于LIBOR的银行总体信贷风险的指标。在美国，相应的利差是指伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）欧洲美元利率和美联储（Federal Reserve）的联邦储备基金利率。Upo n在（3.21）中设置η=ζj=γi=νi=r，我们得到了表示（3.24），这是带有调整现金流的风险中性估值的一个版本。为了简化符号，我们将Qr=Qr，r，r写入。此外，我们还将Fit=ψitBit=-Hit推论3.2。

在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- （Rτ+Cτ-)（Brτ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.24）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.注意，通过应用定义3.7，过程“Dj（t，t）=（Brt）-1Dj（t，t），j=1，2和'Si=（Brt）-1Si，i=1，2，m或等效的过程ssesDj（t，t）-ZtruDj（u，T）du，Sit-ZtruSiudu，are（Qr，G）–局部鞅，因此概率测度Qr可以解释为经典风险中性概率。让我们考虑公式（3.24）的一些特殊情况。假设银行的国库券利率f、利率hi和抵押品应计比率均等于无风险利率r。然后，联合滚动3.2得出了以下风险中性估值公式的变量，用于担保违约合同πt（a，C，r，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- （Rτ+Cτ-)（Brτ）-1{τ ≤T}燃气轮机.

（3.25）此外，如果等式Rτ=-Cτ-持有，意味着抵押品仅在第一次违约时返还给质押方，在时间τ时，22 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowskievent{τ{发生额外付款≤ T}，则（3.25）进一步减小为πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水燃气轮机（3.26）=BrtEQr- 1{τ>T}Z（T，T）（Bru）-1道- 1{τ ≤T}Z（T，τ）（Bru）-1道燃气轮机.显然，这种针对可违约抵押合同的风险中性估值公式的基本版本取决于几个假设，这些假设在当前全球流行的市场环境中并不令人满意。3.3.1 CSA结算价值和首次违约时的支付让我们检查交易对手信用风险对可违约抵押合同价格的影响。为此，我们需要指定合同的收尾估价程序s Q（A、C、R、τ）。让我们强调，工艺Q的任何规范也应包括承诺付款- Aτ-在第一次违约时。例如，可以设置（见（3.23））Qt=BftEQf，h，f-Z[t，t]（Bfu）-1道燃气轮机,这意味着交易员的独特融资成本将影响CSA估值。CSA收尾价值的一种更为传统的形式（尽管一些研究人员对此表示反对，但对从业者来说可能更具吸引力）取决于这样一个假设，即所有资产的融资都可以按风险费率进行，因此我们遵循这一市场惯例。更具体地说，对于i=1，2，…，我们使用t f=hi=r，d和τ>T in（3.24），以获得等式（3.27）。这意味着收尾估价Q由合同的“干净”价格给出，即以无风险利率融资的非违约无抵押合同A的价格。定义3.8。

担保违约合同（A、C、R、τ）的无风险收尾估值过程Q由qt给出：=BrtEQr-Z[t，t]（Bru）-1道燃气轮机= 在+πrt（A）（3.27），其中At=At- 在-和πrt（A），t∈ [0，T]是A的除息无风险价格，即πrt（A）：=BrtEQr-Z（t，t）（Bru）-1道燃气轮机. （3.28）根据定义3.8，在第一次违约发生时，关于{τ≤ T}，Qτ=Aτ- Aτ-+ BrτEQr-Z（τ，T）（Bru）-1道Gτ= Aτ+πrτ（A）。（3.29）3.3.2传统估值调整在本节中，假设回收y支出Rτ由定义2.1给出。此外，为了表述的简单性，我们假设事件{τC=τI}在Qrand下可忽略不计，因此收尾付款θτ由（2.5）给出，Q由（3.27）给出。然后我们得到以下结果，这是推论3.2和定义3.8的结果。融资成本、违约和抵押下的估值23提案3.1。根据（3.27）给出的无风险平仓估值Q，在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+- 1{τI<τC}LIΥ-燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.30）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.证据从定义3.8来看，要从（3.24）和（2.5）中获得（3.30），必须观察到，在事件{t<τ}，Z（t，bτ）（Bru）-1deAu=Z（t，t）（Bru）-1道- 1{τ ≤T}Z[τ，T]（Bru）-1道恩图斯布特克-Z（t，bτ）（Bru）-1水燃气轮机= BrtEQr公司-Z（t，t）（Bru）-1dAu+1{τ≤T}Z[τ，T]（Bru）-1道燃气轮机= πrt（A）+1{τ≤T}Qτ，其中最后一个等式遵循（3.27）和（3.28）中的s。

交易者对（A，C，R，τ）的除数nd价格的表示（3.30）可以给出以下财务解释πt（A，C，R，τ）=πrt（A）+CVAt- DVAt+FVAft+mXi=1VAHIT+LVAt（3.31），其中信贷估值调整CVAtequalsCVAt=BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+燃气轮机,借方估值调整DVAtequalsDVAt=BrtEQr{τ ≤T}{τI<τC}LIΥ-燃气轮机,财政部资金估值调整FVAftis由FVAFT=BrtEQr给出Zbτt（ru- fu）fu（布鲁）-1件燃气轮机,回购融资估值调整FVAhitfor i=1，2，d由FVAHIT=BrtEQr给出Zbτt（ru- hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机,和流动性估值调整LVAtsatis fieslvat=BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.24 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski3.4具有融资成本和违约的非线性模型当单一现金利率f被不同的借贷利率（分别表示为fland fb）取代时，得到了上一节中引入的线性框架的非线性扩展，并且类似地，通过引入股票Si中多头和空头头寸的不同回购利率，分别表示为hi、land hi、b。值得一提的是，为了协调起见，我们在此不考虑第2.7节中引入的外部资金调整。HenceProposition 3.2以及（3.4 0）给出的价格分解应该被视为对Lemma 2.1的扩展，而不是命题2.2。然后，我们得到投资组合的valueprocess Vp（Д，AC，R）的以下表示形式：Vpt（Д，AC，R）=ψltBlt+ψbtBi，bt+Xj=1κjtDj（t，t）+dXi=1ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt+ξitSit+mXi=d+1ξitSit。与非线性框架内交易的财务解释一致，我们假设ψlt≥ 0，ψbt≤ 对于所有t，0和ψltψbt=0∈ [0，T]。同样，我们假设ψi，lt≥ 0，ψi，bt≤ 0和ψi，ltψi，bt=0，对于i=1，2。

此外，我们对风险资产的回购交易条件进行了调整，Sdψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt+ξitSit=0。为方便起见，我们表示ft=ψltBlt+ψbtBbt=Vpt（Д，AC，R）-Xj=1κjtDj（t，t）-mXi=d+1ξitSit=Vpt（Д，AC，R）-Xj=1Djt-mXi=d+1hit，其中j=1，2时Djt=κjtDj（t，t），Hit=ξitSit=-适用于i=1，2，m、 3.4.1交易策略价值过程的非线性动力学我们现在可以推导出价值过程的非线性动力学，因此也可以在第3.4.4节中获得可抵押违约合同（a、C、R、τ）的通用非线性定价BSDE。回想一下，τ=τI∧ τCso，bτ：=τ∧ T是合同的有效到期日。引理3.3。我们有ψlt=（Blt）-1F+t，ψbt=-（Bbt）-1F层-t表示i=1，2，dψi，lt=（Bi，lt）-1（命中）-= （Bi，lt）-1（拟合）+，ψi，bt=-（Bi、bt）-1（命中）+=-（Bi、bt）-1（配合）-.证据需要注意的是，ψltBlt+ψbtBbt=Ft，ψi，ltBi，lt+ψi，btBi，bt=-ξitSit=-Hit=配合使用假设条件。引理3.4。与可违约担保合同（a、C、R、τ）相关的自我融资交易策略的价值过程Vp（Д、AC、R）满足[0、bτ]dVpt（Д、AC、R）=fltF+tdt- fbtF公司-tdt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1ξitdSit+hi，lt（Fit）+dt- 嗨，bt（Fit）-dt公司+mXi=d+1ξitdSit+deAt+deCt- \'ctCtdt+d{t≥τ}Rτ（3.32）式中，c由（3.5）给出，eA和c由（3.19）给出，Rτ由（2.4）给出。融资成本、违约和担保下的估值25Proof。通过对定义3.3的略微扩展，对于∈ [0，bτ]，dVpt（ψ，AC，R）=ψltdBlt+ψbtdBbt+Xj=1κjtdDj（t，t）+dXi=1（ψi，ltdBi，lt+ψi，btdBi，bt+ξitdSit）+mXi=d+1ξitdSit+dAC，其中AC，Ris由（3.8）给出。

因此，根据引理3.3，我们得到了数值过程动力学的以下表达式dvpt（Д，AC，R）=（Blt）-1F+tdBlt- （Bbt）-1F层-tdBbt+Xj=1κjtdDj（t，t）+mXi=d+1ξitdSit+dXi=1（Bi，lt）-1（Fit）+dBi，lt-dXi=1（Bi，bt）-1（配合）-dBi，bt+dXi=1ξitdSit+dAC，Rt。在现金/回购账户绝对连续的假设下，也使用（3.8）和（3.19），我们得出（3.32）。为了获得Vp（Д，eAC）动态的方便线性化d表示，我们引入了有效融资利率f和有效回购利率hi。很明显，有效率通常取决于交易者的策略。引理3.5。过程Vp（Д，eAC）满足[0，bτ]dVpt（Д，eAC）=（\'ftFt+\'hitFit- \'ctCt）dt+Xj=1κjtdDj（t，t）+mXi=1ξitdSit+deAt+deCt（3.33），其中有效融资利率\'f等于\'ft:=flt{ft≥0}+fbt{Ft<0}（3.34）和有效回购利率'hi，i=1，2，d由“hit：=hi，lt{Fit”给出≥0}+hi，bt{拟合<0}。（3.35）3.4.2非线性概率估值公式Recall that bηt：=expZtηudu, Bζjt：=经验值Ztζ聚都, Bγit：=经验值Ztγiudu式中，η，ζ，ζ，γi，i=1，2，d和νi，i=d+1，d+2，m是任意适应的可积过程。设Qζ，γ，ν为概率测度，使得过程（Bζj）-1Dj（t，t），j=1，2，（Bγi）-1Si，i=1，2，d和（Bνi）-1Si，i=d+1，d+2，m是Qζ，γ，ν-局部鞅s。然后引理3.2和3.5给出了以下结果，这是定理3.1的非线性对应。为了这个结果的有效性，需要施加一些温和的可积性假设。根据定义2.1，重新证明CSA结算支付满足θτ=Rτ+Cτ-.26 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski定理3.2。假设可抵押违约合约（A、C、R、τ）可以通过交易策略Д复制，并且相关过程Vη（Д，eAC）是Qζ、γ、ν下的真鞅。

在事件{t<τ}上，对于每个t，则nVpt（ν，AC，R）等于∈ [0，T]，Vpt（ν，AC，R）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1deACu+CT（BηT）-1{τ>T}- Rτ（Bητ）-1{τ ≤T}燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νZbτt（ηu-\'fu）fu（Bηu）-1du+Xj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1件燃气轮机（3.36）+BηtEQζ，γ，νdXi=1Zbτt（(R)hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1du+mXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机.在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BηtEQζ，γ，ν-Z（t，bτ）（bηu）-1水- θτ（Bητ）-1{τ ≤T}+ZbτT（ηu-\'fu）fu（Bηu）-1件燃气轮机+ BηtEQζ，γ，νXj=1Zbτt（ηu- ζju）Dju（Bηu）-1du+dXi=1Zbτt（(R)hiu- γiu）Hiu（Bηu）-1件燃气轮机（3.37）+BηtEQζ，γ，νmXi=d+1Zbτt（ηu- νiu）Hiu（Bηu）-1du+Zbτt（(R)cu- ηu）Cu（Bηu）-1件燃气轮机其中，有效费率f、H和c分别由（3.34）、（3.35）和（3.5）给出。证据在引理3.5中，定理3.2的证明类似于定理3.1的证明，因此省略了它。3.4.3具有资金、违约和流动性的非线性风险中性评估。根据使用短期利率计算的净价格，REM 3.2可用于确定对交易者价格的各种调整的贡献。为此，可以使用定理3.2的以下结果，这与推论3.2相对应。回想一下，我们使用了简写符号Qr=Qr，r，r。如第3.3.2节所述，我们假设事件{τC=τI}在Qr下可以忽略不计，因此，在不损失一般性的情况下，CSA收尾付款θτ假定由（2.5）给出。推论3.3。在{t<τ}事件下，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=BrtEQr-Z（t，bτ）（Bru）-1水- θτ（Bητ）-1{τ ≤T}+ZbτT（ru-\'\'fu）fu（布鲁）-1件燃气轮机+ BrtEQr公司dXi=1Zbτt（ru-(R)hiu）Fiu（Bru）-1du+Zbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.

（3.38）我方维持第3.3.1 a节中关于CSAcloseout Payoffθ确切规格的假设。还记得，排除了共同违约的可能性。然后，命题3.1可以很容易地扩展到涵盖非线性设置的情况。在方程式（3.30）中，需要分别用“f”、“HIA”和“c”替换f、hiandc。下一个结果的证明类似于Propo position 3.1的证明，因此省略了它。融资成本、违约和抵押下的估值27提案3.2。根据（3.27）给出的无风险平仓估值Q，在{t<τ}事件中，每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+BrtEQr{τ ≤T}{τC<τI}LCΥ+- 1{τI<τC}LIΥ-燃气轮机+ BrtEQr公司Zbτt（ru-\'\'fu）fu（布鲁）-1du+dXi=1Zbτt（ru-(R)hiu）Fiu（Bru）-1件燃气轮机（3.39）+BrtEQrZbτt（(R)cu- ru）Cu（Bru）-1件燃气轮机.命题3.2反过来导致（A、C、R、τ）的除息价格e正式分解为其“净”价格和估值调整（其解释见第3.3.2节），这将在每t∈ [0，T]，πT（A，C，R，τ）=πrt（A）+CVAt- DVAt+FVA’ft+mXi=1FWA’hit+LVAt。（3.40）3.4.4非线性BSDE估价和HedgingAs采用线性设置，定理3.2和推论3.3未提供交易者价格的封闭式表达式，因为其右侧涉及多个未知过程。事实上，关联的BSDE是非线性的，所以它的解（如果存在且唯一）不明确。在交易者初始禀赋为零的长期假设下，方程（3.33）得出了投资组合价值Y的以下非线性BSDE：=Vp（Д，eAC）和对冲比率（U，Z）：=（κ，ξ）（复制策略的剩余成分可用引理3.3找到）。

那么等式πt（A，C，R，τ）=Yt- 对于每个t，t保持事件{t<τ}∈ [0，T]。提案3.3。投资组合的价值Y=Vpt（Д，eAC）和对冲比率（U，Z）=（κ，ξ）满足Yt=\'\'ftbYt-dXi=1'hitZitSit- ？ctCtdt+Xj=1UjtdDj（t，t）+mXi=1ZitdSit+deAt+deCtwherebYt=Yt-Xj=1UjtDj（t，t）-mXi=d+1 Zitsitand from（3.34）–（3.35）(R)ft：=flt{bYt≥0}+fbt{bYt<0}，\'命中：=hi，lt{ZitSit<0}+hi，bt{ZitSit≥0}，\'ct：=clt{ct<0}+cbt{ct≥0}.bτ处的终端条件为Ybτ=1{τ>T}CT- 1{τ ≤T}Rτ，其中回收率Rτ等于（分别见（3.10）和（2.4）），Rτ=1{τC<τI}（RCΥ+- Υ-) + 1{τI<τC}（Υ+- RIΥ-)式中，Υ=Qτ- Cτ-.给定风险as集的任何特定半鞅模型，通常可以证明定价BSDE在适当的随机过程空间中具有唯一解。例如，Nieand Rutkowski[30，31，32]研究了一个合同（a，C）（因此违约不被视为e d）的估值和对冲，该合同同时具有外部和内部抵押。28 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowski4市场不完整在上一节中，我们假设我们正在评估的合同可以得到回复。现在，我们想简单地检查一下，如果放松这个假设，会发生什么。我们将集中讨论以下情况：合同受到银行和交易对手双方的影响，而银行不能交易自己或交易对手的债券（即κ=κ=0）。为了进一步简化设置，我们假设所有对冲工具都在回购市场上交易（即d=m），并且回购利率是所有头寸和交易方向的sa me（即hi，l=hi，b=HF）。此外，我们将在与第3节更为相似的框架中重新解释第2.7节的一些发现。

为此，我们假设借款账户BBsatiesDBBT=fbtBbtdt- LIBbt-d1{t≥τI}。这模拟了这样一个事实，即在银行违约时，只有一个分数RI=1- 银行的贷款将偿还给债权人。由于我们的模型中包含违约，我们还将利用方程式（3.7）和（3.8）来确定合同产生的现金流。为了对无法复制的合同进行估价，我们需要稍微扩展第3节交易策略的定义，包括合同本身。更具体地说，我们感兴趣的是购买并持有形式为（1，ψlt，ψbt，ψ，…，ψd，ξ，…，ξd）的策略，其中1表示银行持有的一单位衍生资产。本质上，我们在本小节中的估价论据是基于这样一种理念，即合同交易的扩展市场模型应保持无关税。更具体地说，我们将假设该合同已经由银行持有，并且我们对过程π进行研究，以便银行的减赤财富在选定的市场衡量下具有鞅属性。因此，π在这里被理解为银行准备在任何给定日期t出售合同的价格。因此，π的签署公约与第2节之前采用的公约一致，与第3节的惯例不同，在第3节中，我们检查了银行在时间t可以输入的合同的基于复制的估价。我们分别用Wt（Д，AC，R）和Wpt（Д，AC，R）表示财富和投资组合的价值，以便在事件{t<τ}时，Wpt（ψ，AC，R）=πt+ψltBlt+ψbtBbt+dXi=1（ψitBit+ξitSit）=πt+ψltBlt+ψbtBbt=πt+Ft（4.1）和Wt（Д，AC，R）=Wpt（Д，AC，R）- 其中，π是πt（A，C，R，τ）A的s horthand，其中我们使用等式ψitBit+ξitSit=0。

回想一下，关于抵押品的惯例是Ct>0表示银行收到抵押品，而Ct<0表示银行将其过账。因此，需要在抵押品账户前填写minussign，因为如果银行清算所有资产，则财富Wt（Д，AC，R）是银行在时间t时将获得的。在违约时间，投资组合的价值和财富满足{τ≤ T}，Wpτ（Д，AC，R）=Wτ（Д，AC，R）=Rτ+ψlτBlτ+ψbτBbτ。（4.2）该策略的增益过程由[0，T]给出，Gt=1{T<τ}πT+ZtψludBlu+Ztψbu-dBbu+dXi=1ZtξiudSiu+ZtψiudBiu+ZtdAC，Ru- 1{t<τ}ct其中我们定义了AC，Ru=deAu+deCu- 1{u<τ}cuCudu+d（1{u≥τ}Rτ），我们记得eat=1{t<τ}At+1{t≥τ}Aτ-andeCt=1{t<τ}Ct+1{t≥τ}Cτ-. 我们只考虑自我融资策略，即满足[0，T]Wt（Д，AC，R）=W（Д，AC，R）+Gt- G、 在融资成本、违约和抵押29项下对贬值财富的估值Wηt（Д，AC，R）：=（Bηt）-1Wt（Д，AC，R），我们得到Wηt（Д，AC，R）=Wη（Д，AC，R）+Gηt- Gη，其中dgηu=（Bηu）-1dπu+（Bηu）-1ψludBlu+（Bηu）-1ψbu-dBbu+dXi=1（Bηu）-1（ξiudSiu+ψiudBiu）- （Bηu）-1{u<τ}cuCudu+（Bηu）-1水+（Bηu）-1d（1{t≥τ}Cτ-) + （Bηu）-1d（1{t≥τ}Rτ）- ηu（Bηu）-1（πu+ψluBlu+ψbuBbu）du+ηu（Bηu）-1{u<τ}Cudu。为了进一步研究，我们提出了一个假设，即过程Gη是一个鞅，在概率测度e Qh下的过滤G，这是定义3.7中引入的测度Qζ，γ，ν的特例。更明确地说，概率度量Qhis的特征是过程'Si=（Bh）的性质-1Si，i=1，2，d或等效的过程ESD'Sit=（Bht）-1（dSit- htSitdt）（4.3）是Qh局部鞅s。备注4.1。因为在本节中，我们讨论的是一个不完整的市场模型，所以概率测度qh的唯一性无法成立。

因此，应该承认，我们在下文中呈现的潜在评估结果实际上取决于对特定度量Qh的选择。当t<bτ=τ时，Gη在Qhyields下的假设鞅性质∧ T，EQh（GηT∧τ- Gηt∧τ| Gt）=EQh（Gηbτ- Gηt | Gt）=0，因此我们在事件{t<bτ}上得到，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1ψludBlu+Zbτt（Bηu）-1ψbu-dBbu+dXi=1Z（t，bτ）（bηu）-1（ξiudSiu+ψiudBiu）燃气轮机+ EQhZ（t，bτ）（bηu）-1水-Zbτt（Bηu）-1'cuCudu+1{τ<T}（Bητ）-1（Rτ+Cτ-)燃气轮机- EQhZbτtηuψluBludu+ZbτtηuψbuBbudu-Zbτtηu（Bηu）-1 CUDU燃气轮机其中，我们使用简写符号πtf表示过程πη，ht（A，C，R，τ）。我们用表达式代替微分，并使用（2.4）以及等式ξiuSiu+ψiuBiu=0来获得事件{t<bτ}，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1（(R)fu- ηu）Fudu+Z（t，bτ）（bηu）-1deAu+Zbτt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机+ EQh{τ<T}（Bητ）-1（Qτ+1{τ=τI}LI（QτI- CτI-)-- LIψbτI-BbτI-燃气轮机- EQh{τ<T}（Bητ）-1{τ=τC}LC（QτC- CτC-)+燃气轮机式中，ft=ψltBlt+ψbtBbt=（Wt- πt+Ct）+- （重量- πt+Ct）-= F+t- F-t30 Brigo、Buescu、Francischello、Pallavicini和Rutkowskiand Wt=Wt（Д，AC，R）。方程（4.1）给出了关于{t<bτ}，（bηt）-1πt=EQhZbτt（Bηu）-1（(R)fu- ηu）（吴- πu+Cu）+- （吴- πu+Cu）-杜邦燃气轮机+ EQhZ（t，bτ）（bηu）-1deAu+Zbτt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机（4.4）+等式{τ<T}（Bητ）-1.Qτ+1{τ=τI}LI（QτI- CτI-)-- 1{τ=τC}LC（QτC- CτC-)+燃气轮机+ EQh{τ<T}{τ=τI}LI（Bητ-)-1（Wτ-- πτ -+ Cτ-)-燃气轮机.先验地，上述暂定定价公式中的右侧取决于所选战略的财富过程sW。

然而，如果我们将'ft=ηt{ft>0}+（sft+ηt）设置为1{ft≤0}如果SFT是银行的融资利差，与现行存款利率ηt相对应，那么很明显，如果融资利差“公平”，即如果银行的违约和恢复被市场正确定价，则等式（4.4）右侧的第一项和最后一项可能会被抵消。为了更详细地检查最后一条语句，我们表示Yt=（Bηt）-1（重量- πt+Ct）-并检查净融资/违约收益DVAf，-t型- FCAft，在当前设置中由以下表达式jt给出：=EQh{τ<T}{τ=τI}liτ-| 燃气轮机- EQhZbτtsfuYudu燃气轮机.我们的目标是提供明确的条件，使银行的净资金收益消失。为此，我们假设Li是一个常数和默认时间τIandτCare，在Qhw下与参考滤波器F（例如，参见[7]中的示例9.1.5）和抗突变强度λIandλC条件独立。那么τ的强度=τI∧τcsatiesλ=λI+λc，我们可以使用基于标准强度的方法来完成Jt的计算（例如，参见[7]中的命题5.1.1和5.1.2以及[6]中的引理3.8.1）。特别是，我们认为{τ<T}{τ=τI}YτI-| 燃气轮机- EQhZτ∧TtsfuYudu燃气轮机= 1{t<τ}EQhZTte∧t-∧uLIλIuYudu英尺- 1{t<τ}EQhZTte∧t-∧usfuYudu英尺其中，τ满足度∧t=Rtλudu的危险过程ss∧。因此，如果sft=LIλItfor all t∈ [0，T]，则Jt=0表示所有T∈ [0，T]因此等式FCAft=DVAf，-满足所有要求∈ [0，T]。这表明，在某些情况下，融资成本可能会完全影响违约收益（类似考虑见第2.7节）。我们通过陈述该命题来结束本文，该命题可以看作是L emma2.1的延伸，也是与命题2.2相关的lso。

回想一下，我们工作的假设是，对于任何自我融资策略，过程Gη是Qh下的鞅。我们表示πη，ht（A）：=BηtEQhZ（t，t）（Bηu）-1道燃气轮机andQη，ht：=BηtEQhZ[t，t]（Bηu）-1道燃气轮机= Aτ+πη，hτ（A）。以下结果表明，如果对银行的交易安排进行充分建模，则不会出现因银行违约可能性而产生的重复计算收益，尽管净融资/违约收益不一定会消失。融资成本、违约和担保下的估值314.1号提案。假设Li是一个常数，默认时间τi和τCare条件依赖于Qhw下的参考过滤F。让Qhw下的银行故障时间τi的强度与过滤F的强度等于λi，并让所有t∈ [0，T]\'ft=ηT{ft>0}+（LIλIt+ηT）1{ft≤0}以便银行的资金利差等于sft=LIλItfor all t∈ [0，T]。然后FCAft=DVAf，-t事件{t<τ}，使净融资/违约收益消失，除息售价πη，ht（A，C，R，τ）满足πη，ht（A，C，R，τ）=πη，ht（A）+BηtEQhZτ∧Tt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机+ BηtEQh{τ<T}（Bητ）-1.{τ=τI}LI（Qη，hτI- CτI-)-- 1{τ=τC}LC（Qη，hτC- CτC-)+燃气轮机其中Qη，hτ=Aτ+πη，hτ（A）。因此，价格πη，ht（A，C，R，τ）允许以下表示πη，ht（A，C，R，τ）=πη，ht（A）+LVAt+DVAt- CVAt。证据使用（4.4）并注意到，在目前的假设下，对于所有t，Jt=0∈ [0，T]，我们得到πη，ht（A，C，R，τ）=BηtEQhZ（t，τ∧T]（Bηu）-1多+Zτ∧Tt（Bηu）-1（ηu- (R)cu）Cudu燃气轮机+ EQh{τ<T}（Bητ）-1.Qτ+1{τ=τI}LI（QτI- CτI-)-- 1{τ=τC}LC（QτC- CτC-)+燃气轮机.如果我们假设Q=Qη，h，那么为了获得πη，ht（A，C，R，τ）的所需表示，它必须按照命题3.1的证明进行。

观察到，在命题4.1的假设下，除息s elling priceπη，h（A，C，R，τ）与所选策略的财富过程W无关。另请注意，数据和数据总是非负的。然而，LVAT的符号取决于η和c之间的关系以及c的符号。参考文献【1】Bichuch，M.、Capponi，a.和Sturm，s.：无套利XVA。即将出版的《数学金融》（MathematicalFinance）（DOI:10.1111/ma.12146）。[2] Bielecki，T.R.，Cialenco，I.，和Iyigunler，I.：信用评级触发和信用迁移的抵押CVA估值。《国际理论与应用金融杂志》第16期（2013），1350009。[3] Bielecki，T。R、 ，Cialenco，I.，和Rutkowski，M.：非线性市场模型中衍生品的无套利定价。即将出版的《概率、不确定性和定量风险》（arXiv:1701.08399）。[4] Bielecki，T.R.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.：信贷衍生品估值和对冲的PDE方法。量化金融5（3）（2005），257–270。[5] Bielecki，T.R.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.：cre dit ris k的建模和评估。摘自：Frittelli，M.和Runggaldier，W.（编辑），《金融随机方法》，柏林斯普林格出版社，2004年，第27–126页，[6]Bielecki，T.R.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.：信用风险建模。大阪大学大阪分校，2009年。32布里戈、布埃斯库、弗朗西斯·凯洛、帕拉维奇尼和鲁特科夫斯基【7】比莱基，T。R、 和Rutkowski，M.：《信用风险：建模、估价和对冲》。柏林斯普林格，2002年。[8] Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.：具有融资成本和抵押的合同的估值和对冲。《暹罗金融数学杂志》第6期（2015），594-655页。[9] Brigo，D.、Buescu，C.和Rutkowski M.：作为修改期权定价的融资、回购和信用包容性估值。

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