此外，继Fama和French（2016年）之后，基金领域还加入了15套单变量排序的十分位数投资组合，涵盖了一系列领域，其中大多数都不是被动基准的目标。这15个十分位投资组合分为四组：1）FF因子组，包含40个基于市值（规模）、账面市值（B/M）、盈利能力（OP）和投资（INV）形成的十分位投资组合；2） 估值组，包含30个按市盈率（E/P）、现金流量市盈率（CF/P）和股息收益率（D/P）计算的十分之一投资组合；3） 先前收益组包含30个基于动量（MOM）、短期反转（STR）和长期反转（LTR）形成的十分之一投资组合；4）其他异常组，包含50个十进制投资组合，形成于应计项目（AC）、净股票发行（NI）、市场贝塔（beta）、方差（VAR）和剩余方差（RVA）。总之，基金领域包含4*25个双重分类投资组合，3*32个三重分类投资组合，再加上150个十分位投资组合，共计346个代表各种风格导向投资策略的投资组合。我们试图解释346只主动基金中随机选择的子集的超额回报。我们的模拟程序将Kothari和Warner（2001）的设计扩展到了给定月份的多端口组合池。具体而言，对于每个月的t，我们从346个Fama French投资组合中随机选择n=10、25、50、100、200个基金，不进行替换。对于不知道产生回报的真正因素的计量经济学家来说，每个投资组合都代表着一个基于风格的主动基金，被选择的可能性相等。一旦选定，基金池将持有36、60、120、240、360个月，以便在期末进行绩效评估。

评估期的长度模拟了可用基金历史的不同样本大小。用n和L表示基金数量和评估期长度的交集。例如，n=25和L=120表示的n必须严格小于L，以便残差协方差矩阵是可逆的。即使当n较小但接近L时，剩余协方差矩阵的估计也有很大的抽样误差，其逆矩阵很差。从1963:07开始，每个月t，从346个FamaFrench投资组合中随机选择25只基金，并持有120个月，直到1973:06对基金池进行评估和排名。在下个月1963:08，将随机创建一个由25只基金组成的新基金池，并将其持有120个月，直到1973:07进行评估。该滚动窗口每月重复一次，直到t=2007:01，25只基金持有120个月，直到2016:12，即样本期结束。因此，该模拟程序创建了522个随机分层活跃基金的重叠样本，在每个评估期结束时对这些基金的绩效进行评估和排名。被动基准数据包括六个因素的月度回报（MKT SMB HML RMWCMA UMD）。全样本时间为1963:07至2016:12，共642个月观测值。我们考虑了不同长度的子样本来模拟基金收益的可用历史。有关基本资产和被动基准的所有数据都来自French教授的数据库。对于横截面中的每个基金i，其绩效通过上述五个模型（四个错误指定加上真实模型）括号中所示的各种因素进行评估。

例如，如果使用真实模型FF6测量技能，则执行以下时间序列回归：Rit-Rft=αi+biMKTt+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+uiUMDt+它，（18）其中，风险投资指数是指在给定的一组随机选择的基金中，投资组合i的t月回报率，t表示评估期的每个月。a和 使用真实模型从时间回归中生成，和 分别由CAPM、FF3、Carhart4和FF5的时间序列回归产生。截距向量（和a）和残差协方差矩阵( 和) 在滚动窗口的基础上，从重叠样本的各个模型中获得。为每个样本计算三个性能度量（*、IR、GIR）。收集并比较了三个度量值的重叠时间序列，以获得第1.3.2节中描述的各种统计数据和距离度量值，月度绩效估计值为真实残差协方差矩阵的倒数（Bai和Shi，2011）。我们首先给出这些情况的模拟结果，然后在第3.4节中提出解决方案。表2-6中报告的模拟结果可以用10个

在第一个视图中，我们确定了L的性能度量。在第二个视图中，我们确定了L的性能度量。不同模型规范下的比较结果显示在两个视图下。3.2.1基线结果（n=25，L=120）[在此插入表2]我们使用n=25个基金和L=120个月作为基线设置，以解释模拟结果的详细信息。由于nand L不同，基线结果可作为其他结果解释的比较参考。表2的面板A.3（以粗体显示）报告了CAPM、FF3、Carhart4和FF5下的基线结果，这些结果被设计为相对于truemodel FF6的错误指定程度逐渐减小。前四列中的值是公式（17）中定义的距离度量522次重叠观测的时间序列平均值，用于测量错误指定模型和真实模型之间每个性能度量的平均横截面离散度（即和平方差的平方根）。这些距离值的单位是每单位剩余风险的异常回报，可以解释为将等式（11）中的P*质量移动到等式（14）中的Q*的最小成本。例如，*CAPM=0.76意味着，如果在CAPM下使用归一化alpha作为绩效度量，则将25种风格的基础投资基金的P*~ N（*，I）质量移动到Q*~ N（a*，I）的平均最小成本为每单位同质剩余风险0.76。IRCAPM=0.69表明IR是一种更好的性能指标，可将运输成本降低0.07。此外，GIR是最好的绩效衡量标准，可以最大程度地降低成本。与IRCAPM=0.69相比，GIRCAPM=0.49进一步降低了0.20的成本。

三个性能指标的统计显著性通过均值差t检验进行，并在最后四列中报告相应的t统计量。例如，在CAPM下，t(* IR）=5.56，t（IR GIR）=19.72，t(* GIR）=23.68表明各自的平均差异都非常显著，使用GIR衡量绩效会产生最显著的改善。通过检查从CAPM到FF5的各个模型的性能度量，我们发现所有三个度量都存在单调递减模式。例如，运输成本从GIRCAPM=0.49减少到GIRFF5=0.19，减少了0.30。在我们的对照实验中，这仅仅是从CAPM到FF5的模型规格错误程度减少的证据；直观地说，FF5比其他三种模型更接近真实模型，这可以通过其与真实模型的最小距离来验证。这一发现表明，更好的指定模型确实有助于获得更精确的性能评估。更重要的是，在所有模型中，三个绩效衡量指标的模式是一致的：GIR是最好的衡量指标，IR排名第二，而*根据距离度量，排名最后，支持假设1。a、 如前所述，这是因为GIR充分利用剩余协方差信息，IR使用部分信息，而*不使用任何信息。此外，我们发现了与假设2一致的有力证据：模型的错误描述越多，使用GIR作为绩效衡量指标的效益越大。通过比较CAPM（最大错误指定模型）和FF5（最小错误指定模型）的平均差t统计量的显著性，可以证明这一点。

在CAPM下，IR系列和GIR系列之间的平均差异的t统计量，t（IR GIR）为19.72，*系列和GIR系列之间的平均差t(* GIR）为23.68。两个值都大大高于T（IR GIR）=7.20和t(* 在FF5下，GIR）=11.77，表明当模型严重错误时，使用GIR来衡量绩效的收益更大。在不同模型下交叉比较绩效指标，使用距离等效指标来解释替代效应，在经济上也有意义。这个概念受到Grinblattand Titman（1994）的启发，他将基准的选择与绩效评估模型的选择进行了比较，发现基准的选择要重要得多。为了说明替代效应，我们在面板A.3中显示，GIRCAPM=0.49大约相当于IRFF3=0.50的距离，这表明在CAPM下使用GIR与在FF3下使用IR产生相同的距离（到真实模型）。这意味着，性能度量的选择可以替代模型选择的影响，即在规定较差的模型下使用稳健的性能度量会产生与在规定较好的模型下使用较差的性能度量相同的横截面色散（相对于真实模型）。面板a.3中还有其他几个距离等效结果的实例。GIRFF3=0.40表示距离等于*FF4=0.41，GIRFF4=0.31表示距离等于*FF5=0.31。这些结果进一步证明了鲁棒性能度量对指定较差的模型的替代效应。3.2.2不同评估期长度对n=25的影响，以L=120（面板A.3）为比较基准，面板A.1、A.2、A.4和A.5分别显示了L=36、60、240和360个月的结果。

通过跨面板检查，我们发现，从面板A.1（L=36）到面板A.5（L=360），所有距离值都呈单调递减，但递减率较小。以FF5为例，女孩=36=1.07，女孩=60=0.29，女孩=120=0.19，女孩=240=0.18，女孩=360=0.17。这种模式是随着基金收益率样本量的增长，估计残差协方差矩阵的精度提高的结果。特别是，当基金数量n=25接近样本量L=36时，估计残差协方差矩阵变得非常不精确，超出了所有模型的GIR值，如面板A.1中的负t统计所示（解决方案参考第3.4节）。对于这种情况（n=25 L=36），我们还发现，对于所有模型，IR产生的距离值都比*低。这些结果与假设1一致。残差方差中的信息主要由估计误差控制，但残差方差中仍然包含有价值的测量技能信息。然而，样本量的增加有效地解决了估计问题。当n固定在25时，样本量L越大，使用GIR度量的好处就越显著。这些好处可以通过替代效应的距离等效度量直观地进行评估。例如，对于面板A.5中的n=25和L=360，GIRCAPM=0.39接近于距离等于*FF4=0.36，GIRFF3=0.32是距离等于*FF5=0.31，这表明替代效应比面板A.1到A.4中较小的样本量更强。

与其他面板相比，更显著的均值差异t统计也证实了更强的替代效应。参考上述n=25的基线结果，下面我们分别讨论表2的B、C、D和E组中n=10、50、100和200的结果，评估期L从36个月增加到360个月。对于所有小组，我们观察到与基线结果一致的模式：与使用α*和IR来衡量绩效相比，使用GIR通常有显著的收益，证实了假设1。a、 下面，我们首先研究随着样本量L的增大，估计残差协方差矩阵的精度提高的影响。我们发现，在每个面板中，随着评估周期的增加，所有四个模型中所有三个性能度量的距离值都单调减少；模型越不准确，距离值的减小越显著。例如，在B组（n=10），当L=36个月时，GIRCAPM=0.71；当L=360个月时，GIRCAPM=0.31，减少0.40；相比之下，当L=36个月时，GIRF5=0.25，当L=360个月时，GIRF5=0.12，减少0.13。这些结果与假设2是一致的。接下来，我们将研究基金数量对绩效衡量的影响。一般的发现是，随着基金数量的增加，使用GIR的收益会越来越大。我们可以使用距离等价度量来评估替代效应。对于n=200和L=360，最显著的替代效应如图E.2所示，即GIRCAPM=0.49小于IRFF5=0.67和α*FF5=0.94。这表明，在最大错误指定模型（CAPM）下使用GIR比在最小错误指定模型（FF5）下使用其他两种度量方法表现更好。

相比之下，当基金数量较少时，即小组B.5中的n=10和L=360，选择GIR而不是α*和IR的好处仍然非常显著，如平均差t统计所示；然而，效益并没有n大时那么大。最后，在基金数量n接近估值期长度L的情况下，即n=25 L=36，n=50 L=60，n=100 L=120，我们发现，GIR产生的距离度量值变成了无意义的值。这是由于估计问题造成的，即估计的残差协方差中的噪声量超过了信息内容。我们进一步研究了这个问题，并在第3.4节中提出了一个简单的解决方案。然而，在所有这些情况下，剩余方差仍然包含有用的信息，使得IR的距离小于*，即t(* IR）总是非常积极。这些病例的结果支持假设1。b、 图1绘制了由*、IR和GIR生成的距离度量的时间序列模式，对于n=200和L=360的情况，每个模型作为单独的图。这四个图让我们可以直观地看到，每个月，我们的模拟生成的三个性能度量之间的最大距离差异。在每个曲线图中，我们发现*和IR序列彼此之间的变化非常密切，并且随着时间的推移，这两个序列都表现出相当大的不稳定性。相比之下，GIR系列远远低于*和IRseries，并且随着时间的推移非常稳定。时间序列图，加上表2 Panel E中的汇总统计数据，为使用GIR作为稳健绩效衡量指标的最大潜在收益提供了有力的证据。[在此处插入图1]3.2.3不同数量的FundsAbove子节的影响侧重于不同L对每个n的绩效衡量的影响。

本小节通过固定L并检查不同n对性能度量的影响来改变观点。为此，我们首先提出了一个稍微修改的距离度量。请注意，表1和表2中的距离度量涉及运输整个横截面的分布（即总距离或TD），因此距离值随着资金数量的增加而增大。例如，对于表2每个面板中的L=360，对于n=10，GIRFF5=0.12，对于n=25，GIRFF5=0.17，对于n=50，GIRFF5=0.20，对于n=100和200，GIRFF5=0.22。我们注意到，随着n的增大，距离值的增加速率逐渐减小。为了评估不同数量基金的绩效指标，我们将平均距离（AD）定义为均方差的平方根，即用公式（17）中的距离度量除以n的平方根。该AD度量标准化了基金数量，以便不同n的基金池可以与每个基金的平均距离进行比较。还要注意的是，AD的平均差t统计数据与表2中TD的平均差t统计数据没有变化。[在此插入表3]表3显示了不同数量基金之间的平均距离值，方法是固定面板A中的L=36，面板B中的L=60，面板C中的L=120，面板D中的L=240，面板E中的L=360。我们发现*和IR的平均距离值通常保持不变，或者随着N的增长呈现出轻微的增长模式。以面板C中的L=120为例，*CAPM=0.15表示n=10和25，0.16表示n=50和100；对于n=10、25、50和100，IRCAPM=0.14*其他型号的IR显示出类似的模式。相反，随着n的增加，GIR明显呈现出下降的模式，除了少数情况下n接近L（解释见第3.4节）。

这是面板E中L=360的最佳示例，其中GIRCAPM=0.10表示n=10，0.08表示n=25，0.06表示n=50，0.05表示n=100，0.03表示n=200。其他模型和其他面板中的GIR通常表现出类似的模式，但面板D中的L=240除外，其中n=200的距离值似乎大于n=100的距离值（有关说明，请参见第3.4节）。这些结果证实了上一小节的研究结果，即当基金数量较大时，使用GIR作为绩效衡量指标更为有利。这种效益可以通过替代效应的距离等效度量进行评估。为了举例说明，请注意，在每个面板中，从CAPM到FF5的模型之间的平均距离急剧减小，即模型规格错误程度减小的结果。我们现在将评估期的长度固定为L=360，如图E所示。当n=10的基金数量很小时，GIRCAPM=0.10是相当于*FF3=0.11的距离。当n=50时，GIRCAPM=0.06是相当于*FF5=0.06的距离，这表明使用GIR作为性能度量可以替代指定错误的模型的影响。特别是，当基金数量较大时，与在最小错误指定模型（FF5）下使用IR相比，在最大错误指定模型（CAPM）下使用GIRCAPM比在最小错误指定模型（FF5）下使用IR更接近真实模型，即GIRCAPM=0.05和0.03，而在n=100和200时，IRFF5=0.05和0.05。这些结果只是提供了与表2不同的观点，以支持假设1。a和2.3.3在本节的绩效样本中，我们探讨了在三个绩效指标上排名的模拟基金在Alpha中的持续性。

模拟程序与上一节中描述的程序类似。具体而言，对于每个月的t，我们从346个Fama French投资组合中随机选择n=10、25、50、100、200个基金，不进行替换。然后，所选基金组的持有期限为L=36、60、120、240、360个月。在评估期结束时，我们分别按*、IR和GIR对基金进行排名，并根据每个绩效指标选择排名前五位和排名后五位的基金。然后，通过对顶级五分之一基金持有多头头寸，对底层五分之一基金持有空头头寸，形成一个多空组合，并在下一年（样本外）计算相等的加权组合回报，并根据今年的时间序列回归计算Alpha。接下来，我们滚动一个月，重复这个过程，直到样本结束。最后，我们计算了所有样本年内这些α的时间序列平均α（）、时间序列标准偏差（）和时间序列t统计量t（）。使用科塔里（Kothari）和沃纳（Warner）（2001）使用的Newey和West（1987）方法，时间延迟为5，对t统计量中的标准误差进行序列相关调整。[在此插入表4]表4根据CAPM、FF3、Carhart4和FF5下的*、IR和GIR排名，报告了n=10、25、50、100、200个基金数量和L=36、60、120、240、360个月评估期的样本外绩效结果。A（）、（）和t（）的值显示在每个面板的三行上。我们首先从所有面板第二行的（）值说明Alpha的时间序列稳定性。表4中最值得注意的发现是，根据GIR排序的长短组合在不同的模型、不同的评估期长度和不同的基金数量中一致产生最低的（）。

这表明使用GIR识别技术型基金具有显著的稳定性。此外，*、IR和GIR之间的α标准差差异与基金数量呈正相关。基金数量越多，按GIR排名的样本外Alpha越稳定。例如，在FF5下检查L=240，n=10，我们发现*、IR和GIRrankings产生的（）分别为0.93%、0.87%和0.84%，即彼此之间只有很小的差异。Asn增加到25、50、100和200，（）在所有三个排名下单调下降，因为长空投资组合变得越来越多样化，在顶部和底部五分位有更多的基金。更重要的是，随着n的增大，按GIR排序的（）的减少幅度远远大于按*排序的（）和IR。对于n=200，（）由*、IR和GIR排名产生，分别为0.38%、0.34%和0.15%，最后一个值小于前两个值的一半。这些结果表明，当大量基金汇集在一起进行评估时，基金绩效变得更加稳定。这是因为大型池最有效地利用了剩余协方差信息，并表明利用- 链接可以帮助识别表现波动性小得多的基金。接下来，我们检查表4面板第一行的平均αA（），重点是性能度量的基准稳定性。性能度量的基准稳定性是指其对被动基准变化的鲁棒性。这种稳定性的概念可以通过跨模型标准差a（）直观地接受，用std（）表示，它测量a（）在不同模型之间的分散度。

我们发现，除了一个或两个小的例外，GIR ranking生成的平均Alpha在模型中的分布最小。例如，在n=25和L=120的面板中，如果按*排序，std（）为0.137%，如果按IR排序，则为0.11%，如果按GIR排序，则为0.076%。随着基金数量的增加，基准稳定性更加明显。特别是，当n达到200时，GIR排名产生的std（）比*和Inranking产生的std（）小两到三倍。基准稳定性提供了样本外证据，表明GIR最不容易受到模型选择的影响。最后，在表4的每个面板中，第三行显示了样本外t统计量t（），计算得出的asA（）除以通过Newey和West方法调整序列相关性的标准误差。t（）衡量业绩指标识别重要基金技能的能力，给出了衡量异常回报的特定基准模型。在大多数面板中，我们发现使用GIR torank顶级五分位数和底层五分位数基金产生的t统计数据最高。同样，GIR相对于*和IR的绩效取决于评估池中包含的资金数量。当基金数量较大时，n=100或200，GIR在所有模型中始终产生最高的t统计数据。此外，我们发现，最高的t统计量主要归因于GIR产生的低α标准差。如前所述，当n=100或200时，GIR下的（）通常比*和IR下的（）低两到三倍。总结我们基于月收益率的绩效衡量模拟结果，我们发现GIR在样本距离度量和样本外组合收益率方面对所选基金的绩效产生了最稳定的衡量。

稳定性结果表明，GIR对由任何形式的管理者协变量引起的Benchmark误差或相关残差具有鲁棒性。当模型更不准确、被评估基金数量更大以及评估周期更长时，使用GIR的潜在收益更大。至于其他两个指标，我们发现在所有模拟结果中，IR始终优于*（即基于比率的归一化Alpha产生与基于回报的Alpha相同的性能等级，见脚注11）。即假设1。任何模拟结果都不支持c。总的来说，我们的月度结果强烈支持在衡量技能时充分利用剩余协方差信息。3.4每周绩效从前面的小节中，我们注意到，当评估期短时，即L=36个月时，使用GIR度量的结果不稳定。特别是，当基金数量接近基金可用历史记录时，即n=25 L=36，n=50 L=60，n=100 L=120，距离度量将变成无意义的值。这些都是模拟结果与假设1一致的情况。B代替1。a、 这些令人不快的结果是由于当n接近L时，剩余协方差矩阵的估计中存在大量抽样误差。Bai和Shi（2011）表明，即使样本估计（用S表示）是总体∑的无偏估计，其逆可以是∑的apoor估计量（也就是说，需要进行反向运算来计算GIR）。在推导GIR所需的正态消耗下，逆的期望值由下式给出[]=[Σ].在月度模拟中，[]=4.[Σ] 对于n=25，L=36；[]=7.5[Σ] 对于n=50，L=60；和[]=6.7[Σ] 对于n=100，L=120。

在这些情况下，估计误差压倒性地超过了残余协方差矩阵中嵌入的信息内容。经验法则是要求L的跳动量至少是n（L）的两倍 2n），因为当n=L/2+2时，[]=2.[Σ] （白和石，2011）。我们可以验证，当这个条件满足时，我们的模拟总是产生与假设1一致的预期结果。a、 在本小节中，我们旨在解决估计精度问题。解决方案在于找到残差协方差矩阵的更精确估计。幸运的是，我们从Merton（1980）那里了解到：1）从历史观察中可以比预期收益更精确地估计收益的方差；2） 在观测周期的固定长度内，通过选择更精细的观测间隔，可以提高方差估计的精度。这些理论结果促使我们将L=36个月的数据频率提高到每周回报率，因为最短的样本量会产生最大的估计误差。这也符合Busse（1999）的精神，他指出，分析每日资金回报可以发现管理人员的技能在月度回报中并不明显。然而，与他不同的是，higherIR的使用与阿尔法t统计量密切相关，例如，参见Goodwin（1998）。我们的模拟结果与Kosowski、Timmermann、Wermers和White（2006）的发现一致，即阿尔法t统计量排名比阿尔法识别熟练管理者更有效。为了估计时变波动率，我们的目的是解决估计高维协方差矩阵的问题。我们选择了175个Fama French投资组合，其每日收益来自法国数据库。

其中包括25个B/M规模投资组合、25个OP规模投资组合、25个INV规模投资组合、25个B/M规模投资组合、25个B/M规模投资组合、25个OP规模投资组合和25个MOM规模投资组合。对每日回报进行累计，以计算这175个投资组合以及用作被动基准的六个因素（MKTSMB HML RMW CMA UMD）的每周回报。对于n=10、25、50、75和100个基金数量，我们对L=156周（36个月）的月度数据执行相同的模拟程序。模拟从1963:07的第一周开始，每周滚动窗口，直到evaluationsample到达2016:12的最后一周。每周，从投资领域中随机选择n=10、25、50、75和100支基金，每组选定的基金将持有156周，使用*、IR和GIR衡量标准，在四种模型（CAPM、FF3、Carhart4、FF5）下进行绩效评估，这四种模型的错误指定程度逐渐减小。此模拟过程为所选集合中的每个基金生成2632个重叠的时间序列值*、IR和GIR，基于这些值，Q的距离度量为基础。（17） 在每个模型和真实模型FF6之间计算。表5显示了四种模型下每个度量的总距离（集合中所有基金）、平均距离（集合中每个基金）和平均差异t统计（测量之间）。每周结果揭示了L=36个月的月度结果中未发现的许多程式化事实。首先，遵循经验法则（L 2n），样本大小的长度（L=156周）最多可包含78只基金进行评估，而L=36个月的基金最大数量不应超过18只。因此，我们预计每周的结果会产生更强的替代效应。从PanelA（n=10）到D（n=75）的替代效应越来越强可以看出这一点。

例如，使用总距离（TD）度量，当n=25（面板B）时，GIRCAPM=0.33替换*FF3=0.32，GIRFF3=0.23表示IRCarhart4=0.24；当n=50（面板C）时，GIRCAPM=0.41替代IRFF3=0.40；当n=75（面板D）时，GIRCAPM=0.48替代*Carhart4=0.47。随着n的增大，均值差t统计量也支持较强的替代效应。然而，我们也观察到，与D组中的n=75相比，E组中n=100时，GIR的性能恶化。这反映了上述估计高维协方差矩阵的问题，因为n接近L。当L的经验法则 应用2n，我们发现在n=75时，在L=156周时，GIR的性能最好。这又增加了一条有利于特别法庭的证据 2n规则。第二，检查面板A到D的平均距离（AD）度量，我们发现*和IR产生的AD值有轻微增加的趋势；相反，GIR产生的AD值呈单调递减模式，即0.079（n=10）、0.066（n=25）、0.058（n=50）和0.056（n=75）。这些结果进一步证明，用于评估的资金越多，使用GIR的收益就越大（只要  2n）。最后，通过检验均值差t统计量，我们发现周证据与假设2一致。GIR对CAPM的增益最大，FF3次之，Carhart4次之，FF5最小，与模型规格错误程度的顺序相同。[在此插入表5]表6按照相同的月度程序，展示了顶级和底层五分之一基金的多空组合的样本外表现。持有多空组合的样本期为26周（6个月）。

我们发现压倒性的证据表明，在所有模型下的所有面板A-E中（FF5下n=10的一个小案例除外），基于Girmease的选定基金组合实现了最低的阿尔法标准偏差（）和最高的t统计t（）。此外，GIR产生的交叉模型标准偏差std（）最低，表明不同基准选择的稳定性水平最高。随着基金数量的增加，所有这些福利指标变得单调地更大。值得强调的是，这些强有力的结果只能在很长的评估期内使用月度数据获得，即L=240或360个月。因此，本节表明，增加返回采样频率可以非常有效地使用GIRmeasure。[在此插入表6]4结论积极的管理者应该奖励Alpha而不是Beta。根据其自身的定义，只有在控制了所有相关效应的情况下，alphas才能衡量技能。然而，绩效评估文献记录了由于无效基准（Roll，1978）、管理者协变量（Wermers，2011）和基准博弈（Sensoy，2009）而产生的大量相关残差来源，使得在错误指定的模型下进行基于alphas的技能测量。本文提出=Σ/ 根据Jones和Shanken（2005）的“Learningover funds”精神，作为一种稳健的绩效衡量指标，不需要确定相关残差的来源。使GIR对模型错误具有鲁棒性的机制在于其通过缩放矩阵∑进行α调整/,  它将剩余收益中的共同性去关联，并将剩余方差标准化为一个单位矩阵。

也就是说，GIR将嵌入残余协方差矩阵中的信息转换为针对残余风险进行调整的Alpha。因此，只要α的大小与残差协方差矩阵正相关，较大的α及其叉积（由较差的模型无法解释）将进行更大的调整，从而减轻相关影响。幸运的是- 根据MacKinaly（1995）的arbitrageargument和Berk和Green（2004）的绩效流关系，理论上必须存在联系。与理论隐含的假设相一致，我们证明了GIR比现有指标（IRA和ALPHA）有实质性的收益，这些指标不考虑剩余相关性中的信息。在缺乏明确规定的模型下，大量基金的潜在收益更大。在这种情况下，CAPM下的GIR甚至比Fama-French五因素模型下的IR更接近其真实值；而Girraked投资组合的样本外波动率不到IR或Alpha排名的一半或三分之一。GIR的稳健性意味着，基准的选择、管理者协变量的存在以及管理者与基准博弈的动机，尽管仍然很重要，但在衡量和排列活跃基金池时，影响要小得多。它有助于缓解主动管理从业者和投资者对模型错误的担忧。正确使用GIR可以补充现有的基于alphas的研究，这些研究专注于确定基金回报率常见变化的来源。例如，文献建议acareful选择基准模型（Wermers，2011）、主动同行基准（Hunter、Kandel、Kandel和Wermers，2011）和非基准资产（Pastor和Stambaugh，2002）等，以获取相关残差。

在绩效评估中，应首先尝试这些方法，以获得良好的模型；一个好的模型的重要性已经在我们的仿真结果中得到了证明。然而，sinceno模型是完美的，管理者可能会以任何未确定的形式进行协同变化或博弈，在仔细选择模型后，可以依靠无模型GIR度量来解释剩余相关性。如果模型确实明确规定，并声称捕获了所有投资风格和经理人协变量，这意味着由于抽样误差，任何剩余相关性都是随机的，那么就不应该观察任何系统模式，也不应该观察使用GIR优于IR或Alpha来衡量和排序基金池的好处。有足够的研究方向可以遵循。本文中的模拟是专门为限制某些因素而设计的，模拟结果是程式化的，因此可能无法反映真实的基金风格或实际绩效。GIR能够在多大程度上为真正的共同基金产生稳健的衡量和稳定的排名，这是一种自然的延伸。对于收益率显著偏离正态分布（即得出GIR所需的假设）的对冲基金和其他机构基金，GIR的表现仍然是一个开放的问题。最后，尽管GIR易于计算，但它对长期以来的基金回报率L相对于基金数量n有着严格的要求（即经验法则L 2n建议立即使用）。本文提倡增加采样频率，并使用weeklyreturns证明其有效性。然而，这种方法不适用于那些无法获得更高频率回报的基金。此外，当n大于L时，nn残差协方差矩阵的逆不存在。

鉴于这些应用中的测量困难，本文呼吁按照Lediot和Wolf（2003）以及Bai和Shi（2011）的思路重新审视经济计量工作，以准确估计高维协方差矩阵。参考Bai，J.和Shi，S.，2011年。“估计高维协方差矩阵及其应用”。《经济和金融年鉴》12（2），199-215。Berk，J.B.和Green，R.C.，2004年。理性市场中的共同基金流量和绩效。《政治经济杂志》1121269–1295。Busse，J.1999年。共同基金的波动时间：来自每日收益的证据。财务研究回顾121009–1041。Carhart，M.M.，1997年。共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52，57-82。Chevalier J.和Ellison G.1999年。一些共同基金经理是否比其他人更好？行为和性能中的横截面模式。《金融杂志》54875-99。Cohen L、Frazzini A和Malloy C.2008年。投资的小世界：董事会关系和共同基金回报。《政治经济学杂志》116，951–79。Cohen R、Coval J和Pastor L.2005。根据基金经理所管理的公司来判断基金经理。《金融杂志》601057-96。Daniel，K，M.Grinblatt，S.Titman和R.Wermers，1997年，《用基于特征的基准衡量共同基金绩效》，金融杂志521035-1058。Deadman、Edvin、Nicholas J.Higham和Rui Ralha，2013，“计算矩阵平方根的阻塞Schur算法”，计算机科学讲稿，7782。第171-182页。Dawson，D.C.和B.V.，Landau，1982，《多元正态分布之间的Frechet距离》，多元分析杂志12450-455。Elton，E.、M.Gruber、C.Blake，2003，《激励费和共同基金》，金融杂志58（2），779–804。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1993

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定义平方二次Wasserstein距离≡[||- ||]=|- |+ ||- ||.  为便于说明，表示| |∑- Σ||≡||- ||.  因此=|- |+ |Σ- Σ|                   （A.1）在高斯测度下，仍需说明的是Σ- Σ=Tr（∑）+ Σ- 2.Σ/ΣΣ//)               （A.2）对于增广随机向量(,) 在R2n中，用ψ表示其协方差矩阵=ΣΣ（A.3）然后Σ- Σ=Tr（∑）+ Σ- 2.), 以及Σ- Σ就是找到C=因此 和 a最大相关，受ψ是正定协方差矩阵的约束。因此，优化问题变得2.()                         （A.4）s.t.∑- Σ>0（A.5），其中（A.5）是Schur补码约束。根据（A.5）对（A.4）进行求解，得到（A.2）。Dowson和Landau（1982）以及Givens和Shortt（1984）给出了详细的证明，其中Wd也被称为Frechet距离。（A.2）也可以从最佳运输图中得出（Knott和Smith，1984；Olkin和Pukelsheim，1982）。检查最佳运输计划图(,Σ) 到,Σ,  对于零均值随机向量~(0,Σ), 允许=, 其中，最佳映射矩阵由下式给出=Σ/Σ/ΣΣ//Σ/（A.6）给定= （A.6）我们有==ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ=ΣΣΣΣΣΣΣΣ=ΣΣΣΣΣ=Σ（A.7）在单变量情况下，其中∑=和∑=是定标器，最优映射矩阵简化为定标器=()/=/.

然后=( )很容易验证。检查一下确实是最佳的，我们有||- ||=||||+ ||||- 2.,=Σ+ Σ- 2.,T=Σ+ Σ-2.ΣT=Σ+ Σ- 2. ΣΣΣ=(Σ+ Σ- 2.ΣΣΣ)（A.8）倒数第二个等式由跟踪运算符的循环特性决定。还可以导出反向最优传输映射。允许=, 其中，最佳映射矩阵如下所示：=Σ/Σ/ΣΣ//Σ/. 很容易验证=.图1：。不同模型下三个绩效指标的距离指标（基金数量n=200，评估期长度L=360个月）此图描述了错误指定模型和真实模型之间三个绩效指标（*，IR和GIR）随时间的距离指标。图1中的CAPM（MKT）是四个错误指定的模型（因子）。a、 图1中的FF3（MKT SMB HML）。b、 图1中的Carhart4（MKT SMB HML UMD）。c、 图1中的FF5（MKT SMB HML RMW CMA）。d、 真正的型号是FF6（MKT SMB HML RMW CMA UMD）。从1963:07开始的每个月，从346只Fama French characteristics分类投资组合中随机选择200只基金，其中包括15只10单变量，425双变量-，332个三重分类Portfolios。选定的基金持有360个月，由*、IR和GIR在期末进行绩效评估。在滚动窗口的基础上进行模拟，直到评估期的最后一个月达到2016:12（样本结束），在每个图中为*、IR和GIR创建282个重叠的距离度量时间序列观测值。

所有数据均来自法国数据库。距离度量定义为欧几里德2-范数| |∑ - Φ|| （即和平方差的平方根），其中a是字母，  和  是残差协方差矩阵，分别由错误指定的模型和真实模型生成。为了计算距离度量，GIR使用 和, 和∑和Φ对称正有限平方根  和, 分别地IR在中仅使用对角线信息 和  （即∑）和Φa异方差对角矩阵）；对于*，和∑和Φ是同余对角矩阵，其元素设置为等于其各自的横截面平均值。表1：。一个示例：五个动量组合此表显示了在两个基准模型（因子）下使用归一化alpha*、IR和GIRmeasures对五个动量组合进行绩效评估的结果：FF3（MKT SMB HML）和Carhart4（MKT SMB HML UMDo），其中UMDOI与FF3的三个因子正交。专家组A报告了1963:07至2016:12期间时间序列回归的系数（t统计）和Rs。面板B显示残余协方差矩阵( 和) 和最优映射或缩放矩阵（∑）/和Φ/) 在每个模型下。面板C显示了每个投资组合的三个绩效指标的值、FF3和Carhart4之间的绩效指标差异以及每个指标的两个模型之间的距离指标。根据FF3，三个绩效指标定义为：=Σ/, =D/,  *=/, 其中∑是一个对称正定矩阵，作为, D仅使用∑的对角线元素，和是残差标准误差的横截面平均值。

距离度量是欧几里德2-范数|||| （即和平方差的平方根）。