κ和σ的值被选择为相对接近于根据[11]中的市场价格校准模型所获得的重新缩放值。最后，选择永久冲击参数λ比临时冲击参数ak大10倍，这与[10]中的实证研究一致。在模拟过程中，我们为Θ设置了一条固定路径，以便能够观察代理的过滤性能。更具体地说，我们让Θt在Θ=4.95时开始，然后在时间t=0.5时跳到Θt=5.5，并一直保持到交易期结束。在图1中，我们展示了一个模拟资产价格和潜在过程的路径、代理对Θt值的后验分布以及各个代理在交易期间的库存路径的示例。具有算法交易部分信息的制造商210 0.2 0.4 0.6 0.8 1t4.84.854.94.9555.055.15.155.2价格过程和潜在过程sStFt#t0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Time00.20.40.60.81后验概率模型P rob能力模型模型1模型2图1：价格过程、潜在过程、代理人过滤器和个体代理人库存路径的模拟路径。在最右侧的面板中：红线表示子种群1，蓝线表示子种群2。细线表示代理的库存路径，粗虚线表示子总体中所有代理的库存平均值。粗交叉线代表给定人群的平均场过程。图1中的左面板显示了当Θ处于较低状态时，资产价格的第一平均值如何向下恢复，然后在Θtswitches状态t=0.5后，平均值如何恢复到5.05美元。我们还从图1的中间面板中看到，代理仅通过观察资产价格的路径就能够正确地了解潜在过程的价值。

代理的后验开始时对状态没有偏好，但随后进化到认识到潜在过程的初始状态为Θt=4.95。t=0.5后，代理还会识别开关并相应调整其后验分布。在图1的左面板中，可以看到代理商交易活动造成的价格影响，即与St之间的差异，随时间而变化。图1的右侧面板显示了交易期间代理的库存值。子群体1（红色）中的代理开始时（平均）的库存值高于子群体2（蓝色）中的代理。子群体1中的代理人的库存量很快接近子群体平均值，而子群体平均值本身很快趋于零。亚群2中的Agentsin也有库存，意味着恢复到其亚群平均场，但速度比亚群1慢得多。这种行为与第3.6节中的观察结果一致，即个体代理人的库存和交易率将始终趋向于其子群体的平均场水平。此外，回归到亚总体平均值的速度由命题3.8中定义的函数hk2，t控制。参数φk值越大，hk2、t的大小越大，hk2的大小越大，t朝着第3.6节中指出的平均场的逆转速度越快。因此，两个亚群的平均回复速度的差异可以通过参数φk的值的差异来解释。此外，亚群2中的药剂对潜在α的交易远远多于亚群1中的药剂。第1小群的成员寻求清理他们的库存22 CASGRAIN，P。

和JAIMUNGAL，S.Quick，而由于资产价格偏离其过滤平均回归水平，亚群体2的成员更倾向于承担库存风险。这也与控制代理人风险偏好的参数φk的值有关。由于φk的较低值对应较高的风险承受能力，我们看到更多的阿尔法交易来自亚群体2。在亚群2中观察到的潜在阿尔法交易也与后验概率相匹配（图1的中心面板）。当代理估计潜在过程处于较低均值回归状态时，他们开始持有多头头寸，预计从较低状态转换到较高状态，他们预计在交易期结束前至少会发生一次。在切换发生后，它们开始将其位置反转为netshort，期望出现相反的行为。代理人所做的净空头数量低于代理人之前所做的净多头数量，因为交易期结束前剩下的时间更少，因为他们不太可能再看到另一次转换，而且在被迫完全清算库存之前剩下的时间也更少。随着交易期接近尾声，我们看到代理逐渐将其风险敞口减至零，以便在交易期结束时达到风险敞口。6、结论。在本文中，我们提出了一个市场的随机博弈模型，在该市场中，有限的玩家群体被划分为异质的子群体，交易单一资产。代理人可以获得市场和其他代理人行为的不完整信息，我们在有限的参与者数量限制下得出了平均场博弈。利用凸分析技术，我们可以获得每个子种群平均场的闭合形式解，以及每个个体的最佳行动。

然后，我们证明，通过求解平均场博弈得到的解实际上满足-Nash属性在游戏的Fineplayer版本中。最后，我们给出了一个有限随机博弈的模拟示例，并分析了代理的一些行为。这项研究还有许多未来的方向。在这里，我们概述了几个方向，但这些方向并非详尽无遗。我们已经开始研究的一个方向是解释模型的异质性。也就是说，除了具有异质偏好外，允许不同亚群体中的代理相信不同的模型。另一个研究方向是限制代理商在停止时间进行交易，而不是像以前那样持续交易。最后，按照[10]和[21]的思路考虑模型的不确定性/模糊性厌恶将是一个非常有趣的探索方向，从而使代理的策略变得更加稳健。带有算法交易部分信息的制造商23附录A。第3节-最优控制问题的证明。A、 1。引理3.2的证明。证据首先，让我们定义Ft=Sνt-Rtλνudu。自νt起∈ HTandνtis F-adapted，很明显，Ft∈ HTF适应。LetbAt=E[在|英尺处]。根据定义，巴蒂斯F-adapted。此外，根据Jensen不等式，EZTE[在| Ft]dt≤ 埃兹特在|英尺处dt。（A.1）由于被积函数是非负的，我们可以应用Fubini定理和tower性质EEZTAtdt |英尺= EZTAtdt公司< ∞ ,（A.2）特蕾弗雷巴∈ HT。接下来，让我们定义（A.3）cMt=Ft-ZTbAtdt。SincebA和F是F自适应的，M也是F自适应的。此外，对于任何t∈ [0，T]E[cMt]≤ 4.E[英尺]+埃尔特鲍杜伊≤ 32 EhRTAu+Mu酒后驾车<∞ ,（A.4）这表明CM∈ 书信电报。

使用F的动力学，对于0≤ t型≤ u≤ 特赫克穆-cMt | Fti=Eh（Fu- 英尺）-RtubAsdsFti（A.5）=EhRtu（As-bAs）ds+（Mu- Mt）Fti=EhRtu（As-bAs）dsFti，（A.6）应用Fubini定理和塔的性质-bAs）dsFti=EZtuEhAs公司-制动辅助系统FSID英尺= 0 .（A.7）因此，（A.8）EhcMu | Fti=cmt，这表明cm是鞅。根据CM和BA的定义，很容易验证（3.7）是否满足A.2的要求。引理3.3的证明。证据为了证明泛函hj是严格凹的，我们必须证明对于任何0<ρ<1和ν，ω∈ aj其中（P×u）（νt6=ωt）>0，即（A.9）Hj（ρν+（1- ρ) ω) - ρHj（ν）- (1 - ρ） Hj（ω）>0。首先，观察qj，·在对照组中是线性的：qj，ρν+（1-ρ） ωt=ρqj，νt+（1- ρ） qj，ωt，对于所有0<ρ<1和ν，ω∈ Aj。如果我们让ΓΓk=akψkψkφk！，24 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.展开不等式（A.9）的左侧，我们可以使用qjt的线性来抵消常数项和qj，·t（bAt+λνt）项。（A.9）的屈服部分=E“ZTρνtqj，νt|ΓΓΓkνtqj，νt+ (1 - ρ)ωtqj，ωt|ΓΓΓkωtqj，ωt-ρνtqj，νt+ (1 - ρ)ωtqj，ωt|ΓΓΓkρνtqj，νt+ (1 - ρ)ωtqj，ωtdt#（完成平方）=E“ZTρ（1- ρ)νtqj，νt-ωtqj，ωt|ΓΓΓkνtqj，νt-ωtqj，ωtdt#。扩展上述内容，并让t=νt- ωtand自qt=qj，νt- qj，ωt，（A.10）=ρ（1- ρ） E类ZT公司ak公司t+φkqt型+ 2ψktq公司t型dt公司.自0起≤ ρ ≤ 1，我们只需要证明期望值的内部大于零。自φk起≥ 0，我们可以保证（A.10）中的中期为≥ 接下来，我们可以看看最右边的不等式（A.10）。因为我们可以写qt=Rtudu，按部件积分产量（A.11）EZT2tq公司tdt=EqT≥ 0 .自ψk起≥ 0，这最后一个结果意味着（A.10）中最右边的项是≥ 最后，注意如果（P×u）（νt6=ωt）>0，那么（A.12）EZT公司tdt公司> 0 .由于ak>0，最后一条注释表明（A.10）严格大于零。A、 3。引理3.4的证明。证据

使用G^ateaux导数的定义（A.13）DHj（ν），ω= lim公司&0Hj（ν+ ω) - Hj（ν）我们将证明这个极限存在，并且与引理中提供的结果相等。使用目标Hj（3.8）的表示，取消t=0项，并使用过程qj，νt的线性- qj，ν在变量ν中，我们有hj（ν+ ω) - Hj（ν）= EZTn（qj，ωt- qj，ω）（bAt+λνt）- 2.νtqj，νt|ΓΓΓkωtqj，ωt-qj，ωdto公司（A.14）- EZT公司ωtqj，ωt-qj，ω|ΓΓΓkωtqj，ωt-qj，ωdt公司,（A.15）式中，ΓΓk=akψkψkφk！。除以 并采用极限收益率（A.16）DHj（ν），ω= EZTn（qj，ωt- qj，ω）（bAt+λνt）- 2.νtqj，νt|ΓΓΓkωtqj，ωt-qj，ωodt.带有算法交易部分信息的制造商25扩展（A.16）中被积函数的右侧部分，并重新分组（A.17）DHj（ν），ω= EZT（qj，ωt- qj，ω）bAt+λνt- 2（φkqj，νt+ψkνt）dt公司- 2ZTωtakνt+ψkqj，νtdt公司.自ν，ω∈ Ajandν，^A∈ 满足Fubini定理的充分条件。应用Fubini\'stheorem和tower属性DHj（ν），ω=中兴通讯ωt-2akνt- 2ψkqj，νT+ZTtnbAt+λνT- 2φkqj，νuodudt（A.18）=中兴通讯“ωtE”-2akνt- 2ψkqj，νT+ZTtnbAt+λνT- 2φkqj，νuoduFt##dt（A.19）=E“ZTωtE”-2akνt- 2ψkqj，νT+ZTtnbAt+λνT- 2φkqj，νuoduFt#dt#，（A.20），给出所需结果。A、 4。命题3.5的证明。证据通过使用引理3.3和3.4，我们可以应用[12，第5节]的结果，其中指出如果（A.21）hDHj（νj，*), 对于所有ω，ωi=0∈ Ajif且仅当（A.22）νj，*= arg supνj，*∈AjHj（ν），H的严格凹性意味着νj，*在P×unull集之前必须是唯一的。因此，我们需要证明的是，当且仅当导数是所述FBSDE的解时，它才消失。效率：假设νj，*是命题陈述中FBSDE的解，且νj，*∈ HT。

我们需要证明νj，*∈ 它使G^ateaux导数消失。首先，让我们注意到，我们可以将FBSDE的解隐式表示为（A.23）2 akνj，*t=E-2ψkqj，νj，*T+ZTtnbAu+λνu- 2φkqj，νj，*uodu公司Fjt公司,这表明νj，*是否适应Fj。因此，由于νj，*∈ HTandνj，*Fj是否适应，我们有νj，*∈ Aj。最后我们证明了νj，*使G^ateaux导数消失。通过在引理3.4的G^ateaux导数表达式中插入（A.23）并使用tower性质，我们发现它几乎肯定会消失。必然性：假设hDHj（νj，*), 对于所有ω，ωi=0∈ Aj。这意味着（A.24）E-2akνj，*t型- 2ψkqj，νj，*T+ZTtnbAu+λνu- 2φkqj，νj，*uodu公司Fjt公司= 0P×u几乎无处不在。要看到这一点，假设hDHj（νj，*), 对于所有ω，ωi=0∈ Aj，但（A.24）不成立。然后，选择（A.25）ωt=E-2akνj，*t型- 2ψkqj，νj，*T+ZTtnbAu+λνu- 2φkqj，νj，*uodu公司Fjt公司.首先，很明显，ω的这种选择是由其定义调整的。其次，利用νk∈ 利用Jensen不等式和（A.25）上的三角形不等式，我们可以得到边界（ωt）dt≤ 4.ak+Tψk+TφkEZT（νj，*t） dt+EZTbAt+λνtdt<∞ ,26 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.这意味着ω∈ HTand因此ω∈ Aj。当我们将ω的选择插入到g^ateaux导数的表达式中时，我们看到hDHj（νj，*), ωi>0，这与hDHj（νj，*), 对于所有ω，ωi=0∈ Aj。使用（A.24）并注意到νj，*t型∈ Fjt，我们可以写（A.26）2 akνj，*t=E-2ψkqj，νj，*T+ZTtnbAu+λνu- 2φkqj，νj，*uodu公司Fjt公司,和（A.27）2 akMjt=E-2ψkqj，νj，*T+ZTnbAu+λνu- 2φkqj，νj，*uodu公司Fjt公司,这解决了命题陈述中的FBSDE。附录B.第3节-解决BSDE的证明。B、 1。命题3.6的证明。证据

证明将分为以下几个部分：我们证明（a）命题陈述中定义的ggg2，tde是有界的，是Riccati ODE（3.16）的唯一解。（b） ggg1，命题陈述中定义的tde是BSDE的解决方案（3.15）。（c） EhRTggg | 1，tggg1，tdti<∞.第（a）部分。让我们首先指出，ODE（3.16）是一种矩阵值非对称Riccati型ODE。我们通过应用文献[15]和[14]中关于非对称Riccati ODES的定理和工具来证明关于ODE（3.16）的主张。首先，让我们定义ggg2，t=ggg2，t-t、 我们将证明所有权利要求都适用于ggg2，t，因此也适用于ggg2，t。从ODE（3.16）中，我们发现（B.1）(tggg2，t=∧∧∧+~ggg2，t（2aaa）-1ggg2，t- 2φφφИggg2,0=-2ψψrl。现在，我们的目标是将[15，定理2.3]应用于▄ggg2，以证明解的存在性和有界性。使用[15]的符号，我们定义（B.2）B=00，B=-J、 B=-2φφφ，B=∧∧∧∧∧J。和W=-2ψψ，其中J=（2aaa）-为了满足[15]中定理2.3的要求，我们必须找到C，D∈ RK×K，C=C |，因此L+L|≤ 0和C+DW+W | D |>0，其中（B.3）L=-2Dφφφ-CJ+D∧∧∧∧J0-J | D！。设D=III（K×K），C=5ψψ。通过这些C、D的选择，并利用ψ是一个具有正项的对角矩阵这一事实，我们发现（B.4）C+DW+W | D |=ψψ>0，这满足一个必要条件。C和D的选择也意味着矩阵L采用（B.5）L的形式=-2φφφ -（5ψψψ+∧∧∧）J0-J现在，让我们注意到det（L）=det(-2φφφ）×det(-J） 。这直接意味着L的特征值集是-2φφφ和-J、 自-2φφφ ≤ 0和-J<0，则L的所有特征值都保证为非正，且其中至少一个特征值保证为非零，这意味着具有算法交易部分信息的制造商27L<0。

因此，L+L |<0满足[15，Thm.2.3]的第二个条件，并保证ODE B.1的解的存在，从而保证（3.16）的存在。由于ggg2，texists的解在区间[0，T]上是连续的，因此它也在该区间上有界。此外，解的存在性和有界性以及[14，Thm 3.1]保证了解也是唯一的。使用表示法▄ggg2，t=PtQ-1从【14】开始，通过为每个方程组求解适当的线性常微分方程组，我们得到了定理陈述中给出的解。第（b）部分。在这一部分中，我们展示了命题陈述中呈现的gggp解决了linearBSDE（3.15）。首先让我们考虑过程ξξ=（ξξξt）t∈[0，T]带ξξξT∈ RK×K，定义为（B.6）ξξξt=：：：eRt（∧∧∧+ggg2，s）（2aaa）-1da:：，这是矩阵值ODE的唯一解决方案，（B.7）- dξξt=-ξξξt（∧∧∧+ggg2，t）（2aaa）-1dt，初始条件ξξ=III（K×K），其中III（K×K）∈ RK×Kis为单位矩阵。使用上述ODE和BSDE（3.15）计算过程动力学ξξξtggg1，t，我们发现（B.8）d（ξξξtggg1，t）=ξξt（K×1）bAtdt- ξξξtdMMMt，边界条件ξξξTggg1，T=0（K×K）。我们可以显式地求解上述BSDE，得出（B.9）ξξξtggg1，t=EZTtξξu（K×1）bAuduFjt公司.由于ξξ保证为正定义，我们乘以ξξξ-1在两侧获得ggg1，t，（B.10）ggg1，t=E的溶液ZTtξξ-1tξξu（K×1）bAuduFjt公司,我们可以替换ξξξ的地方-1tξξuby有序指数：：：eRut（∧∧∧+ggg2，s）（2aaa）-1da：：：获得最终解决方案。第（c）部分。设k·k表示RK中的欧几里德范数。由于ggg2是一个有界函数，时间顺序指数ξξ是正定义的，并且在[0，T]上有界。

因此，存在一个常数c>0，因此对于任何列向量xxx∈ RK（B.11）支持，u∈[0，T]kξξξ-1tξξuxxk≤ c kxxxk。将Jensen不等式和Fubini定理以及最后的结果应用于ggg1，t的解，我们找到了ggg1，tkdt≤ 埃兹特ZTtkξξ-1tξξu（K×1）bAukduFjt公司dt公司≤ cK EZTE公司ZTt（bAu）duFjt公司dt公司≤ cKT EZT（bAu）du<∞ ,根据需要。B、 2。命题3.7的证明。证据插入ansatz（B.12）▄ν▄ν▄νt=（2aaa）-1（ggg1，t+ggg2，tqqqt）转化为FBSDE（3.12），得到方程（3.14），自gggand gggsolve（3.15）和（3.16）分别消失。根据gggand和ggg的定义，满足了边界条件，因此￠ννИνtabove可以求解FBSDE（3.12）。28 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.由于FBSDE（3.11）只是向量FBSDE（3.12）的k行，所以￠νkis只是（3.11）的解。最后，我们必须证明∈T∞j=1Aj。检查Ajand Fjt的定义，我们发现（B.13）∞\\j=1Aj=ν是Ft可预测的，ν∈ HT公司.因此，我们必须证明∈ HTand那是F-可预测的。首先，由于ggg2，tis deterministics和ggg1，tis F-predictable，很明显|νkis是F-predictable。接下来，请注意νk∈ HTif（B.14）EZT▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄tdt<∞ .利用dqqqt=ννννtdt这一事实，我们发现（B.15）dqqqt=（2aaa）-1（ggg1，t+ggg2，tqqqt）dt。求解此SDE得到（B.16）~qqqt=~qqqξξt+（2aaa）-1Ztξξuggg1，uduwhere（B.17）ξξt=IIIK×K+Ztξξξu（2aaa）-1ggg2，udu，对于所有t>0。由于aaa是正定义且ggg2有界，我们发现ξξξT也必须是连续的且在[0，T]上有界。

因此，利用ξξ、三角形不等式和Jensen不等式的有界性，存在一个常数C>0，使得▄q▄q▄t▄q▄q▄qt≤ Cq▄q▄q▄q▄q▄q+Ztggg▄1，uggg1，udu≤ Cq▄q▄q▄q▄q▄q+ZTggg▄1，uggg1，udu.现在，积分并取期望值EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt≤ 计算机断层扫描q▄q▄q▄q▄q▄q+ZTggg▄1，uggg1，udu.注意到▄q▄q▄qis有界且ERTGGGG▄1、tggg1、tdt，∞, 我们发现（B.18）EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt<∞ .现在使用这个结果，并将三角形不等式和Jensen不等式应用于￠ννν，EZT￠ννννν| t￠νννννtdt的表达式≤ （2aaa）-2.EZTggg | 1，tggg1，tdt+EZT（ggg2，t▄q▄q▄qt）|（ggg2，t▄q▄q▄qt）dt≤EZTggg | 1，tggg1，tdt+C EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt< ∞ ,其中，我们使用ggg2的有界性，tin第二条直线以获得C>0，从而获得所需的结果。带有算法交易部分信息的制造商29B。3、命题3.8的证明。证据为了证明命题陈述中的主张，我们必须证明所述形式的νjt解决了FBSDE（3.22）。首先，通过插入ansatz（B.19）νjt=￠νkt+2akhk2，tqj，νjt- qk，￠νkt在FBSDE中，我们得到了简化-2akd￠νkt- dhk2，tqj，νjt- qk，￠νkt-4akhk2，tqj，νjt- qk，￠νktdt公司=bAt+λλλλ|νИνИννt- 2φkqj，νjtdt公司- dMjt。从方程（3.11）插入FBSDE中的￠νkt，并选择Mjt=Mkt，我们可以取消项，得到方程（B.20）0=qj，νjt- qk，￠νktdhk2，t+4akhk2，t- 2φdt公司,几乎可以肯定的是，对于（qj，νjt）的所有值- ~qk，~νkt）。因此，解hk2，twich将使花括号内的项消失，也将解FBSDE（3.22）。

因此，将花括号内的项设置为零并插入适当的边界条件，我们得到ODE（B.21）-dhk2，t=4akhk2，t- 2φdthk2，T=-2ψk。这最后一个ODE是经过充分研究的Riccati类型，其解在定理陈述中给出。接下来，我们希望证明hk2，t≥ 首先，让我们注意到，由于t<t和γk≥ 0 thatsinh(-γk（T- t） （）≤ 0和cosh(-γk（T- t） （）≥ 1、自ξk，ψk≥ 然后我们得到（B.22）ψkcosh(-γk（T- t） （）- ξksinh(-γk（T- t） ）ξkcosh(-γk（T- t） （）- ψksinh(-γk（T- t） （）≥ 0，然后得到所需的结果。最后，我们希望证明νj∈ Aj。首先，请注意，νjit足以显示νj- νk∈ Aj，自￠νkt起∈ Aj。首先，让t=qj，νjt- ~qk，~νkt。从命题的陈述中，我们得到（B.23）dt=hk2，t2 aktdt，带边界条件= Qj公司- mk.由于HK2，t2是确定性的，边界条件是Fj适应的，很明显tis Fj已改编。我们可以直接求解SDE，得到溶液（B.24）t型=Qj公司- mk公司eRthk2，u2 akdu。由于qj是有界方差，h2是有界函数，很明显 ∈ HT。因此 ∈ Aj。现在因为νjt- νkt=hk2，t2 akt、 h2是一个有界的确定性函数，我们发现νj- νk∈ Aj。B、 4。定理3.9的证明。我们首先介绍下面的引理，它将用于定理3.9的证明。引理B.1。设νjt为命题3.7中为agent j insub种群k定义的ansatz平均场最优控制。然后（B.25）qj，νjt- qk，￠νkt=Qj公司- mk公司e2akRthk2，udu，其中Qkis是j库存的初始值，mk=EQj，hk2是命题3.8中定义的函数，满足性质h2，t<0.30 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，s.Proof。根据命题3.8，我们得到了（B.26）νjt=￠νkt+fktqj，νjt- qk，￠νkt,其中，我们让fkt=hk2，t2ak。

使用上述方程式并注意到t型qj，νjt- qk，￠νkt= νjt- ~νkt，我们知道了（B.27）t型qj，νjt- qk，￠νkt= fkt公司qj，νjt- qk，￠νkt.用初始条件qk=Qkandqk=mk求解上述ODE会得到所需的结果。现在我们继续证明定理3.9。证据为了证明该定理的第一个结果，我们研究了差异νkt- νkt，其中（B.28）νkt=limN→∞N（N）kXj∈K（N）Kνjt。利用命题3.8中νjt的ansatz，我们得到（B.29）νjt- νkt=hk2，t2akqj，νjt- qk，￠νkt.使用引理B.1的结果，这变成（B.30）νjt- νkt=Qj公司- mk公司fkt，其中fkt=hk2，t2ake2akRthk2，udui是一个有界的连续函数。取所有j的平均值∈ 以极限为例，我们看到（B.31）limN→∞N（N）kXj∈K（N）Kνjt- νkt=fktlimN→∞N（N）kXj∈K（N）KQj公司- mk公司.自集合{Qj}j以来∈K（N）kis是一组等式为mk且有界方差的独立随机变量，我们可以应用大数定律，使得（B.31）中的右极限几乎肯定地消失，而在L中。因此，计算左极限，我们得到（B.32）νkt- νkt=0，几乎可以肯定所有t∈ [0，T]。这意味着对于所有的t∈ [0，T]。由于￠ννννt=νννt，我们发现￠νt=νt=limN→∞NPNj=1νj，*t、 由于建议的νj形式，*talso求解FBSDE（3.11），~νt=νtalmost solute和νj，*∈ Aj，我们发现νj，*塔尔索解决了最优性FBSDEfrom定理（3.5）。因此，应用定理（3.5），集合{νj，*}∞j=1是最佳且令人满意的（B.33）νj，*= arg supν∈AjHj（ν），对于所有j.附录C.第4节的证明--纳什财产。C、 1。定理4.2的证明。我们通过引入两个引理开始定理4.2的证明。第一个是引理，它提供了一个封闭形式的表达式，表示代理的平均场最优控制及其自身子种群的平均场库存的差异。

第二个是关于平均场游戏目标Hj和最终玩家游戏目标Hj之间距离的引理。带有算法交易部分信息的制造商31Lemma C.1。让νj，*是子种群k中agent j的平均场最优控制。然后（C.1）qj，νj，*t型- \'\'qkt=Qj公司- mk公司e2akRth2，udu，其中Qkis是j库存的初始值，mk=EQj，h2是命题3.8中定义的函数，满足h2，t<0。证据结果是使用引理B.1和定理3.9得到的。引理C.2。Letν∈ Ajbe-一些任意容许控制与ν*,-j∈ A.-jbe集合ν-j*:=ν1,*, . . . , νj-1.*, νj+1，*, . . . , νN，*除j以外的所有代理的平均场最优控制。然后（C.2）Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= o（δN）+o（N）。证据我们将通过证明（C.3）的等效声明来证明该声明成立Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= o（δN）+o（N）。使用Hj（3.8）和Hj（2.12）的表示，我们发现其差值的平方等于（C.4）Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= λEZT（ν（N）t- νt）dt.因此，我们有必要证明方程右侧的量是o（N-2） +o（δN）。如果我们考虑方程（C.4）中出现的期望值，我们可以应用ν（N）的定义来分解itas（C.5）EZT（ν（N）t- νt）dt= E“ZTNνt- νj，*+NNXi=1νi，*- νtdt#，其中νj，*这是agent j的平均场最优控制。

利用左边的三角形不等式和Jensen不等式，我们发现（C.6）（C.4）≤λNEZT公司νt- νj，*t型dt公司+ λE“ZTNNXi=1ν*,我- νtdt#。ν、 νj∈ Aj公司 HTR意味着EhRTνt- νj，*t型dti<∞, so（C.7）λNEZT公司νt- νj，*t型dt公司= o（N-2) .此时，剩下的就是研究术语（C.8）E“ZTNNXi=1νi，*t型- νtdt#。使用符号p（N）k=N（N）kNandνk，（N）t=N（N）kPi∈K（N）Kνi，*t、 我们可以写ennxi=1νi，*t型- νt=KXk=1np（N）kνk，（N）t- pkνkto=KXk=1nνk，（N）tp（N）k- 主键+ 主键νk，（N）t- νkto、 32 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.利用最后的结果和三角形不等式，我们得到了（C.9）的lhs（C.8）≤KXk=1（EZTνk，（N）tdtp（N）k- 主键+ pkE公司ZT公司νk，（N）t- νktdt公司).首先，插入结果引理C.1，取所有i的平均值∈ K（N）kto计算νK，（N）- νkwe getEZT公司νk，（N）t- νktdt公司=ZTeRth2，s2akdsdt！N（N）kXi∈K（N）kEhQj- mki（C.10）=0，（C.11），这意味着EhRTνk，（N）tdti=EhRTνktdti。将其应用于（C.9），并注意到νkt∈ HTwe get（C.12）（C.9）≤ CKXk=1p（N）k- 主键= o（δN）对于某些C>0。把这些放在一起，我们发现（C.13）Hj（ν，ν-j）- Hj（ν）= o（δN）+o（N-2） ，对于其他常数C>0。取两边的根，注意（C.14）qo（δN）+o（N-2） =o（δN）+o（N-1） 我们得到了最终结果。C、 2。定理4.2的证明。证据我们用引理C.1证明了定理的结果。首先，让我们注意到，通过定义上确界，（C.15）Hj（ω，ν-j*) ≤ supν∈AjHj（ν，ν-j*)保持所有ω∈ 因此，定理4.2中最左边的不等式成立。接下来，我们必须证明定理4.2中最右边的不等式也成立。首先让我们注意到引理C.1，对于任何ν∈ Aj，Hj（ν，ν-j*) ≤ Hj（ν）+o（δN）+o（N-1） （C.16）≤ Hj（νj，*) + o（δN）+o（N-1） ，（C.17），其中我们使用Hj（νj，*) = supν∈AjHj（ν）。

再次应用引理C.1，我们发现（C.18）Hj（ν，ν-j*) ≤ Hj（νj，ν-j*) + 2 o（δN）+2 o（N-1) .因为上述不等式适用于所有ν∈ Ajwe可以取左边的上确界，并将常数项乘以little-o项，以得到最终结果（C.19）supν∈AjHj（ν，ν-j*) ≤ Hj（νj，ν-j*) + o（δN）+o（N-1) .MFG WITH PARTIAL INFORMATION FOR ALGORITHMIC TRADING 33参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，风险杂志，3（2001），第5-40页。[2] P.Bank、H.M.Soner和M.Voss，《具有临时价格影响的对冲》，数学和金融经济学，11（2017），第215–239页。[3] E.Bayraktar和A.Munk，《小型飞机坠毁、模型风险和最佳执行》（2017）。[4] B.Bouchard、M.Fukasawa、M.Herdegen和J.Muhle Karbe，《交易成本均衡回报》，预印本，（2017年）。[5] P.Cardaliaguet和C.-A.Lehalle，《控制的平均场游戏和贸易拥挤的应用》，arXiv预印本arXiv:1610.09904，（2016）。[6] R.Carmona和F.Delarue，《平均场游戏的概率分析》，暹罗控制与优化杂志，51（2013），第2705-2734页。[7] R.Carmona和F.Delarue，《平均场对策概率理论及其应用I-II》，Springer，2018年。[8] R.Carmona、J.-P.Fouque和L.-H.Sun，《平均场比赛和系统风险》（2013）。[9] \'A.Cartea、R.Donnelly和S.Jaimungal，《具有模型不确定性的算法交易》，暹罗金融数学杂志，8（2017），第635-671页。[10] \'A.Cartea和S.Jaimungal，《将订单流纳入最优执行》，数学和金融经济学，10（2016），第339-364页。[11] P.Casgrain和S.Jaimungal，《潜在阿尔法模型中具有学习的交易算法》，PhilippeCasgrain，Sebastian Jaimungal：：SSRN，（2016），https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=2871403.[12] I.Ekeland和R。

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