此外，当σC>0（因为C满足CLT）和ν（A）>0时，我们得到σCqα/[ν（A）]6=0。最后，由于α/∈ {0，1}，| qα|<∞. 此外，σC<∞ 和ν（A）<∞, 给出|σCqα/[ν（A）]|<∞. 结果随后是定义。4、由于C满足CLT，我们有，对于所有x∈ R、 E[[C（x）]]<∞, 这意味着，f或所有x∈ R、 E[| C（x）|]<∞. 我们利用富比尼定理很容易推断出E[| LN（λA，C）|]是有限的，因此，R4，α（λA，C）对于所有∈ A和λ>0。定理2给出了∈ Ac，λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于λ→ ∞.现在，已知在一致可积随机变量的情况下，ES在分布收敛方面是连续的。有关详细信息，我们参考Wanget al.（2018），定理3.2和示例2.2，第（ii）点；作者的结果涉及有界随机变量，但上述结果可以推广到可积随机变量的情况。因此，根据以下事实，随机变量λ（LN（λ，C）- E[C（0）]），λ>0，是一致可积的，且高斯分布的ESα的表达式为thatlimλ→∞1.- αZαVaRu（λ[LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=σCφ（qα）[ν（A）]（1- α). （33）此外，我们有1- αZαVaRu（λ[LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=1- αZαλ（VaRu（LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=λ（R4，α（λA，C）- E[C（0）]）。因此，（33）给出了∈ Ac，λ（R4，α（λA，C）- E[C（0）]）=λ→∞σCφ（qα）[ν（A）]（1- α） +o（1），生成（2 8）。现在，我们有E[C（0）]<∞. 此外，利用以下事实，对于所有α∈ （0，1），φ（qα）∈ (0, ∞ ), 在第3点证明的末尾，我们得到|σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α)}| ∈ (0, ∞). 因此，结果遵循定义。备注5。在表3和表4中，我们利用了这样一个事实，即在适当的假设下，就分布收敛而言，两者都是连续的。

因此，类似的结果可能适用于其他经典风险度量，在分布收敛方面满足连续性。定理5包含以下重要结果。推论1。设{C（x）}x∈R∈ C、 此外，假设C满足（21）和CLT。那么，我们有∈ Ac，thatR（λA，C）=λ→∞σCλν（A）+oλ. （34）因此，R（·，C）满足渐近空间序生成公理-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ 交流证明。由于C满足CLT，它满足（22）、（25）和σC>0。因此，结果来自定理5第2点。下一个结果提供了一个方便的条件，确保定理5第4点所要求的一致可积性。提案2。设{C（x）}x∈R∈ C、 此外，假设C有一个恒定的期望值并满足CLT。如果满足（21），则随机变量λ（LN（λA，C）- E[C（0）]），λ>0，是一致可积的。证据设λ>0时，Mλ=λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）。定理2给出了∈Ac，Mλd→ M、 对于λ→ ∞, 其中M~ N（0，σC/ν（A））。因此，通过连续映射定理，我们得到了mλd→ M、 对于λ→ ∞. （35）现在，很明显，对于所有λ>0，Var（Mλ）=λR（λA，C）。因此，从（34）可以得出Var（Mλ）→λ→∞σC/ν（A），因为对于所有λ>0，E【Mλ】=0，那么E【Mλ】→λ→∞E[米]。此外，Mis是非负的和可积的。此外，它们λ是非负的，对于所有λ>0，E[Mλ]=λR（λA，C），根据定理4，这是有限的，因为（19）是可积的。因此，Mλ是可积的。因此，使用（35）和Billingsley（1999）中的定理3.6，我们知道随机变量Mλ，λ>0是一致可积的。

这直接得出Random变量Mλ，λ>0是一致可积的。3.2成本场是最大稳定随机场的函数，我们现在考虑如（14）所述的成本场模型，即{C（x）}x∈R={E（x）D（Z（x））}x∈R、 （36）其中Z为最大稳定值，曝光均匀等于单位。之前已经强调了使用最大稳定随机场的重要性。在下文中，所有定理和推论都假设Z是简单的，尽管符合实际数据的最大稳定域具有广义极值（GEV）单变量边际分布，且具有位置、尺度和形状参数η∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 然而，这不会导致任何通用性损失。如果{Z（x）}x∈Ris是一个具有此类参数的最大稳定场，我们可以写入z（x）=η+τ（￠Z（x）ξ）- 1） /ξ如果ξ6=0，η+τlog（|Z（x）），如果ξ=0，x∈ R、 （37）其中{Z（x）}x∈Ris simple最大稳定性。因此，存在一个函数Dsuch，其中Z（x）=D（~Z（x）），模型（36）可以写为C（x）=D（~Z（x）），其中Z是simplemax稳定的，D=Do D、 带“o” 表示函数组合。打开（0，∞), f对于任何ξ6=0，变换z 7→ η+τ（~zξ）- 1） /ξ在增加，且变换z 7保持不变→ η+τlog（~z），意味着Dis增加。最常见的情况是，损伤函数D也在增加（例如，风速、温度或降雨量越高，成本越高），因此D=D也是如此o D、 因此，推论3-5（见下文）中关于应用于简单最大稳定场的函数为非递减和非常数的要求，在激励当前工作的应用中通常得到满足。为了符号的简单性，在下文中，我们用Z（而不是Z）表示简单的最大稳定场，用D（而不是D）表示数量DoD

因此，读者应注意这样一个事实，即Z为标准化环境场（而非真实环境场）建模，D由Z的边际变换和损伤函数组成。我们首先给出函数D和字段Z的充分条件，以便由成本字段D（Z）得出的空间风险度量R（·，D（Z））满足定义6中所述的公理。推论2。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单的最大稳定随机场，D是一个{C（x）}x的可测函数∈R={D（Z（x））}x∈R∈ C和E[| C（0）|]<∞. 那么，为了阿拉∈ A、 R（A，C）=E[C（0）]。因此，R（·，C）满足平移和空间次加性下的空间不变性轴。此外，如果E[C（0）]6=0，则R（·，C）满足0阶渐近空间h同胚性公理，K（A，C）=0，K（A，C）=E[C（0）]，A∈ 交流证明。因为Z有相同的边距，所以对于所有x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]。因此，结果直接遵循fr-om定理3。下面的结果给出了D和Z的充分条件，使得由成本域D（Z）导出的空间风险度量R（·，D（Z））满足渐近空间齐次序公理-2、定理6。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单且样本连续的最大稳定随机场，它是一个可测量的函数，使得{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R∈ 存在p，q>0，满足2/p+1/q=1，这样E[| C（0）| p]<∞ （38）和ZR[2- θ（0，x）]qν（dx）<∞, （39）其中θ是Z.Th en的外系数函数，我们有Zr | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞.此外，总的来说，C满足（21）且σC>0。然后R（·，C）满足序的非对称空间同质性公理-2，K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ 交流证明。

因为Z有相同的边距，（38）得到，对于所有x∈ R、 E[| C（x）| p]<∞.因此，利用2/p+1/q=1的事实，Davydov不等式（Davydov，1968，方程（2.2））得出| Cov（C（0），C（x））|≤ 12αC（{0}，{x}）q（E[| C（0）| p]）p（E[| C（x）| p]）p.（40），对于所有x∈ R、 因为D是可测的，所以C（x）=D（Z（x））是FZ{x}可测的。因此，FC{x} FZ{x}，由（15）得出，对于所有x∈ R、 αC（{0}，{x}）≤ αZ（{0}，{x}）。（41）现在，使用（16）和Coro lla ry 2。2在Dombry和Eyi Minko（2012）中，我们得到了∈ R、 αZ（{0}，{x}）≤ 2[2 - θ（0，x）]。（42）因此，（41）和（42）的组合得到αC（{0}，{x}）≤ 2[2 - θ（0，x）]。因此，（40）给出| Cov（C（0），C（x））|≤ 12 2q（E[| C（0）| p]E[| C（x）| p]）p[2- θ（0，x）]q。因此，使用（38）和（39），我们得到了zr | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞.由于p，q>0，且2/p+1/q=1，我们得到p>2。因此，对于所有x∈ R、 E[[C（x）]]<∞. 因此，定理5第2点给出了结果。直到最后，以下结果提供了D和Z的充分条件，使得诱导空间风险度量R（·，D（Z））、R3、α（·，D（Z））和R4、α（·，D（Z））满足渐近空间齐次性公理-2.-1和-分别为1。为了建立它们，我们利用了Koch et al.（2018）关于平稳最大稳定随机场函数存在CLT的结果。设B（R）和B（（0，∞)) 是R和（0，∞), 分别地Fo r h=（h，h）′∈ Z、 我们采用符号[h，h+1]=[h，h+1]×[h，h+1]。下一个定理考虑了一般简单、平稳和样本连续的最大稳定随机场。定理7。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单的、固定的和样本连续的最大稳定域，并且是一个可测量的函数，从（（0，∞), B（（0，∞ ))) 使（R，B（R））满意|D（Z（0））| 2+δ< ∞, （43）对于某些δ>0。

此外，假设∈ Z、 E“最小值（supx∈[0,1]{Y（x）}，supx∈[h，h+1]{Y（x）}）#≤ Kkhk公司-b、 对于某些K>0，b>2 max{2，（2+δ）/δ}，其中{Y（x）}x∈Ris是Z的光谱随机场（见（17））。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 那么，如果σC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。由于Z是连续采样的，所以它是可测量的。因此，函数D可以从（（0，∞), B（（0，∞))) 对于（R，B（R）），我们得到C是可测的。此外，根据C的平稳性（由于Z的平稳性）和条件（43），对于所有x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]<∞. 因此，函数x 7→ E[| C（x）|]是常数，因此显然是局部可积的。因此，命题1给出了C具有a.s.局部可积样本路径。因此，C∈ C、 此外，这些假设使我们能够应用Koch et a l.（2018）中的定理2。后者得出的结果是，随机字段满足CLT。最后，由于C是平稳的，因此它满足（21）并具有恒定的期望。因此，推论1给出了第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合产生了第三个结果。定理7直接得出以下结果。推论3。设Z、D和C如定理7所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。

R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。因此，定理7给出了结果。下一个结果涉及Brown–Resnick和Smith最大稳定随机场。Brown-Resnick模型具有很高的实用价值，因为由于其灵活性，它似乎是当前可用的最大稳定模型中最好的（如果不是最好的）模型之一，至少对于环境数据而言是这样；例如，见Davidson等人（2012年，第7.4节），关于降雨。定理8。设{Z（x）}x∈Rbe与变差函数γW（x）=mkxkψ相关的布朗-雷斯尼克随机变量，其中m>0和ψ∈ （0，2），或史密斯随机场w i t协方差矩阵∑，D如定理7所示。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 然后，i fσC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。我们从Brown-Resnick油田的案例开始。如前所述，Brown–R esnick随机场是静止的。因此，C是平稳的，因此满足（21），并且具有恒定的期望。

此外，我们可以从Ko ch et al.（2018）中定理3的证明中看出，Z是样本连续的。因此，定理7的证明中的相同元素得出C∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的定理3给出了满足CLT的C。因此，推论1得出第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中的命题2和点4的组合给出了第三个结果。史密斯随机场作为M3随机场的一个实例是固定的。因此，C是静态的，因此是令人满意的（21），并且有一个恒定的期望。此外，由于史密斯场是样本连续的，与定理7的证明中相同的参数得出C∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的定理4给出了C满足的CLT。因此，推论1得出第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合给出了第三个结果。下一个推论很容易遵循定理8。推论4。设Z、D和C如定理8所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。如定理8的证明所述，这类Brown-Resnick场和Smith场都是固定的，且样本连续。此外，它们是简单的maxstable。因此，Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。

因此，定理8得出了结果。设k.k表示R中的欧几里德距离。我们引入B={x∈ R： kxk=1}，R的单位球。对于两个函数和从R到R的gf，方程g（h）=khk→∞o（g（h））表示limh→∞supu公司∈B{g（hu）/g（hu）}=0。此外，limkhk→∞g（h）=∞ 必须理解为limh→∞infu公司∈B{g（hu）}=∞.定理9。设{Z（x）}x∈Rbe用rando m油田{W（x）}x建造的Brown–Resnick随机油田∈R样本连续且其变异函数满足UPX∈[0,1]{γW（h）- γW（x+h）}=khk→∞o（γW（h）），和Limkhk→∞γW（h）ln（khk）=∞.此外，设D如定理m 7所示。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 那么，如果σC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。与定理8的证明中相同的论点表明，C满足（21）且具有常数期望。由于W是样本连续的，Kabluchkoet al.（2009）中的命题13给出了Z是样本连续的。因此，与定理7的证明中相同的参数表明∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的备注3给出了thatC满足CLT的要求。因此，推论1给出了第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合产生了第三个结果。下面的结果是定理9的直接结果。推论5。设Z、D和C如定理9所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。

R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。随机场Z简单、平稳、样本连续（见第9项证明）且最大稳定。因此，Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。因此，定理9得出了结果。我们通过对Ko ch（2017）中考虑的u>0的图像函数D（z）=I{z>u}，z>0来结束本节。此函数可从（（0，∞ ) , B（（0，∞))) 至（R，B（R））。此外，它是有界的，因此对于每个随机场Z明显满足（43）。此外，该函数是非递减和非恒定的。因此，关于与变差函数γW（x）=mkxkψ相关的Brown–Resnick随机场的定理3第3点和定理5第2点的结果inKoch（20 17），其中m>0和ψ∈ （0，2）和Smith随机场是推论4.4结论的特例。在本文中，我们首先进一步探讨了Koch（20 17）中引入的空间风险度量的概念和相应的假设，并描述了它们对精算学和实践的实用性。其次，在一般成本场的情况下，我们提供了有效条件，使得与预期、方差、VAR以及由该成本场诱导的ES相关的空间风险度量满足0阶渐近空间同质性公理，-2.-1和-分别为1。

最后，在成本场是最大稳定随机场的函数的情况下，我们给出了函数和最大稳定场的充分条件，使得与预期、方差、VaR以及ES相关的空间风险度量以及由此产生的成本场满足0阶渐近空间齐性公理，-2.-1和-分别为1。因此，这些条件允许我们了解研究区域变大时的空间差异率，这对银行/保险业很有价值。总的来说，本文提高了我们对空间风险度量概念及其与空间变量相关性质的理解，并推广了Koch（2017）的一些结果。正在进行的工作包括研究空间风险度量的具体示例，包括最大稳定场和相关破坏函数。除其他外，我们将我们的理论应用于特定欧洲地区的冬季风暴风险。如前所述，最大稳定油田具有三个参数的GEV单变量边际分布。第一步涉及联合拟合后者和不同最大稳定模型的依赖参数（Smith，Brown–Resnick，…）使用复合似然法（例如，参见Padoan et al.，2010）获得最大风速。然后，必须采用组合位置可能性信息准则等进行模型选择。第二步是选择适当的损伤函数，并将暴露领域与第一步相结合，引入成本领域模型。如果满足第3.2节中提到的适当条件，那么我们可以得出空间多样性的渐近速率以及平移下不太重要的空间不变性的结论。

通过模拟成本场，我们获得了所选子区域上归一化空间聚集损失的实现，从而可以估计感兴趣的空间风险度量。这使得我们能够检查，例如，空间亚加性公理是否满足。未来的工作将包括研究与其他经典风险度量相关的空间风险度量（例如，比VaR或ES和预期风险度量更一般的偏离风险度量）和/或由涉及最大稳定领域以外其他类型随机领域的成本领域引起的空间风险度量。例如，有必要研究与VaR和ES相关的空间风险度量是否仍能满足渐近空间齐次序公理-1如果成本场不符合CLT。致谢作者感谢安东尼·C·戴维森和克里斯蒂安·Y·罗伯特的一些有趣的评论。他还感谢Paul Embrechts和Ruodu Wang f提供了一些关于风险度量稳健性的参考，以及Gennady Samorodnitsky就随机场积分进行了卓有成效的交流。最后，他还感谢这位联合编辑和两位匿名推荐人提出的富有洞察力的建议。这项研究部分由瑞士国家科学基金会拨款200021\\U 178824资助。参考Sanderes，E.B.a和Stein，M.L.（201 1）。非平稳随机场的局部似然估计。多元分析杂志，102（3）：506–520。https://doi.org/10.1016/j.jmva.2010.10.010.Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–228。https://doi.org/10.1111/1467-9965.00068.Basel银行监管委员会（2012年）。tradingbook的基本回顾。可访问https://www.bis。org/publ/bcbs219。htm。Bevere，L.和Mueller，L.（2014）。

2013年的自然灾害和人为灾害：洪水和冰雹造成的巨大损失；海盐袭击菲律宾。西格玛瑞士再保险公司，2014（1）。Billingsley，P.（1999年）。可行性度量的收敛性。约翰·威利父子公司。Brown，B.M.和Resnick，S.I.（1977年）。独立随机过程的极值。应用概率杂志，14（4）：732–739。https://doi.org/10.2307/3213346.Dahlhaus，R.（2012年）。局部平稳过程。《统计手册》第351-413页。爱思唯尔。https://doi.org/10.1016/B978-0-444-53858-1.00013-2.DavisonA.C.、Padoan，S.A.和Ribatet，M.（2012年）。空间震颤的统计建模。统计科学，27（2）：161–186。https://doi.org/10.1214/11-STS376.Davydov，Y.A.（1968年）。平稳y随机过程产生的分布的收敛性。概率论及其应用，13（4）：691–696。https://doi.org/10.1137/1113086.deHaan，L.（1984年）。最大稳定过程的谱表示。《可能性年鉴》，12（4）：194-1204年。https://doi.org/10.1214/aop/1176993148.deHaa n，L.和Ferreira，A.（2006年）。极值理论：导论。斯普林格，纽约州纽约市。https://doi.org/10.1007/0-387-34471-3.Denuit，M.、Dhaene，J.、G oovaerts，M.和Kaas，R.（2005年）。独立风险精算理论：度量、顺序和模型。约翰·威利父子公司。Dombry，C.和Eyi Minko，F.（2012年）。最大可分割区域的强混合特性。随机过程及其应用，122（11）：3790–3811。https://doi.org/10.1016/j.spa.2012.06.013.Eckley，I.A.、Nason，G.P.和Treloar，R.L.（2010）。局部平稳小波场应用于图像纹理的建模和分析。皇家统计学会杂志：系列C（应用统计），59（4）：595–616。https://doi.org/10.1111/j.1467-9876.2009.00721.x.Gneiting，T.（2011）。制定和评估采购预测。

《美国统计协会杂志》，106（494）：746–762。https://doi.org/10.1198/jasa.2011.r10138.HuserR.和Davidson，A.C.（2013）。Brown-Resnick过程的复合似然估计。Biometrika，100（2）：511–518。https://doi.org/10.1093/biomet/ass089.Kabluchko，Z.、Schlather，M.和de Haan，L.（2009年）。与负定义函数相关的静态最大稳定域。《概率年鉴》，37（5）：2042-2065。https://doi.org/10.1214/09-AOP455.Koch，E.（2017）。空间风险度量及其在最大稳定过程中的应用。极端情况，20（3）：635–670。https://doi.org/10.1007/s10687-016-0274-0.Koch，E.、Dombry，C.和Robert，C.Y.（2018）。Rd随机过程上平稳混合最大稳定随机场函数的中心极限定理及其应用。https://doi.org/10.1016/j.spa.2018.09.014.Ombao，H.C.、Raz，J.A.、von Sachs，R.和Malow，B.A.（2001）。二元非平稳时间序列的自动统计分析。《美国统计协会杂志》，9 6（454）：543-560。https://doi.org/10.1198/016214501753168244.Padoan，S.A.、Ribatet，M.和Sisson，S.A.（2010）。最大稳定过程的基于似然的推理。《美国统计协会杂志》，105（489）：263–277。https://doi.org/10.1198/jasa.2009.tm08577.Resnick，S.I.（1987）。极值、规则变化和预测过程。SpringERblag纽约。https://doi.org/10.1007/978-0-387-75953-1.Rosenblatt，M.（1956年）。一个中心极限定理和一个强混合条件。国家科学院学报，4 2（1）：43–47。https://doi.org/10.1073/pnas.42.1.43.Samorodnitsky，G.a和Taqqu，M.S.（1994年）。稳定的非高斯随机过程：具有有限方差的随机模型。查普曼和霍尔/CRC。Schlather，M.和Tawn，J.A.（2003年）。

多元和空间关联值的相关性度量：属性和推断。Biometrika，90（1）：139–156。https://doi.org/10.1093/biomet/90.1.139.Smith，R.L.（1990年）。最大稳定过程和空间极值。未出版的手稿，北卡罗来纳大学。Volkonskii，V.和Rozanov，Y.A.（1959）。随机函数的极限定理。一、 概率论及其应用，4（2）：178–197。https://doi.org/10.1137/1104015.Wang，R.，Wei，Y.，和Willmot，G.（2018）。符号Choquet积分的特征、鲁棒性和聚集性。可访问http://papers。ssrn。com/sol3/papers。cfm？abstract\\uid=2956962。